几何证明方法范文（精选9篇）
几何证明方法 第1篇
(初中、高中)几何证明题一些技巧
初中几何证明技巧（分类）
证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三 角形的重心、相似三角形的性质等）。
证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆
*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆
知识归纳：
1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作 用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐 步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于 表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂 图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助 线，以达到集中条件、转化问题的目的。一.证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。它问题最后都可化归为此类问题来证。它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等 三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等 也经常用到。也经常用到。
几何证明方法 第2篇
平面几何证明一般按以下三个思路来解决：
（1）．“顺藤摸瓜”法
该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，直接求解即可。
（2）．“逆向思维”法
该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。
（3）．“滇猴技穷”法
该类问题特点：题目很简明，表面上看不出条件和结论存在什么关系。也就是在自己苦思冥想，死了几百万脑细胞之后依然无解。该类问题属于你痛不欲生的C级难度的题目。
方法：①从已知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；
②再从结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；③合理联想，看看两次推导结果之中有没有关系紧密的，如果发现则以此为突破点解题；若发现不了，马上放弃，绝不浪费时间！
几何证明方法 第3篇
1. 要证明两角相等,用中间角作媒介,使中间角都与这两角相等
在学习七年级《数学》的“角”“平行线”后,要证明两角相等,方法较多,主要可看这两角是否是由哪两条直线被哪一条直线所截而得的同位角或内错角.若是这样的位置关系,可联想到证明这两条被截直线平行;若没有这样的关系,应该想到找“中间角”,中间角怎样来找?当然不是盲目的,应联系已知条件,能否得到一个角与题中要证的其中一角相等,可联想到使它与另一角相等.
例1如图1,已知直线L1,L2被直线L3所截,且L1∥L2.求证:∠1=∠2.
分析要证∠1=∠2,就要利用中间的∠3作媒介,由L1∥L2可得∠1=∠3,由对顶角相等得∠2=∠3,从而得证∠1=∠2.
例2如图2,已知AD∥BC,DC∥BE,∠A=∠D.求证:∠CBE=∠ABC.
分析要证∠CBE=∠ABC,由图2可看出,这两角不是由哪两条直线被第三条直线所截而得的同位角或内错角,可见证两条直线平行这条思路行不通,能否找到中间角呢?联系已知,由AD∥BC,可得∠A+∠ABC=180°,∠D+∠C=180.又由∠A=∠D可得∠ABC=∠C,由此初步确定∠C为中间角.如何证得∠C=∠CBE?由已知DC∥BE,可直接证得,从而使问题得证.
2. 用代换作媒介的方法
在学习“相似形”后要证比例式,若待证的比例式的四条线段不分布在两个可能相似的三角形之中时,可分析条件,观察有没有线段和待证比例式中的线段相等,有则代换,观察代换后的比例式的四条线段是否分布在两个三角形中,若是,可直接证这两个三角形相似.
例3如图3,△PQR是等边三角形,∠APB=120°.求证:AQ·RB=QR2.
分析要证AQ·RB=QR2,先转为比例式可看出要证的比例式中的几条线段不在两三角形中,可见证两三角形相似不行.由已知,△PQR是等边三角形,可得,可把中的QR分别代换为PQ,PR,即要证.现在AQ,PQ,PR,RB分别分布在△APQ,△PBR中,可证这两三角形相似.由已知可证得∠PQA=∠PRB=120°,∠A=∠BPR(由∠APB=120°可得∠A+∠B=60°,由∠PRB=120°可得∠BPR+∠B=60°,从而得∠A=∠BPR),从而得证.
3. 利用中间比或中间相似三角形作媒介的方法
要证明比例式,若待证的比例式中的四条线段不是对应地分布在两个可能相似的三角形中,可考虑借助中间比或中间相似三角形进行过渡.
(1)利用中间比作媒介的方法是证明比例式中的两个比分别等于第三个比或分别等于已知相等的两个比
例4已知:如图4,过荀ABCD对角线BD上任意一点P作直线交荀ABCD两组对边(或其延长线)于E,F,G,H.求证:
分析要证,可看出PE,PF,PG,PH不分布在两个三角形中,要证两个三角形相似显然不可以.想法找到中间比作为媒介,联系已知条件,由可得AD∥BC,由此得出;由可得AB∥CD,由此得出由此可看出这个中间比作为媒介既与相等,也与相等,从而可得.
例5已知:如图5,ABCD是一正方形,E是AD上一点,BE交CD延长线于F,过E作EG∥AB交AF于G.求证:ED=EG.
分析证明线段相等,通常证三角形全等,但本题ED,EG所在的三角形是不全等的,由于GE∥AB,AB=BC,只要能证明即可.(由GE∥AB得△FGE∽△FAB故有.再由四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,AD∥BC,得△FED∽△FBC,故有.比较(1),(2)由中间的媒介作用得从而证得ED=EG.)
(2)利用中间相似三角形作媒介方法
有题目需证两个三角形相似,当直接证明有困难时,可证明它们都和第三个三角形相似,进而可得这两个三角形相似;当直接证明比例线段有困难时,也可通过找中间相似形作媒介,找出中间比.如图6,要证△ADC∽△CDB,可先证△ADC与△CDB都和△ACB相似,从而得△ADC∽△CDB.
几何证明题学习方法指导 第4篇
关键词：几何;分析方法;总结技巧
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）04-091-2
平面几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一个知识点。之所以难，是因为从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应;其次，概念、性质、定理比较多，而学生不能正确理解并掌握其几何语言;进而，遇到问题不会分析，予以解答。
众所周知，几何的证明就是要用合理的推断来说明因果关系的正确性，从而培养学生的逻辑思维能力。在几何证明教学中，教师对学生学习方法的指导和训练十分重要，要让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法和解题技巧，形成良好的思维习惯，最终达到能独立分析、解答问题的目的。通过实践教学反馈总结，我认为对几何证明学习方法的指导有以下四个方面：
一、学会读题
第一，很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，就开始动笔书写，这是不可取的，往往写下来也是不得分的。我们应该边读边想，给的条件有什么用，再对照图形来对号入座;思考所求结论从什么地方入手，也应在图中找到相应位置。
第二，在读题的时候每个条件要在所给的图形中标记出来。相等的边或角用相同的符号来表示;倍数关系的边或角用同类型的相应倍数来表示。
第三，图形复杂一点的题目往往有一些隐藏条件，我们读题时也要能挖掘出来。这就需要注重平时的积累，对基本知识点的掌握，对特殊图形的认识。有些是由已知条件所能直接得出的结论，也应标注在图形旁边，结合证明内容看需要用哪些。
二、学会分析
证明题的分析无非三种方法：第一，正向思维。对于一般简单的题目，从已知条件出发，通过有关定义、定理、性质的应用，逐步推导，证出结论。第二，逆向思维。从命题的结论考虑，逆推使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续往前倒推，直到已知条件。这种方法能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，拓宽解题思路。第三，正逆结合。从题目要你证明的结论出发往回推理，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，以利于缩短条件与结论的距离，最后达到证明的目的。
三、学会看图
所谓看图，是指观察，分析和认识几何图形。通过看图，不仅找到图形中的已知条件和证明内容，还要知晓几何图形的内在构成和联系，从而达到解一题通一类的效果。激发了学生的解题兴趣，迸发出创新思维。
初中数学几何板块的模型思想非常突出，如果学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是几何图形的本质“看”透彻，那么学习将会事半功倍。复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。有时还需要构造基本图形，添加辅助线，把大问题细化成几个小问题，逐一击破，从而解决问题。
例如：苏科版数学用书初二下册学习四边形的时候，有这样一个问题：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长;
（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长。
这道题目中，问题（1）由平行线加角平分线就能得等腰三角形。对于BF的长度的求解，借助于方程思想，设BF=x，利用“角落里的小勾”来完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在这里就不赘述了。
问题（2）中，同是翻折，但折痕不一样，得到的翻折图形自然不一样，但两张图形在结构模型上是完全一致的，都包含了全等图形和直角三角形，看透这一点，解题就会容易许多。和图（1）一样，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下来思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添辅助线GM⊥BC于点M，这样，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解题关键转化成求BM，而BM=AG，问题迎刃而解。想法二：GH看成四边形GBHD的对角线，因此连接GB和BD交于点O。继续由图（1）的积累，容易证四边形GBHD是菱形，对角线互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，两倍即是GH。
因此，我们认清图形的内在构成和联系，看清图形的本质，将复杂图形解析成几个基本图形，很多看似困难的问题都能轻松解答。
四、学会总结
当一道几何题证出来后，同学们会感到很高兴，事实上，这对今后的学习可以带来更大的信心。此时，如果同学们花上几分钟的时间，回顾总结一下自己在解题中所用的定理、性质，总结解题时的思路和方法，这将是学习的更高境界，也是自我升华的一个重要环节，今后会解的就不仅仅是这道题，而是这一类题。
例如：4.1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.
此题的证明较为简单，当我们边读题边把条件标注在图形上，题目读完，解题思路也就出来了。通过证明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再证△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，从而得出AB=BC+AD.
这时，我们是成功的，自然是开心的，但仍需静下心来，总结一下图形特点以及解题方法，我们说，图形中由平行线加线段的中点构成全等三角形是解题的关键。这样，遇到下面这道题，你就心中有数啦。
4.2如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何关系？请说明理由.
此题是个开放式问题，需要我们有一定的图形积累，要有基本知识储备。正因为对4.1的总结思考，我们遇到此题时，并不慌张。从图形看，此图继续有平行线加线段的中点，和4.1结构一样，图形本质相同，因此，为了构成全等三角形，那么延长AE交BC延长线于点F，图形就变成4.1，问题解决了。
做完这道题，我们对于平行线加线段的中点构成全等三角形已经足够掌握，此时不妨从换一个角度来思考本题的另一个重点。那就是对于两条线段之和等于第三条线段的证明方法，是将两条中的一条线段通过全等或等角对等边替换成与另一条在一直线上的线段，从而转化成证两条长线段相等的模型。
立体几何题证明方法 第5篇
1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
(1)证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。(2)证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。(3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若，则 的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]： 是异面直线，则过l外一点P，过点P且与l 都平行平面有一个或没有，但与 l距离相等的点在同一平面内.（或 在这个做出的平面内不能叫 与 l平行的平面）
3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行”）[注]：①直线l与平面内一条直线m平行，则l∥m.（×）（平面外一条直线）②直线 l与平面 内一条直线m相交，则 l与平面相交.（×）（平面外一条直线）
③若直线l与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑥直线l与平面、 所成角相等，则（、可能相交）∥.（×）
（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）
（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
4.平面平行与平面垂直.（1）.空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）
（4）.两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱侧面积：（c为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（c是斜棱柱直截面周长，h 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}.{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
（2）.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等
iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长c，斜高为h）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）
注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：.②球的体积公式：.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度.附：①圆柱体积：（r为半径，h为高）②圆锥体积：（r为半径，h为高）
③锥体体积：（为底面积，为高）
（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,.注：球内切于四面体：。
②外接球：球外接于正四面体，一、经典例题剖析
1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．
4、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC，求三棱锥P-ABC的体积.B
1P
B AD题3题4（第7题）
5、弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD外一点
F满足FC平面BED,FB=a（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.6．如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，CC1平面ABC，BC4，AB5,AA14，点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面
CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积。
7、如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD（1）证明：BD平面SAC；
（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；
（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。
8．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体0ABCDEFGH。图
5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.（第题）（第9 题）
9．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,AB2，tanEAB（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记ACx，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；（3）当V(x)取得最大值时，求证：AD=CE．
10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1C1EBC1AB1．
2（Ⅰ）求证：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求证：平面D1B1E平面DCB1；（Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．
11、如图（1），ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．
（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积．
AA
DM
BBB
CC（第12题）（第11题）（第13题）11
112.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1．（1）求证：AB//平面PCD；的中点，求三棱锥M—ACD的体积．（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC
BC3.13.如图,在三棱柱ABCA侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点, A1B1C1中，1AAB2,（1）求证：AB1//平面BC1D；(2)求四棱锥BAAC11D的体积.13．如图，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分
2别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。
14．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE；(Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积.C
几何证明题的方法 第6篇
1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
几何证明方法 第7篇
知识点1证明中的分析
证明步骤：
（1）仔细审题分清楚命题的“条件”和“结论”或“已知”和“求证”；
依据已知条件画出图形，标出字母记号，并把条件用明显记号表示出来，有时因观察、书写需要用<1，<2 等来简化角的表述。
（2）探索证明方法充分利用已知条件和图形的性质；
采用从“已知”到“未知”综合地推导，或者采用“未知”到“已知”进行分析推导，也可以采用两头同时进行，达到思路沟通；有时还需要有目的地添加辅助线，能把不易直接证明的命题转化为另一个较易证明的问题。
（3）写出证明过程经过探索，找到证明的途径，用综合方法，层次清楚地有根据地从已知到未知，把证明的全过程写下来。
知识点2几何证明中常用的证明方法
（1）证两线平行——利用平行性质和判定；到目前为止，只能用平行线的判定定理及
其推论来证，这是证明两条直线平行最基本的方法。也就是说，证明两条直线平
行问题的关键是证有关的角相等或互补。
（2）证两线相等——利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定；
证明线段相等的四种常用方法：
一、如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等。当缺
少条件时，可再证一对三角形全等。
二、如果两线段分别在两个三角形中，但是这两个三角形不全等，那么可
以添加辅助线构造全等三角形来证。常作的辅助线有：平行线，垂线
或连结线段等。
如果两线段是一个三角形的两边，那么可证它们所对的角相等。
证明两线段都等于第三条线段。有时还需要添加第三条线段作媒介。
三、四、（3）
（4）注意：有时需要综合运用上述四种方法才能奏效。证两角相等——利用三角形全等性质和判定、利用平行线性质，利用等腰三角形的性质和判定； 证两直线互相垂直——利用垂直定义、利用等腰三角形三线合一性质；
证明两条直线垂直的常用方法：
一、直接运用垂直定义，证两条直线的夹角是900；
二、三、使要证的垂直关系归结到一个直角三角形中去，证这个三角形的两个锐角互余。运用等腰三角形的“三线合一”的性质证明。
（5）
几何证明方法 第8篇
一、直接式思路
证题时, 首先应仔细审查题意, 细心观察题目, 分清条件和结论, 并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息, 以在缜密审题的基础上, 根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理, 最后得出命题的证明, 这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺, 在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。
1. 分析法。
分析法是从命题的结论入手, 先承认它是正确的, 执果索因, 寻求结论正确的条件, 这样一步一步逆而推之, 直到与题设会合, 于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中, 则由于题设条件的不同, 或已知条件之间关系的隐含程度不同等, 寻求追溯的形式会有一定差异, 因而常把分析法分为以下四种类型。
(1) 选择型分析法。选择型分析法解题, 首先要从题目要求解的结论A出发, 逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B, 就有结论A, 那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件, 然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。
(2) 可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中, 每一步都是推求的充分必要条件, 那么这种分析法又叫可逆型分析法, 因而, 可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明, 反之用选择型分析法证明的命题, 用可逆型分析不一定能证明。
(3) 构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中, 在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处, 需采取相应的构造型措施:如构造一些条件, 作某些辅助图等, 进行探讨、推导, 才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。
(4) 设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中, 借助于有根据的设想、假定, 形成“言之成理”的新构思, 再进行“持之有据”的验证, 逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。
2.综合法。
综合法则是由命题的题设条件入手, 由因导果, 通过一系列的正确推理, 逐步靠近目标, 最终获得结论。再从已知条件着手, 根据已知的定义、公式、定理, 逐步推导出结论。在这一过程中, 由于思考角度不同, 立足点不同, 综合法常分为四种类型:
(1) 分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来, 稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。
(2) 奠基型综合法。当由已知条件着手较难, 或没有熟悉的模式可供归纳推导, 就可转而寻找简单的模式, 然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来, 这样的综合法称为奠基型综合法。
(3) 媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少, 且看不出与所求结论的直接联系时, 或条件关系松散且难以利用时, 就要去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡, 这样的综合法就称之为媒介型综合法。
(4) 解析型综合法。解题时, 运用解析法的思想制定解题的大体计划和方向, 然后并不真用解析法来实现这个计划, 而用综合法来实现, 这种综合法被称为解析型综合法。
在具体证题时, 这两种方法可单独运用, 也可配合运用, 在分析中有综合, 在综合中有分析, 以进行交叉使用。
二、间接式思路
有些命题往往不易甚至不能直接证明, 这时, 不妨证明它的等效命题, 以间接地达到目标, 这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法、同一法证题就是两种典型的用间接式思路证题的方法。
1. 反证法。
具体地说, 在证明一个命题时, 如正面不易入手, 就要从命题结论的反面入手, 先假设结论的反面成立, 如果由此假设进行严格推理, 推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾, 或者推出两个相互矛盾的结果, 就证明了“结论反面成立”的假设是错误的, 从而得出结论的正面成立, 这种证题方法就叫做反证法。当结论的反面只有一个时, 否定了这一个便完成证明, 这种较单纯的反证法又叫做归谬法;而当结论的反面有若干个时, 就必须驳倒其中的每一个, 这种较繁琐的反证法又称为穷举法。
反证法证题通常有如下三个步骤:
(1) 反设。作出与结论相反的假设, 通常称这种假设为反证假设。
(2) 归谬。利用反证假设和已知条件, 进行符合逻辑的推理, 推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果。根据矛盾律, 在推理和论证的过程中, 在同时间、同关系下, 不能对同一对象作出两个相反的论断, 可知反证假设不成立。
(3) 得出结论。根据排除率, 即在同一论证过程中, 命题C与命题非C有且仅有一个是正确的, 可知原结论成立。
2. 同一法。
欲证某图形具有某种性质而又比较繁杂或不易直接证明时, 有时可以作出具有所示性质的图形, 然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个, 由此把它们等同起来, 这种证法叫做同一法。
例如, 同一法证平面几何问题的步骤如下:作出符合命题结论的图形;证明所作图形符合已知条件;根据唯一性, 确定所作的图形与已知图形吻合;断定命题的真实性。
同一法和反证法都是间接式思路的方法。其中, 同一法的局限性较大, 通常只适合于符合同一原理的命题;反证法的适用范围则广泛一些, 能够用反证法证明的命题, 不一定能用同一法论证, 但对于能够用同一法证明的命题, 一般都能用反证法加以证明。
在证题过程中, 不论是直接思路还是间接思路, 都要进行一系列正确的推理, 需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真地分析、加工和改造, 并从不同方向探索, 以在广阔的范围内选择思路, 从而及时纠正尝试中的错误, 最后获得命题的证明。
摘要：惠特霍斯曾说过, “一般地, 解题之所以成功, 在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题, 都要应用这样或那样的方法, 而选择哪一种方法, 就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。
初中数学几何证明题解题方法探讨 第9篇
【关键词】树立信心 几何思想 答题思路 答题步骤
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058
几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。
一、树立面对几何证明题的信心
纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。
二、带领学生看图读图，培养几何思想
几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。
第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。
第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。
第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。
三、帮助学生理清答题思路
证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。
作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。
四、规范答题步骤