惩罚函数法在发动机性能计算中的应用

惩罚函数法在发动机性能计算中的应用（精选3篇）

惩罚函数法在发动机性能计算中的应用 第1篇

惩罚函数法在发动机性能计算中的应用

按照涡喷发动机工作时遵守的气动热力学定律,建立了发动机的稳态数学模型;并针对双轴涡喷发动机性能计算的非线性数学模型,利用优化和最优控制理论中的惩罚函数法,对发动机性能进行了基于约束的.最优求解程序设计;利用程序对某型发动机的稳态飞行特性进行了计算.计算结果表明,使用惩罚函数法求出的特性曲线变化规律正确,发动机平衡方程的解的精度更高,在此基础上得出的发动机飞行特性也更准确;另外惩罚函数法对初值的要求很低,迭代运算不易发散.

作 者：何力 王琴芳  作者单位：南京航空航天大学能源与动力学院 刊 名：南京航空航天大学学报  ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY OF AERONAUTUICS & ASTRONAUTICS 年，卷(期)： 33(4) 分类号：V235.131 关键词：惩罚函数法   约束条件   数学模型   飞行特性   双轴涡喷发动机  

构造函数法在解题中的应用探讨 第2篇

一、中值 ξ 的存在性证明

我们在证明方程的根的存在性的时候, 就是确认中值ξ的存在性, 找到合适的辅助函数是函数论证的关键. 如果这类问题的出现一般都是通过中值的定理去解决, 我们在验证的过程中要注意是否满足相关条件. 如果题目的假设中仅仅提供了抽象函数连续性的相关条件, 或者所给出的方程为某个具体的方程时, 我们此时就应该充分考虑是否使用零点定理. 将方程的一端通过移项的方法转换为零, 函数的另一端便是所要构造的辅助函数, 如果在结果中出现含有中值ξ的等式, 那么则可以将中值ξ转换成x. 例如函数f ( x) 在[0, 1]区间内为连续函数, 且0≤f ( x) ≤1, 通过构造函数的方法证明函数f (x) = x在[0, 1]上至少存在一个实根. 通过构造一个辅助函数F (x) = f (x) - X, 并且要求F (0) = f (0) ≥0, F (1) = f (1) - 1≤0. 如果在F (0) , F (1) 中出现了至少一个零, 那么在0, 1之中必然至少有一个为方程的解. 假如F (0) > 0而F (1) < 0则可以通过零点定理得知, 中值ξ在 (0, 1) 之间, 使得F (ξ) = 0, 由此可知函数方程组f ( x) = x在[0, 1]内至少存在一个解. 所以我们可知方程f ( x) = x在[0, 1]上至少有一个实根. 对于一个具体方程或者含有中值ξ的等式, 如果构造的函数不能够满足零点定理, 我们就需要通过改用罗尔定理进行验证.

对于零点定理不能解决的问题我们用罗尔定理继续证明, 我们此时进行构造函数的主要方法就是找到原函数, 主要步骤如下所示, 首先如果需要证明的是含有ξ的等式, 那么我们可以先将ξ转换为x, 使得题目中所给的等式成为方程;那么我们就可以将函数方程f (x) 看成是对未知函数的微积分方程, 下一步需要做的就是去解决这个微积分方程;通过计算求出解后, 将任意一个常数c移动到函数方程的一端, 而函数方程的另一端便是所要构造的辅助函数方程.我们还可以通过观察法解决形式简单的函数方程或者含有ξ的等式.

二、构造函数法在不等式证明中的运用步骤

构造函数在简单方程函数运算时可以通过单调性进行相关证明, 对于如f (x) < g (x) 或者f (x) > g (x) 的不等式函数, 我们可以通过简单变换构造辅助函数, 即F (x) = f (x) - g ( x) 或者F ( x) = g ( x) - f ( x) , 然后用单调递增函数或单调递减函数进行证明.

对于相对复杂的常数不等式以及函数不等式, 我们还可以通过拉格朗日定理进行证明, 经过恒等变形后, 如果一旦出现方程函数的差值与自变量之间之差相比较, 一旦符合拉格朗日中值的公式, 那么我们就可以用拉格朗日中值定理进行相关证明. 与此同时, 我们所需要构造的这个函数也可以通过观察法得出相应的结果.

构造函数利用拉格朗日定理证明不等式对于常值不等式或函数不等式, 通过恒等变形后, 若出现函数差值与自变量之差之比, 符合拉格朗日中值公式的形式, 则用拉格朗日中值定理证明之. 此时, 所要构造的函数可以直接观察得出.

构造函数法中有一种重要的方法, 就是利用凹凸性来证明不等式函数方程, 我们通过构造函数法形成一个辅助函数, 利用函数方程中的凹凸定义, 从而对不等式进行证明, 达到预期的效果. 有时候可以构造辅助函数, 利用函数凹凸定义, 证明某些不等式.

对于那些函数不等式中包含有等号的, 可以通过利用函数最大值或最小值来进行相关证明, 如果出现函数方程在区间内不发生变号的时候, 则不能通过构造函数法利用简单的单调性进行证明, 因为如果利用单调性进行证明的时候需要分很多种情况进行讨论, 往往会因为粗心大意造成情况的遗漏, 相对会比较麻烦. 此时我们可以通过函数方程中最值的思想进行证明.

总结

构造函数法在高等数学解题中的应用还有很多, 都可以使得很多复杂的问题简单化, 除了介绍的应用外还可以进行相关数值的近似计算、求解函数值等. 构造函数的方法不胜枚举, 需要合理巧妙地运用, 具体问题进行具体分析, 根据经验构造合适的函数. 关于构造函数法的具体相关技巧性, 我们需要进一步探讨.

参考文献

[1]郭静莉.构造函数法在高等数学解题中的应用[J].赤峰学院学报 (科学教育版) , 2011, 3 (2) :1-2.

导数法在函数中的应用 第3篇

例1 设[f ′（x）]是函数[f（x）]的导函数，其图象如图所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）

[O][x][y][1][2][y=f ′（x）]

[y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][A][B][C][D]

分析 先观察所给出的导函数[y=f ′（x）]的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择，还可以通过确定导函数[y=f ′（x）]图象的零点0，2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.

思路1 由题目中所给的导函数图象来判断原函数图象，根据导函数图象得到：当[x≥1]时，函数[f（x）]递增. 当[x<1]时，函数[f（x）]递减. 此种做法显然错误，犯这种错误的原因是误将导函数图象看成原函数图象，而不知道导数值的符号来判断原函数的单调性.

思路2 由[y=f ′（x）]的图象可以清晰地看出，当[x∈（0，2）] 时，[y=f ′（x）<0]，则[f（x）]为减函数，故选C.

思路3 在导函数[y=f ′（x）]图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数[f（x）]在[x=0]时取得极大值；又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数[f（x）]在[x=2]处取得极小值，故选C.

点拨 导函数值的符号与原函数单调性的依存关系为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；导函数的增减性与原函数的增减性没有必然的联系，但它刻画函数图象上的点切线斜率的变化趋势. 应该注意的是，若[f（x）]在某区间上可导，则由[f ′（x）>0（f ′（x）<0）]可推出[f（x）]为增（减）函数，反之，则不一定成立. 如，函数[f（x）=x3]在[R]上递增，而[f ′（x）≥0]. [f（x）]在区间D上单调递增（减）的充要条件是[f ′（x）≥0][（f（x）≤0）]，且[f ′（x）]在[（a，b）]上的任意子区间上都不恒为零.

函数极值的求法

例2 已知函数[f（x）=ln（2+3x）-32x2]，求[f（x）]在[0， 1]上的极值.

分析 本题是一道求函数极值问题，其求法主要依据函数极值的定义进行判断求解，即若函数[f（x）]在[x0]附近有定义，如果对[x0]附近的所有的点，都有[f（x）f（x0）]，则[f（x0）]是函数[f（x）]的一个极小值.

思路1 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，

令[f ′（x）=0]，得[x=13]或[x=-1]，

∴当[-1≤x<13]时，[f ′（x）>0]，[f（x）]单调递增.

当[13

因此得到极大值为[f（13）=ln3-16]，极小值为[f（-1）].

此种解法有误，忽视了函数的定义域，以及[f ′（x）=0]只是函数极值的必要条件.

思路2 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，

令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]（舍去）.

∴当[0≤x<13]时，[f ′（x）>0]，[f（x）]单调递增.

当[13

∴函数[f（x）]在[[0，1]]上有极大值[f（13）=ln3-16].

思路3 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，

令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]， [y][x][-1]

由于函数定义域要满足：[2+3x>0?x>-23]，

∴当[-230]，[f（x）]单调递增.

当[13

由图象和极值定义易得，在[x∈[0，1]]上，当[x=13]时取得极大值[ln3-16]，无极小值.

点拨 运用导数求极值的方法及注意点如下. （1）对于开区间上的可导函数，极值点一定是函数的稳定点. ①[f ′（x0）=0]只是[f（x）]在点[x0]处取得极值的必要条件，而不是充分条件，事实上，我们熟悉的函数[f（x）=x3]在点[x=0]的导数等于零，但在该点并不取极值；②结论成立的前提之一是函数在[x0]点可导，而导数不存在（但函数连续）的点也可能取到极值；③极值的可疑点是函数的稳定点和不可导点. （2）对于一元函数[y=f（x）]，求极值的步骤是：①求[f（x）]的导数[f ′（x）]；②解方程[f ′（x）=0]，求出[f（x）]在定义域内的所有稳定点； ③找出[f（x）]在定义域内的所有导数不存在的点；④利用极值存在的充分条件考查每一个稳定点和不可导点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；⑤求出各极值点的极值.

运用导数求函数最值

例3 求函数[f（x）=x2-x3+2，x∈[0，1]]的最值.

分析 这是一道函数求最值问题，一般都是将极值与区间的端点函数值比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.

思路1 求导[f ′（x）=2x-3x2]，

令[f ′（x）=2x-3x2=0]，则[x=0或23]，计算：

[f（0）=2]，[f（1）=2]，[f（23）=2427]，

因为[x∈[0，1]]，比较大小得，最大值为[f（23）=2427]； 最小值为[f（0）=f（1）=2].

思路2 图象法.

求导[f ′（x）=2x-3x2]，

令[f ′（x）=2x-3x2>0?递增区间为（0，23）]，

[f ′（x）=2x-3x2<0?]递减区间为（-∞，0）和（[23]，+∞），根据函数单调性画出函数草图如下：

[y][x][O][2][1]

由于[x∈[0，1]]，因此由函数图象易得[f（23）max=2427]，[f（0）min=f（1）min=2].

思路3 三元均值不等式.

[f（x）=x2-x3+2=][x2（1-x）+2]，因为[x∈[0，1]]，

所以[x>0]，[1-x>0].

则[f（x）=][x2-x3+2=x2（1-x）+2=x·x·（1-x）+2]

[=12x·x·（2-2x）+2].

∵[x+x+（2-2x）≥3x2·（2-2x）3]，

∴[2≥3x2·（2-2x）3].

∴[（23）3≥x2·（2-2x）?x2·（2-2x）≤827]

[?f（x）≤12×827+2=2427].

当且仅当[x=2-2x]，即[x=23] 时取等号， 最大值为[f（23）=2427]，最小值在端点值取得[f（0）=f（1）=2].

点拨 闭区间上函数的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得，一般是将函数的端点函数值与极值进行比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值，如思路1；还可以根据函数的单调性特征画出函数的草图，进行直观求解，如思路2；除此之外，对于函数最值问题还可以运用均值不等式求解，如思路3.