线性代数复习提纲（精选10篇）
线性代数复习提纲 第1篇
线性代数复习重点
第一章． 行列式
1.排列的逆序数
2.对角线法则
3.具体数字行列式的计算（行列式的性质、展开定理）
4.余子式、代数余子式的线性组合的计算
5.特殊行列式（对角、三角、对称、反对称、范德蒙）
6.Cramer法则
第二章． 矩阵
1.矩阵的基本运算（转置、加法、数乘、乘法、方阵的幂、方阵的行列式、方阵的伴随、方阵的逆）及其运算性质
2.矩阵方程
3.具体数字矩阵求逆的三种方法（公式法、初等变换法、分块矩阵）
4.抽象矩阵证明可逆并求逆
5.初等矩阵与初等变换的关系
6.化行阶梯形、行最简形
7.求矩阵的秩（不带参数和带参数）
8.秩的性质（特别是乘积的秩、伴随的秩）
第三章． 向量组
1． 线性组合的概念和判断（带参数，不带参数）
2． 线性相关、无关的概念的判断（带参数，不带参数，注意有多种判断方法）
3． 线性相关、无关与线性组合的关系
4． 向量组与向量组之间的线性关系
5． 求向量组的秩和一个极大无关组
第四章． 线性方程组
1． 线性方程组解的判断
2． 解的性质（齐次，非齐次）
3． 齐次方程组的基础解系及通解
4． 非齐次方程组的通解
第五章． 相似矩阵
1． 向量的内积和正交性
2． 正交矩阵的概念和性质
3． 求特征值、特征向量
4． 特征值、特征向量的性质
5． 已知特征值求行列式
6． 相似对角化的判断
7． 实对称矩阵的特征的特殊性
第六章． 二次型
1． 二次型的矩阵
2． 二次型化标准形（配方法、对称变换法（合同变换法））
3． 正定二次型和正定矩阵的判断（多种方法）
线性代数复习提纲 第2篇
在各科的复习都处于较为紧张的状态下，线性代数的复习规划要注意：
这个阶段对复习的针对性要求更高，因此同学们最好在自己的弱势科目或掌握还不够牢固的知识点、题型上多下工夫，争取一举攻克难关。而相反地对自己向来持有优势的学科和知识点则不必过多投入时间，多花气力突击自己的弱项，这样就会在最短的时间内获得最显著的提高，增强应试信心。
保持“预热”状态，不可间断复习。许多往届考生在复习的前期花了许多时间和精力复习线性代数，效果也很好，就自认为高枕无忧，最后阶段放弃线性代数的复习突击其他科目，待到临考前几天再预热线性代数却发现已经很陌生，很多东西都忘了，做题也感觉很糟。为了避免此类情形发生，同学们应保证每天用一个小时的时间复习线性代数，不可发生间断以至前功尽弃。
做题绝对是必不可少的环节。复习到了一定的火候，通过套题训练可以对自己进行客观的评测，及时查漏补缺。许多同学现在已经开始做考研的真题，然而相信很多同学在做题的时候也会发现里边的题目有似曾相识的感觉，这是因为当中的许多题目在辅导班老师上课或者参考书当中早已涉及，因此真题也不能完全真实地反映个人复习效果。建议大家再做几套与真题难度相近或难度可略微高于真题的`模拟试题，如考研必做三套题，通过模拟试题的练习一方面可进一步进行客观的自我检测，对遗漏的复习要点及薄弱环节进行重点突破，为考试做好充分准备。另一方面很重要的是，在成套模拟试题的练习中，可以更熟练地把握考试的题型、模式以及时间分配、做题顺序等要素，尽早适应考场模式。
这一阶段的解题训练也万不可孤立进行，必须与再次系统梳理知识体系结合起来。应当结合做题反映出的弱点，针对性地重新梳理线性代数理论框架，同时认真归纳总结一些特定题型的解题方法和技巧。
第一章 行列式求法，最简单的了，不说了。
第二章 矩阵，概念弄懂，会求矩阵的秩，会将一个矩阵化成行最简型矩阵(阶梯形矩阵)即可。
第三章 线性方程组，会通过考察矩阵的秩，进而讨论方程组：无解，有唯一解，有无穷多解。这三种情况。其中，若方程有无穷多解，则通解的无关解向量就有n-r个。n为矩阵的阶数，r为矩阵的秩。
第四章 向量，解向量和对应矩阵的关系。讨论向量无关的一些条件，若存在一组不全为0的数k1、k2...kn使得，k1*a1+k2*a2+...+kn*an=0，则称向量组a1、a2...an线性相关。如果k1、k2...kn全为0，则线性无关。
第五章 特征值和特征向量，懂得特征值的求法，了解特征值和矩阵的秩的关系，通过特征值的个数，以及重根数，判断线性方程的无关解的个数，进而求出通解，在书上找到一个经典例题即可第六章 二次型，了解正贯系数和秩的关系，正贯系数的求法，二次型的经典写法，以及二次型与矩阵的秩的关系。如果要考正定矩阵的话，记住f(x)>0，其正贯系数均大于0。
做题要有质量,数学中的题海无边，但题型是有限的。通过对典型题型的练习，掌握相应的解题方法，能迅速提高你的解题能力，节省考场上的宝贵时间。另外，大家应准确审题，一定要认真仔细。
溶液复习提纲 第3篇
溶剂、溶质的定义
常见的溶剂有水、酒精、汽油。
溶质可以有一种或多种, 但溶剂只能有一种。
溶质和溶剂在被分散前可以是固体、液体或气体。
溶液、溶质、溶剂的质量关系:溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
区分溶剂和溶质
固体 (或气体) 与液体混合———固体 (或气体) 是溶质, 液体是溶剂。
液体和液体混合———质量小的为溶质, 质量大的为溶剂。如果其中一种液体是水, 那么水是溶剂。
当两种物质完全反应后, 新生成的物质是溶质, 而析出的沉淀或产生的气体不是溶质, 溶剂仍是水。例如锌溶于稀硫酸后, 所得到的溶液中的溶质是硫酸锌。
溶液的命名:“[溶质]的[溶剂]溶液”。如果没有指明溶剂, 我们就认为水是溶剂。
水和酒精能以任意体积互溶。
探究水与乙醇能否互溶时, 要先滴入红墨水 (目的:为了显色, 利于观察) 。
2.悬浊液、乳浊液与乳化作用
悬浊液:由固体小颗粒分散到液体里形成的混合物叫做悬浊液。
例如钡餐 (硫酸钡的悬浊液) 、粉刷墙壁用的涂料、黄河水都是悬浊液。
乳浊液:由小液滴分散到液体里形成的混合物叫做乳浊液。
悬浊液和乳浊液都不是溶液, 不具备均一、稳定的特征。
洗涤剂具有乳化作用。用洗涤剂洗衣服时, 油污没有溶解在水中, 没有形成均一、稳定的溶液。
用洗涤剂和汽油洗衣服的区别:
汽油———用汽油洗衣服时, 油污能溶解在汽油里, 形成溶液, 随着汽油挥发油污就能被带走。
洗涤剂———洗涤剂具有乳化作用, 它能使油污分散成无数细小的液滴, 随水流去。
3.溶解时的吸热或放热现象
扩散过程———溶质的分子 (或离子) 向水中扩散———吸收热量。
水合过程———溶质的分子 (或离子) 和水分子作用, 生成水合分子 (或水合离子) ———放出热量。
如果扩散过程吸收的热量小于水合过程放出的热量, 溶液的温度就会升高。 (例如氢氧化钠固体、浓硫酸)
如果扩散过程吸收的热量大于水合过程放出的热量, 溶液的温度就会降低。 (例如硝酸钾)
氯化钠等溶于水时, 不会有明显的吸热、放热现象。
氧化钙与水反应放出大量的热。有的实验为了节省能源, 可以采用氧化钙和水反应来提高温度。
1.饱和溶液与不饱和溶液。
定义:在一定温度下, 向一定量溶剂里加入某种溶质, 当溶质不能继续溶解时, 所得到的溶液叫做饱和溶液;还能继续溶解的溶液, 叫做不饱和溶液。
判断溶液是否饱和的方法:继续加入该种溶质, 如果该物质的质量减少, 那么溶液是不饱和溶液;如果该物质的质量不变, 那么溶液是饱和溶液。
由于水可以和酒精以任意比例互溶, 所以水和酒精不可以形成饱和溶液。
不饱和溶液与饱和溶液的转化
(1) 氢氧化钙和气体的溶解度随着温度升高而降低。所以若把氢氧化钙和气体的不饱和溶液变成饱和溶液, 在改变温度时要升高温度。
(2) 不饱溶液与饱和溶液转化时最可靠的方法是蒸发溶剂、加溶质、加溶剂。
(3) 若想把氢氧化钙的饱和溶液变成不饱和溶液, 可以通入适量的二氧化碳并过滤。
(4) 若想把氢氧化钙的不饱和溶液变成饱和溶液, 也可以加入Ca O并冷却。
(5) 氢氧化钙不是晶体, 从氢氧化钙溶液也不会析出晶体, 所以只能称作“澄清的石灰水变浑浊”。
浓、稀溶液与饱和、不饱和溶液之间的关系:
(1) 饱和溶液不一定是浓溶液, 不饱和溶液不一定是稀溶液。
(2) 在一定温度时, 同一种溶质的饱和溶液要比它的不饱和溶液浓。
混合物的分离和提纯
分离可溶物和不溶物:过滤法 (溶解、过滤、蒸发或溶解、过滤、洗涤、干燥)
铁屑和其他固体:用磁铁反复吸引
除去氯化钠中少量的硝酸钾:蒸发溶剂结晶法 (蒸发溶剂)
除去硝酸钾中少量的氯化钠:冷却热饱和溶液结晶法 (高温溶解、降温、过滤)
(结晶:热的溶液冷却后, 已溶解在溶液中的溶质从溶液中以晶体的形式析出, 这一过程叫结晶)
后两者往往应用在分离两种可溶于水的物质, 并且其中一种的溶解度受温度影响大, 另一种受温度影响小。我们希望析出的晶体是量多的一种, 所以选用的方法要适合量多的那种。
在一定温度和溶质相同的条件下, 100g的饱和溶液和200g的饱和溶液, 二者都蒸发10g水, 析出晶体的质量相等。
在60℃和溶质相同的条件下, 把100g的饱和溶液和200g的饱和溶液降低到20℃, 若前者析出晶体的质量为M, 后者析出晶体的质量为N, 那么N=2M。
2.固体的溶解度。
定义:在一定温度下, 某固体物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量。
四要素:
温度———必须指明具体的温度, 溶解性才有意义。
溶剂的质量是100g。
固体在溶解在溶液中, 必须达到饱和状态。
溶解度的单位通常是g。
影响固体溶解度的因素: (内因) 溶质性质、溶剂性质; (外因) 温度。
一般来说, 温度越高, 固体的溶解度越大。
溶解度的相对大小:温度是20℃, 并且溶剂的质量是100g。
在20℃下, 溶解度小于0.01g, 被称为难溶 (或不溶) ;溶解度介于0.01~1g之间, 被称为微溶;
溶解度介于1~10g之间, 被称为可溶;溶解度大于10g, 被称为易溶。
有关溶解度曲线的常见试题 (见图)
t3℃时A的溶解度为80g。
P点的含义是:在该温度时, A和C的溶解度相同。
N点为t3℃时A的不饱和溶液, 可通过加入A物质, 降温, 蒸发溶剂的方法使它变为饱和。
曲线上的点代表对应温度的饱和溶液, 曲线以下的点代表对应温度的不饱和溶液。
加溶质相当于把点向正上方移动 (但是点不能被移动到图象上方) , 加溶质相当于向下竖直移动, 降温相当于向左水平移动, 升温相当于向右水平移动。
t1℃时A、B、C、溶解度由大到小的顺序B>C>A。
从A溶液中获取A晶体可用降温结晶的方法获取晶体。
从B的溶液中获取晶体, 适宜采用蒸发结晶的方法获取晶体。
t2℃时A、B、C的饱和溶液各W克, 降温到t1℃会析出晶体的有A和B, , 无晶体析出的有C, 所得溶液中溶质的质量分数由小到大依次为A
除去A中的泥沙用过滤法;分离A与少量B的混合物, 用结晶法。
氯化钠等物质的溶解度受温度变化的影响较小;硝酸钾等物质的溶解度受温度变化的影响较大。
它们的溶解度都随着温度的升高而变大。
氢氧化钙的溶解度随着温度的升高而减小。
3.气体的溶解度
定义:在压强为101k Pa和一定温度时, 气体溶解在1体积水里达到饱和状态时的气体体积。
气体的溶解度没有单位。
气体溶解度的影响因素:
(内因) 气体的性质、水的性质; (外因) 温度、压强。
一般来说, 温度越高, 气体的溶解度越小;压强越大, 气体的溶解度越大。
第三节溶质的质量分数
牢记下面的公式:
使用该公式时的注意事项:
溶质的质量是指形成溶液的那部分溶质, 没有进入溶液的溶质不应考虑。 (计算溶质质量时要考虑溶解度)
溶液的质量包括溶液中所有溶质的质量。
上下的单位要统一。
氯化钠溶液的质量分数为16%, “16%”的意义:每100份质量的氯化钠溶液中含16份质量的氯化钠。
配制一定溶质质量分数的溶液
用固体配制溶液
仪器:天平、药匙、量筒、胶头滴管、烧杯、玻璃棒。
步骤:计算、称量、溶解、装瓶贴标签。
用浓溶液稀释
仪器:量筒、胶头滴管、烧杯、玻璃棒。
步骤:计算、量取、稀释、装瓶贴标签。
标签一般包括药品的名称 (化学式) 和浓度。
溶液的稀释计算
稀释的方法:加入溶剂或加入低浓度溶液。
依据:稀释前后溶液中的溶质的质量不变。
关系式
(1) 加水稀释:浓溶液液质量×浓溶液溶质质量分数%=稀释后溶液质量×稀释后溶液质量分数%
浓溶液质量×浓溶液溶质质量分数%= (溶液质量+加入水的质量) ×稀释后溶液质量分数%
(2) 加入低浓度溶液稀释:浓溶液质量×浓溶液溶质质量分数%+稀溶液质量×稀溶液溶质质量分数%= (浓溶液质量+稀溶液质量) ×混合后所得溶液溶质的质量分数
溶液的混合计算
依据:混合前各溶液溶质的质量之和, 等于混合后溶液中溶质的总质量。
已知的问题
(1) 如果用固体配制溶液时, 固体带有结晶水 (例如硫酸铜晶体) , 那么所得溶液的溶质质量分数会偏小。
(2) 量取液体时, 如果仰视读数, 量取的液体会偏少;如果俯视读数, 量取的液体会偏多。
(3) 用固体配制溶液时, 天平未配平、物码颠倒等情况会影响溶液的溶质质量分数。
有关化学方程式与溶质的质量分数相结合的计算
[例题]把2.8g铁片放入20g稀盐酸中, 恰好完全反应, 求:
(1) 原盐酸溶液中溶质的质量分数。
(2) 反应后所得溶液中溶质的质量分数。
解:设参加反应的HCl的质量为x, 生成的Fe Cl2的质量为y, 生成H2的质量为z。
答:原盐酸溶液中溶质的质量分数为18.5%, 反应后所得溶液中溶质的质量分数为27.97%。
[注意事项]
(1) 铁片放入盐酸中, 发生了化学反应。溶液中的溶质不是铁, 而是氯化亚铁。
(2) 不要设“盐酸的质量为x”, 因为盐酸是混合物, 而溶解到盐酸中的氯化氢才是纯净物。
线性代数复习提纲 第4篇
复习要点
1.会求一些简单函数的定义域；其中在解一元二次不等式的过程中注意“大于开两边，小于夹中间”结论的应用；对数型函数切记真数部分大于0、分式分母不为0等。
2.掌握函数值域求解的常用方法，如：配方法、换元法、图象法、单调性法、导数法等，但无论用哪种方法，一定要优先考虑函数的定义域。
3.了解函数奇偶性的含义，此时要注意三点，一是函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称；二是可以利用定义法和图象法判断函数的奇偶性；三是能够利用“奇同偶异”研究函数的单调性。
4.了解幂函数的概念，以及五种幂函数的图象及变化性质。
5.理解指数函数、对数函数的概念，理解两类函数的异同点，熟记两类函数的图象与性质。此类问题的比大小，往往借助函数的单调性，有时也引入0、1作为中间变量进行过渡。
6.利用函数图象研究函数的性质，根据性质解决相关问题以及利用图象解决最值、判断方程解的个数或分布情况。
7.了解函数的零点与方程根的联系；在判断零点时有“三宝”，一是解方程，二是用定理，三是图象法，其中图象法可以转化为单个函数的图象与x轴的交点或两个函数图象的交点。
A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数
C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[-1，+∞）
【精解精析】由函数性质的定义进行判定。由函数f（x）的解析式知，f（1）=2，f（-1）=cos（-1）=cos1，所以f（1）≠f（-1），所以f（x）不是偶函数。当x>0时，令f（x）=x2+1，其在区间（0，+∞）上是增函数，且函数值f（x）>1；当x≤0时，f（x）=cosx，其在区间（-∞，0]上不是单调函数，且函数值f（x）∈[-1，1]，所以函数f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[-1，+∞）。选D。
备考建议：高考中该模块的试题一般以客观题形式出现，热点题型主要有：①函数定义域的求解，一般与集合问题交汇；②函数性质的混合使用，包括单调性、奇偶性、周期性；③函数图象的判定及应用；④函数零点个数的判定；⑤指数、对数、幂的大小比较。在复习的过程中，我们应注意归纳内部知识的关联性，如利用函数的性质和图象判断零点的个数等。
模块二：导数
复习要点
1.理解导数的几何意义，此类问题可能会与解析几何知识交汇，注意“两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率相乘等于-1”。
2.能求简单的复合函数，注意合理拆分复合函数，以免漏求。
3.了解函数单调性和导数的关系；在求函数的单调区间时，优先考虑函数的定义域，再利用f′（x）>0或f′（x）<0，求函数的单调区间；若已知函数的单调性求参数的取值范围，则令f′（x）≥0或f′（x）≤0，再利用分离参数法求参数的取值范围。
4.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用列表法求函数的极大值、极小值。
5.求闭区间上函数的最值，只需比较极值点的函数值与端点处函数值的大小。
6.了解定积分的计算和几何意义，懂得利用定积分求平面图形的面积。
备考建议：利用导数研究函数的单调性、极值、最值是每年高考的必考题，这些问题往往以导数的几何意义为铺垫，以证明不等式、零点的个数研究等问题为压轴进行考查。在复习的过程中应当注意归纳各类问题的本质，例如证明不等式问题往往可以转化为函数的最值问题；零点个数的问题往往转化为研究函数的单调性等。
模块三：三角函数
复习要点
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
2.三角函数：①借助单位圆，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；②合理使用诱导公式，注意“奇变偶不变，符号看象限”；③借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；④理解同角三角函数的基本关系式，一般利用切化弦进行求值；⑤了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义，会用三角函数解决一些简单的实际问题。
3.能够利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式进行解题，了解它们的内在联系。
4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；边角混合的问题利用边化角或者角化边求解；在实际问题中一定要将所求的度量放在三角形中進行求解。
备考建议：本模块试题主要考查以下几个方面：一是重点考查两域（定义域、值域）四性（单调、奇偶、周期、对称），尤其是图象变换、周期、单调性与最值；二是考查三角函数式的恒等变形，利用公式求值；三是将三角函数的图象与性质、三角恒等变换、平面向量及不等式等融合在一起，有一定综合性的大题。
模块四：数列
复习要点
1.掌握数列的通项公式及递推公式，特别是在利用递推公式求解通项公式时，注意使用常见方法，如累加法、累乘法、辅助数列法等。
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。
3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，在运用等比数列前n项和公式时，应注意考虑等比数列的公比是否为1。
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4.合理求解数列的前n项和，例如“分式数列”用裂项相消法；“等差+等比数列”使用分组求和法；“等差×等比数列”使用错位相减法；“对称数列”使用倒序相加法。
备考建议：等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式是考试的重点；在数列求和时要先看数列形式，再定求和方法；平时复习时，要注意熟练使用数列的公式，训练错位相减法。
模块五：概率与统计
复习要点
1.能够区分三种抽样方法：样本容量少，使用简单随机抽样；样本容量多，使用系统抽样；样本差异性明显，使用分层抽样。
2.会列频率分布表，会画频率分布直方图（频率分布直方图的纵轴为“频率/组距”）；能画茎叶图。
3.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；注意样本的中心必落在回归直线上。
4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，解决简单的实际问题。
5.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
6.理解古典概型及其概率计算公式，会使用树形图、列举法以及排列组合原理求解；理解几何概型的意义及其概率计算公式，注意长度模型与角度模型的区别。
7.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
8.了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
例5佛山某中学高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179。
（Ⅰ）请把两队身高数据记录在茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；
（Ⅱ）利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X，求X的分布列和数学期望。
備考建议：本模块试题在高考中属于中、低档题，一般以一道客观题和一道主观题的形式出现。客观题一般考查随机抽样的选择、频率的计算、排列组合的应用、几何概型的概率计算、二项式定理的应用；主观题一般考查离散型随机变量的分布列及期望，或是线性回归方程的求解。复习时应注意理清概念、了解公式、归纳常见的概率模型。
线性代数复习总结 第5篇
概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A-1= 1 A*，或A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（满秩阵）〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等阵〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行变换 I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
考研数学线性代数复习建议 第6篇
研究生入学考试中，线性代数考试题型不多，计算方法比较初等，但是往往计算量比较大，导致很多考生对线性代数感到棘手。从理论的角度出发，线性代数的很多概念和性质之间的联系很多，特别是每年线性代数的两道大题考试内容，所涉及到的概念与方法之间需要考生着重掌握。从目前阶段来看，考生在复习过程中，跨考教育数学教研室李擂老师给广大考生提出四点复习建议：
1.理解与把握基本概念，熟练运用基本运算
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
2.网状化知识结构，提高综合分析能力
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对，再问做得好不好。只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
文章开头提到了历年真题中，两道大题考试内容。考生应注意掌握知识点间的联系与区别，例如向量组的秩与矩阵的秩之间的联系，向量的线性相关性与齐次方程组是否有非零解之间的联系，向量的.线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系，实对称阵的对角化与实二次型化标准形之间的联系等。灵活掌握他们之间的联系与区别，对做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。
3.加强逻辑性，正确简明叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
4.综合掌握“一条主线，两种运算，三个工具”
复习过程中，综合掌握“一条主线，两种运算，三个工具”。一条主线是解线性方程组，线代概念非常多而且相互联系，但线代贯穿的主线求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。两种运算是求行列式、矩阵的初等行（列）变换，三个工具是行列式、矩阵、向量。其中，向量组线性相关性是难点，要理解记忆各条定理，理清其中关系，多做题巩固知识点。特征向量与二次型虽不难，但年年必考，计算能力要跟上，多做题才能提高正确率。
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考研数学线性代数复习建议 第7篇
全国硕士研究生入学统一考试于1月9-10日进行，现在已经全部结束了。各位学生经过一年多的努力、拼搏，终于考完了所有的课程。对于考数学的考生来说，更希望了解今年数学试卷的总体特点;而对于很多准备参加考试的学生也希望了解明年数学命题的趋势，现针对线性代数部分的试题进行以下分析。
线性代数一共是5道考题，两个选择题，一个填空题，两个解答题，两个解答题是22分，今年这两道大题主要是计算题，只有数学一21题第二问是证明A是正定矩阵的，而这个证明也是很简单的。因为同学害怕的是线性代数的证明题，今年两个都是计算题，所以从这个角度来说，线性代数的考题并不难。但是相对于的线性代数题目来说，今年的线性代数题目比09年的题目个别题目要略微难一些，因为09年的两道大题都是比较常规的计算，一个是具体的非齐次线性方程组的求解和证明线性无关，另一个是求二次型所对应矩阵的特征值，这两个题目都是比较常规的题目，今年的两个大题中，数一、数二、数三都考察了一个带参数线性方程组的求解，这道题涉及到了参数的问题以及非齐次线性方程组解的结构，比09年的具体的非齐次线性方程组的求解稍微灵活一些，对于第二道大题，数一考察的是已知二次型在正交变换x=Qy下的标准形以及Q的第三列，反求A的问题，这是一个抽象的问题，比09年具体的二次型要稍微有些难度，并且计算量有点大，所以说，从这个角度来说，今年的线性代数题的两道大题应当比09年的线性代数题要略微难一些。从今年出题的情况来看，考得很全面，六章，每一章都考到了，章章都有考的出题点，题目还是有一些灵活性的。
从大纲的角度来看，现在数一、数二、数三的考试大纲几乎完全一样，数一的同学多一个知识点，多一个向量空间，而今年正好在这儿考了一道小的题目，考察了向量空间的维数。线性代数今年这五道题来说，两道解答题，数二、数三完全一样，数一有一道和数二、数三的不一样，只是换了一个出题方法，考的出题点还是同样的。从这几年考试的特点来看，线性代数题考得很基本，而线性代数题本身比较灵活，一道题往往有多种解法，基于这样的情况，作为20的考生，如果要准备线性代数的复习的话，还是应该按照考研题的特点，重视基础，把概念搞清楚，把基本的东西搞清楚。像今年数一考的一道题，考的矩阵的秩，这道考题实际上涉及到的两个基本的知识点，一个是矩阵乘积的秩，即r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B);另一个是矩阵的秩的一个性质，即若A为m*n矩阵，则r(A)<=m，r(A)<=n，由这两个知识点我们就可以得到相应的结论，而数一的一道大题同样考的是矩阵秩的性质，这两道题用到了相同的知识点;同样的，今年数一、数二、数三都涉及到的一道题，已知A为四阶实对称矩阵，，且r(A)=3，求A相似于什么样的对角阵，这道题实际上就是求A的特征值，而数三就有一道基本上一模一样的.大题，所以说历年真题在考研复习中起到了一定的作用，在复习中要引起充分的重视。另外，线性代数的题目比较灵活，今年其他几道题也是一样的，出得很灵活。所以这就要求同学们在复习过程当中，在这方面一定要注意，注意知识点之间内部的联系。
以上我们从考试知识点方面对20考研数学试题线性代数部分考点进行了分析。从历年的数学考题来看，命题组的专家都是紧紧扣住三基本，“基本概念、基本理论、基本方法”，试卷中基础知识的考查占有相当大的比例，所以对准备年考试的考生来说，复习时首先应该注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。在第一次的全面复习中，还要扎扎实实的把每个大纲要求的知识点都过一遍，查漏补缺;其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。在研读教材时要重视习题，不要求每个概念都背下来，但一定要熟习它是如何反映在题目中的;最后，要注意综合。今年解答题主要是考察综合能力，我们这种综合能力不是简单的一个知识点、两个知识点，都是跨章节的，涉及多个知识点的综合题。不管是线性代数还是概率论与数理统计，还是微积分，一定要加强综合、加强训练。你只有一步一个脚印，方法得当，一定能取得好成绩。
酸和碱复习提纲 第8篇
一、酸碱指示剂定义、常见酸碱指示剂及遇酸碱溶液显色状况
二、学过的干燥剂特点及适用范围
三、复分解反应定义、特点、发生条件
第二节酸
一、酸的定义和分类
酸:物质溶于水时, 形成的阳离子全部是H+的化合物。
由于酸、碱、盐溶于水时会电离出阴、阳离子, 所以酸、碱、盐的水溶液具有导电性。
特殊的有机酸:CH3COOH (醋酸, 又名乙酸) 有刺激性气味, 易挥发
二、常见酸 (盐酸、硫酸、硝酸、碳酸) 化学式、状态、特点、用途
三、酸的化学性质
酸有相同的化学性质是因为酸在水中都能电离出H+, 有不同的化学性质是因为能电离出的酸根离子不同。
1.酸溶液能使酸碱指示剂变色:使紫色石蕊溶液变红。
2.酸+活泼金属→盐+氢气 (置换反应)
a) 这里不包括浓硫酸和硝酸。
【现象】铁表面有气泡产生;溶液由无色逐渐变为浅绿色 (Fe2+的盐溶液呈浅绿色) 。
3.酸+金属氧化物→盐+水 (复分解反应)
a) 金属氧化物可以是活泼金属的氧化物和不活泼金属的氧化物。因为生成物有水, 符合复分解反应的发生条件, 所以反应一定发生。
【现象】铁锈逐渐溶解消失;溶液由无色逐渐变成黄色 (Fe3+的盐溶液呈黄色) 。
【现象】黑色粉末逐渐溶解消失;溶液由无色逐渐变成蓝色 (Cu2+的盐溶液呈蓝色)
4.酸+碱→盐+水 (复分解反应、中和反应)
5.酸+盐→新酸+新盐 (复分解反应)
a) 反应发生的条件: (1) 新酸是碳酸; (2) 如果新酸不是碳酸, 新盐必须是沉淀。
第三节碱
一、碱的定义和分类
碱:物质溶于水时, 形成的阳离子全部是OH-的化合物。
四大强碱都可以溶于水, 但弱碱不能溶于水。氨水是氨气溶于水形成的液体。
在初中化学范围内, 只有氢氧化铜是蓝色沉淀, 氢氧化铁是红褐色沉淀。
二、常见的碱 (氢氧化钠、氢氧化钙) 化学式、工业制法、状态、特点用途
三、碱的化学性质
碱有相同的化学性质是因为不同的碱溶液中都含有相同的OH-。
1.碱溶液 (四大强碱的溶液、氨水) 能使指示剂变色:使紫色石蕊溶液变蓝, 使无色酚酞溶液变红。
难溶于水的弱碱, 不能使指示剂变色。
2.碱+非金属氧化物→盐+水 (复分解反应)
a) 反应发生的条件: (1) 碱是四大强碱; (2) 非金属氧化物是二氧化碳、二氧化硫、三氧化硫。
b) 根据条件我们可以写出十二个化学方程式, 但必须掌握的四个化学方程式是:
3.碱+酸→盐+水 (复分解反应、中和反应)
在碱的通性中, 弱碱通常只有该性质。
4.碱+盐→新碱+新盐 (复分解反应)
a) 反应发生的条件: (1) 反应物能溶于水 (包括氢氧化钙, 不包括其他微溶于水的物质) ; (2) 新碱是氨水;
但需要注意的是, 强碱没有该性质, 该性质不属于碱的通性。
四、氢氧化钠和氢氧化钙变质
1.氢氧化钠变质
氢氧化钠变质是因为与空气中的二氧化碳反应生成碳酸钠。证明方法:
a) 取样, 加过量的稀盐酸, 如果有气泡产生, 说明氢氧化钠已经变质:
b) 取样, 加氢氧化钙溶液, 如果有白色沉淀产生, 说明氢氧化钠已经变质:
c) 取样, 加氯化钙 (或硝酸钙) 溶液, 如果有白色沉淀产生, 说明Na OH已经变质:
2.氢氧化钙变质
氢氧化钙变质是因为与空气中的二氧化碳反应生成碳酸钙。
证明方法:取样, 加入过量的稀盐酸, 如果有气泡产生, 说明氢氧化钙已经变质:
3.氢氧化钠固体和氢氧化钙固体变质时, 固体质量都会增加。
五、氢氧化钠和氢氧化钙部分变质
1.氢氧化钠部分变质的证明方法:
(1) 取样, (如果是固体, 就需要加适量水, 使固体完全溶解) , 加过量的氯化钙 (或硝酸钙) 溶液, 如果有白色沉淀产生, 说明碳酸钠存在:
(2) 过滤, 向滤液中滴加酚酞溶液, 如果滤液变红, 说明氢氧化钠存在, 氢氧化钠部分变质。
2.氢氧化钙固体部分变质的证明方法:
(1) 取样, 加适量水使固体完全溶解, 加入过量的稀盐酸, 如果有气泡产生, 说明碳酸钙存在:
(2) 另取少量固体, 加氯化铵 (或硫酸铵) 研磨, 如果闻到刺激性氨味, 说明氢氧化钙存在, 氢氧化钙部分变质:
第四节中和反应
定义:酸和碱作用生成盐和水的反应。
强酸和强碱反应, 一般没有明显的实验现象 (沉淀、气泡、难溶物溶解消失、溶液颜色变化) , 所以为了观察反应是否发生, 需要借助酸碱指示剂。
(1) 在烧杯中加入氢氧化钠溶液;
(2) 滴入几滴酚酞溶液;
(3) 用滴管慢慢地滴入稀盐酸, 并不断用玻璃棒搅拌 (如果容器是试管, 就直接振荡) ;
(4) 溶液由红色刚刚褪成无色时, 说明氢氧化钠和盐酸恰好完全反应。
(注意是先加碱溶液, 再加指示剂, 然后才加酸)
做上述实验时, 如果在实验过程中忘加酚酞, 在实验结束后再加酚酞溶液, 发现酚酞不变色, 会有两种情况:酸碱恰好完全反应或者酸过量。这时加入碳酸钙固体, 如果有气泡产生, 说明酸过量;如果没有气泡产生, 说明恰好完全反应。
虽然不能用酚酞溶液鉴别酸性溶液和中性溶液, 但借助一种碱溶液, 就能将酸性和中性溶液区分出来。
在所有的复分解反应中, 中和反应优先发生, 并且反应可以瞬时完成。
中和反应是放热反应。
中和反应的应用
熟石灰改良酸性土壤 (在缺少熟石灰的情况下, 用生石灰也可以) 。
铁粉、蛋壳 (主要成分是碳酸钙) 也可改良酸性河流, 但它们不属于中和反应。
碳酸水溶液改良碱性土壤。
用含氢氧化铝或氢氧化镁的药物中和过多的胃酸:
小苏打、墨鱼骨粉 (主要成分是碳酸钙) 也可以治疗胃酸过多, 但它们不属于中和反应。
被蚊虫叮咬时涂含氨水 (或者是牙膏、肥皂水) 的药物。
中和反应同氧化反应、还原反应一样, 是特征反应, 不属于四大基本反应类型。
第五节酸碱度
溶液的酸碱度用p H表示。p H的范围通常在0~14之间。
酸性溶液的p H<7, 中性溶液的p H=7, 碱性溶液的p H>7。
H+的浓度越大, 溶液的酸性越强, p H越小;OH-的浓度越大, 溶液的碱性越强, p H越大。
溶液中H+或OH-的浓度改变, 则p H会相应改变。
一杯p H为5.6的溶液, 怎样增大它的p H值?
物理方法:加水稀释。
化学方法:加入锌粒、氧化铜、氢氧化钠或碳酸钙等物质 (因为p H小于5.6, 溶液呈酸性, 所以要考虑酸的通性) 。
加水稀释只能使酸性或碱性溶液的p H无限靠近7, 但不能改变溶液的酸碱性。
测定p H的最简单方法是使用p H试纸。
p H试纸的使用步骤:在白瓷板或玻璃片上放一小片p H试纸, 用玻璃棒将待测液体滴到p H试纸上, 将p H试纸显示的颜色与标准比色卡比较。
使用p H试纸时的注意事项:
不能把p H试纸浸在待测液体中。
p H试纸不能用水润湿。
p H试纸测出的p H值是整数。
在做习题时, 使用p H试纸和使用酸碱指示剂是同一种方法。
了解溶液的酸碱度有重要的意义
化工生产中许多反应必须在一定p H溶液里才能进行
在农业生产中, 农作物一般适宜在p H为7或接近7的土壤中生长。
测定雨水的p H (因溶解有CO2, 正常雨水的p H约为5.6, 酸雨的p H小于5.6) , 可以了解空气的污染情况。
例谈数与代数的复习 第9篇
数与式
吃透“数与式”的概念 《课标》中指出“注重学习对基础知识、基本技能的理解和掌握”，这是因为“知识与技能”既是学生发展的基础目标，又是落实“数学思考”“解决问题”“情感与态度”目标的载体。基础的、简单的试题在每一份试卷中占有比较大的比例，而“数与式”的问题大都是基础的、简单的试题。利用好基础题是教学中不能忽视的，能够为逐步提高学生的解题能力和思维品质定坚实的基础。
掌握“数与式”的解题方法 吃透“数与式”的概念还是落实在解题上，落实对基础知识的掌握，落实对基础概念的理解，落实对基本方法的掌握，落实对基本思想的领悟，落实对数学能力的提高。“数与式”的试题难度虽不大，题型却不少，需要掌握较多的解题方法。
提高“数与式”的综合运用能力 数与式”的综合运用能力包括运算能力等。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。能力的培养是一个综合的过程，主要培养学生准确的计算能力、初步的空间观念、简单的逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力。
二方程与不等式
整理知识，构建体系 由于《数学课程标准》下的数学知识的教学是螺旋式上升的，因而知识相对分散，学生对所学知识的系统性掌握不够。这就需要加强对数学知识的整理，建立较为系统的知识体系，使学生做到知识的正迁移。
立足常规，夯实基础 任何考试，基础知识都是考查的重点，是构成试卷的重要部分。所以，在复习中，首先就要抓紧基础知识的复习，立足常规问题的解决，保证得到基础知识的分数。
关注生活，加强应用剖析 用数学知识解决现实问题是数学学习的根本目的，同时也是新课程大力提倡的一个重点。因此，在复习时，应加强学生对应用问题解决能力训练，使学生会分析应用问题的数量关系，提炼数学关系，从而找到解决问题的突破口。
综合应用，体会知识间的联系 方程（组）与不等式（组）既是重要的知识，也是重要的工具，在解决其它问题时经常会用到。这就需要在复习时，有意识地将其与其它知识联系起来，加强这部分知识用于解决其它问题的训练。
函数
函数部分的考查是关注对函数意义的理解和函数关系的表示与确定，重视函数概念和性质的应用，强化函数思想方法及其在实际问题中的应用，加强函数与方程、不等式的横向联系，突出函数与几何知识的交会，因此，在复习中应从理清网络，整体把握知识的结构与设立专题，抓好核心内容的教学方面入手。复习中应抓好函数的基本知识的教学，重视“三基”与应用，使学生学到的知识形成系统，并构建合理的知识网络结构，提高综合应用知识的能力和迁移能力。
函数的基本知识专题 函数的概念、表示、性质、思想方法及函数与方程、不等式的横向联系等内容，在选择题、填空题、解答题中均会出现考查函数基本知识的试题，考查全面且大都属于基础题。首先，应重视对基础知识的理解，注意进行归纳概括，横向比较，使学生全面理解函数的意义、各种类函数的特征与性质及函数与方程、不等式的横向联系，做到不缺不漏，从知识结构的整体出发去把握和解决问题；其次，要重视通性、通法训练，夯实“三基”，熟练应用；第三，要加强函数思想方法的形成和掌握数形结合的思想是很有帮助的；第四，此类试题呈现形式命题趋势，要重视图表、图象、图形等信息题的教学。
函数在实际问题中的应用专题 “应用问题”仍然是教与学中的难点，学生运用所学的数学知识去分析和解决问题的能力是需要教师慢慢培养、日积月累才能形成的，而非一朝一日之功。平时应多联系社会生活实际和学生的实际，选择的教学材料应具有时代性和地方特色，注意采用“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学；教学中多安排一些让学生走向社会的“做数学”的活动，鼓励学生用数学眼光发现和提出问题，有意识地用所学的数学知识解决所遇到的问题，提高用数学的意识和能力；重视对教材上有代表性的题目进行分析与变式，注意选择能反映《数学课程标准》所倡导的数学活动方式的问题（如观察、实验、猜测、验证、推理等），让学生感受和体会数学建模的能力；
函数与几何知识的交会专题 函数与几何知识有着密切的联系，应有意识地把可以用到数形结合、分类讨论等思想的地方指出来，以启发、提升学生的思维，并引导学生领会数形结合、分类讨论等思想的实质和妙用，学会使用它们来探索、解决一些简单的问题，发展学生的数学素养和数学能力。函数与几何知识交会的问题综合性强，常常作为压轴题。
函数是中学教学的核心内容，其蕴含着丰富的数学思想方法，并渗透在数学的各个领域。它是中考的重点内容，也是高中数学学习的基础。在复习中，要注重有机综合，形成知识网络，注重联系实际，增强应用意识，注重能力培养，引导自主探索。
2013线性代数考研复习建议 第10篇
2013考研备考已经开始了，网校老师结合往年考研复习情况，也2013年考研的学生们一点建议。线性代数一共是5道考题，两个选择题，一个填空题，两个解答题，两个解答题是22分，今年这两道大题主要是计算题，只有数学一21题第二问是证明A是正定矩阵的，而这个证明也是很简单的。因为同学害怕的是线性代数的证明题，今年两个都是计算题，所以从这个角度来说，线性代数的考题并不难。但是相对于12年的线性代数题目来说，今年的线性代数题目比12年的题目个别题目要略微难一些，因为12年的两道大题都是比较常规的计算，一个是具体的非齐次线性方程组的求解和证明线性无关，另一个是求二次型所对应矩阵的特征值，这两个题目都是比较常规的题目，今年的两个大题中，数
一、数
二、数三都考察了一个带参数线性方程组的求解，这道题涉及到了参数的问题以及非齐次线性方程组解的结构，比12年的具体的非齐次线性方程组的求解稍微灵活一些，对于第二道大题，数一考察的是已知二次型在正交变换x=Qy下的标准形以及Q的第三列，反求A的问题，这是一个抽象的问题，比12年具体的二次型要稍微有些难度，并且计算量有点大，所以说，从这个角度来说，今年的线性代数题的两道大题应当比12年的线性代数题要略微难一些。从今年出题的情况来看，考得很全面，六章，每一章都考到了，章章都有考的出题点，题目还是有一些灵活性的。
从大纲的角度来看，现在数
一、数
二、数三的考试大纲几乎完全一样，数一的同学多一个知识点，多一个向量空间，而今年正好在这儿考了一道小的题目，考察了向量空间的维数。线性代数今年这五道题来说，两道解答题，数
二、数三完全一样，数一有一道和数
二、数三的不一样，只是换了一个出题方法，考的出题点还是同样的。从这几年考试的特点来看，线性代数题考得很基本，而线性代数题本身比较灵活，一道题往往有多种解法，基于这样的情况，作为2013年的考生，如果要准备线性代数的复习的话，还是应该按照考研题的特点，重视基础，把概念搞清楚，把基本的东西搞清楚。像今年数一考的一道题，考的矩阵的秩，这道考题实际上涉及到的两个基本的知识点，一个是矩阵乘积的秩，即r（AB）<=r（A），r（A
B）<=r（B）；另一个是矩阵的秩的一个性质，即若A为m*n矩阵，则r（A）<=m，r（A）<=n，由这两个知识点我们就可以得到相应的结论，而11年数一的一道大题同样考的是矩阵秩的性质，这两道题用到了相同的知识点；同样的，今年数
一、数
二、数三都涉及到的一道题，已知A为四阶实对称矩阵，且r（A）=3，求A相似于什么样的对角阵，这道题实际上就是求A的特征值，而02年数三就有一道基本上一模一样的大题，所以说历年真题在考研复习中起到了一定的作用，在复习中要引起充分的重视。另外，线性代数的题目比较灵活，今年其他几道题也是一样的，出得很灵活。所以这就要求同学们在复习过程当中，在这方面一定要注意，注意知识点之间内部的联系。