费马最后定理观后感

2024-06-08

费马最后定理观后感（精选8篇）

费马最后定理观后感第1篇

数学与统计学院1007班廖亚平

被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫„我找到了‟”。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=

3、y=

4、z=5；x=

6、y=

8、z=10；x=

5、y=

12、z=13...等等。

费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。

当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数

学界的心头大患，极欲解之而後快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P.Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。

二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。

虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

五○年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八○年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众

也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。

要证明费马最後定理是正确的（即xn + yn = zn 对n≥3 均无正整数解）

只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp（p为奇质数），都没有整数解。附录：费马小传

费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於法国南部土鲁士（Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日逝世。

费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。

费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定

理（又称费马小定理，以别於费马最後定理）：apºa(modp)，对任意整数a及质数p均成立。这个定理第一次出现於1640年的一封信中，此定理的证明後来由欧拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最后定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩

费马最后定理观后感第2篇

事实上，费马大定理的起源要追溯的古希腊时代，自从毕达哥拉斯证明了毕达哥拉斯定理(中国人习惯叫勾股定理)，数学进入了一个新的纪元。围绕毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯学派做出了许多重大的数学发现，这其中包括发现了无理数。可悲的是，传说第一发现无理数的人被毕达哥拉斯下令丢进海里了，因为他无法容忍违背数学美的存在，而无理数一点也不符合毕达哥拉斯眼中的数学的美。毕达哥拉斯死后，他的学派继续存在，他们研究毕达哥拉斯三元组，也正是他们的研究，间接促成了费马大定理的诞生。

费马只是一个业余的数学家，虽然他那个时代也无所谓专职的数学家，但不同于其他人，费马研究数学纯粹是个人兴趣。历史上，费马并不是一个招当时学者喜欢的人，他喜欢公布自己的发现，但又不给出证明。这是一种挑衅，当其他人费劲心力去证明他的发现时，他为保有这种智力上的优越感感到窃喜。也正是这个特点，他才会去研究数论，数学上“最没有用”的部分，纯粹的数学。费马自始至终可能都没有想过在数学世界里扬名立万，开疆拓土，因此他的数学研究散落在书信和页边角，费马大定理就藏在《算术》的页边空白。幸运的是，他的儿子塞缪尔发现了父亲研究的价值，花了大量的时间整理父亲的研究成果，也正是得益于塞缪尔的整理，大定理才得以重新被发现。

从被发现之日起，费马大定理就开始折磨历代数学天才的头脑，成了他们绕不过去的阴影，三百多年来，数学取得了巨大的进展，但有关费马大定理的证明，去迟迟没有大的进展。无数天才去尝试，无数天才折戟。从实用角度讲，费马大定理孤立的命题，并不能导致重大的数学领域突破，高斯曾经说过，“我可以很容易地写出很多这样的命题，人们既不能证明它们又不能否认它们”。也正是如此，证明费马大定理成了一个纯粹挑战智力的游戏。当然，玩这个智力游戏也并不是纯粹的一无所获，数学家们在尝试解决这个问题的过程中，或有意或无意地做出了不少新的数学发现。也正是这些数学发现，帮助安德鲁・怀尔斯先生一块块拼出了他的证明。

怀尔斯从童年第一次遇到费马大定理时，就深深被这个问题吸引。这个问题如此具有魅力，以至于他在幼小的心里就暗暗发誓，必须要解决它。正是这个童年的梦想吸引着怀尔斯先生，让他孤身一人，花费七年时间去寻找费马大定理的证明。这期间，他研究了前人所有的努力，最后领悟到，前人已经把能够可能的证明方法都试过了，要想取得突破，必须借助新的数学工具。于是，他放弃了“发现费马证明”的想法，开始将自己最新的数学工具应用到证明中。七年多的努力没有白费，怀尔斯先生没有成为倒在费马大定理脚下的又一人，他成功了，终于实现了童年的梦想，当着众多同行的面宣布“我想我就在这里结束”。费马大定理被证明了，这个困惑了世间智者358年的谜终于被破解了。

费马大定理的证明像是拼图游戏，怀尔斯先生把历代数学家的努力成果一点点拼进来，才终于完成了这块巨型拼图。本书在讲解的过程中为我们一一呈现了这期间各位数学家的努力，他们的贡献是如何用在这块巨型拼图上面的。不仅仅是故事，还简要的介绍了数学原理和方法，数学的思想。在本书的后面，超越费马大定理，介绍了当前数学证明的新进展以及一些其他未破解的数学问题，带领读者一窥神奇的数学世界。

要以八卦的态度讲述这样一个故事不难，难就难在既要满足各位看客的八卦心态，还要能够以科学的态度传递一些信息，西蒙・辛格先生做到了，而且是完美的做到了。本书想一本推理小说，有起因，有层层推理，有高潮，在结尾，当怀尔斯的证明即将面临其他类似证明者的命运时，转机出现了，读者的心随着故事的发展跌宕起伏。看完这本书，对数学有了新的认识，有种想要重新学习数学的冲动。

费马的最后定理(1994) 第3篇

费马的儿子塞缪尔在费马死后五年的1670年, 承担了搜集其父亲散落的数学思想的工作。在一本丢番图的《算术》书中, 费马看似随意地写到:“我已经发现了一个真正非同寻常的证据, 页边空白处太小, 写不下。”

费马提到的那个定理是勾股定理的延伸。在所有的数中, 有无数所谓的“毕达哥拉斯三元数组”, 其中两个数的平方和等于第三个数的平方 (如32+42=52) 。费马说这种关系不适用于立方数或更高次幂。仅仅通过反复试验就能证明他好像是正确的, 但要证明这一点却成为极为艰巨的工作。努力解决“费马的最后定理”的数学家可以列出一个光荣榜, 但所有人的尝试都失败了。

至1993年, 计算机证明在400万次幂之前费马的最后定理是对的。但是还难说这就能严密地证明这一定理永远正确。与此同时, 数学家们发现这一定理绝不仅仅是个数学怪题, 其正确与否还与宇宙的性质密切相关。1993年, 英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥的牛顿学院作了一系列讲座, 最后证明这一定理正确。遗憾的是, 在多年隐居研究之后, 他发现自己以前的证明有一个很小但确是毁灭性的缺陷。迁至普林斯顿后, 他继续努力研究, 于1995年在《数学年报》上发表了论文《模椭圆曲线与费马的最后定理》, 解开了这个谜。

勾股定理与费马大定理第4篇

如果有人问起上世纪数学界最重要的结果是什么,相信很多人都会说是费马大定理.这个悬置长达350多年､比哥德巴赫猜想更著名的难题,在1995年被英国数学家怀尔斯彻底解决.同年,怀尔斯因此荣膺数学界著名的沃尔夫奖.

学过平面几何的人都知道,设a､b为直角三角形的两条直角边边长,则斜边长c跟a､b满足关系式c2=a2+b2. 中国人称它为“商高定理”,因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载,古代数学家商高谈到过这个关系式.但人们更普遍地称其为勾股定理,这是因为在《周髀算经》中记载着“勾三股四弦五”.在西方,上述关系式称为毕达哥拉斯定理,这是因为西方的数学及科学来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作之一便是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上了.毕达哥拉斯被西方推崇为“数论的始祖”.

如果把勾股定理c2=a2+b2中的 a ,b ,c视为未知数,则它就变成了一个不定方程(即未知数的个数多于方程个数的方程).方程c2=a2+b2也是最早得出比较完整解答的不定方程,因为每一组勾股数即是这个方程的一组正整数解,而勾股数的规律和构造方法古人早已发现.

法国人费马(Pierre de Fermat, 1601-1665)虽然学的是法律,从事的也是律师的职业,但他对数学却有浓厚的兴趣.他在业余时间常阅读各类数学书,并且自己也从事一些数学研究,钻研一些数学问题.他在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书中关于方程x2 + y2 = z2的一般解的论述时,在书的空白处,用笔写下这样的心得:“反过来说,不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和,一个四方数分拆为两个四方数之和.更一般地, 任何大于二的方数不能分拆为两个同样方数之和.我已发现了一个绝妙的证明,但因为空白太小,写不下整个证明”.用数学语言来表达,费马的结论是:

当n≥3时, 方程xn+yn=zn 没有正整数解.

这个方程的形式与勾股定理很相似,仿佛是勾股定理的一种延伸,只是字母的次数由2变为了n(当然,还选择用不同的字母来表示,但这不是实质性的区别).费马的结论中,当n=2时,就是勾股定理的情形,这时方程有无数组正整数解,每组勾股数都是它的解.

虽然只是指数由2变为了n(n≥3),但问题的难度却陡然升高了许多许多.人们费尽了心血,包括最杰出的数学家和数不清的业余数学爱好者,但很长时间一直找不到费马大定理的证明方法.后来,人们已经不相信费马是真的找到了这个结论的证明,推测他可能如成千上万的后来人一样,自以为证明出来而实际上搞错了.然而,费马确实创造了一种独特的方法,证明了n=4 的情况.n=3 的情况则是大名鼎鼎的数学家欧拉在1753年给出的.19世纪初,实际上只有n=3,n=4两种情况得到了证明.而n=5的情况则是在经历了半个多世纪,一直到 1823年才首次完全证明.费马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战.为了表示学术界对它的重视,1816年法国科学院首次为费马大定理设立了大奖.许多大数学家,其中包括当时顶尖的数学家,如高斯和柯西,都曾热衷于这个问题.然而,他们并没有实质性的突破.

在早期尝试解决费马大定理的英雄豪杰里,还有一位巾帼英雄,她是德国的苏菲·日尔曼.小时候她是一个很害羞､胆怯的女孩,靠自学､阅读来研究数学.由于当时女性在数学界受到歧视,她就用一个男性化名同一些大数学家通信,其中包括高斯和勒让德.她的才能使这些一流的数学家大为惊讶.

随着数学各分支的不断发展,各种数学工具涌现了出来,数学家们手中的武器越来越多.进入20世纪,在许多代数学家前仆后继的努力之下,1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一个定理.他的证明用到了多位数学家的成果.这个定理表明,如果xn+yn=zn有一些互质的正整数解,那么解的个数最多也只有有限多个.另一位数学家希斯·布朗则证明了,对于几乎所有的质数,费马大定理都成立.

1985年,德国数学家符莱又把费马大定理的研究向前推进了一步.

英国数学家怀尔斯正是沿着前面许多数学家开辟的道路,在经过漫长的7年探索后,终于在1993年6月取得了突破,并最终在1995年完全证明了费马大定理,为这个世界难题彻底画上了句号.

《费马大定理》读后感第5篇

从这本书中收获的是一些做科研的态度。

数学是极少数人的乐园，坚持去做数学的人除了有极高的天赋外，对数学的爱更是他们坚持下去的理由。费马大定理在很长时间内未被证明，很多学者开始怀疑该定理是否正确，而仍有少数学者则坚持去证明它是对的。对于把人生交给一件可能无结果的事情上不仅需要勇气，我认为占更多的应该是这些学者们不急功近利的科研态度。虽然现实中可能因为某些客观因素渐渐忘却了做科研的初心，但是在物质条件充足的情况下，做科研还是应该致力于解决难题。事物发展是螺旋上升的，只有一代一代学者的积累，才能最终解决难题，对学术有更多的贡献。

怀尔斯接触费马大定理是在图书馆中翻阅数学谜语类的书籍中看到了一条极容易理解的定理，但是这本书并没有给出答案，于是其决定证明这个定理是他毕生的目标，并最终完成了它。他在着手开始这项工作时，8年间未曾公开过自己在研究该定理的证明，他给出的原因是“费马大定理是全世界数学家感兴趣的内容，如果公开，势必引起人们的注意，那会使自己分心，一旦分心于应对采访，这是不可能让我坚持下去研究证明的”。真正做科研应当厚积薄发，不应被物质条件所诱惑，从而浪费个人的天赋。

《费马大定理》读后感第6篇

《费马大定理》这本书是以费马大定理为核心，追溯到它的起、诞生与发展，描述了在漫长岁月中为寻求它的证明发生在数学界中发生的可歌可泣的动人故事。

什么是费马大定理呢?这得追溯到古希腊的毕达哥拉斯以及毕达哥拉斯定理(类似于勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即x?+?=z?)，而费马大定理是”业余数学家之王“费马在法官全职工作之余突发奇想提出的：将上述次幂数改为及以上，则不能解出整数解，即方程xn+n=zn在n≥时没有非零整数解。这个初中生也能看懂的问题，它的证明竟然让8年中一代代数学家前仆后继，却都壮志未酬;满怀热情，却都铩羽而归：导致人们不禁怀疑费马大定理的正确性，怀疑费马的那句千古名句：”我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。“

从小我就深知自己数学思维先天不足，后天又没能得到有效训练，因此求学期间深受数学的.困扰，高一分科时果断选了科，大学和工作后也为不用再碰数学而欢呼雀跃。以前一直在困惑一个问题：数学到底有什么用呢?那些数学公式、解题技巧除了成为重点中学、大学的敲门砖外，对不直接从事数学工作的我说实在感受不到它的具体用处，当然不能否定学习数学过程中帮助我们塑造了一种系统化、理性化、条理化的思维方式以及教给我们足以应付日常生活中简单运算的能力。以我浅薄的数学认知，我至今还是认为很多数学家现在做的工作是无用的，尤其是纯粹数学，但这也是我不禁困惑和敬佩的原因。

读了《费马大定理》这本书，我才知道，原数学是如此严谨，却又如此浪漫，这是一个兼具理性与感性的国度。

数学应该是全世界最严格的一种科学。证明是数学的核心，也是它区别于别的科学之处，别的科学有各种假设，它们为实验证据所验证直到它们被推翻，被新的假设替代。如物理学上牛顿的力学定律，即使不说他被推翻但我们能够发现它使用的局限;再如对物质基本粒子的探索，由原子到质子电子中子，再到反物质、夸克，最后到现在被称作弦的粒子……可是数学不一样，在数学中，绝对的证明是其目标，如果我们从一个正确的陈述或者公理开始，然后严谨地按照逻辑，一步一步去推论，得出最后结果的时候，这个东西就定下了，就再也推翻不了了。毕达哥拉斯定理，后人能够推翻吗?不可能，任你有多大的反对的力量跟意志，你都没办法毁灭数学所取得的成就。数学家所做的就是用他们的心灵去思考那些数学的柏拉图理念，追求天衣无缝的逻辑推理。

数学因它的严谨让世间绝大多数凡人都望而却步，只可远观而不可亵玩，但它又是如此有魅力，吸引一代代智力卓绝的精英，把自己的生命献祭上去，这是一多么浪漫的事情!尤其是他们干这些外人看完全没用的事的时候，这么投入，这么专注，哪怕生命威胁就在眼前，都浑然不觉。(fsir)比如说在罗马军队入侵的时候，古希腊数学家阿基米德浑然不觉，还在沙地上做算术，一个罗马士兵喊他他不理，其实很可能是他太专注于沙地上他写的那些算式了。于是罗马士兵很生气，一剑刺进了他的胸膛，就结束了这一代大数学家的性命。可以说，整个数学史，就是一曲波澜壮阔的浪漫史诗。

严谨而浪漫的数学是人类无法抗拒的智力游戏，就像造物主在实物世界之外留下的线索，看不见却实实在在。

二、兴趣和执着点亮人的生命

三百多年，费马大定理见证着一代代数学精英的雄心壮志和折戟，终于在1英国剑桥大学的一个演讲上，这本书的男主角安德鲁・怀尔斯实现了自己童年时的梦想――证明了费马大定理，虽然后因为一个小缺陷推迟了证明的最终公布，但这并不影响怀尔斯解决了费马大定理这一卓越成就。

10岁那年，怀尔斯在图书馆遇见了这道百年谜题，自此与数学结下了不解之缘，成为职业数学家后，开始研究看似与费马大定理完全没关系的椭圆曲线，后他通过学习伽罗尔的”群论“和谷、志村对于椭圆曲线和模型式一一对应的猜想(千万不要问我椭圆曲线、群论、模型式是什么?我也不懂)，突然眼前一亮：原困扰人类几百年的费马大定理，是有可能通过模型式这个数学的独立领域，作为桥梁过渡到他自己熟悉椭圆曲线的领域，从而反过间接地证明费马大定理。紧接着就是长达7年一个人孤独地躲进自家小楼，从此目不窥园，潜心研究费马大定理的证明，除了他的妻子外没有人知道他在研究什么。尽管这一证明过程我无法理解，但这肯定是极其漫长与艰难的。他回想这一段研究时光的时候，怀尔斯打了个比方，他说：解决费马大定理就像穿过一个一个的黑屋子，首先我到一个黑屋子，什么都看不见，我先得去摸，摸这个屋子里的所有家具，所有摆设，等摸得烂熟，对这个房间的每一个纹理都清楚的时候，我才能找到它的电灯开关，我打开电灯开关，才能知道下一个屋子的门在哪儿，打开那个门，然后进入下一个屋子，然后又开始这个过程，而且不知道什么时候是一个头。

当然，最后这些负担都变成了礼物，这些受的苦照亮了前行的路。这是少年时代的梦想和7年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。正如马克思所说：”在科学的道路上没有平坦的大路可走，只有在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望到达光辉的顶点。“

其实，人类知识领域智力领域的任何丰碑，每一块砖，每一块瓦，都是必须由两个基本元素――兴趣和执着堆积出的，兴趣开启了事业的大门，而执着成就了最后的成功，两者共同点亮了其中的每一块砖，每一块瓦，每一个人的生命。

当然，在费马大定理的动人故事中，怀尔斯不是唯一的主角，无数数学家为之奋斗过，他们甘为基石，他们也是英雄：失明却多产的欧拉，罕见的女数学家热尔曼，众所周知的数学天才高斯，充满悲壮色彩的伽罗尔，日本数学家谷和志村……他们高瞻远瞩，耐住寂寞，矢志不渝，执着于追求科学真理，哪怕付出自己的全部也在所不惜。

三、生活赋予学术泉和灵魂

生活与学术是什么关系呢?我之前一篇随感里面提到的：两者不是完全对立的，而是相互交融、相互促进的。怀尔斯用自己的学术人生告诉我们：生活并不是学术的绊脚石，相反，生活不仅赋予了学术泉，也为学术注入了灵魂，提供了更多的支持。

怀尔斯在长达7年秘密、孤独的求证之旅中，也曾经压力大到想放弃。当压力变得很大时，他会转向他的家庭，他放松的唯一方式就是和”和孩子们在一起，年幼的他们对费马好唔想去，他们只需要听故事，他们不想让你做任何别的事情“同时，他对妻子许诺：要把这份研究成果作为给她的生日礼物，尽管迟了2年，但他最后还是成功地将这份数学史上最伟大的证明敬献给了他的妻子。

除了家庭给予了怀尔斯精神动力之外，他的”朋友圈“也在他最终证明关键一步雪中送炭。当199年那场演讲后，审核证明原稿时发现的一个小错误让怀尔斯压力大到几度崩溃，想要放弃。但他此时不再关起门自己搞，而是找到了在求证工具领域有很深造诣的约翰泰勒合作探究，彼此分享思想，弥补那一个小缺陷，最终实现了童年的梦想，完成了数学史上最伟大的证明。

学术如果还待在书斋，不能融入火热的社会和沸腾的生活，这样的学术必死无疑。当然，孤芳自赏式钻研学术，没有生活的气息，可能人生的幸福感会降低很多，会留下些许遗憾。

费马大定理的启示第7篇

“设想你进入大厦的第一间房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之间跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你经过6个月或者再长些的时间，你找到了开关，拉开了灯，突然整个房间充满光明，你能确切地明白你身在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此每一次这样的突破，尽管有的时候只是一瞬间的事，有时候是一两天的时间，但它们实际上是之前许多个月在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的”——1996年3月，维尔斯因证明费马大定理获得沃尔夫奖

作为一个数学老师，数学是大多数学生讨厌的学科，而我们教师更多的只是告诉、教会学生就这么用，就这么做。怎么才能让学生不那么讨厌数学呢？我想应该从尊重数学开始。

当我第二次翻看《明朝那些事》时，我不禁又一次感慨：历史原来可以这样写？历史就应该这样写。本着这样的思维，在严谨的数学叙事中加上事件节点人物的历史，可能更有意思一些，最起码，让学生喜欢读，读的有趣味。从而使学生明白伟大的数学家是怎么影响整个世界的。尊重应该从这里开始。

这个念头一直萦绕脑海，直到我无意中打开选修3-1，才鼓舞起余勇，翻找资料，以费马大定理为主线说说几千年来数学家们前仆后继的历史。

222xyz

首先，我们来看一个公式：。

有人说：“这不就是勾股定理吗？直角三角形的两条直角边的平方等于斜边的平方。谁不知道？”

没错我们中国人知道勾股定理十分久远，公元前1100年，西周开国时期，周公与商高讨论测量时，商高就提到过“勾广三，股修四。径隅五”。这段话被记载于《周脾算经》中。而西方记载勾股定理的是哥伦比亚大学图书馆的泥版“普林顿322”大约公元前1900~公元前1600年的事。

但是中国人说的数学严格的说，应该叫算学。我国古代就有丰富的数学典籍注1，但是你看这些书籍的章节结构，就不难看出它鲜明的特点——实用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少广、商功、均输等，就字面意思也能看出它就是为了解决实际问题。

我们中国就是一个实用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用计较为什么这样，这也就是为什么我们的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流数学史中，我国数学家是没有太多地位的，说起这个就不得不说有一个让国人气愤的事情，1972年，美国数学史家莫里斯·克莱因的《古今数学思想》注2序言里有这么一段话：“为了不让本书内容漫无目的的铺张，所以有些民族的数学我们就自动忽略了，如：日本、玛雅、中国。”他还说：“他们的数学对世界人类的主流思想是没有什么贡献的。”很让人不服气的说法，但是你回到数学历史的主流，不难发现我国的算学，跟世界主流数学的目的就不一样。

言归正传，我们回到古希腊。说道古希腊，就不得不提一个人——毕达哥拉斯。我们引以为豪的勾股定理，在初中的课本中也是用的毕达哥拉斯定理来引入的。毕达哥拉斯定理和勾股定理的区别就在于他们要证明这个结论。从这里你就可以发现东西方数学的区别，西方数学史这种死心眼般的研究精神，完全就是一种剔除了理性的宗教迷狂，是一种不出于实用的目的完全的智力上的比拼竞赛。就是佛教里的“贪嗔痴”！比如那些著名的数学问题：“四色问题”，不就是四种颜色就可以区分出复杂地图的行政区域么，放在我国，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚为什么？还有“哥德堡七桥问题”，就是不重复的走过七座桥，对中国人来说我们讲究的是说走就走的旅行，神经病才研究这个，有这功夫，走两遍不就观光了吗？这就是实用主义和智力竞赛之间的区别。从一开始就分道扬镳了。

毕达哥拉斯就是前文那个公式的发现者。毕达哥拉斯（约公元前580～约前500）古希腊数学家、哲学家。他的信徒们组成了一个唯心主义学派——毕达哥拉斯学派。这个政治和宗教团体旨在用“数”去描述世间一切，他们从数学中感受到了整个世间那种美妙，他们认为数就是世界的规律。这也难怪，没有手机食物单调，娱乐空乏的年代，人们尤其是那些高智商圣贤智力充裕的人们找到了这个世界上让他兴奋的事情——从事“数”的研究，他的门徒们发现原来世间一切，上帝就是通过“数”来统治世界的。比如：音乐，和音好听，是因为一根弦是另一根弦的整数倍。凡此种种，这不就是天神的暗示么，我们就应该在数中生活啊，我们的一切包括生命就应该奉献、祭祀给这些数。公正的说这个学派早期它推动了数学研究发扬了这种精神，但后期也阻碍了数学的发展，著名的数学史上“第一次数学危机”就是又这个学派成员西帕索斯发现了2，从而颠覆了毕达哥拉斯学派的数学信仰，因为毕达哥拉斯终生的信仰就是，世间一切都是由整数构成，小数是两个整数的比，而西帕索斯发现一个问题：当x=y=1时，z等于什么？现在的初中生都知道是2。，而根据那个时候的数系，这推翻了毕达哥拉斯的世界理论依据。因为根号2是一个无限不循环小数，无法被两个整数表示。我们来证明根号2永远不能化成分数即可。这里又要用到反证法（高中数学课本有证明过程我复制了一下），我们先假设√2=a/b（a，b都是正整数不用说了吧）。现在，我们平方一次，a^2/b^2=2，于是，a^2=2*（b^2），这样一看，a^2就是偶数了，那么，a必然也是偶数。那就设a=2m吧，（2m）^2=2*（b^2），4*（m^2）=2*（b^2），b^2=2*（m^2），再一看，b也成偶数了，好吧，设为2n。现在问题来了，根号2不仅可以化成a/b，还可以化成m/n，而且，后者更简洁。按照同样的方法，可以一直化简下去，而分数必然存在最简形式，不可能无限化简，于是得出矛盾。所以，根号2永远不能化成分数。毕达哥拉斯最后没有办法解决，就像坚持日心说的布鲁诺一样西帕索斯本人也就被同门扔到河里杀害。此后30年数系才进一步扩充到了实数领域。

考虑到希腊文明的数学挺牛的，而这个毕达哥拉斯还不够牛，只是名气比较大而已，所以，我们得让古希腊人多出场几位。接下来，我可以推荐两个与费马大定理有关的重量级人物。

一个是欧几里得，欧几里得最大的贡献体现在几何学，最牛的著作叫《几何原本》。不过，他也有很多数论成就，所以，在费马大定理的故事中，他的名字会反复出现，根号2是无理数是他第一个证的，有无穷多个素数是他第一个证的，算术基本定理也是他第一个证的。罗胖不是提到“比如说我们学平面几何都知道，由那么简单的几个公理，居然可以推出如此缤纷的一个定理的世界”，第一个系统性（这个系统太牛逼了）地干这个事情的人就是欧几里得。至于那么简单的公理到底是几个？这个是有数字的，23个定义，5条公理，5条公设，这是所有推导的基础。当然，《几何原本》也有一些不严谨的地方，却仍然笑傲江湖两千年，直到希尔伯特写出《几何基础》，才算彻底完善了欧几里得几何。不过，欧几里得还是给后人挖了一个坑，就是他的第五公设比较啰嗦，怎么看都不像一个公理而像一个定理。于是，无所牛人前赴后继去证明这个东西，却发现，所有宣称证明了第五公设的人，其证明都陷入了循环论证的陷阱中，换句话说，证来证去只是它自己不同的变形而已。这个第五公设真正的问题在哪里呢？很简单，欧几里得几何叫平面几何，这个第五公设只在平面几何中成立，而别的公理或公设却都是具有普遍适用性的。修改一下第五公设，别的公理不变，非欧几何就诞生了。事实上，非欧几何遇到的最大障碍不是数学家解决这个问题的水平不够，而是来自传统观念的压力。高斯早就研究过非欧几何，但迟迟不敢发表，因为担心遭受各种攻击。还有一个波尔约，研究非欧几何成就斐然，可惜被高斯一盆凉水浇灭了激情。再一个就是罗巴切夫斯基，名气最大的非欧几何创始人，生前遭受各种打击，仍不屈不挠传播罗氏几何，死后多年才被承认，被赞誉为“几何学中的哥白尼”。这三个人不约而同地研究了非欧几何中的双曲几何情形，却留下一种椭圆几何情形，让黎曼捡了个漏。不过，黎曼搞定这种情形可不是凭运气，他从思路上就领先其他人了，其他人都是从公理系统出发研究，黎曼手握微分几何之武器直接玩起了曲率，不仅补充了椭圆几何的情形，还一举统一了欧氏平面几何、罗氏双曲几何和他的椭圆几何。这种牛逼人的牛逼事儿讲起来还是蛮有意思的。

好啦，下一个古希腊人，丢番图。欧几里得写了本《几何原本》，成了几何学的一代宗师，丢番图写了本《算术》，也是数论中的经典之作，他本人也荣登“代数学之父”的宝座。他提出的丢番图方程让无数后人为之奋斗，至今仍有大量问题未能解决。《算术》是本好书，费马有空就抱着读，费马大定理就是读《算术》的心得。

按照时间顺序，下一个该费马出场了。费马这辈子活得可是够值了。官场得意、婚姻美满、家庭幸福、子女争气，更牛逼的是，一个业余爱好让他名垂青史。读读别的数学家的故事，贫困、疾病、家庭不幸，还是来自同行的打击，各种问题层出不穷，简直就是“天才多磨难”，而费马的小日子，滋润得让人嫉妒。而且，费马这人不像同行那么玩命死磕，不就一业余爱好嘛，玩票心态就好了。结果，很多灵感嗖嗖地冒出来，挡都挡不住。后来人们一总结，这家伙比很多职业数学家成就还大：解析几何的发明者之一，对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨，概率论的主要创始人之一，以及17世纪数论界第一人。不过，费马还是干了一件不厚道的事儿，就是在费马大定理的问题上，他宣称自己有了一个美妙的证法，就是不说，害得数学家们为之死磕了三百多年。

接下来，该欧拉上场了。欧拉是有史以来最多产的数学家，虽然眼睛不好使，但心算能力却是一流，简直是一台人体计算机。成就太多太多，就只好省略了。我们知道几件事就够了。欧拉无比牛逼，却仅仅证明了费马大定理n=3的情形，说明费马大定理真的很难。此外，罗胖提到哥德堡七桥问题，想说明西方人这种琢磨精神和中国人不同，其实，这个论据不充分，论点也不对，中国人也搞出了很多孤立的趣题和难题，这一点，东西方人是相似的。区别在哪儿呢？区别在于西方有欧拉这种数学家，他不是搞明白一个孤立问题就完事儿啦，而是由此出发，上升到理论高度，圆满地解决一类问题，更牛逼的是，一群数学家马上跟进，搞出更多东西，直到形成系统仍在推进，这就是我一直强调的数理系统的可怕之处。其实，这个哥德堡七桥问题本质上就是一笔画问题，中国人恰好也研究过，但中国人只是把它当成一种游戏，从来没想过要搞出一个数学分支。而到了西方人那里，“七桥问题”的研究是图论研究的开端，同时也为拓扑学的起源。顺便说下，“四色问题”和“七桥问题”是同类问题，属于图论，也可以看成拓扑学问题。别看“七桥问题”被欧拉轻松搞定，这个“四色问题”看似简单，却是一道难度绝不亚于费马大定理的难题。爱因斯坦的老师闵可夫斯基就曾经在学生面前夸下海口要证明之，结果失败只好放弃。最后，这个证明是依靠计算机完成的，虽然计算机的证明无法核对，这让很多数学家很不爽，但是，这提供了证明问题的新思路，也标志着计算机将在数学世界中发挥更大的作用，你能说，这种问题的研究没有意义吗？更何况，在证明的过程中，虽然多次失败，数学家们得到的东西可比问题本身多得多，这正是证明难题的意义，它会催生出很多宝贝，从而进一步完善数理体系。

下一个，该讲高斯了。高斯的贡献就不说了，这种神级人物，有多大贡献都是正常的，我讲讲他的两个毛病吧。第一个，就是研究问题时，只发表成熟而完善的证明，却不让别人捕捉到他的证明思路的蛛丝马迹。这非常不好，他的思路会给别人很多启发，反而是证明步骤，可利用价值低多了。另一个就是，高斯本人很牛逼，可是，却没干过什么提携后生的事情，反而不利于别人成长。也不是说他故意打击人家，就是别人觉得他牛逼，想请他指点一二时，他要么压根儿不理睬，要么冷冰冰的。前文提到的阿贝尔，其成果寄给高斯看，让高斯给扔了，伽罗华临死前写的东西也没忘给高斯寄一份儿，估计高斯也没看，波尔约（这次可是他朋友的儿子）研究非欧几何的成果，想得到他的支持，他说自己早就研究过了，波尔约于是心灰意冷。当然，高斯虽然有缺点，但他由于过于牛逼，世人赞扬崇拜唯恐不及，缺点也就没人计较了。

伽罗华肯定也是要谈的，但是，前面讲的伽罗华的故事太多了，这里不再赘述。就说一点，有人认为伽罗华是一个好色之徒，这是不公平的。一来，他是法国人，他只是做了一个正常法国男人会做的事情；二来，他也没有到处沾花惹草；三来，这件事本身就可能是一个圈套，作为一个激进的共和派青年，政府早就想把他弄死。说到底，伽罗华是一个数学天才，但运气不好，他之所以政治上这么激进，也是数学方面处处碰壁郁闷无处发泄造成的。当然了，伽罗华的悲剧也有自身缺点，就是写东西太简洁，年轻人容易浮躁，天才更是年少轻狂，思想本来就已经非常超前了，又不表述清楚，那些前辈们怎么会认真看呢？

前面提到的这些人都是大神，年轻时就很牛逼，然后牛逼了一辈子（虽然有的人一辈子也很短）。事实上，数学这个东西，最牛逼的思想往往是年轻人创立的，年长者只能为数学大厦添个砖加个瓦，却很少再有开山之举。一个数学家，如果到三十岁还没搞出什么成就，这辈子基本上就这样了。所以，数学界的最高奖菲尔兹奖只发给40岁以下的人，放宽到40岁，已经把各种意外都考虑进去了，可是，怀尔斯却是意外中的意外。他年轻时实在不够牛逼，三十多岁还在埋头苦干，到了四十岁却一举成名。我想，与其把怀尔斯的故事看成一个牛逼数学家的创奇，不如看成一个老屌丝逆袭的励志故事。都说数学家成名要趁早，比如他的同行陶哲轩同学，人家7岁进高中，9岁进大学，10岁、11岁、12岁参加国际数学奥林匹克竞赛分别拿下铜奖、银奖、金奖，20岁获得博士学位，24岁当教授，31岁时拿下菲尔兹奖。而31岁的怀尔斯在干嘛，默默无闻。混到33岁时，怀尔斯终于决定要干点什么了，命运也正好给了他一个机会。1985年，德国数学家格哈德·弗赖指出了谷山-志村猜想和费马大定理之间的关系，1986年，美国数学家里贝特证明了这一命题。怀尔斯意识到自己的机会来啦，费马大定理绕了一大圈，竟然和自己现在最擅长的领域椭圆曲线有关，必须赌一把了。于是，怀尔斯开始了长达七年的闭关修炼，当然了，修炼的时候还得偶尔放放风，因为之前不够牛，教授的位置不牢固，不发表论文会下岗的。修炼的过程前面讲过，就不说了，总之，博采众家之长，功力大大加深，七年之后出山，一举震动江湖。但是，数学家对待证明的态度是非常严谨的，数学证明一旦通过就永远正确，他们必须对后人负责，所以，怀尔斯的论文需要经过严格审查。六个顶级数学家开始对怀尔斯天书般的论文进行漫长的死磕，终于有一天，一个叫尼克·凯兹的发现了漏洞。说来也巧，当初怀尔斯论文发表前，想找个人内测一下，找的就是尼克·凯兹，那个时候，这哥们儿没发现问题，这都公开了，却揪出问题了，这让怀尔斯情何以堪：你丫是不是在逗我？事实上，这是个大问题，足以破坏怀尔斯的证明。至此，怀尔斯逆袭受挫，如果漏洞不能修复，不会有人为费马大定理的证明道路上多一个失败者而惋惜。好在这时怀尔斯已经混成了终身教授，不用担心下岗的风险了，宅在家里好好研究就行了。这次，他还找了一个助手，叫泰勒，这人是他之前的学生，一个牛逼而又值得信任的人，又经过将近一年的奋斗，终于填补了漏洞且简化了证明。怀尔斯一跃成为武林泰斗，这一次，地位无人撼动。接下来，我们要给怀尔斯几句颁奖词：他不一定是最聪明的，也不一定有着耀眼头衔，但一定以科学为生命，一定坚韧、谦和并一步一个脚印向前走。在这里，我还要提一下两个人：谷山丰和志村五郎。志村五郎是一个勤奋的人，很多地方和怀尔斯气质很像，而谷山丰，是一个真正的天才。谷山-志村猜想是费马大定理证明过程中最重要的一环，可是，在怀尔斯享受各种荣誉的时候，却很少有人愿意提及他们（虽然谷山丰在30多年前就自杀了，但志村五郎还在）。数学的世界，有时候，也是只认成功者。讲这件事，也是提醒大家：在费马大定理的故事中，怀尔斯不是唯一的主角，无数人为之奋斗过，他们甘为基石，他们也是英雄。

费马大定理的故事，至此终于可以结束了。

回顾人类解开宇宙奥秘的各个节点，探得进化论，主要靠达尔文；揭示力学原理，主要靠牛顿；艰深的相对论，可能有许多天才不懂，但创建它，也全凭一个爱因斯坦。发现元素周期律，创建精神分析理论，还有宇宙大爆炸、DNA分子结构模型……都只有一个两个人。唯独这个中学生都能看懂的费马大定理，各路英雄好汉，有的退避三舍，有的自愧无力，有的倾尽其力也只抓上一鳞半爪，连万能的计算机也无可奈何。但是，我们不仅仅要看到它的困难，更要看到困难背后的意义，费马大定理是一只“会下金蛋的鹅”（希尔伯特语）：因为它，扩展了“无穷递降法”和虚数的应用；催生出库默尔的“理想数论”；促成了莫德尔猜想、谷山--志村猜想得证；拓展了群论的应用；加深了椭圆方程的研究；找到了微分几何在数论上的生长点；发现了伊利瓦金—弗莱切方法与伊娃沙娃理论的结合点；推动了数学的整体发展和研究……费马大定理催生出一批又一批重量级数学家，这是货真价实的事实，也是真正的厉害之处。“一个民族有一些关注天空的人，他们才有希望；一个民族只是关心脚下的事情，那是没有未来的。”

注1我国古代就有丰富的数学典籍，如：前文中的《周脾算经》、东汉末年比美《几何原本》的《九章算术》、公元400年的数学入门读物《孙子算经》，而盛唐时的李淳风，就是那个有名的“推背图”的道学家，他在算学馆整理编注了著名的《算学十书》虽然水平很次，没能培养出什么像样的数学家，但不可否认对盛唐的商业和天文历法有积极推动作用，此后各种不提，直到共济会的利玛窦和我国的徐光启共同翻译了《几何原本》等海外著作。但奇怪的是中国的数学新著往往都出现在乱世和盛世。数学家也星光璀璨，如：祖冲之，秦九韶，刘徽、杨辉，等。

费马大定理的一种证明方法第8篇

关键词：R猜想,费马大定理,既约分数,正整数解

费马大定理是一个困惑世间智者358年的问题,于1994年被英国数学家Andrew J.Wiles用现代数学攻克。本文则通过验算,提出了一个与费马大定理有关的猜想,即R猜想:若正整数m>2,c,d为正整数且cd≠0),则不定方程

c2m-4dm=s2 (1)

c2m+4dm=s2 (2)

都没有正整数解。R猜想的实质就是 $\sqrt{c^{2 m} \pm 4 d^{m}} \neq$ 整数。下面对R 猜想进行数学论证。

1 R猜想的证明

首先作者通过多次计算机验算,发现了定理1。

定理1 设正整数m>2,无论m=4n,2n或奇数,c、d均为不等于0的正整数,则一元二次方程式

x2±cmx±dm=0 (3)

没有整数解。其判别式为

$Δ = \sqrt{c^{2 m} \pm 4 d^{m}} \neq$ 整数 (4)

需要指出,因为式(3)的解为 $x = \frac{1}{2} [\mp c^{m} \pm Δ]$ ,证明了式(3)没有整数解,即证明了式(4),即证明了R 猜想;反之证明了式(4),即证明了式(3)没有整数解,即证明了R 猜想。

1.1 预备知识

根据文献[1]有

引理1 (Perron判别法),设a(0)≠0

f(x)=x2+a(1)x+a(0) (5)

是一个2次整系数多项式,如果 $| a (1) | ＞ 1 + | a (0) |$ ,则f(x)在有理数域Q上不可约。

引理2 若a≠0,2次整系数一元方程式

x2±ax±a=0 (6)

仅当a=4且为x2±4x+4=0时才有整数解。

证明:方程式的判别式为 $Δ = \sqrt{a^{2} \mp 4 a}$ ,设 $\sqrt{a^{2} \mp 4 a} = t$ ,即a2∓4a=t2,(a∓2)2-t2=4,(a∓2+t)(a∓2-t)=4,观察上式可知,仅当a=4,t=0且两括号内“∓”号取“-”号时,上式成立。即当式(6)左边第3项应取“+”号,才有Δ=0的整数解。

根据文献[1]有

引理3 若uvw≠0,k>1,(u,v)=1。则方程式 uv=wk,有正整数解为u=ak,v=bk,w=ab,(a,b)=1。

根据文献[2]有

引理4 若正整数m>2,则xm-ym=1,没有正整数解。

1.2 定理的证明

(1)若c>d。

因m>2,显然有 $| c^{m} | > 1 + | d^{m} |$ ,根据引理1,由式(5)得出,方程式(3)之左边在有理数Q上不可约,因为Q包含了全体整数,故方程式(3)没有整数解,定理成立。

(2)若c=d。方程式(3)写为

x2±cmx±cm=0 (7)

因为m>2,cm≠4,根据引理2,方程式⑺没有整数解,定理成立。

(3)若c<d。这时有以下几种情况:

1)c=1,d=t,其中t为大于1的任何正整数。

于是式(3)变换为

x2±x±tm=0 (8)

设式(8)有整数解x1及 x2,则

x1x2=±tm (9)

x1+x2=±1 (10)

由式(10)知,必有(x1,x2)=1。根据引理3,有x1=±t $_{1}^{m}$ ,x2=±t $_{2}^{m}$ ,t=t1t2,(t1,t2)=1。代入式(10)中得t $_{1}^{m}$ +t $_{2}^{m}$ =±1。这显然不可能,即使把左边的“+”号改成“-”号,根据引理4也是不可能的,所以式(8)没有整数解,判别式 $Δ = \sqrt{1 \pm 4 t^{m}} \neq$ 整数。定理成立。

2)c>1,且d=c2t,其中t为任何正整数。

则式(3)变换为

x2±cmx±c2mtm=0 (11)

其判别式为 $Δ = \sqrt{c^{2 m} \pm 4 c^{2 m} t^{m}} = c^{m} \sqrt{1 \pm 4 t^{m}}$ 。由c=1 的情况中可知 $\sqrt{1 \pm 4 t^{m}} \neq$ 整数,于是得出Δ≠整数,所以式(11)没有整数解。定理成立。

3)c>1,且(c,d)=1。

此时式(3)的形式不变,即

x2±cmx±dm=0,但(c,d)=1 (12)

其判别式为 $Δ = \sqrt{c^{2 m} \pm 4 d^{m}} = c^{m} \sqrt{1 \pm 4 (\frac{d}{c^{2}})^{m}}$ 。因为式(3)的解为 $x = \frac{1}{2} [\mp c^{m} \pm Δ]$ ,若此时式(3)有整数解,则必有 $c^{m} | x$ (表示整除)。令x=cmy,则式(3)变换为c2my2±c2my±dm=0,即 $y^{2} \pm y \pm (\frac{d}{c^{2}}) = 0$ 。又因(c,d)=1,上式第3项不是整数。所以上述方程式没有整数解,即y和x都不是整数。也就是判别式 $Δ = c^{m} \sqrt{1 \pm 4 (\frac{d}{c^{2}})^{m}} \neq$ 整数,定理成立。

这里可以引出一条新的结论,即当m>2且(c,d)=1时 $\sqrt{1 \pm 4 (\frac{d}{c^{2}})^{m}} \neq$ 整数。

4)c>1,(c,d)=e≠1,且e2⊥d,其中⊥表示不整除。

令c=ec′,d=ed′,则式(3)变换为x2±emc′mx±emd′m=0,若此方程有整数解,则 $e^{m} | x$ 。可令x=emy,则e2my2±emc′memy±emd′m=0,即 $y^{2} \pm c^{´ m} y \pm (\frac{d^{'}}{e})^{m} = 0$ 。