求极限注意的问题

求极限注意的问题（精选6篇）

求极限注意的问题 第1篇

求极限时应注意的问题：

几个无理函数的极限：

几个“”型的极限：

几个含有三角函数的极限：

几个幂指函数的极限：

等价无穷小在极限中的应用：

极限存在准则在求极限中的应用：

极限中的变量替换：

某些极限在进行了变量替换之后较容易求出。

分段函数的极限

分段函数的连续性

分段函数的导数

分段函数的积分

1.根的存在性证明

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2.确定根的个数

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1.用单调性与最值证明不等式

2.用拉格朗日中值定理证明不等式

3.用柯西中值定理证明不等式

4.用泰勒公式证明不等式

求极限注意的问题 第2篇

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

求极限注意的问题 第3篇

一、洛必达法则内容

洛必达法则是一种简便而重要的方法, 它是由17 世纪法国人洛必达提出的, 共包含了两个定理:

定理1 若

(1) 当x→x0时, 函数f (x) 与F (x) 都趋于零;

(2) 在点x0的左右近旁 (点x0可以除外) , f′ (x) 与F′ (x) 都存在, 且F′ (x) ≠ 0;

定理2 若

(1) 当x→x0时, 函数f (x) 与F (x) 都趋于无穷大;

(2) 在点x0的左右近旁 (点x0可以除外) , f′ (x) 与F′ (x) 都存在, 且F′ (x) ≠ 0;

(3) 存在 (或为无穷大) ,

当x→∞ 时, 上述法则同样适用.

二、洛必达法则应用时常见问题举例

1. 及时处理函数. 应用洛必达法则, 首先需要判断所对应的问题类型.计算求导前, 我们需要准确判断函数f (x) 与F (x) 的变化趋势, 适时预处理函数, 并注意对使用法则后的函数进行通分或者约分从而继续应用法则.

这类型的问题提示我们, 求函数极限需要注意结合不同方法来共同解决问题. 某些问题直接应用洛必达法则可能运算并非最简便, 需要注意结合其他方法求解.只有做到细致观察, 认真检查函数状况, 确认了洛必达法则使用条件我们才能合理使用洛必达法则解决函数极限计算问题.

从洛必达法则的定理内容分析, 我们使用该法则计算极限时需要注意使用条件, 确认求导前后函数的极限情况.特别地, 我们在连续使用洛必达法则时要注意多次检验.即在使用洛必达法则之后, 所得极限仍满足法则的条件, 则可以连续使用洛必达法则, 否则不能继续使用此法则. 在每一次应用洛必达法则时, 只要做到认真检查条件, 稍加注意就能避免犯错.

两类几何体求值问题的极限解法 第4篇

1 求取值的范围

在求几何体某些基本量的取值范围时，可循变化的趋势和范围，确定两个极限点，然后求出相应的值.

例1 正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α,则α的取值范围是(）

A.(0，π)B.(0,π3)

C.(π3，π2）D.(π3,π)

解析 如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点，S看作动点，当OS→0时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π;当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π3. 故有α∈(π3,π). 选D.

同法可以推证正n棱锥相邻两个侧面所成角的范围是((n-2)nπ,π).

例2 正三棱锥P-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是PA、PB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是(）

A.(0，+∞)B.(33a²,+∞)

C.(36a²,+∞)D.(12a²,+∞)

解析 如图，易证明四边形EFGH为平行四边形.O为底面正三角形ABC的中心，PO为三棱锥的高，同例1，当OP→0时，平行四边形EFGH趋近于平行四边形E1F1GH(E1、F1分别是AO、BO的中点），易求平行四边形E1F1GH的面积为33a²，此时平行四边形EFGH的面积S→33a²;当OP→∞时，易知平行四边形EFGH的面积S→+∞,故选B.

例3 如图所示，三棱锥S-ABC中，底面三角形ABC是边为a的正三角形，且SB=SC=a,则SA的长度的取值范围是多少？

解析 SA的长度由二面角S-BC-A的大小来决定.当二面角S-BC-A趋向于O，即S→A,此时SA→0；当二面角S-BC-A趋向于π时，三棱锥趋向菱形ABCS.此时SA为菱形的对角线，长度为3a，即SA→3a. 所以SA的长度的取值范围是(0，3a).

2 求定值

当几何体中某些基本量变化，但不影响所求几何量仍为确定值时，可通过取一个极限点得解.

例4 已知正四棱锥S-ABCD相邻两侧面所成二面角的大小为α,侧面与底面所成二面角的大小为β，则2cosα+cos2β的值为.

解析 如图所示，O为底面中心，SO为正四棱锥的高.当OS→∞时，正四棱锥趋向于正四棱柱，此时α→π2,β→π2,则2cosα+cos2β→2cosπ2+cosπ=-1. 所以2cosα+cos2β的值为-1.也可由OS→0，此时α→π,β→0来求.

例5 若P是正四面体内一点，则点P到各面距离之和等于(）

A.正四面体的棱长

B.正四面体的斜高

C.正四面体的高

D.正四面体相对棱的距离

解析 可取正四面体的顶点为点P的极限点，顶点到各面距离之和就是顶点到底面距离，即为高.因而P到各面距离之和为正四面体的高.选C.

例6 正三棱锥A-BCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值是(）

A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析 因为动点E、F的位置变化，不改变α+β的值.可考虑当λ→0时，E→A,F→C,即EF→AC.因为AC⊥BD，所以α→0,β→π2,即α+β→π2. 故选D.

例7 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为(）

A.16V B.14V C.13V D.12V

解 将P、Q置于特殊位置：P→A，Q→C1，此时仍满足条件PA=QC1(=0），易算得：V瑽-APQC=V瑽-ACC1=13V.故选C.

综上所述，遵循变量变化的规律与趋势，取变量为其中的极限状态，可以巧妙求出上述两类几何体的取值范围与定值问题.迅速、利落地解决选择、填空题问题.在平时课堂教学中，教师要不断渗透这种数学的思想与方法，不仅可提高学生的解题速度和解题能力，而且对学生的数学素养的提高也是大有裨益.

函数求极限的方法总结 第5篇

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

求函数极限的常用方法 第6篇

袁得芝

函数极限是描述当x→x0或x→∞时函数的变化趋势，求函数极限，常用函数极限的四则运算法则和两个重要结论limnnlim1xx0，0.涉及到单侧极限与nxx0xx

双侧极限的关系问题时，一般运用两个命题：limlimlimf(x)f(x)af(x)axxx和limlimlimf(x)f(x)af(x)a予以解决。现就常见题型及解xxxxx00

法举例如下：

1、分子分母均是x的多项式时，x∞的极限，分式呈现“”型

lima0alxklak例1 求极限（其中ai、bi）为与x无关的常数，k、l、xb0xlblxllbk

为整数且(a0≠b0≠0).a0b(当lk)

0

解：原式=0(当l＞)

不存在(当l＜)

注：本例的一般性结论是：若分子、分母中的x的最高次幂相同时，则极限等于它们的最高次项的系数比；若分子中x的最高次幂低于分母中x的最高次幂则极限为零；反之极限不存在。

2、分子分母都是x的多项式时，x→x0的极限，分式呈现“0”型 0

x21lim例2，求极限 2x12xx

1解：limx21

x12x2x1

lim(x1)(x1)x1(2x1)(x1)limx12。x12x1

3注：因lim

xx0f(x)a，这是从x趋向x0的无限变化过程来看f(x)的变化趋

势的，它对于x0是否属于函数f(x)的定义域不作要求，故求解此类题目常采用分解因式，再约去公因式，使之能运用法则求极限的方法。

3、含有根式的一类式予，由x的变化趋势，呈“∞→∞”型

例3．求极限：lim(x21x24x)。x

lim解：(x21x24x)x

lim14x xx21x24x

14lim2。x142xx

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函数的极限，求参数的范围

例4：已知：limax2bx

1x1x13，求a、b.解：当x=1时分母为零，故ax2+bx+1中必有x-1这样的因式，由多项式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式为ax+a+b，余式为a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴limax2bx

1x1x1lim(x1)(axab)x1x1

lim(axab)2ab。x1

∴2a+b=3②

ab10解方程组

2ab3① ②

a4可得

b

5注：这是一个已知函数极限要确定函数解析式的逆向思维问题，应灵活使用运算法则。

5、涉及单侧极限与双侧极限的问题

例5．求函数f(x)=1+

限。|x1|在x=-1处的左右极限，并说明在x=-1处是否有极x1

limlimx1解：f(x)(1)2，x1x1x1

limlim(x1)f(x)(1)0 x1x1x1

limlim∵f(x)f(x)，x1x1

∵f（x）在x=-1处的极限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)af(x)f(x)a的直接应用。xx0xx0xx0