概率统计论文范文

概率统计论文范文（精选8篇）

概率统计论文 第1篇

概率论与数理统计论文

摘要：

在现实世界中，随着科学的发展，数学在生活中的应用 越来越广，无处不在。而概率统作为数学的一个重要分支，同样也在发挥着越来越广泛的用处。 概率统计正广泛地应用到各行各 业：买保险、排队问题、患遗传病、天气预报、经济预 测、交通管理、医疗诊断等问题，成为我们认识世界、了解世界和改造世界的工具，它与我们的实际生活更是息息相关， 密不可分。

关键词：

概率论,概率论的发展与应用正文

一、概率论的起源

说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。

那么，这个钱应该怎么分?是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢?或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢?这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：赌友应得64金币的。

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》(1657年)，这就是概率论最早的一部著作。

二、概率论的发展

概率论的应用在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。不过，首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起，拉普拉斯发表了一系列重要著述，特别是18出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的数学综合，叙述并证明了许多重要定理，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值?是否能有更大的发展成为严谨的学科。

概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。19，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。

三、概率论在生活中的应用

(1)概率论在保险中的应用

保险是一项使投保人和保险公司能够同时取得利益的活动，投保人缴纳一定数额的保险金，如果遇到投保范围内的问题时，保险公司将支付投保人数倍甚至更多的金额，能够在一定程度上帮助投保人解决问题。若是投保人没有出现问题时，其缴纳的保险金是不予以退还的。一般情况下，投保人遇到问题的概率是相对定的，那么保险公司就需要确定合理的赔率来保证公司的盈利，这就涉及到了概率的应用。

(2)概率论在投资中的应用

俗话说，不要把鸡蛋放在一个篮子里面。同样，这个原理也可以运用于投资中，在购买股票的时候，购买多支股票的要优于购买一支股票，这里可以用概率的方法进行解析。

(3)概率论在交通设施中的应用

随着城市人口的增加，城市车辆数目的增多，也就出现越来越严重的交通问题。怎么样合理安排路线，成为了交通设施建设中的一个重要环节。而某一时间，某一路线，某一位置会面临怎样的交通状况，是可以运用概率的方法计算出来，正确的处理各种可预测的交通问题，就能为人民的生活出行营造一个舒适的环境。

(4)概率论在密码学中的应用

随着电脑的`普及，电子文件所占的比重越来越大，在广泛使用的同时，怎样保证其安全性和可靠性呢?这就出现了常见的加密文件。加密文件中密码的存在极大的加强了文件的安全性，采用加密措施的文件，其被破译出来的可能性很小。这一点可以通过概率计算的方法加以验证。

(5)概率论在市场营销中的应用

生产商，销售商，经济活动中的各个角色在从事一定的经济活动中都需要考虑这一活动所带来的结果，通俗的来说，就是要考虑其所得的利益。那么，销售商在进货的过程中就需要考虑到市场的需求量，产品的价值等综合问题，以获取最大的利益。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要。目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。

总之，在科学技术日新月异的今天，概率论将在各个行业发挥不可替代的作用。

概率统计论文 第2篇

摘要：对概率统计的论文教学法进行了研究，其目的是督促学生把所学的概率统计知识应用起来，从而调动学生的学习积极性和成就感。

关键词：

概率统计；学以致用；论文

1引言

概率论与数理统计和高等数学、线性代数是工科大学生必修的三门数学课。由于数学本身的趣味性低，导致了学生的学习积极性不高，大部分学生是在被动状态下学习数学；在这种教学现状下，为调动学生的学习积极性，我想到了“学以致用”，让学生用所学概率统计知识来解决身边的事情，并把它写成论文形式。

2论文的书写

2.1布置作业

在概率统计的第一堂课上，除了交代一些必要的事项外，就是告诉大家写一篇概率统计应用论文，可以把所学概率统计知识与自己的专业知识相联系，写一篇应用论文；也可以用所学的概率统计知识解释生活中的某个问题；当然也可以自选题材；并且提醒学生，该论文成绩占最后结业成绩的百分之十；该论文必须在结业考试前上交，当然也可以随时上交。

2.2论文的完成

绝大部分的学生能在结业考试前上交论文，但是情况不容乐观，主要表现在：很多学生受到“论文”的限制，没能放开手脚地去写；一部分学生不知道怎么去写，就从网上下载，稍加修改就算完成作业；还有一部分学生的论文与别人的雷同，估计是抄袭过程中微调部分内容后，得到自己的论文；还有一部分学生虽然能够写出自己的论文，但是存在问题，主要是因为对知识的理解不够透切，在运用时出了偏差；仅有少部分学习不错的学生能够独立的完成论文，并写出了自己的真知灼见；总之，没有达到预期的效果。

2.3要求的调整

鉴于上一级学生的表现，在下一级的学生中，就对论文的书写要求做了适当的调整；一是提醒大家不要拘泥于论文的形式，尽量把重心放在应用上；二是告诉大家，论文可长可短，没有字数限制；三是告诫大家，不要抄袭，实在写不出来，可以写一个学习感悟或是学习总结；要是还感到有难度的话，也可以把教材中每章的知识点罗列出来，权当是考前复习了。经过上述调整后，论文的完成情况有了明显的好转，达到了预期的目标，在学生层面上，也有了良好的效果。

3论文的反馈

3.1典故的解释

3.2小概率事件的应用

小概率事件是指在一次试验中发生概率非常小的事件；因此也被认为在一次试验中几乎是不可能发生的事件。这就是概率统计中的“实际推断原理”。

有些学生利用概率统计的知识计算出了彩票业中大奖发生的概率（当然结果有偏差），非常的小，几乎是不可能事件，也就是说中大奖是一个小概率事件。明白了这些以后，学生在对待彩票购买上就理智了很多，不再幻想着靠它发财，而是抱着做贡献或撞大运玩的心态，可谓是运用所学知识武装了自己的头脑。

还有学生利用小概率事件诠释了“有志者事竟成”。原文如下：某人进行独立射击400次（每次击中与否不影响后面的射击），每次射击的命中率为0.02，求至少击中两次的概率。求解如下，用X表示击中目标的次数，则X～b（400，0.02），所以P{X≥2}=1-P{X<2}=1-P{X=0}-P{X=1}≈0.997

。由此看出：虽然每次击中目标的概率很低，但是只要坚持下去（增加次数），击中目标是肯定的；也就是说，对于一个小概率事件，不管其发生概率多么小，随着试验次数的增加，其迟早发生的概率趋近为1。这也正是“有志者事竟成”蕴含的道理，只要不气馁，敢于尝试，最后一定能成功；有些人还把这个道理应用到毕业生找工作上去，从而坚定了自己多次尝试的信心。

上述两个实例都是应用了小概率事件，但是角度不同。可谓“仁者见仁智者见智”。任何事件都有其好的一面，就看你如何看待和应用了，当然这与当事人的心境有关。

3.3活学活用

有些学生对古典概型中的“抽签问题”进行了论证。从理论上讲，抽签是公平的，每人抽到的概率均等；但是在实际操作中会有变化，因为在实际的抽签中，大多是即抽即开的，这就导致了先后抽签的不同结果。例如，某个班级必须从五名品学兼优的学生中选出一位作为本年度的校级三好学生，在难以抉择时，只好通过抽签来决定。在抽签之前，每个人都有五分之一的机会；一旦开始，情况就会变化，如果第一个人抽到了，那后面的四个人就没有机会了；如果第一个人没有抽到，剩下四个人的机会就升级到了四分之一，等等。总之，在运用知识时，要根据实际情况作出明智的决策。

还有个别学生用概率知识研究了彩票的中奖规律。从理论上讲，彩票的中奖号码是不会有规律可循的，一切都是随机产生的；但是在现实中又确实有一定的规律，这又怎么解释呢？这是因为中奖号码的产生是借助一些物质来实现的，物质是有其自身的规律的，从而导致了中奖号码的规律；譬如两个中奖号码产生的时间间隔；乒乓球的弹性、均匀程度；容器壁的弹性等等。

参考文献

概率统计论文 第3篇

概率统计是用数学的方法处理和解释信息并作出判断和决策的科学, 它的研究对象往往是随机的, 问题的结果是不确定的, 但解决问题的方法却离不开确定性的数学, 它的内容虽然在本质上是模式的数学, 但却与日常生活、自然知识、社会生产实践直接联系。因此, 在利用概率统计知识解题时, 教师应尽可能地引导学生联系日常生活、自然知识、社会实践中的实际情况。如, 2004年重庆卷文史类概率题: (18) 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 (Ⅰ) 若三人各向目标射击一次, 求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率; (Ⅱ) 若甲单独向目标射击三次, 求他恰好命中两次的概率。在该题中, 应让学生切实理解{至少一人命中目标}、{没有人命中目标}、{恰有两人命中目标}、{射击三次恰有两次命中目标}的实际意义, 这样学生才能理解相互独立事件同时发生、互斥事件有一个发生和n次独立重复事件恰好发生k次时所选择的概率模型的合理性。

二、从思维方式方面提高学生的数学随机意识

概率统计中包含了大量的逻辑推理, 如描述样本数据趋势的平均数、中位数、众数, 描述样本数据离散程度的方差、标准差等, 以及根据具体问题选择适当的统计量表示数据的不同特征的过程中, 都包含了许多的逻辑推理。在概率中特定事件的发生虽然不能预测, 但结果的规律却可以通过观察、归纳、类比、联想、猜想等进行预测, 估算概率时几乎处处运用合情推理。因此, 在概率统计教学过程中, 教师应有意识地培养学生合情推理的能力, 注重逻辑推理和合情推理的共同参与、综合应用, 使学生的思维结构更合理, 更完善。

如, 一个家庭中有若干小孩, 假定生男孩和生女孩的概率是等可能的, 令A={一个家庭中有男孩, 又有女孩}, B={一个家庭中至多有一个女孩}。 (Ⅰ) 假设家庭中有两个小孩, 问事件A与事件B是否独立? (Ⅱ) 假设家中有三个小孩, 问事件A与事件B是否独立?解答该题时, 应让学生首先充分理解事件A与事件B独立的充要条件是P (A·B) =P (A) ·P (B) 及一个家庭中孩子是有大小顺序的, 再让学生根据孩子的个数列出基本事件总体。

(Ⅰ) 基本事件总体为{ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) , (女, 女) }, 此时A={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A) =, B={ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) ≠P (A) ·P (B) , 即事件A和事件B不独立。

(Ⅱ) 基本事件总体为{ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) , (女, 女, 女) }, 此时A={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) }, 此时P (A) =, B={ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) =P (A) ·P (B) , 即事件A与事件B独立。

三、从学习方式方面强化学生的数学随机意识

概率、统计·事件与概率 第4篇

1. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为（ ）

A. ① B. ②

C. ③ D. ④

2. 在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ）

A.[17] B.[27]

C.[37] D.[47]

3. 某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）

A. 0.29 B. 0.71

C. 0.52 D. 0.48

4. 点[P]在边长为1的正方形[ABCD]内运动，则动点[P]到定点[A]的距离[|PA|<1]的概率为（ ）

A. [14] B. [12]

C. [π4] D. [π]

5. 一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（ ）

A.[23] B.[13]

C.[12] D.[14]

6. 有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条， 所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）

A. [35] B. [310]

C. [25] D. [710]

7. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球. 那么取球次数恰为3次的概率是（ ）

A. [18125] B. [36125]

C. [44125] D. [81125]

8. 某学习小组有[3]名男生和[2]名女生，从中任取[2]人去参加演讲比赛，事件[A=]“至少一名男生”，[B=]“恰有一名女生”，[C=]“全是女生”，[D=]“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是（ ）

A. [A?B=B] B. [B?C=D]

C. [A?D=B] D. [A?D=C]

9. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为[920]，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）

A. 360人 B. 240人

C. 144人 D. 120人

10. 在区间[0，1]上任取三个数[a]，[b]，[c]，若点[M]在空间直角坐标系[Oxyz]中的坐标为[（a，b，c）]，则[|OM|<1]的概率是（ ）

A. [π24] B. [π12]

C. [3π32] D. [π6]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字. 若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .

12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形[ABCD]内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入[△BCD]内的频率稳定在[25]附近，那么点[A]和点[C]到直线[BD]的距离之比约为 .

13. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[△PAB]的面积大于等于[14]的概率是 .

14. 过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有的这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）一射击测试每人射击三次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记分0分，每次击中目标的概率[23]. 乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为[13].

（1）求甲得20分的概率；

（2）求甲、乙两人得分相同的概率.

16. （10分）某班拟选派4人担任志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等.

（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？

（2）设至少有[n]名男同学当选的概率为[Pn]，当[Pn≥34]时，[n]的最小值？

17. （12分）已知实数[a，b∈{-2，-1，1}].

（1）求直线[y=ax+b]不经过第一象限的概率；

（2）求直线[y=ax+b]与圆[x2+y2=1]有公共点的概率.

18. （12分）设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2][=0].

（1）若[a]是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，[b]是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

概率统计论文 第5篇

摘要：分析概率统计学教与学的现状，提出实施案例教学的必要性、可行性，并对如何实施推广和完善这一新的教学模式做

初步的探讨。

关键词：概率统计;案例教学;探讨

中图分类号：O21-4文献标识码：A文章编号：1006-33153-133-001

一、概率统计学开设的现状概率统计学作为大学数学的重要基础课，有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用。但到目前为止，很多学校仍在进行着单一的理论教学，从教学内容上已经远离了现代数学。教师在课上重视计算技巧的演练、定理结论的证明、解题方法的训练，轻视甚至忽略其思想方法、理解能力及应用能力的培养和训练，结合实际领域不广泛，以致导致学生在实际问题中无从下手，致使学生在学完该课程后有一种数学学而无用的感觉，与老师所言的概率统计学“应用很广，用处很大”形成了极大反差。

二、概率统计学案例教学的探索与实践1.概率统计学案例教学的必要性《概率论与数理统计》课程理论方法独特、抽象，它是建立在公理化结构之上，理论严密、体系完整，同时它的实践性又很强，很多重要的统计思想、方法都是来自于实践，又运用于实践。其研究对象为随机现象，由于研究对象的不同，使得这门学科的思维方式与以往学生们接触的数学课程有很大不同，学生在学习时感觉难以理解书中的概念，定理以及解题方法技巧。

这往往导致学生产生畏难厌学情绪，如何调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，使学生发自内心地喜欢这门学科，是使学生学好这门课程的前提。《概率论与数理统计》课程的这种特点决定了在本课程的教学过程中有必要引进案例教学,以提高学生的应用实践能力。概率统计学的案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题情境中去，通过分析与相互讨论，调动学生的积极性和主动性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。案例的`明确目的是为了进行充分的讨论，案例力图包含大量的细节和信息，以引发持有不同观点的案例使用者进行主动的分析和解读。在教学中引入经典故事和有趣实例来阐释这门学科有关知识，在教学中注重理论与实际的联系，通过案例教学法，把抽象的理论用简显的方式表述，把现实生活中的事例用书本中理论来解释。

2.概率统计学案例教学的实施

选取适当的案例，是案例教学的关键所在。案例选取上注重内容的典型性、趣味性。所举案例应有代表性、生活化、通俗化，适应学生的接受水平。案例的启发性、针对性、实用性和可扩展性。引用的案例要真实具体，选取特定的案例为不同的教学内容服务。因此在每个案例中，都应明确提出这个案例是和哪些教学内容相联系，为哪些教学内容服务，提出解决案例的方法。学生在分析案例和课堂讨论等环节中发挥主体作用，教师则起着导演的作用。例如，保险机构是较早使用概率统计的部门之一，保险公司为了恰当估计企业的收支和风险，需要计算各种各样的概率，可以给出这类的案例分析题，组织讨论课。

通过案例分析使学生掌握从具体到抽象的认识方法，揭示隐含在案例中的概率统计思想，寻求带有普遍指导意义的内在规律，使之上升到理论高度。如在学习随机变量的数字特征之后，可引入有奖明信片的利润计算案例已知中国邮政贺年年底发行(有奖)明信片，中国人口众多，采取分组发放，共分为2574组，每组中的明信片编号为000001到999999(记为)，经摇奖后，每组中将号码是：一等奖(3000元)二等奖(1000元)三等奖(300元)四等奖(50元纪念邮票)五等奖(4元邮票)纪念奖(0.5元纪念明信片)已知明信片每张售价0.5元，而一张普通明信片成本费为0.25元，计算国家邮政局在这样项目上将获利多少?案例分析：考虑利润构成部分，发现只要知道平均每张明信片上所获利润即可。为此根据已知条件先求每张明信片的奖金的分布律，这属于概率的数字特征期望的内容，然后计算每张明信片的期望奖金为邮政局从每张明信片上平均能赚：在整个项目上获利：0.021×999999×2574=5400(万元)通过该案例可将此类问题拓展为免费抽奖问题，使同学们认识到抽奖问题的本质。通过这些实例的阅读和理解，将理论教学与实际案例有机地结合起来，缩短了数学理论与实际应用的距离，使学生确实感到数学有用，并且知道了怎么去用，这对提高学生综合分析能力和解决实际问题能力大有帮助。

三、总结

总之，概率统计学来源于实践，服务于实践。概率统计学案例教学法，是从实际问题抽象出概率模型。应用的案例是真实的;是基于仔细而又认真的研究;能够培养案例使用者形成观点多元化的能力，同时也体现了素质教育和创新教育的基本要求，对提高概率统计学的教与学的质量起着重要的推动作用。

参考文献：

[1]曹学锋.浅谈师范院校概率统计教学改革中国成人教育(3)

概率统计教案5 第6篇

§5.1 大数定律

1.设Y1 , Y2 ,  , Yn , 是一个

a是一个常数.随机变量序列，若对于任意正数，有

limP{Ya}1，nn则称序列Y1 , Y2 ,  , Yn , 依概

P 率收敛于a，记为Yna.2.契比雪夫大数定理: 设随机变量X1 , X2 ,  , Xn , 相互独立，且

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第1页

共6页-----E(Xk)，D(Xk)

2(k1 , 2 , )，n1则序列XXk依概率收敛nk1 P 于，即Xn.3.伯努利大数定理: 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数.p是A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有

nAlimP{p}1.nn4.辛钦大数定理: 设随机

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第2页

共6页-----变量X1 , X2 ,  , Xn , 相互独立，服从同一分布，且

E(Xk)(k1 , 2 , )，n1则序列XXk依概率收敛nk1 P 于，即Xn.§5.2 中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理: 设随机变量

X1 , X2 ,  , Xn , 

相互独立，服从同一分布，且

2E(Xk) , D(Xk)0

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第3页

共6页-----

(k1 , 2 , ).令XkE(Xk)Xknk1k1k1Yn，YnnnD(Xk)k1nnn的分布函数为Fn(x)，则对于任意x，有

Xnk1klimF(x)limPx nnnnt x12edt

22

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第4页

共6页-----

n(x)，nXkn近似地k1或者说

~ N(0 , 1)，nXk~ N(n , n)k1近似地X N(0 , 1)，~n2n近似地X~ N( , n)．

2近似地2.棣莫弗—拉普拉斯定理: 设随机变量n(n1 , 2 , )服从参数为n，p(0p1)的二项分布，则对于任意x，有

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第5页

共6页-----nnpx1edt limPxn2np(1p)(x)，近似地nnp或者说 ~ N(0 , 1)

np(1p)2t 2

-----概率论与数理统计教案 第五章 大数定律及中心极限定理

第6页

概率统计教案1 第7篇

概率论的基本概念

1.确定性现象: 在一定条件下必然发生的现象.2.统计规律性: 在个别试验或观察中可以出现这样的结果，也可以出现那样的结果，但在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性.3.随机现象: 在个别试验中其结果呈现

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第1页

共51页-----出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.§1.1 随机试验 1.随机试验: ①可以在相同条件下重复进行；

②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

③进行一次试验之前不能确定哪一个结

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第2页

共51页-----果会出现.§1.2 样本空间、随机事件

1.随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.2.随机试验E的每个结果称为样本点.例1.写出下列随机试验的样本空间.①考察某一储蓄所一天内的储款户数.S0 , 1 , 2 , .-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第3页

共51页-----②10件产品中有3件是次品，每次从中任取一件(取后不放回)，直到将3件次品都取出，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10.③在②中取后放回，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , .④一口袋中有5个红球、4个白球、3个蓝球，从中任取4个，观察它们具有哪

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第4页

共51页-----几种颜色.S={(红)，(白)，(红、白)，(红、蓝)，(白、蓝)，(红、白、蓝)}.3.样本空间S的子集称为随机事件，简称事件.4.对于事件A，每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时称事件A发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第5页

共51页-----5.由一个样本点组成集合称为基本事件.6.在每次试验中总是发生的事件称为必然事件，即样本空间S.7.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，即空集.例2.抛掷两枚骰子，考察它们所出的点数.写出这一随机试验的样本空间及下列

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第6页

共51页-----随机事件.①“两枚骰子点数之和为5”.②“两枚骰子点数之和为2”.③“两枚骰子点数之和为1”.④“两枚骰子点数之和不超过12”.解: 对两枚骰子编号为1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I点，第2枚骰子出J点.S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第7页

共51页-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第8页

共51页-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③Ø.④S.8.事件间的关系与运算: ①事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为AB.②事件AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A与B至少有一个发生时，事件AB发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第9页

共51页-----k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的和事件.Ak为可列个事件A 1，A2，…的和事件.nk1③事件AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A与B同时发生时，事件AB发生.AB也记作AB.k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的积事件.n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第10页

共51页-----k1Ak为可列个事件A 1，A2，… 的积事件.AB{xxA且xB} ④事件

称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生、B不发生时，事件AB发生.⑤若AB，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A与事件B不

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第11页

共51页-----能同时发生.⑥若ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，或互为对立事件.即对每次试验，事件A与事件B中必有一个发生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A，即ASA.9.事件的运算定律: ①交换律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第12页

共51页-----ABBA，ABBA.②结合律: A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C.③分配律: A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC).④德∙摩根律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第13页

共51页-----ABB A，ABBA.§1.3 频率与概率 1.在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.nA比值称为事件A发生的频率，记为fn(A).n2.频率的基本性质: ①0fn(A)1.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第14页

共51页-----②fn(S)1.③若A 1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

.fn(AA)f(A)f(A)1kn1nk3.当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这种统计规律性称为频率稳定性.4.设E是随机试验，S是它的样本空间.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第15页

共51页-----对于E的每一事件A赋于一个实数，记为p(A)，称为事件A的概率，且关系p满足下列条件:

①非负性: p(A)0.②规范性: p(S)1.③可列可加性: 设A 1，A2，…是两两互不相容的事件，则

P(A1A2)P(A1)P(A2).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第16页

共51页-----5.概率的性质: ①p()0.②(有限可加性)设A 1，A2，…An是两两互不相容的事件，则 P(AAn)P(A)P(An).1

1③若AB，则

P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A).④p(A)1p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第17页

共51页-----

⑤p(A)1.⑥(加法公式)P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下两个特点的试验称为古典概型.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第18页

共51页-----①试验的样本空间只包含有限个元素.②试验中每个基本事件发生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的计算公式: 样本空间S{e1 , e2 ,  , en}，事件A{ei , ei ,  , ei}，12kk

P(A).n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第19页

共51页-----例1.抛掷两枚均匀的硬币，求一个出正面，一个出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.抛掷两枚均匀的骰子，求点数之和不超过4的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第20页

共51页-----

21p(A).42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A).366例3.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品.求恰有一件次品的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第21页

共51页-----

CC解: p(A)30.253.C50例4.袋中有5个白球3个黑球.从中按

15245下列方式取出3个球，分别求3个球都是白球的概率.①同时取.②不放回，每次取一个.③放回，每次取一个.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第22页

共51页-----解: ①p(A)C3053CC30.179.8②p(B)A35A30.179.8③p(A)53830.244.例5.某班有23名同学，求至少有同学生日相同的概率(假定1年为天).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第23页

共51页-----

名

2365(23)!C493.解: p(A)230.(365)p(A)1p(A)0.507.23365例6.从一副扑克牌(52张)中任取4张牌，求这4张牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)40.105.C52例7.甲项目和乙项目将按时完成的概率为0.75和0.90，甲、乙项目至少有一

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第24页

共51页-----个项目将按时完成的概率为0.99.求下列事件的概率.①两项目都按时完成.②只有一个项目按时完成.③两项目都没有按时完成.B表解: 设用A表示“甲项目按时完成”、示“乙项目按时完成”，则p(A)0.75，p(B)0.90，p(AB)0.99.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第25页

共51页-----①p(AB)P(A)p(B)p(AB)

0.750.90.99 0.66.②

p[(AB)(AB)]p(AB)p(AB)

0.990.66 0.33.③p(AB)p(AB)

1p(AB)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第26页

共51页-----

10.99 0.01.例8.将一枚骰子连续掷5次，求下列各事件的概率.①“5次出现的点数都是3”.②“5次出现的点数全不相同”.③“5次出现的点数2次1点，2次3点，1次5点”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第27页

共51页-----④“5次出现的点数最大是3点”.⑤“5次出现的点数既有奇数点，又有偶数点”.§1.5 条件概率

例1.抛掷一枚均匀的骰子.设A表示“出现的点数不大于3”，B表示“出现偶数点”，求: ①“出现偶数点”的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第28页

共51页-----②已知“出现的点数不大于3”的条件下，“出现偶数点”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B).62②用“BA”表示已知事件A发生的条件下，事件B发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第29页

共51页-----AB{2}，1P(AB)16p(BA).33P(A)6

1.设A、B是两个事件，且p(A)0，称

P(AB)p(BA)P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第30页

共51页-----

例2.一批零件100个，其中次品10个，正品90个.从中连续抽取两次，做非回臵式抽样.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率.解: 设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第31页

共51页-----

909①p(A).10010289C90②p(AB)2，C100110P(AB)89.p(BA)P(A)992.乘法定理: 设p(A)0，则

p(AB)p(BA)p(A).设p(AB)0，则

p(ABC)p(CAB)p(BA)p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第32页

共51页-----例3.一批零件100个，次品率为10%.从中接连取零件，每次任取一个，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 设用A i表示“第i次取到正品”(i1 , 2 , 3).由于次品率为10%，所以次品10个，正品90个.P(A 1 A 2A 3)P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3A 1 A 2)

10990 1009998

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第33页

共51页-----

0.0083.3.样本空间的一个划分: ①

BiBj , ij , i , j1 , 2 ,  , n.②B1B2BnS.称B1 , B2 ,  , Bn为样本空间的一个划分(或完备事件组).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn为样本

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第34页

共51页-----空间的一个划分，且P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，A为某一事件，则 P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

P(A Bn)P(Bn).5.贝叶斯公式: 若B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，A为某一事件，且P(A)0，P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第35页

共51页-----，P(BiA)nP(ABj)P(Bj)j1P(ABi)P(Bi)(i1 , 2 ,  , n).例4.两台机床加工同样的零件.第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，从中任取一个零件，求:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第36页

共51页-----①这个零件不是废品的概率.②如果已知取出的这个零件不是废品，那么，它是第一台机床生产的概率.解: 设用A表示“此零件不是废品”，用Bi表示“此零件由第i台机床加工”(i1 , 则

P(B21 1)3，P(B 2)3，P(A B 1)0.97，P(A B 2)0.98.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第37页

共51页-----

2)，①

P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

210.970.98 330.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第38页

共51页-----

20.973 210.970.98330.664.例5.有5个盒子，分别编号1、2、3、4、5.第1及第2号盒子各有5个球，其中3个白球，2个红球.第3及第4号盒子也各有5个球，其中1个白球，4个红

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第39页

共51页-----球.第5号盒子有4个白球，1个红球.现随机地选一个盒子并从中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是红球，那么，它是来自第5号盒子的概率.解: 设用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是红球”i个盒子被选中”(i1 , 2 , 3 , 4 , 5)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第40页

共51页-----

1P(B 1)P(B2)P(B3)P(B4)P(B5)，53P(A B 1)P(A B 2)，51P(A B 3)P(A B 4)，54P(A B 5)，52P(A B 1)P(AB 2)，54P(A B 3)P(A B 4)，5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第41页

共51页-----

1P(A B 5).5①P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)P(A B3)P(B3)P(A B4)P(B4)P(A B5)P(B5)3131111141 555555555512.25

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第42页

共51页-----②P(B5A)P(ABi)P(Bi)i15P(AB5)P(B5)

1155 1(22441)5555551.136.先验概率: P(Bi).7.后验概率: P(BiA).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第43页

共51页-----例6.有一个袋内装有3个白球，2个黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋内各摸一球.求: ①在有放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 设用A、B、C分别表示“甲、乙、-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第44页

共51页-----丙摸到黑球”，用A、B、C分别表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)P(B)P(C).52②P(A).5P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)

1223 45452.5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第45页

共51页-----P(C)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)

P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)

P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)

121321232230 453453453452.5

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第46页

共51页-----§1.6 独立性

1.设A与B是两事件，如果 p(AB)p(A)p(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立.2.设A与B是两事件，且p(A)0，如果A与B相互独立，则

p(BA)p(B).3.设A与B相互独立，则下列各对事件也

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第47页

共51页-----相互独立.A与B，A与B，A与B.证: P(A)P(B)P(A)[1P(B)]

P(A)P(A)P(B)

P(A)P(AB)

(AAB)P(AAB)P(AB)，所以A与B相互独立.同理可证A与B，A与B相互独立.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第48页

共51页-----4.设A、B、C是三个事件，如果

p(AB)p(A)p(B)，p(AC)p(A)p(C)，p(BC)p(B)p(C)，p(ABC)p(A)p(B)p(C)，则称A、B、C相互独立.例1.用一支步枪射击一只小鸟，击中的概率为0.2.问3支步枪同时彼此独立地

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第49页

共51页-----射击，击中小鸟的概率.解: 设用A i表示“第i支步枪击中小鸟”，则(i1 , 2 , 3)，用B表示“小鸟被击中”

P(B)P(A 1A 2A 3)

1P(A 1A 2A 3)1P(A 1 A 2 A 3)

1P(A 1)P(A 2)P(A 3)10.80.80.8

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第50页

概率统计教学思考 第8篇

目前高等教育的一个普遍要求是:从以传授知识为主要目标的继承性教育转变到以培养能力为主要目标的创新教育;从以教师为中心的注入式教育转变到教师主导作用与学生主体作用相结合的探究式教育;从应试教育转变到素质教育;从传统的教学模式转变到运用现代教育技术的新型教学模式, 这就要求高校老师对于所教课程进行相应的教学研究和创新。概率统计作为一门重要的数学课程, 也不能例外。笔者几年来一直从事高校概率统计的教学工作, 结合自己的教学体会, 得到了下面的几个结论:

一、概率统计的教学中多媒体是不可缺少的辅助手段, 应该采用板书和多媒体结合使用的方法

一般来说, 数学的教学板书是最好的教学手段, 毕竟数学是一门理论性学科, 公式、定理的推导以板书的形式讲解给学生可能效果更好一些。但是概率统计这门课程有自己的特殊性, 应用多媒体辅助教学主要有两大好处:

1. 可以极大提高教学效率。

以第一章为例, 大量的例题都是实际的例子, 如果将例子都放到黑板上必然会浪费大量的时间, 而借助PowerPoint软件设计, 可以将老师从重复、单调的板书过程中解放出来, 利用节省下的时间对学生进行启发式教育, 展开灵活多样的讨论。而学生呢, 也不必要再将所有的内容都抄录下来, 如果需要, 可以课后自己在计算机上根据课件的内容整理笔记, 上课的过程中只需要跟着老师的思路接受知识。而且, 多媒体课件可以通过生动形象的演示, 将复杂的认识活动变得简单轻松, 可以最大限度地调动学生的主观能动性, 营造出更为宽松的课堂氛围, 调动学生的学习兴趣, 提高课堂教学质量[1,2]。

2. 应用多媒体技术可以培养学生的创新性。

在授课过程中, 通过计算机图形显示、动画模拟、文字说明等结合学习内容对某些实验进行模拟、演示随机现象的统计规律性, 形成一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境, 学生置身其中, 可以在一种愉悦的环境中学习, 其大脑思维必然会很活跃。教师再适时的提出问题, 引导学生发现问题、解决问提, 必然会极大的培养学生的创新性。

二、教师增加数学修养很有必要

“师者, 所以传道、授业、解惑也”。目前, 数学发展的一大特点就是“由稳定到交叉、混沌”, 概率统计绝不是孤零零的一门单独课程, 如果真的要把这门课程讲好, 老师必须对其他各科都有一定的了解, 对于整个数学的发展也必须有总体上的把握, 这就要求我们老师必须踏踏实实的多学习, 提高自己的数学修养。“要给别人一瓢水, 自己得先有一桶水”, 当然这绝不是一日之功, 这就需要任课老师在课下阅读大量的书籍, 最好的就是读一下《数学史》。对于整个数学学科、特别是概率统计学科的发展有一个全面的认识, 这样在课上, 老师就可以对于所教授的知识信手拈来, 提高自己的教学效果。

三、教书科研应该结合起来

高校教师不再仅仅是教书匠, 还应该紧跟时代的发展, 及时了解概率统计这个方向最新的研究方向, 发展程度, 这可以和科研结合起来, 因为一般来说如果搞科研的话, 会更多的关注自己方向整个的发展, 这对于将最新的内容引入到概率教学中会很有帮助的。

南京理工大学的杨孝平教授曾经在“第五次全国大学数学课程建设与教学改革经验交流会”的报告中指出“大学数学教学应该做到与时俱进, 适应社会发展的需求, 加强直观性和应用性教学, 提高大学数学教育的质量, 为社会培养更多更好的优秀人才”。概率统计作为一门重要的数学学科, 可以说其方法应用到社会生活的各个方面, 社会在发展, 老师在科学研究的过程中必然会更深的体会到概率统计的重要性, 并且将自己的体会经验传授给学生, 必然会为培养优秀的人才起到重大作用。

四、教师在教学过程中要有针对性地进行教学改革

1. 教学内容的改革。

概率统计的主线是:分布、数字特征和统计特征。目前很多高校的授课学时都压缩很多, 比方说我们学校各个专业的学时基本上都从72学时压缩到了54学时, 那么任课老师可以根据概率统计这门课的主线, 将授课内容做相应的调整。例如讲到分布时, 对于一维随机变量的分布做重点阐述, 而对于二维则可以简单讲授。当然, 无论内容那个如何调整, 都应该根据人才培养模式的新要求和全国工科数学课程指导委员会对《概率论与数理统计》课程的指导意见, 以及考研的需要, 力求内容与上述要求尽量保持一致。

2. 教学方法的改革。

概率统计的传统教学方法侧重于讲解概念、定义和计算, 其后果是学生在系统的学习之后, 却不知道如何应用。而且, 概率统计的很多概念和定理抽象, 计算过程复杂繁琐, 对于非数学专业的学生来说造成了较大的困难, 扼杀了学生的学习兴趣。事实上, 对于大部分非数学专业学生, 并不需要详细掌握定理的证明过程和计算过程。老师在教学过程中只需要求学生掌握概率的基本概念、基本理论以及常用的数理统计方法即可, 可以加强《概率论与数理统计》的实验教学。比方说讲到统计时, 和SPSS统计软件相结合, 讲到常用随机变量时, 和Excel相结合, 这样可以提高学生数学实验能力, 激发学习兴趣, 培养主动探索精神。

3. 教学手段的改革。

结合现代教育技术手段, 提高教学效率。使用多媒体辅助教学, 结合黑板。关键问题是制作合适的《概率论与数理统计》电子教案, 关于多媒体教学的好处, 前面已有说明。这里需要强调的一点就是对于重要定理公式的推导和重要的计算过程, 最好采用板书的形式。

摘要：本文通过几年来高校概率统计教学经验, 提出了概率统计教学过程中应该注意的几个问题。

关键词：概率统计,教学改革,教学,创新

参考文献

[1]崔志会, 杨静.浅谈多媒体技术在《概率统计》课程中的应用[J].高校讲坛.2008 (18) :164, 181