数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明（精选10篇）

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明 第1篇

§2.1.3不等式的的证明(3)学案姓名☆学习目标： 1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2.☻知识情景：

1.不等式证明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)．

20.综合法和分析法．

30.反证法、换元法、放缩法

2.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB 3.分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索.BB1B2BnA用分析法证明不等式的逻辑关系： 结(步步寻求不等式已

论成立的充分条件)知

☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0.2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有： 1．已知xya，可设，； 022

220．已知x2y21，可设，0r1)； 22xy30．已知a2b21，可设，.例2 设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是（）A.1,)B.(1]C.1,)D.(1] 例3 已知x2y2

1，求证：yax

3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.a21a，n(n1)n，0a111 2n(n1)nn(n1)bm0aam

bbm

④利用基本不等式，如：lg3lg5(⑤利用函数的单调性)2lg4；

⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR；

⑦绝对值不等式：ab≤a

b≤ab；



2nkN,k

1，*2kN,k1 * ⑨应用贝努利不等式：(1x)1nxn(n1)2xxn1nx.12

例4当 n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n

例5求证：1

11113.112123123n

例6 若a, b, c, dR+，求证：1

abcd2 abdbcacdbdac

§2.1.3不等式的证明(3)练习姓名

11、设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于.212、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

43、已知ab0，求证：a（nN且n1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，则

1y1x和中至少有一个小于2。xy5、已知 1≤x2y2≤2，求证：≤x2xyy2≤3

26、设f(x)x2x13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1；

7、求证：1

8、求证

x11 x2x13ab1aba1ab1b.9、设n为大于1的自然数，求证

11111.n1n2n32n210、若n是自然数，求证

11112.122232n

2311111222(n≥2)

11、求证：2n12nn12、求证：21nN *

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明 第2篇

1．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．不充分也不必要条件

答案：B

112．若实数x、y满足＝1，则x2＋2y2有()x2y

2A．最大值3＋2B．最小值3＋2

C．最大值6D．最小值6

答案：B

3．若a，b，c∈R，且满足|a－c|＜b，给出下列结论

①a＋b＞c；②b＋c＞a；③a＋c＞b；④|a|＋|b|＞|c|.其中错误的个数()

A．1B．2

C．3D．

4答案：A

ab4．已知a＞0，b＞0，m＝n＝a＋b，p＝a＋b，则m，n，p的大小顺序是()ba

A．m≥n＞pB．m＞n≥p

C．n＞m＞pD．n≥m＞p

答案：A

1115．设a、b、c∈R＋，则三个数a＋，b＋c＋()bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2

答案：D

a＋b16．若a＞b＞1，Plga·lgb，Q＝＋lgb)，R＝lg22，则()

A．R＜P＜QB．P＜Q＜R

C．Q＜P＜RD．P＜R＜Q

答案：B

二、填空题

7．设两个不相等的正数a、b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是__________．

答案：38．用max{x，y，z}表示x，y，z三个实数中的最大数，对于任意实数a，b，设max{|a|，|a＋b＋1|，|a－b＋1|}＝M，则M的最小值是__________．

1答案：

29．设m＞n，n∈N＋，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则a与b的大小关系为__________．

答案：a≥b

三、解答题

10．已知a＞b＞c＞0，求证：a＋3

3a－bb－cc并指出等号成立的条件)

3证明：因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，b－c＞0，所以a＝(a－b)＋(b－c)＋c≥3a－bb－cc，当且仅当a－b＝b－c＝c时，等号成立，所以a3

3a－bb－cc

3a－bb－cc

3a－bb－cc

3a－bb－cc ＝6，3≥3a－bb－cc＋≥233a－bb－cc3当且仅当3a－bb－cc＝

故可求得a＝3，b＝2，c＝1时等号成立．

11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1,1]时，恒有|f(x)|≤1.(1)求证：|b|≤1；

(2)f(0)＝－1，f(1)＝1，求f(x)的表达式．

解析：(1)证明：∵f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，1∴b＝[f(1)－f(－1)]． 2

∵当x∈[－1,1]时，|f(x)|≤1.∴|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.11∴|b|＝|f(1)－f(－1)|≤[|f(1)|＋|f(－1)|]≤1.22

(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1，得c＝－1，b＝2－a.∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.∵当x∈[－1,1]时，|f(x)|≤1.∴|f(－1)|≤1，即|2a－3|≤1，解得1≤a≤2.a－211∴－[－1,1]． 2a2a

依题意，得

fa－2＝aa－22＋2－aa－2－1≤1，2a2a2a

整理，得a－224a＋1≤1.a－22a－22又a＞0≥0＋1≥1.4a4a

a－22∴＝0，即a＝2，4a

从而b＝0，故f(x)＝2x2－1.212．设正有理数x3的一个近似值，令y＝1＋1＋x

(1)若x＞3，求证：y＜；

(2)求证：y比x3.33＋x－3x1x2证明：(1)y－3＝1＋3＝，1＋x1＋x1＋x

∵x＞3，∴x－3＞0，而1－3＜0，∴y＜3.1－x－3(2)∵|y－3|－|x－3|＝－|x3| 1＋x

＝|x－3|3－13－2－x1＝|x－3| 1＋x1＋x

谈放缩法证明不等式 第3篇

一、要点归纳

(1) 放缩法:是指若直接证明不等式A

(2) 放缩法证明不等式的理论依据主要有: (1) 不等式的传递性; (2) 等量加不等量为不等量; (3) 同分子异分母 (或同分母异分子) 的两个分式大小的比较。

(3) 常用的放缩法技巧有: (1) 舍掉 (或加进) 一些项; (2) 在分式中放大或缩小分子或分母; (3) 应用均值不等式进行放缩。

(4) 放缩法的实质是非等价转化, 放缩法没有一定的准则和程序, 放缩目的性很强, 需按题意适当放缩, 即通过放缩将复杂的一边化简, 凑出另一边的形式。

二、特别提示

(1) 利用放缩法证明不等式, 要根据不等式两端的特点及已知条件, 谨慎地采取措施, 进行恰当地放缩。

(2) 放缩法是一种证题技巧, 要想用好该方法证题, 必须有明确的目标, 目标可以从要证明的结论中考查, 即要认真分析结论的特点, 由结论的特征挖掘解题规律。

三、放缩法常见题型

1. 舍弃或添加一些项进行放缩

例1设n≥4, n∈N*, 试证2n-1>n2-n+2)

证:当n-1≥3时

点评:本题的证明采用二项式展开式进行放缩比较简单, 当然, 也可以采用数学归纳法进行证明。

2. 用基本不等式, 均值不等式进行放缩

所以, 原不等式成立

点评:本题的证明方法是采用进行缩小, 使作差后的两项联系起来, 提取公因式后为整体处理铺平道路。

3. 为了裂项而采用一些熟悉的关系式进行放缩

点评: (1) 证明本题的常规方法是——数学归纳法相比, 从证题长度来说, 这种放缩效果几乎称得上一蹴而就, 尤其是其中对分母的有理化, 在把和变为差的同时使分式化为整式, 堪称“数学魔术”。 (2) 常用的放缩公式有:

4. 分式放缩

例4设当ai∈R+ (i=1, 2, …, n)

点评:本题的证明采用将分母式子的平方改成两项的积, 然后舍去一些项后, 再将整个分式拆成两项之差, 最后将其内项相抵消, 从而得到结论正确。

5. 用不等式进行放缩

例5设f (x) =x2+ax+b, 试证:|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |, 中至少有一个不小于

证明:记M为, |f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中的最大者, 则有:

即|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中至少有一个不小于

点评:本题用“|a+b|≤|a|+|b|”进行缩小, 从而比较容易地证得目标, 这比传统的反证法简捷得多。

6. 用三角形中的边长关系进行放缩

例6设a, b, c是三角形ABC的三边, 求证:a2+b2+c2<2 (ab+bc+ca)

证明:右边= (ab+bc) + (ab+ca) + (bc+ac) =b (a+c) +a (b+c) +c (a+b) >b.b+a.a+c.c=左边

所以a2+b2+c2<2 (ab+bc+ca)

现代化的四个不等式 第4篇

此书作者是一位西方新闻记者，大名鼎鼎的保罗·哈里森，英国人也。哈先生见多识广，又勤于笔耕，著作宏富。一九六八年，他来到尼日利亚任教。在那里，他开始研究第三世界的社会发展问题。此后十多年，他考察了亚非拉大部分最不发达的国家，发现这些国家以及整个第三世界越来越贫困，越来越不平等，其最根本原因，不仅是由于它们的文化传统存在着致命的缺陷，而且也由于西方强行注入了不合时宜的“现代化”，以及它们自己可悲地把这些东西全盘接受下来。一九七九年，他出版了上面提到的那本书《第三世界》，副标题：“苦难·曲折·希望”，正好点明他在这本书中对发展中国家现代化的深刻反省。

一工业化不等于现代化

当工业文明在西方首先涌现，并得到迅速发展时，不少西方学者仅以西方的事例下结论说，工业化，只有西方的资本主义的工业化，才是现代化的唯一道路。大前提一旦确定，剩下的也就只有用一些片面的事实来编织他们所谓的理论了。于是，关于工业资本主义的起源，这些学者硬说，只有西方，才有工业资本主义发展的适宜土壤，那里的地理环境、社会结构和文化精神都鬼斧神工地开凿了工业化的道路，其它任何地方都不行。对此，哈里森另有创见。他承认，经济发展的初始条件——大自然的秩序是不太公正的，上帝偏爱白皮肤、蓝眼晴的臣民，将温暖、湿润和幸福留给欧罗巴，而讨厌他的黑皮肤，黄皮肤和褐皮肤的儿女，把酷热、干旱和灾难带到亚非拉。基础不同，起步不同，结果自然也会不一样。他还承认，工业资本主义得以率先发展的另外几种基本条件，如丰富的剩余农产品、不受控制的企业家阶级、巨额资本和实用科学的发展等等，西方又得天独厚。但他指出，问题的关键还不在这里，而在于欧洲人靠着他们的武力征服和不体面的贸易，开创了优越的外部环境。哈里森坦率地说：“即使是在这个初期阶段，对非西方国家的剥削，就曾对西方资本主义的产生起过关键性的作用。的确，如果没有这种剥削，西方是否能实现工业化都是值得怀疑的。”(第26页)

如此说来，问题就清楚了。工业化带给西方的现代化，是以非西方的“牺牲”为前提的。如果看不到这一点，过分相信西方“现代化”论者开的诊单，走西方的老路，由工业化而现代化，或现代化必然工业化，那么，工业化即便成了，现代化则很可能仍是镜花水月。

第三世界许多国家独立后，为了实现现代化，纷纷走上了工业化的道路。由于缺乏西方工业化早期那种外部条件——没有什么国家可供它们殖民和掠夺(相反，还要受西方国家的控制)，第三世界工业化问题成堆。首先是就业问题。哈里森指出，由于人口没有得到有效控制，地力耗尽和农业机械化，农村大量的剩余劳动力无法在土地上就业。保守的估计，到本世纪末，第三世界大约有十亿劳动大军等待着就业。然而，许多第三世界国家仍照抄西方模式，走资本密集的道路，即不管适用不适用，一概以“大型”、“尖端”、“新式”、“自动化程度高”为最佳选择，结果搞得弊病丛生。道理很简单，设备固然先进，但对于人多劳力过剩的发展中国家来说，它“先进”的意义也就不太重要了。其次是如何利用西方技术的问题。一方面想千方百计甚至不惜以牺牲关系国计民生的农业的利益为代价，将几个有限的外汇花在进口西方技术上；另一方面，由于其它条件跟不上，设备不配套，大批进口的先进设备又被闲置不用，就象搁浅在水洼子里的鲸鱼一样，或者利用率不高，生产能力白白浪费。至于说，这些国家为了发展工业，而牺牲农业，为了发展大工业，而牺牲小型工业造成的社会问题，则更多。哈里森指出，工业化使第三世界发展成为一种奇特的动物，“它远不象健康的工业化国家那样好似一匹体态匀称的骏马，肌肉发达，英姿矫健。这个奇特的动物更象一头长颈鹿，身体的各个部分不成比例，……或者说象一个脑积水的严重病例，肿胀的脑袋过大、过沉”。(第224页)

二城市化不等于现代化

同工业化一样，城市化给西方和非西方带来的后果也是相隔天渊的。在西方，城市化曾在一段短暂的混乱之后，展现出天堂般的富足。但非常遗憾的是，在第三世界的城市中，除了市中心几幢西式大厦装点门面和密扎扎的一大片人海外，我们见不到西方都市的一点影子。城市化给非西方大多数国家带来的是混乱之后更大的混乱。

哈里森指出，在第三世界，几乎所有地区的农村居民都在拚命涌入城市。要说什么是第三世界的城市化呢？那就是临时工、季节工、修鞋匠……和他们的家属，各色人等，在通向城市的大道上，潮水般地滚动。当年英国工业革命初期，农民们离乡背井，来到城市谋生，是“羊吃人”，被迫的，极不情愿的；可现在却倒过来，农民们赶着他们的“羊”，主动地、满怀希望地来到城市。为什么农民要涌向城市？问题很简单：农村劳动力剩余是一个因素，另一个因素便是农村太穷，城市富裕，城乡差别扩大。

在西方，城乡差别尽管仍然存在，但不大；而在第三世界，劳动收入本来就很悬殊，如果计算其它方面，差别就更大了。哈里森指出，尽管第三世界贫穷落后，但他们在点缀门面上，花钱是毫不吝惜的。不少国家的都市中心区的景观，与西方城市毫无二致。居住在这些天堂般城区的居民，是第三世界天生幸运的一小群，他们和他们的农民同胞的差别，绝不仅表现在工资收入和有形的消费上，而且还表现在医疗卫生、教育、生活服务以及娱乐方面。城市居民生活水平高，当然有它的合理的一面，如劳动生产率高、城市生活方式优越等，但也并非无可指责。哈里森认为，第三世界国家领导人用出口资源和农产品换来的宝贵外汇，建设他们所谓现代化的飞地，投资政策向本来是强项的城市倾斜，让城市居民获得与西方发达国家相近的生活感受，而任凭农村自生自灭，就是不合理的。还有，为了平息城市人对物价上涨的不满，而不惜血本，挖空财政，予以补贴，同样也是不合理的。他引用坦桑尼亚总统朱利叶斯·尼雷尔的话警告说：这样做，“我们就可能陷入这样一种局面，即在坦桑尼亚真正存在的剥削是城市居民对于农民的剥削”。(第154—155页)

农民流入城市，明显的后果有两个：一是农村“失掉了那些出类拔萃的人，那些受教育最多，愿意实行变革，适应性强，年轻力壮，精力充沛的人”。(第155页)农村生产力低下，经济成长不快，这不是唯一的原因，也是重要原因之一。二是大批人口涌入城市，会给城市带来许许多多的问题。首先是失业问题。其次是住房紧张。第三世界领导人奉行的都市政策，无非是照搬西方模式。他们根本不考虑适合不适合，条件具备不具备，一个劲儿地上摩天大楼，高速公路，立交桥，五星饭店。标准太高，资金有限，下一步就只好少建或不建，结果能享受现代化文明的只有那么一小撮，广大穷人只好望楼兴叹。于是在畸形繁荣的现代城区中心的周围，又广布着用简易材料搭成的贫民窟的海洋。哈里森写道：这些城市的中心“使人想起拍摄美国西部电影时用的布景，各种建筑只不过是用架子撑起来的表面，在这后面是一片荒漠。这是在悲惨的海洋中搭起的一个小岛。伦敦有一条农田构成的绿色地带，而第三世界的城市有的是那些被排斥的卑贱者聚居的巨大黑色贫穷地带”。(第166页)豪华与简陋、富裕与贫穷有机地结合起来，少数人的幸福与多数人的痛苦息息相关，第三世界经由城市化而追求的现代化，如此而已。

三西方化不等于现代化

哈里森在书中用了一整章的篇幅谈西方化，他所列举的事例与现象，我们并不陌生。例如，青年人喜欢西方杂耍，而不喜欢看京剧，不独新加坡是这样，中国亦是如此。现在人们越来越喜欢、越来越习惯于西方生活方式，视西方文化为现代的；越来越讨厌甚至憎恨本国传统文化，视本国传统文化为异物，千方百计地设法丢掉它。洋衣、洋烟、洋车、洋电影……总之，一切进口货(当然主要是欧美的)，都被认为是高级的、体面的和有滋有味的，即使是带有艾滋病毒，洋大腿也比本国大腿性感，更能创造经济效益(不信但看新挂历，唯有洋女最来钱)！人生在世，不消费那么几件外国货品就叫白活。这就是问题的全部，也是它的要害所在。

西方化的根源，可以追溯到殖民主义时代。西方殖民者在海外开辟他们的殖民乐园时，圣保罗教派的教义使他们无一例外地把西方文化看作是优越无比的东西，根本没有考虑当地文化中是否还有合理因素，更没有想到要将自己融入到当地文化中去。在殖民地，他们一依母国的样式，建造城池住宅，过着与当地完全不同的生活。这种异国风光和生活情趣，作为文化的一种最直观的播迁方式，经由那些高高在上的殖民统治者和他们周围的人传送到普通民众。如果说经济政治殖民主义统治改变了殖民地的经济政治结构，使他们被迫依附于西方的话，那么，文化殖民主义统治则改变了殖民地人民的生活方式、规范和价值观念，使他们自愿接受西方的统治。西方殖民者还通过自己的“比照集团行为”和教育，有效地然而又是无形地实现了他们的文化入侵。哈里森特别提到教育的作用。他说，“学校一直是在青年当中推行西方化的有力武器。学校经常把西式服装强加给小学生，课程设置注重现代城市活动及其价值观念”。(第43页)其结果，这些学生一个个变得好象是外星人似的，对故乡的一切都十分陌生而且很不习惯，他们看不起本国的文化。具有讽刺意味的是，殖民地政治独立后，那些曾经在西方接受教育，饱尝过殖民统治的羞辱，发誓要报仇雪恨的政治领袖们，不但没有阻止西方化，反而使他们的国家西化得比任何时候都更加全面、彻底和顺利。哈里森举土耳其总统基马尔做例子，他说这位总统先生年轻时在西方求学，曾因戴土耳其民族风格的帽子而备受奚落。当上总统后，他决心使他的国家彻底西化，不但制度要仿效西方，文字和穿着要改成西方的文字和服饰，甚至不惜制订法律，禁止国人戴曾使他受辱的所谓不文明的土耳其圆帽。

如果说，西方化能使贫穷落后、人口众多、资源贫乏的中国变成象美国那样富裕的国家，使中国每个家庭都有小汽车、别墅、空调和高尔夫球场，那么，这种西方化尽管“化”好了，不独“西化”论者欢迎，马克思主义者也是欢迎的。但是，正如哈里森指出的，西方化的本意和后果，都不是这样。从本意上讲，西方人到第三世界开工厂，做生意，交流，传播他们的文化，目的是为了谋求他们自己的利益。为了更大规模地或更好地达到这一目的，他们也许会对发展中国家基础设施投点资，也许会有一些援助，但你不能想象，商人会尽做蚀本生意。从后果上讲，西方化也没有使发展中国家现代化。这里所说的现代化，是指发展中国家和发达国家的差距缩小，是指发展中国家逐渐摆脱依附于西方，受制于西方的后殖民地的困境。一百多年的西方化，是否达到了上述目的呢？有一份报告说，一九五五年到一九七五年，第三世界工业在世界工业品总产量中的份额，基本上没有什么变化，而人均产量同发达国家相比，则有天渊之差，并且仍在逐年下降。更为严重的是，西方化的教育，西方文化的传播，造就了一大批疏远自己的文化传统，看不起体力劳动，没有爱国热情，向往西方生活方式的寄生虫。这些人大都以世界主义是尚，为了实现所谓的“人类利益”，他们不惜出卖国家、民族的利益，甚至出卖他们的父母和他们自己。自然，如果西方发展了，作为它的边缘地带的第三世界，分得一杯残羹剩饭，有所发展也是可能的，但这个体系决定了边缘地带永远不可能超过中心，决定了第三世界永远也摆脱不了依附于人、受制于人的命运，如果西方化一如既往的话。

四市场化不等于现代化

《第三世界》的主题是研究贫困的。哈里森在这部著作中，提出了四种不同类型的贫困：地理型贫困，主要由自然和生态条件造成；社会型贫困，主要由社会制度的不公正，加之人口过剩，技术的分化作用所造成；经济型贫困；政治型贫困。哈里森特别提到第三类贫困形成的机制，不是别的，而正是被誉为“现代化的基石”的市场化。

作为经济学研究的重要对象，市场规则是十分简单的：供求双方等价交换。经济学家告诉我们，在市场上，买者和卖者具有同等的机会实现自己的愿望，自由、公平，就象一场足球赛一样，规则对双方的要求是一致的，取胜完全取决于你自己的竞技。然而，哈里森指出，市场毕竟不是球场，球场的裁判是一个公正的第三者，而市场的裁判则是竞赛的双方，也就是说，这是一场没有裁判的竞赛。他否认现实市场中存在公平交易的说法。他说：“世界上没有纯粹的自由市场。……就连两个小孩在用贝壳换大理石的时候，也不是完全平等的，如果那个比较厉害的孩子愿意的话，他总会占到便宜。……任何讨价还价的结果，都取决于参与者的讨价还价的力量……取决于双方控制市场的力量。”(第488页)

西方发达国家之所以推崇市场化，是因为在一般贸易中，它们具有控制市场的力量，它们有雄厚的资本、组织良好的公司和信息灵通的销售网，生产技术居领先地位，不管怎样比赛，它们总是赢家。如果它们不具备市场竞争的优势的话，那么这些市场主义者们是会翻脸不认帐——不承认市场规则的裁判权的。中国鸦片战争时的中英贸易，现在美国面临的毒品走私和西方盛行的关税保护，即能说明这一点。不论过去的市场，还是现在的市场，都是强权主宰的世界。中英茶叶贸易，完全合乎市场规则，可英国人并不遵循这规则，而使用鸦片加大炮，打乱中英正常的市场交易。哥伦比亚向美国走私毒品，虽然在道德上讲不过去，但却是真正的市场交易，而美国不惜动用武力，到哥国土地上去扫荡。还有美国强制性地限制发展中国家向它出口棉纺织品以及其它产品，亦是它们并不真正信奉市场原则的显例。

大多数发展中国家不懂得其中的奥妙，错误地把现代化的命运寄托在市场化战略上。在国际市场上，它们幻想以“出口导向”、“进口替代”方式同西方一争高低，幻想以一两个“拳头”产品打出去，但正如哈里森所说，这是一场大赌博，所有的轮盘中的骰子和纸牌都被人做成圈套或做了记号，发展中国家不论怎样，使上浑身解数，到头来仍不过“孔夫子搬家——尽是书”(输)。其结果，国际收支难以平衡，赤字增加，加之贸易条件恶化，跨国公司又在其中操纵，发展中国家简直只有靠借债度日了。但债台高筑本身亦是问题，它会使债务国自身发展完全无望，彻底依附于发达国家。在国内，市场化执行的是一种社会分化的使命，它使社会按照经济效率而不是按照社会公平的原则重新组构。诚然，就微观经济效应而言，它的作用是积极的；但对社会的宏观效应来说，却有消极的作用。一方面，市场机制可以加快经济动量的运行，创造出更多的财富；另一方面，市场机制又可以导致社会大多数人贫困、社会不平等和动乱。有人说，不错！要发展，就必然有贫困、不平等和动乱，这是现代化产前的阵痛，是必然的，也是必要的。哈里森不同意这种观点。他说：“这一理论在道义上和客观实际中都是站不住脚的”。(第483页)他认为，社会发展的关键是解救三分之二的极度贫困的人。如果经济成长仅仅对少数富有者有利，仅仅是维持、甚至扩大国与国之间的和一国之内人与人之间的贫富差别的话，那么，这就算不上什么发展，而只能是剥削。同时，在实际中，社会财富聚积于少数人手中，并不一定就转化为资本，促进本国工业的发展。第三世界的大亨们，喜欢将钱存入外国银行，或用于购买进口的奢侈消费品，而不是象西欧的清教徒资本家那样热衷于投资。这样，第三世界的钱流向国外，社会分化的后果，并没有象一些人所期待的那样，在阵痛之后，出现一个现代化。

工业化、城市化、西方化和市场化不等于现代化，反过来说也一样。但这决不意味着发展中国家可以不要工业和城市，不引进西方的科技和文化，忽视市场机制，而只是说发展和现代化，在过去和现在，西方和非西方，发达国家和发展中国家，应该有不同的道路，不同的选择。哈里森的《第三世界》使我认识了第三世界，也认识了什么叫发展什么，是现代化。但愿我的同胞读一读这本书，或许还会得到更多的启示。

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明 第5篇

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？ 【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

n

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

n

n

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明 第6篇

第四讲复习用数学归纳法证明不等式（1）

25n-11.用数学归纳法证明当n↔N+时，1+2+2+„+2是31的倍数，当n=1时原式

为()

(A)1

(C)1+2+3+4(B)1+2(D)1+2+22+23+24

2.已知数列{an}中，a1=1,a2=2，an+1=2an+an-1(n↔N+)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()

(A)a4k+1能被4整除(B)a4k+2能被4整除

(C)a4k+3能被4整除(D)a4k+4能被4整除

3.如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.又若P(n)对n=2成立，则下列结论正确的是

()

(A)P(n)对所有n↔N+成立(B)P(n)对所有正偶数成立

(C)P(n)对所有正奇数成立(D)P(n)对所有大于1的正整数成立

4.设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为()

(A)f(n)+n+1(B)f(n)+n

(C)f(n)+n-1(D)f(n)+n-2

nn5.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,a-b能被a+b整除”时，其第二步论证应该是()

(A)假设n=k时命题成立，再证n=k+1时命题也成立

(B)假设n=2k时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立

(C)假设n=k时命题成立，再证n=k+2时命题也成立

(D)假设n=2k时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也成立

6.用数学归纳法证明等式123n3

左边应取的项是()

(A)1(B)1+2(C)1+2+3

7.下列说法中正确的是()

(A)若一个命题当n=1,2时为真，则此命题为真命题

(B)若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立，则这个命题为真命题

(C)若一个命题当n=1,2时为真，则当n=3时这个命题也为真

(D)若一个命题当n=1时为真，n=k时为真能推得n=k+1时亦为真，则此命题为真命题

8.若命题A(n)(n↔N+)在n=k(k↔N+)时成立，则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0↔N+)时成立，则有()

(A)命题对所有正整数都成立

(B)命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立

(C)命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立

(D)以上说法都不正确

9.用数学归纳法证明不等式1

(A)7(B)8(D)1+2+3+4 n3n4(nN2)时，第一步验证n=1时，111127n1(nN)成立时，起始值至少应取()24264(C)9

1(D)10

选修4-5 第四讲 数学归纳法证明不等式练习案编号3A编写：董雯雯领导签字：

10.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)„(n+n)=2n×1×3ׄ×(2n-1)(n↔N+)时，从k到k+1，左边需要增加的代数式为()

(A)2k+1

(C)(B)2(2k+1)(D)2k1k12k3 k1

11.(2012·杭州模拟)把正整数按下图所示的规律排序，则从2 013到2 015的箭头方向依次为

()

(A)↓→(B)→↓(C)↑→(D)→↑

12.用数学归纳法证明1coscos3cos2n12sin2n12n1cos sin

(k,kZ,nN),在验证n=1时,左边计算所得的项是()11(B)cos22

11(C)coscos3(D)coscos2cos3 22(A)

n4n2

；13.用数学归纳法证明123n则n=k+1时，左端应在n=k时的基础上加上22

_________.14.已知1+2×3+3×32+4×33+„+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n↔N+都成立，那么a=___ __,b=_____,c=____.15.用数学归纳法证明“当n是非负整数时,55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时，55n+1+45n+2+35n=_______=________,能被11整除.16.(易错题)有以下四个命题：

(1)2n＞2n+1(n≥3)；

(2)2+4+6+„+2n=n2+n+2(n≥1)；

(3)凸n边形内角和为f(n)=(n-1)π(n≥3)；

(4)凸n边形对角线条数fnnn2

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明 第7篇

自主整理

运用反证法证明不等式的主要步骤: 第一步:作出与所证不等式______________的假设;第二步:从____________出发,应用正确的推理方法,推出____________结论,_____________假设,从而证明原不等式成立.高手笔记

用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑

反证法的理论依据是什么?

剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题pq为真命题,则qp也必为真命题.这是因为如果逆否命题qp为假的话,则qp是真的.于是有qpq,即qq,这显然是错误的.所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立.反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证法.讲练互动

【例1】设a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c都为正数”,可用反证法.证明:假设a、b、c不全大于0,不妨设a≤0.当a=0时,abc=0与abc>0矛盾.当a<0时,∵abc>0,∴bc<0.∵a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与ab+bc+ca>0矛盾.∴假设不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.绿色通道

“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中a、b、c同等地位,可不妨设a≤0,要全部否定,注意有“=”.变式训练

1.若x>0,y>0,且x+y>2,求证:

1y1x、中至少有一个小于2.xy 1 证明:假设1y1xx、y都大于等于2, 即1y1x≥2,xy≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,与x+y>2矛盾.∴假设不成立.∴1yx、1xy中至少有一个小于2成立.【例2】设a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证法一:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即(1-a)b>14,(1-b)c>114,(1-c)a>4.∵00.∵b>0,∴(1-a)b≤(1ab2)

2.∴1ab2≥(1a)b>12.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假设不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于

14.证法二:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即有b-ab>1114,c-bc>4,a-ac>4.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164.∵00.∴0<(1-a)a≤［(1a)a2］2=14.同理0<(1-b)b≤14,0<(1-c)c≤14.1, 641与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾.64∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤∴假设不成立,原结论成立.绿色通道

本题为否定性命题,用反证法证明并结合基本不等式完成推理.变式训练

2.设01,(2-b)a>1,(2-c)b>1.∵00.∴1<(2a)c≤(2a)c.2∴2<2-a+c.∴a21.2分析:本题是判断函数值的大小,但结论包括多种不同的情况,“至少”问题可用反证法.证法一:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于

1, 21, 21｜f(2)｜=｜4+2p+q｜<, 21｜f(3)｜=｜9+3p+q｜<.2则｜f(1)｜=｜1+p+q｜<∴｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<2.而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)+f(3)-2f(2)｜=｜(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)｜=2,矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于证法二:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于即｜f(1)｜<

21.21, 2111,｜f(2)｜<,｜f(3)｜<.222111,｜4+2p+q｜<,｜9+3p+q｜<, 222∵f(x)=x+px+q, ∴｜1+p+q｜< 3 111111<1+p+q<,-<4+2p+q<,-<9+3p+q<.2222223∴-

得

1272172<-(p+q)<, 92192<2p+q<-，<3p+q<-.1232.②④,得-4

得

72<-(2p+q)<

92.⑥ 由③⑥,⑦

由⑤⑦,得矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于

得-6

1.2绿色通道

本题利用函数研究函数值,证法一中构造了绝对值不等式,较为简练,但不易想出;证法二中方法比较自然,去掉绝对值号,根据不等式的性质消元得出前后结论矛盾.变式训练

3.已知a、b、c均为实数,a=x-2y+

22

高中物理必修与选修的衔接 第8篇

按照高中物理新课程的模块构成, 选择理科的学生一般均在完成共同必修模块物理1、2的学习后, 进入选修模块物理3系列的学习。目前大多数学校均在高一下学期期中后不长时间即完成了物理1、2的学习, 笔者在教学实践过程中感到对高一学生来说, 物理必修1、2, 与选修3-1之间有一个较大的“台阶”, 认清“台阶”的成因, 做好必修1、2与选修3-1之间的衔接, 帮助学生跨过这一“台阶”, 对贯彻新课程的理念, 实现新课程的目标, 提高学生的科学素质, 均有重要的意义。

一、必修与选修之间台阶的具体表现

必修1、2与选修3-1之间的“台阶”的形成, 是由新课程所设置的必修和选修框架决定的。

1. 理论和实践之间的台阶

必修1、2中, 只讲了高中物理力学部分中的主干知识, 为了适应必修课时的要求, 教材的编写者, 把动量、机械振动、机械波等内容放到了选修课中, 这样学完必修1、2后, 学生缺少用力的观点和能量观点分析物理问题的历练, 还未形成用力学的理论和方法分析问题的习惯, 力学基础知识是单薄的, 而选修3-1的第一章对电场的分析, 正是基于力的观点和能量观点的应用, 学生普遍感到吃力!生涩!

2. 宏观和微观之间的台阶

从物理学发展史来看, 物理学家们对物理现象的探索和认识有一个从宏观到微观逐渐深入的过程, 理论的成熟是先力学、后热学, 再电磁学发展而来的。在必修1、2的学习中, 学生研究的是宏观世界中机械运动现象, 与

筅江苏建湖高级中学

许可

学生的生活经验较近, 而在选修3-1第一章电场学习中, 一开始就涉及到导体的微观结构, 正离子热振动、自由电子杂乱无章热运动, 这对学生来说“太突兀”很难想像, 学生极不适应, 究其原因, “分子运动理论”等热学知识被安排在选修3-3中, 学生还未学, 缺少了由实验和分析从宏观世界进入宏观世界这一环节。

3. 具体和抽象之间的台阶

在必修1、2中, 学生遇到的力只是常见的具体的重力、弹力、摩擦力, 均能用感官直接感受。即使万有引力有一定的抽象性, 但对其讨论仅停留在“超距作用”层面, 未深究其本质。而在选修3-1第一章中对带电体间的作用力讨论进入“近距作用”层面, 场的概念及其特性描述比较抽象, 不能用感官直接感受, 加上电场是分布在空间中的, 所以需要有较强的抽象思维能力和空间想象能力, 才能形成正确的物理图景。

4. 进度和程度之间的台阶

按照新课程的教学进度, 必修1、2应在高一年级一学年教完, 而目前大多数学校只用一学期半就完成了;心理学理论告诉我们:人的认知速度与知识内容的深广度和人的心智成熟度相关, 对高一学生来说, 他们的心智能力, 决定了对高一必修1、2中物理知识和概念的掌握程度赶不上这样的课程进度, 在3-1第一章电场的教学中常常出现对电学概念的内涵和外延还未认清, 就要求学生熟练运用力学知识分析的状况, 学生缺少了回味、思考、感悟的时间, 导致力学知识不会用, 力学和电学概念混淆不清的情况。

因此, 在完成必修1、2学习后, 怎样使学生适应选修3-1内容的学习, 是进行物理新课程教学过程中一个不容忽视的问题, 在这一“台阶”处衔接教学工作的好坏, 将直接影响学生对整个选修课程的学习质量和学习兴趣!

二、教师应如何搞好衔接工作

1. 耐心算, 展现宏观和微观的联系

正像3-1教材编者所认为的那样, “学生以前学习物理、化学知识时, 已知道物质是由分子构成的, 分子是由原子组成的, 对原子结构也有了解”。因此教科书直接从物质微观结构的角度阐述物体带电以及物体电中性的本质, 用物质微观结构理论去解释摩擦起电和感应起电的本质。教学现实告诉我们, 尽管这两个演示实验现象很明显, 但学生对这样的解释还是显得很困惑, 有强迫记忆的现象发生, 究其原因, 学生缺少了由宏观世界进入微观世界的体验和探究, 正如诺贝尔奖获得者费恩曼说过:“如果在某次大灾难中所有的科学知识都将被毁灭, 只有一句话能够传给下一代人, 那么怎样的说法能够以最少的词汇包含最多的信息呢?我相信那就是原子假说, 即万物是由原子构成的。”[1]

物质是由原子构成的, 学生个个知道, 但这句话的信息量是如此之大, 能理解其内涵, 能用它来理解宏观现象则不是一件容易的事情。必须给学生补上这一课, 要花时间介绍分子和原子大小的测定方法。阿伏伽德罗常数是怎样得出的?并且让学生耐心地计算, 一立方厘米铁块中有多少个铁原子?估算有多少个自由电子?然后, 让学生猜想演示实验中枕形铜导体中自由电子和铜离子是如何构成一个不带电光滑无缝的铜导体的, 导体两端的感应电荷是怎样形成的?才能收到预期的教学效果。

2. 耐心导, 揭示现象与本质的关系

“人类对电现象的认识和研究是物理学产生和发展的源头之一”[2]。选修3-1的第一章是高中阶段电学内容的开始, 教科书致力于从物质结构出发揭示物体带电的本质和从场的角度研究带电体的相互作用规律。人们常说要透过现象看本质, 实际教学中学生能对电荷守恒定律、库仑定律、电场强度等知识倒背如流, 但就是答不出什么叫电现象?为什么说电子是带负电的?什么是电场?这些基本问题, 归根结底在于教者在教学过程中忽略了从现象到本质的探究过程, 学生对电现象感到陌生, 为此选修3-1在第一章导语中讲了电现象的研究简史, 在教学过程中, 必须高度重视这段内容的教学, 耐心引导学生循着人类对电现象研究的历史过程, 了解我国古代和与古希腊关于电的知识都是由经验得出, 比较零散, 而且在一千多年时间内很少进展;了解吉尔伯特是如何把电现象和磁现象区别开的;了解在18世纪40年代的德国整个社会都对电现象感兴趣, 许多人出于好奇心购买摩擦起电机作实验来娱乐;了解18世纪杜菲是如何发现电有两种的等, 从而使接下来对电的本质的研究, 建筑在坚实的现象基础上, 提高学生的兴趣。

3. 耐心比, 落实从具体到抽象的过渡

学生通过必修1、2的学习, 对力的概念应该有清晰的认识, 但教学实践告诉我们, 大多学生往往对力的运算比较关注。对力的物质性认识并不深刻。因此对带电体间的作用力是怎样发生的这一问题没有强烈的疑问, “超距作用”观点根深蒂固, 这也是电场概念及其特性的描述一直是教学难点的原因, 由于概念比较抽象, 不能用感官直接感受, 因此教学中要耐心运用类比的方法:介绍库仑定律时, 将它与万有引力定律类比;介绍电场性质时, 可把电场与“风”比, 树头动有风, 电荷受力有电场;介绍电场强度定义时让学生类比求出重力场强度表达式;介绍电势能时与重力势能、引力势能类比;介绍电势概念时把等势面与等高线类比。通过耐心比, 帮助学生从具体到抽象, 有利于学生用相互联系, 相互影响的观点去看待事物, 使思维水平跃上新台阶。

4. 耐心做, 追求“进度”与“程度”的协调

物理是一门以实验为基础的学科, 电场这章的演示实验众多, 而且静电实验的效果受环境影响大, 耐心做好多个演示实验, 对学生正确理解基本现象和形成基本电学概念, 具有不可替代的作用。考虑到学生在初中的学习状况, 还应补充“带电体吸引轻小物体”, “同种电荷互相排斥”, “异种电荷互相吸引”“电中和”等演示实验;坚决克服“做实验不如讲实验”, “讲实验不如背实验”的思想。在耐心做好演示实验的同时, 还要耐心分析实验现象中蕴涵的物理思想, 如:关于电容器教学, 如果教者只是像教科书中所讲的那样, 直接告诉学生“任何两个彼此绝缘的导体就构成了电容器”, 显然不能解除学生心中的疑问:容纳电荷为何要两个彼此绝缘的导体呢?如果启发学生分析静电感应演示实验, 启发提问:把不带电的导体B按近带电导体A, 在B两端出现感应电荷±Q, 如将B接地, 会产生什么现象?如果断开B的接地线, 将A接地会产生什么现象?在学生探究得出结论的过程自然发现:只要保持A、B不导通, 即绝缘, 无论将谁接地, 其上的电荷均能保持住!可见, 任何两个彼此绝缘的导体是能够容纳等量异种电荷的, 所以叫电容器, 此时学生一定会对电容器的充、放电及容纳电荷本领的大小的问题兴趣盎然, 对电容器知识的理解和掌握就比较自如。

参考文献

[1]费曼讲物理 (入门) .长沙:湖南科学技术出版社, 2004.

生活保健与不等式等二则 第9篇

虽然体力劳动和体育锻炼都是体力活动，甚至体力劳动比体育锻炼的活动量更大。但劳动多是局部运动，受工作性质的约束，身体得不到充分的、全方位的锻炼：而体育锻炼则是全身性的、均衡协调的运动。其次，体力劳动的环境可能是噪杂的、污浊的、高热或寒冷的；而体育锻炼的环境多是清新宁静，于身体健康有益。

高智商≠高智能

智能曾被认为是一种狭义的智力，可以通过智商来测定。根据这种观点，相当多的人被贬为欠缺智慧或无能之辈。事实上，那些在儿童时代曾被定为高智商的“神童”成人后未有建树的也俯拾皆是。美国著名心理学家霍华德·加德纳认为，智能比智商包含更广的能力如语言能力、逻辑数学能力、音乐才能、身体活动能力、人际关系能力、空间感知能力等。

营养药≠营养品

一些人把营养药当作营养品长期服用，这是有害健康的。如风靡于市的人参蜂皇浆，如果一个人的身体并不虚弱，服之则弊多利少，尤其是少年儿童，服用过量可影响正常生长发育，促使性早熟。再如宝宝乐、铁维隆糖浆等营养药，若不遵医嘱，长期服用，也会引起铁中毒，表现为呕吐、腹泻、精神不振等。

性激素≠性动力

生活中，有不少人以为性激素就是性动力，实在是言过其实了。因为人类的性行为比动物复杂得多，也就越加脱离对性激素的依赖，更多地取决于社会家庭因素和个人生活文化经历。一般认为，能够促进性欲的主要是雄激素，女子的雄激素主要来自肾上腺，摘除肾上腺就会导致性欲、性反应降低和性行为减少。而雌激素无论对男女都不直接引起性冲动。老年人的性腺萎缩、性激素低落，但他们完全可以有满意的性生活；显然，这里起作用的就不是性激素而是所谓的“性经验”了。

性病≠性乱

直到现在仍有许多人包括一部分医务人员，简单地把性病与性乱划等号。诚然，性病主要是由性接触引起的，如梅毒、淋病、尖锐湿疣等。但间接接触病原体也会引发性病，如健康人与性病患者同用一只浴盆、一条浴巾，或在被污染的浴池、游泳池内洗澡、游泳，混穿内裤等，都可能间接感染上性病。

风疹≠风疹块

这是两种截然不同的病症。风疹是由病毒引起的急性传染病，前驱症状类似上呼吸道感染，皮疹最早见于面颈部，一天内遍布全身，呈浅红色斑疹、斑丘疹或丘疹，躯干密集、四肢稀少，持续1～4天。风疹块也叫荨麻疹，是一种过敏性皮肤病，冷风吹、接触花粉、吃鱼虾等食物、肠道寄生虫、药物过敏等因素均可诱发皮肤上小如米粒、大呈片块状、中间颜色略白、边缘较红的“风疹块”，伴皮肤瘙痒，但无全身症状。

糖醋莲藉

材料：莲藕250克。

调味料：糖三匙，醋1匙，盐少许。

制法：莲藕洗净切成薄片，滚水将藕片略烫一下捞出，用冷开水冲凉，用调味料拌匀，放置一小时，入味后即可装碟上桌。

特点：酸甜可口。

荷塘小炒

材料：莲藕片80克，荷兰豆40克，洋葱20克，胡萝卜少许。

调味料：上汤1碗，盐1匙，蚝油1匙，生粉2匙，麻油1匙。

制法：将莲藕片及荷兰豆用上汤略滚捞出。起油锅炒洋葱、胡萝卜，将莲藕片及荷兰豆加入快炒，并放进1匙盐。用蚝油、麻油、生粉勾芡，兜匀后即可装碟。

特点：味鲜爽脆。

特式虾仁

材料：鲜虾仁300克，竹笋100克，红萝卜50克，青椒50克，姜、葱适量。

调味料：小苏打、盐、味精、生粉少许，鸡蛋清1只，麻油1匙。

制法：虾仁洗净滤干，加入小苏打、盐、味精、生粉与鸡蛋清，拌匀，待用。

将竹笋、红萝卜、青椒洗净切丁，加上已腌好的虾仁，一起放在开水里烧到刚熟即捞起。起油锅，加入姜片、葱爆香，倒入已熟的原料一起翻炒，并调好味。用麻油、生粉勾芡，装碟。

特点：清淡可口。

数学选修4-5不等式选讲教案 第10篇

课 题：

不等式的基本性质

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0 abab0 abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nanb(nN，且n>1)。

课 题：

含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab（3）abab（4）

aba(b0)b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和

aba(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而b绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

cc例

4、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

课 题：

含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。例

5、已知xx，如果x0 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是，如{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a）图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab 2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR 强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么

ab）ab（当且仅当ab时取“=”证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab 22 注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] 2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc 指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么

abc3（当且仅当abc时取“=”）abc。证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式： ①．如果a1,a2,,anR,n1且nN 则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式： a1a2an≥na1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab③．ab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则CD2CACBab，ab从而CDab，而半径CDab。

2课 题：

不等式的证明方法之一：比较法

课 题：

不等式的证明方法之二：综合法与分析法 课 题： 不等式的证明方法之三：反证法

课 题：

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式