第一节二重积分概念

2024-08-29

第一节二重积分概念（精选7篇）

第一节二重积分概念第1篇

第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示

★ 曲顶柱体的体积

★ 非均匀平面薄片的质量

★ 二重积分的概念

★ 二重积分的性质

★ 例

1★ 例

4★ 内容小结

★习题9-1

★ 返回

★ 二重积分的中值定理 ★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习

内容要点：

一、二重积分的概念

引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质

性质1—性质6

二重积分与定积分有类似的性质.性质1 [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.DDD

性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d.DD1D

2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)1,为D的面积, 则

1dd.DD

这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.DD

特别地, 有f(x,y)d|f(x,y)|d.DD

性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则

mf(x,y)dM.D

这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：

二重积分的性质

(x例1不作计算，估计Ie

D2y2)d的值，其中D是椭圆闭区域：

a2y2b21(0ba).例2（讲义例1）估计二重积分IDdxy2xy1622的值, 其中积分区域D为矩形

闭区域{(x,y)|0x1,0y2}.例3判断

rxy1ln(x2y2)dxdy的符号.例4积分Dx2y2dxdy有怎样的符号, 其中 D:x2y24.例5（讲义例2）比较积分ln(xy)d与[ln(xy)]2d的大小，其中区域D是三

角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习

1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim

enn2i1j11nni2j2n2.

第一节二重积分概念第2篇

1．利用二重积分定义证明：

kf(x,y)dkf(x,y)d。

Dn0

【证明】由二重积分定义

f(,)f(x,y)dlim

i

1n，得

kf(,)kf(x,y)dlim

0

i1

limkf(i,i)i

0

i1

klimf(i,i)ikf(x,y)d，0

i1

证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：kdk（kR为常数，为积分区域D的面积）。



【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，于是知，二重积分

f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶

kd表示以平面zk为顶的柱体体积，D

而以平面zk为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高zk，但该柱体的底面积就是积分区域D的面积，从而得，kdk。

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

xy(xy)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y1；

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1，可知区域D的面积为

而由于0x1，0y1，可得0xy1，0xy2，从而有0xy(xy)2，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得



d111，D

0dxy(xy)d2d

亦即为0⑵

xy(xy)d2。

(xy1)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y2；

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2，可知区域D的面积为



d122，D

而由于0x1，0y2，可得0xy3，从而1xy14，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

1d(xy1)d4d

亦即为2⑶

(xy1)d42，整理得2(xy1)d8。

(x

4y29)d，其中积分区域D(x,y)x2y24。

【解】由于区域D(x,y)xy4，可知区域D的面积为



d24，D

下面求函数f(x,y)x4y9在条件xy4下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面zx4y9在圆柱xy4内部的最大、最小值，易见x4y0，可知zx4y99，当xy0时等号成立，又可知，椭圆抛物面zx4y9与圆柱xy4的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当x0，y2时，函数f(x,y)x4y9取得最大值，最大值为

f(0,2)044925，因此得，9x4y925，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

9d(x

4y29)d25d

亦即为94整理得36

(xy1)d254，DD

(xy1)d100。

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

(xy)d与(xy)d，其中积分区域D由x轴，y轴与直线xy1所围成。

【解】积分区域D如图

由图可见，在区域D中，0xy1，于是由于函数ya（0a1）是减函数，而知以xy为底的指数函数是增函数，即由23有(xy)(xy)，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵

(xy)d(xy)d。

与ln(xy)d[ln(xy)]d，其中D(x,y)3x5,0y1。D

【解】积分区域D如图

由于在区域D中有3x5，0y1，可得3xy6，于是1lneln3ln(xy)ln6，于是由于函数ya（a1）是增函数，可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数，即由12得ln(xy)[ln(xy)]，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

5．若

。1d=1，则积分区域D可以是（）

ln(xy)d[ln(xy)]d。D

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域；（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域；（C）由x

11，y所围成的区域； 22

（D）由xy1，xy1所围成的区域。【解】应填“（C）”。因为

1dS

1，而下面各区域D的面积为：

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域如图

得SD

22

21； 2

（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域如图

得SD(21)(42)21；（C）由x

11，y所围成的区域如图

得SD[()][()]1；至此，可以终止判断了。事实上有：

（D）由xy1，xy1所围成的区域如图

12121212

得SD

第一节二重积分概念第3篇

一、渗透数学文化, 了解《微积分》课程诞生的历史, 使学生对《微积分》课程有宏观认识和总体把握

1.《微积分》课程第一至四章的来源

在上大学第一节《微积分》课程时, 先讲《微积分》课程诞生的历史. 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就, 蕴含着巨大的智慧和创新, 但也有逻辑上的问题. 牛顿当时是用如下方法计算自由落体在某一时刻的瞬时速度:

设自由落体在t0时间内下落的位移为S (t0) , 位移公式为, 其中g是重力加速度.当时, 根据科学的发展, 需要计算物体在t0时刻的瞬时速度, 牛顿的计算方法为, 从t0时刻开始再下落Δt时间, 欲求物体在t0时刻的瞬时速度, 先求物体在Δt时间内的平均速度 (*)

牛顿认为, 物体在t0时刻的瞬时速度即当Δt变成无穷小时Δt时间内的平均速度.所以, 当Δt变成无穷小时, 右端的也变成无穷小, 因而上式右端就可以把这一项去掉而只剩下gt0, 即物体在t0时刻的瞬时速度为gt0.

当讲到这里时, 提问学生这个推理过程严密吗? 学生指出, 如果 Δt是0, 上式 ( * ) 左端把 Δt作为分母没有意义. 如果 Δt不是0, 把上式 ( * ) 右端这一项随便去掉是不对的. 然后我告诉学生, 当初可能因为牛顿本身是一位伟人, 而且牛顿的这一方法确实很好用, 解决了大量的过去无法解决的科技问题, 包括像海王星的发现这样鼓舞人心的例子, 更显示出牛顿的理论和方法的巨大威力, 所以没有人提出质疑. 后来牛顿学派外部英国大主教贝克莱就“牛顿的无穷小作为一个量究竟是不是0”提出质疑, 产生了历史上第二次数学危机. 当初牛顿及其拥护者奋起与贝克莱论战, 但是在将近200 年的时间里, 不能彻底反驳贝克莱的责难. 而且, 随着时间的推移及研究范围的不断扩大, 类似的悖论日益增多. 包括数学家在研究无穷级数的时候, 也是在有限与无限之间任意通行, 作出过大量错误的证明, 得出许多错误的结论.

数学的发展, 要求微积分的基础“极限理论”诞生. 19世纪, 经过以法国数学家柯西为代表的一批数学家艰辛的努力, 极限理论终于诞生了, 再加之维尔斯特拉斯建立了实数系, 严格的极限理论才算真正建立.

严格的极限理论建立之后, 自由落体在t0时刻的瞬时速度计算方法如下:, 这实际上就是函数在t0这一点的导数, 这才彻底解决了贝克莱的责难, 从根本上消除了历史上第二次数学危机.实际上, 严格的极限理论建立之后, 对无穷小量Δt与0的关系给出明确的回答.虽然这个结果与牛顿当初计算的结果相同, 但是每一步推理过程都有严格的逻辑基础.

纵观微积分诞生的历史, 我们可以看出, 微积分基础建立的历史顺序为: 导数与微分 ( 教材第三章) →极限与连续 ( 教材第二章) →函数 ( 教材第一章) ( 教材第一章在实数基础上讲解函数及其一些性质) , 逻辑顺序与历史顺序正好相反.

2.《微积分》课程第五至六章的来源

如右图, 为了计算由x轴、直线x=a, x=b及曲线y=f (x) 围成的不规则图形的面积, 在区间[a, b]中任意插入n-1个分点, a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b, 用直线x=xi将曲边梯形分成n个小曲边梯形, 作以[xi-1, xi]为底, f (ξi) 为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积△Ai, 则近似和为则曲边梯形面积为

为了简单起见, 把这个极限值记为, 即, 称为函数f (x) 在闭区间[a, b]上的定积分 (教材第六章) .17世纪后期, 牛顿和莱布尼兹几乎是同时发现著名的微积分基本定理———牛顿-莱布尼兹公式, 即如果F' (x) =f (x) , 则.所以, 要计算的值, 需先知道那个函数的导数等于f (x) , 即f (x) 的不定积分 (教材第五章) .逻辑顺序与历史顺序也正好相反.

3.《微积分》课程第七至十一章的来源

第七章多元函数微分学是第一至四章一元函数到多元函数的推广.第八章二重积分是第五至六章的推广.第九章无穷级数是第二章的特殊情形.无穷级数是数列的和, 第九章主要讲解几种特殊无穷级数的敛散性 (即极限值的存在性) 及收敛级数极限值的计算.第十章微分方程是第六章的推广.在第五章中, 若已知, 我们可以求出, 其中C为任意常数.但是如果已知, 我们通过第五章的学习就不会求出y的值.形如含有自变量x、未知函数y以及未知函数的导数 (或微分) 的等式, 称为微分方程.第十一章差分方程是以第十章为工具, 以此研究离散数学模型.

在大学上第一节《微积分》课程时, 通过对《微积分》课程诞生的历史的学习, 使学生对《微积分》课程各章之间的关系及整本书的内容有宏观的认识和总体把握.

二、渗透数学文化, 了解数学及《微积分》课程的重要性

( 一) 渗透数学文化, 了解数学的重要性

马克思曾经说过, “一门科学只有成功地运用了数学时, 才算达到了真正完善的地步 ( 见拉法格的回忆录) ; 华罗庚先生也说过, 宇宙之大, 粒子之微, 火箭之速, 化工之巧, 地球之变, 生物之谜, 日用之繁, 数学无处不在; ”2000 年是联合国宣布的“世界数学年”, 联合国教科文组织指出: “纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”;现在有人说: “哲学从一门学科中退出, 意味着这门学科的建立; 而数学进入一门学科, 就意味着这门学科的成熟. ”数学与文学、史学、哲学、经济学、社会学、密码学及工程技术等都有密不可分的联系; 诺贝尔经济学奖获得者中, 数学家或有研究数学的经历的经济学家占了一半以上; 牛顿发现了万有引力定律, 他把其最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》, 是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式. 在这本书中, 牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧; 爱因斯坦分别于1905 年和1915 年提出狭义相对论, 广义相对论, 这是对物理学的重大变革, 其核心内容是时空观的改变. 爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的. 四维空间的洛仑兹变换是数学模型的表现形式; 英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律, 把这些规律表述为“方程的形式”, 用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者; 最近, 两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50 年的“简单”问题: 啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律. 该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响, 相关论文发表在2007 年4 月26 日的《自然》杂志上. 其中, 气泡胀大、收缩或者合并, 背后的驱动力都是表面张力, 气泡的变化, 取决于表面总曲率; 神州六号、七号、八号、九号的升空, 宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力. 在神舟六、七、八号、九号的研制过程中, 数学起了不可替代了作用, 尤其是在轨道测算, 时间测算等方面; 1973 年, 美国芝加哥大学学者F·布莱克与M·肖莱斯提出了布莱克- 肖莱斯期权定价模型 ( black-scholes option pricing model) , 对股票期权的定价作了详细的讨论. 此后, 不少学者 ( Merton) 又对该模型进行了修正、发展与推广, 极大地推动了期权定价理论的研究. 该模型中用到很多数学知识. 他们也因此获得了1997 年的Nobel经济学奖; 从医学上的CT技术到印刷排版的自动化, 从飞行器的模拟设计到指纹的识别, 从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术, 还有天王星、海王星的发现等等, 这些形形色色的技术背后, 数学都扮演着十分重要的角色, 常常成为解决问题的关键. 以上例子足以说明数学学科的重要性.

( 二) 数学文化在数学学习中的重要性

2002 年, 在北京召开的由国际数学联盟主办的全球数学界最高水平的学术会议“国际数学家大会”会场的大幅标语为“传播数学文化, 立志报国奉献”, 其中使用了“数学文化”一词; 2003 年, 普通高中《数学课程标准》中指出, 数学是人类文化的重要组成部分, 数学是人类社会进步的产物, 也是推动社会发展的动力. 要求在高中数学的教学过程中充分渗透数学文化, 体现人文精神. 这也是“数学文化”首次进入官方文件; 十二五《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中提到, 要把育人为本作为教育工作的根本要求, 要培养学生良好的审美情趣和人文素养, 加强中华民族优秀文化传统教育. 积极推进文化传播, 弘扬优秀传统文化, 发展先进文化. 这充分说明数学及传播数学文化的重要性.

( 三) 学习《微积分》课程对大学后续课程学习的重要性

1. 微积分第一章为函数. 微观经济学中的常见函数有需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数、弹性函数、生产函数以及边际函数等都是微积分中函数的范畴.

2. 边际分析方法是经济理论中的一个重要分析方法.通过学习微积分中的导数, 可以对微观经济学中的经济变量进行边际分析.

3. 通过微积分中函数极值的学习, 研究微观经济学中生产者利润最大化问题.

4. 数学已经广泛深入到经济学领域.

第一节饭店的概念第4篇

一、饭店的概念是什么？

答：饭店是为境内外客人提供吃、住、行、游、娱、购，以及商务、会议、健身、美容、通讯、金融和委托代办等综合性服务的企业。

二、饭店提供的主要产品是什么？答：饭店提供的主要产品是――服务。

三、饭店产品的基本特性１、无形性

服务是无形的，对服务质量衡量并无具体实在的尺度，顾客对产品的满意程度主要是来自于感受，与客人的经历，受教育程度、价值观等相关，因而带有较大的个人主观性。

２、即时性或生产与消费的同时性

• 饭店产品的生产（提供服务）是根据顾客的即时需要而定时进行的，即饭店的各种服务是与客人的消费同步进行，通常是边服务边消费，等服务结束时消费也同时结束。如迎宾问候欢迎光临之例！３、不可贮藏性，过期失效

饭店的设施、空间、环境不能储存、搬运、在某一时间内不能销售出去的客房、菜肴等，其这一时间内的价值便随时光消失而消失，如客房空臵，它在当晚的价值就不存在了。

二、你是如何理解客人对产品质量评价的“公式”的？公式是：

１＋1……+1=100是指只有每一项、每一次、每一位员工的服务都让客人满意，这答才会给予高度评价得100分。

100－１＝０只要有一项、有一次、有一位员工的服务不能让客人满意，客人甚至产生愤慨，那么就将前功尽弃，不成为我们的回头客，或离开我们饭店。

100－１＝负数（或100－１＜０）有一项、一次、或一位员工服务不能让客人满意而离去，不但失去了这一位客人，更有可能因这位客人出去后向其同事朋友亲人作反面的宣传而损坏我们的声誉，则失去更多的潜在客人。

第二节前厅预订

一、前厅的地位和作用：

1、代表饭店的形象

2、饭店信息的中心

3、联系饭店与宾客的桥梁

4、饭店决策管理者的参谋

二、为什么说前厅是饭店的信息中心？

不论是总台接待、问询、预订、还是前厅有大堂副理，可以从客人那里了解到外部的市场信息，也可以从客人投诉和预订以及销售等资料了解到饭店内部的经营、管理、服务等状况。

三、前厅预定

1、客人向酒店预订的方式有哪些？客人向酒店预订的方式有电话预订、电报预订、电传预订、信函预订、电脑预订、当面预订。

２、接受客人预订应记录的内容有哪些？

１）预订人姓名；２）住客抵离时间；３）人数、姓名、性别、年龄、身份证号等；４）客房规格、数量、价格、结算方式、定金等；５）特殊要求，如是否需要接机、接车等；６）客房保留时间；７）联系人及联系办法。记录后应复述一遍，并表示感谢，同时签上当班人姓名和日期。

备注：总台员工应将确定的预订房房间报给楼层服务员，应要求服务员再次检查房内设备及物品的配备及卫生情况，总台可提前制好房卡必要时并要求提前２０分钟将空调冷气设臵为２５度，做好预订房入住准备。

3、接受预订应注意哪些问题？

（１）接受预订时应注意向对方复述，并注意推销。

（２）尽量不要确定具体房号。

（３）若是ＶＩＰ预订，要通知有关领导导和部门。（４）根据情况考虑超额接受预订。

4、为什么在接受预订时不能安排具体房号？

若在接受预订时就安排具体房号，到入住时遇到情况变化需要调整，将会造成被动。

5、为什么发现预订入住是ＶＩＰ时应通知有关部门和领导？一是便于有关部门做好相应规格的接待准备工作；二是便于领导到时欢迎接见；三是便于公关部考虑是否可以利用其作为宣传材料；四是便于将贵宾资料从客史档案中调出或输入电脑。

四、前厅接待

１、接待新入住客人的工作程序是什么？

答：有十个步骤：即礼貌迎宾问候、介绍房间、请求登记、查验证件、排房收款、办理寄存、报房送单、礼貌送客、电话通知、整理台面。

２、什么是“三对接”

答：指接待员遇到客人时应做到“三对接“，即目光对接、语言对接、动作对接。

３、客人进行登记时，接待员应注意些什么呢？答：１）注意客人填写是否出错，及时指导。

２）注意请客人在“贵重物品和现金寄存通知”栏上的“旅客签名”处签名，应告知客人为何签名；

３）顺便了解客人是怎样知道本酒店并为何选择本酒店的，以了解市场信息。

４、“查验证明”时发现登记卡填写有误，怎么办？答：接待员应向客人指出何出有误的同时，征求客人意见说：“我帮助您改过来好吗”之后，才能为之更改。

第三节客房服务

五、房务工作车的准备：

先将车身内外清洁，检查车轮是否顺畅

1、床单、浴巾等大件布草放臵在下层

2、毛由、枕套放臵中层

3、客用品摆放在顶层，排列整齐

4、左右两边各放垃圾袋和布草袋

5、下端摆放清剂和洗涤剂

工作车要保持整齐、美观、卫生、工作车重心在下，推车行走时车稳安全，正面朝内的作用：

1、便于房务员工作中取拿布草及客用品，也防止路人“顺手牵羊”；

2、防止坏人进房作案，确保客房安全；

3、形成大整理时的标志，便于管理者督导工作；如客人在房内，可稍侧摆放，留出进出通道，不得将车摆放在走道中间，影响客人行走。

六、客房大整理的操作程序

1、准备工作车

2、敲门进房

3、礼貌询问（客人不愿清扫的应记录工作单）

4、摆放工作车

5、拉帘、开窗（关灯，拉帘时应注意检查滑轮是否顺畅，通风换气）-----

6、收集垃圾、撤脏杯具、烟缸

7、撤脏床单、铺床

8、抹尘、检查设备（抹尘：从上到下，从里到外、从左到右顺时针或逆时针，不漏项，干湿分开，）

9、补充房内客用品

10、地毯吸尘

11、关窗拉帘

12、巡视、检查

13、礼貌告辞

14、关门-----填写工作表单

七、铺床程序

1、将床拉离床头板约50厘米

2、撤脏床单枕套（注意检查是否有客人遗留物品）

3、整理床垫（将床垫拉正对齐）

4、铺床单（将床单提起，使空气进到床另一头尾部，离床面70厘米，身体稍往前倾，两手间距离约80至100厘米）

5、套被子（反折30厘米，与床头柜平）

6、套枕芯（枕芯距床靠10厘米、四角均匀、平整、开口反向床头柜）

7、铺床罩（挺括、枕线分明）

8、将床复位

9、检查整理

八、清理卫生间程序

1、一带清洁桶进入卫生间，开灯、开排气扇

2、放水冲恭桶

3、撤出脏毛巾

4、收集垃圾

5、用不同的洁具和清洁剂按脸盆----浴缸----恭桶的顺序刷洗，然后用清水冲洗

6、擦洗镜面，再用干布擦亮

7、用各专用抹布擦干净各部位水珠

8、喷抹消毒剂

9、摆放毛巾，正确放臵浴帘（大整理后，浴帘推向门后，浴帘尾端放臵在浴缸外，便于通风透气，防止浴帘潮湿发霉；开夜床后浴帘尾端拉向水龙头方向2/3的位臵，浴帘尾端收进浴缸内，以方便客人调整水温及提示客人避免沐浴时水花溅出。

10、补充卫生间客用品

11、擦干卫生间门，清洁地面

12、查看有无漏项，是否达到清洁标准

13、关灯、关闭排气扇，将门虚掩30度角

清洁后的卫生间要达到如下卫生要求：（1）无异味（2）无发丝（3）无水珠（4）清洁光亮（5）物品摆列整齐

九、客房夜床服务程序

1、敲门进房→礼貌询问→检查灯具→拉上窗帘→开床→ 摆放晚安卡、摆放拖鞋→收集垃圾、整理卫生→补充客用品→拉浴帘、铺地巾→关灯、关门→填写工作表单

十、迎领新入住客人服务程序

1、服务员面带微笑，主动在电梯口迎客

2、询问房号（或办理开房手续）

3、引领进房

4、端巾送茶

5、介绍情况

迎领新入住房客人进入客房后，向客人主要介绍本饭店的服务设施及其营业时间，如餐厅、康乐部、歌舞厅、桑拿、商务中心等，还要介绍客房内设施设备，如电视、空调、音响，热水器等设备的使用方法，并回答客人的问询。

十一、会议的一般服务程序有哪些步骤？

答：

1、了解情况，接到通知要了解以下情况：1）是什么单位主办、什么形式会议（报告、授课、颁奖、讨论）

2）使用会场的时间，何日何时至何日何时。3）地点（即会议室）4）参加会议的人数

5）是否准备横幅、欢迎标语、主席台名牌、是否要摆放鲜花，是滞要准备扩音器、投影仪、是否需要协助承办资料打印、装袋分发、会员报到等会务工作。

6）会议联系人及联系电话 7）结帐方式

2、会场准备工作

1）按会议布臵的要求，摆放桌、椅、悬挂横幅，摆放花盆等。

2）检查灯光、扩音器效果是否良好。3）抹净桌面椅子，地毯吸尘。

4）摆放烟灰缸（若禁烟则略）摆放茶杯，方巾碟。5）若有上水果，应洗净装盘，备好餐巾纸。

6）会前20分钟开空调，似情况看是否喷空气清新剂。

3、会前迎宾工作

1）服务员站立门口微笑迎客，礼貌问好。

2）宾客到齐坐定后，上香巾（先宾后主，先女宾后男宾或按顺序先主席台后来宾席）。

3）上茶水（两种方式）

A、先放入茶叶在杯里臵于桌上，然后逐一倒水，杯把朝客人右手，与客人面向桌沿成45度角，并请“请”或作请的手势。

B、茶杯集中放在一处，先泡好茶然后用托盘一送至客人面前，杯把向客人右手45度，说“请”或作请的手势。

4）将用过的香巾收下中途再送一次。

4、会间服务

1）每隔20—30分钟续水一次（根据每次与会人员的喝水情况适当调整续水的间隔时间）。

2）如有电话或访客找人，先问联络人再根据指点通知客人，在其背后小声说：“对不起，打拢一下，请问您是某某先生（小姐）吗？外面有电话（或有人找）”，若联系人自叫，则站在门口等候，客人出会议室后，要为其指示方向。

3）随时留意会场动静，注意扩音器设备的音量，空调温度是否适中等问题。

4）若吃水果、糕点之类要中途更换方巾，以便擦手。

5、会后送客服务 1）会议结束及时开门。2）服务员站立门边送行。

3）客人走后，检查会场有无客人的遗忘的物品，若发现应立即追送。

4、整理会场。

第三节饭店礼貌规范

一、礼貌概念

礼貌是指人们在日常生活中相互表示尊重、友好、和谐相处的意念和行为。

二、礼貌用语

欢迎语、问候语、祝愿语、征询语、答应语、婉拒语、道谦语、道谢语、电话用语、指示用语、称谓语、告别语。

三、礼节规范

1、使用服务敬语时，怎么办？

（1）欢迎语：欢迎光临/欢迎您来这里用餐/欢迎您住我们饭店；（2）问候语：您好/早上好/下午好/晚上好；

（3）祝愿语：祝您生日快乐/祝您旅途愉快/祝您玩得开心‘（4）告别语：再见/祝您一路平安/欢迎您再次光临；（5）征询语：我可以帮忙吗？/可以开始点菜了吗？/可以整理房间吗？

（6）答应语：好的/是的/马上就来；

（7）道歉语：对不起/很抱歉/这是我们工作的疏忽；（8）答谢语：谢谢您的夸奖/谢谢您的建议/多谢您的合作；（9）指路用语：请这边走/请从这里乘电梯/请往左边拐。

2、称呼客人时，怎么办？

（1）男士一般称先生，未婚妇女称小姐，已婚妇女称太太；（2）对于无法确认是否已婚的西方妇女，不管其年纪多大，只能称小姐；

（3）不知道客人的姓氏时，可称“这位先生/这位小姐”；（4）称呼第三者不可用“他/她”，而要称“那位先生/那位小姐”；（5）只有少数社会名流才能称“夫人”；

（6）对客人称“你的先生/你的太太”是不礼貌的，应称“刘先生/林太太”。

四、仪容仪表

1、女员工：头发不低于肩部，面容淡妆，不佩戴首饰，勤剪指甲，不涂指甲油，按饭店统一要求着装。配带工牌于左胸上方。

2、男员工：头发侧不过耳，后不过领、前不过眉，常剃胡须，不佩戴首饰，勤剪指甲，按饭店统一要求着装。配带工牌于左胸上方。

男、女员工同样都不得使用过于浓重的香水、摩丝、发乳等，在客人面前面带微笑，轻松有精神。

五、形体规范

1、男员工站立时，怎么办？

（1）两眼正视前方，头微上仰，挺胸收腹；（2）两手自然交叉于背后；

（3）为坐在椅子上的客人服务时，双手从背后往前移，做出为客人服务的准备姿势；

（4）双脚分开，与肩同宽或比肩膀略宽。

2、女员工站立时，怎么办？

（1）两眼正视前方，头微上仰，挺胸收腹；

（2）两手交叉于腹前，右手掌搭在左手背上，两手的虎口靠拢，指尖微曲；（3）双脚并拢。

2、站立着与客人交谈时，怎么办？

（1）目光停留在客人眼睛和双肩之间的三角区域；（2）与客人相距于60到100厘米之间；

（3）跟客人距离太近，一则侵犯客人的隐私权，二则会使客人产生压力感，特别是给个子矮的客人造成心理压力；（4）跟客人距离太远，一则需大声说话，造成喧哗，二则显得疏远。

3、为客人指示方向时，怎么办？

（1）拇指弯曲，紧贴食指，另四指并拢伸直；（2）手臂伸直，指尖朝所指的方向；（3）男员工出手有力，女员工出手优雅；（4）不可用一个手指为客人指示方向。

4、员工正确的“行为举止”包括哪些方面？

从礼貌规范的角度要求，员工应熟悉以下方面的行为规范，即站立、行走、迎宾与引领，进门，与客人交谈，与客人交接物品，致礼——点头致意礼、欠身礼、握手礼、介绍，开车门，宴会席位座次等。

（1）站立：当客人与你面对面站立问询时，手只能放于身体两侧或身前，不可背于身后。

（2）行走：上下班走员工通道；不串岗；在客人活动区不可并排行走；客过要让路，与客同走不抢道。行走时手不可背于身后。（二人成行，三人成列）

（3）迎宾与引领：迎宾入内应走在客人的前侧，送客离去应走在客人的后侧。

（4）进门：即使已知房内无人，进房前也得敲门后再开门。（5）与客人交谈：不可向客人打听其年龄、婚否、工资财产及服饰和家庭成员情况。

（6）与客人交接物品：一般以双手送接，若左手有托盘，一手送茶杯等也算得体。

（七）致礼

点头致意礼：应注意目光看客人眼鼻三角区，以示尊重；

欠身礼：作欠身礼后，若用手势让客人请进时应挺直腰，手心微侧向上，不低于腰部，也不高于肩部；

握手礼：用右手，轻握对方的手晃动两下主动松开，应注意让上级、长者、女士或来访宾客先伸手才能去接。

（八）介绍：学会主动介绍，而不是先审问对方；作为第三者介绍其他两人认识时要注意先把下级、晚辈、男士或主人介绍给上级、长辈、女士或宾客。

（九）开车门：若架驶位后排右边有人，应先开后排右边门，若送主宾上车门也应先开此门。

（十）宴席座次：靠里首正对门的是第一主人位，其右为第一主宾位；靠门正位是副主人位，其右是第二主宾位；有时第二主宾也可坐第一主人的左边。

礼貌口诀：

“一笑”----在客人面前要微笑始终如一； “二不”----不怠慢、一得罪客人； “三轻”----说话轻、走路轻、操作轻； “四勤”----眼勤、嘴勤、手勤、脚勤；

“五声”----客到有迎声、客问有答声、客助有谢声、照顾不周有歉声、客走有送声。

3、接听电话时程序

（1）动作要迅速，不让电话铃响超过三声；

（2）致以简单问候对方：“您好”或“早上好”，语气柔和亲切。（3）表明自己的身份（内线电话报所在部门或岗位名称，外线电话报酒店名称）；（4）不可用“喂，喂，喂…”

认真倾听对方的电话事由，如需传呼他，应请对方稍候，然后轻轻放下电话，去传呼他人。如对方通知或询问某事，应按对方要求1、2、3、逐一记下并复述或回答对方。

2、从店打出电话的程序

（1）预先将电话内容整理好，（以免临时记忆而浪费时间）。（2）向对方拨出电话后致以简单问候。（3）作自我介绍

（4）使用敬语，说明要找通话人的姓名或委托对方传呼要找的人。

（5）确定对方为要找的人致以简单问候。（6）按事先准备好的内容逐条简述。（7）确认对方是否明白或是否记录清楚。

致谢语、再见等，等对方放下电话，自己再轻轻放下。

3、终止电话时，怎么办？

（1）应使用结束语：“除了这些外，还有什么事我可以帮忙的吗？”（2）等对方先挂断之后再放下听筒；

（3）轻轻放下听筒，不可“砰”的一声猛然挂断。

接待（无预约登记）

1、上午好/下午好/晚上好（欢迎光临香米拉/请问有什么可以帮助您/请问您住宿是吗）

2、请问有预定吗？

3、请问您有住过我们酒店吗？请稍等（查找客史资料）

4、现在有标准房，单人房，商务套房，请问您喜欢什么类型的房间呢？/报价

5、我可以借用您的证件吗？/请出示您的身份证好吗？/谢谢！

6、请问您预住几天？

7、请问有贵重物品寄存吗？请在这（指示）签名好吗？谢谢！

8、我可以收您1000元预付款吗？/麻烦您预付1000元好吗？/谢谢

9、这是您的押金单，请您签字确认好吗，谢谢

10、陈先生，这是您的房卡和押金单请收好。

11、祝您住店愉快，电梯左边请！（做方向指示）

接待（预约登记）

1、上午好/下午好/晚上好（欢迎光临香米拉/请问有什么可以帮助您/请问您住宿是吗）

2、请问您有预订吗？

3、请问怎么称呼您？/您是以什么名字预订的呢？

4、请稍等

5、陈先生，您订的一间商务套房住两个晚上，对吗？

6、我可以借用您的证件吗？/请出示您的身份证好吗？/谢谢！

7、请问有贵重物品寄存吗？请在这（指示）签名好吗？谢谢！

8、我可以收您1000元预付款吗？/麻烦您预付1000元好吗？/谢谢

9、这是您的押金单，请您签字确认好吗，谢谢

10、陈先生，这是您的房卡和押金单请收好。

11、祝您住店愉快，电梯左边请！（做方向指示）

A、客满时：对不起，现在暂时没有房间，待会有退房我马上联系您，拔这个号码行吗？/麻烦您留下联系电话好吗？谢谢/ B、您好！总台……请稍等,服务员马上为您打扫。

收银（结帐离去）

1、上午好/下午好/晚上好（欢迎光临香米拉/请问有什么可以帮助您/请问您住宿是吗）

2、我可以借您的房卡吗？谢谢！3、9999房陈先生对吗？

4、陈先生请问房间有其他消费吗？比如迷你吧茶叶零食之类。

5、请您稍等，楼层查房一下

6、这是您的帐单，请过目，请在这签名确认好吗？/麻烦您在这签名确认好吗？（指示）

7、陈先生，请问您是用现金还是刷卡呢？

8、陈先生，借用您的押金单可以吗？/借用您的信用卡可以吗？谢谢

9、请问需要帐单和发票吗？/用户名写您的名字是吗？

10、这是您的帐单和发票，11、这是找您的100元钱，请您点收/谢谢

第一节应用文的概念第5篇

应用文是人类在长期的社会实践活动中形成的一种文体，是人们传递信息、处理事务、交流感情的工具，有的应用文还用来作为凭证和依据。随着社会的发展，人们在工作和生活中的交往越来越频繁，事情也越来越复杂，因此应用文的作用也就越来越重要了。

一、应用文的概念

应用文是国家机关、企事业单位、社会团体、人民群众在日常生活、学习、工作中，处理公务或私务所使用的具有某种惯用格式和直接实用价值的文章。包括机关应用文和私人应用文两类，或称为公务文书与私务文书。

应用文与人们的关系最为直接密切，使用频率也最高。

应用文不是一种文章样式，而是一些文章的统称。应用文与我们的日常生活和工作有着密切的关系。政府要实行依法治国、有效管理，就要有各种法规文件等诸多公务文书；企事业单位要正常运转，也要有许多的计划、总结等事务文书；个人之间要进行商务往来、交通信息、沟通感情等，也都需要函件往来等。至于个人自身的发展，更离不开应用文，如写求职信、毕业论文和学术论文等。随着社会经济的发展、公共关系的活跃、日常交流信息的增加，应用文的使用将越来越多，越来越广泛。

应用文写作不同于文学写作。

从功用性角度来看：应用文写作具有直接的功用性，它主要是用来办理事务、用来解决工作和生活中的实际问题；文学写作不以直接办理事务为目的，而以塑造艺术形象反映社会生活提供审美享受为宗旨。

从真实性角度来看：应用文写作完全排斥虚构和杜撰，要求所依据的材料真实、准确，内容实事求是；文学写作要求的是艺术的真实，即文学作品中的人物和事件能反映社会生活的某些本质方面或发展趋向，因而不要求写真人真事，可以大胆进行艺术虚构。

从语言表达角度看：应用文的表述要求准确，不能产生歧义，简明精练，具有平实的特点，对比喻、比拟、借代、夸张、衬托等修辞方式的使用有一定的限制；文学写作则多用此类修辞方式，以达到特定的艺术效果。

从思维与结构角度来看：应用文写作更侧重逻辑思维；而文学写作侧重于形象思维。一般的应用文多数有惯用的格式，且具有一定的稳定性；而文学写作，除了旧体诗词，一般没有惯用的格式。

应用文不同于实用文。

首先看“实用”和“应用”的含义。在《现代汉语词典》中“实用”的解释是实际使用，有实际使用价值的；“应用”是指使用，可直接用于生产生活的。

实用文的概念的产生迄今为止大概只有近百年的时间。蔡元培在《论国文之趋势》和《国文之将来》中正式把文章分为实用文和美术文（即文艺文）两大类,所以实用文概念的产生历史并不长。而应用文的概念产生最早可以追溯到宋代，苏轼在《答刘巨济书》中说：“向在科场时，不得已作应用文，不幸为人传写，深为羞愧。”这篇“应”考试之“用”的文章题为《为政之宽严》。“应用文”概念的产生比“实用文”早得多。

我们现在所说的文体大致分为两类：文艺文和实用文。文艺文包括：散文、诗歌、小说、戏剧、寓言、童话、科幻作品等。实用文包括：记叙文、议论文、说明文、应用文。因此，实用文和应用文是两个不同的概念，应用文包含在实用文概念之内，应用文体是实用文体中的一种，范围小于实用文体。

二、应用文的特点

1．实用性

应用文从一开始产生，就表现出很强的实用性。众所周知，文学作品给人以审美愉悦，用来陶冶人们的性情；理论文章给人以知识，用来提高人们的认识，拓展知识面；而应用文却不同，它是要处理公私事务的，其功效是在人类各种活动中通过取得直接的实用价值而体现出来。失去了实用性，也就失去了应用文自身存在的价值。应用文为办事而写，写公务文书是办公事，写私务文书是办私事。

直接的实用性这一本质特征，为应用文提出了特殊的要求，形成了应用文以下几个特征。

2．真实性

主要指应用文内容的真实性。由于应用文是处理事务的文章，它的内容取材必须真实准确，反映社会生活中客观事物本质。不管是公务文书还是私务文书，都应以事实为依据，来筛选写作素材。

应用文的内容的真实性，显然不同于文学创作的“艺术真实”，它必须是一板一眼，容不得半点虚构和夸张。

3．对象明确

主要指应用文读者的特定性。应用文一般都要有较为具体的读者，并且读者还往往是特定的。例如，一份通知要发给具体的对象，一份请示是呈给领导机关，一份合同或一封信函只涉及有关几方。离开了特定读者，超越一定范围，就没有什么意义了。由于读者的特定性，内容就具有针对性，甚至具有保密性。单位与单位、个人与个人的等级、内外界线也就表现得更为明晰。对什么人、哪些单位讲什么话，讲到什么程度，都要有极强的分寸感。文学作品的读者则不那么固定，也无明显的约束力，即想读就读，不想读就拉倒。如小说的读者可以是成年人，也可以是青少年。对于应用文来说，“特定的对象”就意味着有明确的范围，并且对特定的读者具有特定的约束力——非读它不可。例如书信是写给张三的，张三就一定要看。又如《中共中央办公厅国务院办公厅关于解决公司政企不分问题的通知》，各级党政机关和厂矿企业有关人员都要看。至于国家规定的法令条例，任何人都不得违反，人人都要去看。所以，应用文写作一立意——就要考虑读者问题。

4．格式固定

指文本形式、习惯用语和制发程序的规范性。应用文在长期使用过程中，逐渐形成了自己比较规范的文本形式（格式和写法），并且还有某些约定俗成的习惯用语，在制发程序上也有一定的要求，使之成为区别于其他文体的显著特点之一。如书信、合同等都有自己的体式和惯用词语。行政公文、司法文书有的文种，是由权力机关以法规形式对文种格式加以认定，并在其管理范围内普遍遵照执行。《国家行政机关公文处理办法》中对公文格式作了明确规定，个人无权任意更改或不按规定办事，否则，便违反了规定。计划、总结等类的应用文，写法自然可以灵活些，也提倡创新，但不管怎么写，其体式也离不开特定的要求。规范的体式，是应用文长期写作经验的结晶，它便于写作、阅读与处理，有利于提高办事效率以及分类归档和查询等。这种规范性的形成大体上有两个方面的原因，一是“约定俗成”，一是“法定使然”。这种规范性与应用功能、社会效益、工作效率密切相关，是它在形式上的一个突出特性。

5．时效性

严格的现代管理和快节奏的现代生活，要有强烈的效益观念。应用文是为解决已经出现或可能出现的具体问题而写的。因此作为现代化管理手段和交际手段的应用文，必须写得及时，发得及时，办得及时。如果拖拖拉拉，势必降低工作效率，甚至会造成严重的损失。

应用文时效性的另一含义，就是它发挥效力有一定的时间限定。一般说来，按一定的步

骤完成之后或履行完毕，它就失去了效力。

6．简明性

主要是指应用文的语言要求。它要求用最精炼明快的文字准确说明事由，解说事理，陈述办法。现代应用文提倡开门见山，强调长话短说，依据事实加以分析，提出相应的意见、办法、措施，以形成庄重、朴实、明快简练的语言风格。

如：总结是日常生活中常用的应用文体。一个中学生写一篇个人小结似乎是不成问题的，但问题并不那么简单。如一位散文写得不错的同学在学期总结中这样开头：

“逝者如斯夫，不舍昼夜。”转眼之间，花开花落，才见万紫千红，今又瑞雪霏霏，时间如流水悄悄流逝，一学期很快过去了，为了美好的明天，必须总结今天的得失。下面就本学期的学习生活情况作如下总结：（略）

这段文字孤立地看，似乎写得不错，蛮有文采的。但如果把整个总结一读，却感到这个开头与正文很不协调，别扭得很，这是因为它不符合应用文的语体要求。不少学生在写文章时总爱“努力”来一点抒情色彩，但如果不考虑文章是否适合不同的实际功能，适合不同题旨情景的需要，往往显得不得体。

那么应用文语言的简明性主要体现在哪些方面呢？

第一节民生的概念及其内涵第6篇

一．民生、民生思想的提出及其发展

“民生”一词在《左传·宣公十二年》最早被提及，谓之“民生在勤，勤则不匮。”这里的“民”所代指的就是百姓。而《辞海》中把“民生”理解为“人民的生计”，民生之词义带有明显的人文关怀和人本思想。古人云：“为政之道，以厚民为本；治国之道，必先富民。”民生思想的产生发展过程是历史的、发展的、动态的、内容不断丰富的过程，不同的历史发展阶段，不同的阶级统治思想，不同的权利观念势必造就不同的民生思想，产生不同的影响。

我们这里所指的“民生”是指现代意义的民生。现代社会，民生与民主、法治、民权相互倚重，而民生之本也由单一的物质样态转化为包含精神样态在内的综合样态。立足中国特定的国情和实践需求，并结合民生思想的历史发展，现代意义上的民生概念有广义和狭义之分。

（一）广义民生论

凡是同民生有关的，包括直接相关和间接相关的事情都属于民生范围内的事情。对民生的定义要综合看待，不同的学科视野对民生概念的界定存在差异。比如有学者认为，从经济学角度看，民生反映在经济发展中人们的收入、就业、消费等方面，体现为人民群众最关心、最直接、最现实的利益问题。从社会学角度看，民生则是关系到社会各阶层如何和谐相处的问题，民生问题的解决，事关社会的公平正义和长治久安，以及社会制度是否具有先进性。而在政治学的意义上，民生解决好坏则直接体现为我们党执政能力、执政水平是否到位和执政地位是否稳固。因此，民生是对党治国理政水平的检验。①这个概念的优点是充分强调民生问题的高度重要性和高度综合性，但其存在明显的不足，即概念范围太大，其概念几乎可以延伸到经济、社会、政治、文化等任一领域，无所不包，甚至还可以包括历史观方面的问题。由于其自身的缺陷使其不易操作和把握，反倒容易冲①黄家骅:民生问题的研究视角与指向［J］,中共福建省委党校学报,2008.6.淡人们对于直接、切身、具体、真正的民生问题的关注和改善，使民生问题难以同改善民生的具体政策和措施有效地结合起来。

由于广义上的民生概念太大，所包括的内容过于庞大，所涉及的面过于宽泛，同具体政策层面上的民生问题难以吻合，难以把握，所以，在具体政策和实际生活领域，人们一般不使用广义上的民生概念。

（二）狭义民生论

狭义民生论概念主要是从社会层面上着眼的，即谓民生，主要是指民众的基本生存和生活状态，以及民众的基本发展机会、基本发展能力和基本权益保护的状况。诸如有的学者所说：“民生即人民生计，指的是人们基本生存需要得到满足，以及在此基础上不断丰富精神文化生活，追求社会公正与和谐的实现。在其看来，物质需求是精神需求的根基，没有最起码的物质生活和生产条件，精神需求便无从谈起，但如果人们仅仅为了满足物质生活需要而没有更高的追求，人类社会就会发展乏力。因此，人类社会的发展，就是不断解决和改善民生的过程，也是由满足人们的物质需求向精神需求转化的过程，民生贯穿于人类社会发展的始终。”①狭义上的民生概念相对于广义民生论比较准确，也容易把握，容易同具体层面上的民生政策吻合。我们平时所使用的民生概念一般都是狭义的民生概念。

除广义民生论和狭义民生论外，我们还可以从动态民生论与相对民生论去认知民生的概念。

（一）动态民生论

动态民生论主张，民生的状况是随着社会的发展而改变的，对民生概念的界定需要坚持一种动态观。民生是一个历史概念，在不同的社会阶段具有不同的内涵，如在封建社会，人依靠家庭就能够生存和发展；在计划经济时代，人依赖单位就能够生存和发展；在市场经济条件下，人由单位人转变为社会人，人的社会化标①李亚彬:论民生对于中国特色社会主义的意义［J］,马克思主义研究,2008.7.志着人的自由度的增加和个人权力的扩张，因此民生问题的内涵和外延也随着社会经济的发展而随之扩展。在其看来，在当前历史条件下，民生即指最广大人民的福祉，就是人民能够享受的经济社会发展的终端成果，是人民对于发展成果的客观享受和主观体验。①

（二）相对民生论

相对民生论可视为对动态民生论的一个补充，其主张民生不仅是历史演进的，而且在同一阶段的不同社会和区域，民生状况也存在差异，因此，从本质上讲，民生概念是相对的。有学者认为，一定的社会历史背景是理解民生含义的前提，从纵向上看，不同时代有不同的民生含义；从横向上看，不同国家，由于国情有别，民生含义也会有所不同。欧美发达国家经济基础雄厚，社会建设水平高，其民生保障水平自然更高，而我们有自己的具体国情，十几亿人口的生存和发展构成了当前民生问题化解的艰巨任务，因此，我们必须结合自身实际，逐步提高民生保障水平。②

二．民生的内涵

民生问题无论是当前还是将来都有着无限极的意义，它是人的全部生存权和普遍发展权；它是与实现人的生存权利有关的全部需求（即生存条件）和与实现人的发展权利有关的普遍需求（即生活质量）；它是党和政府施政的最高准则。基于此认识和理解民生的内涵是有必要的且是必须的。今天我们所说的民生问题，不仅是物质生活层面，即当年孙中山概括的衣食住行四要素，还包括了精神生活层面的问题，即人民群众的精神文化生活，而这个“文化”，又是涵盖文化、教育、卫生、体育等领域的“大文化”概念。随着社会主义市场经济的不断深入发展及人民需求的日益多样化，我们国家的各种民生问题也在不断放大，从物质到①

②何颖:论政府在民生问题上的职责［J］,攀登,2008.3.郑功成:民生问题为什么如此重要文汇报［N］,文汇报,200.12.6.精神，从原本意义上的“人民的生计”上升为精神文化等生活层面，其内涵和外延也在不断扩展，民生的涵义日益深远。

立足理论和实际的现状，我们可以从以下三个方面进行认知：

（一）民生是民众基本生计状态的底线

民生问题以民众基本的“生存状态”为主要内容，即国家要保证每一个社会成员都享有人之为人所应该具有的权利和尊严，主要包括社会救济、基础性的和最低程度的社会保障、义务教育、基础性的公共卫生、基础性的住房保障。

（二）民生是民众基本的发展机会和发展能力

人不仅要有尊严地生存下去，还要有能力生存下去。这一层面上的民生问题主要侧重民众基本的“生计来源”问题，考虑每一个社会成员“要有能力和机会活下去”的问题，即一个社会在满足了社会成员基本生存问题之后，就应考虑社会成员基本的发展能力和发展机会问题，从而为民众提供基本的发展平台和发展前景，主要内容包括促进充分就业、进行基本的职业培训、消除歧视问题、提供公平合理的社会流动渠道、以及与之相关的基本权益保护问题（如劳动权、财产权、社会事务参与权）。

（三）民生是民众基本生存线以上的社会福利状况

二重积分的Romberg算法第7篇

定积分的复化求积公式虽然比一般的求积公式精度高, 但由于截断误差的先验估计, 在截断误差公式中被积函数各阶导数的最大值往往很难估计, 因而要想根据误差事先确定求积节点个数或步长就很困难。即使得到了各阶导数的最大值, 但如果太保守 (偏大) , 则势必增加节点个数, 从而增加了不必要的计算量。二重积分undefined的数值计算存在着同样的问题, 而Romberg算法采用误差的“事后估计”[1]方法, 刚好避免了这些问题。文章主要是针对x—型区域的二重积分展开讨论的。

2 Romberg算法

对于x—型区域的二重积分

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其中D是由两条连续曲线y=y1 (x) 和y=y2 (x) 以及直线x=a和x=b围成, f (x, y) 是D上的连续函数。根据如下定理:

定理[2]:若f (x, y) 在x—型区域D={ (x, y) |y1 (x) ≤y≤y2 (x) , a≤x≤b}上连续, y1 (x) , y2 (x) 在[a, b]上连续, 则:

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二重积分可化为单次积分来计算。记

F (x) =∫undefinedf (x, y) dy (1)

则有

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即对于二重积分可化为两个单次积分 (1) 和 (2) 。

对于 (1) 式, 设T[n, x]表示将区间[y1 (x) , y2 (x) ]n等份后使用复化梯形公式求得的积分近似函数, 则有

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其中:η1∈ (y1 (x) , y2 (x) ) ,

undefined为步长。

再把每个小区间二等份, 则

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其中:η2∈ (y1 (x) , y2 (x) ) ,

如果fyy (x, y) 在y∈[y1 (x) , y2 (x) ]变化不大, 则fyy (x, η1) ≈fyy (x, η2) 。故有

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解出F (x) 得

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事实上, 我们可以直接验证

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其中 S[n, x]是把[y1 (x) , y2 (x) ]n等分的复化Simpson序列函数, 即T[2n, x]和T[n, x]的线性组合构成了S[n, x], 从而把误差阶提高了, 起到了加速收敛的作用。

对于复化Simpson序列函数, 我们假定fy (4) (x, y) (表示f (x, y) 对y求4阶导数) 在y∈[y1 (x) , y2 (x) ]变化不大, 类似 (3) 的推导, 则有

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对于复化Cotes序列函数, 假设fy (6) (x, y) 在y∈[y1 (x) , y2 (x) ]变化不大, 则有

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其实, S[2n, x]和S[n, x]的线性组合会得到更精确积分近似序列函数, 且有

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即复化Simpson序列函数组合得到了误差阶更高的复化Cotes序列函数。对C[2n, x]与C[n, x]作类似的线性组合, 又得到更精确的积分近似序列函数记为R[n, x], 即

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由 (4) , (5) , (6) 就构成了计算 (1) 的Romberg算法。

其计算过程如下:

<1> 计算 T[2k, x], (k=0, 1, 2, 3, 4) ;

此时可应用公式

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<2> 由 (4) 式计算S[2k, x], (k=0, 1, 2, 3) ;

<3> 由 (5) 式计算C[2k, x], (k=0, 1, 2) ;

<4> 由 (6) 式计算R[2k, x], (k=0, 1) ;

<5> 计算max|R[21, x]-R[20, x]|, x∈[a, b] (此时是一元函数求最值) ;

<6> 如果max|R[21, x]-R[20, x]|≤ε (给定的精度要求) , 则我们令 (1) 中的F (x) =R[21, x];否则将区间再次分半, 再由步骤<4>计算得R[22, x], 并检验是否max|R[22, x]-R[21, x]|≤ε满足, 如不满足, 则继续类似计算, 直到Romberg序列函数前后两项差的绝对值在[a, b]的最大值不超过给定的误差限为止。此时, F (x) 就可以确定了。

下面的任务就是求积分∫baF (x) dx。对于求此积分问题可以直接应用定积分的Romberg算法[3]。我们称下面的{T (n) }, {S (n) }, {C (n) }和{R (n) }分别为把区间[a, b]n等份的梯形序列, Simpson序列, Cotes序列和Romberg序列。

Romberg算法如下步骤进行:

[1] 计算T (2k) , (k=0, 1, 2, 3, 4) ;

此时可应用公式

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[2] 计算S (2k) , (k=0, 1, 2, 3) ;

此时可根据公式

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[3] 计算C (2k) , (k=0, 1, 2) ;

此时可根据公式

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[4] 计算R (2k) , (k=0, 1) ;

此时可根据公式

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[5] 如果|R (21) -R (20) |≤ε (指定的误差要求) , 则输出undefined的近似值R (21) ;否则将区间分半, 再计算R (22) , 并检验|R (22) -R (21) |≤ε是否满足, 如不满足, 则继续类似计算, 直到Romberg序列前后两项差的绝对值不超过给定的误差限为止。

3 算例分析

例:设D是由直线x=0, y=1及y=x围成的区域, 试计算undefined, 要求误差不超过undefined。

此二重积分的准确值为0.125。其积分区域是x—型区域, 故可化为

I=∫undefineddx∫1xxydy

即f (x, y) =xy, F (x) =∫1xf (x, y) dy, 按照2中计算F (x) 的算法, 可得:

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故可取undefined, 所以此二重积分

此时已是计算定积分的问题了, 按照2中所述的算法得计算结果, 见表1。

故可取I的近似值I≈0.125031713。其实从表中可以看出, 算到Simpson序列已经没有误差了, 但后面又有了误差, 这里的误差主要是由计算过程中的舍入误差引起的。

摘要：针对—型区域的二重积Df (x, y) dxdy分给出了误差“事后估计”的Romberg算法。

关键词：二重积分,Romberg算法,事后估计

参考文献