高中数学函数的增减性

高中数学函数的增减性（精选10篇）

高中数学函数的增减性 第1篇

专题讲练

基础

（一）二次函数的顶点坐标、对称轴及增减性

1、对称轴是直线x2的抛物线是（）

2A.yxB.yx2

C.y122y4x2x2 2

D.2、将抛物线yx21先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数关系式是（）

2yx2

2A、3、二次函数

B、2yx22C、yx22

2D、yx222

yx12的最小值是（）

A、2

B、1

C、-1

D、-2

4、二次函数y2x24x5当x=

时，y有最小值为

；若y随x的增大而减小，则x的范围为。

22yxxyx3x2的图像，5、将函数的图像向右平移a（a＞0）个单位，得到函数则a的值为（）

A、1

B、2

C、3

D、4 2yax4axb过点A（0,1）

6、二次函数，A，B关于对称轴对称，则B点坐标为

。2yx7、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

yx1A、C、B、D、2yx13yx1322 yx1

328、把二次函数yx12的图像绕原点旋转180°后得到的图像解析式为。

9、把二次函数yax2bxca0的图像如图所示，对称轴为

x12，下列结论中，正确的是（）

A、abc＞0

B、ab0

C、2bc＞0

D、4a+c＜2b yaxbxca0

10、已知二次函数的图像如图所示，下列说法错误的是（）A、图像关于直线x=1对称

B、函数yax2bxca0的最小值是-4 的两个根

C、-1和3是方程ax2bxc0c0

D、当x＜1是，y随x的增大而增大

高中数学函数的增减性 第2篇

老师、同学们，大家上午好。我是教育技术专业的邓彩红，今天我的说课题目是函数的奇偶性。下面开始我的说课。

一、教材分析

本节内容选自人教A版高中数学必修一第一章第3.2节。函数是高中数学的起始课程，同时也是重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数是描述事物运动变化的重要模型，函数的奇偶性是除单调性以外的另一个重要特征，它为我们之后学习它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指数函数、对数函数、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础，也常常使复杂的不等问题变得简单明了。

本节课的学生是高一学生，之前已经学习过函数的单调性，因此,对于探索函数的奇偶性有良好的认识基础，而且学生初中阶段已经学习过函数的轴对称性和中心对称性，这也为本节课的学习奠定了基础。但是学生对于使用抽象的数学语言表示轴对称性和中心对称性这些具体的几何特征感到一定的困难，就需要教师进行有效引导。

基于以上对教材和学生的分析，我将教学目标定为以下三点： 二．教学目标 1．知识与技能方面：

（1）教会学生用数学符号语言描述偶函数和奇函数的概念，并能够理解其几何意义。

（2）能够利用定义判断函数的奇偶性。

（3）学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

（4）通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。2．过程与方法方面：

（1）让学生经历数学概念的精确化和数学化过程，体会数学化原则这个重要的数学原则。

（2）让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，以及数形结合的重要数学思想和方法。3．情感态度价值观方面：（1）让学生感受生活中的数学美，也让学生感受函数的变化规律，数列运动变化的唯物主义辩证观点。

（2）通过小组合作交流培养学生团结互助的精神。三．教学重点和难点：

教学重点：偶函数和奇函数的概念、几何意义及利用定义判断函数的奇偶性。

教学难点：对偶函数和奇函数的概念从图形表象到具体的数量关系这个精确化、数学化过程的推导。

四、教学方法

1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数 学与现实的距离，教师提出问题，让学生主动探究答案，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2、采用多媒体辅助教学方法，注意多媒体课件的使用。

3、在讨论环节，以学生为主体，鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用。

五、学习方法

1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

3、在学习过程中，学生主要采用了自主探究法、合作交流法等方法。六．教学过程

（一）创设情景 引入新课

在概念教学时，教师要为学生提供一些思维情境，因此我将先从生活中的一些数学现象引入，比如建筑物、汽车标志、蝴蝶等具有对成性的图形。“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，通过这种方式引入新课。

（二）逐步探索 发现新知

在这个步骤中，将通过f（x）x2 和f(x)|x|两个具体的函数来引入观察这两个函数的图像有什么特征，对于它们的几何特征又如何用数学符号语言来描述，从而慢慢得到偶函数的概念，并通过具体的例子强调概念中的几个注意点，比如定义域关于原点对称以及“任意”两个字怎么理解（如果对于函数f(x)的 定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。）。这样从特殊到一般的学习过程更有利于学生概念的形成。接下来根据新课程的教学理念，课堂教学中要提倡合作学习，我将让学生通过小组交流学习的方式，让他们类比偶函数概念的得到过程，从而得到奇函数的概念。

（三）课堂练习评价反馈

通过例1让学生学习通过定义去判断函数的奇偶性，并总结利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，来强化学习内容。通过设计例2让学生感受到运用函数的奇偶性这一重要性质在解决实际问题时有非常重要的作用，从而体会数学的应用价值。

（四）课堂小结 反思提高

先让学生进行小结，然后教师进行补充，在这个过程中既有利于学生巩固本节课所学的知识，也有利于教师对学生的学习情况的了解，可以进行适当的反思，为下一节的教学做准备。

（五）布置作业 分层练习

这个过程就是形成形成性评价的过程，采用分层练习，既能面向全体同学，也能让学有余力的同学获得进一步的提高。

高中数学函数的增减性 第3篇

一、利用单调性求函数的值域

例1 求函数undefined的值域。

解:令undefined, 则t≥2,

考查其单调性, 发现f (t) 在[2, +∞) 上为增函数, undefined

故所求函数值域为undefined。

点评:求函数值域时, 利用函数的单调性是常见的方法之一。

二、利用单调性求函数的最值

例2 设f (x) 是定义域R的奇函数, 且满足如下两个条件:

(1) 对于任意x、y∈, 有f (x+y) =f (x) +f (y) ;

(2) 当x>0时, f (x) <0, 且f (1) =-2

求函数f (x) 在[-3, 3] 的最值。

解:设-3≤x1

f (x2) =f[ (x2-x1) +x1]=f (x2-x1) +f (x1) 即 f (x2-x1) =f (x2) -f (x1)

∵x2-x1, ∴由条件 (2) , 得f (x2-x1) <0 ,

即f (x2) -f (x1) <0, f (x2)

∴f (x) 在[-3, 3]上是减函数。

[f (x) ]min=f (3) =f (1) +f (2) =3f (1) =-6。

[f (x) ]max=f (-3) =-f (3) =6。

点评:对于抽象函数, 往往是通过研究函数的单调性确定其最值。

三、利用单调性比较函数值的大小例3 已知函数f (x) =ax2+2ax+4 (0

A.f (x1) >f (x2) B.f (x1)

C.f (x1) =f (x2)

D.f (x1) 与f (x2) 的大小不能确定

解:f (x) 的对称轴为undefined。

①当-≤x1

∵f (x) 在[-1, +∞) 上为增函数

∴f (x1)

②当x1<-1

|x1+1|=-x1-1, |x2+1|=x2+1

|x2+1|-|x1+1|=x1+x2+2>0

∴x1比x2离f (x) 的对称轴近,

∴f (x1)

四、利用单调性分析方程根的情况

例4 已知f (x) =-x-x3, x∈[a, b], 且f (a) f (b) <0, 则方程f (x) =0在[a, b]内

A.至少有一实根 B. 至多有一实根

C.没有实数根 D. 有唯一实数根

解:根据f (x) 的表达式和单调性定义, 可知f (x) 在[a, b]上是减函数, 所以f (a) >f (b) 。又由f (a) f (b) <0, 可知f (b) <0

点评:本题是运用数形结合思想解题, 在确定形的变化趋势时, 利用单调性来分析。

五、利用单调性解不等式

例5 :已知函数f (x) =sinx+5x, x∈ (-1, 1) , 解不等式f (1-a) +f (1-a2) <0。

解:此题若解不等式sin (1-a) +5 (1-a) +sin (1-a2) +5 (1-a2) <0, 则行不通, 此时可通过考查其单调性和奇偶性, 可知f (x) 是奇函数, 且在 (-1, 1) 上是增函数, 从而有f (1-a) <-f (-a2+1) =f (-1+a2) , 所以1-a

点评:在解决抽象函数不等式时, 往往要利用函数的奇偶性和单调性来转化。

六、利用单调性证明不等式

例6 已知△ABC的三边长分别是a、b、c, 且m为正数, 求证:undefined。

分析:因为undefined的结构相同, 相当于函数undefined中的变量x分别取a、b、c时的函数, 所以要证明它们的大小关系, 可考虑函数f (x) 的单调性。a、b、c、m 都为正数, 根据单调函数的定义可推导出f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数。

>证明:由a+b>c, 可推导出f (a+b) >f (c) , 即undefined。

又undefined,

所以undefined。

点评:在证明不等式时, 往往可构造函数, 利用函数的单调性来证明.

七、利用单调性解决数列问题

例7 已知undefined, 若an>2b-5恒成立, 且b为自然数, 求b的最大值。

分析:因为an>2b-5恒成立, 所以2b-5<{an}min, 从而转化成求an的最小值, 知an是以n为自变量的函数, 从而联想到分析数列{an}的单调性规律。

解:undefined。

undefined, 所以数列 是递增数列

undefined, 解得undefined,

故自然数 的最大值是3。

浅谈高中数学函数的单调性 第4篇

关键词：高中；函数；单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ：若当 < 时，都有 < ，则说 在这个区间上是增函数；

若当 < 时，都有 > ，则说 在这个区间上是增函数。

因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ，当 时为增函数，当 时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若 、 都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若 单凋递增， 单凋递减，则 - 单调递增；若 单凋递减， 单凋递增，则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数 由两个函数 与 复合而成，则 与 单调性相同时， 单调递增； 与 单调性不同时， 单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ，且 < ；（2）比较：即比较 ）与 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

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高中数学函数的单调性测试题 第5篇

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答 案

二. 填空题(每小题4分，计44=16分)

11. 12. (-1, ) 13. 1,0 14. 15. ①②⑤

三. 解答题(共计74分)

16. 解： ①在等式中 ，则f(1)=0.

②在等式中令x=36，y=6则

故原不等式为： 即f[x(x+3)]

又f(x)在(0，+)上为增函数，

故不等式等价于：

17. 解: 在 上任取x1,x2,且 ,

则

∵ ,

x1- x20，且 .

(1)当a0时, ,即 ，

是 上的减函数;

(2 )当a0时, ,即 ，

是 上的增函数;

18. 解：因为f(x ) 是奇函数 ，所以f(1-a2)=-f (a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。

又f(x)在定义域(-1，1)上递减，所以-1a2-11，解得01。

19. 解：(1)因为 ，所以

(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是

由题设有 解得

20. 解： (Ⅰ)令

二次函数图像的对称轴为 。

可令二次函数的解析式为

由

二次函数的解析式为

(Ⅱ)∵

令

21.

21. 解： (1)令m=0,n0,则有

又由已知， n0时，01 f (0)=1

(2)设x0，则-x0

则 又∵-x0 0 f(-x)

(3)f(x)在R上的单调递减

证明：设

又 ，由已知

…… 16分

由(1)、(2)，

高中数学函数的增减性 第6篇

北京景山学校 许云尧 【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

① ②若函数 ③若函数数．

在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

．

．

在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴ ∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： 上是增函数．(1)证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且

有．

(2)研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

高中数学函数的增减性 第7篇

“函数单调性”是高中数学必修1教材中函数的一个重要性质，是研究比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用，是后面学习反函数、不等式、导数等内容的基础，又是培养逻辑推理能力的重要素材。它常伴随着函数的其他性质解决问题。对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。因此，在设计教案时，加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西。本节内容的教学重点为函数单调性的概念形成及判断。教学难点是用定义法证明函数单调性的方法步骤。

我设计意图是--提高有效教学能力，促进学生有效学习。教学中我采取发现法、多媒体辅助教学。具体流程是：

首先创设情境、激发兴趣。研究实际生活中上下楼梯的问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。

其次，探索新知。引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。针对函数图象，依据循序渐进原则，设计三个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。学生各抒己见，这时教师及时对学生鼓励评价，会激发学生探究知识的热情。这一过程教会学生与人合作，提供了灵感思维的空间，在对概念理解基础上，强化了单调区间这一概念。鼓励学生自主探索归纳类比三例，师生合作得出增减函数、函数单调性、单调区间的定义，然后设计判断对错题，达到细、深、全面的理解定义，学生经历了“再创造知识”的过程，利于发展创新意识。

再次，巩固新知，由感性到理性，引导学生逐步探究利用图象判断函数的单调性和根据定义判断或证明函数的单调性两种方法。体验了数学方法发现和创造的历程。探究时先以基本初等函数为载体，再深化扩展为函数的一般性质。从而理解掌握二次函数、一次函数、反比例函数的单调性。为后面的学习及综合应用奠定基础，同时培养学生的创新意识和逻辑思维能力。

高中数学函数的增减性 第8篇

对于“研究性学习”, 从以下几个方面来说。

(一) 背景材料的选取

在教材中, 所有的重要的知识点都作为“研究性学习”的背景和材料, 这确实是一个富有的素材库, 它的意义很大, 即能够把所有的中学教师的优点发挥出来。有时, 还可以把各自所写论文材料作为“研究性学习”的背景和材料。

(二) “研究性学习”的教学目标

对于教学, 首要是目标的明确, 即在每一节课中, 把相关的重点教给学生, 而对于发现问题的方法, 需要我们逐步去引导, 反复进行结论前、后的思考。

在荷兰, 有位著名的数学教育家弗赖登尔曾经说过, 通过自己的反思, 尤其在数学活动中是很重要的, 我们把它作为数学的一个核心、动力的因素。所以, 反思构成了发现的根本之泉, 而教会学生去发现问题, 在“研究性学习”中是一个目标。

(三) “研究性学习”的课堂操作

1.通过建立课题小组而进行:一般情况, 以10个左右同学为基准, 作为一个课题的小组, 然后去确定课题小组的组长由谁担当。

2.把课内、课外的关系处理好。对于教师, 其主要精力安排在课外时间, 而在课内, 主要任务是积极促进各个课题组去展示自己的成果。

3.通过把点、面结合起来, 作为本教案的一个研究方案, 组成一个课题小组而进行。每一个小组进行一个方案的研究。主要研究的范畴有:函数的奇偶性;函数的中心对称;关于x轴上的两点成中心对称, 周期性;关于平行于y轴的两直线对称, 周期性;关于一条平行y轴的直线成轴对称, 与周期函数等。

二、通过不断观察、反思去进行研究性学习

在课前, 往往老师给大家提供了有关的背景、材料, 通过逐步的研究、学习, 在上课前, 让同学们去展示一下学习成果。采用先进的教学手段, 比如多媒体进行教学, 展示2个重点的函数图像, y=sinx奇函数对称轴x=kπ+, k∈z f (-x) =f (+x) (特例) f (2π+x) =f (x) f (-x) =-f (x) 对称中心 (kπ, 0) , k∈z f (π-x) =-f (π+x) (特例) 。

对于这两个函数, 从函数的“三性”角度来分析, 看起来比较优美, 而美, 在于把函数“三性”集中一起了, 那么, 这类函数还有别的, 即正切函数和余切函数。

三、通过试验、猜想进行研究性学习

对于偶然性, 其中有必然性, 让学生找一个函数去作进一步的试验。通过下面的做法, 让每一个课题组, 选出一位同学, 把本组所构造的函数给同学们进行展示, 即给大家一起分享成果。

组一的一位学生, 展示了:

1.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且关于直线x=1对称, 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 作出函数的图象 (作图过程略) 从图3中不难发现, 函数具有周期性, 且周期为2。

2.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且f (x+2) =f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, (作图过程略) , 由图3可知, 函数的对称轴为x=k, k∈z。

3.已知函数y=f (x) , 满足f (x+2) =f (x) , 且f (1-x) =f (1+x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2 (作图过程略) , 由图3可知, 函数为偶函数。对于上面的三个命题, 我们能不能把其写成一个命题的形式, 让学生去思考。

有的学生说:已知函数y=f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2-x) =f (x) ;

3.f (2+x) =f (x) 。

若把其中两个论断作为一个条件, 则另一个的论断, 被作为结论的命题, 即真命题。在此基础上, 我们就可以作出一个合情的猜想, 即:函数y=f (x) , 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2a-x) =f (x) ;

3.f (2a+x) =f (x) 。

把其中两个论断作为一个条件, 而另一个论断作为结论, 则该命题是真命题。

四、通过探索、发现进行研究性学习

我们可以从本课题组中, 选出三位同学进行, 即对猜想的证明, 其具体的分工, 往往由自己来定。有的学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (x) 。又有学生认为:由f (2a+x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (x) , 还有学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (2a+x) =f (x) , 得f (-x) =f (x) 。对于三位同学的推证, 其关键抓住了变量x, 即其具有任意性, 这样, 根据目标而进行相关的变形。在探索过程中, 他们可以发现论断2、论断3的条件是:其中参数有2a是相同的, 通过反思图3, 即作图的过程, 又有新的发现, 即图象的特征是:在两条对称轴即x=0, x=1下, 产生了周期性, 而在作图过程中, 很容易发现2=2 (1-0) , 从而得到三个论断:1.y=f (x) 的图象关于直线x=a对称;2.y=f (x) 的图象关于直线x=b对称;3.y=f (x) 是周期函数, 且周期T=2|b-a|为其中一个周期, 而以其中两个论断为条件, 则另一个论断是结论的命题, 即真命题。

五、通过类比、发散而进行

在学生展示了偶函数、轴对称、周期性等相互关系时, 把图1、图2结合而作类比、发散, 在此基础上得到一些命题:

1.若函数y=f (x) 为偶函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为数, 且周期T=4|a|。这是把轴对称类比为中心对称。

2.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于直线x=a对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

3.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

综上所述, 对于“研究性的学习”, 在我们中学生中是可以做的。而研究一个问题, 往往需要我们去发现问题, 在反思的基础上, 不断去熟悉函数的性质、捕捉信息, 发现问题, 而反思属于发现的源泉, 通过反思、试验、猜想、论证, 从而发现问题再去解决问题。而在整个研究性学习过程中, 我们还可以应用逼近、联想即类比的思维, 这是发现、解决问题的两种思维模式。所以, 在学习过程中, 为了获得了一个知识, 需要在平时的点点滴滴的积累, 那么, 学问无处不在。

摘要：到了高三, 教师要不断培养学生的研究性学习, 这样才能很好地引导学生学会学习, 比如说理解函数的奇偶数的特性、周期性及图象的对称性等, 即“三性”, 在这个的基础上, 去进一步探求相互之间的关系.而在研究问题的过程中, 让学生转变自己的学习方式, 以及培养学生在探究方面的能力、创新的意识。本文结合具体的教学实践, 主要从以下几个方面对于高中数学中函数的相关问题进行探讨。

关键词：高中数学,研究性,观察,探究

参考文献

[1]彭家盛.中职数学中“指数函数与对数函数”章节的有效性教学[J].科教文汇:下旬刊, 2012 (7) .

[2]罗洁.中职数学函数奇偶性的教学模式探索[J].科技致富向导, 2012 (9) .

浅谈高中数学函数的单调性 第9篇

关键词：高中数学；函数；单调性；难点；对策

函数的单调性是高中数学中基础的教学内容，其贯穿于整个高中数学教学中。学好函数的单调性才能够支撑学生学习更深层次的高中数学。

因此，提高函数单调性的教学质量是高中数学教师不得不正视的问题。基于此，本文在此浅谈高中数学函数的单调性的学习难点，并提出相应的应对策略，以期能为有关人士提供有益参考。

一、高中数学函数的单调性的学习难点

1.学生没有掌握数形结合的学习方法

数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

2.对定义域的理解较为抽象

定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。

例如，已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

二、高中数学函数的单调性学习难点的应对策略

1.养成学生画图的习惯

首先，教师要针对学生的数学学习方法进行重点突破，也就是要让学生学会数形结合的重要方法，养成看题画图、以形解题的习惯和意识，要培养学生将抽象的条件通过直观的图形表现出来，并以此为根据进行正确的分析。

在函数单调性的教学中，教师就要引导学生制作坐标轴，必须要将函数绘制在坐标系中，将各种限制条件如函数的定义域等等标注出来，再以此为背景进行解题。通过直观的坐标系学生对函数的分析更加透彻，也更容易通过观察得出函数的单调性，并且不容易遗忘定义域的限制，最终得出正确答案。

要养成学生画图的习惯关键就在于教师的引导，教师应该引导学生在读题的同时进行绘制，将题中的条件一一标注出来。通过不断地引导和培养，学生就能够在日后读题的时候养成数形结合的习惯和意识。

2.通过一定的练习提高学生的能力

要提高函数单调性的教学质量，单纯的书面讲解是绝对行不通的，特别是针对函数定义域这种难以理解的抽象知识，必须要通过一定的练习，让学生在练习中发现问题、解决问题和总结问题。

只有在反复练习的过程中，学生才能够逐步理解相关题型的解题技巧，并且对定义域这一类知识有更深的领悟。

教师需要注意的是，学生的练习并不是盲目的，必须要有目的性和针对性，不能将不同的题型混在一起，这样容易让学生思维混乱，进一步阻碍学生的学习。因此，教师必须做好引导工作，要为学生安排好练习的题目，最好是以专题训练的方式对学生的弱点进行集中练习。

另外，教师必须要重视课后总结，也就是要让学生在练习后总结和回顾，而不是一味的反复练习，只有通过不断总结，才可以不断提升，避免出现重复的问题并且对知识体系进行梳理和总结，达到巩固的效果。

总的来说，高中数学中函数的单调性是基础性的教学内容，其对于学生的难点就在于定义域这一类抽象的知识难以把握，而且学生没有掌握数形结合这种正确的学习方法。要提高学生学习函数单调性的效率就必须针对这两个难点，通过引导和练习的方式让学生养成使用数形结合方法的意识和习惯，并且得到解题技巧，在练习和总结中进步。

参考文献：

高中数学函数的增减性 第10篇

【预习要点及要求】 1.函数奇偶性的概念；

2.由函数图象研究函数的奇偶性； 3.函数奇偶性的判断；

4.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 5.理解函数的奇偶性。【知识再现】

1.轴对称图形：

2中心对称图形： 【概念探究】

1、画出函数f(x)x，与g(x)x的图像；并观察两个函数图像的对称性。

2、求出x3，x2，x

结论：f(x)f(x)，g(x)g(x)。

3、奇函数：___________________________________________________

4、偶函数：______________________________________________________ 【概念深化】（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。

5、奇函数与偶函数图像的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于y轴对称，则这个函数是___________。

6.根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.【例题解析】

例1．已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2x，求当x0时f(x)的表达式

例2．设为实数，函数f(x)x|xa|1,xR，讨论f(x)的奇偶性

参考答案：

例1．解：设x0,则x0，f(x)(x)2(x)x2x，又因为f(x)为奇函数，2222321时的函数值，写出f(x)，g(x)。2 f(x)f(x)，f(x)(x2x)x2x

当x0时f(x)x2x

评析：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上，然后要利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性，把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x)

例2．解：当a0时，f(x)(x)|x|1x|x|1f(x)，所以f(x)为偶函数

当a0时，f(a)a1,f(a)a2|a|

1此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

评析：对于参数的不同取值函数的奇偶性不同，因而需对参数进行讨论 达标练习：

一、选择题

1、函数f(x)x22222222x的奇偶性是（）

A．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2、函数yf(x)是奇函数，图象上有一点为(a,f(a))，则图象必过点（）

A．(a,f(a))B.(a,f(a))C.(a,f(a))D.(a,二、填空题：

1)f(a)

3、f(x)为R上的偶函数，且当x(,0)时，f(x)x(x1)，则当x(0,)时，f(x)___________.4、函数f(x)为偶函数，那么f(x)与f(|x|)的大小关系为 __.三、解答题：

5、已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,bR，都有f(ab)af(b)bf(a)

（1）、求f(0),f(1)的值；

（2）、判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明。= 参考答案：

1、C；

2、C；

3、x(x+1)；