一元函数的极限定义

2024-08-25

一元函数的极限定义（精选14篇）

一元函数的极限定义第1篇

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明因为

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

lim(x)lim(x),

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

一元函数的极限定义第2篇

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：-

[论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：

1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；

则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-

[论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性；

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：

总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质

（1）极限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则

（1）-

[论文网 ]数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

一元函数极限的求法和技巧第3篇

一极限的定义

设函数f (x) 在点x0的左、右近旁有定义 (点x0可以除外) , 如果当x→x0时, 函数f (x) 无限接近于一个确定的常数A, 那么A叫做函数f (x) 当x→x0时的极限, 记作xli→mx0f (x) =A或f (x) →A (x→x0) 。

二运用极限的运算法则求极限

定理1:已知xli→mx0f (x) =A, xli→mx0g (x) =B, 则有下列法则: (1) xli→mx0[f (x) ±g (x) ]=A±B; (2) xli→mx0f (x) ·g (x) =A·B; (3) (此时需B≠0成立) 。

三极限的求法和技巧

1. 约去零因子求极限

解:因为lxi→m3 (x-) 3=0, 所以不能直接应用法则3, 因而在分式中可约去非零公因子。即:

2. 分子分母同除以最高次幂

3. 应用两个重要极限求极限

4. 用等价无穷小量代换求极限

5. 用罗必塔法则求极限

注:型的极限, 可通过罗必塔法则来求。许多变动上限积分表示的极限, 常用罗必塔法则求解。

例6:求极限xli→m0+2x l nx。

6. 用泰勒展开式求极限

四结束语

在近代数学中, 极限思想贯穿于微积分学的始终, 是一种重要的数学思想, 更准确地说微积分学的所有定义和概念都离不开极限。本文主要介绍了有关极限的概念及性质, 通过例题对有关一元函数的极限求解问题进行了分类总结。我们发现计算极限的方法多种多样, 并且技巧性都很强。因此, 本文通过例题讲解以帮助学生更深刻地了解极限的概念并熟练掌握求极限的方法。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001

一元函数极限的常用求解技巧第4篇

关键词：数学分析；函数极限；求解技巧

本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，针对一元函数极限概括出具有代表性的各种求解方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，使学生对所学知识加以巩固和提高，提高解题能力，起到“温故”而“知新”的作用，在原有基础上得到升华，从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.

函数极限的求解方法大致可以分为以下几种：

一、代入法（四则运算法则的应用）

求解技巧：①只有在各项极限均存在（除式还需要分母极限不为零）才能适用.②若所求极限不能直接运用运算法则，可先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等），然后再求极限.③四则运算法则的一个重要推论lim[f（x）]n=[limf（x）]n.④复合函数求极限法则limg[f（x）]=g[limf（x）]（这里极限号lim下方未标明x的变化过程，表示对极限的任何一个变化过程都成立，下同）.

二、重要极限法

在函数极限部分，我们来看两个经常用到的极限，它们的具体形式为：①?摇lim■=1，②?摇?摇■?摇?摇（1+■）x=e

求解技巧：①把■■=1扩展为■■=1，其中必须保持当x→a时f（x）以0为极限，且分子、分母中的f（x）必须完全一样.②把?摇■?摇?摇（1+■）x=e扩展为?摇■?摇?摇（1+g（x））■=e，其中必须保持当x→a时g（x）以0为极限，且g（x）与■要在形式上对应.③利用四则运算法则及推论.

三、无穷小量替代法

求解技巧：①等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接的各部分不能作替换②而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替換

四、性质法（迫敛性和连续性）

求解技巧：①构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式，适当放大或缩小.②一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数.③任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.

五、洛比达法则

求解技巧：只有■型和■型不定式才能应用洛比达法则.法则是由lim■存在，导出lim■是存在的，如果lim■不存在时（不包括∞的情形），并不能断定lim■也不存在，这时应使用其他方法.若■■仍为■型和■型的不定式，并且f'（x），g'（x）满足洛比达法则的条件，则可继续使用洛比达法则，即■■=■■=■■，依此类推，直到求出极限为止.除了■型和■型不定式外，还有0·∞?摇?摇，?摇∞-∞?摇，?摇?摇00，?摇?摇1∞，?摇?摇∞0等五种类型的不定式，这些不定式极限的求解方法是先把它们化为■型和■型的不定式，然后用洛比达来计算.

以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧，在解决具体问题时，还需要根据实际情况灵活应用求解技巧，只有熟练掌握这部分内容，才能进一步理解函数极限的概念，同时也是学好高等数学的关键.

参考文献：

[1]邝荣雨.微积分学讲义（第一册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005：70.

[2]侯风波，蔡谋全.经济数学[M].沈阳：辽宁大学出版社，2006：23-27，75.

[3]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.高等数学基础（上册）[M].北京：人民教育出版社，2003：109.

关于二元函数极限定义的教学探讨第5篇

【摘要】本文对二重极限的两种不同定义进行了比较，指出了二重极限与二次极限的异同，并通过具体的例子加深理解.【关键词】二重极限；二次极限；定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的，是一元函数极限概念的推广.因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象，要求更高，从而更难理解.初学者很容易犯一些概念性的错误，因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.1.二重极限的定义

现行教材中，对于二重极限有两种定义方法：

并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在，则两种顺序的二次极限都存在，且与二重极限的值相等.【参考文献】

用定义证明函数极限方法总结第6篇

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

2。

x24x7

x0

lim

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

极限定义的总结第7篇

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

一元函数求极限的方法探析第8篇

关键词：函数极限,不定式,无穷小

对学习微积分的学生来说, 如何求出函数的极限, 是学生学习微分学的重点和难点部分, 下面给出了一些求函数的极限的基本方法和技巧。

1 利用极限的运算法则求极限

在利用运算法则求极限时, 经常会碰到各种四则运算法则不能直接应用的例子, 如:等不定型, 此时需要先进行适当的恒等变换, 使式子成为有数学意义的式子, 并且还要求每个式子的极限都存在, 才能应用极限的运算法则求极限, 此外求极限的运算法则只适用有限个数学式子的运算。

(1) 对0/0型, 通常可通过因式分解, 分子或分母有理化, 三角函数恒等式等手段约去使分母的极限为零的零因子, 从而转化成有意义的数学式子。

例如:

当x→-8时, 分子、分母的极限分别为零, 这是0/0型, 无法直接代入-8求出极限, 只有先对式子进行恒等变换, 消去零因子后方能求出极限。具体解法是进行分子、分母的有理化。

(2) 对2∞∞, 分子分母可2以x同1除以代数式子中最高阶无穷大因子。

(3) 对∞-∞型, 经通分 (或有理化分子或分母等) 后可化为能去除零因子的式子。

(4) 在运用极限的运算法则时, 一定还要检验每个数学式子的极限是否存在, 如果有极限不存在的式子, 则无法套用极限运算法则 (可经过适当的数学运算或变形后, 使每个式子的极限都存在后, 再套用极限的运算法则) 。运算法则只适用于有限个数学式子, 无穷多个式子的四则运算求极限, 不能套用极限的运算法则。

因为当x→0时g (x) 的极限不存在, 所以上式无法直接套用极限的运算法则。

应当首先对f (x) ×g (x) , 进行化简, 即:再求其极限。

1.2 (因为此式子当n→∞时有无限多项, 不能直接利用极限的运算法则, 应当先对数列求和, 再求极限。即:

2 利用等价无穷小求极限

(1) 恰当利用等价无穷小代换, 会给求极限带来许多方便。等价无穷小一般只适用于极限的函数中的乘积因子, 如果函数中出现加减时, 则需要设法把他们化为乘除因子, 式子中的因子才可用等价无穷小量替代。

本例用到的等价无穷小量替换的式子有:x→0时,

请看下面错误的解法:

(加减运算中不能置换等价无穷)

本例用到的等价无穷小量替换的式子有:x→0时, sinx~x, x3+x4~x3。

(2) 虽然在一般加法的加法运算中不能用无穷小替换, 由于数学的式子的初等变换, 在式子的中α, β可用其等价无穷小量替换。

即:若α~α', β~β'

所以故在此式子中的无穷小可进行无穷小的等价代换。

(3) 无穷小与有界量的乘积是无穷小

3 夹逼准则求极限

夹逼准则这种方法多适用于考虑函数比较容易适度放大和缩小, 而且放大和缩小后的函数容易求得相同的极限, 基本思路是把求解的极限转为求放大或缩小后的数列的极限。

4 利用两个重要公式求极限

(sinx~x, 参看二中的 (2) )

5 利用洛彼塔法则求极限

洛彼塔法则求极限可连续使用多次, 但每次在运用洛彼塔法则时, 都要检验式子是否满足法则的条件 (其他的不定式通过适当的变形后, 满足条件才能使用洛彼塔法则) , 对于非零因子应先分离出来, 使运算减化。还要检验是否存在, 如果存在原式才有极限, 可以使用洛彼塔法则, 否则, 洛彼塔可能失效。

例:

上面主要讨论在一元函数微积分常用的求极限的方法和注意的事项, 但微积分的学习中还有许多其他特殊的方法, 比如利用极限的定义分段函数中分界点的极限, 利用中值定理、泰勒公式、积分、利用级数的收敛性等来求极限。在学习高等数学的过程中, 认真细致, 不断总结, 才能融会贯通, 熟能生巧。

参考文献

[1]同济大学应用数学系高等数学 (第五版) 上册高等教育出版社

[2]赵树.微积分经济应用数学基础 (一) 中国人民出版社

[3]高汝熹高等数学 (一) 微积分武汉大学出版社

函数极限定义缺乏一致性第9篇

关键词函数;极限;一致性

中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)082-0163-01

《高等数学》是大学本科教学中的一门重要的基础课,微积分理论是这门课的主要内容。极限是微积分理论的基石,连续、导数和积分等等都是由它来定义;在教授《高等数学》下册有关多元函数极限、连续等内容和同学提问过程中,我们对比发现:一个一元函数在一点没有极限,而从二元函数角度考虑却是有极限的,即:一元函数和多元函数极限缺乏一致性。本文将对此问题进行认真讨论,并尝试对极限定义进行改进,让《高等数学》这门课程更加严谨完善。

1 问题提出

我们首先来对比同济第五版《高等数学》中,一元函数极限定义和多元函数极限定义(本文以二元函数极限为例):

定义1:设函数f (x)在点x0的某一去心领域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当满足不等式0<│x–x0│<δ时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

定义2:设二元函数f (p)=f (x,y)的定义域为D,p0(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点(P0,δ)时,都有

│f (P)–A│=f (x,y)-A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

下面由上两定义来看下面两个例子,进行对比:

例1:y=f (x)=1,令定义域D={x│x∈Q}(这里Q表有理数,以下同),讨论。

例2:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈Q,y=0},讨论。

对于例1,由定义1知:因为不存在任何原点的去心领域,使得

f (x)在其上都有定義,从而得出不存在。对于例2,由定义2知:①(0,0)是D的聚点;②∀ε,δ=1,当δ)时,有

│f (x,y)–1<ε。从而。例1和例2中给出的虽一个是一元函数,一个是二元函数,但仔细分析容易发现:事实上,例2也是一个一元函数,只不过是例1的变形,与例1无本质区别,但却得出了不一致的结论。之所以出现这个情况,不难发现原因就在于两个定义的不一致性。能不能处理这个不一致性,值得探讨。

2 严谨的一元函数极限定义

首先,我们尝试修改一元函数极限定义。仔细对比例1和例2,所讨论极限结论之所以不同,直接原因在于二元函数极限是以所论极限点为聚点的基础上定义的,而一元函数极限的极限点必须是以其为中心的去心领域中函数都有定义。定义极限的先决条件很明显后者要比前者强多了。一个自然的想法,可不可以仿照多元函数对一元函数定义域上定义聚点。即:设ER,如果对于任意给定的δ>0,点x0的去心领域

内总有E中的点,则称x0是E的聚点。从而对一元函数极限重新定义如下:

定义3:设x0为f (x)定义域D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<│x–x0│<δ且x∈D时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

有了以上一元函数极限的重新定义,容易得到例1的极限存在,且。至此,问题似乎解决了;诚然,就例1和例2来说,我们取得

了极限定义的一致性。但仔细研究同济第五版《高等数学》上册连续、可导和积分等各处于极限有关的定义,进一步综合我们的教学实际,发现诸多问题,主要问题如下:

1)在定义3下,函数极限不存在左右之分,由此也不存在左右连续,左右可导等等这些同济第五版《高等数学》上册中大家熟知的很成熟的概念。

2)产生一些难以直观理解的结果。如:函数的连续。在定义3下,例1中函数在有理点是连续的,即这个函数在其定义域上处处连续。此结论难以令人在直观上接受,从而能否让学生接受,值得怀疑。且例2同样存在这个问题,由此启发我们考虑二元函数极限定义的改造。

3)定义3除了解决类似于例1和例2中极限问题,对教学和理论,尤其是教学,没有大的帮助,存在隐患。

事实上,一元函数极限的定义是非常严谨和完善的,是经过自牛顿和莱布尼兹发明微积分理论以及柯西和维尔斯特拉斯的工作之后千锤百炼的结果,不能随便轻易改动的。

3 完善多元函数极限

3.1 两个初步修改方案

由以上讨论不难发现一元函数的微积分极限理论非常经典,从一元函数方面不能解决问题,我们转向二元函数。总结几位同行讨论,对上面所出现问题的解决的初步想法是,主要有以下两种考虑:

①参照定义1,重新定义多元函数极限(以二元函数为例)。

定义4:设二元函数f (P)=f (x,y)在P0(x0,y0)某一去心领域有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

②多元函数极限是多元函数极限,一元函数极限是一元函数极限,规定不能把一元函数看成多元函数。

仔细分析发现两种想法都存在问题。针对①,我们举例:

例3:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈R,y=0},讨论。

由于不存在任何点(0,0)的去心领域,使得f (x,y)在其上都有定义,从而由定义3得出不存在,进一步可得出不连续。而事实上例3

中函数的图像可以容易做出来是一条连续的直线,这与一元函数的连续性相悖,函数极限的一致性问题仍然难以解决。针对②,稍加分析不难发现,这种考虑是在回避问题,并没有解决问题。

3.2 较理想方案

由以上讨论,不难看出极限不一致性这个问题的解决,没有想象的那么简单。通过认真研读同济第五版《高等数学》上、下两册和查找相关资料(如:[2]和[3]),同事间进行深入讨论,从科研和教学上进行反复论证和研究。还是从例1和例2入手,由定义2,例2中函数在定义域内任意点都有极限,且进一步都连续;但是直观上不容易理解,且与例1相悖。近一步分析,根源在聚点的定义。我们来看看同济第五版《高等数学》下册第2页中聚点的定义:如果对于任意给定的δ>0,点P的去心领域内总有E中的点,则称P是E的聚点。例2中定义域正是由于以上聚点定义,从而每个点都是聚点,进一步由定义2得出极限存在且连续。如果我们给出强聚点的定义:如果点P是E的聚点,且E中存在一条经过P的曲线,则称P是E的强聚点。我们可以得到以下较理想的方案:即给二元函数极限重新定义为:

定义5:设二元函数f (P)=f (x,y)的定义域为D,点P0(x0,y0)是D的强聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

不难发现,以上强聚点概念完全可以推广到其他多元函数情况,从而进一步可获多元函数极限定义。对于以上多元函数极限的重新定义,有的老师可能担心,会不会出现问题,对同济第五版《高等数学》下册的教学影响大不大。事实上,仔细研读全书,只有第一章第一节二重极限和二元函数连续的定义中是以点为聚点定义的,从而新定义对原书影响可以说很小。但概念严谨和完善了,且较好地解决了一元函数和多元函数极限缺乏一致性的问题。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]李成章,黄玉民.数学分析[M].科学出版社,1999.

数列极限的定义第10篇

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

数列极限的定义教案第11篇

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

1．以数列(1)n为例

a111n:1，，234 0 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n<110 只要n10即可即：数列(1)nn的第10项之后的所有项都满足

(2)同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可(3)如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

利用定积分的定义求极限第12篇

ban

n



k1

f(a

ban

k)



f(x)dx

例15求极限

（1）lim

n



k1n

nn4k

解：lim

n



k1

lim

n



k1

114()





114x

dx

actan2x

|0

actan2

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

[x2()]nk1n



(x2t)dtx1

（3）lim

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

k0

ln(1n)

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

故lim

n

n(n1)(n2)(2n1)e



利用极限等价函数替换求函数极限第13篇

定义1 若函数f (x) 和g (x) 满足以下条件:

undefined

则称f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的, 记为f (x) ≈g (x) (x→Δ) , (其中x→Δ表示自变量的某种变化趋势) .

根据等价无穷小的定义, 若f (x) 与g (x) 是当x→Δ时等价无穷小, 则f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的

性质1 (1) 如果当x→Δ时, f (x) 不为零,

则f (x) ≈f (x) (x→Δ) .

(2) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) ,

则g (x) ≈f (x) (x→Δ) ;

(3) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则f (x) ≈h (x) (x→Δ) ;

(4) 若undefined, 且A≠0,

则f (x) ≈A (x→Δ) ;

(5) 若f (x) ≈g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) ,

其中A+B=C+D≠0.

证明 (1) ～ (4) 显然成立.

(5) 首先证明当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

假设当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 有等于零的点, 则存在数列{xn}, 使得当n→∞时, xn→Δ, 且对于∀n, Ch (xn) +Dg (xn) =0.由于C+D≠0, 则C, D中至少有一个数不为零, 不妨设C不为零.从而对于∀n有undefined, 再由于g (x) ≈h (x) (x→Δ) , 即undefined, 从而undefined, 显然与C+D≠0矛盾.从而当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

再由于undefined

从而Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) .

定理1 若f1 (x) ≈f2 (x) (x→Δ) ,

g1 (x) ≈g2 (x) (x→Δ) 且undefined,

则undefined也存在, 且undefined

undefined

由于等价无穷小必是极限等价的, 因此以上结论对等价无穷小也是成立的.

例1 求undefined

解由于x≈sinx (x→0) , 根据性质1 (5) , 可知,

x-3sinx≈x-3x (x→0) ,

即x-3sinx≈-2x (x→0) .

又由于tanx≈x (x→0) , 根据定理1,

可知undefined

由以上求解过程, 可知由x替换sinx是合理的.

定理2 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , 当x→Δ时, 复合函数h[f (x) ]和h[g (x) ]有定义, h (u) 是有界变差函数, 且存在一正常数M使得|h[g (x) ]|≥M和|g (x) |≥M, 那么h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ)

证明首先证明undefined

由于h (u) 是有界变差函数, 则存在一正常数H, 使得|h[f (x) -h[g (x) ]]|≤H|f (x) -g (x) |,

从而undefined

再由f (x) ≈g (x) (x→Δ) 可得

undefined

即h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ) .

例2 求undefined

解令f (x) =x+sinx+2, g (x) =x+2, h (u) =lnu,

则x+sinx+2≈x+2 (x→∞) ,

再由于lnu是有界变差函数, 当x→+∞时,

|ln (x+2) |≥1, |x+2|≥1.

从而由定理2得ln (x+sinx+2) ≈ln (x+2) (x→+∞) ,

上例所求极限虽然是型不定式, 但不符合罗比达法则所要求的条件, 从而无法用罗比达法则求解.

本文中所提出的极限等价函数是对等价无穷小概念的推广, 不要求两个函数极限都存在且趋于零, 而只要求两个函数有相同的变化趋势, 从而在求某些非无穷小量比值的极限时任可以考虑用替换函数的方法.

摘要：本文通过引入极限等价函数的定义, 借鉴利用等价无穷小替换求极限的方法, 给出了利用极限等价函数求极限的方法, 从而推广了利用等价无穷小求极限的方法.

关键词：极限,等价无穷小,极限等价函数

参考文献

[1]谢克藻.高等数学简明教程.北京:科学出版社, 2008.

谈数列极限定义的教学设计第14篇

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列可以看作自变量只取正整数的一类特殊函数，称为整标函数，即，其中称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列，然后启发学生思考如何从数列的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当越来越大时，越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列，主要研究当无限增大时，数列无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果无限增大时，数列无限接近于一个常数，则称为该数列的极限，记作或。否则，称发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当无限增大时，无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要充分大，大到足以保证小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于的正整数，即，使当时的一切都满足。

由于的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列随无限增大（记作）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用的数量关系把“当无限增大时，无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数從项开始后面的所有项都落在点的邻域内，而此邻域外最多只有有限项。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2）具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画无限接近于常数的程度；二是固定性，一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数。三是表达式的多样性，定义中若取、、也可。

（3）的相应性。依赖于，但并不唯一，因此也不是的函数。事实上，未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当给定后，才能找到与之有关的，当满足时，才有，一般情况下寻找到即可。

（4）不等号的推广。由的多样性和的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明，关键是对于任意给定的正数，寻找一个与之有关的正整数使得当时恒有。那么怎么寻找呢？首先从这个关于和的不等式出发，解出的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取即可。事实上，若取或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献