小学常见应用文

小学常见应用文（精选8篇）

小学常见应用文 第1篇

有关应用题的教学心得，结合这些年的教学实践，下面谈谈自己的一些体会，请各位专家、同行多多指教。

一、低年级段数学应用题的教学要注意引导学生理解应用题的结构，初步知道解答应用题的基本步骤。

小学低段数学应用题主要以图画、图文应用题和简单的加减乘除应用题为主。在低段的数学应用题教学中，要注意以下几点：

1、培养学生认真听的习惯。在第一册的教学中，要加强对学生听的习惯的养成。在教学中，要让学生边听，边思考，对所听到的内容能正确地进行复述，不产生歧义。

2、注意题意义的的表述。在学生初涉应用题时，教师要注意结合教材和学生实际，用三句话来表述应用题(即两个条件，一个问题)。在学生充分讨论的基础上加以概括，让学生在初步接触应用题时就感知到应用题的结构，知道应用题必须由两个条件和一个问题组成，否则就不完整，在实际教学还可以举一些不完整的应用题，让学生加以判断，看它是否完整。

3、数量关系的感知要准确。找数量关系是解答应用题的关键。要准确地感知数量关系，必须具备两个条件：一是充分理解了四则运算的含义;二是充分理解了题意。因此，在低年级的的教学中就要求教师有意识地培养学生看图、口述图意的能力。让学生在充分讨论和教师引导下，逐步学会自己感知图(题)中的各部分之间的关系，从而找到解答的正确途径。

4、联系四则运算的含义列式。一、二年级的应用题都是一些简单的又必须运用运算含义来解答的应用题。教师教学中要注意指导学生根据对题意的理解和数量关系的感知结合四则运算和含义来正确列式。例如：有3排花盆，每排5盆，一共有多少盆?这道题既可用加法，又可用乘法，这两种方法都要肯定，但据题而言，应重在乘法方法。因此在肯定加、减法都对之后，还要提出用乘法更简便，以后遇到这种关系呢就用乘法计算比较简便。低段应用题的教学一定要从学生实际出发，结合学生实践，多给学生时间和空间，在讨论、交流中去感知应用题的结构和一般的解答步骤。

二、中高年级段应用题的教学应重在数量关系的理解上。

中高年级学生的抽象思维能力已较低年级有所发展，已基本具有对已学知识进行简单归类的能力。通过低年级的学习，学生对应用题的基本结构和解题步骤也很了解，因此，在教学中应将重点放在数量关系的理解之上。

1、要求学生掌握常见的数量关系。在中段的教学中要注意让学生掌握常规的数量关系。如：速度、时间、路程、单价、数量、总价、工效、时间、工作总量等，这些数量之间的各种关系，并要求能熟练地加以运用，让学生根据这样数量关系对应用题加以归类，导出行程、工程等应用题。

2、培养学生的综合能力。中段中已不再单纯为一步计算的应用题，就要求学生在解题中，抓住题中的关键点(俗称中间问题)。例如：某人驾车5小时行300千米，照这样计算，从甲地到乙地有240千米，此人驾车几小时可以到达?此题在教学中就要注意让学生抓住不变量(速度)，要抓住不变量就必须充分理解，照这样计算的含义就是速度不变，从而找到解题的关键。这样两步计算的应用题，在解题中要用到两个数量关系式，并将之正确运用，就需要学生综合能力的提高。

三、关于列方程解应用题

列方程解应用题在中高年级中均有所涉及，要正确理解和解答列方程类应用题要注意以下几点：

1、找准等量关系。要让学生学会通过读题理解题意，找到题中包含的相等关系，建立平衡关系式。例如：有25筐桔子，运来的梨比桔子的多4筐，运来梨多少筐?就要通过学生对题意的理解，找到梨的筐数——4筐就等于桔子。

2、要注意让学生掌握列方程解应用题的一般步骤和特殊要求(也就是必须要写出解、设)，注意加强学生对应用题解答之后的检验习惯的培养。

小学常见应用文 第2篇

通过实际的例子使学生初步理解和掌握以及能用数学术语表达常见数量关系，并能在解答应用题和实际问题中加以运用，促进学生抽象思维的发展。

教学重点

初步理解和掌握以及能用数学术语表达常见数量关系。

教学难点

掌握用数学术语表达常见数量关系。

教学关键

常见数量关系。

教学过。

一、复习：略。

1、教学例2。(题略)

(1)教学例2的第一道题。

①出示例2的第一道题。

幻灯投影：第一道题的图，在每筐苹果边加画苹果树一棵。教师讲解每筐苹果是从相对应的苹果树上采摘下来的，平均每棵采摘25千克。

②全班学生看题、图后独立解答。

(2)教学例2的第二道题。

①出示例2的第二道题。幻灯投影出菜园的一排菜畦、教师讲述菜畦的意思，每畦可收菠菜150千克。

②学生独立解答。

(3)指名讲述解答方法，板书算式。

2、棵苹果收。25×3=75(千克)

3、畦产菠菜：150×4=600(千克)

答：(略)

(4)提问：

①刚才例2的两道题中的第一个已知条件都是讲什么?引导学生回答都是讲平均产量。即单产量。

②两道题中的问题都是求什么?引导学生回答出都是求总产量。

教师归纳、例2的两道题中的“每棵树收苹果的重量”和“每哇收菠菜的重量”，我们叫它单产量。(板书：单产量)

“有多少棵树或有多少畦”，我们叫它数量。(板书：数量)

“一共收多少苹果或产多少莱的重量”，我们叫它总产量。(板书：总产量)

(5)再问：已知单产量和数量怎样求总产量?

指名学生回答后总结出：

单产量×数量=总产量

(6)小结：我们掌握了“单产量×数量=总产量”这个

关系式，平常在解答求总产量的应用题时只要找出单产量和数量，然后用单产量乘以数量就求出总产量了。

4、巩固练习。

(1)完成教科书第26页“做一做”的题目。

问：谁能举出已知条件是单产量和数量，求总产量的实际计算问题呢?

指名学生口述实例，并解答。

(2)试练。解答下列各题后，再分别指出每道题的单产量、数量和总产量各是什么?

①每吨甘蔗可以产糖120千克，5吨甘蔗可以产糖多少千克?

②菜园每畦马铃薯收140千克，4畦收马铃薯多少千克?

③每吨海水可晒盐2千克，1000吨海水可晒盐多少千克?

二、课堂综合练习。

请指出下面各题分别属于哪一种数量关系?每道题中的两个已知数分别是什么量?问题是什么量?(学生回答后，再解答出来。)

1、每双童袜2元，买同样的6双应付多少元?

2、每只母鸡平均每月下蛋20个，5只母鸡每月共下蛋多少个?

3、蔬菜小组每平方米平均收大白菜25千克，一畦8平方米的菜地能收大白菜多少千克?

4、排球每个25元，学校买回4个用了多少钱?

三、课堂作业。做练习六的第1-4题。

导数应用常见“陷阱”识别 第3篇

一、对导数定义理解不清

剖析没有正确理解导数定义,误将2Δx与Δy对应,正确的解法应该是:

二、没有优先考虑定义域

例2求函数f(x)=ln(1-2x)的单调区间.

三、求过曲线上一点处的切线问题

错解切线的斜率k=y'∣x=2=4,所以切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

剖析错误的原因是将点P当作了切点,恰好落入了题目中“过点”所设的“陷阱”.一般地,曲线在某点处的切线,则该点即为切点,而过某点作切线时,该点不一定是切点.

则切线的斜率k=y'∣x=x0=x02.

化简得x30+x20-4x20+4=0,即(x0+1)(x0-2)2=0,

解得x0=-1或x0=2,

故所求方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

方法提升若求曲线在某点处的切线,则该点处的导数即为斜率;而求过某点的切线问题就要考虑到该点不一定是切点.

四、已知曲线在某区间单调性求参数问题

例4已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是单调递增函数,求a.

剖析上述解答误把(-1,1)当成了f(x)的单调递增区间,走进了解答的误区,若原题改为单调递增区间是(-1,1),则以上解答是正确的.

正解由题意应有f'(x)=-3x2+a≥0在区间(-1,1)上恒成立,即a≥3x2,因为x∈(-1,1),故a≥3.

方法提升已知函数f(x)在某区间上的单调性求参数,说明该区间是函数单调区间的子集;已知函数f(x)的单调区间,则可直接知道该区间即为函数的单调区间.

五、函数单调性的充要条件问题

剖析错误的原因是没有准确理解函数在定义域内单调递增(或递减)的充要条件是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)且f'(x)不恒等于零.本题所设“陷阱”较隐蔽,考查了对函数单调性的充要条件是否准确理解,正确解答是还要检验a=-1时,在(-∞,1)内f'(x)=0恒成立,所以a=-1舍去,即a的取值范围为(-1,+∞).

小学常见应用文 第4篇

【关键词】小学数学；应用题教学；问题

一 新课标对传统教学的冲击

根据教育部的要求，许多小学进行了新课程数学教学改革，如何把先进的教学理念融入到小学数学教学课堂中，成了很对数学老师的老大难问题。传统的教学课堂中老师过分依赖课本，老师的主导性难以发挥。学生过分依赖老师，学生缺乏自主创新精神，缺乏合作意识，限制了学生的独立性。新课标对学生有了新的要求。应用题学习不在是单单学会如何解决这一个问题，是让学生有触类旁通的能力，培养的是一种思维，是解决问题的能力，是把数学学习作为一种方式。传统的数学教学应用题大多都是四则运算，新课标要学数学应用题更多的融合各方面的知识，让学生增长见识。这对老师和学生都是一种新高度的要求，突然的改革，

让学生一时间难以适应，再加上改革初期老师的教学难以转变，造成了学生的困扰，会让学生渐渐失去对数学应用题的兴趣。传统的教学重视结果，应用题有很多解法，你只要背会一两种就可以了，学生很可能都不知道是怎么得出来的。新课标更注重过程，新课标要求的是你的学习过程，是获得知识的途径，是自己研究得出结果。

二 教学题目单一

小学数学应用题题目单一，我记得有人把小学应用题总结成了几类。小学数学应用题中鸡兔同笼的问题，上面35个头，下面94只脚，问鸡多少只兔多少只。放水接水问题，一个池子放满水一个小时，放水管放完水四个小时，问一边注水一边放水需要几个小时。还有摩托车先走一个小时，小汽车在后面追，问几个小时追上的问题。还有两辆货车错车的问题，问多久完全错开。还有小学应用题中避不开的一个名字，小明……小学数学应用题就分那么几类。老师会告诉你各类题目怎么做，先怎么想，后怎么想，先写哪一步，后写哪一步，就算你算不出最后结果，还是有步骤分的。而且小学应用题都是用大段大段的文字来论述的，每道题都这样，很容易让学生审题疲劳，无法激发学生的兴趣，久而久之就会缺乏对学习的兴趣。应用题的编写总是要求要条件充足，保证答案的唯一性，学生缺乏创新意识。最终会变成学习的机器。应用题题目单一，学生容易形成思维定式，学生自己不做思考。尤其是小学生，正是锻炼思维的时候，一旦形成思维定式，就很难突破，对将来的发展会造成很不利的影响。

三 教学内容远离实际生活

很多人都发现，小学生的应用题好像和我们的生活没有什么关系。仿佛是不是人间烟火的仙子，应该住在外太空中。应用题是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的工具，但是现实生活中，应用题单板枯燥，远离实际生活，应用题的现实意义不强，学生很难有求知欲望。著名数学家华罗庚说：“人们对数学产生枯燥无味，神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。”小学生学习数学应用题，首先应该是立足实际，从小学生的实际生活出发，把实际生活中遇到的问题通过通俗易懂的语言编写成应用题。让小学生在学习应用题之余有能力解决现实生活中的问题。数学本就源于生活，生活中充满了各种各样的数学，从生活中学习数学，解决课本中的数学。小学数学老师应该从生活中挖掘知识，教书育人。让学生知道数学来源于生活，数学就在我们身边。从而激发学生的学习欲望，做一个既有知识又有生活的好学生。把学习到的知识应用到生活的方方面面。

四 小学数学思维狭窄

小学生的应用题由于严重脱离实际生活，学生在解答时只能分析这一道题，不能全面分析问题，联系实际。很多题目样式一样，只是把其中的关键词替换了，就组成了一道西题目。因此，学生虽然好像做了很多题，但仔细分析，却发现其实就是那么几类，只是可能吧汽车换成了火车，鸡换成了鸭，小明换成了小亮。就像我们常说的换汤不换药。其实对学生没有多大用处。小学生的思维能力本来就狭窄，老师讲解时在没有创新就更造成了小学生的思维狭窄。小学生觉得对学习失去了兴趣，就会厌倦学习，从而放弃学习。很多学校为了提高升学率，会把小学应用题总结为几大类，让学生无休止的练习，就是我们所说的题海战术。老师告诉学生这类题就这么做，不用知道为什么，会做就行了，不会做也没关系，背下来就行了。很多学生被要求死记硬背，其实根本不知道为什么。这样很难开拓学生思维，只是把学生思维困在了一个小角落里。

五 小学生应用题教学的“类型化”严重

很多老师喜欢把题目分类，就是所谓的类型化试题。老师为了教学方便，把成千上万的应用题归纳为几类，专门针对同学练习，只要练会了这几个类型就能掌握全部的应用题。而且每一类试题中还会把出现次数多的问题赋予典型试题的概念。老师针对性的讲解，学生针对性的记忆。这样做禁锢了老师和学生的思维。培养出了一堆只会做典型试题的缺乏创造性的学生。可是我们生活中并不是需要这样的学生，我们需要的是有创新精神的人才。“类型化”试题对孩子未来的发展是一个巨大的挑战。老师感觉自己的工作轻巧了，但对孩子的伤害确实严重的。小学生应用题教学的“类型化”严重，从而削减了学生的学习兴趣，对应用题感到麻木，会成为小学生的痛苦回忆。

六 小学生教学中交才把我的准确度不够

教材中的应用题出现不分场合，在一个单元中混杂着很多类型的应用题。这给老师造成了很大的困扰，不知道什么时候该出什么类型的题，题目混杂。老师不能准确把握教材，教学过程混乱，减少了教学的实用性。很多老师只是讲解，而不是引导学生自主学习，降低了学生的积极性。

小学常见应用文 第5篇

1、记住求总价和总产量的数量关系。

2、能正确运用数量关系解决实际问题。

3、通过培养学生自学,提高学生学习兴趣。

4、通过归纳揭示数量关系,培养学生的观察、比较、抽象、概括等能力。

教具准备:投影仪、幻灯片。

教学过程:

一、引入新课,认定目标

1、“小小售货员”游戏。(让学生从实际生活中感知乘法应用题的一些数量关系。)

2、教师小结:从上面的游戏我们可以看出,乘法应用题与我们日常生活有着密切的联系,那么同类型

乘法应用题又有什么关系呢?这就是我们今天要学习的问题(板书课题)。通过今天的学习,我们要完成以下两个任务(口头展标l、2)。

[评析:通过游戏把学生要学的知识与生活实际紧密结合,使学生产生学习的需要和强烈的学习兴趣,为一节成功的课堂教学奠定了坚实的基础。展标及时合理,使学生在学习过程中有明确的目标和方向]

二、导学达标

1、求总价数量关系的教学。

(1)出示例1。

例1、解答下面各题(投影出示相应的图)

①铅笔每支8分,买3支用多少钱?

②篮球每个70元,买2个用多少钱?

③鱼每千克9元,买4千克用多少钱?

(以上三道题让学生自己解答)

(2)讨论(出示讨论题,四个小组讨论)。

①例1中的三道题都说的是哪一方面的事?

②题里已知条件有什么共同点?

③要求的问题又有什么共同点?

(3)单价、数量、总价含义的教学。

根据学生讨论回答的结果进一步说明:像这样,每件商品的价钱或单位重量的价钱;我们就把它们叫做单价(板书“单价”):买商品的件数或重量,我们就把它们叫作数量(板书“数量”);买商品一共用多少钱叫做总价(板书“总价”)。请你再举出一些生活中的单价、数量、总价的实际例子来。

(4)引导学生总结数量关系。

根据例1的三道题的解题规律,请同学们总结出单价、数量、总价之间的关系。(学生总结,教师板书总结出的数量关系。)

(5)看教材,勾画重点句子。

(6)做一做

①指出例l各题中的单价、数量、总价各是多少?

②举出生活中像例1这种求总价的应用题。

[评析:通过让学生观察、比较、分组讨论和总结,充分发挥了学生的主体作用,使学生都能积极参与到学习过程中,重视了学生知识的形成过程。创设情境,让学生有成功的机会和产生成功的愉快感。

2、自学求总产量数量关系。

(1)按照老师教同学们求总价的方法,请你们带着以下思考题自学例2

出示例2(投影出示三个思考题)。

例2、解答下面各题(投影出示相应的图)。

①每棵苹果树平均收苹果25千克,3棵苹果树收多少千克?

②菜园每畦地产莱150千克,4畦地产菜多少千克?

思考题(四人小组讨论)

①两道题都说的什么问题,它们的条件和问题有什么共同点?

②什么叫单产量?什么叫数量?总产量?

③知道单产量和数量怎样求总产量?

(2)检查自学情况(投影出示检测题)。

①例2的两道题都是求的应用题。

②每棵树收苹果的重量或每哇地产菜的重量叫做,有多少棵树或有多少波菜叫做，一共收多少菠菜叫做。

③写出求总产量的数量关系:

④例2中的单产量、数量、总产量各是多少?

⑤举出生活中像例2这种求总产量的应用题。

[评析:学生带着思考题进行自学,教给了学生学习的方法,培养了学生的学习能力,使学生体验到自己也会学习知识的快乐,调动了学生的学习积极性和学习数学的兴趣。

3、小结。

以上是我们日常生活中经常用到的求总价和总产量的数量关系。知道单价和数量,用单价乘以数量就可以求总价;知道单产量和数量就可以求总产量。

三、达标测评

1、将题中已知条件和问题与相应的数量名称连起来。

(1)皮球每个35元,买4个皮球一共用多少钱?

数量总价单价。

(2)每只母鸡平均每月下蛋20个,有5只母鸡。每月共下多少蛋?

总产量数量单产量

2、先说出数量关系,再解答。

(1)学校买了4个排球,每个23元。一共用去多少元?

(2)畜牧场平均每头奶牛每天产奶15千克,20头奶牛每天产奶多少千克?

3、编一道已知单价和数量求总价的应用题。

4、编一道已知单产量和数量求总产量的应用题。

5、把下列应用题补充完整,并解答。

(1)葡萄园每畦产葡萄200克,有3畦葡萄。 ?

(2)每双童袜2元,，应付多少元?(补充不同的条件,用不同方法解答。)

6、一个水果店运来150千克苹果,平均放在6个筐里,每千克苹果2元。每筐苹果多少元?(用不同的方法解)

[评析:测评题有密度,有梯度,既体现了基础知识要求,又体现了对学生能力的要求,1、2题是检查学生对今天所学内容是否都掌握;3、4题不仅要求学生要有这节课的基础,而且还要会“选材”和“组装”;5题的第(2)题补充不同的条件,要求学生思路要广,思维要灵活;6题要求学生用不同方法解答,鼓励学生从不同角度去思考问题,从而达到培养学生创造思维的目的。]

小学常见应用文 第6篇

(一)使学生在已掌握的“单价×数量=总价”等关系式的基础上推导出另外两个关系式正确理解三个关系式之间的联系.

(二)学会应用关系式解决实际计算问题.

(三)培养学生的观察、思考、分析和概括能力.

教学重点和难点

重点：用乘法求总价，推导出用除法求得另外两个量.

难点：揭示三类应用题的数量关系.

教学过程设计

(一)复习准备

(1)口算：(投影出示)

14×5= 21×3= 13×7=

70÷14= 63÷3= 91÷7=

70÷5= 63÷21= 91÷13=

32×4= 12×6= 15×8=

128÷4= 72÷6= 120÷8=

128÷32= 72÷12= 120÷15=

(2)请同学回忆一下在乘数是两位数乘法中，学过哪些常见的数量关系?

(可以让学生讨论，互相启发，提醒一下，然后请同学回答.学生回答无序，老师要选择有序的板书在黑板上)

生：单价×数量=总价

单产量×数量=总产量

速度×时间=路程

工效×工时=工作总量

师：同学们能牢固掌握学过的数量关系，下面老师出一道常见数量关系的应用题请大家来思考.

(二)学习新课

1.学校鼓乐队买了8个鼓，每个34元，一共用了多少元?(事先写好贴在黑板上)

投影出示讨论题：(几个题都用这个讨论题)

(1)题目中已知哪些量?求什么量?

(2)用什么方法计算?为什么?

(3)说出数量关系式.

通过讨论，根据问题回答.老师把学生说的列式板书在黑板上.

34×8=272(元)

使学生充分认识：34元是单价;8是数量;272元是总价.

单价×数量=总价

下面老师把(1)题，已知和所求改变一下，请看(2)题.(事先写好贴在黑板上)

(2)学校鼓乐队买8个鼓用了272元，每个鼓多少元?

投影出示讨论题：

学生讨论时老师巡视、启发学生充分发表意见，使每个人都参与.

(可以多请几名同学回答，尤其是中、下等同学，要多给他们机会)

生：已知“买了8个鼓”是数量，“用了272元”是总价.求“每个鼓多少元”是单价.也就是：已知总价和数量，求单价.

关系式：总价÷数量=单价

列式：272÷8=34(元)

(老师把它写在黑板上)

请同学按老师说的要求，把这个题目再改编一下，注意听.

如果这道题的总价不变，把问题(单价)改变为条件，把数量改变为问题.

请同学思考片刻，组织一下语言，把这道应用题叙述出来.

(学生回答、老师把事先写好的(3)题贴在黑板上)

(3)学校鼓乐队买鼓用了272元，每个34元，买了几个鼓?

投影出示讨论题：

(根据讨论题回答，请一些平时学习有困难的同学，看他们是否掌握了)

(生：已知总价是272元，单价是34元，求的是数量.)

关系式：总价÷单价=数量

列式：979÷34=8(个)

师：通过上面三个题目，你能说出单价、数量、总价这三个量之间有什么关系吗?

(同学们可以互相说一说)

生：已知单价和数量，可以求出总价，用乘法计算;已知总价和数量，可以求出单价，用除法计算;已知总价和单价，可以求出数量，用除法计算.

总之，单价、数量、总价这三个量，只要知道其中两个量，就可以求出第三个量.

小结 今天我们研究了单价、数量、总价这三量之间的关系，只要知道这三个量中的两个量，就可以求出第三个量.只要记住“单价×数量=总价”就容易想出另外两个关系式：“总价÷数量=单价”“总价÷单价=数量”，这样我们就能很快地解决生活中的有关实际问题.

(三)巩固反馈

请同学利用我们刚学的知识，解决下面的问题.

(1)一辆汽车由胜利村开往县城，用了4小时，平均每小时行35千米，由胜利村到县城的路程是多少千米?

关系式：速度×时间=路程

列式：35×4=140(千米)

(2)胜利村到县城的路程是140千米，一辆汽车平均每小时行35千米.这辆汽车由胜利村到县城要用多少小时?

关系式：路程÷速度=时间

列式：140÷35=4(时)

(3)胜利村到县城的路程是140千米，一辆汽车由胜利村开往县城用了4小时.这辆汽车平均每小时行多少千米?

关系式：路程÷时间=速度

列式：140÷4=35(千米)

(订正时，老师板书)

下面请同学打开书第75页，练习十六第1题.谁知道每题括号里绿颜色的字是什么意思?

学生回答后，老师要求学生请在书上填写.(订正时老师板书)

(1)单产量×数量=总产量

(2)总产量÷数量=单产量

(3)总产量÷单产量=数量

下面我们再来看一道题.(出示)

(1)一台织袜机每小时织32双儿童袜，8小时生产多少双?

提出问题再解答，并写出数量关系式.

读题并补充问题.老师填在黑板上.

关系式：工效×工时=工作总量

列式：32×8=256(双)

(2)把上题改编成求时间的应用题.

(同桌两个同学互相编，然后把关系式，列式计算写在自己的作业本上)

一台织袜机每小时织32双儿童袜，计划织256双，需要几小时?

关系式：工作总量÷工效=工时

列式： 256÷32=8(时)

(3)把上题改编成求工效的应用题.

(要求自己独立思考，编后，把关系式，列式计算写在作业本上，看谁最快)

一台织袜机8小时织儿童袜256双，平均每小时织儿童袜多少双?

关系式：工作总量÷工时=工效

列式：256÷8=32(双)

小结 请大家回忆一下，我们今天学习了哪些内容?

学习了几种常见的数量关系：单价、数量、总价的关系;速度、时间、路程的关系;单产量、数量、总产量的关系;工效、工时、工作总量的关系.今后可以应用这些数量之间的关系解决一些乘法、除法应用题.

作业：看书第73页.

小资料

除法应用题的数量关系，都可以归结为：c÷a=b或c÷b=a(a，b都不等于0).

常见应用文写作 第7篇

常见应用文写作知识大全

一、条据

条据包括收条、领条、借条、欠条、请假条、留言条等等。

（一）收条、领条、借条和欠条（重点）

收条是收到别人钱物时写给对方作为凭借的条据，是一种凭证性文书。

领条是个人和组织从相关团体、组织或个人处领取物品时写给对方的凭证性条据。借条是借到集体或个人的钱物时写给对方的凭证性条据。

欠条是指人们在经济交往中，因不能及时结清钱物手续而写给对方的凭证性条据。这几种条据的格式基本相同，通常包括标题、正文、结语、署名和日期几部分：

标题——第一行居中以稍大字体写出“收条”、“领条”等字样。或者写“今收到”、“今领到”等。正文——第二行空两格书写正文。应写清楚什么人，什么东西（钱或物），具体数量。结语——在正文后另起一行空两格书写“此据”字样。也可省略不写。署名和日期——在右下方位置写上立据者姓名，并在姓名下方写上立据日期。【示例一】

收

条

今收到王强老师所归还显微镜壹台，天平壹架，完好无损。

此据

顾小英

2005．12．1 【示例二】

领

条

今领回本人丢失的票夹壹只，内有本人学生证壹本，借书证壹张，人民币伍拾陆圆柒角整。

此据

王怀德

2005．12．15 【示例三】

借

条

为参加艺术节，我班借用学校体育组运动服捌套，演出后（12月18日）即归还。

此据

经手人：高二（1）班

王雨

2005．12．14 东溪中学对口高职班语文补充教材

【示例四】

欠

条

因购书款未带足，尚欠新华书店人民币叁佰贰拾圆整，两天内归还。

此据

东溪中学

张小玲

2005．12．15 写这几种条据须注意以下三点：

1．所涉及的钱物要当面点清，察看仔细，没有问题再写条据。

2．钱款或者物品的名称要规范、准确，数量必须大写；钱款要写清币种，如“人民币”、“港元”等，末尾要加“整”字。

3．条据上的数字不能改动，如必须改动，应加盖印章，以示负责。

（二）、请假条和便条（重点）

请假条是一种特殊的最简短的书信，是为了某种原因不能上学、上班或者参加集体活动，必须向老师或领导说明理由，请求准假。它的格式与书信基本一致，分四部分：称谓、正文、敬祝语（可省略）、署名和日期。【示例五】

请

假

条 商务培训中心:

因我行于1月10日晚举行员工大会，任何人不得缺席，所以本人1月10日晚不能回校参加培训。特此请假，恳望批准!

此致 敬礼！

工商银行海珠营业部刘冬梅

2005年1月8日 写请假条须注意几点：

1．格式要正确。2．语言要简洁明了，要把原因和请假时间写清楚。3．理由要充分，情况要真实。如有相应的证据如医生证明等，可随条附上。

留

言

条

怀明：

造访不遇，至憾。如有空闲，请惠临寒舍一叙。

午安！

文西

中午11时 东溪中学对口高职班语文补充教材

写留言条须注意以下几点：

1．留言条具有一定的公开性，因此要注意不要涉及隐私和机密问题。2．交代事情要简明扼要，语言要简洁。

3．如写给十分熟悉的人，可直呼其名，也不必写敬祝语。日期可写星期几，上午或下午，乃至几点钟。

二、启事（重点）

启事是机关团体、企事业单位，公民个人有事情需要向公众说明，或者请求有关单位、广大群众帮助时所写的一种说明事项的实用文件。启事可张贴、登报、广播、在电视上放映。启事一般分三部分：

第一部分标题。在第一行中间用比正文大的字写上文种“启事”或说明事项内容和文种，如“招生启事”、“征稿启事”、“招聘中学教师启事”等。还有一种写明启事单位名称加内容、文种，如“北京显像管厂聘请法律顾问启事”等。

第二部分正文。在第二行空两格空两行写正文。正文因启事所说明的事项不同而异。总的要求是要说得有条理，清楚明白，简明扼要。正文后可以写上“此启”或“特此启事”的结束语，现在一般启事都不写这些套话了。

第三部分落款。在正文后偏正右边，写上启事单位名称，如“××公司”、“××人”。单位名称已写入标题，后边就不必再写了，只写联系地址，电话号码，邮政编码，联系人，年月日。

（一）、寻物启事

寻物启事是个人或单位丢了东西，希望通过启事得到帮助找回东西的一种应用文。寻物启事一般可张贴于丢物的地点，或贴在单位门口或街巷较显眼的位置，有的寻物启事也登在报纸上。

寻物启事内容一般包括以下几项内容。

其一，写明丢失物的名称、外观、规格、数量、品牌等，同时要写明丢失的时间和具体地点。

其二，交待清楚拾物者送还的具体方式，或注明发文者的详细地址、联络方式等。

其三，寻物启事是求人协助寻找的，故除文中写些表谢意的话外，还可以写明给以拾到者必要的酬金之类的话。【示例一】

寻物启事

3月23日晚8∶00左右，在淮海路上遗失一个公文包，内有金额为5万的存折一份、派遣证一个及它物，有拾到者请与失主联系，失主愿重金酬谢。

失主：×××

（联系电话：xxxxxxx）

xxxx年x月xx日 东溪中学对口高职班语文补充教材

【示例二】

寻人启事

12月18日上午10时左右，我带女儿去金鹰商厦购物，女儿不慎走失。女儿叫王晓，3岁，身高60厘米；圆脸，双眼皮，头上夹一大红色蝴蝶结发卡，上身穿鹅黄色羽绒服，下身穿红色绒线裤，脚穿红色皮鞋。如有人发现或知道线索，请速与我联系，一定重谢。联系电话：xxxxxxx，手机：xxxxxxxxxxx。

王××

2005．12．19 招领启事

招领启事则是拾到东西或收留了走失者的个人或单位，为寻找失主而使用的启事。写法和寻物启事基本相同。须注意的是：如果是拾到钱物，正文部分要写明拾到的时间和地点，但不能写明钱的数量和东西的特征，以防冒领；如果是收留了走失者，则一定要具体介绍其性别、大致年龄及外貌特征等，以方便失主辨别。【示例三】

招领启事

昨天下午活动课，我班×××同学在操场主席台南侧跑道上拾到票夹一只，内有手表一只，银行卡一张，人民币若干。希望失主到班主任×××老师处认领。

高三（1）班

2005．12．1 【示例四】

招领启事

昨天下午4时左右，我公司收留一位迷路的老年妇女。大约70岁左右；山东口音；上身穿藏青色棉袄，下身穿黑色裤子，脚上穿黑色棉鞋。据本人称前来探望在一工厂做工的儿子，外出闲逛，迷失了回家的路。希望她的儿子速来我单位将其母亲领回，也希望知道此情况的熟人速转告他的儿子。联系电话：xxxxxxx。联系人：×女士。

××××公司

2005年12月5日

（二）、庆典启事

庆典启事是党政机关、社会团体、企事业单位举办有关庆祝或纪念活动时，由筹办单位、部门向社会各界及有关人员告知庆典事宜的启事。庆典启事须注意交代以下内容：

1．庆典缘由；2．庆典活动总体安排，包括时间、地点、组织接待、内容、参加人等； 3．其他有关事项及要求；4．欢迎参加庆典活动的结束语； 5．单位地址、电话、传真、联系人等。东溪中学对口高职班语文补充教材

三、书信

（一）介绍信

介绍信是机关团体、企事业单位的人员与其他单位或个人联系工作、了解情况、洽谈业务、参加各种社会活动使用的一种专用书信。介绍信包括铅印成文不留存根的印刷介绍信；铅印成文带存根的印刷介绍信；用一般公文纸写的书信式介绍信。

介绍信一般应包括称谓、被介绍者简况、事由、署名日期和有效期等一些内容。具体到不同形式的介绍信的写法，其格式内容也略有差异。

手写式介绍信包括标题、称谓、正文、敬语、署名等五部分。

介绍信的内容要写明如下几点：

(１)要说明被介绍者的姓名、年龄、政治面貌、职务等。如被介绍者不是只有一人还需注明人数。其中，政治面貌和被介绍者的年龄有时可以省略。

(２)写明要接洽或联系的事项，以及向接洽单位或个人所提出的希望和要求等。

(３)要在正文的最后注明本介绍信的使用期限。【示例】

××公司负责同志：

今介绍我所副研究员，高级工程师陈×、余×二位同志前往贵公司洽谈有关合作的具体事宜，请予接待。本介绍信有效期

天（前）。

此致 敬礼！

××实用技术研（盖公章）

××年×月×日

（二）、感谢信

感谢信是得到帮助的单位或个人为感谢帮助、关怀、支援过自己的单位或个人而写的专用书信。为表示感谢之情，应把对方的事迹写下来，公之于众，因此感谢信既有感谢之意，又有表扬之用。

（三）、表扬信

表扬信是以书信的形式，对在生活、工作、学习的某一个方面作出了成绩、发扬了风格的个人和集体加以表彰的实用性文书。它既有感谢、表扬的目的，又有宣传并倡导学习的目的。有以上级组织名义表扬其所属单位或个人的，有群众之间相互表扬的。表扬信应把表扬的对象写清楚，事迹写具体。表扬信可用信封装好交给受表扬者的领导，也可用红纸书信公开张贴。

（四）、求职信

求职信是求职者写给招聘单位的信函。它与普通的信函没有多少区别，但它与朋友的信函又有所不同，当然也不同于“公事公办”的公文函。求职信所给的对象很难明确，也许是人事部一般职员，也许是经理，如果你对老板比较了解的话可以直接给老板。当然，如果你根本就不认识招聘公司的 东溪中学对口高职班语文补充教材

任何人，求职信最好写上“人事部负责人收”较妥。如果直接写人事部经理或“老总”收可能不妥，如果该信落到一般职员手中的话，可能使得这些人不高兴。

求职信起到毛遂自荐的作用，好的求职信可以拉近求职者与人事主管（负责人）之间的距离，获得面试机会多一些。

求职信是自我表白，其目的和作用要是让人事主管看，因人事主管有太多的求职信函要看，因此要简明扼要。【示例】 尊敬的领导：

您好！

感谢您在百忙之中审阅我的求职信！

这个月以来，我的心一直像小鹿一样跳个不停，外面汹涌来的招聘信息让我心动。我爸爸是一名乡村教师，我舅舅是一名中学教师。长期的熏陶，幼小的我便憧憬能成为一名优秀的教师，站在讲台上激扬文字„„今天我怀着激动的心情向您毛遂自荐！我叫范如歌，是北京师范大学2002届英语教育专业的本科毕业生。

我酷爱读书，特别是文史类，大部分中外名著（中英文版）都看过。这些书对我大有裨益：陶冶性情，丰富知识，开阔视野。这对我的教学工作大有帮助。

通过四年的学习，我掌握了良好的专业知识结构和理论基础，系统地学习了各项知识技能和教学技能，具有准确、熟练的英语听、说、读、写、译的能力。由于突出的能力，在校期间多次荣获专业奖学金、三好学生、原声模拟优秀奖等，多门专业课成绩名列前茅！

我有一定的实践经验。曾任寝室长，举办过一系列活动，寝室文化活动搞得有声有色。自大一以来我已经做了12份家教，其中以高中生居金。特别是2002年10月～2001年12月在全国重点高中--北京师大附中实习期间成绩优秀。

经过四年的学习与实践，我有信心与能力胜任大中专院校及中学英语听、说、读、写教学。当然，我初涉世事，某些方面还不成熟，但我将正视自己的不足，并以自己的谦虚、务实、稳重来加以弥补，不断完善、充实、提高自己。我期盼能有一片扬我所长的天地，我将为之奉献我的青春、智慧与汗水！

我家是教师世家，我热爱孩子，热爱教育，因为教育是育人的工程，所以，我非常渴望成为一名优秀的教师。

尊敬的领导，请给我机会，我会以十分的热情、十二分的努力去把握它！

谢谢您的慧目！此致 敬礼！

自荐人：范如歌

2002年1月18日 东溪中学对口高职班语文补充教材

（五）、申请书（重点）

申请书是个人或集体向组织表达愿望，向机关、团体、单位领导提出请求时写的一种书信。申请书应把该写的问题写清楚，但要注意精练。申请书一般是一事一书，如：“入团申请书”、“开业申请书”等。【示例】

申请补办学生证 教务处：

我是高三（2）班学生×××，不慎将学生证遗失，多方寻找仍无下落。特提出申请，请求补办学生证，希望批准。

此致 敬礼！

申请人：×××

2005．12．20

四、聘书

聘书是聘请某些有专业特长的人担任某种职务时使用的一种文书。【示例】

聘

书 ×××先生：

为提高我校学生的实践能力，特聘请您担任我校本科四年级学生教育教学实习的指导教师。希望能得到您的支持和帮助。

××大学教务处

2005．2．19

五、通知（重点）

通知是上级机关向下级机关传达指示，或批转下级机关公文，或转发上级机关和不相隶属机关的公文，或布置工作与周知事项时所用的一种下行公文；有时也是告知有关单位需要周知或共同执行某事项的平行公文。

通知有发布性通知、指示性通知、传达性通知、批转性通知、任免通知、会议通知等等种类。虽然内容、要求不一样，但都有标题（可有具体内容，也可没有）、通知对象、通知内容、出通知的单位或个人、日期等几个部分，格式大体一致。

日常生活中用得较多的是会议通知。这类通知要求以极其简洁的文字，写明会议名称、目的、时间、地点、出席对象以及对出席者的要求等等；还应写明出通知的单位和日期。东溪中学对口高职班语文补充教材

【示例】

通知

为进一步做好复习迎考工作，学校定于12月16日（星期五）下午4点30分，在综合楼五楼第一会议室召开高三年级教师会，请全体高三任课教师准时出席。

校长室

2005．12．12

六、公告、通告

写法与通知类似，都由标题、正文、单位署名和日期构成。标题可以单写“公告”或“通告”；也可注明单位，如“新华社公告”；也可以写明内容，如“关于查禁赌博的通告”。正文应中心突出，要求明确。标题中已写明单位的可不署名。【示例】

新华社公告 新华社授权公告：我国将进行太平洋发射运载火箭试验。

中华人民共和国将于1980年5月12日，由中国本土向太平洋南纬7°0´、东经171°33´为中心，半径70海里圆形海域范围内的公海上，发射运载火箭试验。中国舰船和飞机将在该海域进行作业，为了过往船只和飞机的安全，中国政府要求有关国家政府通知本国船只和飞机，在试验期间不要进入上述海域和海域上空。

一九八○年五月九日

七、声明

声明本用于国家、政党、政府或团体公开说明真相，或向公众表明自己的立场、态度和主张，局限于政治、外交等领域。后来，声明的适用范围扩大到工作和日常生活领域，一般单位和个人也可以使用声明来说明与本单位或本人直接相关的问题或事实真相，向公众表明自己的立场、态度和观点。这里介绍后一类型的一般写法。

声明一般由标题、正文、署名三部分组成。正文一般为三分式结构，开头说明发表声明的缘由或依据，主体部分一般分条列项写出具体的声明事项，最后以“特此声明”作结。如果开头与主体之间已有“特作如下声明”或“特声明如下”之类的字样，即不写“特此声明”的结语。声明事项单一不涉及繁杂问题的，主体部分也不必分条列项。【示例】

声

明

本公司职工黄国荣已于2001年8月20日离开本公司，他在离职后签订的一切与本公司有关的合同及所作承诺，一律无效。特此声明。

广东中山美丽华灯饰家具有限公司

2001．8．30 东溪中学对口高职班语文补充教材

八、会议记录

一般会议记录的格式包括两部分：一部分是会议的组织情况，要求写明会议名称、时间、地点、出席人数、缺席人数、列席人数、主持人、记录人等。另一部分是会议的内容，要求写明发言、决议、问题。这是会议记录的核心部分。

对于发言的内容，一是详细具体地记录，尽量记录原话，主要用于比较重要的会议和重要的发言。二是摘要性记录，只记录会议要点和中心内容，多用于一般性会议。

会议结束，记录完毕，要另起一行写

（一）、会议记录格式

会议名称：

会议时间：

会议地点：

记录人：

出席与列席会议人员：

缺席人员：

会议主持人：

审阅：

签字：

主要议题：

发言记录：

（二）、会议记录格式

××公司办公会议记录

时间：一九××年×月×日×时

地点：公司办公楼五楼大会议室 出席人：××× ××× ××× ××× ××× „„ 缺席人：××× ××× ××× „„ 主持人：公司总经理 记录人：办公室主任刘×× 主持人发言：(略)与会者发言：××× „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

××× „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 散会

主持人：×××(签名)记录人：×××(签名)(本会议记录共×页)

（三）、会议记录格式范例

党支部会议记录

地点：***会议室或党员活动室

主持者：***

记录者*** 出席者：支部全体党员（详见点名簿）列席：***（职务）、***（职务）„„ 东溪中学对口高职班语文补充教材

缺席者：***（缺席原因，如学习、出差、生病、无故等）

会议主题：

1、讨论支部工作报告

2、讨论通过预备党员***、***转正

***（主持人、书记）：今天，我们召开支部全体党员大会，有**人出席，超过应到会人员半数，会议有效。今天我们还邀请***、***等几位同志参加，大家向他们表示热烈欢迎。今天会议是讨论通过去年支部的工作报告和讨论***、***同志的转正。下面让我来向大会做支部工作报告。（书记做支部工作报告）请与会同志酝酿，充分发表意见。***（***）：„„

„„„„„„[详细记录每位同志的发言] ***（主持人）：刚才，同志们对我们的工作提出了许多宝贵的意见，我们会认真加以考虑，不断改进工作。接下来研究预备党员转正（记录详见《发展党员专用记录本》）。会议到此结束。

九、海

报（重点）

海报是机关、团体向广大群众报道或介绍某一消息、活动时所使用的招贴式的应用文。它多用于热烈的场合，如报告会、电影放映、戏剧表演、体育比赛、展览等等。

海报的写法没有固定的格式。一般先在纸的上方正中写上“海报”二字，字体稍大，下面写明是什么活动，写清举行活动的时间、地点、参加方式。如果是售票或发票，要写明买票或领票的时间、地点。如果是文艺、体育表演，要写明表演单位。【示例一】

海

报

上海杂技团演出精彩杂技，大型魔术 表演新颖

滑稽幽默

来去无踪

变幻莫测 演出时间：10月11日－10月13日，晚8时 演出地点：田汉大剧院 票价：50元、40元、30元 联系电话：2223698 【示例二】

讲

座 题目：WTO与中国汽车工业前景 主讲人：中南大学博士卢明康 时间：5月25日下午2点 地点：报告厅

第16届校园科技节组委会

2002年5月23日 东溪中学对口高职班语文补充教材

十、讣告（重点）

讣告是报丧的传统文书，一般由死者家属或单位的治丧委员会通过张贴或传媒等方式将人死的消息和追悼的仪式告诉亲朋好友。

讣告的一般格式内容如下：

1.标题。写 “讣告”即可。

2.死者的姓名、身份、逝世时间、地点、原因、终年寿命。

3.死者生平(可有可无)。

4.葬礼举办时间、地点。

5.联系情况。

6.讣告发出者。

【示例一】

讣

告

父亲大人xxx，因病久治不愈，于公元2002年1月2日晚上7时在医院抢救无效，不幸与世长辞，享年90岁。现定于2002年1月6日上午10时30分在xx殡仪馆20号厅举行追悼仪式。

治丧委员会设于广州xxx路x号，负责人：xxx联系电话xxxxxxxxx。

长子：张xx 妻：xxx 孙男：张xx

次子：张xx

泣告

2002年1月2日

十一、请柬（重点）

请柬又称请贴，是人们在节日和各种喜事中请客用的一种简便邀请信.请柬是为邀请宾客参加某一活动时所使用的一种书面形式的通知。一般用于联谊会、与友好交往的各种纪念活动、婚宴、诞辰或重要会议等，发送请柬是为了表示举行的隆重。请柬通常也称作请帖。在古代，柬与帖有一定的区别。请柬的“柬”字，本为“简”。造纸术发明以前，简一般是较普遍的写作材料。简是将木材或竹木经过加工后制成的狭长的片。简一般指竹简，木制的写作材料古人称“牍”。人们把文字刻在简上用来记事，由于书写面积有限，篆刻也有些难度，所以用简书写文字容量是较小的。人们把简联缀在一起而成“册”。到了魏晋时代,“简”就专门用来指一种短小的信札，这一说法延用至今。

格式内容：

（1）在封面上写“请柬”（请贴）二字。

（2）抬头写被邀请者（个人的姓名或单位）名称。

（3）交待活动内容，如开座谈会、联欢晚会、过生日等；交待举行活动的时间和地点，如果是请看戏或其它表演还应将入场券附上。东溪中学对口高职班语文补充教材

（4）结尾。如“致以——敬礼”、“顺致——崇高的敬意”等。（5）署明邀请者（个人、单位）的名称和发出请柬的时间。请柬的写作要求：

（1）请柬不同于一般书信。一般书信都是因双方不便或不宜直接交谈而采用的交际方式。请柬却不同，即使被请者近在咫尺，也须送请柬，这主是表示对客人的尊敬，也表明邀请者对此事的郑重态度。

（2）语言上除要求简洁、明确外，还要措词文雅得体。【示例】

请 柬

XXX:

兹订于2001年8月10日至8月18日，在xx华侨大厦召开xx名酒展销会，并于8月10日中午11时30分假座华桥大酒家举行开幕典礼，敬备酒宴恭候。请届时光临。

xx电器有限公司敬约

xx年x月x日 【示例】

请

柬

公元2000年8月18日为家慈七旬正诞，即日午12时敬备薄酒于东海酒家(广州市xx路x号)。敬请光临。恭候

xxx先生

xxx先生

xxx女士

2000年8月9日

十二、广告辞

广告辞属于特殊的应用文文体。它的特殊性表现在，它要利用推销原理写出雅俗共赏、生动有趣的文字，要考虑消费者的接受心理，要具有特殊的感染力，能在瞬间引起读者注意，刺激其心理需求，使消费者保持记忆，最终促成购买行为的实现。

公益性广告目的是为了引起人们对某些社会问题的关注，起着劝诫和警示的作用，不带功利色彩。【示例】

因式分解的常见应用 第8篇

1. 利用因式分解求代数式的值

例1若n为正整数, 并且|a-b+1|+ (c+d+2008) 2=0。求2d (a-b) 2n-1+ (c-d) (a-b) 2n-1的值。

解:由非负数的性质知a-b=-1, c+d=-2008。

又∵n为正整数,

∴2n-1为奇数。

例2若x2+xy+y=14, y2+xy+x=28, 求x+y的值。

解:将两方程相加, 得 (x+y) 2+ (x+y) =42。

于是 (x+y-6) (x+y+7) =0,

所以x+y=6或者x+y=-7。

2. 利用因式分解求最值

例3设x、y都是正整数, 且使, 求y的最大值。

姨x-16+姨x+100=y

解:∵x、y均为正整数,

也均为非负整数,

姨x-16=m与姨x+100

∴设 (m、n为非负整数, 且m

姨x-16=m, 姨x+100=n

于是有x-116=m2……………… (1)

x+100=n2……………… (2)

(2) - (1) , 得n2-m2=216,

即 (n-m) (n+m) =23×33。

∵y=m+n, 要求y的最大值, 即要求m+n的最大值,

又∵n-m与n+m具有相同的奇偶性,

∴m+n的最大值为23×33=108, 即y的最大值为108。

3. 利用因式分解化简代数式

例4若a2+4ab+4b2-1=0, 化简a3+2a2b+a2。

解:由已知得 (a+2b) 2=1, ∴a+2b±1。

∴a+2b=1时, a3+2a2b+a2=a2 (a+2b+1) =2a2。

a+2b=-1时, a3+2a2b+a2=a2 (a+2b+1) =0。

4. 利用因式分解证明代数恒等式

例5求证:a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc= (a+b+c) 2。

解:左边= (a2+b2+2ab) + (ac+2bc) +c2

= (a+b) 2+2c (a+b) +c2

= (a+b+c) 2=右边。

5. 利用因式分解证明代数不等式

例6已知a、b、c为△ABC的三条边长, 求证:a2+b2-c2-2ab<0。

证明:∵a2+b2-c2-2ab= (a-b) 2-c2= (a-b-c) (a-b+c) ,

由三角形三边长的关系, 知a-b+c>0, a-b-c<0,

6. 利用因式分解比较大小

例7若a

7. 利用因式分解证明整除问题

例8若x、y都为整数, 并且5x-y能被3整除, 求证:10x2+23xy-5y2能被9整除。

证明:∵5x-y能被3整除,

∴设5x-y=3m (m为整数) , 即y=5x-3m。

∴原式= (2x+5y) (5x-y) =3m (2x+5y)

=3m[2x+5 (5x-3m) ]=3m (27x-15m)

=9m (9x-5m) 。

∵m、x都为整数,

∴m (9x-5m) 为整数,

∴9m (9x-5m) 能被9整除,

∴10x2+23xy-5y2能被9整除。

例9已知n是正整数, 求证: (n+4) 2- (n-2) 2能被12整除。

证明: (n+4) 2- (n-2) 2=[ (n+4) + (n-2) ][ (n+4) - (n-2) ]

= (2n+2) 6=12 (n+1) 。

∵n为正整数,

∴n+1也为正整数,

∴ (n+4) 2- (n-2) 2能被12整除。

8.利用因式分解判断图形的形状

例10△ABC三边a、b、c满足, 试判断ABC的形状。

∴a-b=0或c-a=0, 即a=b或c=a。

∴△ABC是以a为腰的等腰三角形。

例11△ABC的三边a、b、c满足关系:a2+b2+c2-ab-bc-ca=0, 试判断△ABC的形状。

∴ABC为等边三角形。