构造柱体积计算公式

构造柱体积计算公式（精选16篇）

构造柱体积计算公式 第1篇

构造柱的模板面积计算公式（D指马牙槎的外伸长度；K指墙体宽度；H为柱高度为）：

当构造柱位于单片墙最前端时，S=(K×3+D×2)×H

当构造柱位于L或一形墙体相交处时，S=(K×2+D×4)×H 当构造柱位于T形墙体相交处时，S=(K×1+D×6)×H

当构造柱位于十形墙体相交处时,S=D×8×H。

构造柱工程量计算公式是：V =（B+b）×A×H + K，其中：V--构造柱砼体积、B--构造柱宽度(注：指同墙轴线方向平行的尺寸)、b---马牙搓宽度(注意：马牙搓两边有时，计算一边的宽度；马牙搓一边有时，计算一边的一半宽度)、A--构造柱长度(注：指同墙轴线方向垂直的尺寸)、H--构造柱高度（自基础上表面至构造柱顶面之间的距离）、K--构造柱基础工程量

构造柱体积计算公式 第2篇

梯形判定

1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

数值积分公式的一种构造 第3篇

利用该公式就可以求得积分的精确值.但在实际情况中,会遇到以下几种情况:(1)F(x)无法用初等函数表达;(2)F(x)可以用初等函数表达,但求解非常困难;(3)被积函数f(x)是用表格的形式给出.针对以上这些问题,只能采取近似方法来得到其近似值[1,2,3].

还有一些利用被积函数的导数的数值积分公式[4,5,6,7,8],如:b∫hh2f(x)dx≈(7f2)+(f'a150+16f1+7f150-f'2).

本文充分利用被积函数f(x)以及其二阶导数f″(x),构造了一种新的数值积分公式.

一、数值积分公式的构造

(一)公式推导

设函数f(x)在区间[a,b]上足够光滑,且在[a,b]上每点的二阶导数f″(x)都存在.构造的数值积分公式如下:

先确定αi,βi(i=0,1,2,3)的值,使得公式(1)的代数精度尽可能的高.分别取

代入(1),计算得

于是得到如下数值求积公式

易知当f(x)=x7时,公式(2)成立.但是当f(x)=x8时,公式(2)不成立.因此该求积公式具有7次代数精度.为了估计上述求积公式的截断误差,需要用到广义皮亚诺(Peano)定理[9].

广义皮亚诺(Peano)定理:设截断误差R(f)是空间Cm+1[a,b]上的线性泛函,且R(f)=0的代数精度为m,那么对任意f(x)∈Cm+1[a,b],有

R(f)=R[e(x)].

其中

而x0,x1,…,xm是区间[a,b]上任意点,ξ在x0,x1,…,xm与x之间.

由(2)具有7次代数精度,再根据广义皮亚诺(Peano)定理,得余项:

其中a<ξ<b.令x=a+(t+1)3b-a,并且由积分中值定理,上式可化为[7]:

其中a<η<b.

(二)公式的复化及其加速

由(4)可知,若h比较大,即积分区间[a,b]的长度比较大,则截断误差R(f)也较大,公式(2)的求积精度就会很差.为了达到控制误差的目的,需对求积公式进行复化.

对于(5)式,令

则它们是f(x)相对于[a,b]的分割[x0,x3],[x3,x6],…,[x3n-3,x3n]的一个黎曼(Riemann)和.

由定积分定义可知,当n→∞时,J1,J2或J3都收敛于积分∫abf(x)dx.

令

则它们是f″(x)相应于[a,b]的分割[x0,x3],[x3,x6],…,[x3n-3,x3n]的一个黎曼(Riemann)和.

同理,当n→∞时,L1,L2或L3都收敛于积分∫abf″(x)dx=f'(b)-f'(a).

综上可得,当n→∞时,有

故复化公式(5)收敛.又假设f(8)(x)在区间上连续,则式(5)的余项为

其中a<η1<b.

在[x3i-32,x3i]上应用求积公式(2),有

根据(6)和(7)得

故可得

其余项

由f(8)(x)在区间[a,b]上连续,当n充分大时,f(8)(η1)≈f(8)(η2),则有

记

式(8)即为加速公式,其余项为

二、数值应用

计算积分I=∫01cosxdx,结果如下表:

该积分的精确值为0.841470984807897.由表可知,公式(5)以及(8)的精度都很高,且收敛速度快.

结论

数值结果表明:在计算定积分时,本文所构造的数值积分公式的精度是比较高的,故能很好地求得所需的近似值,并且所得到的求积公式还易于编程实现.本文的不足在于复化公式比较复杂;所得求积公式的收敛速度情况也没有涉及,这是有待进一步研究的内容.

参考文献

[1]李星.数值分析[M].北京:科学出版社,2014:56-69.

[2]李庆杨.数值计算原理[M].北京:清华大学出版社,2000:251-282.

[3]宋叶志.MATLAB数值分析与应用[M].北京:机械工业出版社,2014:343-376.

[4]吴新元.一个高精度数值积分公式[J].计算物理:1988,5(4):473-477.

[5]龙爱芳,胡军浩.一个新的数值积分公式[J].数学理论与应用:2010,30(4):72-74.

[6]郑华盛,唐经纶,危地.高精度数值积分公式的构造及其应用[J].数学的实践与认识:2007,37(15):141-148.

[7]徐伟,郑华盛,李曦.一类新的高精度数值积分公式的构造[J].数学的实践与认识:2012,42(18):207-215.

[8]张士勤.带端点导数的梯形修正公式[J].河南师范大学学报(自然科学版):2009,37(3):25-26.

构造柱体积计算公式 第4篇

【关键词】推导圆柱 体积公式

圆柱的体积是一节非常重要的课，是后面学习复杂形体知识的基础，其中圆柱体体积计算公式的推导过程是教学的重点，教学中教师引导学生通过圆柱的底面直径（半径）并沿着高将圆柱体等分为16份（32份）等，把这16等份拼起来后，拼成了一个近似的长方体。在转化后虽然形状变了（圆柱体→近似长方体），但在拼的过程中没有增加一块，也没有减少一块，所以体积不变，即近似长方体的体积等于圆柱体的体积，所以想办法求出近似长方体的体积就可以求出圆柱体的体积，从而推导出圆柱的体积计算公式。教学中教师让学生4人小组合作研究，找出近似长方体的体积与原来圆柱体的体积的关系，再找出近似长方体的底面积和高相当于原来圆柱体的哪些部分，便可推导出圆柱的体积计算公式。因近似长方体的摆放方式有3种，所以推导圆柱体积计算公式便有3种方法。

第一种方法：学生把等分成的16份拼成近似长方体后（图1），让学生4人小组合作研究，思考讨论一下3个问题：

①拼成的近似长方体的体积和圆柱的体积有什么关系？为什么？

②近似长方体的底面积和原来圆柱的底面积有什么关系？

③近似长方体的高和原来圆柱体的高有什么关系？

学生经过小组讨论后，再填写下面实验报告单：

得出这时近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高等于圆柱的高。因此，容易推导出圆柱体的体积公式：

长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高

圆柱体的体积=圆柱体的底面积×圆柱的高

V=S×h

=πr2h

其中V表示圆柱的体积，r表示圆柱的底面积半径，h表示圆柱的高。

第二种方法：当学生推导出第一种方法后（书上的方法），教师问：“除了这种推导方法外，你还能不能用其它方法推出圆柱的体积计算公式？”这时教师引导学生把拼成的近似长方体“平躺”下来摆放（图2），同样让学生4人小组合作研究，讨论以下问题：

①近似长方体的底面积等于原来圆柱的什么？

②近似长方体的高等于原来圆柱的什么？

学生填写实验报告单（同第一个报告单）后，再让小组代表汇报交流：这时近似长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半（?S侧），近似长方体的高等于圆柱的底面半径（r），而圆柱的侧面积等于底面周长乘圆柱的高（S侧=Ch），教师引导小野生进行推导如下：

长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高

圆柱体的体积=圆柱侧面积的一半×圆柱的底面半径

V=1/2S侧×r

=1/2×Ch×r

=1/2πdh×r

=1/2×2πrh×r

=πrh×r=πr2h

第三种方法：教师引导学生把拼成的近似长方体“竖”起来摆放（图3），同样让学生讨论以下问题：

①这个近似长方体的底面是由圆柱的哪些部分围成的？这个底面积怎样计算？（圆柱的高×底面半径）

②这个近似长方体的高等于原来圆柱的什么？

学生填写实验报告单后（同第一个），再请小组代表汇报：这时近似长方体的底面积是由圆柱的底面半径（r）和圆柱的高（h）围成的，其底面积等于圆柱的底面半径（r）乘圆柱的高（h），近似长方体的高等于原来圆柱底面周长的一半（C），引导学生推導如下：

长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高

圆柱体的体积=圆柱的高×底面半径×圆柱底面周长的一半

V=h×r×1/2C

=h×r×1/2×πd

=h×r×1/2×2πr

=h×r×πr

=πr2h

体积公式计算教学反思 第5篇

例9和例10是两个层次的活动，不仅操作内容、要求有区别，而且思维程度有差异。例9用1立方厘米的正方体摆出4个不同的长方体，从已有的知识和能力开始教学新知识。没有规定长方体的大小，学生可以按自己的意愿去摆，既调动积极性，又为合作学习营造了氛围。在教材预设的表格里填写每个长方体的长、宽、高，所用正方体个数以及体积，可以获得两点感受：一是沿着长、宽、高各摆几个正方体，长方体的长、宽、高就分别是几厘米；二是长方体里有多少个正方体，体积就是多少立方厘米，体积应该与长、宽、高有关。这两点感受能使学生明白：探索长方体的体积计算公式，要研究体积与长、宽、高的关系。教学例9不要急于得出体积公式，而要在摆长方体与填表的基础上，着力引导学生获得上述两点感受，形成继续研究的心向。即使有学生从例9已经看出了体积公式，也要引导他们通过例10进一步验证公式，理解体积与长、宽、高之间的必然联系，感受数学的严谨及结论的确定性。

例10根据图示的长、宽、高，用1立方厘米的正方体摆出三个长方体。活动的本质是用体积单位测量物体的体积。对学习的要求是先想怎样摆、需要几个正方体，再按想法摆，验证想的是否可行、是否正确。三个长方体是精心设计的。左起第一个长方体的宽与高都是1厘米，只要把4个正方体摆成一行，能够体会长方体长的数量与沿着长摆的体积单位个数之间有必然联系。第二个长方体的高1厘米，只要把正方体摆成一层。体会长方体宽的数量是几，沿着宽应该摆出几行体积单位。而长与宽的乘积，就是一层里体积单位的个数。第三个长方体高2厘米，要把正方体摆成2层，体会长方体高的数量与摆的体积单位的层数是一致的。教材在各个长方体里预设的教学内涵，规划了各次实物操作时的思维重点，有助于学生逐渐建构数学认识。摆各个长方体获得的体会，就是对长方体的体积与它的长、宽、高关系的理解。教材让学生说说在两道例题中的发现，是引导他们回顾、反思例题的学习，进一步清楚这些体会，并把这些体会有条理地组织起来，得出长方体的体积公式。

抓住正方体12条棱长度相等的特点，能从长方体的体积公式推导出正方体的体积公式。教材要求学生主动经历推导过程，在独立思考之后小组交流。推导的思维方法是多样的，从正方体具有长方体的所有特征出发，演绎推理能完成推导，从再现测量体积活动出发，

类比推理能完成推导： 用体积单位测量正方体的体积，每行摆的个数、摆的行数、摆的层数都与正方体的棱长相等。因此，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

各种形体面积、体积计算公式 第6篇

2、正圆柱体

3、斜截圆柱体

4、平截正圆锥体

5、正圆锥体

6、球面扇形体

7、棱锥体

8、平截长方棱锥台

9、空心圆柱体

11、球缺

10、平截空心圆锥体

12、球台

13、锲形体

14、圆环

15、桶形

圆柱的体积计算公式的推导教案 第7篇

晏金明

教学内容：教科书第19页的圆柱体积公式的推导和例6，完成第20页“做一做”的第1题和练习三的第1—2题。

教学目的：通过用切割拼合的方法借助长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，使学生理解圆柱的体积公式的推导过程，能够运用公式正确地计算圆柱的体积。

教具准备：圆柱的体积公式演示教具(把圆柱底面平均分成16个扇形，然后把它分成两部分，两部分分别用不同颜色区别开)。

教学过程：

一、复习

1．圆柱的侧面积怎么求?

(圆柱的侧面积＝底面周长×高。)

2．长方体的体积怎样计算?

学生可能会答出“长方体的体积＝长×宽×高”，教师继续引导学生想到长方体和正方体体积的统一公式“底面积×高”。

板书：长方体的体积＝底面积×高

3．拿出一个圆柱形物体，指名学生指出圆拄的底面、高、侧面、表面各是什么?圆柱有几个底面?有多少条高?

二、导入新课

教师：请大家想一想，在学习圆的面积时，我们是怎样把因变成已学过的图形再计算面积的?

先让学生回忆，同桌的相互说说。

然后指名学生说一说圆面积计算公式的推导过程：把圆等分切割，拼成一个近似的长方形，找出圆的面积和所拼成的长方形面积之间的关系，再利用求长方形面积的

计算公式导出求圆面积的计算公式。

教师：怎样计算圆柱的体积呢?大家仔细想想看，能不能把圆柱转化成我们已经学过的图形来求出它的体积?

让学生相互讨论，思考应怎样进行转化。

指名学生说说自己想到的方法，有的学生可能会说出将圆柱的底面分成扇形切开，教师应该给予表扬。

教师：这节课我们就来研究如何将圆柱转化成我们已经学过的图形来求出它的体积。

板书课题：圆校的体积

三、新课

1．圆柱体积计算公式的推导。

教师出示一个圆柱，提问：这是不是一个圆柱?(是。)

教师用手捂住圆柱的侧面，只把其中的一个底面出示给学生看提问：

“大家看，这是不是一圆?”(是。)

“这是一个圆，那么要求这个圆的面积，刚才我们已经复习了，可以用什么方法求出它的面积?”

学生很容易想到可以将圆转化成长方形来求出圆的面积，于是教师可以先把底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份)。然后引导学生观察：沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块。

教师将这分成16块的底面出示给学生看，问：现在把底面切成了16份，应该怎样把它拼成一个长方形?

指名学生回答后，老师进行操作演示，先只把底面部分拿给学生看。大家看，圆柱的底面被拼成了什么图形?”

学生：长方形。

教师：大家再看看整个圆柱，它又被拼成了什么形状?

(有点接近长方体：)

然后教师指出：由于我们分得不够细，所以看起来还不太像长方体；如果分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体了。

教师：把圆柱拼成近似的长方体后，体积发生变化没有?圆柱的体积可以怎样求?

引导学生想到由于体积没有发生变化，所以可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积。

教师：“而长方体的体积等于什么?”让全斑学生齐答，教师接着板书：“长方体的体积＝底面积×高”。

教师：请大家观察教具，拼成的近似长方体的底面积与原来圆柱的哪一部分有关系?近似长方体的高与原来圆柱的哪一部分有关系?

通过观察，使学生明确：长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。

板书：圆柱的体积＝底面积×高

教师：如果用V表示圆拄的体积，S表示圆柱的底面积，H表示圆柱的高，可以得到圆柱的体积公式； V＝SH

2．教学例6。

出示例6。

(1)教师指名学生分别回答下面的问题：

①这道题已知什么?求什么?

②能不能根据公式直接计算?

③计算之前要注意什么?

通过提问，使学生明确计算时既要分析已知条件和问题，还要注意要先统一计量单位。

(2)用投影片或小黑板出示下面几种解答方案，让学生判断哪个是正确的?

①V＝SH＝50×2．1＝105

答：它的体积是105立方厘米。

②2．1米；210厘米

V＝SH＝50×210＝10500

答：它的体积是10500立方厘米。

③50平方厘米＝0，5平方米

V＝SH＝0．5×2，1＝1．05

答：它的体积是1．05立方米。

④50平方厘米＝0．005平方米

V＝SH＝0．005×2．1＝0．0105立方米

答：它的体积是0．0105立方米。

一先让学生思考，然后指名学生回答哪个是正确的解答，并比较一下哪一种解答更简单。对不正确的第①、②种解答要说说错在什么地方。

(3)做第44页“做一做”的第1题。

让学生独立做在练习本上，做完后集体订正。

四、小结(略)

五、作业

练习十一的第1—2题。

这两道题分别是已知底面积(或直径)和高，求圆柱体积的习题。要求学生审题

新圆柱体积公式发现与运用 第8篇

我们不妨先来回忆一下圆柱体积公式的形成过程：首先把圆柱的底面分成许多相等的扇形（例如分成16份，如图1），然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图2，分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体），这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。因为长方体的体积=底面积

如果我们将拼成的近似长方体的立体图形（图2）由竖着摆放变成横着摆放（如图3），就会发现：这个长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的底面半径，所以圆柱体积的另一种计算公式是：

圆柱的体积=圆柱侧面积的一半?

例1 一个圆柱的底面半径是5厘米，侧面积是62.8 平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？

一般解法：运用公式V圆柱= S底面积进行计算。

先求圆柱的底面周长：214€?=31.4（厘米）；

再求圆柱的高：62..4=2（厘米）；

最后求圆柱的体积：3.14157（立方厘米）。

巧妙解法：根据公式“圆柱的体积=从上面的例子可以看出，用这两个公式算出的结果是一样的，两者相比，第二种解法比较简便。

如果再观察图2这个长方体，我们还可以发现：这个长方体的右边横截面是一个长方形，它的面积等于高乘半径，这个长方体的长是圆周长的一半，由此又可得出另一种圆柱体积计算公式：

构造柱体积计算公式 第9篇

教学目标：

1、使学生理解和掌握正方体的体积公式。

2、通过动画演示拼摆，找出规律，总结出体积公式。

3、会运用公式正确计算长正方体的体积。

4、培养学生积极思维，探索新知的思维品质。教学重点：能正确运用体积公式计算正方体体积。教学难点：能充分理解正方体体积的公式推导过程。教学过程:

一、铺垫孕伏（出示课件）

1、长方体的体积公式是什么？用字母怎么表示？ V=a×b×h V=abh（板书）

2、一个长4厘米,宽3厘米,高2厘米的长方体的体积是多少？

[设计意图]复习铺垫，为学习新知识做好准备。

二、探究新知（出示课件）

1、同学们，小熊给我们出了难题了，要想准确知道那个盒子的体积必须经过具体的公式计算，这节课我们就来研究如何计算正方体体积。

2、探究正方体体积公式

(1)让学生自主探索。（小组合作）可以动脑想。

可以利用棱长1厘米的小正方体来拼一拼。(2)让学生充分说。（3）课件出示

右图是一个长方体，长4厘米,宽3厘米,高2厘米,把它的长缩短1厘米,高增加1厘米后，长、宽、高各是多少?变成了什么图形?（正方体）

长3厘米,宽3厘米,高3厘米;变成了正方体。因为正方体是长、宽、高都相等的长方体,所以，这个正方体的体积是：

3×3×3=27（立方厘米）

引导学生明确：

（1）这个长方体长、宽、高都相等，实际上它是一个正方体。

那么，正方体的体积公式你知道了吗？

（2）正方体体积=棱长×棱长×棱长（板书）

（3）如果用V表示正方体体积，用a表示它的棱长（出示标有字母的正方体）字母公式为：V=a·a·a 教师提示：a·a·a也可以写作“a3”读作“a的立方”表示三个a相乘。所以正方体的体积公式一般写成：V=a3（板书）

3、运用正方体体积公式解决问题 出示例2（课件出示）

一块正方体的石料，棱长是6dm,这块石料的体积是多少立方分米？（指名板演并说体积公式）

4、小结：刚才我们通过实验推导出了正方体体积公式，这就是我们这节课学习的主要内容

（板书课题），指名说一说体积公式。

[设计意图]鼓励学生解决问题，激发他们积极主动探索解决方法的愿望，他们通过自己思考、小组讨论、集体交流、汇报的形式，自己学会用数学知识解决问题。

三、巩固发展

1、课本43页做一做第一题的第二个。

2、要制作50块棱长6厘米的正方体木块，至少需要多少立方分米的木材？（课堂出示）

[设计意图]在巩固应用中关注学生是能掌握并利用正方体体积的计算公式的方法。

四、全课小结

这节课我们学习了什么知识？

五、课堂检测

一、你能认真填写的。

课堂检测（A）

1、正方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点。

2、把棱长3cm的正方体切成棱长1cm的小正方体,可以切成()块。

3、填上合适的单位名称。

一个文具盒的体积大小约有140（）；货车的油箱的容积是50（）

数学书的封面的面积大约是300（）；一个热水瓶的容积约是2（）

4、一个正方体的棱长扩大到它的4倍，面积扩大到它的（）倍，体积扩大到它的（）倍。课堂检测（B）1、3.08 m2=（）dm2 870cm3=()dm3

6.47L=()ml=()dm3 489ml=()cm3=()dm3

2、、一个正方体的棱长之和是72厘米，它的表面积是（），体积是（）。

圆柱体积公式和表面积公式是什么 第10篇

圆柱的定义和分类

圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形(底面)以及连接两个底面的一个曲面(侧面)围成的几何体。两个底面之间的距离叫做圆柱的高。当圆柱的轴与圆柱的.底面垂直时，称该圆柱为直圆柱;当圆柱的轴与圆柱底面不垂直时，称该圆柱为斜圆柱。

以上就是圆柱体积公式。等底等高的圆锥与圆柱，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，因此掌握圆柱体积公式对圆锥的学习也很重要。

圆柱的体积公式推导 第11篇

教学内容：

西师版六年级下册数学教科书第27、28页的内容。

教学目标：

一．知识与技能

1、让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，渗透数学思想，体验数学研究的方法。

2、能够运用公式正确地计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。

3、初步体验转换的数学思想和方法，并进一步发展其空间观念。

4、通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。二．过程与方法

教学时，充分利用教具、学具，引导学生观察、操作和交流探索新知。三．情感、态度与价值观

体会类比、转化等思想，初步发展推理能力和极限思想。

教学重点：掌握圆柱体积计算公式的推导及熟练运用公式解决实际问题。教学难点：圆柱体积计算公式的推导过程。教学准备： 教具：圆柱教具。

学具：圆柱学具，数学课本。

教学过程：

一、复习引入，质疑问难 1．复习

教师出示圆柱教具（学生拿出自制的圆柱），让同学们回忆圆柱面的组成（两个底面一个侧面），在上一节我们把圆柱的侧面展开得出一个长方形（特殊时正方形），利用长方形的面积推出了圆柱的侧面积公式，请同学说一下其内容。（圆柱的高的含义，圆的面积，圆的周长，圆柱的表面积）

我们学习圆柱，除了学习这些之外，还需要学习另外一个重要的量——圆柱的体积。能用你自己的话说说，什么是圆柱的体积？（圆柱的体积就是圆柱所占空间的大小）

在我们生活中随处可以看到圆柱形的物体，有的大，有的小。课件出示圆柱形物体图片，引导学生注意圆柱形物体所占空间的大小(即体积)，为了说明圆柱形物体体积的大小，我们就需要计算圆柱体体积是多少，这就是我们这一节所要探讨的内容。

板书课题：圆柱的体积。2.复习长方体、正方体的体积

物体所占空间的大小就是物体的体积，我们学习了哪些立体图形的体积？（长方体和正方体。）它们的体积是怎么求的呢？

学生：长方体=长×宽×高，正方体=棱长×棱长×棱长。（出示课件长方体、正方体，让学生回顾它们的体积公式。总结长方体、正方体的体积都可以用底面积乘高去计算。）

如果用V表示体积，s表示底面积，h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 议一议

我们学习了长方体、正方体体积，那圆柱的体积该怎样计算呢？

请同学们分组讨论，你们有什么方法计算圆柱的体积。

（用水或沙子转化计算，用橡皮泥转化计算，用圆形纸片叠加计算……）能不能把圆柱转化为我们学过的立体图形来计算体积呢？ 圆柱的体积是不是也可以用底面积乘高去计算呢？（留下悬念）

二、图形转化，猜想推理

1、同学们，我们已经知道圆的面积公式，请大家回忆圆的面积计算公式是怎样推导出来的？（生回答）

出示课件演示圆的面积公式推导过程。

2、既然我们运用转化的数学方法求出了圆的面积，那对于圆柱的体积，能不能也利用这种转化的思想？你们想到什么？

引导学生体会：我们虽然不会计算圆柱的体积，但我们会计算长方体的体积，如果能将圆柱转化成长方体就好办了。

3、思考：怎样才能把圆柱转化成长方体呢？

引导学生思考：我们可以沿着圆柱的底面直径把圆柱的底面平均分成若干个扇形，再沿圆柱的高切开，然后拼成一个近似的长方体。

活动：学生操作学具(如有)，进行拼组。

4、课件演示拼组的过程。（提醒学生认真观察）

上面近似的长方体是把圆柱平分成若干份拼成的，如果将圆柱等分成更多的份数，你会有什么发现？（引导学生体会圆柱底面等分的份数越多，拼组成的立体图形就越接近于长方体，体会无限逼近的数学极限思想。）

5、学生根据以下问题进行讨论。

（1）圆柱拼成近似的长方体后，两者形状变了吗?体积发生变化了吗？（2）圆柱拼成近似的长方体后，两者底面积与高发生变化了吗？

讨论后学生汇报：

（拼成的近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高就是圆柱的高，因此要求圆柱的体积就只要求切拼后的近似长方体的体积就可以了。）

6、课件演示

长方体的体积=底面积×高，圆柱的高等于拼好的长方体的高，圆柱的底面积等于拼好的长方体的底面积。由此推导出圆柱的体积=底面积×高。

如果用S表示底面积，h表示高，那么圆柱体积公式怎样表示？

板书：V=Sh

7、课件出示，以填空的方式巩固回忆圆柱体积公式推导过程。

三、运用新知，解决问题

课件出示练习题

四、全课小结

老师根据学生发言，对本节课的知识进行总结，学生说得不够全面教师补充：

五、作业布置

课本29页练习八。板书设计：

用构造法求递推数列的通项公式 第12篇

【关键词】构造法；转化；化归

给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。

等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：

第一类：构造等差数列

类型1.an+1=■类型

针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，通过求{■}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。

例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=■，求数列{an}的通项公式。

解析：∵an+1=■，∴■=■+1，又∵a1≠0，∴an≠0

所以数列{■}是首项为1，公差为1的等差数列。∴■=1+n-1=n，∴an=■.

∴数列{an}的通项公式为an=■.

类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）

这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，进而得到数列{an}的通项公式。

第二类：构造等比数列

在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。

类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）

这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。

类型4.an+1=■类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）

此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到■=■·■+■化归为类型3的问题来解决。

类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）

当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到■=■.■+■，化归为类型3的问题来解决。

类型6.an+1=pann型（其中p为常数）

此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。

【总结】

此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。

【参考文献】

[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》

[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题 解决一类大问题》

[3]中学数学教学参考.姚爱亮.《高考中递推数列求通项例析》2010年第10期

（作者单位：浙江省衢州第三中学）

圆锥体积公式的推导 第13篇

（定积分）

圆锥体积公式在小学的推导法是实验法，现在在这里介绍高等几何的定积分法。

首先，设圆锥的底面半径为r，高为h。如图1：

图1 定义空间直角坐标系，以圆锥底面圆心为坐标原点，线段r（半径）在x轴上，线段h（高）在z轴上。

把圆锥分割成小圆台，切面平行于平面xOy。可据此列出体积V的公式：

因此可得一个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，与实验法吻合。

圆锥体积公式是什么 第14篇

圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的`几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边）

圆锥体积公式推导一得 第15篇

一般的实验教学只注重实验的结果，而容易忽视在实验过程中对学生能力的培养。如能在实验过程中注意对学生能力的培养，不但能提高学生对知识的理解程度，而且能全面提高学生的综合素质。本文试以人教版小数第十二册《圆锥体积公式推导》为例，浅谈在实验中如何培养学生的各种能力。

一、布置实验内容，激发学生学习兴趣。

记得一位著名的教育家曾说过‘兴趣是最好的老师’。在实验教学过程中如能激发学生的学习兴趣，教学效果会起到事半功倍的作用。圆锥的体积这一节内容是通过实验来推导体积公式的。如何激发学生的学习兴趣是我们首要考虑的问题。所以一上课我便说明今天上一节实验课，要求全体同学都来参与实验操作，看谁做得最好。学生听后欢呼雀跃，学习热情异常高涨。

二、精心准备，巧设疑问。

在实验器材的准备和实验操作上，一定要做到精心设计，还要考虑周全。不但要使学生较容易运用器材做实验，而且要为推导公式打基础。在这一环节中，我首先把全班同学分成 6个小组，然后让各小组分别推出一位小组长。由小组长领回实验器材。(每个组的圆柱和圆锥各有不同：1、4组的等底等高，但底面直径和高又有区别;3、6组的不等底也不等高;2组的等底不等高;5组的等高不等底。)让学生认真观察本小组的圆柱和圆锥特征，找出它们的异同;并把圆柱和圆锥的异同记录在实验记录本上。并想一想怎样通过圆柱求出圆锥的体积;大家都勇跃发言，情绪非常高涨。有的同学说用器具装上水，有的说装上沙大米等;有的说用圆锥装满倒进圆柱，有的说圆柱装满倒进圆锥。

三、分组实验，全面提高学生的各种能力。

分组实验能使更多的学生参与实验和讨论，更容易调动学生的学习积极性，更有利于培养学生的团队精神和竞争意识;使学生在实验中学会合作;以及通过实验加强对学生的动手能力、协作能力、分析归纳概括能力等的培养。在分组实验中，我的.具体做法：1、布置实验时说明这次实验看哪一组做得最好，在实验结束时给予表扬。2、在做实验时要求每一位学生都要动手，都要做不同的分工，同时也要配合好其他同学完成整个实验。这样通过各种附带的要求全面训练了学生的能力。

四、学生自由讨论，激发潜能增强自信心。

采用这种方法，有利于培养学生积极发言的良好作风，增强学生的自信心;同时又能很好的保护学生的自尊心，有利于学生的健康成长。因为在这样的环境中发言，就算学生说错了，也没有关系。同学们是不会用异样的眼光看着他，因为这是在讨论问题。这样学生也不会觉得没面子、不好意思了。克服了课堂发言的最大弊端。(学生因怕说错而不敢发言)在这一环节中我的具体做法是：要求同学们先在小组中讨论六个组的结论，再由全体同学自由讨论。(要求对比着各组圆柱和圆锥特征)这样可以提高学生的参与程度，让同学们都有充分发言和辩论的机会。通过这样的安排使学生有重新认识自己的机会，增强了他们的自信心。通过同学们认真细致的实验，各组得出不同的结果，其中第1组和第4组的结果相同。我抓住机会引导大家讨论研究，提出为什么这两个组的实验结果相同?通过观察两组的实验器材，和再次在全班同学面前做试验。结果发现共同的特点：他们组的圆柱和圆锥底面积相同、高也相同;第1组圆柱和圆锥的底面直径是 10厘米，高是 15厘米。第4组圆柱和圆锥的底面直径是8厘米，高是 12厘米。所以他们两个组的实验结果都是圆柱体的体积是圆锥体体积的 3倍，反过来圆锥体体积是圆柱体的体积的。最后由全体同学和老师共同归纳概括推导出公式，强调等底等高并板书：圆柱体积v=sh

等底等高

圆锥体积v= 1/3sh

最后大家齐读三遍：圆锥体的体积是和它等底等高的圆柱体体积的三分之一

通过实验教学，让我又看到天真活泼的

正方体的体积公式 第16篇

正方体的体积(或叫做正方体的容积）=棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：V=a×a×a

先取上底面的面对角线，计算，得到，根号2倍棱长V=a×a×a

这个面对角线和它相交的`棱，就是垂直于上底面的棱，

又可以组成一个直角三角形，而这个直角三角形的斜边就是体对角线，

根据勾股定理，得到，体对角线=根号3倍棱长。

正方体属于棱柱的一种，棱柱的体积公式同样适用

也可以用正方体的体积=底面积×高计算