高等数学下知识点总结

高等数学下知识点总结（精选8篇）

高等数学下知识点总结 第1篇

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数N  使得对于n >N 时的一切n 恒有

|xna |<则称a 是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于a  记为

nlimxna或xna(n)

（2）函数极限的定义

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当xM0）有定义，如果存在常数A 对于任意给定的正数(不论它多么小) 总存在正数（或存在X）使得当x满足不等式0<|xx0|时（或当xX时）恒有 |f(x)A| 

那么常数A就叫做函数f(x)当xx0（或x）时的极限 记为

xx0limf(x)A或f(x)A(当xx0)（或limf(x)A）

x类似的有：如果存在常数A对0,0,当x:x0xx0（x0xx0）时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当xx0时的左极限（或右极限）记作xx0limf(x)A(或limf(x)A)

xx0xx0xx0xx0显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

如果存在常数A对0,X0,当xX(或xX)时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当x（或当x）时的极限 记作limf(x)A(或limf(x)A)

xx显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

xxx

2、极限的性质（1）唯一性

若limxna，limxnb，则ab

nn若limf(x)Alimf(x)B，则AB

x(xx0)x(xx0)（2）有界性

（i）若limxna，则M0使得对nNn,恒有xnM（ii）若limf(x)A，则M0当x:0xx0时，有f(x)M

xx0（iii）若limf(x)A，则M0,X0当xX时，有f(x)M

x（3）局部保号性

（i）若limxna且a0(或a0)则NN，当nN时，恒有xn0(或xn0)

n)A，且A0(或A0)，则0当x:0xx0时，有

（ii）若limf(xxx0f(x)0(或f(x)0)

3、极限存在的准则（i）夹逼准则 给定数列{xn},{yn},{zn}

若①n0N,当nn0时有ynxnzn ②limynlimzna，nn则limxna

n给定函数f(x),g(x),h(x)，若①当xU(x0,r)（或xX）时，有g(x)f(x)h(x)②limg(x)limh(x)A，x(xx0)x(xx0)0则limf(x)Ax(xx0)（ii）单调有界准则

给定数列{xn}，若①对nN有xnxn1(或xnxn1)②M(m)使对nN有xnM(或xnm)则limxn存在

n

若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则limf(x)（或limf(x)）

xx0xx0存在

4、极限的运算法则

（1）若limf(x)A，limg(x)B

x(xx0)x(xx0)则(i)lim[f(x)g(x)]AB

x(xx0)(ii)lim[f(x)g(x)]AB

x(xx0)(iii)limx(xx0)f(x)A（B0）g(x)B0（2）设（i）ug(x)且limg(x)u0（ii）当xU(x0,)时g(x)u0

xx0（iii）limf(u)A

uu0则limf[g(x)]limf(u)A

xx0uu05、两个重要极限

（1）limsinx1x0xsinu(x)1

u(x)0u(x)limlimsinx110，limxsin1，limxsin0

xxx0xxxxu(x)11lim1（2）lim1eu(x)xu(x)xe;

lim(1x)ex01xv(x)0lim1v(x)1v(x)e;

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）若lim(x)0，即对0,0,当x:0xx0（或x(xx0)xX）时有(x)，则称当xx0(或x)，(x)无穷小量

（2）

或X0),若limf(x)即对M0,0(当x:0xx0x(xx0)（或xX）时有f(x)M则称当xx0(或x)，f(x)无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)Af(x)A(x),其中limx(xx0)x(xx0)(x)0

（f(x)0）lim（2）limf(x)0x(xx0)x(xx0)1 f(x)（3）limg(x)limx(xx0)x(xx010 g(x))（4）limf(x)且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]

x(xx0)（5）limf(x)0且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]0

x(xx0)nn（6）limfk(x)0(k1,2,,n)则limx(xx0)x(xx0)k1fk(x)0,limx(xx0)k1fk(x)0，8、无穷小量的比较

x(xx0)limf(x)0,limg(x)0,lim(x)0

x(xx0)x(xx0)若（1）lim小。（2）limx(xx0)f(x)C0,，则称当xx0(或x)时，f(x)与g(x)是同阶无穷g(x)x(xx0)f(x)1，则称当xx0(或x)时，f(x)与g(x)是等价无穷小，记作g(x)。f(x)g(x)（xx0(或x)）（3）limx(xx0)f(x)0，则称当xx0(或x)时，f(x)是g(x)是高阶无穷小，记作g(x)。f(x)o(g(x))（xx0(或x)）（4）M0xU(x0,)（或xX），有（xx0(或x)）（5）lim0f(x)M，则记f(x)O(g(x))g(x)x(xx0f(x)C0(k0)，则称当xx0(或x)时，f(x)是(x)是kk[(x)])阶无穷小，9、常用的等价无穷小

当x0时，有（1）sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~e1,（2）1cosx~x12x.（3）ax1~xlna(0a1),（4）(1x)1~x

210、函数连续的概念（1）函数连续的定义

设yf(x)在点x0及其邻域U(x)内有定义，若（i）limylim[f(x0x)f(x0)]0

x0x0或（ii）limf(x)f(x0)

xx0或（iii）0,0,当x:xx0时，有f(x)f(x0).则称函数yf(x)在点x0处连续

设yf(x)在点(x0,x0]内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处左连续，设yf(x)在点[x0,x0)内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处右连续

若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，则称函数yf(x)在(a,b)内连续

f(x)f(a)，limf(x)f(b)，则称若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，且limxaxb函数yf(x)在[a,b]上连续，记作f(x)C[a,b]（2）函数的间断点

设yf(x)在点x0的某去心邻域U(x)内有定义 若函数yf(x)：

（i）在点x0处没有定义

（ii）虽然在x0有定义 但limf(x)不存在

xx0o(3)虽然在x0有定义且limf(x)存在 但limf(x)f(x0)

xx0xx0则函数f(x)在点x0为不连续 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点x0为yf(x)的间断点，（1）limf(x)limf(x)f(x0)，则称点x0为yf(x)的可去间断点，若（2）xx0xx0xx0limf(x)limf(x)，则称点x0为yf(x)的跳跃间断点，xx0可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点

（3）limf(x)或limf(x)则称点x0为yf(x)的无穷型间断点，xx0xx0（4）若limf(x)或limf(x)不存在且都不是无穷大，则称点x0为yf(x)的振荡型xx0xx0间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点

11、连续函数的运算

（1）连续函数的四则运算

若函数f(x)g(x)在点x0处连续 则f(x)g(x),f(x)g(x),（2）反函数的连续性，若函数yf(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数xf其对应的区间Iy{yyf(x),xIx}上也单调增加（或单调减少）且连续。（3）复合函数的连续性

设函数yf[g(x)]由函数yf(u),ug(x)复合而成，U(x0)Dfg，若（1）limg(x)u0(或limg(x)g(x0)u0)

xx0xx0f(x)(g(x0)0)在点x0处也连续 g(x)1(y)在（2）limf(u)f(u0)则limf[g(x)]f[limg(x)]f(u0)

uu0xx0xx0

（或limf[g(x)]f[limg(x)]f[g(x0)]f(u0)）

xx0xx0（4）初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5）闭区间上连续函数的性质

（i）有界性

若f(x)C[a,b]，则yf(x)在[a,b]上有界

（ii）最大值、最小值定理，若f(x)C[a,b]，则yf(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值

（iii）零点性

若f(x)C[a,b]，且f(a)f(b)0则至少存在一点(a,b)使得f()0

（iv）介值性

若f(x)C[a,b]，且f(a)f(b)，是介于f(a),f(b)之间的任一值，则至少存在一点(a,b)使得f()

高等数学下知识点总结 第2篇

主要知识点：

1.平面上两直线的位置关系;垂线;对顶角;邻补角。

2.同位角、内错角、同旁内角。

3.两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离。

4.平行线的判定、性质。

中考分值：

可能会考一题选择或填空(4分);但它是几何证明的基础，也是从现在开始接触几何证明

重难点：

1.“三线八角”的准确辨析与应用

2.本章是第一次见到几何证明题，证明题的理解和证明过程的书写都有很大的难度

第十四章 三角形

主要知识点：

1. 三角形的有关概念与性质 2.全等三角形的概念与性质

3.全等三角形的判定 4.等腰三角形的性质与判定

5.等边三角形的性质与判定

中考分值：

几何题目很少单独某个知识点出一题，但本章是做所有几何题目的基础，每个几何题目必然会用到本章的知识;

重难点：

1.本章知识概念比较多，记忆起来比较麻烦

2.几何知识学的更多，几何题目更难，需要一定的证明技巧

第十五章平面直角坐标系

主要知识点：

1.平面直角坐标系

2. 直角坐标平面内点的运动

中考分值：

可能会有一题选择或填空(4分);但它是学好函数必须的基础

重难点：

1.直角坐标平面内点的坐标特征

高等数学下知识点总结 第3篇

1 数学分析背景

例1 (2004年广东卷) 设函数f (x) =x-ln (x+m) , 其中常数m为整数.

(Ⅰ) 当m为何值时, f (x) ≥0;

(Ⅱ) 定理:若函数g (x) 在[a, b]上连续, 且g (a) 与g (b) 异号, 则至少存在一点x0∈ (a, b) 使g (x0) =0.试用上述定理证明:当整数m>1时, 方程f (x) =0在[e-m-m, e2 mm]内有两个实根.

背景探析题目中涉及的定理以数学分析中闭区间上连续函数的介值定理为背景, 把初等数学中当函数值等于零时, 求对应自变量值的问题推广到了数学分析中连续函数的介值定理, 这样命题使试题立意新颖, 有利于拓展学生的数学概念, 考察学生数学语言的理解能力.

例2 (2002年上海春季高考) 对于函数f (x) , 若存在x0∈R, 使f (x0) =x0成立, 则称x0为f (x) 的不动点.已知f (x) =ax2+ (b+1) x+ (b-1) (a≠0) .

(Ⅰ) 当a=1, b=-2时, 求函数f (x) 的不动点.

(Ⅱ) 若对任意实数b, 函数f (x) 恒有两个相异的不动点, 求a的取值范围.

背景探析题目中的条件“对于函数f (x) , 若存在x0∈R, 使f (x0) =x0成立, 则称x0为f (x) 的不动点”以数学分析中不动点原理为背景, 结合了初等数学中求函数y=f (x) 与函数y=x交点问题设置函数试题, 考察学生的知识迁移能力和化抽象为具体的能力.

例3 (2002年北京高考理科) 如图1, fi (x) (i=1, 2, 3, 4) 是定义在[0, 1]上的4个函数, 满足“对[0, 1]中任意x1和x2, 任意λ∈[0, 1], f[λx1+ (1-λ) x2]≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) 恒成立”的只有 () .

背景探析题目中的规则定义“对[0, 1]中任意的x1和x2, 任意λ∈[0, 1], f[λx1+ (1-λ) x2]≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) 恒成立”以数学分析中凸函数概念为背景, 与函数图像相结合, 考察学生的识图能力和加工信息的能力.

例4 (2003年上海卷) 方程x3+lg x=18的根x≈__________ (结果精确到0.1) .

背景探析本题以数学分析中的区间套定理为背景设题, 求解方程的近似解.该试题结合了初等数学中求函数y=-x3+18与函数y=lg x的交点问题, 考察学生求解方程近似解的能力, 以提高学生从精确到近似的知识迁移能力.

2 概率与数理统计背景

例5 (2003年北京高考题) 某班试用电子投票系统选举班干部候选人, 全班k名同学, 都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为1, 2, 3, …, k.规定同意按“1”, 不同意 (含弃权) 按“0”, 令

其中i=1, 2, 3, …, k, 且j=1, 2, 3, …, k.则同时同意第1, 2号同学当选的人数为 () .

背景探析以概率与数理统计中的乘法原理和加法原理为背景设置概率试题.

3 高等代数背景

例6 (2004年北京市春季高考题) 表1给出一个“等差数阵”, 其中每行每列都是等差数列;aij表示位于第i行第j列的数.

(Ⅰ) 写出a45的值;

(Ⅱ) 写出aij的计算公式;

(Ⅲ) 证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2 N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

背景探析题目中的新概念“等差数阵”, 是以高等数学中矩阵的概念为背景, 结合了初等数学中等差数列的概念, 考察学生对数列概念和图表语言的理解能力, 解题关键是理解数列中的“列”这一概念的广度与矩阵行列的关系, 从而化难为易.

4 抽象代数背景

5 拓扑学背景

例8 (2010年福建高考文科试题) 对于平面上的点集Ω, 如果连接Ω中任意两点的线段必定包含Ω, 则称Ω为平面上的凸集, 给出平面上的4个点集如图2所示 (阴影区域及其边界) , 其中为凸集的是_____ (写出所有凸集相应图形的序号) .

背景探析本题源自高等数学中的点集拓扑, 给出了一个新的概念———凸集, 不仅考查考生对数学概念的理解与应用能力, 同时还考察了考生对图形的理解能力, 试题难度适中, 解题的关键是理解凸集的定义.

6 泛函分析背景

背景探析本题以泛函分析中的距离空间为背景, 用数学符号语言给出了A与B的“差”和“距离”的新定义, 把中学所学的“差”和“距离”的定义由二维、三维扩展到n维, 考查学生的推理论证能力、抽象概括能力、分析问题和解决问题的能力.该题难度较大, 给学生较大的思维空间, 有利于考查学生的数学素养和继续学习的潜能.

总之, 通过高等数学与初等数学的融合, 考查考生进一步学习高等数学的潜能, 让高中学生能够用高等数学的思想去认识、理解和解决初等数学问题, 这不仅能够加深对初等数学的理解, 而且体现了用高等数学的思想方法解决初等问题的易处, 从而拓广学生的数学视野, 活化学生的数学知识.将初等数学问题深入拓展到高等数学范围, 不仅可以增进学生对问题的理解、促进知识技能的迁移和应用、增强数学学习的兴趣和动力, 而且学生在学习过程中进行归纳总结, 善于从新情景中获取信息, 还可以培养学生理解和应用数学语言的能力以及分析和解决问题的能力.

参考文献

[1]李忠, 方丽萍.数学分析教程[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]江泽坚, 孙善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社, 1994.

[3]杨子胥.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]牛观文.抽象代数[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.

[5]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京:北京师范大学出版社, 2007.

高等数学思想下的初等数学探讨 第4篇

[关键词]高等数学 初等数学 思想方法 教学模式

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200008

初等数学教学受限于学生的认知水平和接受能力，数学教材大多被简化，不少结论、方法和概念都是通过分析个别事例或者观察图形一般性推断出的.数学教师长期接触“被简化”的数学教材，思维形成定性和惰性，对现代数学问题本质的思考和分析缺乏深度.长此以往，教师将逐渐淡忘初等数学和高等数学知识的内在联系，忽略了对学生思维能力和创新能力的培养.因此，探讨高等数学思想下的初等数学，是对自上而下的教学内容的有益补充，是提高初等数学教学质量和水平的有效途径，有利于教师真正理解初等数学的内容，有利于形成求真务实、科学严谨的教研氛围.

一、用高等数学思想剖析初等数学

在初等数学的教学中，教师要善于利用典型问题训练学生一题多解的解题思维，引导学生自主探索、归纳数学规律，突出用高等数学的思想方法来指导初等数学的思维过程，带领学生对同一问题进行不同数学思想方法的探讨，让学生真正体会到数学思想的魅力所在.

二、从高等数学的角度看待初等数学的问题

在初等数学教学中，教师不断地汲取高等数学中丰富的营养，站在高等数学的角度思考、分析和解决初等数学的问题，是十分有意义的.面对初等数学的问题，教师要多问几个为什么，进入高等数学的领域.比如：数轴上的点为什么与实数一一对应？0为什么能作为第一个自然数？tan90°为什么不存在？曲线的方程和方程的曲线定义为什么有两个方面？消元解方程的理论依据是什么？等.这些问题都是初等数学解决不了的.在高等数学中，初等数学问题能够找到它们的知识背景，如自然数集以及自然数的加乘运算由映射定义；线段有没有长度是线段长度理论的基本问题；函数是特殊的二元关系由离散数学定义.用高等数学的思想解决初等数学无法解决的问题，有助于在教学过程中抓住事物的本质，促进学生更有效地学习.

例如，在研究平面解析几何问题时，可以发现平面几何问题中的代数表达式与坐标选择无关，从高等数学中的变换群观点来说，坐标系和点的平移、旋转变换都只是同一个代数表达式的不同几何解释.

总之，探讨高等数学思想下的初等函数，有利于教师把握初等数学的关键和本质，合理地处理教材，提高课堂教学的有效性.

五年级下册数学知识点总结(下) 第5篇

小学五年级数学下册复习教学知识点归纳总结

四、分数的意义和性质

1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母，用字母表示：a÷b= ≠0）。（例如：45a（bb4）55）79）

54、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。（例如：假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。（例如：带分数：由非零整数部分和真分数两部分组成的分数叫做带分数，带分数大于1（例如：45）61123）

5、假分数化成带分数:用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。（例如： 33217带分数化成假分数:用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。（例如：5）

336、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。

7、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。

8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。两个数互质的特殊判断方法： ①1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。

⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。

9、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。(也就是分子和分母互质)

10、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（约分是分子和分母分别除以他们的最大公因数）

11、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。

12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（通分也就是把几个分数的分母化成他们的最小公倍数）

13、特殊情况下的最大公因数和最小公倍数：

①成倍数关系的两个数，最大公因数就是较小的数，最小公倍数就是较大的数。②互质的两个数，最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。

14、分数的大小比较：同分母的分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；（例如：43）551122同分子的分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。（例如：;）

5671315、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；

分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。

16、最简分数的分母只含有质因数2和5（或单独有2或5时）,这个分数一定能化成有限小数，否则就只能化成无限小数。

17、分数化简包括两步：一是约分； 二是把假分数化成整数或带分数。

18、最大公因数和最小公倍数的求法用短除法。例如：

陈泰枢数学工作室资料（只供内部使用）

五、分数的加法和减法

1、同分母分数的加减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。例如：

3141 88822、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。

例如：31945 862424243、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果含有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

4、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。（例如：731314425235(75)()22；9-4=844）5353151555555、分数加减简便计算：整数加减法的有关运算定律在分数加减法中同样适用。

加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法性质：a－b－c = a－(b＋c)； a－(b＋c)= a－b－c

六、统计与数学广角

1、众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

2、中位数的求法：①、按大小排列。②、如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。

3、复式折线统计图：可以清楚的看出两者的变化情况并比较,可以更方便的分析两个数量增减变化的情况.44、打电话的最优方案：

2341①、逐个法：所需时间最多 432②、分组法：相对节约时间

34③、同时进行法：最节约时间 443

七、数学广角

数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次 4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次 10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次 28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次 82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次

冀教版五年级下数学知识点总结 第6篇

一 图形的变换

一、轴对称: ①将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。②找对称轴方法：用对折的方法找对称轴。③正方形4条对称轴，等边三角形3条对称轴，等腰三角形1条对称轴，等腰梯形1条对称轴，长方形2条对称轴，圆无数条对称轴，线段1条对称轴，角1条对称轴。④画轴对称图形另一半的方法：

1、找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交的点、端点等。

2、数出或量出图形的关键点到对称轴的距离。

3、在对称轴的另一侧找出关键点的对称点。

4、按所给图形的形状连接各对称点，画出图形另一半。⑤轴对称图形上每对对称点到对称轴的距离相等。

二、平移：①平移就是将一个物体或图形按一定的方向一动一定的距离。②平移后它们的形状、大小、方向都不改变。③平移2要素：移动的方向和移动的距离。④平移了几格不是看两个图形之间空了几个方格，而是看对应点或对应线段平移了几个方格。④画平移图形方法：一找：找出图形关键点（或关键线段）二数：以关键点（关键线段）为参照点（参照线段），数出平移的格数。三描：按指定方向和格数把参照点（参照线段）平移到新位置，描出各对应点（或画出对应线段）。四连：把各对应点按照原图形顺次连接，就得到平移后的图形。

三、旋转：①物体绕着某一点运动叫做旋转。②旋转的方向：与表针的转动方向一致的叫做顺时针方向，与表针转动方向相反的叫做逆时针方向。③旋转三要素：旋转点：物体旋转时所绕的点(轴)叫做旋转点。旋转方向：顺时针和逆时针。旋转角度：物体旋转前后，物体对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角度。④旋转的性质：图形旋转后，图形的对应点、对应线段都旋转相应的角度，对应点到旋转点的距离相等。⑤旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有变化，只是位置和方向变了。⑥在方格纸上画简单图形旋转90度后图形步骤：1.确定旋转角度的大小和旋转方向2.确定每对对应点与旋转中心构成的旋转角3.确定旋转后图形的其他对应点4.顺次连接上述各对应点

二、异分母分数加减法

真分数与假分数：

①分数与除法的关系：分数的分子相当于除法里的被除数，分母相当于除法里的除数，分数线相当于除法里的除号，分数的大小（分数的值）相当于除法里的商。区别：分数是一种数，除法是一种

运算。它的关系用字母表示为：

②分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；分子比分母大（或相等）的分数叫假分数，假分数大于或等于1。

③分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

④最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫最简分数。分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

⑤同分数加减法的计算法则：分母不变，把分子相加减。

⑥异分母加减法的计算法则：先通分，再按照同分母加减法的计算法则进行计算。⑦由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。⑧带分数读法：“整数部分”又“分数部分”如一又四分之三。

⑨带分数写法：先写整数部分在写分数部分，分数线与整数中间对齐。

⑩假分数化成带分数方法：用假分数的分母作带分数的分母，假分数分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子；带分数化成假分数方法：用带分数分数部分的分母作假分数的分母，用分母和整数部分的乘积再加上原来的分子作分子。整数化成假分数方法：整数（0除外）都可以化成分母是任意自然数（0除外）的假分数。用指定的分母作假分数分母，用分母和整数的乘积作假分数的分子。分数大小的比较：

①把异分母的分数化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分

②通分时用两个分数的分母的最小公倍数作同分母进行通分，计算比较简便。③当两个数是倍数关系时，较大的一个数就是这组数的最小公倍数如12和24的最小公倍数是24；当两个数互为质数或相邻的自然数时，这组数的最小公倍数是它们的乘积.如7和5的最小公倍数是35；5和6的最小公倍数是30.互质：两个数的公因数只有1，这两个数叫做互质。互质的规律：（1）相邻的自然数互质；（2）相邻的奇数都是互质数；（3）1和任何数互质；（4）两个不同的质数互质（5）2和任何奇数互质。④求两个数的最大公因数和最小公倍数的异同：都是用短除法分解质因数；都是用这两个数的公有的质因数连续去除（一般是从最小的开始），一直到所得的商互质为止。不同点是：求最大公因数只把所有除数相乘；求最小公倍数把所有的除数和最后的上连乘起来。

分数和小数的互化：

①分数化成小数：分子除以分母，除不尽的一般保留两位小数。假分数化成小数：分子除以分母，除不尽的一般保留两位小数；带分数化成小数：先把带分数的分数部分化成小数，再加上整数部分；

②小数化成分数：先把一位两位三位„„小数化成分别分母是10，100，1000，„„的分数，在约分成最简分数。整数部分不为0的小数化成分数时，整数部分不为0的小数化成分数时，整数部分不变，只化小数部分，整数部分与小数部分化成的分数合起来即可。③一个最简分数，如果分母除了2和5之外，还含有其他质因数为因数，这个分数就不能化成有限小数。④常用的分数与小数间的互化。

异分母分数加减法：①异分母分数加减法计算“三字决”----通算约：通：先通分，把异分母分数化成同分母分数；算：按照同分母分数加减方法计算：分母不变，分子相加减；约：结果能约分的要约成最简分数②分数和小数混合运算：如果分数能化成有限小数，把分数化成有限小数再计算比较简单；如果分数不能化成有限小数，就必须把小数化成分数再计算。③分子都是

1、分母是两个相邻自然数（0除外）的两个分数相加，这两个分数的和也是一个分数，和的分母是两个分母的积，分子是两个分母的和。分子都是

1、分母是两个相邻自然数（0除外）的两个分数相减，这两个分数的和也是一个分数，和的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。④带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

分数加减混合运算：①异分母分数连加计算方法：可以按从左到右顺序一次相加，也可将所有分数一次性通分，再相加，计算结果要化成最简分数。②分数加减混合运算：没有括号的，按从左到右顺序依次计算；有括号先算括号里的。简便计算部分

加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)加法交换律：a+b=b+a减法的性质：从一个数里连续减去两个数,我们可以减去两个减数的和,或者交换两个减数的位置。去括号: 括号前是加号的,去掉括号后,括号内的符号不变号;括号前是减号的,去掉括号后,括号内的符号要变号。a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a-b+c

三、长方体和正方体

①长方体棱长之和：（长+宽+高）×4 正方体棱长之和：棱长×12 ②长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 ③并不是所有物体都有6个面：

（1）6个面：长方体或正方体：油箱、罐头盒、纸箱等（2）5个面：长方体或正方体：水池、鱼缸等（3）4个面：长方体或正方体：通风管等

④物体截成几段，增加一个截口就增加2个截面（增加面的个数=截口数×2）

四、分数乘法

一、分数乘整数①分数的意义：求几个相同加数和的简便运算。②分数乘整数：分母不变，分子于整数相乘的积作分子。（能约分的要先约分再计算，可使计算简便。乘得的积要化成最简分数）③“求一个数的几分之几是多少”：（1）：找准单位“1”（2）想出数量关系式：单位“1”x分率=分率对应量（3）根据数量关系列式解答 分数乘分数：①分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。②分数乘分数计算方法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母③先约分再计算，计算结果化成最简分数。④判断大小：1）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。2）一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。（3）一个数（0除外）乘1，积等于这个数。混合运算：

①如果只有加减法或乘除法，按从左到右顺序依次计算；既有乘除又有加减，先算乘除后算加减，有括号先算括号里的。

②乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：（a+b）×c = a×c + b×c 倒数：①倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。②（1）a是非0自然数时，它的倒数是1/a.自然数（0和1除外）的倒数都小于它本身。（2）真分数的倒数都大于1.假分数的倒数都大于或等于1。③分数的倒数：交换分子分母的位置即可。

④带分数的倒数：先化成假分数再交换分子分母位置。

⑤小数的倒数：先化成真分数会假分数，再交换分子分母位置。真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

找单位“1”的方法：

（1）从含有分数的关键句中找，注意“的”前“比”后的规则。（2）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几，甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占乙的几分之几。（3）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。

（4）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。

（5）分率与量要对应。①多的比较量对多的分率； ②少的比较量对少的分率； ③增加的比较量对增加的分率；④减少的比较量对减少的分率；⑤提高的比较量对提高的分率；⑥降低的比较量对降低的分率；⑦工作总量的比较量对工作总量的分率⑧工作效率的比较量对工作效率的分率；⑨部分的比较量对部分的分率 ⑩总量的比较量对总量的分率；

五、长方体和正方体的体积

1、体积和体积单位：①物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位立方厘米、立方分米、立方米 长方体和正方体的体积：

长方体的体积=长×宽×高 V=abh 正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a3 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 V=Sh（计算时一定要先统一单位长度）体积单位之间的进率：

①物体浸没在水中时，所排开的水的体积就是物体的体积。②高级单位换成低级单位，用高级单位的数乘进率，低级单位换成高级单位，用低级单位的数除以进率。

容积：①一个容器所能容纳的物体的体积叫做这个容器的容积。容积的计算方法与体积计算方法相同，但是要从里面测量数据。不是所有物体都有容积。②计算容积一般就用体积单位，液体的容积常用单位是升和毫升也可以写成L和ml。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升③同一容器，体积大于容积。

六、分数除法

1、分数除法的意义：乘法： 因数 × 因数 = 积 除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。将除法转化为乘法的要点：（1）被除数不变（2）除号变乘号（3）除数变成它的倒数

3、规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于1，商小于被除数；（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；（3）、当除数等于1，商等于被除数。

（1）一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。

（2）一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。（3）一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。

除法性质：从一个数里连续除数两个数,我们可以除以两个除数的积,或者交换两个除数的位置。a÷b÷c = a÷(b×c)

a÷b÷c = a÷c÷b

二、分数除法解决问题

（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。）

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1加或减分率）=分率对应量

2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

3、求一个数是另一个数的几分之几：就用 一个数 ÷ 另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量÷单位“1”的量 或：① 求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1-小数÷大数

列方程

解方程原理：天平平衡。等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。10个数量关系式：

加法：和=加数+加数 一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数

除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商

七折线统计图

高等数学下知识点总结 第7篇

-2.现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。

-3.了解必然事件和不可能事件发生的概率。

必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0

高等数学下知识点总结 第8篇

一、利用高等代数知识解题

1. 利用齐次线性方程组的方法解题

引理:含有n个未知量, n个方程的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式D=A=0.

例1.设f (x) =ax2-b且满足-4≤f (1) ≤-1, -1≤f (2) ≤5, 求f (4) 的取值范围.

分析:本题容易出现如下错误解法

由 (1) 得1≤-a+b≤4, (3)

由 (2) + (3) 得0≤a≤3 (4)

由 (3) 得4≤-4a+4b≤16 (6)

由 (2) + (6) 得1≤b≤-1 (7)

由 (5) + (8) 得-7≤16a-b≤47

上述解法忽视了a和b的取值范围受条件 (1) 、 (2) 限制这一点, 事实上, 当a=3, b=时, 满足条件 (4) , (7) , 却有a-b=, 不符合 (1) 式.

本题可以用齐次线性方程组的方法来解.

解:由已知有f (1) =a-b, f (2) =4a-b,

这是关于a, b, -1的齐次线性方程组且有非零解, 所以

从而-1≤f (4) ≤41

这个例子的实质就是根据已知条件的特征构造齐次线性方程组.这里正确确定方程组的变量是解题的关键.如果已知条件是关于几个变量的等式, 而结论是只与其中某些变量有关的表达式, 这时将结论中出现的某些量作为齐次线性方程组的系数, 而将其余量作为方程组的未知量.

2. 利用线性组合的方法解题

定义若向量α为向量组β1, β2, …, βs的一个线性组合, 如果有数域P中的数k1, k2…ks, 使α=k1β1+k2β2+…ksβs.

例1的解法二如下:

此种解法与例1的解法有异曲同工之效, 此种解法的关键是把f (1) , f (2) 看成一个整体, 利用待定系数法求f (4) 关于f (1) , f (2) 的一个线性组合.最后所求的f (4) 的取值范围也没有扩大和缩小, 满足题目的要求.

二、利用数学分析知识解题

1. 利用导函数的方法解题

函数是数学研究的主要对象, 中学数学用代数方法研究它的一些形态, 如单调性、周期性和极值性等, 但是由于方法的限制, 这些研究既不全面又不深入, 并且计算繁琐, 不易掌握其规律, 导数为我们提供更深入地研究函数的性态提供了有力的工具.

例2.已知m, n是正整数, 且1<m<n, 证明 (1-m) n> (1-n) m

证明:要证 (1-m) n> (1-n) m

只要证nln (1-m) >mln (1+n)

2. 利用“变量”与“常量”相互转化的方法解题

例3.解方程x3+6x2+9x+2=0

分析:此题若按三次方程求解x相当困难.若将“3”看成未知数, x看做常量, 则是一个关于“3”的一元二次方程.

三、利用高等几何解题

例4.过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF, 连接CF和ED交AB弦于P, Q.

求证:PM=MQ.

分析:此题若局限在平面几何范围内去研究, 虽能找到多种不同的证法 (略) , 却都来之不易, 但是如果我们利用高等几何中交比的方法来证明, 就非常容易了.

四、利用概率论知识解题

例5.若0<a<1, 0<b<1试证0≤a+b-ab≤1

分析:本题是一道关于不等式证明的题目, 如用中学数学的知识来做, 过程复杂且繁琐, 下面用构造概率模型的方法来给出证明过程.

证明:令A, B是两个相互独立的事件, 且使P (A) =a, P (B) =b

由概率的性质知0≤P (A∪B) ≤1

从而0≤a+b-ab≤1

用概率论证明不等式, 最基本的思路是将不等式中的数转换成若干个相互独立事件的概率, 从而将实数之间的运算转换成概率的运算, 利用概率的有关计算公式及性质, 便可证得结论.

高等数学知识在中学数学解题中的应用远不止上述的几个方面, 但是通过对上述问题的解决, 不难从中得到结论:高等数学知识为解决中学数学问题提供了别开生面的思路, 给人以启迪.

摘要：利用高等数学中的高等代数、数学分析、高等几何、概率论的相关知识来解中学数学题, 可以取得良好效果。