全国一卷高考理科数学

全国一卷高考理科数学（精选8篇）

全国一卷高考理科数学 第1篇

2022全国一卷高考数学试题及答案

离散型随机变量的均值与方差

1.解题路线图

(1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。

(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。

2.构建答题模板

①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。

③定型：确定事件的概率模型和计算公式。

④计算：计算随机变量取每一个值的概率。

⑤列表：列出分布列。

⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。

数学选择题怎么答

1、排除:

排除方法是根据问题和相关知识你就知道你肯定不选择这一项,因此只剩下正确的选项.如果不能立即获得正确的选项,但是你们还是要对自己的需求都是要对这些有应的标准,提高解决问题的精度.注意去除这种方式还是一种解答这种大麻烦的好方式,也是解决选择问题的常用方法.

2、特殊值法:

也就是说,根据标题中的条件,择选出来这种独特的方式还有知道他们,耳膜的内容关键都是要进行测量.在你使用这种方式答题的时候,你还是要看看这些方式都是有很多的要求会符合,你可以好好计算.

3、通过推测和测量,可以得到直接观测或结果:

近年来,人们经常用这种方法来探索高考题中问题的规律性.这类问题的主要解决方法是采用不完整的归类方式,通过实验、猜测、试错验证、总结、归纳等过程,使问题得以解决.

高考数学答题注意事项

数学的情况比较复杂，有的高三学生，数学成绩忽上忽下的，是因为在考试过程中遇到一个难题，不小心陷进去，还不想出来。这样容易影响后面的答题质量，甚至把简单的题都写错。

同学们需要记住：真正高考的时候，不要想着把数学卷写完，而是尽量把会的题目做对!

全国一卷高考理科数学 第2篇

试题解读：

稳字当头，坚定学生作答信心

试卷坚持情理之中、意料之“内”的原则，便于学生发挥，使学生感到学有所得，从而能够以平静而积极的心态作答;坚持公平原则，把考查重点放在学生的语文能力和素养上，确保疫情防控常态化下的高考平稳进行。

1.稳预期，符合学生对试题的期待

试卷结构稳定。全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷试卷结构与一致，试题模块依次为论述类文本阅读、实用类文本阅读、文学类文本阅读、文言文阅读、古代诗歌阅读、名篇名句默写、语言文字运用、写作。新高考I卷、II卷试卷结构与新高考适应性测试一致，试题模块依次为现代文阅读I、现代文阅读II、文言文阅读、古代诗歌阅读、名篇名句默写、语言文字运用、写作。

考查内容与教学内容相符。全国I、II、III卷的考查内容依据上一版语文课程标准，新高考I、II卷考查内容遵照四省《级普通高中语文教学指导意见》的要求。以名篇名句默写试题为例，全国I卷考查的诗句出自《离骚》《琵琶行》《水调歌头(明月几时有)》，全国II卷考查的诗句出自《荀子·劝学》《醉翁亭记》《赤壁赋》，全国III卷出自《论语·述而》《观刈麦》《阿房宫赋》，均为上一版语文课程标准推荐的背诵篇目;新高考I卷考查的诗句出自《论语·先进》《一剪梅(红藕香残玉簟秋)》《菩萨蛮(郁孤台下清江水)》，新高考II卷考查的诗句出自《诗经·秦风·无衣》《登岳阳楼》《六国论》，均为四省《2017级普通高中语文教学指导意见》推荐的背诵篇目。

2.稳难度，利于学生正常发挥

试题从素材选取、试题设计等方面综合把控难度，使其与学生总体作答能力水平相当，让学生都能发挥出应有水平。

精选背景熟悉的材料。一是在选取试题阅读材料时，将所涉内容是否在学生熟悉的范围、学生生活中能否接触到作为重要的衡量标准。以论述类文本为例：全国I卷的材料主题是“孝”的内涵形成及历史演变，文章中提到的家庭伦理问题与每一位学生都息息相关;全国III卷的材料对《古文观止》备受读者欢迎的原因进行分析，条理清楚，而《古文观止》为广大学生所熟悉，其中有多篇选文是初高中教材必修篇目。北京卷作文“一条信息”取材贴近时代、贴近社会、贴近学生实际，审题难度不大，但富有思考层次。二是不回避热点话题。以写作试题为例，疫情防控、人类命运共同体等都是备考过程中普遍关注的热点，这些内容都纳入了高考作文命题的范围，学生对此不陌生。三是日常生活入题。以语言文字运用试题为例，语料话题分别是有氧运动、噪音、食物消化、电子阅读、风筝等，均取自学生熟悉的生活情境。

试题平实，有延续性。试题平易朴实，立意明显，指向清晰。以古代诗歌阅读的问答题为例，或者问诗歌所表达的思想感情，或者问诗歌阐述的道理，均着眼于诗歌最突出的特点、最基础的内容。考点和题型更多体现延续性。全国I、II、III卷考点和题型与20保持一致，新高考I、II卷的考点和题型对标新高考适应性测试，并根据调研反馈进行了合理调整。

3.稳情绪，照顾学生的考场心情

语文试题的命制依托于各种类型的语言文字材料，而材料、特别是文学性材料的情感取向不可避免地会对学生答题时的情绪产生一些影响。材料选择强调情感中正平和，色彩明快清新，对于学生来说，亲切友好、乐观积极。以文学类文本阅读为例，全国I卷的《越野滑雪》讲述的是普通年轻人对运动的热爱，对生活的激情，全国II卷《书匠》刻画的是普通匠人对职业道德的坚守，全国III卷《记忆里的光》探讨的是普通劳动者对信仰的追求，新高考I卷《建水记》呈现的是普通市井生活中的诗意，新高考II卷《大师》表达的是普通家庭日常生活中体现的亲情。这些普通人的工作、生活、情感，对于广大青少年、特别是刚刚和全国人民一起经历了疫情防控的青少年来说，既是亲切的，也是弥足珍贵的。再以古代诗歌阅读为例，所选唐诗或表达对生病朋友美好的祝福，或表达对即将分离的朋友的不舍，所选宋诗探讨读书、学诗、育才的方式方法，均健康向上。

全国一卷高考理科数学 第3篇

例.[2012年全国高考大纲卷理科数学第 (22) 题 (本小题满分12分) ]函数f (x) =x2-2x-3, 定义数列{xn}如下:x1=2, xn+1是过两点P (4, 5) 、Qn (xn, f (xn) ) 的直线PQn与x轴交点的横坐标。

(1) 证明:2≤xn<xn+1<3;

(2) 求数列{xn}的通项公式。

考查目标:本题考查递推数列的意义、等比数列的概念、数列的通项公式、数学归纳法的应用, 综合考查考生运用数列知识进行运算求解和推理论证的能力。

试题评价:试题不落俗套, 大胆创新, 没有直接给出数列{xn}的递推关系, 而是巧妙地以过两点P (4, 5) 、Qn (xn, f (xn) ) 的直线PQn与x轴交点的横坐标给出{xn}相邻两项之间的关系。第 (1) 问中, 要求证明不等式, 实际上是证明数列{xn}的增减性和取值范围, 根据题设条件, 只能用数学归纳法解决问题。同时, 归纳法也为第 (2) 问求数列{xn}的通项公式奠定了基础。与以往的求递推数列的通项公式的试题相比, 该题没有给出辅助数列, 对于所求数列的通项完全需要充分发挥考生的主观能动性, 这也是本题一大亮点所在。这是近十年高考数列通项公式的最高要求, 看似超出了中学教学要求的范围, 实际上正是新课程改革理念中所倡导的实践精神和创新意识的体现, 这也是专家的匠心独在。该题对高考选拔高素质的创新人才具有很好的检测功能。

思考:高考备考不是一朝一夕的事。打好高考这一硬仗, 与平时扎实有效的学习是分不开的, 十年寒窗, 功到自然成。仔细分析今年的高考数列解答题, 如果剥去该题的外壳, 我们还有似曾相识的感觉, 那就是2010年高考全国卷一理科数学最后一道压轴题:

(2) 求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围。

如果把上边例题中的第 (1) 问和第 (2) 问的设问顺序换一下, 在解答时就可以按照常规思维, 且求数列{xn}的通项公式时考生就可以联想类比2010年的这道考题, 并且可以借鉴其解法做如下变式:

2012年全国高考大纲卷 (22) 题变式:函数f (x) =x2-2x-3。定义数列{xn}如下:x1=2, xn+1是过两点P (4, 5) 、Qn (xn, f (xn) ) 的直线PQn与x轴交点的横坐标。

(1) 求数列{xn}的通项公式;

(2) 证明:2≤xn<xn+1<3。

解题思路: (1) 先由已知条件得出数列{xn}的相邻两项之间的关系, 再通过巧妙构造新数列, 化归转化成我们熟悉的等比数列, 进而求出数列{xn}的通项公式。 (2) 既可以利用第 (1) 问数列{xn}的通项公式的结论, 利用数列的通项公式证明其单调性, 确定范围;也可以应用数学归纳法证明。

解题过程:

(2) 从数列{xn}通项公式出发, 证明数列{xn}的单调性, 并确定xn及范围xn+1的范围。

全国一卷高考理科数学 第4篇

审题（1）1.1，题设是含有参数的恒等式，求出解析式需确定f（0）和f ′（1）.适当的两次变量赋值得两个方程联立求解，正确得出解析式也为下一步解题开辟蹊径.

解析：（1）令x=0，f（0）=f ′（1）e-1?圯f ′（1）=ef（0）.f ′（x）=f ′（1）ex-1-f（0）+x，令x=1，f ′（1）=f ′（1）-f（0）+1?圯f（0）=1，∴f ′（1）=e， ∴f（x）=ex-x+■x2.

点评：恒等式用任意数赋值理论上都是成立的，求出参数f（0）和f ′（1）方向.若直接令x=1极易进入一个误区.出现多余的f（1）的问题，但明确的是要列出关于f（0）和f ′（1）的方程.先对函数求导再赋值，是应变能力的牛刀小试.

审题（1）1.2，单调性若不能由函数定义和基本函数单调性运算法则来确定，就得由导函数方程零点左右的正负的特征来确定.

解析：（1）f ′（x）=ex-1+x，设y1=ex-1，y2=x，f ′（x）=y1+y2（如图1） .

y1′（0）=1，y2′（0）=1且y1（0）=0，y2（0）=0.y1与y2在（0，0）处相切.

即f ′（x）=0?圯x=0.

且当x∈（-∞，0），f ′（x）=y1+y2＜0，f（x）■；x∈（0，+∞），

f ′（x）=y1+y2＞0，f（x）?襖.

点评：ex-1+x=0是超越方程，在教材中是借助计算机用二分法可求函数零点的近似解.若试估算值三次以上，用不完全归纳得出结论有失数学的严谨.否则，束手无策.事实上，若直观和抽象结合的原则成为教学的常态，应用函数的基本性质，可以迅速、准确得出解及两侧正负形态，单调性由然而出.但给出的标准答案都没有得出根据，导数数量特征是单调性的直接根据，零点及左右正负的推理结论是判定单调性的前题，从而成为必要环节.粗心和回避不是数学应有的品质.

审题（2）1.1，题设是经验过的不等式恒成立的形式，若h（x）=ex-（a+1）x存在极小值，则是由a表达的，从而可建立a与b的不等关系式，但如何能构造出（a+1）b及其本身的意义不能先觉.只能沿着对参数a，b限制并分类的方向讨论.可得到解题的操作方法.

解析：（2）（方法1）略.

小结：由抽象到抽象是数学认可的方法，难也可贵.从解题实践层面能操作，摸着石头过河也是值得的探索，浪费时间是不可避免.

审题（2）1.2，由题设可直接整理成ex≥（a+1）x+b形式，这是曲线和切线关系的基本函数不等式，如图2.

y3=ex切线是直线系y4=（a+1）x+b中b最大的形态.（a+1），b本身的意义是斜率和截距，因此，写出切线方程，用待定系数法.可获取（a+1）b是关于切点的函数表达式.

解析：（2）（方法2）设（x0，y0）是y3=ex上的切点，则切线y=■x+（1-x0）■（（a+1）b）max=（■（1-x0）■）max.设k（x0）=■（1-x0）.令ｋ′（x0）=0?圯x0=■.

由ｋ′（x0）=■（-2x0+1）图像.在x0=■两侧左正、右负.ｋ（x0）max=k（■）＝■e.即：（（a+1）b）max=■e.

点评：虽然两种解法殊途同归，难易和繁简程度各不相同.一切理念的过程和形态都源于直观形态.如果数形结合成为教学实践层面的常态.对一些试值费时、推理费力的题目，可以化腐朽为神奇.

例1． 当x∈（0，2）时，证明：ln（x+1）+■-1＜■.

解析：设y1=ln（x+1），y2=■.y1、y2在（0，0）处的切线为y3=x，y4=■x+1，∴y1y2是凸函数，x∈（0，2）时y1＜y3，y2＜y4.

若x+■x+1-1＜■?圯ln（x+1）+■-1<■.

即：1＜■. ∵x∈（-1，+∞）时，设：y=■ ■ .

∴x∈（0，2），y ■ ， ∴y∈（■，4）.

∴ln（x+1）+■-1<■.

小结：对数式和无理式转化为整式，同时用曲线与切线放大的原因是h（x）=■在x∈[0，2]时增得较快，而k（x）=ln（x+1）+■-1增长较慢，且有相同的零起点.正是心中有图，化生为熟.当然，心中有量，放缩得当.否则，放缩有风险.

例2． 已知点P在曲线在y=■上，?琢为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?琢的取值范围是（　　）

Ａ. [0，■） B. [■，■） Ｃ. （■，■] D. [■，?仔）

解析：由图像y1=ex+1.作图像y2=■，y=4y2，如图3.

由■+■=4，且y为减函数.当x→+∞或x→-∞时，y′→0，?琢→?仔.当x=0时，y′=-1，?琢min=■.选D.

小结：作倒数图像主要是用函数性质和分数的性质，而不是大量描点.发现曲线y是关于点（0，2）的中心对称图形.因此，由特征点和性质做出图像到洞察结论可以用秒来计量.

点评：对于数形紧密结合的题目来说，积极主动用图诱发数与式的关系，具有穿透力，解题简捷容易.简单解法体现了对数学本身内在要求真正理解和常态解题实践的应验.

（作者单位：辽宁省大连开发区大治学校）

全国一卷高考理科数学 第5篇

数学答题技巧

掌握答题规律

有些考生书写没条理，卷面涂改太多，阅卷老师甚至找不到答案在哪里，这样就很容易被错判。有些考生在没有把握的情况下，就把已作答的内容划掉，其实还有得分点，这是很可惜的。有些考生解答题不写出关键步骤，或分类讨论最后不总结，虽然答案对了，但没踩到得分点，仍会被扣分。

有时前面的结论对后面的解法有提示或暗示作用，考生要抓住这样的机会。在解答题中，后一题有时要用到前一题的结论，这时考生即使前一题不会做，也可以把它作已知，先做后一题。

遇到困难的问题，一个聪明做法是将它们分解为一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，每进行一步都可能得分，这叫大题拿小分。

中低档题是大多数学生的主要得分点，考试时的主要精力要用在这些题上。那些难题对不少考生来说，即使带回家也不一定做得出，因此要学会放弃，有所不为才能有所为。

数学考场答题要注意什么

1、答题先易后难

原则上应从前往后答题，因为在考题的设计中一般都是按照先易后难的顺序设计的。先答简单、易做的题，有助于缓解紧张情绪，同时也避免因会做的题目没有做完而造成的失分。如果在实际答卷中确有个别知识点遗忘可以“跳”过去，先做后面的题。

2、答卷仔细审题稳中求进

最简单的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。考试时间对于大多数学生来说，答题时间比较紧，尤其是最后两道题占用的时间较多，很多考生检查的时间较少。所以得分的高低往往取决于第一次的答题上。另外，像解方程、求函数解析式等题应先检查再向后做。

高中数学解题有效方法

一、数形结合法

数形结合法主要是指将题目中的数量关系转化为图形，或者将图形转化为数量关系，从而将抽象的结构和形式转化为具体简单的数量关系，帮助我们更好解决数学问题。

高中数学题目对我们的逻辑思维、空间思维以及转换思维都有着较高要求，其具有较强的推证性和融合性，所以我们在解决高中数学题目时，必须严谨推导各种数量关系。很多高中题目都并不是单纯的数量关系题，其还涉及到空间概念和其他概念，所以我们可以利用数形结合法理清题目中的各种数量关系，从而有效解决各种数学问题。

二、排除解题法

排除解题法主要用于缩小答案范围，从而简化我们的解题步骤，提高接替效率，这样方法具有较高的准确率。

全国一卷高考理科数学 第6篇

参考答案：

1、C

2、D

3、B

4、C

5、B

6、D

7、A

8、C

9、D

10、D

11、A

12、A

13、7

14、240

15、

16、②③

17、

18、

19、

20、

21、

22、

全国一卷高考理科数学 第7篇

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（）

A．

B．

C．

D．

2.设集合，．若，则（）

A．

B．

C．

D．

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D．

5.设，满足约束条件，则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种

B．18种

C．24种

D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）

A．2

B．3

C．4

D．5

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2

B．

C．

D．

10.已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

11.若是函数的极值点，则的极小值为（）

A.B.C.D.1

12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）

A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．

14.函数（）的最大值是．

15.等差数列的前项和为，，则．

16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）的内角的对边分别为,已知．

(1)求

(2)若,面积为2,求

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100

个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

（1）

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2）

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）

根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.（1）证明：直线平面PAB

（2）点M在棱PC

上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值

20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)

求点P的轨迹方程；

(2)

设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数且.（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A

10.C

11.A

12.B

二、填空题

13.1.96

14.1

15.16.6

三、解答题

17.解：

（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以b=2

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”

由题意知

旧养殖法的箱产量低于的频率为

故的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于的频率为

故的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量

箱产量

旧养殖法

新养殖法

由于

故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

．

19.解：

（1）取中点，连结，．

因为为的中点，所以，由得，又

所以．四边形为平行四边形，．

又，故

（2）

由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则，，,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设

由①，②得

所以M，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为

20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,由得

因为M（x0,y0）在C上，所以

因此点P的轨迹方程为

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则，由得，又由（1）知，故

3+3m-tn=0

所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解：

（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

22.解：

（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知

由得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为

（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是△OAB面积

当时，S取得最大值

所以△OAB面积的最大值为

23.解：

（1）

（2）因为

全国一卷高考理科数学 第8篇

已知椭圆上两个不同的点A, B关于直线y=mx+1/2对称.

(Ⅰ) 求实数m的取值范围;

(Ⅱ) 求△AOB面积的最大值 (O为坐标原点) .

2 解法初探

解法1 (Ⅰ) 设椭圆x2+2y2=2 上两点A (x1, y1) , B (x2, y2) 关于直线y=mx+1/2对称, AB的中点为M (xM, yM) , 显然m≠0, 则由题设可知

由 (1) - (2) 并结合点关于线对称的基本知识 (垂直而且平分) 整理可得

另一方面我们又有

于是联立 (3) , (4) 可得

即椭圆上的线段AB与其垂直平分线y=mx+1/2的交轨点为M (-1/m, -1/2) , 由题设可知, 交轨点M (-1/m, -1/2) 应落在椭圆x2+2y2=2的内部, 故有

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得AB之中点M (-1/m, -1/2) , 故AB的方程可写成

与椭圆方程x2+2y2=2联立并消去x可得

根据两点间距离公式并结合韦达定理可得

其中Δy和a分别是 (5) 方程的判别式和二次项系数.

根据点到直线的距离公式计算并整理可得原点到直线AB的距离

所以

由 (Ⅰ) 可知m2>2/3, 故1/m2∈ (0, 3/2) , 所以结合二次函数知识可知当时, S△AOB达到最大值.

解法2具体请参阅文[1], 这里从略.

解法3前面与解法2一致, 由 (Ⅰ) 得,

在 (Ⅰ) 的基础上应用韦达定理得

故有

当且仅当时, S△AOB达到最大值.

3解后反思

3.1 解题思路剖析

人们常说, 思路决定出路, 解题亦一样, 就原题而言, 单从思路上分析, 第 (Ⅰ) 问的关键是构建出一个关于参变量m的不等式, 进而解出这个不等式, 以获得m的取值范围.其具体途径可有如下3条:

①设出A (xA, yA) , 求出点A关于直线y=mx+1/2的对称点B (xB, yB) , 根据点B仍然应落在椭圆x2+2y2=2上获得一个方程, 利用方程有解的条件布列出关于m的不等式 (这其中有4个参变量xA, yA, xB, yB;4个方程, 需要消去其中的3个) .

②直接设AB的方程为y=- (1/m) x+t, 与椭圆方程x2+2y2=2联立方程组消去y (或x) 并整理得到一个关于x (或y) 的一元二次方程, 利用方程有解的条件布列出关于m的不等式以达到解题之目的 (其中需要利用垂直平分这一点关于线对称的几何性质消去参数t, 可得.

③设A (xA, yA) , B (xB, yB) , AB之中点M (xM, yM) , 采用点差法设而不求, 并用交轨法的思想去用包含m的式子表示出交轨点M的坐标 (-/1m, -1/2) , 最后利用点M (-1/m, -1/2) 应落在椭圆x2+2y2=2内部布列出关于m的不等式达到解题目的, 如解法1.

第 (Ⅱ) 问, 其关键是建立起S△AOB关于m的函数关系式, 然后求出它在实际定义域上的最大值, 其具体途径可有如下3条:

①设AB的方程为y= - (1/m) x+t, 与椭圆方程x2+2y2=2联立方程组并消去y得到一个关于x的一元二次方程, 利用韦达定理与点到直线的距离公式写出与dO-AB关于m的计算表达式, 用面积计算公式S△AOB=1/2·|AB|·dO-AB得出S关于m的函数关系式进而求出S的最大值 (这其中t要用m来表示) .

②前面与①一样, 最后利用面积计算公式S△AOB=1/2·|t|·|xA-xB|得出S关于m函数关系式达到解题之目的 (其中t是直线AB的纵截距) .

③直接设AB的方程为y+1/2=-1/m (x+1/m) 并与椭圆方程x2+2y2=2联立方程组并消去x得到一个关于y的一元二次方程, 利用韦达定理与点到直线的距离公式写出与dO-AB关于m的计算表达式, 然后用S△AOB=1/2·|AB|·dO-AB得出S关于m的函数表达式, 进而求出S的最大值, 如解法1.

3.2 考生在解答原题过程中的常见困难及其成因分析

据对部分考生们的回访可知, 考生们在解答原题的过程中, 正是因为:①缺乏对根式与含绝对值式子的基本处理技巧与运算变形能力, 导致弦长|AB|及dO-AB等计算量很大且运算繁琐, 得不出S关于m的正确函数表达式, 从而抓不住S随m变化的规律;②缺乏对新变量1/m2=m-2的整体换元意识, 导致在具体求解S关于m的函数最值时不知如何转化为熟悉的一元二次函数的最值问题用整体配方法加以求解, 从而导致解题中断, 不能进行彻底.

3.3 原题再探

原题从几何直观上看, 直线l:y=mx+1/2必过定点N (0, 1/2) , 如果m已经固定, 那么椭圆x2+2y2=2上被直线l:y=mx+1/2垂直平分的弦AB的位置也将被固定, 即其弦长|AB|及dO-AB等也将被固定, 此时S△AOB的值也被唯一确定;因此, 随着m的变化, 椭圆x2+2y2=2上被直线l:y=mx+1/2垂直平分的弦AB也随着移动, 那么其弦长|AB|及dO-AB等也都会随之而变化, 进而S△AOB也会随之而变化;事实上, 原题从代数微观的视角看, 当直线l:y=mx+1/2按逆时针方向绕着定点N (0, 1/2) 从的起始位置割过椭圆直至的终止位置的这一整个过程中, S△AOB随m变化的单调情况可以分成如下两大阶段:

①当上时, S△AOB呈递增变化;当上时, S△AOB呈递减变化, 并且在的临界位置上达到最大值.

②当上时, S△AOB呈递增变化;当上时, S△AOB呈递减变化, 并且在的临界位置上达到最大值.

从以上这些S△AOB关于m的变化规律的分析中, 我们不仅能体会到代数思想在几何问题中的应用, 特别是函数思想与坐标思想在几何曲线上运动与变化问题中应用的优越性, 更能体现出她们的魅力;同时本题中也能体会到椭圆的对称美.对于原题中的椭圆x2+2y2=2还可作如下一些问题的探究:

1°椭圆上斜率为-1/m的平行弦的中点轨迹 (直线mx-2y=0位于椭圆内部分) ;

2° 椭圆被直线l:y=mx+1/2截得的弦的中点轨迹 (曲线x2+2y2-y=0位于椭圆内部分) ;

3° 椭圆上长度为2的弦的中点的轨迹 (曲线x4+6x2y2+8y4-4y2=0位于椭圆内部分) .

其中详细解答过程留于读者进行, 具体可参阅文[2].

4 教学启示与建议

针对考生在解答高考试题过程中所暴露出来的诸多问题, 反思我们平时的教学, 或许能得到一些对我们有帮助的启示与建议.据笔者统计, 2009年-2014年浙江高考理科卷第21题均为解析几何中的圆锥曲线, 并且大多考查椭圆 (除2011年是考查抛物线与圆以外) , 今年由于考查的题型结构有所变化, 位置变成了第19题, 但考查的内容基本没变, 仍然考查直线与圆锥曲线间位置关系的综合, 结合了面积与最值问题进行综合考查;在解题过程中, 需要学生熟练掌握方程组的基本数学思想方法以及直线被圆锥曲线所截得的弦长的基本计算方法, 对韦达定理的使用, 交点存在性的判定, 不等式的解法都有较高要求, 思路简单但计算量大, 容易出错;在最值问题的处理中, 又通常结合一元二次函数来进行考查, 还需要进行换元处理, 难度更大一些, 鉴于上述笔者对圆锥曲线部分的考查情况和答题情况的一些统计和梳理, 拟对2016届高三备考复习及平时的教学过程中提两点建议:①继续加强基本数学思想方法 (如函数与方程、坐标法、方程组思想、数形结合等) 的渗透教学, 同时也要加强对数与式的基本变形与运算能力的训练, 特别是对含有根式、绝对值、指数、对数等的式子的基本处理技巧与运算变形的能力培养, 继续夯实基础;②继续加强函数模型的构造与应用教学, 重点突出函数观的树立与培养, 特别是一元二次函数 (或一元二次方程) , 尤其是对初三刚进入高中的高一学生来说尤为关键, 为作好初高中的衔接, 可以先让学生熟练掌握韦达定理与因式分解后再加强一些二次函数综合问题的训练.

参考文献

[1]《浙江考试》 (高考学考版) , 2015年普通高等学校招生统一考试浙江数学理科试题参考答案:26-27.