初中数学竞赛题含答案

2024-07-05

初中数学竞赛题含答案（精选6篇）

初中数学竞赛题含答案第1篇

初中数学因式分解(一)

因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．

1．运用公式法

整式乘法公式，反向使用，即为因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

练习一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中数学因式分解(一)答案

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a+b+c-3abc 33322

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解．

解因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 将三次项x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加两项-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解设x+4x+8=y，则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222

初中数学竞赛题含答案第2篇

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简解北京初中数学竞赛题第3篇

这是2011 年北京市中学生数学竞赛(初二)试卷的第四大题,笔者在阅读文[1] 时发现它的分析和解法都过于复杂,让人们感觉该题很难,其实该题并不难解,可以直接用整数的奇偶性来解答.

解因为2011是奇数,故m,n不能同奇偶,

(1)当m=2k,n=2s+1时(k,s为整数),

则5m2- 6mn + 7n2= 2011圳k(5k - 3) + 7s(s + 1) - 6ks =

不论k,s的奇、偶如何,k(5k - 3) + 7s(s + 1) - 6ks都是偶数,故无整数解;

(2)当m = 2k + 1,n = 2s时(k、s为整数),

则5m2- 6mn + 7n2= 2011圳10k2+ 10k - 6s + 14s2- 12sk =1003.

10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶数,故也无整数解.

初中数学竞赛题含答案第4篇

1 斐波那契数列在图形探索问题中的应用

在有些树形图的图形探索问题中可以应用斐波那契数列知识解决问题.

例1 如图1，是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数有几个?(迎春杯赛题)

通过以上问题的解决，可以培养学生的自主探索和解决图形问题的能力，形成数形结合的数学思想意识. 上面的问题还可做如下的变式训练.

变式训练：如图2，结出一个“三角形”的生长过程，依据图中的数字变化规律，问：第四行的数中能被2001整除的是什么数?

2 斐波那契数列在生活实际问题中的应用

有时，还可以利用斐波那契数列知识解决生活实际中的问题.

例2 共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法?

通过以上问题的解决，不但拓宽了学生的解题思路，而且培养了学生应用数学知识解决生活实际问题的能力，并形成了应用数学知识的思想意识. 以上问题还可以做如下的变式训练.

变式训练1 一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳0.5米或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?

变式训练2 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法?

3 斐波那契数列在数学活动中的应用

在数学活动中也会经常用到斐波那契数列知识解决问题.

例4 如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1格或2格；小张从C跳到D，每次可跳1格，2格或3格. 试比较：谁跳到目标处的不同跳法多?多几种?

通过以上问题的解决，不但增强了学生学习数学竞赛的兴趣，而且增强了学生的数学转换思想意识，从而提高了解决问题的能力. 上面的问题还可做这样的变式训练. 如下图：若小方向左退一格，其余条件不变，试比较：谁跳到目标处的不同跳法多?多几种?

ACBD 通过以上3个方面问题的探讨，并根据中学数学课标中指出：“要培养学生分析问题和解决问题的能力”，同时要注意数学思想方法的运用和创新意识的培养，因此，要把培养学生的“应用数学意识”落实到初中数学竞赛的教学中去，使学生了解数学在实际生活等方面的广泛应用，从而提高学生对数学竞赛学习的兴趣，并逐步形成应用数学的良好习惯.

参考文献

[1] 岑申，王而冶.数学竞赛阶梯训练[M].杭州：浙江教育出版社，2002.

[2] 马复编. 设计合理的数学教学[M]. 高等教育出版社，2003年.

[3] 编委会.中学理科初中竞赛数学[M].杭州：浙江教育出版社，2004.

[4] 编委会.全国初中数学竞赛模拟试卷[M].北京：初等教育出版社，2004.

[5] 教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京：北京师范大学出版社，2002.6.

作者简介：蒋必昆，男，1972年生，汉族，永嘉，本科，永嘉县上塘中学一级数学教师.

毛光寿，男，1967年生，中学数学高级教师，永嘉县教研室教研员，温州市“教坛新秀”，教育硕士，浙师大数学教育硕士研究会秘书长. 已在国家级刊物上发表论文25篇，目前主研方向：数学教师的专业发展.

初中数学竞赛题含答案第5篇

某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？

解：

设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392

电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？

解：设一张电影票价x元(x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x(1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做

(x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入

(1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等

甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款

答案

取40％后，存款有

9600×（1－40％）＝5760（元）这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元）乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元）

由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？

答案

加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%，巧克力是奶糖的60/40=1。5倍

再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍奶糖=30/1.5=20颗

巧克力=1.5*20=30颗奶糖=20-10=10颗

小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？

答案

小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份

4*1/6＝2/3（小明要给小亮2/3份玻璃球）小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份）

小亮现有：3+2/3＝3又2/3（份）

这多出来的1/3份对应的量为2，则一份里有：3*2＝6（个）

小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6＝24（个）

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4

三人共同搬完，需要

× 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）

甲需丙帮助搬运

（60-6× 8）÷ 4= 3（小时）

乙需丙帮助搬运

（60-5× 8）÷4= 5（小时）

一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天, 完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 答案

甲乙丙3人8天完成 :5/6-1/3=1/2 甲乙丙3人每天完成 :1/2÷8=1/16，甲乙丙3人4天完成 :1/16×4=1/4 则甲做一天后乙做2天要做 :1/3-1/4=1/12 那么乙一天做 :[1/12-1/72×3]/2=1/48 则丙一天做 :1/16-1/72-1/48=1/36 则余下的由丙做要 :[1-5/6]÷1/36=6天答：还需要6天

股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？

答案

10.65*1％=0.1065(元)10.65*2％=0.213(元)10.1065+0.213=0.3195(元)0.3195+10.65=10.9695(元)13.86*1％=0.1386(元)13.86*2％=0.2772(元)0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元)14.2758-10.9695=3.3063(元)答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少

答案

（100+40）/2.8=50本 100/50=2 150/(2+0.5）=60本 60*80%=48本 48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元对我有帮助

一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人解: 设需要增加x人(40+x)(15-3)=40*15 x=10 所以需要增加10人

仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？

解：第1次运走：2/（2+7）=2/9.64/（1-2/9-3/5）=360吨。答：原仓库有360吨货物。

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人？

答案

原来达标人数占总人数的 3÷（3＋5）＝3/8 现在达标人数占总人数的 9/11÷（1＋9/11）＝9/20 育才小学共有学生

60÷（9/20－3/8）＝800人

小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道? 答案

设小王做了a道，小李做了b道，小张做了c道

由题意1/2a=1/3b=1/8c c-a=72 解得a=24 b=36 c=96

甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？

答案

设甲做了X个，则乙做了（242-X）个 6X=5（242-X）X=110 242-110=132（个）

答：甲做了110个，乙做了132个

某工会男女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之比是10:8:7，甲组中男女比是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之比

答案

设男会员是3N，则女会员是2N，总人是：5N 甲组有：5N*10/[10+8+7]=2N，其中：男：2N*3/4=3N/2，女：2N*1/4=N/2 乙级有：5N*8/25=8/5N，其中男：8/5N*5/8=N，女：8/5N*3/8=3/5N 丙级有：5N*7/25=7/5N 丙级中男有：3N-3N/2-N=N/2，女有：2N-N/2-3/5N=9/10N 那么丙组中男女之比是：N/2：9/10N=5：9 甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：8+7+5=20份每份需要的人数：（60+40）÷20=5人

甲村需要的人数：8×5=40人，多出劳力人数：60-40=20人乙村需要的人数：7×5=35人，多出劳力人数：40-35=5人丙村需要的人数：5×5=25人或 20+5=25人每人应得的钱数：1350÷25=54元甲村应得的工钱：54×20=1080元乙村应得的工钱： 54×5=270元

p166 19题

李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利0.2元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天获利比原来增加了50%。问：每千克水果降价多少元？

答案

设以前卖出X 降价a 那么0.2X *(1+0.5)=(0.2-a)* 2x 则0.1X=2aX a=0.05

.哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？

解：设哈利波特答对2X题，答错X题 20×2X-6X=68 40X-6X=68 34X=68 X=2 答对：2×2=4题共有：4+2=6题

爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这 7 些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行李的质量。

答案

设可免费携带的重量为x kg，则：

（150-3x）/4=(150-x)/8 //等式两边非免费部分单价相同；解方程：x=30

一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，求有多少只船？

答案解法一：

设船数为X，则（15X+9）/18=X-1 15X+9=18X-18 27=3X X=9 答：有9只船。

解法二：

(15+9)÷（18-15）=8只船--每船坐18人时坐了8只船 8+1=9只船

建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的是2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨? 答案

设2堆为X吨,则一堆为X+85吨 X+85-30=2(X-30)x=115(2堆)x+85=115+85=200(1堆)

自然数1-100排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为432，问这六个数最小的是几

答案

六个数分别是46 47 48 96 97 98

甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲地驶到乙地用了8小时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路长多少千米? 答案

两段路所用时间共8小时。

柏油路时间：（420－x）÷60

泥土路时间： x÷40

7-(x÷60)+(x÷40)=8 有x÷120=1 所以x=120

一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人? 设有x个人

x＋x／2＋x／3＝55 x＝30

学校购买840本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的是低年级段的2倍，中年级段分的是低年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书？

设低年级段分得x本书，则高年级段分得2x本,中年级段分得（3x-120）本 x+2x+3x-120=840 6x-120=840 6x=840+120 6x=960 x=960/6 x=160 高年级段为：160*2=320(本)中年级段为：160*3-120=360(本)答：低年级段分得图书160本，中年级段分得图书360本，高年级段分得图书320本.学校田径组原来女生人数占1/3,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径组总人数的4/9。现在田径组有女生多少人? 解设原来田径队男女生一共x人 1/3x+6= 4/9(x+6)x=30 1/3x+6=30*1/3+6=16 女生16人

小华有连环画本数是小明6倍如果两人各再买2本那么小华所有本数是小明4倍两人原来各有连环画多少本？

解：设小华的有x本书

4(x+2)=6x+2 4x+8=6x+2 x=3 6x=18

小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的年龄各是多少？

答案 1 设小春x岁，则妈妈x+27岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁，爸爸4x+54-38=4x+16岁

x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5 所以小春5岁，妈妈32岁，爷爷74岁，爸爸36岁。爷爷+爸爸+（妈妈+小春）

=爷爷+（爷爷-38）+（爷爷/2)=147 爷爷=74岁爸爸=36岁

妈妈+小春=小春+27+小春=74/2=37 小春=5岁妈妈=5+27=32岁

小春一家四口人的年龄各是74，36，32，5岁(147+38)÷(2×2+1)=37(岁）36×2＝74（岁）爷爷的年龄 74－38＝36（岁）爸爸的年龄

11（37+27）÷2＝32（岁）妈妈的年龄 32－27＝5（岁）小华的年龄

甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之1比乙校参加人数的4分之1少1人，甲乙两校各多少人参赛？

解：设甲校有x人参加，则乙校有（22-x）人参加。0.2 x=（22-x）×0.25-1 0.2x=5.5-0.25x-1 0.45x=4.5 x=10 22-10=12（人）答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。

在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为50%? 答案1 解

设原有盐水x千克，则有盐40％x千克，所以根据关系列出方程：(40％x)/(x＋1)＝30％得出x＝3，再设须加入y千克盐，则有方程：

（1.2＋y）/(4+y)=50%得出y＝1.6

54比45多20％，算法，设所求为x，x（1＋20％）=54 算出结果45 答案2 设原有溶液为x千克，加入y千克盐后，浓度变为50% 由题意，得溶质为40%x，则有 40%x/(x+5)=30% 12 解之得 x=15千克

则溶质有15*40%=6千克由题意，得

（6+y）/(15+5+y）=50% 解之得 y=8千克

故再加入8千克盐，浓度变为50%

某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来节省的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？

答案

红笔买了x支。

（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8 x=36.甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人原来各有多少钱？

答案

乙的话表明：甲钱5倍与乙钱2/3一样多所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，而乙多于甲的6倍，所以，乙多于60 13

设乙=75，甲=75*2/3÷5=10,丙=100-10-75=15 设乙=90，甲=90*2/3÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万，每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元？

答案

设：甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额（30-x）万元。列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4 化简：4.2-0.02x=4 0.02x=0.2 解得：x=10(万元)

某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的3/5只有甲种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元？

答案1 根据题意，甲种超过了100本，乙种不到100 本甲乙花的总钱数比为2:1 那么甲打折以前，和乙的总钱数比为：（2÷0.9）：1=20:9 甲乙册数比为5:3 甲乙单价比为（20÷5）：（9÷3）=4:3 14 优惠前，甲种每本：1.5×4/3=2元

答案2 答案

设甲买了x本,则乙为3/5x,x>100 买乙共付了:3/5x*1.5=0.9x元则甲共付了:0.9x*2=1.8x元所以甲优惠后每本为:1.8x/x=1.8元则优惠前:1.8/0.9=2元

两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？

答案

两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的 A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧1/2 B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧1/3 设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍 2（1—x/2）=1—x/3 解得x=1.5 由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好

学校组织春游，同学们下午1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路4Km/小时，爬山3Km/小时，下山为6Km/小时，返回时间为2.5时。问：他们一共行了多少路

答案1 设走的平路是X公里山路是Y公里

因为1点到七点共用时间6小时返回为2.5小时则去时用3.5小时 Y/3-Y/6=1小时 Y=6公里

去时共用3.5小时则X/4+Y/3=3.5 X=6 所以总路程为2（6+6）=24km 答案2 解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）上山用时：6－2.5＝3.5（小时）上山多用：3.5－2.5＝1（小时）山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）下山用时：6÷6＝1（小时）平路：（2.5－1）×4＝6（千米）单程走路：6＋6＝12（千米）共走路：12×2＝24（千米）答：他们共走24千米。

工程问题

1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：

1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量

35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？

解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？解：

由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量

（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。

所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。

1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？解：由题意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+„„+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+„„+1/乙+1/甲×0.5＝1（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）

1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）得到1/甲＝1/乙×2 又因为1/乙＝1/17 所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？答案为300个

120÷（4/5÷2）＝300个

可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？答案是15棵

算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水 18 放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？答案45分钟。

1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。

1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为6天解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3 时间比的差是1份实际时间的差是3天

所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：

[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1 解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两 19 支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？答案为40分钟。解：设停电了x分钟根据题意列方程

1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得x＝40

二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只? 解：

4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。

400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？ 4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）

372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只 100-62＝38表示兔的只数

三．数字数位问题

1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少? 解：

首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19，20~29„„90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+„„+90=450 它有能被9整除同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少***320042005 从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除； ***320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...解：

(A-B)/(A+B)=(A+B2 * B/(A+B)前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)/(A+B)最大。对于 B /(A+B)取最小时，(A+B)/B 取最大，问题转化为求(A+B)/B 的最大值。

(A+B)/B = 1 + A/B，最大的可能性是 A/B = 99/1(A+B)/B = 100(A-B)/(A+B)的最大值是： 98 / 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少? 答案为6.375或6.4375 21 因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。当是102时，102/16＝6.375 当是103时，103/16＝6.4375

4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.答案为476 解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4 答：原数为476。

5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.答案为24 解：设该两位数为a，则该三位数为300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答案为121 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11 22 因此这个和就是11×11＝121 答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.答案为85714 解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）

再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得x＝85714 所以原数就是857142 答：原数为857142

8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.答案为3963 解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；

4、8；

5、7；

6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；

2、7；

3、6；

4、5。再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。再代入竖式的千位，成立。得到：abcd＝3963 23 再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.解：设这个两位数为ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b＝3 由于a、b均为一位整数得到a＝3或7，b＝3或8 原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分? 答案是10：20 解：

（28799„„9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四．排列组合问题

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种

综合两步，就有24×32＝768种。若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()A 119种 B 36种 C 59种 D 48种解：

5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题

1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25„① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2„„② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1„„③ 由（4）知：a1＝a2+a3„„④ 再由②得a23＝a2－a3×2„„⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2„„⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）

100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题

1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？答案为21 解：

每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样: 当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个)如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个）

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是： 6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）不可能。

因为总数为1+9+15+31＝56 56/4＝14 14是一个偶数

而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？解：

根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。

根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。

可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20 根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的 28 份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？答案720千米。

由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。解：

600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？答案为53秒

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒

可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？答案为100米

300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间 5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程

2500÷300＝8圈„„100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）答案为22米/秒

算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒

关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。解：

由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟? 答案：18分钟

解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y 列式40x+40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分钟,乙需90分钟故得解

9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？答案是300千米。

解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。因此360÷（1+1/5）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率 2÷1/48＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。解：

相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 时间比为3：4 所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时 6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解：

把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30

初中数学竞赛题含答案第6篇

一、选择题

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,则有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

xyyz632.方程组的正整数解的组数是（）

xzyz23A．1 B．2.C．3 D．4

23．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）A.0m1 B.m333 C.m1 D.m1 444

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）A．62π B．63π C．64π D．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，则（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定

6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空题

22227.在1，2，3…，95这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个.a318.已知a是方程x+x-=0的根,则5的值为___________.4aa4a3a2219.设x为正实数,则函数y=x-x+

21的最小值是__________.x210.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC=AC·BC，则∠CAB=______．

第二试

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）.求证：F为△CDE的内心.二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数y的图象上找出满足yx的所有整点(x,y)并说明理由.三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.x2x109510

一、选择题

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,则有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2.方程组A．1 xyyz63的正整数解的组数是（）

xzyz23 B．2.C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）

A.0m1 B.m

2333 C.m1 D.m1 444

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，则（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0