111任意角教学设计

2024-07-09

111任意角教学设计（精选9篇）

111任意角教学设计第1篇

任意角教学设计

一．内容和内容解析

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。二．目标和目标解析

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；

4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；三．教学问题诊断分析

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。四．学习行为分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

五．教学支持条件分析

借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计

创设情境

↓ 组织探究

↓ 例题分析

↓ 尝试练习

↓ ——

——

实际问题出发，激起学生的求知欲望。角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

象限角的判断、终边相同的角的表示方法。让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

作业与反馈，关注学生的能力差异。在实际生活中体验数学的应用价值。小结与反思 ——

↓ 评价设计

↓ 课外活动

——

2．教学过程与操作设计：

环节创教学内容设计

设计意图提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设

多少度？

情

境

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入

回顾已有知识教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

组 ⑵.举出不在织

探

究

⑷.给出任意角的定义例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

让学生认识到的角的实

举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：

00角为什么不在0～360。例，感受角的概念推广的必要性

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。

教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角

利用新概念重和零角的概念。

新认识问题。

学生：观察图1.1－3，进一步认

方向这两个方面进行思考。

2．象限角

通过尝试探

识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直

探究终边相同的角之间的关

⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。础上，给出象限角的概念，并说

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。

角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图1.1—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出

系及其表示。由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现

“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习

教科书p6练习第1～2题例1.在00～3600范围内，找出与例-950012′角终边相同的角，并判定题

分它是第几象限角.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y=x上的角

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。析的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题尝 2．补充：

学生：尝试独立完成练习

通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导

断、终边相同转过的角度为，分针转过的练的角的表示方学生：回答结果

角度为。

法。

习教师：给出评价

②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第象限角。问题：1.你知道角是如何推广的小吗？象限角是如何定义的呢？

让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充

结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？

完善学生的认与

知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；

数学思想方反方法？

解决学生的疑惑点。法。

思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？评作业与反馈：

教科书p10习题1.1a组第1～3 1．题价

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集设

②写出终边在y= 合。

3．【发展要求】

上的角的集能用集合和数

2．判断角是第几象限角；

1．终边相同角的表示；关注学生的能力差异。

计合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α<7200的元素β写出来.边满足一定条

件的角；

③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是。

在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课

同桌交流，并熟练掌握它们的表

体验数学的应用价值

外示，进一步理解具有相同终边的角的特点．活

2．【探究学习】如果角α是第二动

象限角，那么在哪里？

探究学习，激

等角的终边落发学习兴趣。

111任意角教学设计第2篇

教材分析：

本小节是人教版A版必修四第一章第一节的内容。角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行，对求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多，不过多比较浅显。三角函数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考查。此节是三角函数的基础，在锐角三角函数的基础上，通过具体事例，再利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。这样，在研究三角函数之前，就有必要先将角的概念推广，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。信息技术的使用可动态表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察到角的变化与终边位置的关系，进而更好地了解任意角和弧度的概念，体会角的“周而复始”的变化规律，为

研究三角函数的周期性奠定基础。

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于的概念；

（2）理解任意角并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解象限角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括

角）的表示方法；

角和负角，要求学生掌握用“旋转”定义角（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；

（7）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

2、过程与方法

通过创设情境：“转体三周半，逆（顺）时针旋转”，角有大于

角、零角和旋转方向不同所形成的角等，说明角不够用了，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法；及象限角的含义.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具

之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、电子白板，粉笔，三角板

四、教学设计【创设情境】

思考:

1、初中时我们是如何定义一个角的？角的范围是多少？

2、如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

学生活动：

1、①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．范围（0°,360°）

2、[实际操作]看看我们教室的时钟，会发现，校正过程中分针需要顺时针方向或逆时针方向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说之前的之间的角已经不够用了，这就是我们这节课要研究的主要内容——任意角设计意图：形象，具体的让学生感知角可以通过终边不停的旋转得到，以前的角度范围明显不满足现实要求，所以要进一步推广【探究新知】

1、初中时，角可以看成平面内一条射线绕着端点

从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1一条射线由原来的位置着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置线叫做角的始边，叫终边，射线的端点，就形成角叫做叫，绕

.旋转开始时的射的顶点.记做：∠AOB或说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

图1

2、再如在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）、自行车车轮、两个齿轮旋转的示意图等都是按照不同方向旋转时成不同的角,要准确地描述这些角，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须要知道旋转量，又要知道旋转方向。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]看图读角，形象的感知任意角，理解其含义这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）。注意：（1）零角的终边与始边重合，如果是零角则 =0°；

o（2）角的概过推广后，括正角、负零角．

3、念经已包角和在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).练习：①说出下列各角分别位于第几象限。175°，225°，-300°

②那 0°，90°，180°，270°呢？（电子白板演示）

注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.4、探究与发现

①-60°，-420°，300°与-660°的终边有什么关系？ ② 如图，与终边有什么特点，并说出角的终边落在射线OB上的角度是2多少？答案是否唯一，为什么？（演示动画）

分析：不难发现，-60°，-420°，300°与-660°的终边相同，且-420°=-60°+（-1）×360° 300°=-60°+×360°

-660°=-60°+×360° 一般地,我们有:所有与角终边相同的角的表示：

所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合终边相同的角,连同角

在内,可构成一个集合

S={ β | β = + k·360 °，k∈Z}，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．注意： ⑴

k∈Z ⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

⑷ 角 + k·720 °与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角．

5、[展示投影]例题讲评

例

1、下列说法是否正确，为什么？请举例说明。（1）第二象限的角一定比第一象限的角大；（2）锐角是第一象限的角，第一象限的角是锐角；（3）小于90°的角是锐角；

（4）终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个。

分析：不要混淆“锐角”“ 第一象限的角”“小于90°的角“等概念；注意终边在第一象限和第二象限的角，均可正可负，所以不能直接比较大小。例

2、在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.分析：（1）用所给的角除以360，将余角作为β；（2）负角除以360，要保证余角为正角。

解：∵－950°12‘‘= 129048‘‘－3×360°

∴在0°~360°范围内, 与－950°12‘‘角终边相同的角是129°48‘‘, 它是第二象限角.练习①在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120° ⑵ 640 °

例

3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).解：在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有两个，90°，270° ∴与90°角终边相同的角构成的集合

S1={β|β=90°+k∙360°，kÎZ} ∴与270°角终边相同的角构成的集合

S2={β|β=270°+k∙360°，kÎZ}

={β|β=90°+180°+2k∙180°，kÎZ} 所以，终边落在y轴上的角的集合为

S=S1∪S2={β|β=90°+2k∙180°，kÎZ}∪{β| β=90°+(2k+1)180°kÎZ}

={β|β=90°+n∙180°，nÎZ} 例

4、写出终边在直线y = x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ β <720°的元素写出来.分析：用终边相同的角表示集合S,然后求解不等式，取整数解。

6、[展示投影]练习

教材P5第1、2、3、4、5题.7、课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

8、经验交流

1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.用β除以360°，若所得的商为整数k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.五、作业：

教材P9习题1.1 A组 1、2、3 思考题：

（1）终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？

《任意角的三角函数》教学反思第3篇

以前我写教学反思都是在教案的最后一个狭小的空隙里写上寥寥数笔, 记录下自己当时上课的情况和学生的反应情况, 真正静下心来写教学反思还是第一次。这也许就是我这次上课不成功的一个重要原因吧。因为不反思就没有进步, 自己的确原地踏步太久了。

首先我非常感谢在这次比赛中给予我支持和帮助的各位领导和同事。在校内试讲的时候, 符校长在百忙之中听我的课并给予指导。黄主任在听完课后写了一整张纸的建议, 包括一些细节, 并且当我不知如何处理突发状况时, 黄主任给出了很好的建议。我们的组长符老师, 有一次听我试讲完, 很晚了都顾不上吃饭来给我指导, 当时天气很冷, 我真的非常感动。在处理知识的衔接方面, 倪老师和曾老师给予了我很大的启发。高三的赵老师、王老师虽然教学任务很繁重, 但当我在制作课件遇到难题请教他们时, 他们都很耐心地给予我帮助。教研室的李主任在我准备的过程中一直给予我很大的帮助, 甚至在比赛那天还到比赛现场告诉我一些比赛中需要注意的细节, 包括如何利用有限的课间时间和学生沟通、拉近师生距离等。在这里我还要特别感谢学校生物实验室的管理员老师, 每次我试讲要用多媒体时都有求必应。要感谢的人实在太多太多, 真的很感谢同事、朋友给我的关心和帮助, 在这里真诚地说一声:谢谢大家。

这次比赛失败的一个很重要的原因是缺乏实战经验。实战经验包含很多方面的内容, 比如课题选择、授课容量、课件制作、师生互动、临场反应等, 反映了平时上课的积累和学习情况。我的比赛课题是《任意角的三角函数》, 属于概念课。概念课比较抽象, 一般学生不容易理解, 很难接受。尤其是当学生基础不是很好时, 就很难互动起来。比如我这次的讲课内容是《任意角的三角函数》, 它与高一数学必修一里面的《函数》的联系非常紧密。如果学生在当时的学习过程中没有很好地理解和掌握函数的有关概念, 那么在后面的学习中就会遗忘, 并且在学习新的函数时脑海中会有一种似是而非、模糊不清的感觉。所以我认为对于数学讲课比赛来说, 选择上概念课对于教师尤其是青年教师来说是一个不小的挑战。

这次上课的容量也很大, 针对三个知识点有三个例题, 并有配套的课堂跟踪练习。在新课标要求下, 学生是学习的主体, 教师要充分发挥主导作用。由于学生实际认知水平达不到要求, 授课容量过大, 导致在比赛时很被动, 很难完成课堂教学任务, 且教学效果不理想。因为容量大会促使教师授课时语速过快, 学生基础差就不好, 因而难以跟得上教师的步伐, 从而导致恶性循环。对于讲课比赛来说, 我认为一个好的课件会给课堂教学插上一对腾飞的翅膀, 起到事半功倍的作用, 并且会让评委眼前一亮。我这次的课件制作得粗糙。在今后的学习和工作过程中, 制作课件、熟练应用多媒体也是要努力的一个方向。关于师生互动、临场反应等, 我认为自己在课堂上的积累远远不够, 平时可能懒于创新, 不善于发现、总结, 这次比赛真的是一个很大的教训, 对我触动很大。下面就授课具体内容做反思和总结。

在教学过程中我将教材内容进行整合:首先, 让学生回顾初中相关内容———锐角三角函数的概念。然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中, 出现了点的坐标, 邻、对、斜变成了横、纵、r (=OP) 。老教材上的定义自然推出;再次, 将r特殊化令r=1, 新教材上的定义立即出现 ;最后 , 进行定义的应用 , 教材例1考查新教材定义, 例2考查旧教材定义。虽然教学设计得比较顺, 自我感觉良好, 但是在具体授课的过程中感觉很难, 学生不动笔算。这一点值得深思。这节课从知识传授上看比较成功, 但能力培养上显得不足, 主要是在例题与练习的处理上投入的时间不足, 没有使学生及时将知识内化为能力。这节课也许是我设计得太顺畅了, 台阶过密、跨度太小, 学生在学习过程中没有遇到陷阱, 没有产生激烈的思维碰撞, 因此, 看似顺畅, 实则效果不佳。今后我要注意梯度的设计, 台阶不要过密要有一定的思维跨度。

《任意角》教学设计第4篇

初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出

与已知角终边相同的角的集合。

过程与方法：培养学生的类比思维能力，形象思维能力。

情感态度价值观：通过对任意角的概念的学习，体验角的

概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识

，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考、勤于动

手的良好品质。

重点与难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意

角。难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示。

教学过程：1.创设情境：（互动）请两名同学起立，做由

“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各

转体了多少度？（引导学生关注旋转的方向和旋转的量这

两个要点）

在生活中我们已经遇到术语“转体720°”，“转体1080°

”等大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角，说明角

已不仅仅局限于0°～360°之间，这正是我们这节课要研

究的主要内容——任意角。

2.基础层次：问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它

校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校

准？当时间校准后，分针旋转了多少度？学生答：手表慢

了5分钟，拨快5分钟，即分针顺时针方向旋转30°；手表

快了1.25小时，则拨慢1.25小时，即分针逆时针方向旋转

450°。问题2：初中所学的角是如何定义？答：平面内一

条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图

形。范围是0°～360°。（说明：三要素两条射线，一个

顶点。）问题3：按旋转方向角可以分成哪三类？总称任意

角。正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针

方向旋转形成的角；零角：一条射线没有做任何旋转。（

设置意图：给出任意角的概念，并引导学生通过类比数的

正、负和零角的概念。）

3.自主检测：①直角坐标系中作出30°，–120°，90°，

-270°并说明是第几象限角？②锐角是第几象限角？第一

象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个

问题。答：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角

；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不

一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝

角。设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有

些概念也要与时俱进发生改变，使学生进一步理解象限角

的概念，培养学生的数形结合能力。

4.探究层次。①在同一直角坐标系中作角（请学生用不同

颜色的笔画出图）30°、390°、-330°；–32°、﹣392

°、328°。②将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给

定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反之，对于直

角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？

如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（小组活动

，探究30°、390°、-330°的数量关系，–32°、﹣392

°、328°角的终边及数量关系。突破本节课难点）。

390°=30°+360°(k=1) -392°=-32°-360°(k=-

-330°=30°-360°(k=-1)328°=-32°+ 360°(k=1)

750°=30°+2×360°(k=2)688°=-32°+2×360°

(k=2)

S={︱=30°+k·360°，k∈Z}S={︱=-32°+k·

360°，k∈Z}

设计意图：用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意

角、象限角、终边相同的角等新概念，所以这是本小节学

习的主要难点。体会特殊到一般，从具体到抽象的思想方

法，培养学生观察、归纳的能力，为后面周期的概念作铺

垫，并让学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角

的集合。

③定义终边相同的角。所有与角终边相同的角，连同角

在内，可构成一个集合S={︱=+k·360°，k∈Z}

，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数

个周角的和。

强调：①k∈Z；②是任意角；③终边相同的角不一定相

等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。

探究问题：①终边在y轴非负半轴上的角的集合S={︱

=90°+k·360°，k∈Z}，终边在y轴非正半轴上的角的集

合S={︱=270°+k·360°，k∈Z}；②写出终边在y轴

上的角的集合，S1={︱=90°+k·360°，k∈Z}，S2={

︱=270°+k·360°，k∈Z}。终边在y轴上的角的集合

，S= S1∪S2={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱

=90°+180°+2k·180°，k∈Z}

={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=90°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=90°+n·180°，n∈Z}

{偶數}∪{奇数}={整数}

5.能力检测：①写出终边直线在y=x上的角的集合S。解：

在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°

，225°因此终边在直线y=x上的角的集合S= S1∪S2={︱

=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+180°+2k·

180°，k∈Z}

={︱=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=45°+n·180°，n∈Z}

②并把S中适合不等式的元素写出来：45°-2×180°=-

315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45

°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180

°=585°

6.板书设计与课堂小结：①这节课你学到了哪些知识（让

学生自己总结）；②这节课你学到了哪些数学思想。总结

任意角：任意角包括：正角、负角、零角（按旋转方向）

；按终边所在的位置分类：象限角，轴线角；终边相同的

角S={︱=+k·360°，k∈Z}。

任意角的三角函数教学设计第5篇

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角三角函数与它的终边上点的坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根据锐角三角函数的定义，锐角A的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题4：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．例1：（题目在课件8中）

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

3．练习（在课件9中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解． 4．小结

问题5：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．你能再回顾一下任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P106习题1.2题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

《任意角的三角函数》教学反思第6篇

(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.

(2)回顾锐角三角函数的定义，有了任意角之后，原来三角函数的定义有局限性，需要对其重新定义，以适用于任意的三角函数.

(3)除了锐角的三角函数外，在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出)

重新定义的原则有哪些?

①和谐的原则，新定义应该包含以前的定义，即当角为锐角时，其定义应与前面的三角形边的比值等价.由此可以确定，新的定义仍应是比值的形式;

②传承的原则，新定义应保留旧定义中的一些做法，如可以同样在角的终边上任取一点来定义，且所得结果应与所取点的位置无关.

③相容的原则，新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时，其余弦值应为负值.由此可知，新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;

④自然的原则，新定义不能出来得很奇怪，要让人接受必须顺其自然，可在我们前面讨论的象限角的基础上进行，换句话说，老师在给出一个任意角的时候，就可以将角直接放在直角坐标系下，因为前面已讨论过象限角.

《任意角的三角函数》教学反思第7篇

肥东县长临河中学赵治龙

任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，《任意角的三角函数》教学反思。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。

锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。

“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数”概念的教学更有意义。

三等分任意角挑战世界第8篇

关键词：圆规,直尺,三等分点,三等分线

前言:古希腊三大几何问题之一, 纪元五六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法, 而三等分任意角就成了多年的数学难题, 那些数学家都证明此问题不能完成.我有一种方法发此论文证明.

三等分任意角:

用圆规和没有刻度的尺, 来证明任意角的三等分, 先证明一个正方形的三等分原理, 用圆规定在角心, 以适当的长度找出角两边相等长的点C和D, 再把C, D连接, 再找出CD的中点, 用圆规定在C点和D点以适当大的圆, 以这两个圆的交点与角心连接, 等于角的二等分, 也是CD的中点O, 以CD为正方形的边长向上画一个正方形, 用圆规以CD长度为半径, 分别定在C点、O点和D点往上找出正方形的各端点, 再从角心至O点向上延长到W点, 再用圆规以CO长度为半经, 定在W点找出了正方形的A点和B点, 再以适当大的圆分别定在A, B, C, D点找出AC和BD的中点E和F, 再把AF连接, AD连接, BE连接, BC连接, CF连接, DE连接. (如图一) 在图内交叉点分别得出M, X, S, P点, 再把MX连接至正方形边线, SP连接至正方形边线.这两条线就是正方形的三等分线, 1点和2点就是直线的三等分点.

下面再找出最大角度圆弧的三等分点, 用圆规定在O点, 从C往上圆至D点, 成为一个半圆图形, 再找出半圆弧长的三等分点, 因为半径的长度是任意一个圆内的六边形边长.所以用圆规定在C点以CO的长度找出了弧长的三等分3点和4点.3点和4点是最大角度的三等分点, 1点和2点是最小角度的三等分点, 也是直线的三等分点.再从最大角度弧长三等分点3连接到5点, 再用虚线从5点延长到CD的直线上R点, 又从最大角度的弧长三等分点4连接到6点, 用虚线从6点延长到CD的直线H点, 再用圆规和直尺找出3点到R点直线上的中点G.又找出4点到H点直线上的中点N, 把G点和1点连接, N点和2点连接, 再把3点、G点、1点这三个点连接成弯曲线, 又把4点、N点、2点这三个点连接成弯曲线, 这两条弯曲线就是任意角度弧长的三等分线, 任意角的弧线通过两条三等分线的交点, 这两个点就是任意角度和弧长的三等分点.

论证:三等分定理图的来历, 由任意角的二等分点和正方形三等分直线的三等分, 再加上半圆弧长三等分及等分线组合而成.图中每个定点都是用圆规和没有刻度的直尺从交点、中点、三等分点组合而成.最后得出图论为:

任意角九星定理图.由这种方法求来的三等分答案是:角的边长相等, 弧长等分, 角度相同.

“任意角”教学设计的思考第9篇

关键词：任意角；探究；数学思想；思考

一、情境创设与思考

（一）情境设计片段

情境1：视频程菲招牌动作“程菲跳”，踺子后手翻180°接前直空翻540°，那么540°是一个怎样的角？

情境2：假如你的手表快了5分钟或1.5小时，你又是怎样将它校准的，当时间校准后，分针各走了多少度？

情境3：提出问题：初中时，我们所学0°~360°是如何定义的？

（二）情境设置的思考

情境1和情境2从学生熟悉的实例出发，应用生活化的浅显例子作思维引导，从运动的角度，用旋转方法得到一个角，突破了学生已有角的范围，导致学生的认知发生冲突，说明角的概念需要推广。对于情境2教师可以让学生准备好手表实际操作，从实验中体会。这样的设计将抽象的数学生活化，也彰显了数学的独特魅力。相比之下，情境3是通过复习角的定义，使学生明白角可以有静态和动态两个方面定义，体现用旋转来定义角的优越性，从而为角的概念推广做好知识上的铺垫。如学生没能说出用旋转来定义角，教师可以用实例加以引导，如跳水运动员向内向外转体、工人师傅用扳手拧螺丝等。

二、概念建构与思考

（一）概念建构设计

问题1：能根据旋转的定义，列举生活中不在0°-360°的角？该怎样说明他们？

问题2：在今后的学习中，我们常在直角坐标系中讨论角，那么怎样把角放在坐标系中比较合理方便？

问题3：30°角的终边OB与390°角和-330°角的终边有什么关系？与30°角的终边相同的角有哪些？

（二）概念建构思考

问题1通过生活中实例，让学生直观了解角度的旋转量和方向都是刻画角度不可缺少的因素，并且会有正角、负角和零角区分。同时教师可以引导学生把正角、负角和零角与正数、负数和零类比，加深对角的概念理解。也可以借助课件，认识正角、负角和零角与旋转方向的关系，并回答前面的情境问题。问题2让学生自行尝试，画图、探究、合作，教师在分析总结的基础上给出概念，并在坐标系中画出图形，让学生感受到用终边区分象限角的必要性和合理性。问题3请学生回答，并归纳出相互间关系，体会从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，认识终边相同的角的关系及其表示，也为后面学习周期做铺垫。

三、概念巩固与思考

（一）巩固练习

（1）锐角是第几象限角？（2）第一象限角都是锐角吗？在分别用直角、钝角和小于90°的角来回答上述两个问题。

（二）巩固练习思考

通过巩固练习，让学生明白，概念推广之后，初中的有些概念也要发生改变，进一步理解象限角的概念，初步了解周期，也巩固终边相同角概念。

四、数学应用设计与思考

（一）数学应用设计

例1.在0°~360°度范围内，找出与角-990°15′终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？

例2.终边落在y轴的角的集合怎么表示？

例3.已知角α与240°角的终边相同，判断■是第几象限角？

（二）数学应用设计思考

教师层层设计问题，有利于学生形成功能良好的认知结构。在问题探究过程中，学生通过思考、操作、内化等学习过程，深化知识和方法的建构。