勾股定理与数学思想的联用

勾股定理与数学思想的联用（精选5篇）

勾股定理与数学思想的联用 第1篇

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勾股定理与数学思想的联用

作者：范斌

来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2014年第02期

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理.其应用很广泛，因而都是中考命题的热点.近年来，利用勾股定理及其逆定理来设计小问题（如填空题或选择题），以考查常用的数学思想方法，是中考命题的一个新趋势.下面举例说明.

勾股定理与数学思想的联用 第2篇

1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得

a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R

∴△ABC一定是等腰三角形．

方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．

答案：B

2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()

A．4B．2C．1D．不确定

accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝

∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A

abc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosC

A．等腰三角形B．等边三角形

C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确

解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B

sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC

8553A.B.C.D.5835

解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5

答案：D

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4

A．45°B．30°C．120°D．15°

11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42

b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc

答案：A

6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()

A．5B．6C．7D．8

11解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22

＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C

二、填空题

7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2

又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°

π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 32

13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22

2AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3

答案：33

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4

则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.424

π∴tanC＝1.∴C＝.4

π答案： 4

三、解答题

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B；

(2)若a3b，判断△ABC的形状．

解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB

所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC； →→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2

sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC

1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.8

1∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.8

5→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22

又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2

(1)求sinC的值；

(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．

C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1＝2sin2∴sin222

CCC由sin，得2cos1＝2sin 222

CC1∴sincos.222

13两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44

CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244

勾股定理与数学思想的联用 第3篇

关键词:活动;问题;能力发展

教学内容

上海科学技术出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第19章第一节“19.1勾股定理” (第一课时) .

教材分析

勾股定理是一条古老而著名的数学定理, 从某种意义上说是人类智慧的结晶, 是古代文化的精华.我国著名数学家华罗庚曾建议让人造卫星把勾股定理带到宇宙中翱翔, 如果的确存在星外文明, 那么他们也定能从中感悟到地球文明.

在本节课前, 学生已经学习了三角形的一些知识, 如三角形全等的判定等;也学过不少利用图形面积来探求数式运算规律的例子, 如乘法公式、多项式乘多项式法则等.本节课是在学生这些原有的认知水平基础上, 探求直角三角形的又一重要性质———勾股定理.在教材中起到了承上启下的作用, 为下一节学习勾股定理的逆定理作了铺垫, 为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础.

在探求勾股定理的过程中, 蕴涵了丰富的数学思想.把三角形有一个直角这种“形”的特点转化为三角形三边之间的“数”的关系, 是数形结合的思想;把探求边的关系转化为探求面积的关系, 将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形, 是转化的思想;由一般三角形提出问题, 继而转为先探求特殊的三角形 (直角三角形) 的三边关系, 从而得到一般直角三角形的三边关系, 再解决一些特殊直角三角形的问题, 这是一般———特殊的思想.本节课通过创设问题串和提供活动方案, 让学生在活动中思考, 在思考中创新, 认识勾股定理, 并利用勾股定理解决一些简单的有关直角三角形的计算问题.

教学目标

1.知识与技能: (1) 了解勾股定理的文化背景; (2) 会用拼图法证明勾股定理; (3) 能够运用勾股定理解决一些简单问题.

2.过程与方法: (1) 经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程, 发展合情推理的能力, 体会数形结合的思想; (2) 在探索勾股定理的过程中, 经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想, 并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.情感态度与价值观: (1) 通过对勾股定理历史的了解, 对比中西方数学家关于勾股定理的研究, 激发学生热爱祖国悠久文化的情感, 感悟数学的理性精神以及追求真理的志向; (2) 在勾股定理的证明过程中, 通过分组研讨, 同伴互助, 交流成果等环节, 培养合作意识、团队精神, 提高表达能力, 感受获得成功以及分享成功的快乐.

教学重点与难点

1.重点:探索和证明勾股定理.

2.难点:用拼图的方法证明勾股定理.

教具、学具准备

1.教具:多媒体、课件.

2.学具:剪刀、方格纸、4个全等的直角三角形等.

教法与学法

1.教法:情境教学法、探索式教学法.

2.学法:本节课采用小组合作的学习方式, 让学生遵循“观察—猜想—归纳—验证”和“由特殊到一般”的主线, 沿着知识发生、发展的脉络进行学习.

教学过程

活动1创设情境→激发兴趣

首先简要向学生介绍2002年国际数学家大会在北京召开的盛况, 特别是让学生观察会徽中心图案 (图1) ———它是由四个全等的直角三角形组成一个大正方形.

问题1 (不要求学生回答) :为什么选择这样的几何图形作为会徽的中心图案?直角三角形有何特性, 它在数学中有着怎样的地位和作用?

这就是我们今天要研究的中心课题.

(板书课题) :勾股定理

【教师关注】 (1) 学生对第二十四届国际数学家大会的会徽中心图案是否感兴趣; (2) 学生对勾股定理了解的程度.

【设计意图】从现实生活中提出会徽图案, 对学习“勾股定理”很有代表性和典型性, 它为探索“勾股定理”提供了背景材料, 形成认知冲突, 使学生在不知不觉中进入学习的佳境, 直奔主题——勾股定理.

活动2观察特例→发现新知

相传2500年前, 古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上, 其他的宾客都在尽情欢乐, 只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来.原来, 朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的, 黑白相间, 非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子特别奇怪, 就想过去问他, 谁知, 毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子, 站起来, 大笑着跑回家去了.原来, 他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系.

问题2:同学们, 我们也来观察如图2的地面, 看看能发现些什么?你们能找出图3中正方形A、B、C面积之间的关系吗? (每个小方格的面积均为1)

问题3:图3中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

填一填 (图4中每个小方格代表一个单位面积)

(1) 正方形A中含有_____个小方格, 即A的面积是_____个单位面积;

(2) 正方形B的面积是_____个单位面积;

(3) 正方形C的面积是_____个单位面积.

问题4:图3与图4你能得到什么猜想?

【教师关注】 (1) 鼓励学生大胆说出自己的看法; (2) 学生计算正方形C的面积的方法.

【设计意图】通过历史情境引入, 学生感受到在生活中, 看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的科学内涵, 激发学生的求知欲.

活动3深入探究→交流归纳

问题5:等腰直角三角形是特殊的直角三角形, 一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢?

填表 (图5、图6中每个小方格代表一个单位面积) :

预案:正方形R的面积的求法是这节课的难点, 这时可让学生先独立分析, 再通过小组交流, 最后由小组代表到台前展示.学生可能提出割 (图7) 、补 (图8) 、平移 (图9) 、旋转 (图10) 等方法, 旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况, 没有一般性, 若有学生提出, 应提醒学生.

问题5:肯定学生的研究成果, 从以上方法中你能得到什么启发?

(学生思考, 相互交流.教师归纳:把图形进行“割”和“补”, 即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形.)

问题6:在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上, 类比迁移, 你们能得到什么结论? (直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.)

如果用a、b、c分别表示Rt△ABC中的两条直角边和斜边, 那么上述结论又该如何表示? (a2+b2=c2)

【教师关注】 (1) 学生是否有充分的时间思考和交流以上问题; (2) 鼓励学生大胆说出自己的看法; (3) 学生计算正方形R的面积的方法.

【设计意图】渗透从特殊到一般的数学思想, 为学生提供参与数学活动的时间和空间, 发挥学生的主体作用;培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力, 使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.

活动4拼图验证→加深理解

问题7:前面我们在探索“勾股定理”的结论时, 用到的是猜想, 属“合情推理”.但有时猜想并不一定正确, 因此我们自然而然想到了“逻辑推理”, 即证明.由边的平方你们想到知识点?

(学生思考、相互补充:正方形面积公式、完全平方公式、用面积的方法推导完全平方公式.)

问题8:面积法证明的实质是什么?

(学生思考、教师适时点拨:同一面积用两种不同的方法计算, 结果相等.)

问题9:要找出a、b、c三边的关系, 显然要使a、b、c都参与到面积的计算中去, 我们动手拼一拼如何?

考虑到本环节对学生来说有一定的难度, 为保证在规定时间内完成教学任务, 教师应当及时引导学生操作:以小组为单位, 用四块相同的直角三角板 (或者四块相同的直角三角形纸片) 拼一个大的正方形, 其中间空出一个小的正方形.然后通过它们面积之间的关系来验证上面探究出的等量关系.

预案:1.当小组合作差不多时, 在屏幕上展示拼凑方法有两种:

请上台的同学为下面的同学解释图形的特点及如何证明.

2.对于a2+b2, 我们容易联想到完全平方公式:若在等式两边同时减2ab, 得a2-2ab+b2=c2-2ab, 即 (a-b) 2=c2-2ab, 可理解为边长是a-b的正方形的面积等于边长是c的正方形的面积减去四个三角形的面积, 得到一种拼图的方法—————弦图 (图10) .利用弦图我们可以证明勾股定理:如图10, 是由4个全等的直角三角形拼成的一个组合图形, 外层正方形的边长为c, 内层正方形边长为a-b, 则外层正方形的面积=4×直角三角形面积+内层正方形面积, 即c2=4×21ab+ (a-b) 2, 所以a2+b2=c2.

3.对于a2+b2, 我们也想到完全平方公式:若在等式两边同时加2ab, 得a2+2ab+b2=c2+2ab, 即 (a+b) 2=c2+2ab.

我们所拼的图形是图11, 与他们不同在于大正方形的边长为 (a+b) , 小正方形的边长为c, 则, 所以a2+b2=c2.

(多媒体展示) 定理:直角三角形两条直角边的平方和, 等于斜边的平方.

如果直角三角形的两条直角边长用a、b表示, 斜边用c表示, 那么勾股定理可表示为a2+b2=c2.

【教师关注】 (1) 学生对拼图活动是否感兴趣; (2) 对不同层次的学生有针对性地给予帮助、指导; (3) 学生在拼图中的思维、学习方法的运用; (4) 学生能否体会以“数”构“形”、以“形”解“数”的思想.

【设计意图】 (1) 对于八年级学生来说, 让他们完全靠自己的能力去寻找证明勾股定理的方法是很难的.因此, 教师要准备一定的方法一步步的引导, 指出用四个直角三角形, 以及利用面积的方法可以证明猜想.然后让学生通过操作, 开展探索活动, 这样的过程显得自然很多, 学生的积极性会得到提高.

(2) 通过教师的启发诱导, 从猜想到拼图操作, 最后再通过计算验证猜想, 学生经历了一次完整的探究活动, 这个活动是在其原有的知识结构上展开的, 对培养学生的探究能力有很大的帮助.

活动5史话勾股→提升情商

1.“勾、股、弦”的含义

图10实际上是三国时期东吴人赵爽在给《周髀算经》作注释时给出的“弦图”, 它表现了我国古代数学家的钻研精神和聪明才智, 它是我国古代数学的骄傲, 正因为如此, 2002年在北京召开的国际数学家大会把它定为中心会徽, 它标志着我国古代数学的辉煌成就.在中国古代, 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”, 下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”, 较长的直角边称为“股”, 斜边称为“弦”.因此称上述定理为勾股定理.

2.古今中外对勾股定理的研究

在中国, 相传4000多年前大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.在3000年以前, 中国人已经知道用边长为3、4、5的直角三角形来进行测量, 这个定理的叙述最早见于《周髀算经》.书中一段商高答周公问中有“勾广三, 股修四, 经隅五”的话, 意即直角三角形的两条直角边是3和4, 则斜边是5.故又有称之为商高定理.在法国和比利时, 勾股定理又叫“驴桥定理”.还有的国家称勾股定理为“平方定理”.在陈子后一二百年, 希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理, 因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”.为了庆祝这一定理的发现, 毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵, 因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

勾股定理的证明在数学史上屡创奇迹, 从毕达哥拉斯到现在, 吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究, 甚至政界要人———美国第20任总统加菲尔德, 也加入到对它的探索证明中.据说至今已经找到的证明方法有四百多种, 且每年还会有所增加.

【教师关注】 (1) 学生能否用语言准确地表述勾股定理; (2) 学生是否在倾听老师的介绍; (3) 学生对勾股定理文化背景的感受.

【设计意图】让学生体会勾股定理的丰富内涵与文化背景, 对学生进行爱国主义教育, 增强学生的民族自豪感.

活动6应用新知→巩固所学

1.人人都是“小老师”

(1) 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4, 下列说法中, 错误的是 () .

(A) 斜边为5 (B) 三角形的周长为12

(C) 斜边为25 (D) 三角形的面积为6

(2) 图13、14中的三角形都是直角三角形, 其余是正方形, 求下列图中字母所表示的正方形的面积.

(3) (教科书P53练习第1题) 在△ABC中, ∠C=90°, AB=c, BC=a, AC=b.

(1) a=6, b=8, 求c; (2) a=8, c=17, 求b.

以同桌的两名同学为小组, 在学生各自完成例题解答后, 小组间相互交换批改, 并且讨论遇到的问题.如有学习困难的同学, 小组成员负责帮助指导.

2.试试看, 我能行!

如图15是一个外轮廓为长方形形的机器零件平面示意图, 根据图中的尺寸 (单位:mm) , 计算两圆孔中心A和B的距离.

【教师关注】 (1) 学生能否利用勾股定理计算直角三角形的边长; (2) 学生是否感受到生活中数学的应用.

【设计意图】补充课堂练习, 让学生对本节课的知识进行最基本的运用, 为下节课勾股定理的应用做好铺垫.

活动7总结反思→整体感知

问题10:本节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?

问题11:你还有什么困惑?

(学生谈体会, 教师梳理、概括本节课学习的主要知识和数学思想方法, 并就学生的困惑进行解答.)

【教师关注】 (1) 不同层次的学生对本节课的理解程度; (2) 学生是否能从不同方面谈感受; (3) 学生还有哪些问题不太清楚.

【设计意图】通过小结与反思, 使学生对本节课内容有一个整体的认识和理解, 对核心思想方法有了更深的体会.同时培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.

活动8布置作业→巩固创新

1.必做题:教科书P56习题19.1第1、2题.

2.选做题:通过上网、查看书籍, 了解勾股定理的文化背景和收集有关勾股定理的证明方法, 下节课展示交流.

【教师关注】 (1) 学生对新旧知识的建构能力; (2) 对数学方法的总结以及对数学文化、数学图形美的感受.

【设计意图】通过布置课外作业, 给学生留有继续学习的空间和兴趣, 提高学生的实践能力与创新意识, 让每个同学都能获得良好的数学教育, 不同的学生在数学上得到不同的发展.

教学设计说明

荷兰数学教育家赖登塔尔认为, 学习数学唯一正确的方法是实现再创造, 也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来, 教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作, 而不是把现成的知识灌输给学生.本节课正是基于这样的理念, 根据教材的特点, 采用了“学生主体性学习”的教学模式, 并结合多媒体教学手段实施教学, 多媒体课件给学生提供了丰富的情境.以创设情境开始, 提出问题让学生思考, 设计问题让学生操作, 错误原因让学生讲解, 数学规律让学生归纳.在整个教学中, 教师的作用在于组织、点拨、引导, 促进学生主动探索, 积极动脑, 大胆想象, 总结规律, 充分发挥学生的主导作用, 让学生真正成为学习的主人.

本节课根据学生的认知结构采用“观察———猜想———归纳———验证———应用”的教学方法, 这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程, 让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想.探索定理则采用了面积法, 引导学生实验由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的研究, 得出结论.这种方法是认识事物规律的重要方法之一, 通过教学让学生初步掌握这种方法, 对于学生良好思维品质的形成有重要作用, 对学生的终身发展也有一定的作用.

除了探究出勾股定理的内容以外, 本节课还适时地向学生展现勾股定理的历史, 特别是通过介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就, 激发学生爱国热情, 培养学生的民族自豪感和探索创新的精神.

摘要：本文详细地展现了笔者对“勾股定理” (第一课时) 的教学思考, 将教学理论和实践相结合, 呈现出一个完整的教学过程.将整个教学过程分解为创设情境→激发兴趣、观察特例→发现新知、深入探究→交流归纳、拼图验证→加深理解、史话勾股→提升情商、应用新知→巩固所学、总结反思→整体感知、布置作业→巩固创新这六个环节, 旨在引导学生进行创造性自主的学习.

关键词：活动,问题,能力发展

参考文献

[1]张孝达, 吴之季, 义务教育数学课程标准实验教科书·数学 (八年级上册) [M].上海, 上海科学技术出版社, 2011 (修订) .

勾股定理与数学思想的联用 第4篇

一､方程思想

例1 如图1,把长方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边上的点F处.折痕为AE.若AB=12 cm,BC=13 cm,则EC= cm.

解析:根据折纸的特点知,AF=AD=13 cm.

设EC=x cm,则EF=DE=(12-x) cm.

在Rt△ABF中,

BF===5(cm).FC=BC-BF=13-5=8(cm).

在Rt△ECF中,由勾股定理得EF2=EC2+FC2.

故 (12-x)2=x2+82.解得x=.所以EC= cm.

点评:在只知道直角三角形一边长时,可先设出一边长,然后再根据题设条件用未知数表示出另一边长,最后利用勾股定理建立方程求解.折叠问题中有不少相等的线段和角,解题时要充分利用这些条件.

二､分类讨论思想

例2在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC的长.

解析:三角形中某边上的高既可在三角形内部,也可在三角形外部,故此题应分两种情况来考虑.

当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图2,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以BD=9.

CD2=AC2-AD2=202-122=256,所以CD=16.

则BC=BD+CD=25.

当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图3,同样由勾股定理可求得CD=16,BD=9,此时,BC=CD-BD=16-9=7.

故BC的长为25或7.

点评:涉及高的问题,通常需要考虑三角形的各种可能情况:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.

三､转换思想

例3 如图4,圆柱形玻璃容器高18 cm,底面周长为60 cm.在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蜘蛛,与蜘蛛正对的容器外侧距开口处1 cm的点B处有一只苍蝇.蜘蛛要想捉到苍蝇,至少要爬多远?

解析:如图5,将圆柱侧面展开得到矩形MNQP,过点B作BC⊥MN于点C,连接AB,则线段AB的长度即为蜘蛛要爬的最短路程.

在Rt△ABC中,AC = MN-AN-CM =18-1-1= 16(cm).BC是底面的圆周周长的一半,即BC = 30 cm.

由勾股定理,得

AB2 =AC2+BC2=162+302=1 156,AB= 34 cm.

故蜘蛛至少要爬34 cm才能捉到苍蝇.

点评:本题是求圆柱侧面上两点间最短路线的问题,解题的关键是将曲线变为直线,构造直角三角形,为运用勾股定理创造条件.在长方体表面上也有类似的问题.

四､整体思想

例4 如图6,D是Rt△ABC斜边AB上的一点.DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E､F,且DE=DF.若AD=3,DB=4,则S△ADE+S△BDF= .

解析:要求S△ADE与S△BDF的和,由于只知道AD和DB的长,按照常规的方法,运用面积公式求面积条件不足,于是考虑从整体上求解.

设BF=m,AE=n,DE=DF=FC=EC=a.由勾股定理,得

n2+a2=32,①

m2+a2=42, ②

(n+a)2+(m+a)2=(3+4)2.③

由③得n2+2na+a2+m2+2ma+a2=49.将①､②代入有2na+2ma=24.na+ma=12.故S△ADE+S△BDF=(na+ma)=6.

点评:考虑整体思想的应用,所求问题即可明朗.事实上,本题并不需要分别求出m､n､a,而且由①､②､③求出m､n､a也很不容易.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

高等数学的概念与定理的教学 第5篇

一、利用几何图形来解释数学概念

利用几何图形来帮助学生理解和记忆概念,可使数形结合,对发展学生的想象能力很有帮助。在此过程中,把数学的各个分科有机地联系起来,对开拓思维,灵活运用也起着重要作用,同时也使学生明确各科之间的辩证关系。比如:极限概念是高等数学中最基本的概念,也是最抽象的概念。如果教师只是定量地讲解,学生很难掌握与理解。倘若教师结合函数图像做定性分析与研究,让学生结合函数图像来了解当x→∞或当x→a时,函数是如何变化的,即函数的极限是什么,那么,学生就非常容易地理解极限的概念了。定积分的概念是高等数学中最长的概念,如果开始就讲这个概念,学生就会如入雾里,不明白“做乘积、求和、再求极限”到底是怎么回事。教师结合教材,利用函数的几何图形,从几何意义先来分析“乘积”是什么,为什么“求和”,求什么样的自变量变化趋势下的“极限”,学生就一目了然,接着再讲定积分的概念,也就容易理解与掌握了。

二、利用具体事例来讲解概念

讲课时从具体的事例讲起,引出概念,可使学生迅速理解所学知识,并且可以激发学生学习的兴趣。如“导数就是函数的变化率”这一概念太数学化了,教师在引入导数的概念时,可以先从分析物体运动的平均速度的求法、即时速度的求法开始讲解,学生就容易接受了。讲解微分概念时,先从求面积增量这一大家都很熟悉的概念讲起,自然引出线性主部的概念,进而来定义微分。再如,定积分概念从求曲边梯形的面积引出,二重积分从求曲顶柱体的体积引出,三重积分从求曲顶柱体的质量引出等等。这样学生容易理解,又可激发他们的学习兴趣,同时也使学生了解了概念的应用。

三、利用对比来区别概念

对比记忆可以避免记忆的混淆。只有记忆清晰,应用才会有把握。教师在讲授概念时,应该多用对比方法,区分比较概念。高等数学中的相似或相近的概念很多,如导数与微分、偏导数与全导数、内积与外积、第一类曲线积分与第二类曲线积分、第一类曲面积分与第二类曲面积分,梯度、散度与旋度等等。教师通过对比讲解,使学生分清它们的区别与联系,这样就便于学生理解与记忆。

四、利用反例来讲解定理、公式与性质

高等数学中的公式、定理和法则的条件非常重要,学生在学习中,如果只记结论,忽略条件,往往就会出错误。教师在讲解这些公式、定理时,就应从学生记忆理解的角度,考虑到这些。在讲授过程中,既要从正面证明这些命题,又要充分利用反例来加以强调。这样既可以增强学生的记忆力,又培养了学生的逆向思维,锻炼了学生的推理论证能力。如“有限个无穷小量的和仍是无穷小量”是一个真命题,它是无穷小量的一条性质。教师在讲这条性质时,应该举反例来强调命题中的“有限”二字是不可缺少的,也就是说“无穷多个无穷小量的和是无穷小量”是一个假命题。又如,连续、可导与可微三个概念是高等数学中的基本概念,三者之间的相互关系,两两之间有差别,一元函数与多元函数也不一样,关系很复杂。一般教材有如下结论:(一元函数)可导函数必连续,可导与可微等价;(多元函数)可微函数必连续;可微函数必可导。在讲授时要通过反例,阐明上述结论的逆命题未必成立。即(一元函数)连续函数未必可导,(多元函数)可导函数未必连续,连续函数未必可微,可导函数未必可微即可导与可微不等价。通过反例教学,非常简洁明了地把概念的关系弄清楚了,教学效果很好。

五、利用发展和联系的观点来串联公式与法则

教师在讲完一个单元或者一章甚至一本书后,要用发展和联系的观点把所学内容的知识尤其公式法则串联一下,这样可以减轻学生的记忆压力,缩短学生的理解记忆过程,也可培养学生的辩证唯物主义观点。也只有这样,书才会越念越薄,越读越精。导数的运算,就有四则运算法则、复合函数的运算法则、隐函数的运算法则等16个基本公式,微分运算也有与之相对应的法则和16个基本公式。学生如果死记这些公式和法则,就比较困难。教师在讲解时,既要把两个概念的区别讲清楚,又要把二者的联系交代明白。尤其应该帮助学生分清运算法则与公式上的区别和联系,使学生明白二者的公式与法则可以互推。于是,两方面的公式和法则,就可以合成一方面来记忆,减轻了学生的负担。再如,求不定积分的运算,基本公式有近二十个,这也给学生记忆带来了很大的困难。教师在讲授时,要让学生知道不定积分运算与微分运算是互逆的运算,由于有了求微分运算这个基础,所以对不定积分运算的公式的记忆也就容易了。这样,既让学生从心理上减轻了畏难的情绪,又减轻了学生学习的负担。

六、利用综合性的练习题加深对所学知识的理解

综合性的练习题带有总结性质,它能把所学知识连贯起来。教师在每个单元讲完后,应该多讲一些综合性练习题,让知识融会贯通起来。如在讲完函数单调性、凹凸性、极值的判定与求法后,可以举一些研究函数性态的综合性例题;在讲完零点定理、罗尔定理及单调性后,可以讲些研究方程唯一根的综合性题目。这样既可以把前后内容贯穿起来,又能便于学生掌握、应用所学知识。

摘要：本文就高等数学的概念与定理如何进行教学才能有利于学生理解与掌握,谈谈体会与做法。