定积分的计算方法小结

定积分的计算方法小结（精选12篇）

定积分的计算方法小结 第1篇

定积分的计算方法小结

为大家献上定积分的计算方法小结的论文，欢迎各位数学毕业的同学阅数列通项公式的求法!

摘要：本文通过对定积分计算方法的总结以达到更进一步提高高职学生学习高等数学的积极性，提高解题能力，增强分析问题解决问题的技能。

关键词：定积分;原函数;对称性;奇偶性

在高职高专院校高等数学的教学过程中，微积分是一个很重要的内容。其中定积分是函数微积分的重要组成部分。本文中给出几种常用定积分的计算方法，这是本人在数学实践中的一些总结，仅供参考。

1.原函数方法

此方法先求出被积函数的原函数，然后借助于积分的基本公式把原积分转化成原函数在积分区间端点上函数之差。设f(x)在[a,b]上连续,且, 则。

例1 求。

解 因为x2是x/2的一个原函数，所以。

2.分部积分法

设f(x)，g(x)在[a,b]上有连续的导数, 则。

例2 求。

解 在分布积分公式中取f(x)=Inx，g(x)=x，于是有。

3.换元法

设f(x)在[a,b]上连续，在上有连续的导数，其中且在上不变号。则

例3求

解 令u=1+2x，有

。

4.利用奇偶函数性质计算积分

奇偶函数在对称区间上的`积分性质：

例4求。

解 因为x/2在[-2,2]上是奇函数，所以。

5.利用周期函数性质计算积分

周期函数的性质：设T为一个正的常数，对x均有：f(x+T)=f(x)成立，又设a为任意实数，n为正实数，则有：。

例5 求。

解 是以为周期的周期函数。于是有

计算定积分的方法还有很多，如泰勒级数法，递推公式法，欧拉公式等。以上给出的方法是比较基本常用的方法，比较符合学生的知识功底，适合高职学生学习掌握。

参考文献:

[1]严子谦等. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社. .

[2]盛祥耀. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社. .

定积分的计算方法小结 第2篇

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz1z2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成Dz了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后

c1c2一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz

c1Dzc2当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f()时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。

yx三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面

x0,y0,z0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy

X型

D：

0x10y1x

0x1∴：0y1x

0z1xy

3.计算

11x1xy11xIzdxdydzdxdy0010zdzdx00111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203111311 (1x)3dx[xx2x3x4]1

06062424

解2“截面法”1.画出。2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z 3.计算

111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz

0Dz0Dz0

1111z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz22202400

补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。解1“投影法”

zx22y21.画出及在xoy面投影域D.由z1消去z，111得x2y21即D：x2y21

2.“穿线”x2y2z1，1x1

X型

D：

221xy1x1x1∴ :1x2y1x2

22xyz13.计算11x111x2x2y2dvdx1dy21xxy22x2y2dzdx11x2x2y2(1x2y2)dy6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出。

2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02 Dz： 0rz02

用柱坐标计算

:0rz0z1

3.计算1xydv[0Dz2212zxydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz3306000022212z11

补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：

zx22y2及z2x2所围成的闭区域。

解：1.画出及在xoy面上的投影域D.22zx2y2由 消去z，得x2y21 z2x即D： x2y21

2.“穿线” x22y2z2x2

1x1

X型 D： 221xy1x1x1：1x2y1x2

x22y2z2x211x22x23．计算 If(x,y,z)dxdydzdx11x2dyx22y2f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算

xrcos

由yrsin

化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

zzz6r202得r2 ∴D：r2 即2.解

0r2zr“穿线”

02rz6r2

∴:0r2rz6r2226r22

6r23．计算

2zdv[Drzdz]rdrddrdr00r1r2zdz2r[z2]6dr r202222

r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr0092。3解2“截面法”

1.画出。如图：由z6r2及zr围成。

2.z[0,6][0,2][2,6] 12 1由z=r与z=2围成； z[0,2]，Dz：rz

02

1：0rz

0z22由z=2与z=6r2围成； z[2,6]，Dz：r6z

022：0r6z

2z6263.计算 =zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv120Dz12Dz2

262262236zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz020202923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算(x2y2)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所确定。

xcossin解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程：aA

zcosP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为。

∴：aA，0，02

2222A222215A3(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0225252455(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5)

=553150三重积分的计算方法练习

（x2y2)dv，1.计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围成的闭区域。

2.计算（xz)dv，其中是锥面zx2y2与球面z1x2y2所围成的闭区域。

定积分的计算方法与应用 第3篇

定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”.定积分这种“和的极限”的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他知识领域及人们在生产实践活动中具有普遍的意义,很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的,教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来.可以说,定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法(或思维模式),即用无限的过程处理有限的问题, 用离散的过程逼近连续, 以直代曲,局部线性化等.定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学史上,而且是科学思想史上的重要创举.

一、定积分的定义

二、可积条件

若函数f在[a,b]上连续,且存在原函数F,F′(x)=f(x),x∈[a,b],则f在[a,b]上可积,且

三、定理与性质

1.若函数f在 (a,b)上连续 ,且存在原函数F,即F′(x)=f(x),x∈[a,b],则f在 [a,b]上可积 ,且

2.若f在 [a,b]上连续 ,则至少存在一点ε∈[a,b], 使得

3.若f在 [a,b]上连续 ,则在 [a,b]上处处可导.

4. 若函数f在 [a,b] 上连续 ,Φ′在 [α,β] 上可积 , 且满足Φ(α)=α,Φ(β)=b,

5.若u(x),v(x)为 [a,b]上的可微函数 ,且u′(x) 和v′ (x) 都在[a,b]上可积 ,则有定积 分分部积 分公式

11.若f,g都在 [a,b]上可积 ,则fg在 [a,b]上也可积.

四、定积分的计算方法与应用

1.分割 ,近似求和 ,取极限

例1:求黎曼函数在[0,1]上的积分.

解:任给ε>0,在[0,1]上使得1/q>ε/2的有理点p/q只有有限个 ,设它们为r1, … ,rk, 现对 [0,1] 作分割使并把T中所有小区间分为和{△i′′|i=1,2,… ,n-m}}两类 .其中 {△i′} 为含有} 中点的所有小区间,这类小区间的个数m≤2k(当所有ri恰好都是T的分割点时才有m=2k),而{△i′′}为T中所有其余不含{ri}中点的小区间,由于f在△i′上的振幅ωi′≤1/2,于是

2.牛顿—莱布尼兹公式

求y=2x2在[0,3]上与坐标轴所围成的面积.

3.换元法

4.分步积分法

求三个圆柱面所围立体的体积.

摘要：定积分是数学分析中的环节——微积分的重要分支之一,一元函数情况下,求微分实际上是一个求已知函数的导数,而求积分是求已知导数的原函数,所以微分与积分互为逆运算.本文主要介绍定积分的相关计算方法,以及定积分在实际中的一些应用.

定积分的常用计算方法 第4篇

关键词：定积分不定积分计算方法

定积分是《高等数学》中积分学部分的一个重要组成部分，它是在学生掌握了不定积分的概念和计算后，为了解决一些实际问题而引出的一个新知识点。虽然现在大部分高职高专中用的教材以“必需、够用”为原则，对定理、公式的证明介绍的很少，要求学生会利用公式来计算即可，但随着高校入学门槛的降低，文科學生的数学知识非常薄弱，学生经常面临上课虽然能听得懂但拿到题目不知从何下手的困境。如何解决此难题？应注意的是通过实际问题引出的定积分定义虽然可以用来解决相关问题，但若要利用其定义来计算积分值是十分困难的，而在积分上限函数的基础上引出的牛顿—莱布尼茨公式，通过求解不定积分中原函数的过程，将不定积分与定积分联系起来，给出了非常简单的计算定积分的方法，最终简化并解决了定积分的计算。因此，我们在对应不定积分的计算方法的基础上，总结出相应的一些求解方法，帮助学生较快的理解和掌握定积分，为后面二重积分的计算奠定基础。

由牛顿—莱布尼茨公式公式∫baf（x）dx=F（x）|ba=F（b）-FF（a）可知，要计算定积分只要计算出被积函数的一个原函数，求出其在相应的区间上的增量即可。联系到不定积分的积分方法，将常用的求定积分的方法总结如下。

一、直接积分法

1.直接利用公式及性质计算

例1：求∫π120（2sinx-cosx）dx.

分析：直接套用三角函数公式及定积分的性质求出原函数再计算。

解：∫π120（2cosx-sinx）dx=2sinx+cosx|π120=1

例2：求∫π140tan2xdx

分析：被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换先求出原函数再利用公式计算。

解：∫π140tan2xdx=∫π140（sec2x-1）dx=tanx-x|π140=1-π14

2）利用定积分的区间可加性计算

例3：设f（x）=1+x-1≤x<0

en0≤x≤2，求∫2-1f（x）dx

分析：这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。

解：∫2-1f（x）dx=∫0-1（1+x）dx+∫20exdx=x+112x2|0-1+ex|20=e2-112

例4：求∫π12π121-cos2xdx

分析：开方后被积函数其实是绝对值函数，利用绝对值定义去掉相应的符号后再利用区间可加性计算。

解：∫π12π121-cos2xdx=∫π12π122|sinx|dx=2∫0π12（-sinx）dx+2∫π120sin xdx=2cos x|0-π12-2cosx|π120=22

二、换元积分法

针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择两类方法。

第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。

例5：求∫e1=dx1x1+lnx

分析：被积函数中有常用的凑微分公式，可先考虑使用凑微分法再计算。

解：∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=2（1+lnx）112|e1=2（2-1）

注：能使用不定积分的第一类换元积分法解决的定积分不需要再使用变量代换去计算。比如上例用如下方法

∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=∫21u-112du=2u112|21=2（2-1）

计算时不仅需进行变量代换u=1+lnx，同时还得将x的区间换成的区间[1，2]，增加了计算量。

由不定积分的计算可知，若被积函数中含有根式又不能用凑微分法计算时，可通过变量代换去根号后再计算。关键是正确地选择变量代换，同时要注意的是换元的同时一定要换上下限。由此得到的定积分换元积分公式为∫baf（x）dx=∫βαf[φ（t）]φt（t）dt

对应不定积分中的形式经常用到的有两种代换：三角代换、根式代换。

例6：求∫51=x-11xdx

分析：直接根式代换去根号。

解：令x-1=t，x=t2+1；dx=2tdt.当x=1时，t=0；当x=5时，t=2.

所以∫51=x-11xdx=∫202t21t2+1dt=2∫20t2+1-11t2+1dt=2∫20（1-11t2+1）dt=2（t-arctant）|20=2（2-arctan2）

例7：求∫101-x2dx.

分析：被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。

解：令x=sint，1-x2=cost，dx=costdt.当x=0时，t=0，当x=1时，t=π12.

∫101-xdx=∫π120cos2tdt=112∫π120（1+cos2t）dt=112（t+112sin 2t）|π120=π14

三、定积分的分部积分法∫baudv=uv|ba-∫bavdu

由不定积分的分部积分法可知此法主要用来解决被积函数是两个函数乘积的形式，应用此法的关键是选择合适的u，将函数凑成udv的形式，由不定积分的学习我们已知道选取的规律为：五种基本初等函数中，按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数（简称反对幂指三）”这一顺序先后排列，谁在前设谁为u，将剩下的函数与凑成微分形式dv。所以由不定积分的分部积分公式推导出的定积分的分部积分公式类推即可。要注意的是若被积函数中只有一个函数时（如∫21lnxdx），其实就是∫baudv的形式可以直接套用公式进行计算。

例8：求∫10xe-xdx

分析：两个函数相乘的形式使用分部积分法计算。

解：∫10xe-x=-∫10xde-x=-xe-x|10+∫10e-xdx=-11e-e-x|10=1-21e

以上只是给出了定积分的一些基本求解方法，对一般的定积分，只要熟练不定积分的计算，了解不定积分的类型及函数后就可以掌握定积分的计算，只有多练习才能掌握，从而熟能生巧。

当然在学习中还有一些其他的方法可用来解决一些比较特殊的函数的定积分，如果所求的定积分满足区间是关于原点对称而函数具有奇偶性的时候可利用相应的性质化简计算如例4也可用如下方法计算：∫π12-π121-cos2xdx=∫π12-π122|sinx|dx=22∫π120sinxdx=22（-cosx）|π120=22。

参考文献：

[1]吴赣昌.微积分（经管类第三版）[M].中国人民大学出版社，2009.

[2]郑亚琴.定积分的几种解法归类[J].中国商界，2010.（9）.

[3]梁志南.定积分的计算方法[J].数学学习与研究，2008.（9）.

概率统计定积分近似计算实验报告 第5篇

日期：2013 年 5 月 15 日 班级

学号

姓名

实验名称 定积分的近似计算

问题的背景和目的：

加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近似计算定积分的值． 掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法． ：

实验内容：

（随机投点法）

估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).随机投点法的具体步骤为：

(1)独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，1 2 1 2, , ,;, , ,n nx x x y y y ；(2)统计()i iy f x  的次数 k ；(3)用kn来估计1J ．

（平均值法）

估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).平均值法的具体步骤为：

(1)独立地产生 n 个服从(0,1)区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ；(2)计算()if x ；(3)用11()niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：

Excel 2003 实验过程：

实验结果总结：

定积分证明题方法总结 第6篇

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)

8. 降幂法

二、 定积分的计算方法

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3. 参考不定积分计算方法

三、 定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

四、 定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则 >= dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

M(b-a)<= <=M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

≤ %

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

定积分证明题方法总结 第7篇

若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢!

性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性质3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C()1x2arcsinxC(arccosxC)

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.第一类换元法(凑微分法)

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常见凑微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类;

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次;奇次方，拆项;

2.第二类换元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换x1; t

(3) 三角代换去根号

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

(2)uvdx要比uvdx容易计算;

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

arcsinx1dx，

u

v

用高等方法定积分证明不等式 第8篇

这种方法多用于证明关于定积分的不等式.先找出被积函数满足的不等式, 再利用定积分的不等式性质:比较定理、估值定理、函数绝对积分的不等式等, 即可得所证不等式, 于是定积分不等式的证明就归结为函数不等式的证明.

二、利用积分中值定理

1.积分第一中值定理:若f (x) 在[a, b]上连续, 则在[a, b]上至少存在一点ξ, 使得∫undefinedf (x) dx=f (ξ) (b-a) .

2.积分第二中值定理:若f (x) 在[a, b]上是非负单调递减函数, 而g (x) 是可积函数, 则在[a, b]上至少存在一点ξ, 使得∫undefinedf (x) g (x) dx=f (a) ∫undefinedg (x) dx.

(1) 若f (x) 在[a, b]上是非负单调增加函数, 而g (x) 是可积函数, 则在[a, b]上至少存在一点ξ, 使得∫undefinedf (x) g (x) dx=f (b) ∫undefinedg (x) dx.

(2) 若f (x) 在[a, b]上是单调函数, 而g (x) 是可积函数, 则在[a, b]上至少存在一点ξ, 使得∫undefinedf (x) g (x) dx=f (a) ∫undefinedg (x) dx+f (b) ∫undefinedg (x) dx.

例1 设f (x) 在[a, b]上连续且单调增加, 求证:∫baxf (x) dxundefined∫undefinedf (x) dx.

证法一 用积分性质.由f (x) 的单调性, 有

undefined,

故∫undefinedundefined

又 令undefined, 则∫undefinedundefinedundefined.所以∫undefinedundefined∫undefinedf (x) dx.

证法二 利用积分第一中值定理.

I=∫undefinedundefinedundefinedundefinedundefined依积分第一中值定理undefined, 使I=f (ξ1) undefinedundefinedundefinedundefined

三、用定积分的几何意义

命题 若f (x) 二阶可导, 且f″ (x) >0, 则∫undefinedundefined

其几何意义是f (x) 在[a, b]上是严格凸函数, 则f (x) 在[a, b]上的曲边梯形面积小于与该曲边梯形同底, 以undefined为高的梯形面积.

证明 将一区间端点如b换成变元, 令

F (x) = (x-a) .[f (a) +f (x) ]-2∫undefinedf (t) dt, 则F′ (x) =f (a) +f (x) + (x-a) f′ (x) -2f (x) = (x-a) [f′ (x) -f′ (ξ) ]>0 (a<ξ

又 ∵F (a) =0, ∴F (b) >0.即命题得证.

类似地, 若f (x) 二阶可导, 且f″ (x) >0, 则

∫undefinedundefined

其几何意义是f (x) 在[a, b]上是严格凸函数, 则f (x) 在[a, b]上的曲边梯形面积大于与该曲边梯形同底, 以undefined为高的梯形面积.

例2 求证:当x>0时, undefined

证明 取f (x) =ex, 因为f″ (x) =ex>0, 当x>0时, ∫undefinedundefined.即undefined

最后提一下几个著名的不等式:Canchy不等式、Schwarz不等式、Höller不等式、平均值不等式, 这些不等式证明方法十分典型, 这里不再赘述.

摘要：在高等数学中证明不等式的方法比较多, 掌握证明不等式的常用方法也是学习数学的基本要求.初等数学中多采用代数方法或几何方法证明不等式, 高等数学中则常借助于分析运算——微分法来证明.

关键词：高等数学,证明,不等式

参考文献

[1]张晓宁, 李安昌.高等数学方法[M].徐州:中国矿业大学出版社, 1998.

三角函数定积分的四种求解方法 第9篇

【关键词】 换元法 对称法 待定系数法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0215-01

Four methods of solving definite integral trigonometric function

PEI QINJUAN

ChangZhou garment and Textile Institute Department of Information Technology

213164， changzhou （China）；

【Abstract】This paper presents three methods for solving integral solution of trigonometric function

【Keywords】 Change element method Symmetry method The method of undetermined coefficients

定积分是微积分中很重要的一部分知识，因此对积分计算就显得尤为重要，当三角函数和定积分综合的时候，比起普通积分更加复杂，如果利用定积分的一些有趣的性质和特点以及三角函数的恒等变形等技巧时往往可以得到很美妙的形式，从而解决这类问题。下面就给出三种求解这些积分的技巧和方法。

一、换元法

换元法是最为常见的一种积分方法，尤其是在遇到三角函数积分的时候，往往使得解题过程中出现柳暗花明的景象。

例1：

解：令原式=

二、对称法

定积分有很多非常重要的性质，利用对称性的特点和三角函数联系起来后，往往可以将一些复杂的积分题目简单化。

1、对称区间上定积分性质：

定理1： （1）若

（2）若

（3）若

定理1中（1）式和（2）式简单，其实 （3）式适用范围更广泛，用（3）式能更加简单快速的求解出积分。

例2：

解：令

原式=

由（3）式可以继续推广到非对称区间上。

2、非对称区间上定积分的性质

定理2：

推论1：

推论1给出了更一般的非对称区间的情形下一般函数求解积分的一种很好的思路。

例3：

解：由推论，我们得到：原式=

三、待定系数法

当定积分形式为的一次项线性组合的有理积分时，通常可考虑用这种方法解答

例4：

解：令

原式。

以上是对三角函数的定积分求解的三种比较常见的技巧方法的总结，利用这些方法能够很巧妙的化解积分形式，从而减少计算的步骤和复杂的程度，达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1] 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J]. 高等数学研究， 2004（06），41-47

[2] 陈纪修等[编著].数学分析[M]. 高等教育出版社， 2004

定积分证明题方法总结 第10篇

关键词:积分方法  第一类换元法第二类换元法  分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数  f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“

其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

f(x)dxf(x)C,

或df(x)f(x)C

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式

(1)kdxkxC(k为常数)

(2)xdx

1

1

x

1

C

(1)

1

(3)xlnxC

x

(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

C

(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

2

2

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

f[(x)](x)dxF(u)C

凑微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

F((x))C

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，则

xt换元

fxdx

fttdt

积分

FtC

t

1

x

回代

1

FxC.

昆山积分入学计算方法 第11篇

1.居住证满一年，可认定为在本市居住满一年;

2.有居住证，当前处于缴费状态，18个月以内社保累计缴费满12个月(截止时间为3月31日)。

3. 有居住证，并且满足以下条件之一的，视为居住满一年：

(1)203月31日前，已取得房产证的，可以在房产证所在区镇申请积分入学报名;

(2)年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的，可以现居住地参加积分入学报名;在7月15日之前取得房产证的，可以房产证所在地申请调整积分入学申报学校。

二、关于房产积分的认定及截止时间

2016年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的可以加10分;7月15日前取得房产证的，可以再加30分，共40分。

在3月31日之前尚未取得房产证的，如在7月15日之前取得房产证，可以纳入积分。5月15日到21日，7月10日到7月16日，各区镇积分入学办理窗口受理房产证的积分登记。

三、关于积分入学的时间调整

公布当年度准入学校可供学位数时间调整为6月底前;申请人查分阶段调整为7月18日至7月22日;公示各区镇和各准入公办学校申请人积分高低排名时间调整为7月25日前;公布各学段积分入学准入名单时间调整为8月10日;各区镇向符合积分入学的新市民子女发放相应学段积分入学准入卡时间调整为8月15日前。

定积分的计算方法小结 第12篇

一、旅游积分的获得资格
每个经销商朋友都有有资格获得旅游积分，但只有高级营销主任以上的营 销领导人的旅游积分才有实际意义。只要是本财年做到高级营销主任以上，每个 月都可获得旅游积分(而不论当月是否达到 8 万以上),每月累加,财年末结算.

二、旅游积分的三个计算公式是： 旅游积分的三个计算公式是：
A=（整组总净业额/8）*n%*0.25----整组业绩所带来的旅游积分,其中“n%” 指的是佣金比率(按国际标准,3%-21%，而非 9%-27%)B=（领导奖金金额/8）*1.125----脱离的部门为你带来的旅游积分 C=（海外推荐的领导奖金金额/8）*1.125----你的海外市场为你带来的旅游 积分

你的旅游积分=A+B+C 你的旅游积分

三、举例
例

1、当月整组业绩 8 万，无脱离的部门 当月旅游积分=（80000/8）*21%*0.25=525 分

例

2、当月整组业绩 5 万，无脱离的部门,且整个财年做到了高级营销主任 当月旅游积分=（50000/8）*15%*0.25=375 分 例

3、当月整组业绩 8 万，此外还有一个脱离的部门，脱离部门的业绩 80000 当月旅游积分=（80000/8）*21%*0.25+(3200/8)*1.125=525+450=975 分 注:这种架构的领导奖金是 3200 元 这种架构的领导奖金是 例 4 当月整组业绩 2 万 此外还有一个脱离的部门 脱离部门的业绩是 80000、，当月旅游积分=（20000/8）*21%*0.25+0=131.分 注:这种架构的领导奖金为 0;因为有一个脱离的部门,因此其领导人即使是 20000 的业绩,仍按 21%的佣金比率计算.例 5 当月整组业绩 6 万 此外还有一个脱离的部门 脱离部门的业绩是 120000、，当月旅游积分=(60000/8）*21%*0.25+(4000/8)*1.125=393+562=955 分 注:这种架构的领导奖金是 4000 元 这种架构的领导奖金是 例

6、当月整组业绩 8 万，此外还有三个脱离的部门，脱离部门的业绩分别 是 80000;100000;200000 当月旅游积分 =(80000/8*21%*0.25+(3200/8+4000/8+8000/8)*1.125=525+2404=2929 分

四、旅游积分的晋级
第一次

旅游：8500 分 每二次旅游：10000 分 每三次旅游：12000 分 每四次旅游：14000 分 每五次旅游：16000 分 每六次及以上：18000 分

第二部分： 第二部分：净营业额 90000 为达标时
此时的计算方法与 80000 时相同，唯一不同之处在于之前的“n%”，下面是对照 表

n% 3% 6% 9% 12% 15% 18% 21%

1:8 的市场 1600 4800 9600 19200 32000 56000 80000

1:9 的市场 1800 5400 10800 21600 36000 63000 90000

旅游积分依然等于 A+B+C A=（整组总净业额/8）*n%*0.25----此时，80000 的业绩不再乘以 21%，而 是乘以 18%，其他以此类推。与 1：8 时相比，以前的 80000 获得 525 分旅游 积分，而 1：9 以后则只获得 450 分旅游积分。B=（领导奖金金额/8）*1.125----脱离的部门为你带来的旅游积分----此时，领导奖金的最低限不再是 1：8 时的 1280 元，而成为 1：9 以后的 1440 元。C=（海外推荐的领导奖金金额/8）*1.125----你的海外市场为你带来的旅游积 分

另回答两个常见问题：
1、1：9 以后，做多少业绩可以达到第一次旅游积分？、： 以后，做多少业绩可以达到第一次旅游积分？ 答：基本每月都达标的基础上，平均净额 11 万/月。

2、如果我有一个市场脱离，我应该除这个市场外做多少业绩能达到第一次旅、如果我有一个市场脱离，游？ 答：60000 元净额以上。

第三部分： 第三部分：领导奖金的计算方法

领导奖金的计算与以下几个因素有关： 领导奖金的计算与以下几个因素有关：

1、你脱离市场的业绩

2、你脱离市场如果也有脱离的市场，那么也有些关系

3、你除脱离市场外，你的小组业绩

几种情况的领导奖金计算方法： 几种情况的领导奖金计算方法：
一个市场脱离： 一个市场脱离： 例

1、你有一个脱离市场，其业绩是 80000（明年是 90000），你除他之外的业 绩是 80000（明年是 90000）以上，你的领导奖金：80000*4%=3200 元（90000 时是 3600 元。为方便起见，以下的论述均以 80000 为例，不再涉及 90000）例

2、你有一个脱离市场，其业绩是 80000，你除他之外的业绩是 32000，你的 领导奖金：（80000+32000-80000）*4%=1280 元，这个计算公式适用于你的 业绩在 32000-80000 之间的领导人，如你的业绩是 40000，则领导奖金是（80000+40000-80000）*4%=1600 元 例

3、你有一个脱离市场，其业绩是 80000 以上，你除他之外的业绩不足 32000（明年是 36000），你的领导奖金为：0 元。（安利规定，如果你只有一个脱离 的市场，那么你除他之外的业绩不足 4000PV，则不给付领导奖金，一个以上市 场脱离则不适用此条款）一个以上市场脱离： 一个以上市场脱离： 例

4、你有两个脱离的市场，均是 80000，你的其他业绩为 0，则你的领导奖金 是 80000*2*4%-

%-80000*4%=3200 元，这也是你在这种架构时的全部收入！所以 宽度非常重要。例

5、你有 5 个脱离市场，分别是 8 万，10 万，12 万，14 万，16 万，你除脱 离市场外业绩 30000，你的领导奖金：（8 万+10 万+12 万+14 万+16 万+3 万）*4%-8 万*4%=22000 元 脱离的市场下面还有脱离的市场： 脱离的市场下面还有脱离的市场： 这种情况下，你的直接市场是否做到 4000PV 非常重要，如果你的直接市场做到 4000PV 以上，则你在这个市场所获得的领导奖金就是 80000*4%=3200 元，一 分不多，一分不少；如果你的直接市场业绩低于 4000PV，则领导奖金就是（你 直接市场的业绩+直接市场的脱离市场的业绩）*4%（这时领导奖金肯定高于 3200 元）

例

6、你有 6 个部门，称为 A、B、C、D、E、F 吧，A 部门有两个部门，A1 和 A2，A1 业绩是 80000，A 除 A1 外（即 A+A2）业绩为 40000，则你在 A 部门 所获得的领导奖金是 3200 元。例