解析法证明平面几何经典问题--举例

解析法证明平面几何经典问题--举例（精选6篇）

解析法证明平面几何经典问题--举例 第1篇

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2(y-a)2r2,设直线AB的方程为：ymx,直线AD的方程为：ynx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x(y-a)r,消去y得：（1m2)x2-2amxa2-r2{ymx2ama2-r

2由韦达定理知：x1x22;x1x22,m1m12ana2-r2

同理得：x3x42;x3x42, n1n1直线CD方程为：y-y2y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q点横坐标：xQ

同理得P点横坐标：xPx1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明APAQ，只需证明：xQ-xP3223-1441, y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（y4-y1）（-x1y4-x4y1）（y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1x2)y1y2(x3x4)x1y2y4x2y1y3x3y2y4x4y1y3

注意到：y1mx1,y2mx2;y3nx3,y4nx4，代入整理得：

左边m2x1x2(x3x4)n2x3x4(x1x2),右边mn[x1x2(x3x4)x3x4(x1x2)] 把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(mn)2a-r左边m22n22 22m1n1n1m1(m1)(n1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(mn)右边mn(2)m1n21n21m21(m21)(n21)

可见：左边=右边，故xQ-xP，即APAQ.证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】 标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC= r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(arcosθ,rsinθ)、D(-arcos,rsin), 从而得N(cosθcossinθsin,)22

易得：kBCtan,kADtan【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN

sinθsintan;cosθcos2

解析法证明平面几何经典问题--举例 第2篇

§5.6几何证明举例（2）

课程标准：掌握等腰三角形的性质和判定定理，了解等边三角形的概念并探索其性质。学习目标：

1.学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。

2.熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。

3.掌握等边三角形的性质，并会运用判定等边三角形。

学习重点难点：

等腰三角形的性质定理和判定定理。

我的目标以及突破重难点的设想：

学前准备：

学情分析：

学案使用说明以及学法指导：

预习案

一、教材助读

1、等腰三角形的性质是什么？判定是什么？

2、等边三角形的性质和判定是什么？

探究案

探究一：等腰三角形的性质

（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

（2）在右图等腰△ABC中，AB=AC.AD为BC边上的高

∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系？

你能得出什么结论？试着总结一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？

（4）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？

课型：新授执笔：马海丽审核： 滕广福韩增美

（5）求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形

已知：

求证：

点拨：注意条件中为什么是两个“角”，不是两个“底角”。

三、精讲点拨：

1、等腰三角形的性质：

性质1：

性质2：

2、数学语言叙述：

性质1：性质2：

∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B= ∠C① AD平分∠BAC

（等边对等角）

(①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项)

（三线合一）

3、总结等边三角形的性质以及判定（学生小组讨论，写出他们的证明过程）

四、应用新知

例

2、已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。

求证：AD=AF。

点拨：以后证明线段相等或角相等时，除利用三角形全等外，还可以利用等腰三角形的性质和判定。

五、课堂小结：

训练案

课本180页 练习1,2题

运用解析法证明平面几何问题浅析 第3篇

采用解析法证明平面几何命题, 首先要解决下面几个问题。一是根据原题设条件, 作出图形。二是根据图形建立适当的坐标系, 建立坐标系的一般原则是: (1) 使图形的一个顶点在原点, 一边与x轴或y轴重合; (2) 若图形中含有两条互相垂直的线段, 则应选此二线段所在直线为坐标轴; (3) 若图形是轴对称的, 则应选对称轴为坐标轴; (4) 若图形是中心对称的, 则应选对称中心为原点。三是选定坐标系后还要确定图形中已知点的坐标, 确定这些点的坐标要符合题中所给的已知条件。四是熟练掌握并善于灵活使用平面直角坐标系中的有关公式和方程。常用的有:两点间的距离公式、点到直线的距离公式、定比分点公式、斜率公式、三点共线和三线共点的充要条件、直线方程的几种形式、夹角公式等等。

下面举例, 以示说明。

例1:已知CEDF是已知圆的一个内接矩形。过D作该圆的切线与CE的延长线交于A, 与CF的延长线交于B。求证:。

用解析法证明它的关键是求出E点的横坐标, F点的纵坐标, 即要求出D点的坐标。

证明:因为CEDF为已知圆的内接矩形, 所以分别以CE、CF所在直线为x轴和Y轴来建立平面直角坐标系。见图1。

例2:证明三角形的三条高线交于一点。

若采用平面几何方法来论证三线共点问题是很困难的, 而采用解析法则较简单。

证明:以三角形的一个顶点为原点, 其中一边为x轴建立平面直角坐标系。见图2。

例4:已知△ABC中:∠ACB=90°, BC=2AC, CD=DB, AE=EF=FD, CE的延长线交AB于M。求证:CM⊥AB。

证明:以C为坐标原点, 两直角边AC、BC为坐标轴建立平面直角坐标系。见图4。

摘要：通过多年的教学工作实践, 简要探讨了采用解析法证明平面几何命题的基本步骤和解题步骤中的要点及应注意的问题;建立好适当的平面直角坐标系是解决此类问题的关键所在。

5.6几何的证明举例 第4篇

（二）诸冯学校 备课组

学习目标：

1、进一步学习几何证明的思路和步骤；

2、牢固掌握等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，并

能够熟练地应用它们进行相关的证明与计算。

重点：等腰三角形的性质及判定

难点：等腰三角形的性质地应用。

学习过程：

一、温故知新：等腰三角形的对称轴是，由轴对称的性质，你认为等腰三角形两个底角大小有什么关系？

二、创设情境：你会用所学的知识证明你的结论吗？自主学习课本P177——179内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流.通过学习等腰三角形的性质，请思考以下问题：

1、等腰三角形的顶角是45゜，则底角是（）。

2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是（）。

三、挑战自我：自学课本180页挑战自我，小组讨论，展示。

四、巩固提升：

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

（A）60°（B）120°（C）60°或150°（D）60°或120

2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

（A）12或9（B）12（C）9（D）7

3.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

（A）44°（B）68°（C）46°（D）22°

4、如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中等腰三角形共有个.（第4题）

四、课堂小结：同学们本节课的学习，你收获吗？

五、达标检测

1、如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，则下列结论正确的是（）

（A）△ABC≌△AED（B）△AED是等边三角形（C）∠EAB＝60°（D）AD＞DE2、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，则下列结论正确的是（）

（A）△CDE是等边三角形（B）DE＝AB（C）点D在线段BE的垂直平分线上（D）点D在AB的垂直平分线上

3、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。

求证：△ADE是等边三角形。

六、布置作业

七、教学反思

C

D（第1题）

解析法证明平面几何经典问题--举例 第5篇

在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析.平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对(a,b)建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系,平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程.例8 证明：三角形的三条高交于一点[3].已知AD, EF, CF分别是ABC的三边上的高, 求证：AD, BE, CF相交于一点.证明 如图4所示, 以BC边为x轴, BC边

上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A,B, C三点的坐标分别为A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

据斜率公式得, KABba, KCA, KBC0,ac

又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为

AD:x0, BE:cxaybc0, CF:bxaybc0.这三个方程显然有公共解, x0, y

交与一点.bc, 从而证明了三角形的三条高相a

例9 一个面积为32cm2的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为16cm试确定另一个对角线的所有可能的长度[3].解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 A(a,0), B(b,b), C(c,0), D(0,d).根据已知条件有

11SABCDca）d(ca)b32, 2

2|AB|

|CD||AC|

(ac)16.即有

（(db)64(1)ca）2222(2)(ab)bcd16(ac)

2(3)根据图5可知

bd由(1),(2),(3)得(ac)[16(ac)]64,即[(ca)8]0, 所以ca8.且上述不等式只能取等号, 于是得

bd8, c0, ab0.由此可知, a8,b8.所以, 另一条对角线BD的长度为2Y X

图5 |BD

|

cm).从上述两题的解题过程不难看出, 其解

法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系,以次来实现几

何问题代数化.解析法证明初等几何问题一般步骤[4]：

(1)恰当地选择坐标系, 使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式.(2)根据题目要求, 求出有关点的坐标、直线或圆的方程.(3)从已知条件出发, 以求证的结论为目标, 通过运算、推理出要证的结果.在运用解析法证明初等几何问题时, 必须熟练掌握并善于使用在直角坐标下的有关公式, 定理和方程.如两点间的距离公式、定比分点公式, 直线的斜率公式, 两直线夹角公式, 两直线平行、垂直的充要条件, 直线和圆的各种类型的方程, 圆的切线方程等.以下分类型加以阐述：

2.1 等线段与等角的问题

证明线段的相等或不等, 线段的和差倍分及定值问题, 常用的方法是选定坐标后,再利用两点距离公式, 点到直线的距离等知识来进行运算.例10 如图6, 以RtABC的一条直角边

作直径作圆O, 此圆与斜边AC交于D,过D引圆O的切线交BC于E.求证：BE=CE[4].分析 以B为坐标原点, BA所在直线为

图6 X轴, 建立直角坐标系, 设A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 则圆O和直线AC的方程可

求, 由AC交圆O可求得出D点的坐标, 再由BE=ED, 可求得E为BC的中点.利用直线斜率公式, 两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式, 可证明一些与角的度量有关的题目.处理的方法一般较简单, 只需在选定坐标系以后, 求出有关点的坐标或方程, 进行一些斜率和角度的计算即可

.例11 如图7, 在ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求证∠ABC=2∠ACB[4].简证 以BC, DA所在直线为坐标, 建立直角坐标系, 设A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 则AB=a2b2由CD=AB+BD得出C点坐标(ba2b2,0)

故tan∠ABC=kABa b2a

aba2b2tan2∠ACB==, ab1()ba2b

2又∠ABC及∠ACB均为锐角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三点共线与三线共点和共点圆的问题

证三点共线, 常用的方法有：(ⅰ)先建立过两点的直线方程, 再验证第三点也适合这个方程;(ⅱ)若能证得kABkBC, 则A, B, C三点共线;(ⅲ)点Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共线的充要条件为

x

1x2

x3y1y20.y3证明三线共点, 常用的方法有：ⅰ)利用定比分点公式, 分别求出三条线上某分点坐标, 若求得相同, 因直角坐标平面上的点和坐标一一对应, 故三线共点;ⅱ)三条互不平行直线li:AixBiyCi0(i1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3则l1, l2, l3相交于一点.解析法证诸点共圆, 可先求出有关各点坐标, 再利用两点间距离公式证这点

到某一定点的距离相等;也可先建立过三点的圆的方程, 再证其余点适合圆的方程.例12 如图8, 正方形ABCD的边长等于a, 在边BC上取线段BE=a3在边DC的延长线上取CF等于a2, 试证：直线AE和BF的交点M与A、B、C、D共圆.分析 以AD, AB为坐标轴, 引进直角坐标系,因A、B、C、D各点坐标为已知, 故可求出E, F两X

解析法证明平面几何经典问题--举例 第6篇

一、有关过定点问题

例1过圆外一点P( a,b) ,引圆x2+ y2= r2的两条切线,求经过两个切点的直线方程.

解设两个切点分别为P1( x1,y1) ,P2( x2,y2) ,则切线方程为: ax1+ by1= r2,lpp2: ax2+ by1= r2. 可见,P1( x1,y1) ,P2( x2,y2) 都满足ax + by = r2,由直线方程的定义得: ax +by = r2,即为经过两个切点的直线方程.

二、有关线段定长问题

例2定长为3的线段AB两端点A,B分别在x轴,y轴上滑动,M在线段AB上,且AM = 2MB.

( 1) 求点M的轨迹C的方程;

( 2) 设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A,B两点,问: 线段OF上是否存在一点D,使得以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形? 作出判断并证明.

解答 ( 1) 设A( x1,0) ,B( 0,y1) ,M( x,y) ,

∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形,

∴存在满足条件的点D.

三、有关斜率定值问题

例3椭圆方程:1,点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点,问x轴上是否存在两定点A,B,则QA,QB的斜率之积为定值? 若存在,求出定值,求出所有符合A,B的坐标. 若不存在,说明理由

总结