2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学)

2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学)（精选5篇）

2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学) 第1篇

交际英语考点归纳

约会表达用语小结

清清楚楚地表达所要约会的时间和地点，明明白白地进行预定的活动。[典型表达] Are you / will you be free this afternoon? 你今天下午有空吗？ How about tomorrow morning?

明天上午怎么样？

Shall we meet at the school gate？我们在校门口见面好吗？

Yes, I’ll be free then.好，那时我有空。

No, I won’t be free then.But I’ll be free tomorrow.不行，那时我没空儿。但是我明天有空。

All right.See you then.好，那时见。

How about going for a drink together? 一起去喝一杯怎么样？ What time shall we go? 我们什么时间去？

[案例探究] —When shall we meet, at 6:00 or at 6:30? —________.A.At any time B.You make the time

C.Well, either time will do D.Any time is OK

答案与解析: C。此题题干中的信息词是at 6:00 or at 6:30, 表示两个时间概念。答语中的any不合适，因为any指三者或三者以上中的任何一个。

[巩固练习] 1.—Hello, may I have an appointment with the doctor?

—_________

A.Sorry.He is busy at the moment.B.Why didn’t you call earlier?

C.Certainly.May I know your name? D.Sorry.He doesn’t want to see you.2.—I’ll meet you outside the cinema in an hour, OK? —___________.A.No, 2 hours earlier B.Yes, that’s a good idea C.OK, but I can manage D.No, I don’t think so 3.—____________?

—OK.Let’s meet at the usual place.A.Would seven thirty be all right for you B.Would you like to know where we will meet C.Would you let me know when we all meet D.Would you mind meeting at the usual place Key: 1-3 CBA

赴宴就餐用语小结

英语中关于赴宴就餐及殷勤款待的常用交际用语有多种。[典型表达] Would you like to have supper with me? 你愿意和我一起吃晚饭吗？

That would be nice.Let’s fix a date.那太好了，咱们定个日子吧。

I’d love to, but my brother is coming.愿意，但是我哥哥要来。

I’d like to invite you to dinner at my flat.我想邀请你到我公寓吃饭。

What would you like to eat / drink? 你想吃（喝）点什么？

What / How about another piece of bread？

再来一块面包怎么样？

Would you like some more beef? 你想再吃点牛肉吗？ Do you want to have some chicken? 你想吃一些鸡肉吗？

I’m full./ I’ve had enough.我饱了。I’d like two eggs and a glass of milk.我想要两个鸡蛋和一杯牛奶。

Yes, please, just a little.好的，只要一点点。Help yourself.请自便。/ 请随便吃。

Make yourself at home.不要客气，请自便。

[案例探究] —Would you like some more soup? —_______.It is delicious, but I’ve had enough.(重庆2006)A.Yes, please B.No, thank you C.Nothing more D.I’d like some 答案与解析: B。从but I’ve had enough可以知道“已经吃好，不想再要”，所以用No, thank you.才得体。

[巩固练习] 1.—Can I help you, sir?

—_______.A.Yes, you can help me B.No, I don’t need any help C.Of course, if you like

D.No, thanks.I’m being served 2.—That was a great dinner._______

—Thanks.But it really took only an hour.A.I have never had it before.B.I enjoyed it very much.C.You must have spent all day cooking.D.Who cooked it? Key: 1-2 DC

安慰表达方法小结

当别人失意、失败、担心、忧虑时，我们应该给以适当的安慰，使之振作、振奋。你可以说：Don’t be afraid.Cheer up./ Come on.You can do it.等。[高考真题] 1.— I’m thinking of the test tomorrow.I’m afraid I can’t pass this time.— __________!I’m sure you’ll make it.（天津2006）A.Go ahead B.Good luck C.No problem D.Cheer up 2.— Oh dear!I’ve just broken a window.— __________.It can’t be helped.（2005全国卷I）A.Never mind B.All right C.That’s fine D.Not at all [答案与解析] 1.D。一方担心不能通过考试，另一方去安慰。答语意为：振作起来，我肯定你能通过。2.A。此处表示安慰，句子意思是：不要紧（Never mind），已经没法了。注意Never mind表示两个意思： 1）Don’t worry.2)It doesn’t matter.[巩固练习] 1.— I’m dead tired.I can’t walk any farther, Jenny.— __________, Tommy.You can do it.（江西2006）A.No problem B.No hurry C.Come on D.That’s OK

2.— I’m sorry I broke your mirror.— Oh, really? __________.A.It’s OK with me B.It doesn’t matter C.Don’t care D.I don’t care

3.— I’m afraid I can’t finish the work by tomorrow.— __________

A.That’s right.B.Does that surprise you? C.Don’t worry.D.Really? Key：1-3 CBC

同意与反对表达方法小结

英语中，当对方提出某种观点、意见或请求时，你要表示恰当而具体的态度。究竟是同意 还是不同意，要有个明确的答复。[高考真题] 1.— Do you think I could borrow your bicycle?

— __________(浙江2005)A.How come? B.Take your time.C.Yes, go on.D.Yes, help yourself.2.— Do you mind my smoking here?

— __________!（四川2006）A.No, thanks B.No.Good idea C.Yes, please D.Yes.Better not [答案与解析] 1.D。问句为：我能够借用你的自行车吗？ 答语表示同意：好的，请随便吧（Yes, help yourself.）。另外表示同意的用语还有Certainly / Exactly / Sure / Of course./ I agree./ No problem./ That’s exactly what I was thinking.等。

2.D。此处表示委婉的不同意。意思是：你最好不要抽(You’d better not smoke.)。另外表示不同意的用语有：No, I don’t think so./ I’m afraid not./ I don’t agree with you.等。

[巩固练习] 1.— Let’s go swimming, shall we?

— __________.（上海2001）A.It’s my pleasure B.It doesn’t matter C.Yes, let’s go D.I agree with you 2.— People should stop using their cars and start using public transport.— __________.The roads are too crowded as it is.(浙江2005)A.All right B.Exactly C.Go ahead D.Fine

3.— The singers all act strangely.They are shouting instead of singing.— __________.A.That’s great B.I’m afraid not C.I don’t think so D.It’s terrible Key：1-3 CBC

表扬与鼓励表达方法小结

在西方，人们总会适时地给对方以表扬和鼓励。人们对于别人的赞扬一般会表示高兴，并且“Thank you!”不离口。[高考真题] 1.—What a beautiful picture you’ve drawn!

—__________.(四川2006)

A.Not at all B.Thank you C.You are great D.I’m proud of you 2.—Do you think our basketballers played very well yesterday? —__________.（上海2001）A.They are not nervous at all B.They were still young

C.They played naturally D.They couldn’t have done better [答案与解析] 1.B。本题考查接受表扬的交际用语。对于别人的夸奖，要说声Thank you!另外，接受别人表扬的答语还有： I’m glad you like it.2.D。此处They couldn’t have done better是一句赞扬的话。说明他们已经尽了最大努力，不会打得比这再好了。这是最好的。另外，赞扬和表扬别人的用语还有：Very good!Well done!Wonderful!Excellent!You speak English very well.Your dress is very beautiful!

[巩固练习] 1.—That was a great dinner.You must have spent all day cooking.—__________.But it really took only an hour.A.You are right B.That’s all right C.Thanks D.No, of course not

2.—I think you look very nice in the red jacket.—__________.A.Oh, no, I don’t look nice at all B.I’m glad you think so C.I don’t like red color but my mom made me wear it D.You are very kind

3.—Your tie goes very well with your shirt.—__________ A.Oh, it is on sale.B.I bought it at a half price.C.Does it really look OK? D.No, not so nice.Key: 1-3 CBC

问路表达方法小结

谁都有迷路的时候，谁都有找不到目的地而犯愁的时候。只要你会使用恰当的问路表达方式，前途肯定会是光明的。[典型表达] Excuse me.Where is the Pacific Hotel? 对不起，请问太平洋宾馆在哪儿？

Go down this street until you see the tall building.沿着这条路走，直到你看到那个高楼。

Does this road lead to the Agriculture Bank of China? 这条马路到/通向中国农业银行吗？ No.Turn right at the first crossing.不，在第一个十字路口向右拐。

Excuse me.Which is the way to the No.1 Middle School? 打扰一下，请问哪条路到一中？

You can take No.503 bus.你可以乘503路公交车。Excuse me.Could you tell me the way to the airport? 打扰了。你能告诉我去飞机场的路吗？

It’s over there.It’s in that direction.在那儿，就在那个方向。Can you tell me how to get to the People’s Park? 你能告诉我怎么去人民公园吗？

Sorry, I don’t know.I’m a stranger here.对不起，我不知道。我也是刚来这儿。

[案例探究] —Excuse me, can you tell me where the nearest bank is, please? —______ Oh yes!It’s past the office, next to a big market.(全国2006 I)A.Mm, let me think.B.Oh, I beg your pardon? C.You’re welcome.D.What do you mean? 答案与解析: A。本题考查问路情景中的口语交际用语。此题题干中的信息词是Oh yes!表明说话者有一个思考的过程。意思是“哦，让我想想。”

[巩固练习] 1.—_________ —It’s only about ten minutes’ walk.A.Hello, can you tell me the way to the station? B.Turn left at the traffic lights.C.Shall I take a bus? D.Is it far from here?

2.—Excuse me, can you tell me how to get to the airport?

—_________.A.Certainly, you can take No.3 bus B.No, I don’t know how

C.Yes, you could go by bus D.Along this road

3.—Excuse me, could you tell me if there is a hospital near here? —_________

A.Why not? B.No, I couldn’t.C.Sorry, I’m a stranger here myself.D.My pleasure.Key: 1-3 DAC

介绍表达方法小结

学会用得体的英语去巧妙地介绍自己和别人，能够使气氛融洽，使大家交流轻松愉快。[典型表达] May I introduce you to my friend Hang Kai? 我可以把你介绍给我的朋友杭凯吗？

Please allow me to introduce you to my classmates.请允许我把你介绍给我的同学。

I’ d like you to meet my friend, Maria.我想请你见一见我的朋友玛利娅。

May I introduce myself? I’m Jim Green.我做一下自我介绍好吗？我是杰姆•格林。How do you do? My name is Cui Hengbiao.你好，我是崔恒标。

I’m Kate.Happy to know you.我是凯特，很高兴认识你。I’d like you to meet Jim.He’s a friend of mine.我想请你见一下吉姆，他是我的一个朋友。

[案例探究] —Hi, I’m your new neighbor.My name is David.—_________ A.Do you live alone? B.Where are you from? C.Hi!It’s good to see you.I’m George.D.Oh, you are my new neighbor.答案与解析: C。本题考查介绍的口语交际用语。对方说出了是新邻居并做了自我介绍，你也要问候并做出自我介绍。

[巩固练习] 1.—Let me introduce myself.I’m Vincent.—__________.A.What a pleasure B.It’s my pleasure C.Pleased to meet you D.I’m very pleased 2.—Kate, this is Susan Jones, my old school friend.—Nice to meet you.—_________.A.Nice to meet you B.Me, too

C.It’s my pleasure to meet you D.Thank you 3.—Peter, this is my classmate Li Hua.—_________ A.How are you? B.How do you like me? C.How do you do? D.Thank you.Key: 1-3 CBC

告别表达方法小结

相见时难别亦难，友情再深终有一别。不要忧伤，不要难过。我们既然要离开，就得学会用地道的英语来委婉地表达我们的离别之意。[典型表达] I’m afraid I must be leaving now.我恐怕得告辞了。

I must be off now.我必须得走了。

It’s time I met my brother.I have to go now.是我去见我哥哥的时候了，我现在得走了。I’m sorry I have to go now.对不起我得走了。I think it’s time for us to leave now.我想现在是我们告辞的时候了。

It was nice meeting you.=Nice to have met you.遇见你真是太好了。

[案例探究] —It’s getting late.I’m afraid I must be going now.—OK._______(全国卷2004)7 A.Take it easy.B.Go slowly.C.Stay longer.D.See you.答案与解析: D。客人道别，主人同意,然后道别.[巩固练习] 1.—I’m afraid I have to say goodbye to you.—_______.A.I’m sorry B.That’s all right C.Never mind

D.I wish you could stay longer

2.—It’s late.I’d like to say goodbye.—_______.A.Please stay more a while B.That’s all right

C.Hope you had a good time.See you tomorrow Key: 1-2 DC

D.I’ll miss you 8

2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学) 第2篇

桂林市第八届示范性普通高中教育教学开放周于2015 年10 月12 日~16 日在荔浦中学举行。本课例由笔者执教, 广西桂林市教育科学研究所李陆桂老师和广西师范大学附属中学刘新来老师做指导。本堂课于2015 年10 月15 日上午进行, 学生来自于荔浦中学高三1303 班, 属于借班教学。教师在前一天学生晚自习时发放了2009 年广东高考语法填空真题, 限定15 分钟完成, 上交后教师对学生试卷做了订正记录。

二、教学分析

任课教师在上课前对授课内容及学生情况作了完整的分析。

(一) 教学内容分析

语法填空的考查是从语法角度对短文进行适当地分散挖空, 形式分为纯空格填空及提示性填空。语法填空考查的目的是考查学生理解语篇的能力、分析句子结构的能力及熟练运用语法的能力 (梁雪妮2010) 。语法填空这一命题形式改变了过去以句子为核心的语法单项选择, 体现了新课改趋势, 强调在语篇中测试学生的英语语言知识和技能。

本课例的两篇语法填空分别选自2009 年和2014 年广东省英语高考卷。考点分布比较全面, 考查了代词3 处, 比较级1 处, 动词的时态语态3处, 并列连词及从句引导词4 处, 介词3 处, 词性转换2 处, 冠词2 处, 非谓语动词2 处。2009 年短文大意是为爸爸挑选圣诞节礼物。因为爸爸不容易被取悦, 所以挑选领带作为礼物显然是不明智的选择。其后, 作者看到有打折出售的烟斗, 兴冲冲地买回家后却被告知爸爸决定戒烟!2014 年短文大意是与哥哥去迈阿密度假, 却发现六个月之前就预订的酒店不在这个星期, 而是下个星期。此时酒店已经满员。这时酒店经理出来致歉并给他们提供了顶楼空余的VIP房, 兄弟俩度过了一个美好的假期。

本课时的教学重点是在对学生作业进行分析的基础上, 发现他们在处理语法填空方面出现的问题, 并且做针对性的训练。同时对学生进行语法填空思路的点拨, 总结处理语法填空的策略。

(二) 学生分析

学生来自于桂林市荔浦中学高三实验班的第二层次, 刚刚进入高三一个半月。根据对借班授课班级教学进度的了解, 该班目前在进行的是高一必修教材的分册复习, 同时每周有高考套题的训练, 还没有进行针对高考题型的分版块复习。学生对语法填空题并不陌生, 但是对此题还没有进行过系统的总结和训练, 因此, 对语法填空考查点设置不是十分清晰, 对做题思路的把握也不到位。

(三) 教学目标

教师根据对教学内容和学生情况的分析, 预设了以下教学目标:

1. 通过课前作业, 发现学生在做语法填空时出现的共性错误, 并在课堂上进行针对性训练。

2. 通过对提供材料的分析和研究, 让学生总结本篇语法填空的考查点, 并大胆推想语篇填空中还会涉及的考查项目, 在教师的帮助下分析考查点的考试形式及应对策略。

3. 在发现、分析、总结的基础上, 提供一篇平行性材料, 限定时间, 巩固训练。

(四) 教学设计思路

1. 发现问题。语法填空旨在考查学生理解语篇的能力、分析句子结构的能力及熟练运用语法的能力。为了让教学更具有针对性, 教师提前发放一份2009 年的广东高考语法填空真题, 并且收上来统计答题情况。

2. 重点应对。根据对学生作业的统计, 教师重点选择学生错误集中的两处语法知识, 精心设计6道相关考点的练习题, 即时训练, 重点讲解, 加深学生对易错语法点的理解和消化。

3. 思路点拨。教师带着学生回到语篇填空的整体做题思路上, 不仅要让学生知道考什么, 还要帮助他们弄清楚如何考。更重要的是, 教师应该指导学生如何做才能得高分, 才能有胜算。语法填空的正确解题步骤是: (1) 通读全文, 理解大意。 (2) 细节填空, 兼顾语法和意义。 (3) 再读检查, 分项纠正错误。有了这些思路的点拨, 让学生掌握了更好的解题思路, 才能帮助他们信心百倍地应付考试。

4. 巩固训练。理论的总结归根结底是为了指导实践, 所以课堂上的即时训练尤为重要。一方面, 可以检测学生对新知识的理解和掌握程度;另一方面, 还可以帮助学生巩固课堂所学。所以, 教师精心挑选了难度和作业材料相近的2014 年的广东高考语法填空真题, 课堂限定时间, 做完之后由学生自己来完成对所写答案的解释。从这个环节可以观察到学生在这堂课中对考查点、解题思路的理解是否到位, 是否能完成教师预设的教学任务。

三、教学过程

Step 1:Feedback to Homework

教师带动学生一起对作业语法填空进行summary复习。We finished a short passage about a girl who wanted to buy a Christmas gift for her father.She knew ties was not a good choice because it was not easy to make her father happy. (because her father was not easy to please) . Later she found some good quality pipes.And she bought one because her father smoked sometimes. But when she got home with the gift, she was told by her mother that her father decided to give up smoking.

教师在幻灯片上展示学生的作业正确率统计情况, 让他们对自己在这道题上的得分层次有一个清晰的了解。继而, 教师对语法填空材料做出简洁而周全的解释, 同时, 以幻灯片辅助每一道小题的详细说明。随后, 教师根据学生的答题情况, 小结出两个学生出错集中的题目, 通过6 道易错题训练并及时地反馈, 让学生对这两个语法点有了较为清晰的理解。

1. Most towns and cities put on a firework display in local parks either the weekend before ____after November 5th.

2. I usually find myself lying awake at night and wondering ____ I’m going to support my family if I can not find a job.

3. There was a time ______ I dreamed of being an excellent student in my English.

4.“Your future depends on many things but mostly on you, ”Jenala said when _____ (ask) about her secret of success.

5._______ (continue) her career, she left her motherland and went to the United States.

6. I was not afraid of ______ (catch) by the police, because there was obviously no cop anywhere around.

[Keys] 1. or 2. how 3. when 4. asked 5. To continue 6. being caught

再回到作业材料, 请学生一起大声读一遍原材料, 通过朗读, 达到能较好地整体把握篇章的目的。

【设计意图】

对作业材料的概述会让学生回忆起前一天的语法填空材料的具体内容, 教师有意识地在他们的易错之处用了学生更能理解的表达。教师对材料的答案解析能够让学生明白自己当时在做题时出现问题的原因, 对之前未知的知识点有初步的掌握。设置易错点练习的目的在于让学生对英语中较难的语法点有更进一步的熟悉, 带动他们研究错误原因。

Step 2:Analysis

教师设问:What grammar points are tested in this Rational Cloze? What else are usually tested and how? 通过对这三个问题的逐步回答, 学生会对高考语法填空的考点设置、考查形式有个较为全面的了解, 这会帮助他们在做题时形成主动思考、明确分析的意识。教师在幻灯片上会详细地列出高考语法填空的考查点设置、考查形式以及每一个考查形式中易考的语法类别。

知识是语言能力的有机组成部分, 是发展语言技能的重要基础 (教育部2003) 。语法填空考查点基本涵盖了高中英语的基础词法和句法, 包括动词、名词、冠词、形容词、副词、介词、代词、连词、数次九大词类和非谓语动词、各种从句、句型结构等句法内容。语法填空纯空格类常考查项目为冠词、连词、介词、关系代词, 而提示填空题常常考查动词时态和语态、非谓语动词、词性转换等。

【设计意图】

学生平时只顾见题做题, 有时第一次做错的语法项目第二次依然会错, 究其原因, 莫过于“盲目”二字所致。教师在这个环节能把语法填空的考查点和考试形式通过和学生一起总结的方式呈现出来, 学生就会了解这个题目的设计原理, 慢慢揣摩到题目设计者的出发点, 不至于做题时糊里糊涂。

Step 3:Strategies

教师继续追问:How can we get a higher mark in the Rational Cloze? Good strategies can help us a lot. What are the good strategies we can apply when we are dealing with a Rational Cloze?教师带着学生一起总结出正确的解题技巧:通读全文, 理解大意;细节填空, 兼顾语法和意义;再读检查, 分项纠正错误。

【设计意图】

大部分学生在做题时只看局部不看语篇, 盲目下笔, 从而忽略了语法填空题最重要的是对语篇阅读能力的考查。教师在这一环节教会学生正确的处理思路, 能帮助他们花较少的时间达到最好的效果。

Step 4:Practice

教师:Practice makes perfect. Let’s check if we can do better in the Rational Cloze after know what to be tested and how to get a higher mark.

教师提供一份平行性材料 (见附件1) , 出自2014 广东高考语法填空真题, 留足够的时间让学生当堂训练。

然后由学生踊跃发言, 告知答案, 并说出自己答案的缘由。其他学生认真听, 当有不同观点出现的时候, 教师可以多点名几位学生, 以便观察更多学生的课堂实效。教师在适当的时候补充答案说明, 并做点评。

【设计意图】

平行性材料的使用和课堂上学生对答案的反馈是一个非常好的观察学生本节课收获的方式, 这一活动又在明确考点、掌握了考试技巧之后, 能更加有效地体现出本节课的教学效果。

Step 5:Assignment

教师布置课后任务:用本节课总结的考点及考查形式, 尝试用下面的短文 (见附件2) 进行语法填空的命题, 并与同桌互相交流, 体会对方设计的巧妙之处。短文借用了2015 年高考新课标I语法填空真题。

【设计意图】

这个任务的设计有一定的高度。通过站在命题人的角度, 学生可以更好地领会语法填空的考查本质, 对语法知识更加敏感。

四、教学反思

课后, 笔者对本节课进行了深入反思:

(一) 教学目标切实可行, 教学任务的设计层次分明, 目的明确

本节课根据学生的作业情况, 发现了学生在语法填空方面存在的问题, 并基于此做了针对性较强的训练, 做到了重点突出。教师能够带动学生一起总结出语法填空的考点分布和考查形式, 从整体上较好地领会了语法填空的实质, 做到了对这道题心中有数, 有的放矢。

(二) 教学活动环节过渡自然, 层层递进

通过层层设问, 一步步地带着学生解决了自己的重点错误, 并且能思考总结出语法填空考点设置和考查形式。教师再次发问, 自然地把做题策略传授清楚, 进而立刻转入实战训练, 每一个环节紧紧相扣。另外, 教师的指令清楚、简洁明了, 学生能够顺利获取并完成任务。

(三) 教学中不能忽视语法教学

语法填空的考查目的之一便是培养学生熟练运用语法的能力, 而单纯地处理讲解语法势必是枯燥、无趣、低效的。因此, 在日常教学中, 教师应该将语法知识的运用穿插在对课文的处理、对写作的指导以及对练习的讲解中, 让学生在实际运用语法知识的过程中提高能力。

附件1:

2014 广东高考语法填空真题:

Last year, my brother and I went to Miami for a vacation. Some of my friends who had been there before said _1_was a wonderful holiday destination.Before we went, we had planned for months. When the day came, we were ready.

After our plane landed, we went to the hotel. We had made our reservation six months _2_ (early) , but the man at the front desk said there had been a mistake. We _3_ (tell) that our rooms hadn’t been reserved for that week, _4_ for the week after. I didn’t understand _5_ this would happen and my credit card had already been charged _6_ the reservation. What’s worse, the hotel had been fully booked. When we were wondering what to do, the manager came out. She was _7_ (surprise) helpful. She apologized for the mistake and gave us a spare VIP room on _8_ top floor. We had never stayed in such an amazing room, and we weren’t charged extra.

The next day, my brother and I went to the beach _9_ we watched some people play volleyball.We got a little _10_ (sunburn) , but the day had been so relaxing that we didn’t mind.

[Keys]1.it 2.earlier 3.were told 4.but 5.why 6.for 7.surprisingly 8.the 9.Where 10.sunburnt/surburned

附件2:作业

Yangshuo, China

It was raining lightly when I arrived in Yangshuo just before dawn.But I didn’t care.A few hours earlier, I’d been at home in Hong Kong, with its choking smog.Here, the air was clean and fresh, even with the rain.

I’d skipped nearby Guilin, a dream place for tourists seeking the limestone mountain tops and dark waters of the Li River which are pictured by artists in so many Chinese paintings.Instead, I’d head straight for Yangshuo.For those who fly to Guilin, it’s only an hour away by car and offers all the scenery of the better-known city.

Yangshuo is really beautiful.A study of travelers conducted by the website Trip Advisor names Yangshuo as one of the top 10 destinations in the world.And the town is fast becoming a popular weekend destination for people in Asia.Abercrombie&Kent, a travel company in Hong Kong, says it regularly arranges quick getaways here for people living in Shanghai and Hong Kong.

参考文献

教育部.2003.普通高中英语课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社.

高考英语语法填空常用词类归纳 第3篇

关键词：语法填空；主语；谓语；非谓语动词

对词汇和语法知识和还有英语句型的熟练掌握是做好语法填空题的关键，掌握一些高考题的出题规律和解题技巧也很有必要，下面我想和大家分享一些解题小技巧。

一、熟悉解题步骤

1.通读全文，了解大意。

2.尝试填空，先易后难。

3.重读全文，解决难题，即复查。

4.把所有的答案填进短文并进行诵读，再次进行检查，最后确定答案。

二、熟练运用和掌握解题方法及常用词

1.完全空格的题

该类空格常填虚词，具体指：冠词、代词（形容词性物主代词、人称代词、不定代词、指示代词、反身代词）、介词、和连词、从句引导词。

（1）名词前是空格，若该名词前没有限定词，很可能是填his， their等形容词性物主代词，或some，his等限定词

（2）在句子不缺主语、宾语或表语的情况下，名词或代词前面常是填介词，如as，for，on等

（3）如果单词或短语之间无连词，则常填连词and，not...but等

（4）若兩句子之间没有连词或分号以及句号，则一定填连词如 and，but，or，if以及各类从句的“引导词”。如引导名词性从句的连接代词、连接副词、连词（whether，if，that），引导定语从句的关系代词和关系副词，引导状语从句的从属连词，以及连接并列句的并列连词，都被称为“连接词”。

（5）若句子结构完整，空格后的谓语动词为原形，尤其是与上下文时态不一致或主谓不一致时，则很可能填情态动词或者表强调或倒装的助动词do

（6）在冠词后，一般是one（s）， other（s），latter等代词

2.给参考词汇的题

该类词常为实义词（名词、动词、形容词和副词），常见变换方式如下：

（1）动词，作主语或宾语，通常用—ing形式，有时也用不定式表示具体的情况。若所给动词不在主语或宾语的位置，则通常是谓语动词或者非谓语动词

（2）其他词类转换，根据该词所作句子成分确定具体形式

①作主语或在及物动词或介词后作宾语，用名词形式。

②作表语、定语或补语，通常用形容词形式。

③在形容词性物主代词后或者冠词后，用名词形式；作定语、表语、补语等用形容词，做状语则用副词。

④修饰动词、形容词、副词，或整个句子，作状语，用副词形式。

⑤部分题词类不一定要变，可能需根据句子意思及前后逻辑关系在词根前加un-，im-或者在词根后加-less等否定前缀或后缀。

参考文献：

陈琼.培养学生用语境学语法的策略[J].重庆文理学院学报：社会科学版，2010（2）.

2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学) 第4篇

一、完形填空的考点效度

“考点效度”是由李筱菊教授提出来的, 它是检验完形填空命题质量的有效途径。李筱菊认为: 为了达到完形填空充分考查考生的综合语言运用能力的目的, 命题者在命题时应该根据文章的篇章特色、语境功能和综合特点, 对要删除的词或短语认真权衡取舍, 最大限度地提高删除词或短语的考点层次。李筱菊还提出与“考点效度”密切相关的两个概念, 即“考点层次”和“焦点因素”。根据李筱菊的界定, 完形填空的考点层次自高到低有四个层次, 即语篇层次 ( D) 、句子层次 ( S) 、词组层次 ( P) 和单词层次 ( W) ; 焦点因素包括三个因素, 即意义因素 ( M) 、惯用搭配因素 ( C) 和语法因素 ( G) 。考点层次和焦点因素与完形填空的命题效度密切相关。完形填空的删词考点层次越高, 该题的命题效度就越高, 反之亦然。通常, 高层次的考点多考意义, 而低层次的考点多考语法。所以一道质量好、效度高的完形填空命题, 删词应尽量考虑把制约考点的范围扩大, 提高考点层次。

二、2009 ~ 2014 年高考英语全国卷完形填空试题分析

运用李筱菊教授的考点层次分析法对2009 ~ 2014 年高考英语全国卷完形填空题考点统计如表1。表1 统计结果表明, 在2009 ~ 2014 年120 道题目中, 考查语篇层次的题目达到55 道, 占45. 8% , 最多的是2009 年和2011 年, 各为12道; 考查句子层次的题目达到55 道, 占45. 8% , 2014 年多达14 道; 考查词组层次的题目只有9 道, 占7. 5% , 2014 年甚至没有考查词组层次; 考查单词层次的只有1 道, 占0. 8% , 出现在2010 年, 其它几年均为0 道。纵观这六套试题共120 道题, 从考点层次来看, 完形填空主要从语篇和句子层面考查, 较少从词组和单词层面考查; 同时也说明这六套试题的命题考点层次高, 考点的效度也高。

运用李筱菊教授的焦点分析法对2009 ~ 2014 年高考英语全国卷完形填空题考点统计如表2。表2 统计结果表明, 在2009 ~ 2014 年120 道题目中, 考查意义因素的题目达到112 道, 占93. 3% , 并且在各年都占绝对多数; 考查惯用搭配因素的题目只有2 道, 占1. 7% , 其中2011 年、2012 年、2013年和2014 年均为0 道; 考查语法结构的题目只有6 道, 占5% , 其中2011 年和2014 年为0 道。纵观这六套试题共120道题, 从焦点因素来看, 完形填空主要从意义层面考查, 较少从惯用搭配和语法结构层面考查。

三、教学启示

通过以上对六套高考完形填空真题的统计分析可知:完形填空从考点层次来说侧重考高层次的语篇和句子, 从焦点因素来说侧重考意义。因此, 教师在平常的教学中应该侧重对学生语篇意识的培养。

1. 阅读教学中要培养学生的语篇意识。把完形填空题的空缺部分补全就是一篇阅读理解, 所以完形填空的解题能力训练应该贯彻在平常的阅读教学中。教师在阅读教学中, 要引导学生快速阅读全文, 从整体上把握文章的主要内容和中心思想。然后, 再仔细阅读各段内容, 了解每句话的单词、词组、惯用搭配和语法结构。对于单词的意义, 学生容易形成思维定式, 此时教师就要引领学生从语篇语境来推敲, 并理解与把握。

2. 完形填空的练习和讲解中培养学生的语篇意识。学生在做完形填空之前, 教师要对学生进行解题方法指导。首先, 学生带着空格快速浏览全文, 了解文章的体裁和中心大意, 快速阅读时要特别注意首尾段以及每段的首句, 这些部分往往是文章或段落的中心所在处; 其次, 快速浏览完全文后, 边读边做题; 另外, 做题时要结合语境, 瞻前顾后。教师还可以充分利用好历年高考真题中的完形填空资料, 比如在讲解句子衔接关系的题时, 教师可以把语料库中出现的表示转折、因果、让步、条件等句子衔接关系的题目调出来, 以便学生充分感知命题侧重语篇语境的规律, 并从中掌握解题技巧和做题规律。

2009高考英语完形填空考点归纳(常规教学) 第5篇

考点1 分类加法计数原理

在利用分类加法计数原理解题时, 首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准, 标准要统一, 不能遗漏;其次要确保每类做法中每一种方法都能完成这件事情, 类与类之间是独立的.

例1 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考, 则监考的方法有 ( ) .

(A) 8种 (B) 9种

(C) 10种 (D) 11种

解析:设四位监考教师分别为A, B, C, D, 所教班级分别为a, b, c, d.假设A监考b, 则余下三人监考剩下的三个班级, 共有3种不同方法.同理, 当A监考c, d时, 也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理知, 监考方法共有3+3+3=9种.故选B.

考点2 分步乘法计数原理

在利用分步乘法计数原理解题时, 首先要明确题目中的“完成这件事”是什么, 然后将完成这件事划分成几个步骤来完成, 每步都是独立的, 且各步骤之间有一定的连续性, 只有当所有步骤都完成了, 整个事件才算完成, 这是分步的基础, 也是关键.

例2 一个乒乓球队里有5名男队员, 4名女队员, 从中选出男、女队员各1名组成混合双打, 共有___种不同的选法.

解析:“完成这件事”需选出男、女队员各1名, 可分两步进行:第一步选1 名男队员, 有5种选法;第二步选1名女队员, 有4种选法.所以共有5×4=20种选法.

考点3 两个计数原理的综合应用

在考题中, 两个计数原理一般是联合在一起来考查的, 经常是先分类再分步.常见的题型有: (1) 与数字有关的问题; (2) 涂色问题; (3) 方程解的个数问题.

例3 有一个圆被两相交弦分成四块, 现在用5种不同颜料给这四块涂色, 要求共边两块颜色互异, 每块只涂一色, 共有多少种涂色方法?

解析:如图所示, 分别用a, b, c, d表示这四块区域, a与c可同色也可不同色, 可先考虑给a, c两块涂色, 需分两类:

(1) 给a, c涂同种颜色共5种涂法, 再给b涂色有4种涂法, 最后给d涂色也有4种涂法.由分步乘法计数原理知, 此时共有5×4×4种涂法.

(2) 给a, c涂不同颜色共有5×4=20种涂法, 再给b涂色有3种涂法, 最后给d涂色也有3种涂法, 此时共有20×3×3种涂法.

故由分类加法计数原理知, 共有5×4×4+20×3×3=260种涂法.

考点4 排列

解决有限制条件的排列问题的主要方法有:“在”与“不在”问题的原则是谁“特殊”谁优先, 既可以从元素入手, 也可以从位置入手.相邻问题的解决方法是“捆绑法”, 但要注意捆绑元素的内部排列.不相邻问题的解决方法是“插空法”.定序问题可以先不考虑顺序限制, 排列后, 再除以定序元素的全排列.有些问题从正面考虑比较复杂, 可采用“间接法”, 从其反面入手解决问题.

例4 将A, B, C, D, E排成一列, 要求A, B, C在排列中顺序为“A, B, C”或“C, B, A” (可以不相邻) , 这样的排列共有 ( ) .

(A) 12种 (B) 20种

(C) 40种 (D) 60种

解析:五个元素没有限制时的全排列数为A55, 由于要求A, B, C的次序一定 (按A, B, C或C, B, A) , 因此除以这三个元素的全排列数A33, 可得满足题意的排列共有种.故选C.

考点5 组合问题

组合问题中典型的问题有: (1) “含”与“不含”的问题.若“含”, 则先将这些元素取出, 再取另外的元素;若“不含”, 则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取. (2) 对于“至少”“最多”的问题可以用直接法或间接法来求解, 但是用直接法分类复杂时, 可用间接法减少计算量.

例5 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2 个项目作为本年度要启动的项目, 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是 ( ) .

(A) 15 (B) 45

(C) 60 (D) 75

解析:从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目, 所有的选法种数是C42×C62=90.

重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C32×C52=30, 因此重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90-30=60.故选C.

考点6 排列与组合的综合应用

解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素 (位置) 的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说, 解排列组合问题常以元素 (位置) 为主体, 需先满足特殊元素 (位置) , 再考虑其他元素 (位置) .

例6 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有_____种.

解析:先放1, 2的卡片有C31种放法, 再将3, 4, 5, 6的卡片平均分成两组再放置, 有种放法, 故共有C31·C42=18种放法.

考点7 二项展开式问题

常见的二项展开式问题有: (1) 求二项展开式中的第n项, 则可依据二项展开式的通项公式直接求出第n项. (2) 求二项展开式中的特定项, 则可依据条件写出第 (r+1) 项, 再由特定项的特点求出r值即可. (3) 已知二项展开式的某项, 求特定项的系数, 则可由某项得出参数项, 再由通项公式写出第 (r+1) 项, 由特定项得出r值, 最后求出参数值.

例7的展开式中x2y2的系数为_____ (用数字作答) .

解析:二项展开式的通项, 由此可知要求x2y2的系数, 需满足, 解得r=4.所以x2y2的系数为 (-1) 4C48=70.

考点8 二项式系数或展开式各项系数之和

“赋值法”普遍适用于恒等式, 是一种重要的方法, 对形如 (ax+b) n, (ax2+bx+c) m (a, b∈R) 的式子, 求其展开式的各项系数之和, 常要用到赋值法, 只需令x=1即可;对形如 (ax+by) n (a, b∈R) 的式子求其展开式的各项系数之和, 只需令x=y=1即可.

例8 若展开式的各项系数的绝对值之和为1024, 则展开式中x的一次项的系数为_____.

因为展开式的各项系数的绝对值之和为Cn0+| (-3) 1Cn1|+ (-3) 2Cn2+| (-3) 3Cn3|+…+| (-3) nCnn|=1 024,

所以 (1+3) n=1 024, 解得n=5.

令, 解得r=1.

所以展开式中x的一次项的系数为 (-3) 1C51=-15.

考点9 展开式中系数的最值问题

若求二项式系数最大的项, 根据二项式系数的性质可知, 当n为奇数时中间两项的二项式系数最大, 当n为偶数时中间一项的二项式系数最大.但是注意求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的, 求解时需注意各项系数的正、负变化情况, 一般采用列不等式、解不等式的方法求得.

例9 设m为正整数, (x+y) 2m的展开式中二项式系数的最大值为a, (x+y) 2m+1的展开式中二项式系数的最大值为b, 若13a=7b, 则m= ( ) .

(A) 5 (B) 6

(C) 7 (D) 8

解析:已知m为正整数, 由题意及二项式系数的性质可知, a, 所以1, 即, 则13· (m+1) =7 (2m+1) , 解得m=6.故选B.

考点10 整除问题

利用二项式定理解决整除问题时, 求解的关键是对二项式进行合理地变形构造, 应注意:要证明一个式子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.求余数问题时, 应明确被除式f (x) 与除式g (x) (g (x) ≠0) , 商式q (x) 与余式的关系及余式的范围.

例10 设a∈Z, 且0≤a≤13, 若512016+a能被13整除, 则a=_____.

解析:由题意, 得512016+a= (1-13×4) 2016+a=a+1-C12016×13×4+C22016× (13×4) 2+…+ (13×4) 2016, 显然当a+1=13k (k∈Z) 时, 512016+a的各项都是13 的倍数, 因此能被13整除.所以此时a=13k-1 (k∈Z) .又0≤a≤13, 所以当k=1时, a=12.

配套练习:

1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数” (如2 013是“六合数”) , 则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 ( ) .

(A) 18个 (B) 15个

(C) 12个 (D) 9个

2.从2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数, 则可以组成不同对数值的个数为 ( ) .

(A) 56 (B) 54

(C) 53 (D) 52

3.若自然数n使得作竖式加法n+ (n+1) + (n+2) 均不产生进位现象, 则称n为“良数”.例如:32是“良数”, 因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”, 因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000 的 “良数”的个数为 ( ) .

(A) 27 (B) 36

(C) 39 (D) 48

4.数列{an}共有12项, 其中a1=0, a5=2, a12=5, 且|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 则满足这种条件的不同数列的个数为 ( ) .

(A) 84 (B) 168

(C) 76 (D) 152

5.由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻, 且4不在第四位, 则这样的六位数共有_______个.

6.全国运动会举行期间, 某校4名大学生申请当A, B, C三个比赛项目的志愿者, 组委会接受了他们的申请, 每个比赛项目至少分配一人, 每人只能服务一个比赛项目, 若甲要求不去服务A比赛项目, 则不同的安排方案共有_____种.

7.若二项式 (2x-a/x) 7的展开式中1/x3的系数是84, 则实数a=.

8.若的展开式中各项系数的和为2, 则该展开式中的常数项为_____.

9.设的展开式的各项系数的和为P, 所有二项式系数的和为S, 若P+S=272, 则n=______.

10.32n+2-8n-9 (n∈N*) 被64除的余数是.

练习答案:

1.B. 2.D. 3.D.

4.A.因为|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 所以前一项总比后一项大1或小1.易知a1到a5有3次增加1, 1次减少1, 从a5到a12有5次增加1, 2次减少1, 所以满足题意的数列有C41·C72=84个.

5.120. 6.24. 7.1.

8.40.令x=1, 即可得到 (x+a/x) (2x-1/x) 5的展开式中各项系数的和为1+a=2, 所以a=1.因此 (x+a/x) (2x-1/x) 5= (x+1/x) (2x-1/x) 5, 要找其展开式中的常数项, 需要找 (2x-1/x) 5的展开式中含x和1/x的项. (2x-1/x) 5的展开式的通项是Tr+1=Cr5 (2x) 5-r (-1/x) r= (-1) r·25-r·Cr5x5-2r.令5-2r=1, 得r=2;令5-2r=-1, 得r=3.所以有80x和- (40) /x项, 将其分别与1/x和x相乘, 再相加, 即得该展开式中的常数项为80-40=40.

9.4.

(安徽余其权)

十、统计及统计案例部分

考点1 简单随机抽样

简单随机抽样是一种不放回抽样, 是等概率抽样, 抽签法适用于总体中个体数较少的情况, 随机数法适用于总体中个体数较多的情况.

例1 对于简单随机抽样, 下列说法中正确的命题为_____ (填序号) .

(1) 它要求被抽取样本的总体的个数有限, 以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析; (2) 它是从总体中逐个地进行抽取, 以便在抽取实践中进行操作; (3) 它是一种不放回抽样; (4) 它是一种等概率抽样, 不仅每次从总体中抽取一个个体时, 各个个体被抽取的概率相等, 而且在整个抽样过程中, 各个个体被抽取的概率也相等, 从而保证了抽样的公平性.

解析: (1) (2) (3) (4) .

考点2系统抽样

在系统抽样的过程中, 要注意分段间隔, 需要抽取几个个体, 样本就需要分成几个组.

例2 某校高一、高二、高三的学生人数分别为495, 493, 482, 现采用系统抽样方法, 抽取49人做问卷调查, 将高一、高二、高三学生依次随机按1, 2, 3, …, 1470编号, 若第1组由简单随机抽样方法抽取的号码为23, 则高二应抽取的学生人数为 ( ) .

(A) 15 (B) 16

(C) 17 (D) 18

解析:由系统抽样方法知, 按编号依次每30个编号作为一组, 共分49组, 高二学生的编号为496到988, 在第17组到第33组内, 第17组抽取的编号为16×30+23=503, 为高二学生, 第33组抽取的编号为32×30+23=983, 为高二学生, 因此抽取高二学生的人数为33-16=17.故选C.

考点3 分层抽样

分层抽样一般有三个步骤:首先, 将总体进行分层.其次, 确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例, 可计算出样本中每层应抽取的个数.最后, 用简单随机抽样从每层中抽取样本.

例3 某校有教师200 人, 男学生1200人, 女学生1000人, 用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本, 已知女学生抽取的人数为80, 则n的值为______.

解析:根据分层抽样的意义, , 解得n=192.

考点4 频率分布直方图的绘制与应用

解决频率分布直方图的有关问题时要抓住以下几点: (1) 直方图中各小长方形的面积之和为1. (2) 直方图中纵轴表示因此每组样本的频率为, 即矩形的面积. (3) 直方图中每组样本的频数为频率×总体数.

例4 样本容量为1000的频率分布直方图如图1所示.根据样本的频率分布直方图计算, x的值为_____, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为_______.

解析:由0.02+0.08+x+2×0.03=1/4, 得x=0.09, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为 (0.08+0.09) ×4×1000=680.

考点5 茎叶图的画法及其应用

平均数反映了数据取值的平均水平.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小:标准差、方差越大, 数据的离散程度就越大, 越不稳定;标准差、方差越小, 数据的离散程度越小, 越稳定.

例5 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训, 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次, 记录如下:

(1) 用茎叶图表示这两组数据.

(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.

解析: (1) 作出茎叶图如图2.

(2) 派甲参赛比较合适, 理由如下:

因为, s2甲<s乙2, 所以甲的成绩较稳定, 派甲参赛比较合适.

考点6 用样本的数字特征估计总体的数字特征

同学们要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”, 众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数;中位数:在频率分布直方图中, 把频率分布直方图分成左、右面积相等的两部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.平均数:平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

例6 某校100名学生期中考试的语文成绩的频率分布直方图如图3所示, 其中成绩的分组区间是[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100].

(1) 求图中a的值;

(2) 根据频率分布直方图, 估计这100名学生语文成绩的平均分;

(3) 若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数 (x) 与数学成绩在相应分数段的人数 (y) 之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数.

解析: (1) 由频率分布直方图可知, (2a+0.04+0.03+0.02) ×10=1, 解得a=0.005.

(2) 由频率分布直方图估计这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73 (分) .

(3) 由频率分布直方图及表中数据, 得

故数学成绩在[50, 90) 外的人数是100-5-20-40-25=10.

考点7 相关关系的判断

判定两个变量正、负相关性的方法:

(1) 画散点图:点的分布从左下角到右上角, 两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角, 两个变量负相关. (2) 相关系数:当r>0时, 两个变量正相关;当r<0时, 两个变量负相关. (3) 线性回归系数^b:当^b>0时, 两个变量正相关;当^b<0时, 两个变量负相关.

例7 四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系, 并求得相应的回归直线方程, 现得到以下四个结论:

其中一定的结论的序号是 () .

(A) (1) (2) (B) (2) (3)

(C) (3) (4) (D) (1) (4)

解析:在 (1) 中, y与x不是负相关, (1) 一定不正确;同理 (4) 也一定不正确.故选D.

考点8 线性回归方程

求回归方程的关键在于正确求出参数由于的计算量大, 计算时应仔细谨慎, 避免因计算而产生错误.另外, 在根据回归方程进行预报时, 得出的仅是一个预报值, 而不是真实发生的值.

例8 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据:

(2) 预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从 (1) 中的关系, 且该产品的成本是4元/件, 为使工厂获得最大利润, 该产品的单价应定为多少元? (利润=销售收入-成本)

(2) 设工厂获得的利润为L元, 依题意, 得L=x (-20x+250) -4 (-20x+250) =-20x2+330x-1000=-20 (x-8.25) 2+361.25.当且仅当x=8.25时, L取得最大值.

故当单价定为8.25元时, 工厂可获得最大利润.

考点9独立性检验

独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K2的观测值k.若2×2列联表没有列出来, 则要先列出此表.

例9某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生, 将他们的身高和体重制成如下所示的2×2的列联表, 根据列联表的数据, 可以有______%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

附:

解析:由表中数据得K2的观测值.

所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

配套练习:

1.总体由编号为01, 02, …, 19, 20的20个个体组成, 利用下面的随机数表选取5个个体, 选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5个个体的编号为 () .

(A) 08 (B) 07

(C) 02 (D) 01

2.将参加夏令营的600名学生编号为001, 002, …, 600, 现采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本, 且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区, 从001到300在第Ⅰ营区, 从301到495在第Ⅱ营区, 从496到600在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数依次为 () .

(A) 26, 16, 8 (B) 25, 17, 8

(C) 25, 16, 9 (D) 24, 17, 9

3.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人, 其中高三学生是高一学生的两倍, 高二学生比高一学生多300人, 现在按1/ (100) 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本, 则高一学生应抽取的人数为 () .

(A) 8 (B) 11

(C) 16 (D) 10

4.根据如下样本数据

得到的回归方程为, 则 () .

(A) ^a>0, ^b>0 (B) ^a>0, ^b<0

(C) ^a<0, ^b>0 (D) ^a<0, ^b<0

5.春节期间, “厉行节约, 反对浪费”之风悄然吹开, 某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动, 得到如下的列联表:

附:

参照附表, 得到的正确结论是 () .

(A) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

(B) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

(C) 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

(D) 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

6.为了解本市的交通状况, 某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三组, 从13点到18点, 分别对三个路口的机动车通过情况进行了实际调查, 并绘制了频率分布直方图 (如图1) .若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”, 则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值的大小关系为_______.

7.从某校随机抽取100名学生, 获得了他们一周课外阅读时间 (单位:小时) 的数据, 整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如下:

(1) 从该校随机选取一名学生, 试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;

(2) 求频率分布直方图中的a, b的值;

(3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论) .

8.已知某单位有50名职工, 现要从中抽取10名职工, 将全体职工随机按1~50编号, 并按编号顺序平均分成10组, 按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.

(1) 若第5组抽出的号码为22, 写出所有被抽出职工的号码;

(2) 分别统计这10名职工的体重 (单位:公斤) , 获得体重数据的茎叶图如图3所示, 求该样本的方差;

(3) 在 (2) 的条件下, 从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤 (≥73公斤) 的职工, 求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.

9.某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:

(1) 利用所给数据求年需求量 (y) 与年份 (x) 之间的线性回归方程;

(2) 利用 (1) 中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量.

练习答案:

1.D.2.B.3.A.4.B.5.C.

7. (1) 根据频数分布表, 100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名, 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.

所以从该校随机选取一名学生, 估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

(2) 课外阅读时间落在组[4, 6) 内的有17人, 频率为0.17, 所以.

课外阅读时间落在组[8, 10) 内的有25人, 频率为0.25, 所以.

(3) 样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.

8. (1) 由题意, 第5组抽出的号码为22.因为k+5× (5-1) =22, 所以第1组抽出的号码应该为2.所以抽出的10名职工的号码分别为2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47.

(3) 从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工, 共有10种不同的取法: (73, 76) , (73, 78) , (73, 79) , (73, 81) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , (78, 79) , (78, 81) , (79, 81) .记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A, 它包括的事件有 (73, 76) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , 共4个.故所求概率为.

9. (1) 由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升的, 下面来求线性回归方程, 先将数据处理如下:

由表中数据容易算得

所以所求线性回归方程为.

(2) 利用所求得的线性回归方程, 可预测2016年的粮食需求量大约为6.5× (2016-2010) +260.2=6.5×6+260.2=299.2 (万吨) .

(安徽余其权)

十一、概率、离散型随机变量及其分布部分

考点1 随机事件的关系

互斥事件是不能同时发生的, 而对立事件除了不能同时发生外, 其并事件应为必然事件, 这些可类比集合进行理解, 具体应用时, 可把所有试验结果写出来, 看所求事件包含哪些试验结果, 从而断定所给事件的关系.

例1 给出下列命题: (1) 将一枚硬币抛两次, 设事件M:“两次出现正面”, 事件N:“只有一次出现反面”, 则事件M与N互为对立事件; (2) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A与B为互斥事件; (3) 若事件A与B为互斥事件, 则事件A与B互为对立事件; (4) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A∪B为必然事件.其中, 真命题是 ( ) .

(A) (1) (2) (4) (B) (2) (4)

(C) (3) (4) (D) (1) (2)

解析:对于 (1) , 一枚硬币抛两次, 共出现{正, 正}, {正, 反}, {反, 正}, {反, 反}四种结果, 则事件M与N是互斥事件, 但不是对立事件, 因此 (1) 错.对于 (2) , 对立事件首先是互斥事件, 因此 (2) 正确.对于 (3) , 互斥事件不一定是对立事件, 如 (1) 中两个事件, 因此 (3) 错.对于 (4) , 若事件A, B互为对立事件, 则一次试验中A, B一定有一个要发生, 因此 (4) 正确.故选B.

考点2 随机事件的频率与概率

频率是个不确定的数, 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的大小, 却无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小, 但从大量重复试验中发现, 随着试验次数的增多, 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值, 该值就是概率.

例2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示:

(1) 计算表中乒乓球优等品的频率;

(2) 从这批乒乓球产品中任取一个, 质量检查为优等品的概率是多少 (结果保留到小数点后三位) ?

解析: (1) 依据公式f=m/n, 计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900, 0.920, 0.970, 0.940, 0.954, 0.951.

(2) 由 (1) 知, 抽取的球数n不同, 计算得到的频率值不同, 但随着抽取球数的增多, 频率在常数0.950的附近摆动, 所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

考点3 互斥事件、对立事件的概率

求解某些较复杂的概率问题, 通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和, 然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件的概率, 然后利用可得解.

例3 某工厂的产品分为合格品和次品两类, 而合格品又分为一级品、二级品、三级品三档, 在正常生产的条件下, 出现“一级品”的概率为0.5, 出现“二级品或三级品”的概率为0.45, 求出现次品的概率.

解析:设A={出现一级品}, B={出现二级品或三级品}, C={出现合格品}, D={出现次品}.

故出现次品的概率为0.05.

考点4古典概型的求法

解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.

例4 一个三位自然数百位, 十位, 个位上的数字依次为a, b, c, 当且仅当a>b, b<c时称其为“凹数” (如213, 312等) , 若a, b, c∈{1, 2, 3, 4}, 且a, b, c互不相同, 则这个三位数为“凹数”的概率是______.

解析:由1, 2, 3组成的三位自然数为123, 132, 213, 231, 312, 321, 共6个;同理, 由1, 2, 4组成的三位自然数共6个;由1, 3, 4组成的三位自然数也是6个;由2, 3, 4组成的三位自然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24个三位自然数.

当b=1时, 有214, 213, 312, 314, 412, 413, 共6个“凹数”.当b=2时, 有324, 423, 共2个“凹数”.所以三位数为“凹数”的概率.

考点5 与长度有关的几何概型

解答关于长度的几何概型问题, 只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度, 即可利用几何概型的概率计算公式求解.此处的“长度”可以是线段的长短, 也可以是时间的长短等.

例5在区间[-π/2, π/2]上随机取一个数x, 则cos x的值介于0到1/2之间的概率为_______-.

解析:当-π/2≤x≤π/2时, 由0≤cos x≤1/2, 得.由几何概型概率公式, 得所求概率为1/3.

考点6 与面积有关的几何概型

当题目中的基本事件与二维数组有关时, 可以将问题转化为与面积有关的几何概型的概率问题.

例6 P为圆C1:x2+y2=9上任意一点, Q为圆C2:x2+y2=25 上任意一点, PQ的中点组成的区域为M , 在C2内部任取一点, 则该点落在区域M上的概率为________.

解析:设Q (x0, y0) , 中点M (x, y) , 则将P (2x-x0, 2y-y0) 代入x2+y2=9, 得 (2x-x0) 2+ (2y-y0) 2=9, 化简, 得.又x02+y20=25表示以原点为圆心、半径为5的圆, 易知M的轨迹是以为圆心、以3/2为半径的圆绕原点一周所形成的图形, 即以原点为圆心、宽度为3的圆环带, 应有x2+y2=r2 (1≤r≤4) .故在C2内部任取一点落在M内的概率为.

考点7 与体积有关的几何概型

对于与体积有关的几何概型问题, 求解的关键是计算问题的总体积 (总空间) 以及事件的体积 (事件空间) , 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

例7 已知正四面体ABCD的体积为V, P是正四面体ABCD内部的点.

(1) 设 “VP-ABC≥ (1/4) V”的事件为X, 求概率P (X) ;

(2) 设的事件为Y, 求概率P (Y) .

解析: (1) 分别取DA, DB, DC上的点E, F, G, 并使DE=3EA, DF=3FB, DG=3GC, 连结EF, FG, GE, 则平面EFG∥平面ABC.

当P在正四面体DEFG内部运动时, 满足.

(2) 在AB上取点H, 使AH=3 HB, 在AC上取点I, 使AI=3IC, 在AD上取点J, 使AJ=3JD, 则P在正四面体AHIJ内部运动时, 满足.结合 (1) , 当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动, 即P在正四面体EMNJ内部运动时, 同时满足, 于是.

考点8 离散型随机变量的分布列的性质

在解题中, 常需利用分布列中各概率之和为1求有关参数的值, 此时要注意检验, 以保证每个概率值均为非负;另外, 若ξ为随机变量, 则2ξ+1, |ξ-1|等仍然为随机变量, 求它们的分布列时, 可先求出相应的随机变量的值, 再根据对应的概率写出分布列.

例8 设离散型随机变量X的分布列为

求: (1) 2 X+1的分布列;

(2) |X-1|的分布列.

解析:由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3.

首先列表为

从而由上表及题意可得所求两个分布列如下:

(1) 2 X+1的分布列为

(2) |X-1|的分布列为

考点9 求离散型随机变量的分布列

求离散型随机变量X的分布列的步骤: (1) 理解X的意义, 写出X可能取的全部值; (2) 求X取每个值的概率; (3) 写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 在求解时, 要注意应用计数原理、古典概型等知识.

例9 某校校庆, 各届校友纷至沓来, 某班共来了n位校友 (n>8且n∈N*) , 其中女校友6位, 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单, 现随机从中选出2位校友代表, 若选出的2位校友是一男一女, 则称为“最佳组合”.

(1) 若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1/2, 求n的最大值;

(2) 当n=12时, 设选出的2位校友代表中女校友人数为X, 求X的分布列.

解析: (1) 由题意可知, 所选2人为“最佳组合”的概率为, 化简, 得n2-25n+144≤0, 解得9≤n≤16.

故n的最大值为16.

(2) 由题意, 得X的可能取值为0, 1, 2, 则.

所以X的分布列为

考点10 超几何分布

超几何分布描述的是不放回抽样问题, 随机变量为抽到的某类个体的个数, 随机变量取值的概率实质上是古典概型.

例10 在15个村庄中有7个村庄交通不方便, 现从中任意选10个村庄, 用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数, 则下列概率中等于的是 ( ) .

(A) P (X=2) (B) P (X≤2)

(C) P (X=4) (D) P (X≤4)

解析:X服从超几何分布, , 则k=4.故选C.

考点11 条件概率

求条件概率, 一般有两种方法:一是对于古典概型类题目, 可采用缩减基本事件总数的办法来计算, 二是根据条件概率公式求解.

例11 将三个骰子各掷一次, 设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”, 事件B为“至少有一个骰子掷出3点”, 则条件概率P (A|B) 是 ( ) .

解法一:“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6-5×5×5=91种, “三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C31×5×4=60种, 所以P (A|B) = (91) / (60) .故选A.

解法二:.由条件概率公式可得.故选A.

考点12 相互独立事件的概率

求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: (1) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2) 正面计算较繁琐或难以入手时, 可从其对立事件入手计算.

例12 某企业有甲、乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为2/3和3/5.现安排甲组研发新产品A, 乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率.

(2) 若新产品A研发成功, 预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功, 预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

解析:记E={甲组研发新产品成功}, F={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E) =2/3, , 且事件E与F, E与与F, 都相互独立.

(1) 记H = {至少有一种新产品研发成功}, 则.

故所求的概率为.

(2) 设企业可获利润为X万元, 则X的可能取值为0, 100, 120, 220.

所以所求的分布列为

考点13 独立重复试验与二项分布

独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.二项分布满足的条件: (1) 每次试验中, 事件发生的概率是相同的. (2) 各次试验中的事件是相互独立的. (3) 每次试验只有两种结果:事件要么发生, 要么不发生. (4) 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

例13 已知一个口袋中装有n个红球 (n≥1且n∈N*) 和2个白球, 从中有放回地连续摸三次, 每次摸出两个球, 若两个球的颜色不同则为中奖, 否则不中奖.

(1) 当n=3时, 设三次摸球中 (每次摸球后放回) 中奖的次数为X, 求X的分布列;

(2) 记三次摸球中 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P′, 当n取多少时, P′最大?

解析: (1) 当n=3时, 每次摸出两个球, 中奖的概率.

由题意知, X的可能取值为0, 1, 2, 3.

所以X的分布列为

(2) 设每次摸球中奖的概率为p, 则三次摸球 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P (X=2) =C32·p2· (1-p) = -3p3+3p2, 0<p<1.

令f (p) =-3p3+3p2, 0<p<1, 则f′ (p) =-9p2+6p= -3p (3p-2) , 可知在 (0, 2/3) 上, f (p) 为增函数, 在 (2/3, 1) 上, f (p) 为减函数.所以当p=2/3时, P′取得最大值.

所以当n=1或n=2时, P′最大.

配套练习:

1.从某校高二年级的所有学生中, 随机抽取20人, 测得他们的身高 (单位:cm) 分别为:162, 153, 148, 154, 165, 168, 172, 171, 173, 150, 151, 152, 160, 165, 164, 179, 149, 158, 159, 175.

根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 估计该生的身高在155.5cm~170.5cm之间的概率约为 ( ) .

2.如图1, △ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形, 且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内, 用M表示事件“豆子落在△ABC内”, N表示事件 “豆子落在△DEF内”, 则P (N|M) = ( ) .

3.10件产品中有7件正品, 3件次品, 从中任取4 件, 则恰好取到1 件次品的概率是_____.

4.已知一只蚂蚁在边长分别为5, 12, 13的三角形的边上随机爬行, 则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_______.

5.在长为1的线段上任取两点, 则这两点之间的距离小于1/2的概率为____-.

6.如图2, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 有一动点在此长方体内随机运动, 则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为______.

7.随机变量X的分布列如下:

其中a, b, c成等差数列, 则P (|X|=1) =_____, 公差d的取值范围是________.

8.根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(2) 求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

9.某射手射击一次所得环数X的分布列如下:

现该射手进行两次射击, 以两次射击中最高环数作为他的成绩, 记为ξ.

(1) 求ξ>7的概率;

(2) 求ξ的分布列.

10.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(1) 求所选3人中恰有1名男生的概率;

(2) 求所选3人中男生人数X的分布列.

11.某次飞镖比赛中, 规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分, 在N处每射中一镖得2分, 如果前两次得分之和超过3分即停止发射, 否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25, 在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖, 以后都在N处发射, 用X表示该选手比赛结束后所得的总分, 其分布列为

(1) 求随机变量X的分布列;

(2) 试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.

12.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收看情况, 随机抽取了100名观众进行调查.图3是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”, 将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中, 采用随机抽样方法每次抽取1 名观众, 抽取3次, 记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列、期望E (X) 和方差D (X) .

练习答案:

8.记A表示事件“该车主购买甲种保险”, B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”, C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”, D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.

(1) 由题意, 得P (A) =0.5, P (B) =0.3.

又C=A∪B,

所以P (C) =P (A∪B) =P (A) +P (B) =0.5+0.3=0.8.

(2) 因为D与C是对立事件, 所以P (D) =1-P (C) =1-0.8=0.2.

9. (1) P (ξ>7) =1-P (ξ=7) =1-0.1×0.1=0.99.

(2) ξ的可能取值为7, 8, 9, 10.P (ξ=7) =0.12=0.01, P (ξ=8) =2×0.1×0.4+0.42=0.24, P (ξ=9) =2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39, P (ξ=10) =2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36.

所以ξ的分布列为

10. (1) 所选3人中恰有1名男生的概率.

(2) X的可能取值为0, 1, 2, 3.

所以X的分布列为

11. (1) 设“该选手在M处射中”为事件A, “该选手在N处射中”为事件B, 则事件A, B相互独立, 且.

根据分布列知, 当X=0时, ,

所以1-q2=0.2, q2=0.8.

所以随机变量X的分布列为

(2) 该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为.

所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.

12.由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25, 将频率视为概率, 即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为1/4.

由题意, 得X~B (3, 1/4) , 从而X的分布列为

(安徽余其权)

十二、算法、程序框图以及推理与证明部分

考点1 顺序结构和条件结构

顺序结构是最简单的算法结构, 语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.利用条件结构解决算法问题时, 重点是分析判断框, 判断框内的条件不同, 对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化.

例1 如图1 所示, 程序框图的输出结果是 ( ) .

(A) 3 (B) 4

(C) 5 (D) 8

解析:由图1知, x≤4, 所以y=4.故选B.

考点2循环结构

利用循环结构表示算法时, 要注意以下三方面:第一要先确定是利用当型循环结构, 还是利用直到型循环结构;第二要选择准确的累计变量;第三要注意在哪一步开始循环, 满足什么条件不再执行循环体.

例2 图2 给出的是计算的值的一个程序框图, 则图中判断框内的 (1) 处和执行框中的 (2) 处应填的语句是 ( ) .

(A) i>100, n=n+1

(B) i>100, n=n+2

(C) i>50, n=n+2

(D) i≤50, n=n+2

解析:因为共50个数, 所以程序框图应运行50次, 所以变量i应满足i>50.因为是求偶数的和, 所以应使变量n满足n=n+2.故选C.

考点3 归纳推理

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类.在利用归纳推理解决问题时, 应从特殊情况入手, 通过观察、分析、概括, 进而猜想出一般性结论.

例3已知, 经计算得, 则当n≥2, n∈N*时, 有一般性的结论_____.

考点4类比推理

常见的类比推理有类比定义型、类比性质型和类比方法型.类比推理的一般步骤是:先找出两类对象之间可以确切表达的相似性 (一致性) ;再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质, 从而得出一个猜想;最后验证猜想, 但类比推理的结论不一定正确.

例4已知双曲正弦函数和双曲余弦函数.我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质, 请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式, 写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_____.

考点5 演绎推理

演绎推理一般是以三段论的形式进行的, 在证明问题时, 首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提, 但是在证明的过程中, 往往大前提不写出来.

例5 数列{an}的前n项和记为Sn, 已知a1=1, .证明:

(1) 数列{}是等比数列;

(2) Sn+1=4an.

证明: (1) 因为an+1=Sn+1-Sn, ,

故{}是以1 为首项, 2 为公比的等比数列.

又因为a2=3S1=3, S2=a1+a2=1+3=4=4a1,

所以对于任意正整数n, 都有Sn+1=4an.

考点6直接证明

直接证明有两种基本的方法———分析法和综合法.我们常用分析法寻找解决问题的突破口, 然后用综合法来写出证明过程, 有时候, 分析法和综合法交替使用.

例6已知a, b, m为非零实数, 且a2+b2+2-m=0, .

(2) 求证:m≥7/2.

证明: (1) (分析法) 要证成立, 只需证, 即证, 即证.根据基本不等式, 有成立, 所以原不等式成立.

(2) (综合法) 已知a2+b2+2-m=0, , 由 (1) 知, (m-2) (2m-1) ≥9, 即2m2-5m-7≥0, 解得m≤-1或m≥7/2.

又a2+b2=m-2>0, 则m>2.所以m≤-1舍去.故m≥7/2.

考点7 间接证明

很多数学问题若用直接法证明难以下手, 常常采用间接法证明.反证法就是间接法中的一种基本方法.反证法的基本步骤是: (1) 写出与求证结论相反的假设; (2) 将反设作为条件, 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; (3) 说明假设不成立, 从而肯定原命题成立.

例7 已知△ABC的三边为a, b, c, 且C=90°, 求证:.

证明:假设.因为△ABC是直角三角形, 且C=90°, 所以c2=a2+b2, 即.又由假设可知, , 则有 (a+b) 2>2 (a2+b2) , 得a2+2ab+b2>2 (a2+b2) , 化简, 得a2-2ab+b2<0, 即 (a-b) 2<0, 显然不成立.故假设错误, 原命题得证.

考点8 数学归纳法

数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题, 但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法来证明.在使用数学归纳法证明问题时, 在归纳假设后, 归纳假设就是证明n=k+1时的已知条件, 把归纳假设当已知条件证明后续结论时, 可以使用综合法、分析法、反证法等.

例8 设数列{an}的前n和为Sn, Sn=2nan+1-3n2-4n, n∈N*, 且S3=15.

(1) 求a1, a2, a3的值;

(2) 求数列{an}的通项公式.

解: (1) 易得a1=3, a2=5, a3=7.

(2) 由 (1) 猜想an=2n+1, 以下用数学归纳法来证明:

(1) 由 (1) 知, 当n=1时, a1=3=2×1+1, 结论成立.

(2) 假设当n=k时, 结论成立, 即ak=2k+1.

当n=k+1 时, 将ak+1和Sk代入Sk=2kak+1-3k2-4k, 得k (k+2) =2kak+1-3k2-4k, 化简, 得2ak+1=4k+6, 则ak+1=2 (k+1) +1.由此可知, 当n=k+1时, 结论成立.

从而由 (1) (2) 可知, 对一切n∈N*, an=2n+1.

配套练习:

1.图1 所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法, 若输入m=2010, n=1541, 则输出的m的值为 ( ) .

(A) 2010

(B) 1541

(C) 134

(D) 67

2.用火柴棒摆“金鱼”, 如图2所示:

按照上面的规律, 第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为______.

3.定义“等和数列”:在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5, 则

(1) a18=______;

(2) 该数列的前n项和Sn=_________.

4.数列A:a1, a2, a3, …, an (n≥3, n∈N*) 中, 令TA={x|x=ai·aj, 1≤i<j≤n, i, j∈N*}, card (TA) 表示集合TA中的元素的个数.若 (c为常数, 且|c|>1, 1≤i≤n-1) , 则card (TA) =_________.

5.△ABC的三个内角A, B, C成等差数列, A, B, C的对边分别为a, b, c.

6.求证:方程2x+x=6 有且只有一个实根2.

7.已知点Pn (an, bn) 满足an+1=an·bn+1, (n∈N*) , 且点P1的坐标为 (1, -1) .

(1) 求过点P1, P2的直线l的方程;

(2) 试用数学归纳法证明:对于任意n∈N*, 点Pn都在 (1) 中的直线l上.

练习答案:

1.D. 2.6n+2.

4.2n-3. 5.证明略.

6.先证存在性:显然x=2是方程2x+x=6的根.

再证唯一性:假设方程2x+x=6有一个非2的实根y, 则有2y+y=6, 将其与2x+x=6相减, 得2y-2x=x-y.因为x≠y, 所以x>y或x<y.当x>y时, 2y-2x<0, 而x-y>0, 相矛盾.当x<y时, 2y-2x>0, 而x-y<0, 也矛盾.

因此假设方程有一个非2 的实根是错误的.所以不存在非2的实根y, 即方程仅有唯一实根2.

(2) (1) 当n=1时, 2a1+b1=2×1+ (-1) =1成立.

(2) 假设当n=k (k≥1且k∈N*) 时, 2ak+bk=1成立, 则, 所以当n=k+1时, 2ak+1+bk+1=1也成立.

由 (1) (2) 知, 对于任意n∈N*, 都有2an+bn=1, 即点Pn在直线l上.

(安徽余其权)

十三、复数部分

从近年高考试题的命题情况来看, 复数是每年高考的必考点, 主要考查对复数概念的理解及复数的四则运算, 且试题多位于前三题, 属于简单题.本部分有如下常见考点:

考点1 对复数有关概念的考查

高考中对复数概念的考查, 一般涉及复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等, 在解题时, 一定要先看复数是否为a+bi (a, b∈R) 的形式, 以确定其实部和虚部, 然后再进行后续的计算.

例1已知a∈R, 复数z1=2+ai, z2=1-2i, 若为纯虚数, 则复数的虚部为 () .

(A) 1 (B) i

(C) 2/5 (D) 0

解析:已知是纯虚数, 由此可得a=1, 此时, 其虚部为1.故选A.

考点2 对复数几何意义的考查

由复数的定义可知, 复数与复平面内的点一一对应, 复数与以原点为起点的向量一一对应.此外, 复数的几何意义常与复数的模相结合, 它们结合起来可以构建点的轨迹问题.

例2 已知复数x2-6x+5+ (x-2) i在复平面内对应的点在第三象限, 则实数x的取值范围是_____.

解析:因为x为实数, 所以x2-6x+5和x-2都是实数.由题意, 得即1<x<2.故实数x的取值范围是 (1, 2) .

考点3 对复数计算的考查

复数的计算是高考考查的重点内容, 主要考查对复数定义的理解及运算能力, 在解答过程中除要正确运用复数的运算法则之外, 还要多观察所给式子的特点, 灵活变形, 恰当利用一些常见结论, 以提高解题的准确率和速度.

例3 已知, 则复数z= ( ) .

(A) 1+i (B) 1-i

(C) -1+i (D) -1-i

解析:由题意, 得.故选D.

考点4 对复数的模的考查

高考中的求模问题多与轨迹、最值问题相联系, 除了考虑模的代数表示式外, 要多结合模的几何意义来分析问题.

例4若复数z满足, 则|z|=________.

考点5 对复数与其共轭复数关系的考查

复数z=a+bi与其共轭复数有许多性质, 如等, 恰当利用这些性质能够为解题带来很大的便利.

例5 已知复数是z的共轭复数, 则=_______.

配套练习:

1.若复数z= (x2-1) + (x-1) i为纯虚数, 则实数x的值为 ( ) .

(A) -1 (B) 0

(C) 1 (D) -1或1

2.已知0<a<2, 复数z的实部为a, 虚部为1, 则|z|的取值范围是 ( ) .

(A) (1, 5) (B) (1, 3)

3.复数的共轭复数是 () .

(C) -i (D) i

4.已知f (x) =x2, i是虚数单位, 则在复平面中复数对应的点在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(C) 第三象限 (D) 第四象限

5.设复数z满足i (z+1) = -3+2i, 则z的实部是______.

6.复数 (3+i) m- (2+i) 对应的点在第三象限内, 则实数m的取值范围是_________.

7.已知复数z1满足 (z1-2) (1+i) =1-i, 复数z2的虚部为2, 且z1·z2是实数, 求z2.

8.已知复数, 若是实数, 求实数a的值.

练习答案:

1.A.2.C.3.C.4.A.

5.1.6.m<2/3.

7.由 (z1-2) (1+i) =1-i, 得z1=2-i.设z2=a+2i, a∈R, 则z1·z2= (2-i) (a+2i) = (2a+2) + (4-a) i.因为z1·z2∈R, 所以a=4.所以z2=4+2i.

故a=3.

(河南胡银伟)

十四、选修4部分

选修4模块是每年课标高考的必考内容, 高考中对选修4-1 (几何证明选讲) , 选修4-4 (坐标系与参数方程) , 选修4-5 (不等式选讲) 分别命题为第22 题, 第23 题, 第24 题, 三选一, 均为10分, 属于送分题.本部分有如下常见考点:

考点1 对三角形与圆的综合应用的考查

解决几何证明问题需要用到各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论, 要熟悉各种图形的特征, 要会利用平行、垂直、相似、全等的关系, 并会适当添加辅助线和辅助图形, 这些都有利于问题的解决.另外, 解题时需注意: (1) 证明等积式时, 通常转化为证明比例式, 再证明四条线段所在的三角形相似, 此外也可利用平行线分线段成比例定理来证明; (2) 圆内接四边形的性质要熟练掌握, 利用这些性质可得到角相等, 进而为三角形的相似创造条件.

例1 如图1, D, E分别为 △ABC边AB, AC的中点, 直线DE交△ABC的外接圆于F, G两点.若CF∥AB, 证明:

(1) CD=BC;

(2) △BCD∽△GBD.

证明: (1) 因为D, E分别为AB, AC的中点, 所以DE∥BC.

又已知CF∥AB, 所以四边形BCFD是平行四边形.所以CF=BD=AD.

而CF∥AD, 如图1, 连结AF, 所以四边形ADCF是平行四边形.所以CD=AF.

因为CF∥AB, 所以BC=AF

故CD=BC.

(2) 因为FG∥BC, 所以GB=CF.

由 (1) 可知BD=CF, 所以GB=BD.所以∠BGD=∠BDG.

由BC=CD知, ∠CBD=∠CDB.

又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,

所以△BCD∽△GBD.

考点2 对极坐标与参数方程的综合应用的考查

对于参数方程和极坐标方程的综合题, 其求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后再求解.另外, 解题时需注意: (1) 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2来转化, 但有时需要作适当的变化, 如将式子的两边同时平方, 两边同时乘以ρ等; (2) 将参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等.

例2 已知曲线C1的参数方程为

以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.

(1) 把C1的参数方程化为极坐标方程;

(2) 求C1与C2交点的极坐标 (ρ≥0, 0≤θ<2π) .

所以 (x-4) 2+ (y-5) 2=25 (cos2t+sin2t) =25, 即C1的直角坐标方程为 (x-4) 2+ (y-5) 2=25.

把x=ρcosθ, y=ρsinθ代入 (x-4) 2+ (y-5) 2=25,

化简, 得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2) C2的直角坐标方程为x2+y2=2y.

所以C1与C2交点的直角坐标为 (1, 1) , (0, 2) .

所以C1与C2交点的极坐标为.

考点3 对解含参的绝对值的不等式的考查

解绝对值不等式的基本方法: (1) 利用绝对值的定义, 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2) 当不等式两端均为正号时, 可通过两边平方的方法, 转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3) 利用绝对值的几何意义, 通过数形结合来求解.

例3 已知函数f (x) =|2x-1|+|2x+a|, g (x) =x+3.

(1) 当a=-2时, 求不等式f (x) <g (x) 的解集;

(2) 设a> -1, 且当时, f (x) ≤g (x) , 求a的取值范围.

解: (1) 当a=-2时, 不等式f (x) <g (x) 化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.

其图象如图2所示, 由图象可知, 当且仅当x∈ (0, 2) 时, y<0,

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

所以a的取值范围为 (-1, 4/3].

考点4对不等式证明的考查

证明不等式的方法灵活多样, 我们要根据试题条件的具体情况选择证明方法.如作差比较法适用的主要类型是多项式、分式、对数式、三角式, 作商比较法适用的主要类型是高次幂乘积结构;用综合法证明不等式是“由因导果”, 用分析法证明不等式是“执果索因”, 它们是思路截然相反的两种证明方法, 在实际应用时, 往往用分析法找思路, 用综合法写步骤.

例4设a, b, c均为正数, 且a+b+c=1.

证明: (1) ab+bc+ac≤1/3;

证明: (1) 由a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac, 得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

由题设, 得 (a+b+c) 2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.

所以3 (ab+bc+ac) ≤1, 即ab+bc+ac≤1/3.

配套练习:

1.如图1, 已知△ABC中, AB =AC, D是△ABC外接圆劣弧上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E.

(1) 求证:AD的延长线DF平分∠CDE;

(2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为, 求△ABC外接圆的面积.

2.如图2, ⊙O和⊙O′相交于A, B两点, 过A作两圆的切线分别交两圆于C, D两点, 连结DB并延长交⊙O于点E.证明:

(1) AC·BD=AD·AB;

(2) AC=AE.

3.已知曲线C的参数方程为

曲线D的极坐标方程为.

(1) 将曲线C的参数方程化为普通方程.

(2) 曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.

4.在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知点A的极坐标为, 直线l的极坐标方程为, 且点A在直线l上.

(1) 求a的值及直线l的直角坐标方程;

(2) 圆C的参数方程为

试判断直线l与圆C的位置关系.

5.已知函数f (x) =|x-a|.

(1) 若不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 求实数a的值;

(2) 在 (1) 的条件下, 若f (x) +f (x+5) ≥m对一切实数x恒成立, 求实数m的取值范围.

6.设a, b, c>0, 且ab+bc+ca=1.

练习答案:

1. (1) 如图, 因为A, B, C, D四点共圆, 所以∠CDF=∠ABC.

又AB = AC, 所以∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB.

所以∠ADB=∠CDF.

又由对顶角相等, 得∠EDF= ∠ADB.所以∠EDF= ∠CDF, 即AD的延长线DF平分∠CDE.

(2) 设O为外接圆圆心, 连结AO并延长交BC于H , 如图, 则AH⊥BC, 连结OC.

由题意, 得∠OAC=∠OCA=15°, ∠ACB=75°, 所以∠OCH=60°.

设圆的半径为r, 则, 解得r=2.所以外接圆的面积为4π.

2. (1) 由AC与⊙O′相切于A, 得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB.所以△ACB∽△DAB.从而, 即AC·BD=AD·AB.

(2) 由AD与⊙O相切于A, 得∠AED=∠BAD.又∠ADE = ∠BDA, 得 △EAD ∽△ABD, 从而, 即AE·BD=AD·AB.结合 (1) 的结论知, AC=AE.

(2) 由, 得曲线D的普通方程为x+y+2=0.

故曲线C与曲线D无公共点.

4. (1) 由点在直线ρcos (θ-π/4) =a上, 可得.

所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2, 从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

(2) 由已知, 得圆C的直角坐标方程为 (x-1) 2+y2=1.

所以圆C的圆心为 (1, 0) , 半径r=1.

因为圆心C到直线l的距离, 所以直线l与圆C相交.

5. (1) 由f (x) ≤3, 得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3.

又已知不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2.

(2) 法一:当a=2时, f (x) =|x-2|.

设g (x) =f (x) +f (x+5) ,

所以当x<-3时, g (x) >5;当-3≤x≤2时, g (x) =5;当x>2时, g (x) >5.

综上可得, g (x) 的最小值为5.

从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].

法二:当a=2时, f (x) =|x-2|.

由|x-2|+|x+3|≥| (x-2) - (x+3) |=5 (当且仅当-3≤x≤2时等号成立) , 得g (x) 的最小值为5.

从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].

6. (1) 由于a, b, c>0, 要证, 因此只需证明 (a+b+c) 2≥3, 即证a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3.而ab+bc+ca=1, 故需证明a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3 (ab+bc+ca) , 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

又 (当且仅当时, 等号成立) , 所以原不等式成立.

在 (1) 中已证, 因此要证原不等式成立, 只需证明, 即证, 即证.

所以原不等式成立.