均值不等式的变形和应用

均值不等式的变形和应用（精选18篇）

均值不等式的变形和应用 第1篇

谈对均值不等式的理解和应用

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。通过特征分析，用于证不等式

均值不等式：

1)

2)

两端的结构、数字具有如下特征：

1)次数相等；

2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

3)左和右积。

当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b+c)≥2abc

同理，b(c+a)≥2bac, c(a+b)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。

***2222

2例2.若a，b，c∈R，且a+b+c＝1，求证+.分析：由a，b，c ∈R，联想均值不等式成立的条件，并把1＝a+b+c代换+中的“1”，要证不等式变为,即，亦即，发现

互为倒数，已具备均值不等式的特征。

证明：∵a,b,c∈R,+

∴，,∴,∴

.∵ a+b+c=1, ∴

.说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。

例3.已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由题设一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式++

求解。

解：∵ x, y∈R，+

∴，当且仅当9x=16y，即

时，(xy)max=36.说明：本题若改为：x,y∈R且9x+16y=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。抓“当且仅当„„等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

在均值不等式中“当且仅当„„等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)=27abc，试判定三角形ABC的形状。

分析：(a+b+c)=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。

解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式

当且仅当

a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

（见阅读材料），即(a+b+c)3332227abc，例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x+y+z的值。22

2解：

由题设得。

∵ x,y,z>0, ∴,∴.此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即, ∴x=1,y=1, z=1, ∴x+y+z=3.222222

说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。

均值不等式的变形和应用 第2篇

均值不等式的应用策略

作者：黄秀娟

来源：《数理化学习·高三版》2013年第09期

高中阶段常用的不等式主要有以下两种形式：

（1）如果a，b∈R那么a2+b2≥2ab（当且仅 当a=b时取等号）.（2）如果a，b都是正数，那么

21/a+1/b

≤ab≤a+b2

均值不等式的灵活应用 第3篇

均值不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能, 创造运用均值不等式的条件, 合理拆添项或配凑因式是解题的关键, 满足取等条件是前提.“和定积最大, 积定和最小”、“一正二定三相等”是常用的口诀.

例1 (1) 已知x>1, y>1且lgx+lgy=4, 则lgx·lgy的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})4(\text{B})2\\ (\text{C})1(\text{D})\frac{1}{4}\end{array}$

(2) 若点P (x, y) 在经过A (3, 0) , B (1, 1) 两点的直线上, 那么2x+4y的最小值等于 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})2\sqrt{2}(\text{B})4\sqrt{2}\\ (\text{C})16(\text{D})8\end{array}$

(3) 若2ax-by+2=0 (a, b>0) 过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心, 则ab的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})1(\text{D})2\end{array}$

(4) 某民营企业的一种电子产品, 2006年的产量在2005年的基础上增长率为a, 2007年的产量在2006年的基础上增长率为b (a, b>0) , 若这两年的平均增长率为q, 则 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})q=\frac{a+b}{2}(\text{B})q\ge \frac{a+b}{2}\\ (\text{C})q\le \frac{a+b}{2}(\text{D})\text{大}\text{小}\text{关}\text{系}\text{不}\text{确}\text{定}\end{array}$

解析: (1) 选$(\text{A}).\lg x\cdot \lg y\le (\frac{\text{l}\text{g}x+\text{l}\text{g}y}{2}){}^2=4.$

(2) 选 (B) .AB的直线方程为x+2y=3, 由$2{}^x+4{}^y\ge 2\sqrt{2{}^{x+2y}}=4\sqrt{2}.$

(3) 选 (A) .圆心为 (-1, 2) , 从而a+b=1, 故$ab\le (\frac{a+b}{2}){}^2=\frac{1}{4}.$

(4) 选 (C) .由$(1+q){}^2=(1+a)(1+b)\le (\frac{1+a+1+b}{2}){}^2$而得.

例2 (1) 若正数a, b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是.

(2) 周长为$\sqrt{2}+1$的直角三角形面积的最大值为.

(3) 在△ABC中, 三边a, b, c的对角为A, B, C, 若满足2b=a+c, 则角B的取值范围是.

(4) 现有两个定值电阻, 串联后等效电阻值为R, 并联后等效电阻值为r, 若R=kr, 则实数k的取值范围是.

(5) 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市, 已知两地铁路线长400千米, 为了安全, 两列货车间距离不得小于$(\frac{v}{20}){}^2$千米, 那么这批物资全部运到B市, 最快需要小时.

解析: (1) 解法1:$ab=a+b+3\ge 2\sqrt{ab}+3$, 由题意得ab≥9, 当a=b时取等号, 故填[9, +∞) .

解法2:$ab=a+b+3\ge 3\sqrt[3]{3ab}$, 从而ab≥9, 当a=b=3时取等号, 故填[9, +∞) .

解法3:ab=a+b+3得 (a-1) b=a+3, 因为a, b为正数, 故a>1, 从而$b=\frac{a+3}{a-1}$, 所以$ab=\frac{a{}^2+3a}{a-1}=\frac{a{}^2-1+3a-3+4}{a-1}=a+4+\frac{4}{a-1}=a-1+\frac{4}{a-1}+5\ge 9$.故填[9, +∞) .

(2) 设直角边为a、b, 从而$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}=\sqrt{2}+1$, 又因为$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}\ge 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}$, 所以$(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\le \sqrt{2}+1$, 故$ab\le \frac{1}{2}$, 面积$S=\frac{1}{2}ab\le \frac{1}{4}$, 故填$\frac{1}{4}.$

(3) 由余弦定理得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-(\frac{a+c}{2}){}^2}{2ac}=\frac{3(a{}^2+c{}^2)-2ac}{8ac}\ge \frac{3\cdot 2ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$, 由于余弦函数在 (0, π) 上是减函数, 故填$0<B\le \frac{\text{π}}{3}.$

(4) 设两个定值电阻的电阻值分别为R1, R2, 则$\{\begin{array}{l}R=R{}_1+R{}_2,\\ r=\frac{R{}_{1}R{}_2}{R{}_1+R{}_2}.\end{array}$又因为R=kr, 所以$k=\frac{(R{}_1+R{}_2){}^2}{R{}_{1}R{}_2}=\frac{R{}_1^2+R{}_2^2+2R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}\ge \frac{4R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}=4$, 所以实数k的取值范围是[4, +∞) .

(5) 设这批物资全部运到B市, 需要t小时, 则

$\begin{array}{l}t=\frac{400+16\times (\frac{v}{20}){}^2}{v}=\frac{400}{v}+\frac{16v}{400}\ge \\ 2\sqrt{\frac{400}{v}\cdot \frac{16v}{400}}=8\end{array}$

, 所以这批物资 全部运到B市, 最快需要8小时.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

均值不等式的应用 第4篇

关键词：均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则■≥■（*）

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明

例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与 （■+■+…+■），故可选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由均值不等式可得，a1+a2+∧+an≥n■（1）

■+■+∧+■≥n■（2）

（1）×（2）：（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2 证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

试证：■+■+…+■＞■

分析：题目中，明显含有和式■+■+…+■，故可选■（i=1，2，…，n）为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：选■（i=1，2，…，n）为基本元素，由均值不等式得：

■（■+■+…+■）＞■（1）

考虑（1）式根号内的分母，选s-ai（i=1，2，…，n）为基本元素，再由均值不等式得：

■＞

■，

又由已知S=a1+a2+…+an，所以■＞■，（2）

（1）×（2）：■（■+■+…+■）＞■=s

所以■+■+…+■＞■

由以上证明发现，巧妙选定基本元素■和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中，不能明确体现基本元素 a1，a2，…，an，此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点，利用以前所学过的数学知识，设法分离出满足（*）式基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例3.设n∈N且n＞1，求证n！＜■n

分析：考虑到，n！=1·2·3…n，我们选1，2，3，…，n为基本元素，利用均值不等式着手解决。

简证：因为n！=1·2·3…·n，所以可选1、2、3、…n为基本元素

由（*）式■＞■，即：■＞■ ∴n！＜■n

通过拆分n！，继而发现基本元素1，2，3，…，n，再利用均值不等式入手解决，这样使看来无法下手的問题，变得有章可循，有法可依，证明起来轻松异常。

例4.设n是大于1的自然数，求证：2n-1＞n■

分析：据等比数列求和公式知，2n-1=1+2+22+…+2n-1，所以可选1，2，22，…，2n为基本元素，由均值不等式着手解决。

简证：由（*）式：1+2+22+…+2n-1＞n■ 可得：2n-1＞n■

所以2n-1＞n■.证毕。

由证明发现，通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1 使毫无思路，难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”，我们可将它转化为“ｎ个式子的乘积”，使之出现基本式a1a2…an，进而确定基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例5．设n为大于1的自然数，且０＜x＜1，证明：1+■n+1≥1+■n

分析：考虑到，1+■n＝1×1+■×1+■×…×1+■，可选1和n个1+■作为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：由于1+■n＝１×■，所以，利用均值不等式，■≥■，即■≥■也即1+■≥■，两边开n次方得：1+■n+1≥1+■n，命题得证。

此例的证明方法很多，比如常见的构造函数法，都比较麻烦。采用均值不等式证明，思路清晰，简明易懂，令人耳目一新！证明的关键是，由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”，再由均值不等式着手完成。

例6.设m、n、r为正整数且两两不等，求证：■m+n+r＞mmnnrr

分析：拆分■，■，■，可选m个m，n个n，r个r （总共有（m+n+r）项）为基本元素，再利用均值不等式解决.

证明：由（*）式：＞■＞

■

（上式中m个m，n个n，r个r相加）

即■＞■，两边式子都进行（m+n+r）次方，

所以■m+n+r＞mmnnrr.命题得证。

均值不等式及其应用 第5篇

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

均值不等式的变形和应用 第6篇

应用均值不等式定理求最值常见错误剖析及解决策略

作者：梁清芳

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第03期

摘要：均值不等式定理：若a，b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”）是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题，也是高考常考的一个重要知识点。由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误，笔者认为有必要加以总结，并给出解决的策略。

关键词：均值不等式定理 常见错误 解决策略

事实上，上述的解法是错误的。但错在哪里？许多学生不能说出错误的原因。究其原因，是由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误。均值不等式定理运用中的常见错误及其解决策略有以下四个方面：

一、忽略定理使用的前提条件导致错误，解决策略为“把负变量转化为正数”。

二、变量是正数，积不是定值而导致错误。解题策略为用凑项法，使其积为常数。综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要“正”：各项或各因式必须为正数；

二需“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

均值不等式的证明 第7篇

平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1平均值不等式

浅谈均值不等式的应用 第8篇

1 在初等数学中的应用

1.1 简单累加累乘

利用均值不等式证明不等式是一个学习难点, 这里介绍一下技巧。

根据北京召开的第二十届国际数学家大会的会标为基础, 我们可以很容易的解答此题。

其中等号成立当且仅当时成立。

像这样, 首先看已知条件, 运用均值不等式的定义, 再通过论证、推导等得出我们要证的结论, 是今后常常用到的方法, 这种方法对知识的综合性要求比较高。

1.2 求最值

利用均值不等式求最值是高中数学的一个重点。运用时必须具备三个必要条件——即一正 (各项的值为正) 、二定 (各项的和或积为定值) 、三相等 (取等号的条件) 。应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次, 下面通过具体实例说明如何求最值。

能通过拆项、换元、平方等多种变形技巧, 凑成“和为定值求积的最值”或“积为定值求和的最值”, 这是应该掌握的第二层次。

总结:在研究均值不等式时, 往往先研究均值不等式的几何背景, 并且对均值不等式的几何背景进行解释, 使得我们可以更加直观的看出结论, 从而良好地把握问题。在这个过程中, 可以适度的提供空间的探究, 通过大量且缜密的思考, 可以准确地得出问题的结论。此外, 加强重视均值不等式解决实际问题, 循序渐进地堆应用数学的意识及能力的培养。

2 对于高等数学均值不等式的作用

解:利用元均值不等式

3 利用均值不等式解决极值问题

通常, 求解函数极值题型, 首先, 写出此函数的解析式, 之后, 判断是否可以利用均值不等式来解决此题。利用微积分解决极值问题是可行并且是有效的, 除此之外, 求解一些极值问题中的特殊类型也可用均值不等式。运用均值不等式可以解决诸多相像的问题。但是, 利用均值不等式, 解答一些特殊的极值问题简洁又方便, 非常独到。解决这类问题只要求很少的基础知识, 非常容易理解。

4 利用均值不等式注意事项

(1) 不同的均值不等式对实数的取值范围有不同的要求, 如果实数在二次根号下, 要求实数大于等于零。 (2) 均值不等式是带有等号的不等式, 在解答此类问题时, 首先, 要考虑等号成立的条件。 (3) 为了便于掌握均值不等式, 可以运用多种形式, 例如, 符号表达、图形表达、生活用语。把生活语言表述成符号, 容易看出其与均值不等式的密切关系。 (4) 解答圆的直径与弦长大小的比较也可用均值不等式, 体现了均值不等式的几何意义。这是一个典型的几何问题, 在实际应用中有很多用处。 (5) 在周长相等的全部矩形中, 面积是最大的是正方形。在面积相等的全部矩形中, 周长最小的是正方形。这个结论通过反复验证、分析, 具有普遍意义。

5 总结

均值不等式是中学的一个重点, 也是一个难点, 但是它的应用很广泛, 尤其是在求函数最值的时候。事实上, 利用均值不等式求最值, “一正、二定、三相等”的条件很重要, 特别是“等号条件的成立”。但是, 在运用均值不等式的时候, 往往就容易产生这样或那样的错误。

通过本文的阐述, 让我们了解均值不等式的应用, 提醒读者正确使用均值不等式。利用均值不等式的常用技巧进行归纳, 另外, 利用均值不等式求配凑, 也是一个重点。通过本文的概括, 有助于进一步了解均值不等式的使用。本文是对利用均值不等式求最值的方法的延伸。

在以前的学习中, 均值不等式经常会接触, 只不过不够全面。在重新研究均值不等式的过程中, 其性质可以全面的总结, 对均值不等式的性质以及研究整理均值不等式的过程, 进行周密的讨论。学习对应的方法以及思路, 从而提高对均值不等式的认识。另外, 可以根据实际的情况, 对均值不等式问题, 做出适当的扩展, 也可以在教学中予以改进和提高。

摘要：均值不等式在很多领域都占有重要的地位, 但它的应用是一个难点, 本文从初等数学, 高等数学, 实际生活三个方面论述了均值不等式的应用, 有利于对均值不等式的进一步理解及应用。

关键词：均值不等式,应用,技巧

参考文献

[1]刘祖希.均值不等式的四个使用技巧[J].数学通讯, 2003。12 (20) :9-10.

[2]安振平.均值不等式的妙用[J].数学通讯, 2005.10 (18) :11-12.

[3]李家煜.n元均值不等式的应用[J].中学数学, 2004.10 (6) :32-33.

[4]李世臣.用均值不等式求极值中的待定系数法[J].数学通讯, 2000.12 (19) :25-26.

[5]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报 (自然科学版) , 1994 (2) :88-90.

高中阶段平均值不等式的几点应用 第9篇

【关键字】均值不等式；高中；应用；最值

中图分类号：G633.6

均值不等式是高中数学教材的一个重点和难点内容，在这部分的学习中，均值不等式的应用主要有三个方面，用于求最值，用于比较式子大小和用来证明不等式的成立。应用均值不等式解题时需要注意均值不等式的使用条件，掌握变形技巧，这样才能得心应手的应用均值不等式。作为一名数学教育工作者，我在教学时不断摸索和总结高效的教学方法，我发现通过开展总结性的教学专题，有利于取得更好的教学效果。例如，在教学均值不等式这部分时，我对均值不等式的各种应用情况和应用技巧进行总结，使同学们形成一个系统的框架，有利于加深同学们的理解，熟练的进行应用。

一、灵活配凑，求出最值

应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次。解题时的技巧是要学会灵活的配凑，配凑方法主要有拆项配凑法、加倍裂项配凑法、平方裂项配凑法、添项配凑法、换元配凑法和待定系数配凑法等。

我在对这一应用类型进行教学时，将每种配凑方法都用对应的几道典型例题进行讲解，让同学们体会配凑方法的选取与应用。例如，已知x>-1<-1，求函数y=（x+5）（x+2）/（x+1）的最小值。解题时，我们选取了拆项配凑法，在各因式中分别配凑出（x+1），借助于裂项解决问题。因为x+1>0，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），进而化简为y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化简到这一式子即可应用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，当且仅当x=1时成立，y的最小值为9。通过对典型例题进行分析与讲解，同学们掌握了拆项配凑法求最值的解题方法。另外，对于不同的求最值题型，我也总结出相应的求解技巧，以促进同学们遇到时能快速的做出判断。例如在求几个正数和的最值时，解题关键在于构造条件，使其积为常熟，然后选用配凑的方法进行变换。求几个正数积的最大值时，首先需要创造条件使和为常数。通常是通过乘以或除以常熟或拆因式的方法创造。最后，我对同学们的易错点进行了强调，同学们解题时常常忽略了定值的选取或是“=”号成立的条件，并对同学们的错题进行举例，以加深同学们的记忆，达到更好的教学效果。

在上述教学过程中，我通过习题讲解的方法向同学们渗透各种求最值的方法，目的是让同学们学会如何灵活的应用均值不等式。利用均值不等式求最值的方法多种多样，变化多端，只有掌握所有的变形技巧和求解方法，多做一些求最值的题型，加强训练，多多体会，在解题时灵活的配凑，才能达到举一反三的目的。

二、注意条件，比较大小

均值定理可以用来比较式子的大小。掌握这一均值定理的应用的方法是快速求最值，证明不等式和解决应用题这些题型的基础。同学们需要通过进行灵活的变化，应用均值不等式来比较式子大小。

对于这一应用，同学们经常会忽略均值定理的使用条件，致使解题思路虽然正确但因为一些偏差而错误。对于这部分进行总结时，我将同学们出现过的典型错题进行分析与讲解，让同学们既学会这一应用的技巧和方法，同时把握住易错点，做题时谨慎注意。例如，a>b>1，Q=√（lga*lgb），W=（lga+lgb）/2，S=lg[（a+b）/2]，比较Q、W、S的大小。因为a>b>1，所以我们可以判断出lga>lgb>0，所有变元为正数，因此在解题时，可以通过均值定理来比较三个式子的大小。否则，如果题目中没有给出a>b>1的条件，我们需要分a>1，b>1和a<1，b<1，和a>1，b<1，和a<1，b>1这四种情况进行分类讨论的。同学们在解题过程中，需要首先判断是否可以应用均值定理，在解答中明确的写出判断能够应用均值定理的条件，然后再进行比较大小，这样的解题过程才是最完整、最准确的解答。

在应用均值定理比较大小时，同学们一定要首先判断是否满足应用均值定理一“正”，二“定”，三“相等”的条件，然后灵活的应用均值不等式a^2+b^2≥2ab和a+b≥2√（a*b），进行式子大小的比较。

三、巧妙代换，转化证明

均值定理是证明不等式的有力工具，应用技巧主要有巧用常熟、巧变项，通过巧添、巧拆、巧凑常数或者是项进行巧妙的代换，然后应用均值定理实现不等式的证明。

对于均值定理的这一应用的教学中，我首先通过例题讲解了巧用常数与巧变项的方法。例如，已知a>0，b>0，a+b=1，求证√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤2。对于这道题的求解，是通过巧用常数进行转化的。为了脱去左边不等式的根号，可以通过条件a+b=1来实现，把a+1/2看作是（a+1/2）*1把， b+1/2看作是（b+1/2）*1，然后利用均值定理凑出常数因子，√[1*（a+1/2）] ≤（1+a+1/2）/2=a/2+3/4，√[1*（b+1/2）] ≤（1+b+1/2）/2=b/2+3/4，因此原不等式就转化为√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤a/2+3/4+ b/2+3/4=（a + b）/2+3/2=2，不等式得证。通过对于这一例题的讲解，同学们理解了巧用常数这一技巧。同样的其他常数的用法和项的用法也是通过例题向同学们渗透。对方法进行完总结后，我对利用均值定理证明不等式的常见题型进行了汇总。第一类是对称性的不等式，这类不等式的证明技巧通常是分别应有均值定理然后将所得不等式两边分别相加或相乘即可得证。第二类是需要整体替换的不等式，这类不等式通常是先观察不等式的特征，然后结合题目中的条件进行整体替换。第三类是在证明中需要利用题目中隐含条件的不等式。这类问题需要同学们善于充分挖掘题目中隐含条件，例如通过题目提供的条件a+b=1，可以挖掘出a* b≤1/4这一条件，在证明过程中进行替换。

应用均值定理证明不等式，需要同学们仔细观察不等式和所给条件，分析所证不等式的结构特征，灵活运用各种技巧和方法进行解题。同学们经过不断的练习，才能迅速的通过观察分析找到解题思路，准确迅速的求证。

均值不等式因其应用的广泛性与灵活性，是高中学习的一个难点。本文对均值不等式的求最值、比大小、证不等式这三个应用进行了总结与探讨，并对同学们的易错点进行分析，旨在强化同学们对于均值不等式的应用。同学们在应用均值不等式时，一定要切记均值定理的使用条件和变形技巧，減少错误的发生，提高解决问题的能力。

参考文献：

[1]刘艺.均值不等式的应用[J]. 教育教学论坛，2011（17）.

均值不等式的证明 第10篇

你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把

对n做反向数学归纳法

首先

归纳n=2^k的情况

k=1。。

k成立k+1。。

这些都很简单的用a+b>=√(ab)可以证明得到

关键是下面的反向数学归纳法

如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得证

n=2^k中k是什么范围

k是正整数

第一步先去归纳2，4，8，16，32...这种2的k次方的数

一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。

而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”

我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。

请赐教!

sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证明：

1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n

两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n

(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：

柯西不等式变式：

a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立

只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数

nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an

也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)

f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)

(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0

2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an

即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)数学归纳法:但要用到(1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍

3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号

由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n

所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证毕

特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b

证明：

1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2两边平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即证(a/2-b/2)^2≥0显然成立

2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立

此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半

3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2

0.均值不等式的常见题型 第11篇

一 基本习题

2、已知正数a,b满足ab=4，那么2a+3b的最小值为()A 10 B 12 C 43 D 46

3、已知a＞0,b＞0，a+b=1则11的取值范围是()abA(2,+∞)B [2,+∞)C(4,+∞)D [4,+∞)

4、设x,y为正数，(x+y)(14)的最小值为（）xyA 6 B 9 C 12 D 15

5、设a,bR，则下列不等式中不成立的是()112ab1a2b2ab 2 DA(ab)()4 B 2ab Cababababab6、设a0,b0，则下列不等式中成立的是（）

112ab1a2b2(ab)()4ab ab22C D abA B abababab8、已知下列不等式：①x332x(xR)；②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③a2b22(ab1).其中正确的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个

9、已知a1,0b1则logablogba的取值范围是（）A(2,)B[2,)C(,2)D(,2]

二 有关范围问题

1、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是.以及ab的取值范围.2、已知x＞0,y＞0且x+2y+xy=30,求xy的最大值.3、已知x0,y0且——————。

4、问是否存在正整数k，使不等式果不存在，试说明理由。211，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是————xy11k恒成立？如果存在，求出所有k值；如abbcac 1

5、较难：设abc0，则2a21110ac25c2的最小值是（）aba(ab)A．2 B．4 C．25 D．5

6、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求

11的最小值 ab三 典型例题分析

1、若a,bR且ab1，求证：a

2、是否存在常数c，使得不等式试证明你的结论.注：考虑xy的特殊情况.3、已知x,y,z是互不相等的正数且xyz1，求证：（4、若a > b > 0,求a211b2 22xyxyc对任意正数x,y恒成立，2xyx2yx2y2xy11111)(1)(1) xyz816的最小值

b(ab)

5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy的最大值

6、已知x > 0,y > 0,且xy1,求xy的最大值 34 2

四求函数的值域或者最值

1、已知0x

均值不等式的正确使用及例题 第12篇

利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 a2b2abab2均值不等式是指，ab(a,bR)，它的变形式子有ab()，ab22

2(ab)2

2(a2b2)等。由此可知，在求ab的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？

通过比较发现，若已知ab是定值，求ab的最大值可使用第一个不等式；若已知a2b2是定值，求ab的最大值可用第二个不等式，若求ab的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提

例1.已知正数a、b满足2a2b23，求ab21的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立

2例2.已知ab0，求a4的最小值。b(ab)

二.均值不等式的应用

（一）用于比较大小

例1.若ab1，Plgalgb，QA．RPQ

例2.若pa B.PQR 1ab，则（）(lgalgb)，Rlg22 C.QPRD.PRQ 12(a0)，qarccost(1t1)则下列不等式恒成立的是（）a

A.pqB.pq0C.4pqD.pq0

（二）用于求取值范围

例3.若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是。

（三）用于证明不等式

例4.已知i、m、n是正整数，且1imn，求证：(1m)n(1n)m.三.均值不等式中等号不成立时最值的求法

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。在解题的过

程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象，下面浅析此时的应付对策。

（一）平衡系数，实施均拆

这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等。

例1.求函数y3x1(x0)的最小值。x

2（二）引入参数，巧渡难关

例2.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

（三）依函数单调性处理，简捷迅速

例3.求函数yx2

5x

42x212

x422(xR)的最小值。的最小值。例4.求函数y

（四）分项拆项，观察等号 对于函数f(x)pxq(p、qR，x(0，c])x的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。

例5.已知x[0)，求函数y1sinx

22的最小值。1sinx

（五）利用化归思想解决两次均值不等式等号不成立时的问题

22例6.设实数m，n，x，y满足mn4，x2y29，求mxny的最大值。

四.解决最值问题的不等式模型

最值问题一直是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。同时在解题的过程中，不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题。下面就总结一下解决最值问题的六个常用不等式模型。

2（一）运用“x0”模型

22对任意的xR，有x0恒成立，运用x0等号成立的条件，可解决二次函数型的最值，同时要区分在闭区间的最值问题。

例1.已知x、yR，且xy1，求x2y2的最小值。

例2.函数ycos2x3cosx2的最小值为（）

A.2B.0C.

（二）运用“0”模型 1D.6

4将函数看作关于自变量的方程，常可化为一元二次方程ax2bxc0(a0)，运用“xR,b24ac0”求函数的最值。

例3.如果实数x,y满足(x2)2y23，那么

A.y的最大值是（）x331B.C.D.3 32

2，|cosx|1”模型

（三）运用“|sinx|

1此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题，解法是先化为关于正余弦函数的，|cosx|1来完成。一次式，再利用有界性即|sinx|1

例4.定义在R上的函数f(x)sinxcosx的最大值是____。

例5.函数f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值是_______。

（四）运用“a,bR，ab2ab”模型

利用二元均值不等式求最值，应注意遵循条件“一正二定三相等”。

例6.若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是（）

A.18B.6C.23D.2 

（五）运用“a、b、cR，abcabc”模型

在高考中，对于均值不等式应用已限制在二项或三项，在中学知识范围内，对三次函数求最值，运用均值不等式是行之有效的方法，但必须要符合“一正二定三相等”三条件。

例7.已知sin2sin2sin21(、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于

（六）运用“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的模型

对于较困难用以上五种常用不等式模式解决的最值问题，可通过数形结合或单调性等法，得到“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的通用模型，用等号成立条件而获解。

x22xa1，x[1，)，当a时，求函数f(x)的最小值。例8.已知函数f(x)x2

2x3，x0，0x1的最大值是_____。例9.f(x)x3，x5，x1

均值不等式的变形和应用 第13篇

由于此问题是一个与自然数有关的命题，因此可以使用数学归纳法解决.又由于此问题左端可看做一函数(数列)，因而可通过构造函数的方式解决.在此，本文主要讨论使用均值不等式来求解.

均值不等式：设a1, a2，…，an是n个正数，则

即调和平均值H (n) ≤几何平均值G (n) ≤算术平均值A (n) ≤均方根平均值Q (n) ,

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

(1）几何平均小于算术平均

当且仅当n+k=3n+2-k，即n=k-1时，取等号，而n=k-1≤k，所以不能取等号.

(2）调和平均小于算术平均

当且仅当时取等号, 故等号取不到.

均值不等式失效时的解决方法 第14篇

引言 [∵x<0，y<0]，[∴xy>0，1xy>0].

故[xy+1xy≥2xy?1xy=2，]取“=”时，当且仅当[xy=1xy，]即[x2y2=1，]但这是不可能的.

因为[x+y=-1，]且[x<0，y<0，]所以[-1

所以不存在[x，y]使得[x2y2=1，]即不存在[x，y]使得[xy+1xy=2，]这样的话，均值不等式就失效了，怎么办？

解法一 令[xy=t]，则[0

所以[y=-1-x，]代入[xy=t]得，[x2+x+t=0].

因为[x<0]，所以[Δ≥0]，得[0

很明显，函数[f（t）=t+1t（0

解法二 因为[x+y=-1，]且[x<0，y<0，]所以设[x=][-sin2θ，y=-cos2θ，][xy=sin2θ?cos2θ=14sin22θ，]即[0

再令[xy=t，]得[0

以下同解法一或求导计算可得结果.

解法三 由[x+y=-1]得，[y=-1-x.]

又因为[y<0，]即[-1

所以[xy+1xy=-x-x2][-1x+x2]为此等价构造新函数[h（x）=-x-x2-1x+x2（-1

[h（x）=-1-2x+1+2x（x+x2）2][=（1+2x）（-1+1（x+x2）2）=0]，

所以[x=-12]或[x=-1±52]（舍）.

故[x=-12]时，函数取得[h（x）]取得最小值[174]（否则无最小值），即[xy+1xy]的最小值为[174].

反思 （1）运用均值不等式[a+b≥2ab（a>0，b>0）]应注意“一正、二定、三相等”的约束条件，尤其注意等号成立的条件，当且仅当“[a=b]”时取“=”号.

（2）当均值不等式失效时，一般情况下，可以化为“√”函数，利用其单调性解决.

（3）若对“√”函数不熟悉，可考虑通过换元，把已知与结论联系起来，等价转化为一个新函数，利用导数求解.

均值不等式证明 第15篇

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

不等式证明,均值不等式 第16篇

3、(abc)(1119) abbcca24、设a,bR，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dR求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值

（1）已知x＞0，求y2x

（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x

2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

13、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

均值不等式教案2 第17篇

【教学目标】

1．知识与技能：利用均值定理求极值与证明。

2．过程与方法：培养学生的探究能力以及分析问题、解决问题的能力。

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养善于思考、勤于动手的学习品质。【教学重点】利用均值定理求极值与证明。【教学难点】利用均值定理求极值与证明。

【教学过程】

1、复习：

定理：如果a,b是正数，那么

abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键

3、例子：

1)已知x≠0，当x取什么值时，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x13）已知x∈R，求y=x22x12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx15）已知0

8）要建一个底面积为12m2，深为3m的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？

9）一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 小结：利用均值定理求极值

课堂练习：第73页习题3-2B:1,2 课后作业：第72页习题3-2A:3,4,5 2

板书设计：

均值不等式的变形和应用 第18篇

1 基本算术-几何均值不等式

如果a、b R+∈,那么(当且仅当a=b时,“=”成立),这个不等式称为基本“算术-几何”均值不等式,也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的内容及形式,便能快速找到问题的突破口,从而解决问题。

例1:已知a、b、c是互不相等的正实数,且abc=1,求证:

2 算术-几何均值不等式的拓展

如果1x、2x、…、+nx∈R,那么(等号成立,当且仅当1x=2x=…=nx)[1]。不等式由两项推广到任意项,应用性充分增强,对此不等式应用琴生不等式给予证明。

琴生不等式[1]:如果x1、x2、…、xn是上凸函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点,则有:

证:构造函数在(0,+∞)上为上凸函数,根据琴生不等式可推出:

以上证明的不等式称为伯努利不等式。证明时注意条件的应用,这保证了均值不等式成立,同时也说明了等号不成立。该题充分展示了算术-几何均值不等式形式的构造及在不等式证明中的应用。

该题进一步展示了“算术-几何”均值不等式在不等式证明中的应用,该题将此不等式的应用扩充到了n+1项,充分体现了“算术-几何”均值不等式的扩展。

3 “算术-几何”均值不等式在经典不等式证明中的应用

“算术-几何”均值不等式不但可以解决一些基本不等式的证明问题,还可以用来证明一些经典不等式,如证明柯西不等式。

柯西不等式[1]:设为两组实数,则

证:当n=1时,不等式显然成立

假设当n=k时,不等式成立,即

故原不等式成立。

这里的证明是为了突显均值不等式的应用,当然柯西不等式还有其它证明方法,如构造二次函数法。

4 算术-几何均值不等式在积分不等式证明中的应用

利用算术-几何均值不等式来证明不等式时需要构造不等式的内容及形式,同时需要注意均值不等式的条件“一正二定三相等”,从上面的例子可以看出算术-几何均值不等式在不等式证明中的实用性和重要性。

摘要：均值不等式是数学中几个经典不等式之一,在生产和生活中具有重要作用,是证明不等式及求解各类最值问题的一个重要依据和方法。其中算术-几何均值不等式应用最为广泛,具有变通灵活性和条件约束性等特点,在不等式证明方面具有不可忽视的作用。本文分别从内容的突破和形式的构造两个方面,探索算术-几何均值不等式在不等式证明中的应用。

关键词：不等式,算术-几何均值不等式,应用

参考文献

[1]王学功.著名不等式[M].北京:中国物资出版社,1993:12-15.

[2]吴善和,石焕南.平均值不等式的推广及应用[J].贵州教育学院学报,2003,14(2):14-16.

[3]刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报:自然科学版,2009,9(1):14-15.

[4]冉凯.平均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报:自然科学版,1997,1(4):35-38.