线性代数期中考试试题

线性代数期中考试试题（精选8篇）

线性代数期中考试试题 第1篇

东 北 大 学 考 试 试 卷（A卷）2006-2007学年第2学期课程名称：线性代数

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

为标准形，给出所用的正交变换，并判断该二次型的正定性，给出判别的理由.

线性代数期中考试试题 第2篇

一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。

3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是

，结论是。

4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。

5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。

112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。

A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。

9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。

二、单项选择题（10分，每题2分）

k12k10的充要条件是（）1．2。

（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k3 2.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）

A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关 4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关

5.向量组 1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关

(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示

(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关

三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）

2．A为任意的mn矩阵, 则ATA, AAT都是对称矩阵。（）

3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）

四、计算n阶行列式（12分）

xaaaxaaaxaaaaaaaaaax

223110121(13分)注：A不可逆，修改为 2．解矩阵方程AX=A+X,其中A=232110122

3．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1)，4(3,5,2)的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10分）4．用消元法解下列方程组。（15分）

x1x2x3x41x1x2x3x401xx2x2x12342 

五、证明题（从下列三题中任选两道, 每题5分，共10分）

1．设向量组1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关。（5分）

2．已知向量组,,线性无关，而向量组,,,线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组,,线性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。（5分）

线性代数试题(一)答案

一．(1).n(n1)(2).–12 2xjDJD(3).线性方程组的系数行列式D0；方程组有唯一解且

1231*1A(A2I)A0A4(4).；(5).(6).30，41(7).相关(8).3, 9(9).n(10).234468691281216

rAbrA

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n1[x(n1)a](xa)(1).321X40(2).31230412

(3).极大线性无关组为1,2

312;412(4)全部解为： 12

11TT,0c11,1,0,0c20,0,1,1,0,22(c1 ,c2为任意常数)五．略

线性代数试题及答案

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错癣多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则()

TA.-1 B.C.D.1

2.设 则方程 的根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 则必有()A.B.C.D.4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.设 其中 则矩阵A的秩为()A.0 B.1 C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0 B.2 C.3 D.4

7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知线性方程组 无解，则数a=()A.B.0 C.D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为 则()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则A的3个特征值可能为()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为__转载自百分网http://，请保留此标记________.12.设 则 __________.13.设A是4×3矩阵且 则 __________.14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组 有非零解，且数 则 __________.17.设4元线性方程组 的三个解α1，α2，α3，已知 则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且 则A的全部特征值为__________.19.设矩阵 有一个特征值 对应的特征向量为 则数a=__________.20.设实二次型 已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.设矩阵 其中 均为3维列向量，且 求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组 ，(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1． A是n阶方阵，R，则有AA。（）

111AB0(AB)BA。（）2． A，B是同阶方阵，且，则3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）5．n维向量组

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100100010000020012100(B)010(C)001(D)001（A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,223

12(A2E)（）AA5E03．设A为n阶方阵，且。则

11(AE)(AE)(A)AE(B)EA(C)3(D)3

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012n10。1．n*A13AA2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______。

1021112423421570是线性（填相关或3．向量组，，无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，14241233444，，则方程组Axb的通解为。

231A1a1503，且秩(A)=2，则a=

。5．设

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A342122，求矩阵B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而A，求A。

3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

线性代数期中考试试题 第3篇

初二下学期数学期中考试有这样一道试题:如图1所示, 在△ABC中, DE为△ABC的中位线, EF//AB, 你能说明EF是△ABC的中位线吗?由于笔者批改这道题, 发现有相当一部分学生是这样解答的:

笔者奇怪地是, 为什么这么多学生没有从中位线的定义出发, 而是利用中位线的性质“想当然”地证明中位线呢? (注:本学期并没有补充三角形中位线的逆定理和平行线分线段成比例定理) 。

二、原因分析

笔者经过认真地思考, 认为出现上述情况的原因大概有以下三点:

1) 在新授课中, 教师偏重三角形中位线性质的教学, 而轻三角形中位线概念教学, 致使学生对中位线性质的理解、运用更为深刻。2) 根据苏教版八年级下册教材安排, 三角形的中位线被安排在中心对称图形这一章, 在特殊平行四边形之后, 根据前面的学习, 学生已经初步形成了图形的性质与图形的判定互为逆定理的认知经验 (如平行四边形) , 学生根据这样的认知经验完成了以上的证明。3) 当演绎推理与合情推理发生碰撞时, 学生偏向用合情推理替代演绎推理“蒙混过关”。

三、几点思考

(一) 数学基本概念的教学要变“规定描述”向“引导建构”转变

数学概念是抽象化的空间形式和数量关系, 是反映数学对象本质属性的思维形式。数学概念也是数学基础知识的基础, 对培养学生的逻辑思维和灵活运用知识实现迁移的能力有重要的作用。然而数学概念高度的抽象性和客观性, 常常使得学生无法领悟数学内在的涵义。因此, 数学概念教学常常要化“规定描述”为“引导建构”, 重在学生感悟。

案例1“规定描述”的实录:

(教师出示含有中位线的三角形图形) 。

教师:已知点D、E分别是△ABC两边上的中点, 连接DE, 同学们知道线段DE叫做△ABC的什么线吗?学生 (若有所思) :……

学生1 (可能课前预习过) :中位线。教师:对!我们把线段DE叫做△ABC的中位线。这个概念很重要, 同学们要记住哦!

评析:上述案例, 学生是在被动地接受“三角形中位线”的概念。教师以权威的形象将概念灌输到学生的脑海中, 而且概念的学习缺乏合理的生成基础, 这种让学生记住概念描述, 消化概念内涵的教学方法很容易使学生对数学学习产生负面情绪。

“引导建构”做法尝试: (教师出示△ABC的图形) 。

教师:我们已学过三角形的有关线段, 请同学们在图中画出△ABC的中线。学生 (动手画图中) :……教师:三角形有几条中线?它们是什么点之间的连线?众生:三角形的顶点与对边中点的连线。教师:在图中, 若D、E、F分别是AB、AC、BC中点, 请同学们在图中连结DE、DF、EF。 (稍等片刻, 让学生完成操作) 。教师:这三条线段都是什么点之间的连线?众生:中点之间的连线。教师:这三条线段称为△ABC的中位线。你能否根据刚才的画图, 写出三角形中位线的定义吗?试试看! (学生直接将定义写在练习纸上, 然后交流, 稍等片刻后, 教师让一名学生将定义写在黑板上) 。教师:同学们真是太棒了!自己概括出了三角形中位线的定义。 (教师结合图形强调) 图中的D、E分别是边AB、AC的中点, 则线段DE就是△ABC的中位线。 (稍作停顿, 作思考状) 。教师:同学们, 你所画的三角形中有两种特殊的线段, 你发现了吗?众生:中线、中位线。教师:不错!能说说它们的相同与不同之处吗? (学生思考中) 。学生1:都是线段、都有三条。教师:不同之处呢?学生2:中线是顶点与对边中点的连线, 中位线是两边中点的连线。

评析:改进以后, 教师没有急于发出权威的声音, 而是选择相信学生, 从学生熟知的三角形中线出发, 逐步引导学生通过画图操作, 让学生自己思考建构起“三角形中位线”的概念, 不仅让学生获得了数学知识, 更让学生获得了数学活动经验和数学思考经验。同时, 还顺水推舟式地比较了三角形中线与中位线这两个容易混淆的概念, 真可谓一举多得!

(二) 课堂教学多用追问, 引导学生思维由合情推理向演绎推理转变

数学发现靠的主要是合情推理, 而数学结论的整理主要是靠演绎推理。数学教育家波利亚认为, “演绎推理是确定的, 可靠的;合情推理则带有一定的风险性”。数学课程标准要求“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想, 并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程, 在合情推理与演绎证明之间找到一个适当的平衡点, 避免仅靠操作确认、直观判断的低层次思维。

案例2“直线与圆的位置关系”的教学:

(读题之后, 很多学生大声回答相切) 。

点评:上述案例中的教师在捕捉到学生学习过程中的“差错”后, 并非立即否定学生, 指出其错误, 而是通过不断的追问, 一步步暴露学生的思维漏洞, 利用学生的认知冲突, 让学生自己去探索产生错误的原因, 引导学生从错误的直观判断转向理性的思考, 从而避免出现“蒙混过关”的思维习惯!

(三) 课堂教学善用类比方法, 引导学生思维向“正迁移”转变

美国心里学家奥苏伯尔有意义接受学习理论指出, “只有当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来的时候, 意义学习才发生了”。因此, 在课堂教学中, 影响学生学习的主要因素之一是学生已有的认知结构和知识水平。这就要求教师要配合学生的经验, 针对学生的心智发展水平及认知表征方式, 恰当地组织教材, 以使学生的知识经验能前后衔接, 从而产生正向学习迁移。笔者认为, 课堂教学中类比思想的运用, 恰是实现目的的途径之一。

案例3“四边形内角和定理”的证明教学:

(在教师引导学生连接四边形对角线, 将四边形转化为两个三角形来研究, 解决了该定理的证明之后) 。教师:还有其他方法可以证明这个定理吗? (停顿了一会无人作声) 。教师:同学们是否还记得通过添加平行线来证明三角形内角和为180°?请说说思路。学生1:如图3, 只要过点C作CE//AB, 则有∠1=∠A, ∠2=∠B, 因此, ∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°。教师:好!受此启发, 同学们能够仿照上面这种证明思路来说明四边形的内角和是360°吗?

学生2:能, 如图4, 过点D作DE//AB, DF//BC, 则∠1=∠A, ∠3=∠C, ∠2=∠B, 因此∠A+∠B+∠C+∠ADC=∠1+∠2+∠3+∠ADC=360°。

教师:很好!这种证明方法我们是从三角形内角和等于180°的证明中联想到的, 体现了数学中的一种类比思想, 通过类比三角形来证明四边形的相关性质。

新课程标准指出, 在数学教学活动中, 教师应“注重启发学生积极思考”, “当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者”, “激发学生的学习潜能, 鼓励学生大胆创新与实践”, 因此, 对于一线教师而言, 只有在日常教学实践中不断反思, 才能实现教学思维、方式的有效转变, 才能更好地促进学生学习水平的提高。

摘要：本文从一道期中考试题出发, 对学生答题不理想情况进行剖析, 并结合以往案例反思自己的教学行为, 并提出三点教学行为的“转变”。

关键词：反思,转变,中位线,正迁移

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年) .北京:北京师范大学出版社, 2011.

线性代数期中考试试题 第4篇

关键词：测试系统；考核模式；考试改革；线性代数

考试是督促学生自觉地学习、检查教与学两方面效果的重要方式和手段，也是对学习行为的一种行之有效的导向措施，当然也是区分、发现、选拔人才经常采用的方法。在信息技术条件下如何更有效地发挥考试的功能，是当代教育工作者亟待解决的一个重要课题。我们在这方面做了一些探索。

一、目前的现状

目前大学课程的考核方式有以下三种：(1)平时成绩+期末考试成绩：(2)平时成绩+课程小论文+期末考试成绩：(3)平时成绩+实践成绩+期末考试成绩。平时成绩主要包括上课的出勤率、作业的完成情况、期中考试成绩等，期末考试一般为出卷笔试，可以为闭卷也可以为开卷。平时成绩所占的比重一般为20％(无期中考试)或30％(有期中考试)，期末考试成绩所占比重一般都在50％以上。在课程考核中设置平时成绩的目的就是督促学生平时自觉地学习，期末考试是为了检查教师的教和学生的学这两方面的效果。

上述三种考核方式都含有平时成绩和期末考试成绩，并且所占的权重也最大。因此这三种考核方式都存在以下两方面的缺点：(1)平时成绩的评定有很大的主观性，不能很好地反映学生平时的学习情况，因而不能很好的起到督促学生自觉地学习的目的。有些学生为了做到不缺勤，可以按时到教室来，但来了后不是睡觉就是看其他无关的书，更有甚者玩手机；有些学生平时的作业都是抄别人的，这样他们的平时成绩也会很高，这使得在考核中设置平时成绩的目的落空了。(2)期末考试也存在很多弊端，有些平时根本没有学习的学生，为了过关就想尽各种办法作弊；相当一部分学生平时学习松懈、考前突击准备，这样虽然有些也能通过考试，但他们考完后什么也没学到；现在有些学校为了控制不及格率，要求教师降低试卷的难度，考前复习时缩小复习范围：由于目前的考核方式中期末考试占有很大的比重，基本上是“一锤定音”式的，给学生造成很大的压力，对发挥失常、因为一些特殊原因不能参加考试的学生没有补救的机会。为了克服这些缺点，有些教师做了一些尝试，比如根据课程的特点增加课程小论文，加强实践环节的考核等。但像高等数学、线性代数和概率论与数理统计等这样的公共基础课，目前主要还是以“平时成绩+期末考试成绩”为主的考核方式，其考核方式改革成为一个瓶颈，因此这类课程的考核方式的改革必须寻找新的途径。利用教育技术和信息技术进行考核方式的改革无疑是一个值得去探索的新途径。

二、基于线性代数智能在线测试系统的考试模式

我们的考核方式改革依赖于线性代数智能在线测试系统的功能，为此需对线性代数智能在线测试系统的功能作一简介。

1线性代数智能在线测试系统的功能

本系统以同济四版《线性代数》教材为蓝本进行构架，共六套测试题，分别为第一章行列式、第二章矩阵及其运算、第三章矩阵的初等变换与线性方程组、第四章向量组的线性相关性、第五章相似矩阵及二次型和综合测试题。每套测试题有三种题型：判断题、填空题、计算题，每种题型有5道试题，每套测试题共15道试题。判断题主要测试基本概念、基本方法和主要的结论；填空题主要测试基本方法和重要的结论，计算量较小；计算题主要测试知识的综合运用能力，计算量较大。每道试题均有完整的解答过程。

本系统具有以下功能和特点：

(1)强大的统计功能。系统能统计当前注册用户数，当前在线人数：查询每个人每章的测试成绩和所用时间：查询每个班级每章的测试成绩和每个知识点的得分情况并计算出相应的平均成绩；能计算每个人所有章节的测试成绩的加权平均成绩，并打印输出，教师可把该成绩以一定的比率记入总评成绩。借助这个功能，任课教师可即时了解全班每个学生的学习情况，全班整体学习情况；院系领导可方便地全面掌握所有教师的教学情况和所有学生的学习情况。

(2)不需试题库的支持。本系统中没有现成的试题和解答，所有试题和解答都是由计算机现场生成。从理论上讲，本系统中有无穷道试题。在一般的试题库系统中，试题和解答都是由人工完成后再输入计算机，系统对试题和解答只起组织和管理作用，系统出完试卷后，其任务也就结束了，而本系统能对考试进行全程控制。

(3)题型丰富。系统中每套测试题有三种题型：判断题、填空题、计算题。判断题主要测试基本概念、基本方法和主要的结论；填空题主要测试基本方法和重要的结论，其中的计算题的计算量较小；计算题主要测试知识的综合运用能力，计算量较大。而‘般的测试系统只有客观题(判断题、选择题)没有主观题，所以很难达到测试的目标。

(4)每个人每次的试题均不相同，参加测试的所有人的试题各不相同，但所有人的试题难度相同，这样一可以做到公平，使测试成绩具有可比性，二可以避免作弊。这是目前任何其他测试系统所不能做到的。由于每个人每次的试题均不相同，所以每章的测试一个人可以反复做多次，直到满意为止。年轻人好胜心强，表现在学习上一是挑战自我，__二是超过同学。本系统的这一功能就为学生提供了一个挑战自我和超过同学的平台。一个学生如果第一次测试只得了50分，他通过学习后，再测试一次得了70分，这样他就会有一种战胜自我的满足感，也获得了学习的自信心，从而产生取得更高分的欲望。而一般的网络课程中的测试系统，试题是固定不变的，每次的试题完全相同，学生做了一次后就不想再做第二次，因而无法做到这一点。

(5)系统能进行自动评卷，并进行分析，指出各知识点的掌握情况。在一般的试题库系统中，阅卷和统计分析工作只能由人工来完成，因此在一次考试的出卷、阅卷、登分和各种统计分析等环节中，计算机只能完成出卷的工作，这使得考试的大量工作还得由人工来完成，这正是目前的考核方式中，不能让学生申请多次考试的原因。而借助本系统可轻松地完成一次考试。

(6)系统能对参加测试的所有人的测试情况进行综合分析，指出全班同学对该章各知识点的掌握情况，这样教师就可及时掌握全班的学习情况，为教师的教学提供参考。

(7)系统能记录每人每次测试的成绩，教师可把这些测试成绩作为平时成绩的主要依据。

(8)学生提交成绩后，可点击每道试题后的“解答”按钮，查看该题的解答过程。在每道题的解答过程之前，系统给出了该题所涉及的所有知识点，以及本题所用到的知识点，因而学生在这里可实现自主学习。

2基于测试系统的考核模式

线性代数试题三 第5篇

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．排列53142的逆序数τ（53142）=（）A．7

B．6 C．5

D．4 2．下列等式中正确的是（）A．AB2A2ABBAB2

B．ABTATBT

C．AB　ABA2B2

D．A23AA3A 3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（）A．k|A|

B．|k||A| C．kn|A|

D．|k|n|A| 4．设n阶方阵A满足A20，则必有（）A．AE不可逆

B．AE可逆 C．A可逆

D．A0

a11a12a13x1y15．设Aa21a22a23，Xx2，Yy2，则关系式（）a31a32a3333

xyx1a11y1a21y2＋a31y

3x2a12y1a22y2＋a32y3

x3a13y1a23y2＋a33y3的矩阵表示形式是

A．XAY

B．XATY

C．XYA

D．XYTA 6．若向量组（Ⅰ）：1,2,,r可由向量组（Ⅱ）：1,2,,s线性表示，则必有（A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）

B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）C．r≤s

D．r>s 7．设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（A．

B．12 C．122

D．

31222 5 8．设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（）A．A1也是正交矩阵

B．A*也是正交矩阵 C．AB也是正交矩阵

D．AB也是正交矩阵 9．下列二次型中，秩为2的二次型是（）A．2x

21B．x2x21424x1x2 C．x1x2

D．x221x2＋2x2x3

110．已知矩阵A00011，则二次型xTAx（）

112A．x2212x22x1x22x2x3

B．x2222x32x1x32x2x3

C．x22x2232x1x32x2x3

D．x2212x32x1x32x2x3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知A，B为n阶矩阵，A=2，B=－3，则ATB1=_________________.））线性代数B第三套练习题及答案

1112．已知2 ,1，E是3阶单位矩阵，则＝_________________.3013．若1,2线性无关，而1,2,3线性相关，则向量组1,22,33的一个最大线性无关组为_________________.14．若向量组11,0,1　,22,2,3　,31,3,t线性无关，则t应满足条件_________________.15．设1,2,3是方程组Ax0的基础解系，则向量组1,2,3的秩为_________________.16．设11,2,2,1，21,1,5,3，则1与2的内积（1,2）＝________________.TTa11x1017．设齐次线性方程组1a1x2＝0的解空间的维数是2，则a＝______________.11ax0322218．若实二次型fx1,x2,x3x14x2x32tx1x2正定，则t的取值范围是_________________.219．实二次型fx1,x2,x3x12x2x3的正惯性指数p＝_________________.20．设A为n阶方阵，A0，若A有特征值λ，则A*必有特征值_________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

2100121021．计算行列式D.01210012x1x2322．设实数x1,x2,y1,y2满足条件34y123．求向量组

250＝510，求x1及x2.y22123

14，21，33，45

0122 的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.24．给定齐次线性方程组

x1x2x3x40,

x1x2x3x40，xxxx0.2341（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？（2）当λ＝1时，求方程组的通解.100125．设矩阵A230，求A*.35626．设向量11,2,1和21,1,2T都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量T12，求A2.32027．设矩阵A230，求正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵.00222228．设二次型fx1,x2,x32x13x23x32ax1x22bx2x3经正交变换xQy化为标准形222，求a，b的值.fy12y25y

3四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）29．设A为3阶实对称矩阵，且A20.证明：A0.线性代数B第三套练习题及答案

a1130．已知矩阵Aa21a31a12a22a32a11x1a12x2a13a13a23可逆，证明线性方程组a21x1a22x2a23无解.axaxaa3332233311

线性代数B第三套练习题及答案

线性代数B第三套练习题及答案

线性代数B第三套练习题及答案

线性代数考试要点 第6篇

1、行列式（要求只要是4阶的行列式会求）

（1）会利用行列式的定义来计算行列式（包括逆序数的求法）；

（2）会利用行列式的性质来计算行列式；

（3）利用按行、列展开公式来求解行列式，包括按行、列展开公式的应用。

（4）会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。

2、向量

（1）向量的基本运算；

（2）会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质；（证明题与选择题）

（3）会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质；（计算题）

（4）利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组；

（5）会判别一个集合是否会向量空间。

3、矩阵

（1）会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质；

（2）会求给定矩阵（3阶）的逆矩阵；

（3）给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵；

（4）掌握逆矩阵的性质；

（5）掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用；

（6）会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。

4、线性方程组

（1）会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组（不带末知参数的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的应用。（选择题或判断题）

（3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质（主要是选择题与判断题）。

5、相似矩阵及二次型

（1）给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量；

（2）给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵)；

（3）掌握特征值的性质；

（4）掌握相似矩阵的性质；

（5）掌握正交矩阵的性质；

（6）掌握矩阵可以对角化的几个性质；

（7）给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵；或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型；（填空题）

（8）会用配方法化二次型为标准型。

以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题（10分）、选择题（15分）、填空题（15分）、简答题（60分），其中简答题中包括证明题。

线性代数试题4 第7篇

一、1． √ 2． × 3.× 4． × 5． √

二、1.D 2.D 3．B 4.C 5.D

三、1．-5 2．-36 O3．B2AO1O=1A12B。O14． 2 5． |A1|3=164。

6． R(A*B*)= 1 7．a12

8．(1,2,1)T。9．y12y22 10． tn

四、1．

解：问题转化为方程组求解问题

x1x2x312x1(a2)x2(b2)x33 3ax(a2b)x323

增广矩阵

1A201a23a1b2a2b1130031a01bab11 0（1）a0时,(若b=0则R(A)1,R(A)2,若b0则R(A)2,R(A)3)方程组无解，即不能用1,2,3线性表示

（2）a0,ab0时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解，即可由1,2,3唯一地表示，求表示式：

1A001a01bab1101001a0001110100010011a10a 101(11)2 1aa

（3）a0,ab0时，R(A)R(A)2，可由1,2,3表示，但表示式不惟一，求表示式：

1A001a01a011010001011a11a 0001(11)(k)2k3 1aa 其中k为任意常数。

2．解：(1)由题意

2422T1211112 1211T的特征方程为

4222110，即2(6)0 211所求特征值为0,0,6

0时，特征向量(x1,x2,x3)T满足方程

422x02111x2211x0 30

得0对应的特征向量(0,1,1)T,(1,1,1)T 同理得6对应的特征向量(2,1,1)T

（2）取正交阵

12036Q111236 1112360得QTTQ0 6

3.解：(1)设R3中自然基为1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1)

4

则

123121321233001123123314521116故

121313212333711231452111612273947120124198基1,2,3到1,2,3的过渡矩阵为：

坐标变换公式：

这里

P127P947120124198y1x11y2Px2yx33139719131018146329945

（2）向量2123在基1,2,3下的坐标为：

（3）向量12243在基1,2,3下的坐标为：

五、139719131018141156632109286499427947120124125891118112证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组 ax2by3c0bx2cy3a0

有解 cx2ay3b0a2b2c2a3c1bcaca0 b故 R(A)R(A)bc1bcac3a0(abc)13b1由于11a1[(ba)(cb)(ac)]0 2b222所以abc0

充分性：abc0b(ac)所以ab2b2c2(acb)2[ac(ac)][ac(ac)]0

22222R(A)R(A)2,因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0

线性代数期中考试试题 第8篇

2011年的高考已经过去, 我们发现2011年高考数学线性规划在考查常规套路的同时也不乏有一些亮点, 线性规划为高中数学平添了无穷的生机和活力, 下面结合一些省市的线性规划试题进行赏析和评点, 最后再谈些我个人的思考.

一、选择题

1. (浙江理科5) 设实数x, y满足不等式组若x, y为整数, 则3x+4y的最小值是 ( ) .

A.14 B.16

C.7 D.19

解 作出可行域, 点A (3, 1) 不在可行域内, 利用网格易知点 (4, 1) 符合条件, 故3x+4y的最小值是3×4+4×1=16.

评析 本小题考查线性规划知识及数形结合思想的应用, 而且跳出了一般的可行域封闭和点在可行域边界取值的常规套路.

2. (福建理科8) 已知O是坐标原点, 点A (-1, 1) , 若点M (x, y) 为平面区域上的一个动点, 则$\overrightarrow{\text{Ο}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{Ο}\text{Μ}}$的取值范围是 ( ) .

A.[-1, 0] B.[0, 1]

C.[0, 2] D.[-1, 2]

解 作出可行域, $\overrightarrow{\text{Ο}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{Ο}\text{Μ}}=-\text{x}+\text{y}$, 设z=-x+y, 作l0:x-y=0, 易知过点 (1, 1) 时有zmax=-1+1=0, 过点 (0, 2) 时, zmin=0+2=2.

评析 本小题考查简单的线性规划和向量的数量积等知识, 还考查了数形结合及转化思想的应用, 体现了考查知识的交汇, 更注重能力的考查, 有一定的创新.

3. (安徽理科4) 设变量x, y满足|x|+|y|≤1, 则x+2y的最大值和最小值分别为 ( ) .

A.1, -1 B.2, -2

C.1, -2 D.2, -1

解 |x|+|y|≤1如图中阴影部分表示:

设z=x+2y, 作l0:x+2y=0, 把l0向右上、左下平移, 易知当l过点 (0, 1) 时, zmax=0+2×1=2;当l过点 (0, -1) 时, zmin=0+2× (-1) =-2.

评析 本小题考查了绝对值不等式和线性规划知识, 考查了作图能力和转化能力.

4. (湖南理科7) 设m>1, 在约束条件下, 目标函数z=x+my的最大值小于2, 则m的取值范围为 ( ) .

$\begin{array}{l}A.(1,1+\sqrt{2})B.(1+\sqrt{2},+\infty )\\ C.(1,3)D.(3,+\infty )\end{array}$

解析 画出可行域, 将目标函数化为斜截式$\text{y}=-\frac{1}{\text{m}}\text{x}+\frac{\text{z}}{\text{m}}$, 可以看出当目标函数过

$\{\begin{array}{l}\text{y}=\text{m}\text{x}\\ \text{x}+\text{y}=1\end{array}$

交点时取最大值, 解得交点坐标$\left(\frac{1}{\text{m}+1},\frac{\text{m}}{\text{m}+1}\right)$, 代入目标函数得$\text{z}{}_{max}=\frac{1+\text{m}{}^2}{\text{m}+1}$, 即可知z=x+5y在点$\left(\frac{1}{1+\text{m}},\frac{\text{m}}{1+\text{m}}\right)$取最大值, 由$\frac{1}{1+\text{m}}+\frac{\text{m}{}^2}{1+\text{m}}<2$, 解得$1<\text{m}<\sqrt{2}+1.$

评析 本小题考查了线性规划求最值, 主要考查了学生用数形结合思想解决含参数问题的能力.

5. (广东理科5) 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

$\{\begin{array}{l}0\le \text{x}\le \sqrt{2}\\ \text{y}\le 2\\ \text{x}\le \sqrt{2}\text{y}\end{array}$

给定.若M (x, y) 为D上的动点, 点A的坐标为$(\sqrt{2},1)$, 则$\text{z}=\overrightarrow{\text{Ο}\text{Μ}}\cdot \overrightarrow{\text{Ο}\text{Ν}}$的最大值为 ( ) .

$A.4\sqrt{2}B.3\sqrt{2}$

C.4 D.3

解 由线性约束条件, 画出可行域, 所求为目标函数$\text{z}=\sqrt{2}\text{x}+\text{y}‚\text{y}=-\sqrt{2}\text{x}+\text{z}$, 当图像过点$(\sqrt{2},2)$时, z取最大值, 将点$(\sqrt{2},2)$代入$\text{z}=\sqrt{2}\text{x}+\text{y}$, 得zmax=4.

评析 本小题考查学生线性规划, 考查作图和运算求解能力, 解决线性规划问题首先要作出可行域, 若为封闭区域, 则区域中的某个点的坐标使目标函数取最大或最小值.

二、填空题

1. (课标全国卷理13) 若变量x, y满足约束条件

$\{\begin{array}{l}3\le 2\text{x}+\text{y}\le 9,\\ 6\le \text{x}-\text{y}\le 9,\end{array}$

则z=x+2y的最小值为____.

解 由已知, 作出可行域, 易知直线z=x+2y过下面交点时, z有最小值.

$\begin{array}{l}\text{由}\{\begin{array}{l}\text{x}-\text{y}=9,\\ 2\text{x}+\text{y}=3,\end{array}\text{解}\text{得}\{\begin{array}{l}\text{x}=4,\\ \text{y}=-5.\end{array}\\ \text{z}{}_{min}=4+2\times (-5)=-6.\end{array}$

评析 本小题考查利用线性规划知识求最优解的问题, 同时考查数形结合思想, 求解的关键是准确作出可行域, 确定出最小值点.

2. (上海文科9) 若变量x, y满足条件

$\{\begin{array}{l}3\text{x}-\text{y}\le 0,\\ \text{x}-3\text{y}+5\ge 0‚\end{array}$

则z=x+y的最大值为____.

解 作出可行域, 即知在

$\{\begin{array}{l}3\text{x}-\text{y}=0\\ \text{x}-3\text{y}+5=0\end{array}$

交点处取最大值, 解方程组

$\{\begin{array}{l}3\text{x}-\text{y}=0,\\ \text{x}-3\text{y}+5=0,\end{array}$

得

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\text{x}=\frac{5}{8}.\\ \text{y}=\frac{15}{8}.\end{array}\\ \therefore \text{z}{}_{max}=\frac{5}{8}+\frac{15}{8}=\frac{5}{2}.\end{array}$

评析 本小题考查简单的线性规划问题, 正确作出可行域是求解的关键.

三、一些思考

线性规划内涵深, 外延广, 作为选拔性考试的高考, 在一定程度的兼顾的要求下, 考查的可能是解题的常规套路, 对于挖掘和创新线性规划中的约束条件、可行域和目标函数这三个要素, 还可以更深入一些, 应该考出线性规划知识的渗透力和综合性, 甚至提炼成为解决问题的思想.

多年来, 对线性规划问题的考查, 已形成较为固定的模式, 即由二元不等式组给出可行域, 该可行域一般是封闭的多边形, 求形如μ=ax+by的取值范围、最值或求具有明显几何意义的量, 如斜率、距离等.

“题型教学”强调类型识别, 固化解题规则, 淡化学生思维的真正参与, 导致学生能力难有实质的提高.对于熟悉的题型只要产生本能的反应, 而对不熟悉的题型很难作出具体问题具体分析, 最终把鲜活的富有挑战性的数学解题智能沦为以牢固记忆、熟悉模仿为主要特征的解题程序.2011年部分省市数学高考线性规划考查立意较低, 虽有亮点但还是步子小了一些, 比如可以将自然离散数列化归为整点问题合情合理地转移到线性规划中, 一些求最值的问题, 表面上与线性规划无关, 合理巧妙换元线性关系就显现出来了.作为运筹学的一部分的线性规划也是在解决众多优化问题的过程中发展起来的, 还可以和一些数学应用题很好地结合起来考查, 让我们的选拔性考试更有能力立意.

数学高考作为课改的一部分, 理应发挥“素质教育”的强力导向, 使数学教学早日摆脱“题海题型”的羁绊, 使学生真正深刻理解知识、理解和掌握思想方法, 从而形成真正的解题能力, 学生素质的可持续发展才有可能.毕竟, 面向未来是教育永恒的主题.