二次函数实际问题应用

二次函数实际问题应用（精选11篇）

二次函数实际问题应用 第1篇

二次函数在实际问题中的应用教学案例

一、案例背景

《新课标》要求改善学生的学习方式，教师要彻底改变过去那种满堂灌的现象，注重以生为本，一切为了学生，一切为了学生的学习。教师要当好学生数学学习的成功组织者、有效指导者和真诚合作者。

本节课是2012年3月我上的一节数学复习课，本节课主要是通过创设问题情境，给学生充分的时间和空间来搭建展示自我的舞台，让教学真正实现教与学的交往、互动，在交往与互动的合作过程中师生分享彼此的思维、经验和知识，交流彼此的情感、体验和观念，彼此形成一个真正的“学习共同体”。

二、案例主题

课 题：二次函数在实际问题中的应用 素质目标：

1、知识技能目标：让学生进一步掌握二次函数的知识，了解二次函数与二次方程之间的联系和转化关系。

2、过程与方法目标：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

3、情感态度与价值观目标：通过实例让学生了解数学源于生活而服务于生活，培养学生用数学的意识和创新能力。重 点：二次函数在实际问题中的应用

难 点：如何用二次函数的数学模型解决实际问题 教法与教具：合作探究法 多媒体

三、案例回放

(一)[创设情景 导出新课] 用多媒体播放一男生推铅球的情形，数学科代表说：这个男生推铅球的距离正好符合我们学习的二次函数：铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)间的关系式为。问其他同学：该男生铅球推出的距离为多少米？

科代表这话题一打开，一石激起千层浪。同学们说：“二次函数在实际问题中的应用非常广泛”。

有的同学说：将铅球换成足球，反过来可看成踢足球射门；有的同学说：电视中跳水运动员在空中运动路线形如一条抛物线；有的同学说：农村的自动喷灌的水流呈抛物线状；有的同学说：军事频道中防空导弹运行的轨道是一条抛物线…等等。这样课堂气氛开始活跃起来。

下面我们来研究一下刚才同学们想到的“二次函数在实际问题中的应用情形”。

(二)[精讲变式，巩固提高] 用多媒体播放踢足球的射门的慢镜头，展示问题1：在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门。球在空中的路线形如 的抛物线，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米。已知球门高2.44米，假定在无人拦截的情况下能否射中球门？ [分析]学生们一看果然是踢足球，兴致大增。

教师与学生共同参与探讨：①能否射中的含义是什么？②“当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米”给你什么启示？③球飞行到水平距离为10米时，其高度是比2.44m大还是小？如何来求这个高度呢？

通过分组讨论，同学们很快发现：必须将足球飞行高度与水平距离的关系式找出来？一位平时不爱学习但非常喜欢踢足球的学生恨不得下位进行演示，并用很快地参与到和本组成员的讨论之中，主动地将自己的结果拿出来进行展示，，而不知道怎样计算足球能否射中？此时，同学们哄堂大笑。我在一旁启发：足球踢了多远？这时，这位男生才悄然大悟，计算出了当 时，可以射中。

[示范]将每个小组推选出的有代表性的作品进行展示，并让学生点评、指正，教师点拨。

点评：通过合作探究，学生对数学学习兴趣增强了。打开了学生思维的闸门，使学生进入“求通而未通，欲言而未能”的境界，增强了学生的学习内驱力，学生的学习由被动接受到积极参与，主动探究。

抓住时机，教师在屏幕上播放郭晶晶跳水的画面，问学生：她为什么跳得那么完美？

展示问题2：某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高为 米，入水处距池边的距离为4米。同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米。问：此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

[分析]在屏幕上再次播放郭晶晶跳水的镜头，然后把她放到直角坐标系中，让学生利用二次函数的模型来解释她跳水这么完美的原因？分组交流，教师点拨。跳水运动员在空中的运动路线是经过原点的一条抛物线，要求其解析式。（1）如何设出其解析式？（2）该抛物线经过哪几个点？（3）其坐标怎样表示？（4）会不会失误的标准是什么？[即在距水面高度为5米以前完成动作] 点评：对解释好的同学给予鼓励，甚至可以赞赏他具备担任跳水运动员教练的天赋。这样在许多公众场合，一些以前躲于人后、怕抛头露面、羞于启齿的学生也开始有了探究地欲望、交往的愿望、展示自我的渴望。(三)[变式训练，深化提高] 用电脑播放农村改革开放后自动喷灌的景象，让学生用所学的知识来帮助农民设计出最好的喷灌方式，展示问题3：改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个旋转的喷水头。一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高C点成45°角，且比喷头B高出2米。在所建坐标系中，求水流落地点D到A点的距离是多少米？

让学生分组合作，并根据题意画出图形，并进行展示，鼓励学生致力于用科学知识帮助农民提高生产力，做改革的工程师。

最后用多媒体播放防空导弹射击训练的画面，引出问题4：如图，是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标中示意图，在地面上O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为 和，OA=1千米，位于O点正上方 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导师弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）。（1）若导弹运行轨道是一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。

让学生分组讨论，合作交流，并进行展示。得出“二次函数在实际问题中的应用是非常广泛的”。还有哪些生活知识可以用“二次函数的模型”来解决？学生们会有意欲未尽，余味无穷的感觉。(四)[归纳小结，形成能力]让学生自我归纳

1、二次函数的解析式有哪几种不同的形式？适用的范围是什么？

2、利用二次函数数学模型解决实际问题时，应注意数形结合的思想。

3、函数在实际生活中应用非常广泛。

四、案例反思

以前我们的教学，总是生怕学生听不懂，特别对于重点难点的内容，以为这部分讲得多，讲得透，就能突出重点了，实际上教师讲得多并不代表学生都能听明白，要使学生真正掌握知识点，最好的方法还是创设问题情景，为学生搭建学习的“脚手架”，寻找学生认知的“最近发展区”，采 用分小组合作探究，给学生以探究和思考的空间。形成一种生动活泼、潜力无穷、人人参与、主动积极学习的活动形式。

本节课通过一系列的问题设计，以“生活与数学”、“活动与思考”、“表达与应用”为主线开展课堂教学，让学生在轻松、快乐而紧张的课堂氛围中自主探索，我通过精心预设，为学生搭建个性张扬的舞台，并把竞争引入到课堂中去,让课堂充满了活力。让我感受较深的一点是：课堂上多给学生尝试归纳，教师要及时给予一定的鼓励，并继续给予引导，培养学生归纳总结的能力，让学生形成自己独特的学习方法。遗憾的是：本节课容量较大，最后的变式训练题让学生探索稍微显得过快。

二次函数实际问题应用 第2篇

二次函数与实际问题(复习)教案

《二次函数与实际问题》（复习）教案 单位：上饶县尊桥中学 年级：九 设计者：罗兴满 时间：2010年6月13日 课题 二次函数 课型 复习课 教学目标 知识技能 掌握二次函数的解析式求法，能灵活运用抛物线的解析式的求法和图象的性质知识解一些实际问题． 数学思考 通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题 学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点 二次函数解析式的求法和图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点 二次函数解析式的求法性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备（教具、活动准备等） 制作课件 教 学 过 程 教学步骤 师生活动 设计意图 基础知识之 自我构建   1、二次函数解析式的`三种表示方法： （1）顶点式：y=a(x-h)2+k （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（3）一般式： 2、求二次函数的解析式，在怎样的情况下，对应地设其解析式求解更方便。   通过二次函数，请学生说出结论，主要让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之 基础演练 例1、已知二次函数的图象过点（1，4），且与x轴交点为（-1， 0）和（3，0），求此函数的解析式。   例2、已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．       第1题主要是学生复习用一般式求二次函数的解析式。 第2题主要复习二次函数的顶点式解析式的简捷求法。   基础知识之 灵活运用   例3、利用二次函数解决实际问题 一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米， （1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。 （2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？         第3题涉及用一般式二次函数求实际问题的解析式，二次函数的平移性质，根据图象平移，就能正确写出该运动员应该跳多高。让学生经历和体验图形平移的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化．数形结合思想是一种重要的数学思想。   难点突破之 思维激活 例4．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式． （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥220km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？                     本部分这道题目不能呆板地应用二次函数的基础知识，而要综合相关知识，以达到能力提升之目的．这种函数Y=ax2 学生都以为只要一个点的坐标就够了，但这里有两个未知数，就只有列方程组才可以求出所要的未知数的值。 另一方面，抛物线的问题，似乎与另外的一个问题无关，但实际上这种关联，需要思维的跨越，这里的时间，正是在第二问中所要用的路程与速度、时间相关联的。这一点如果联系不起来，那么就无法解题。     难点突破之 聚焦中考 例5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元． ⑴若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． ⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？ 本题首先读懂题意，正确求出二次函数解析式．二次函数的最值是体现二次函数实际应用价值的一种常见题型，它在优选方案、减小投入、增大收益中意义非凡．解题时通常借助顶点坐标来求，但有时由于实际问题实际意义的限制，需结合自变量的取值范围进行调整．本题由图象可知，抛物线顶点（15，1250）不在本题图象上，它不是最高点，最高点应该是（12，1232）或者这样理解：顶点横坐标是15，不满足，因此不能理解为：当时，y取最大值为1250元． 反思 与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 归纳本章知识网络图示   实际问题 二次函数 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的答案       让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界――提升思维品质，形成数学素养．                        

二次函数实际问题应用 第3篇

解设每件涨价x元, 每星期售出商品的利润为y元.

根据题意得,

y= (60+x) (300-10x) -40 (300-10x) = (20+x) (300-10x) (0≤x≤30) .

当y=0时, 20+x=0, 300-10x=0,

x1=-20, x2=30.

∵a=-10<0,

ymax= (20+5) (300-10×5) =6250.

答:定价65元利润最大, 最大利润是6250元.

那么, 什么形式的二次函数用这种方法求解简单呢?

形如:y= (mx+n) (px+q) , (mp≠0) ,

当y=0时, mx+n=0, px+q=0,

∵mp≠0, ∴m≠0, p≠0.

时, y有最值.它的计算方法是只要把对称轴x的值代入即可.

试着做下面的几道中考题

1. 种植能手小李的实验田可种植A种作物或B种作物 (A, B两种作物不能同时种植) , 原来的种植情况如表.

通过参加农业科技培训, 小李提高了种植技术.现准备在原有的基础上增种, 以提高总产量.但根据科学种植的经验, 每增种1棵A种或B种作物, 都会导致单棵作物平均产量减少0.2千克, 而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%.设A种作物增种m棵, 总产量为yA千克;B种作物增种n棵, 总产量为yB千克.

(1) A种作物增种m棵后, 单棵平均产量为__千克;B种作物增种n棵后, 单棵平均产量为__千克;

(2) 求yA与m之间的函数关系式及yB与n之间的函数关系式;

(3) 求提高种植技术后, 小李增种何种作物可获得最大总产量?最大总产量是多少千克?

解 (1) (30-0.2m) ; (26-0.2n) .

(2) yA= (50+m) (30-0.2m) , 即yA=-0.2m2+20m+1500yB= (60+n) (26-0.2n) , 即yB=-0.2n2+14n+1560.

(3) 由 (2) 得y=0时, m1=-50, m2=150.

∵-0.2<0, ∴当m=时, yA有最大值, 但m≤50×80%, 即m≤40.

∴当m=40时, yA的最大值为1980.

∵-0.2<0, ∴当n=35时, yB有最大值, 并且n≤60×80%, 即n≤48.

∴当n=35时, yB的最大值为1805.

又∵1980>1805,

∴小李增种A种作物可获得最大产量, 最大产量是1980千克.

2.

某商品的进价为每件40元, 售价为每件50元, 每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元, 则每个月少卖10件 (每件售价不能高于65元) .设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数) , 每个月的销售利润为y元.

(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为2200元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时, 每个月的利润不低于2200元?

解 (1) y= (210-10x) (50+x-40) , 或y=-10x2+110x+2100 (0

(2) y=0时, x1=21, x2=-10.

∵a=-10<0, ∴当时, y有最大值2402.5.

∵0

当x=5时, 50+x=55, y=2400 (元) , 当x=6时, 50+x=56, y=2400 (元) .

∴当售价定为每件55元或56元时, 每个月的利润最大, 最大的月利润是2400元.

(3) 当y=2200时, -10x2+110x+2100=2200,

解得x1=1, x2=10.

∴当x=1时, 50+x=51, 当x=10时, 50+x=60.

∴当售价定为每件51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

当售价为51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

二次函数的实际应用 第4篇

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x²+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x²+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x²+128x+640=1080

整理．得X²16x+55=0

解之，x₁=5，X₂=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x²+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x²+360x-9600

=－3(x-60)²+1200，

又，x≤55，且x<60时，w随x的增大而增大

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)²+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售价不得高于90元／千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

实际问题与二次函数反思(改完) 第5篇

人教版实际问题与二次函数第一个探究题是用二次函数求解最大利润问题。题目内容是：

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

第一节是十三班的课，我知道二次函数应用是难点，何况该题目又是涨价又是降价。我怕把学生弄糊涂，上课后先让学生读题弄明白题意，后又让学生讨论。大约10分钟，检查结果很不理想。大部分学生对该题目感觉无从下手。相当一部分学生考虑问题的出发点总离不开方程。

给十四班上课之前我就琢磨，怎样才能让学生从方程思想过渡到函数。函数也是解决实际问题的一个重要的数学模型，是初中的重要内容之一。其实这这类利润问题的题目对于学生来说很熟悉，在上学期的二次方程的应用，经常做关于利润的题目，其中的数量关系学生也很熟悉，所不同的是方程题目告诉利润求定价，函数题目不告诉利润而求如何定价利润最高。如何解决二者之间跨越？于是在第二节课的教学时我做了如下调整，设计成三个题目：

1、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？

（学生很自然列方程解决）

改换题目条件和问题：

2、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

分析：该题是求最大利润，是个未知的量，引导学生发现该题目中有两个变量——定价和利润，符合函数定义，从而想到用函数知识来解决——二次函数的极值问题，并且利润一旦设定，就当已知参与建立等式。

于是学生很容易完成下列求解。

解：设该商品定价为x元时，可获得利润为y元 依题意得： y ＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕

＝－10x2＋1300x－36000

＝－10(x－65)2＋6250

300－10（x－60）≥ 0

当x=65时，函数有最大值。

得x≤ 90

（40≤x ≤ 90）

即该商品定价65元时，可获得最大利润。

增加难度，即原例题

3、已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

《实际问题与二次函数》教学反思 第6篇

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

二次函数的实际应用的反思 第7篇

张珺瑕

二次函数的实际应用，根据自己书写的教案，从教材分析、教学方法、学法及教学手段的选择、教学过程设计等方面做出具体的说明。

教学内容的地位、作用和意义，二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。

本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。教学目标：（1）、使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。（2）、培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。教学重点：（1）、使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）、使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．

教学方法、学法及教学手段的选择

二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合我所教班级的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。

关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境 → 学生自主+合作完成数学建模 →一题多解思维拓展 → 掌握建模关键点形成解题技能。

二次函数实际问题应用 第8篇

1.定义与定义表达式

一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系:

为常数, a≠0, 且a决定函数的开口方向, a>0时, 开口方向向上, a<0时, 开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大。)

则称y为x的二次函数。

一般式:为常数, a≠0) [已知过三点的坐标时]

顶点式:[已知抛物线的顶点P (h, k) ]

交点式:[仅限于与x轴有交点和的抛物线]

3.二次函数的图像的性质

a.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。

b.抛物线有一个顶点P, 坐标为。

c.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时, 抛物线向上开口;当a<0时, 抛物线向下开口。

|a|越大, 则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时 (即) , 对称轴在y轴左;

当a与b异号时 (即) , 对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于 (0, c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ>0时, 抛物线与x轴有2个交点。Δ=0时, 抛物线与x轴有1个交点。

Δ<0时, 抛物线与x轴没有交点。

7.二次函数与一元二次方程

特别地, 二次函数当y=0时, 二次函数为关于x的一元二次方程 (以下称方程) , 此时, 函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二、理论联系实际

1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为40只且每日产出的产品全部售出, 已知生产x只玩具熊猫的成本为R元, 售价每只为P (元) , 且R, P与x的关系式分别为R=500+30x, P=170-2x。

(1) 每日产量为多少时, 每日获得的利润为1750元?

(2) 每日产量为多少时, 可获得的最大利润?最大利润是多少?

解 (1) ;根据题意得

整理得,

∴x1=25, x2=45 (不合题意, 舍去) , 由题已知, 利润为,

∴当x=35时, 最大利润为1950。

答 (1) 当日产量为25只时, 利润为1950。

(2) 当日产量为35只时, 最大利润为1950。

2.改革开放以来, 某镇通过多种途径发展地方经济, 1995年该镇年国民生产总值为2亿元, 根据测算, 该镇国民生产总产值为5亿元时, 可达到小康水平。

(1) 若从1996年开始, 该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元, 该镇通过几年可达到小康水平?

(2) 设以2001年为第一年, 该镇第x年的国民生产总值为y亿元, y与x之间的关系是该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番 (即达到1995年的年国民生产总值的4倍) ?

解: (1) 设该镇通过x年达到小康水平, 根据题意得2+0.6x=5

解得x=5

(2) 设第x年的年国民生产总值为2×4=8亿元,

∴解得x1=3 x2=-9 (不合题意舍去)

答: (1) 设该镇通过5年达到小康水平。

: (2) 2003年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番。

摘要：在中学二次函数是一种不可缺少的数学工具, 是初中数学的重点也是教学的难点, 是数学中数形思想的一个基础点。本文就其含义和实际的运用, 做了深入浅出、通俗易懂的分析与阐解。

二次函数实际问题应用 第9篇

【关键词】二次函数；实际问题；最大（小）值

应用数学思想来解决生活中的实际问题是学习数学的目的所在，而建立适当的数学模型来解决实际问题是生活中常用的手段。在现实生活中，我们往往会遇到一些复杂的实际问题，而这些实际问题所涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生活、生产等方面，有时很难抓住要领，不易直接用函数知识去观察、分析、概括所给的实际问题。若将其转化为数学问题并建立数学模型，则问题就容易解决了。

在函数中二次函数是解决实际问题的一个重要数学模型，利用二次函数的图像和性质求函数的最大（小）值。此类题是各地中考的重难点，并经常作为压轴题出现。在生活中我们经常会遇到利用二次函数求最大值或最小值的问题，例如下面的问题：

例1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型产品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件） P=50-x

销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：这是一道分段求函数的最大值的问题，学生在解题时往往考虑不全，把21≤x≤40这段函数的问题遗漏，只求1≤x≤20这段函数的问题及最大值。所以在教学时，教师一定要强调自变量的取值范围及分段后的函数的增减性。

解：（1）当1≤x≤20时，令30+=35，得x=10.

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件

（2）当1≤x≤20时，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

当1≤x≤20时，

因为，所以当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5

当21≤x≤40时，因为26250>0

所以随着x的增大而减小，所以当x=21时，最大。

于是，当x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因为y1

所以这40天中第21天时该网店获得的利润最大，最大利润为725元。

例2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆汽车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆汽车的日租金每增加50元，为租出的汽车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆汽车时，日收益为y元。（日收益=日租金收入-平均各日各项支出）

（1）公司每日租出x辆汽车时，每辆汽车的日租金为______元（用含x的代数式表示）

（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

分析：（1）未租出的汽车有（20-x）辆，每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，建立二次函数模型求解。

（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000。

所以当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因为x=24不合题意，舍去。

所以当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。

例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，

（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数解析式

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

分析：（1）在每箱50元的基础上销售，当售价为x元时，则每箱提价（x-50）元；（2）利润=（售价-进价）×箱数

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因为a<0，所以抛物线开口向下，当x==60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，所以当x=55时，w有最大值为1125

所以当每箱苹果售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

注意：求最大值时，要注意自变量的取值范围及自变量的实际意义。

解答这类应用题的基本方法是设法把关于最大（小）值的实际问题转化为二次函数的最大（小）值问题，然后按求二次函数的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解问题的题意；

（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（3）用数学方法表示它们之间的关系，用二次函数解析式表示实际问题中常量与变量之间的关系；

（4）将得到的二次函数通过配方化为y=a（x-h）?+k的形式，求出顶点坐标得出最大值或最小值；

（5）检验结果的合理性，判断是否符合实际要求。

22.3实际问题与二次函数教案 第10篇

一、教学内容

用二次函数解决实际问题

二、教材分析

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座。目的在于让学生通过掌握求面积、利润最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积、利润最大、运动中的二次函数、综合应用三课时，本节是第一课时。

三、学情分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

四、教学目标

1、知识与技能：

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

2、过程与方法：

应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。

3、情感态度与价值观：

在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。

五、教学重难点

重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．

难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题．

六、教学方法和手段

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

（一）复习旧知

导入新课

1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y＝6x2＋12x；

(2)y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

（二）学习新知

1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例

1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大? 解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。

围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S＝L(30－L)

即S＝－L2＋30L(有学生自己完成，老师点评)

2、引导学生自学P23页例2

质疑 点评

3、练一练：（1）、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 请同学们完成解答；

教师巡视、指导；

师生共同完成解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。商品每天的利润y与x的函数关系式是：

y＝(10－x－8)(100＋1OOx)即y＝－1OOx2＋1OOx＋200

配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2。

所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225。

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。

九、课堂小结

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：

(5)解决提出的实际问题。

十、作业布置

P51第2题

十一、板书设计

22.3实际问题与二次函数

实际问题与二次函数教学设计 第11篇

【教材分析】

本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使用函数值最大的自变量值，在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当a0时，函

4acb2bxy最小值2a，4a；当a0时，函数有最数有最小值，并且当

4acb2bxy最大值2a4a．得出此结论后，就可以直接大值，并且当，运用此结论求二次函数的最大值或最小值。

接下来，学生通过探究并解决三个问题进一步体会用二次函数解决实际问题。

在探究1中，某商品价格调整，销售会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况，一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销售会随之增加，这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况，在本题中，设涨价x元，则可以确定销售量随x变化的函数式。由此得出销售额、单件利润随x变化的函数式，进而得出利润随x变化的函数式，由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。【学情分析】

学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列代数式，列方程解应用题，这些内容的学习为本节课奠定了基础，使学生具备了一定的建模能力，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识，对学生来说要完成这一建模过程难度较大。【教学目标】 智能与能力：

1、能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题。

2、与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识,体会数学与实际的联系。

3、通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合运用，提高学生的数学能力。过程与方法：

1、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，并进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型。

2、注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，及其在实际问题中的综合运用，重视对知识综合应用能力的培养。

3、经历观察、推理、交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验。

4、经历解决实际问题、再回到实际问题中去的过程，能够对问题的变化趋势进行预测。情感、态度与价值观：

1、结合实际问题研究二次函数，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，让学生在实际应用中逐步深化对二次函数的理解和认识。

2、设置丰富的实践机会，引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成良好的教学思维习惯。

3、通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验。【教学重点及难点】 重点

1、理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

2、回顾并掌握二次函数最值的求法，在应用基本结论的同时掌握配方法。

3、利用二次函数的性质解决实际问题。难点

从实际情景中抽象出函数模型。【教学设想】

在实际生活有大量的可以表示为二次函数或利用二次函数知识可以解决的实际问题，教师应该充分考虑到教学内容本身的特点和学生的认知规律，从下列三个方面入手；

1、实际问题和通常习惯的数学问题不同，它的条件往往不是显而易见的，教师需要引导学生分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，可以进行怎样的假设以及如何建立它们之间的关系等，并从实际问题中抽象出数学问题。

2、二次函数的图象和性质，为本节的学习起着铺垫作用，将已有知识综合运用来解决实际问题，能够让学生更好地理解和认识二次函数。

3、鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展，学会预测问题的变化趋势。【教学设备】 多媒体课件 【教学过程】

一、复习旧知 二次函数的性质：

1.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点 坐标是。当x= 时，函数有最 值，是。

2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点

坐标是.当x= 时，函数有最 值，是。利润问题：

1.总价、单价、数量的关系 2.利润、售价、进价的关系 3.总利润、单件利润、数量的关系

二、自主探究

问题1：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？

变式：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

学生阅读题目后，教师提出问题，学生思考后，教师引导学生分析：本题中，商品价格上涨，销量会之下降；商品价格下降，销售会随之增加。这两种情况都会导致利润变化，因此本题需考虑两种情况，即需要分类讨论。师生共同完成。

问题2：某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元--70元之间.市场调查发现:若以每箱50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.（1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润Y(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。

问题3：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。三：归纳小结：解这类题目的一般步骤