立方体体积范文

立方体体积范文（精选14篇）

立方体体积 第1篇

认识体积和容积的教学设计

醴陵市阳三石小学

江仲池

【教学内容】人教版小学数学五年级下册认识长方体的“体积与容积”

【教材分析】

本节课的内容是《体积与容积》的学习。这节课的学习是在学生认识了长方体和正方体的特点以及长方体和正方体的表面积的基础上进行的，这一内容是进一步学习体积的计算方法等知识的基础，也是发展学生空间观念的重要载体。本节课的教学重点是体积和容积的认识.本节课的教学难点是感知体积和容积以及体积和容积的区别与联系。

【学生分析】

这节课的学习是在学生认识了长方体和正方体的特点以及长方体和正方体的表面积的基础上进行的。学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。为了培养孩子的空间观念，我将视野拓宽到生活的空间，重视现实世界中有关体积和容积的问题，把它们作为教学的基础。学生在他们生活中已经积累了许多关于体积和容积的经验，教学应从学生熟悉的实物出发，通过学生自己的活动，增强学生的感性认识。学生学习时可能遇到的疑问是：体积和容积差不多呀，怎么分呢？测量体积是不是从物体的外围量，而容积是不是从容器的里面量呢？

【学习目标】

1．知识与技能

理解体积、容积的意义。

2．过程与方法

①通过具体的实验活动，了解体积和容积的实际含义，初步理解体积和容积的概念。

②在操作、交流中，感受物体体积的大小，发展空间观念。

3．情感态度价值观：关注学生学习兴趣，让学生在快乐中学习数学，培养学生学习数学的兴趣。

【教学过程】

一、探究新知：

（一）认识体积：

1、比一比，感知物体有大小。

师：在我们生活的空间里有很多的物体，看今天老师给同学们带来了什么物体？（示两个大小不等的盒子），哪个盒子比较大？哪个盒子比较小？（生回答）

师：谁能说说生活中哪些物体比较大？哪些物体比较小？ 师从盒子里拿出一个凉薯和一个土豆。

师：老师手中有一个凉薯和一个土豆，看一下哪个大？（学生猜）

师：看来用眼睛看很难做出准确的判断，想想看能用什么办法解决？

2、师：看来大家好像遇到困难了，老师给大家播放一个故事，看大家能不能从中受到一点启发？ 课件播放乌鸦喝水的故事。

（课件示）师：观看了“乌鸦喝水”的片断后，从数学的角度来看，你知道了什么？你想到了什么？（课件示结论）：这说明石头占有一定的空间。

3、师：土豆和凉薯是不是也占有一定的空间呢？哪一个占的空间大呢？我们可以做个实验来证明：

① 从箱子里取出大小相同的量杯，在杯中倒入同样多的水。② 将土豆和凉薯分别放在两个量杯里。

师：请大家仔细观察，两个杯子的水面分别发生了什么变化？（生：水面上升了）

师：先请大家独立思考下面的问题，再与同桌交流自已的想法。（课件示）：先独立思考，再与同桌交流：

1、水面上升说明了什么？

2、凉薯和土豆谁占的空间大？你怎么知道的？ ③ 全班交流：

师：从刚才的实验中，我们知道了凉薯和土豆都占有一定的空间，而且它们占空间的大小是不一样了，其实，所有的物体都占有一定的空间。

你能举出生活中一些物体占有空间的例子吗？（学生举例）

师小结：像这样物体所占空间的大小，我们就叫做这个物体的体积。板书定义。

（二）认识容积

1.做一做 感知容积的意义

（1）认识容器

过渡语，师：刚才我们认识体积的时候借助了一些教具做实验，江老师带来了那么多的教具，它们都是放在哪里呢？（盒子里）师：对，像量杯，纸箱这样能装东西的器具，我们叫做容器。（板书：容器）

说一说，你还知道哪些容器？（学生举例）

请你再说说，哪些容器装的东西多，哪些容器装的东西少？（学生举例，师生评价）

（2）师过渡：你们都说得很好，我这有一个碗和一个杯子，猜一猜，哪一个容器装的水多？（学生猜）

老师想请大家帮一个忙，你们能帮老师设计一个实验解决这个问题吗？

下面请大家分学习小组讨论：

课件示：设计一个实验，比较杯子和碗哪个容器装的水多？ 学生展示，教师选择一种方法做实验。

（3）归纳容积概念

刚刚我们通过做实验知道了碗装的水比杯子装的水多，我们就说碗的容积比杯子的容积大。那什么是容积呢？说说你是怎么理解的？学生展示

师揭示容积的概念：容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。

2.议一议，加深对容积理解

（课件示）（1）举例说明：茶叶罐里装满了茶叶，它所能容纳茶叶的体积，就是它的容积。你能从生活中举例，也像这样说一说吗？

（2）辨析：

①师：你们刚才所举的例子，都说明了容器的容积，下面请看江老师的演示：倒半杯水，这时候所装的水量是不是杯子的容积？（生答）

再演示：倒满。问：这样倒满水呢？（生答）师：对，此时杯子所容纳的最大容量才是杯子的容积。②师出示两个空瓶（一大一小）：哪个容器的容积大？ 然后给两个瓶子装上水（大瓶少，小瓶多）：哪个容器的容积大？（生答）

师小结：比较容器容积的大小，不能只看装了多少东西，而要比较装满后谁装的东西多。

（三）容积和体积的练习：

师：今天我们认识了“体积”和“容积”。下面我们来做一些练习。（课件示）

1、基础题：（）是体积。

（）是容积。

2、应用题：

判断：一个木箱的体积说是它的容积。（）选择题：一个冰箱的体积（）它的容积。

A 大于

B 小于

C 等于

3、拓展题：用枚数相等的硬币分别垒成下面的形状，哪个体积大，为什么？

4、思考题：小红和小明各有一瓶同样多的饮料，小明倒了3杯，而小红倒了2杯。你认为有可能吗？为什么？

（四）评价体验：今天这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？对体积和容积的知识，你还想知道什么？

立方体体积 第2篇

教学过程就是学生实现认知目标的过程，在这个过程中，给学生思维空间，给学生自主探索的机会，让学生多维多向思考，同时实现师生互动，也就遵循了学生的认知规律，使学生获得了最佳的认知效果。

通过本节课的教学，我认识将主动权还给学生的必要性，这样更能让学生充分体会到学习的乐趣，并能使他们获得成就感。教学是课堂创新和开发的过程，在以后的教学中，()需要我付出更多的心血来激发学生的潜能。

有好的方面，但仍有许多不足，下面就我上的这一节课存在的问题从以下几个方面自评一下。

第一、课件设计还不够完美。如：在关闭flash课件的主页面后，出示幻灯片时应设计一个封面，这样就自然些，而不会显得太突然，而我却将一个封面删取了；还有我后面还设计了一个拓展性的题就是利用长方体和正方体组成的一个动画机器人，让同学们想一想如何知道它的体积，并且还有分解后的图。这道题按我原来的设计是个很能调动学生积极性的题。但时间计划不周这道题没有出示出来，深感遗憾！

第二、教学过程中细心程度不够，有些慌。在随意展示学生填好的表时没有先认真看一下，结果出现学生在长、宽、高数值后面带的单位是cm3而不是cm。

立方体体积 第3篇

1.通过知识整理, 让学生了解知识间的内在联系。

2.联系生活实际, 灵活运用本单元知识解决问题, 让学生明确解题要选择正确的数据和合适的方法。

3.体验与感悟基本的数学思想方法, 积累数学学习经验。

【教学过程】

一、梳理知识, 构建体系

师:今天我们复习长方体、正方体的体积和容积 (出示课题) 。首先梳理一下体积与容积的主要知识点。谁来把自己梳理的跟大家汇报一下?

生汇报:

师:容积常用的单位是什么?

生:升和毫升。

师:升和毫升是计量液体常用的单位, 除了升和毫升还有别的单位吗?

生:计量容积一般还用体积单位, 还有立方米、立方分米、立方厘米。

师:同意吗?

生:同意。

(设计意图:通过之前的学习, 大部分学生认为容积单位就是升和毫升, 这里唤醒学生计量容积一般用体积单位立方厘米、立方分米、立方米, 只有在计量液体的时候用升和毫升)

师:这么多单位, 你知道它们之间的进率吗?

生:它们之间的进率是1000。

生:不对, 相邻两个单位之间的进率是1000。

师:能具体说说吗?

生:立方米到立方分米进率是1000, 立方分米到立方厘米进率是1000, 升到毫升进率也是1000。

师:上下两组单位之间有联系吗?

生:1立方分米等于1升, 1立方厘米等于1毫升。师出示:

师:下面我们就围绕这几个知识点来解决一些实际问题, 有没有信心把它做对?

生:有。

(设计意图:通过简单的图表, 把立方厘米、立方分米、立方米、升、毫升这些相邻单位的进率及它们之间的关系进行系统的梳理, 让学生明白单位之间内在的联系, 也便于学生记忆)

二、合理分析, 掌握策略

师:在我们的生活中, 碰到这样一个问题:有一个容器, 它的体积相当于容积, 你认为对吗?为什么?

材料厚1厘米

生:不一样, 因为容器有厚度, 容积比体积小。

生:不一样, 这个容器的体积大, 容积小。体积是整个物体所占的空间, 是算外面的, 容积是容器容纳物体的多少, 是算里面的。

师:为什么材料有厚度就容积比体积小呢?

生:因为材料也占了一定的空间。

师:噢, 也就是说我们在算容积的时候是测量容器里面的数据, 算体积的时候是测量外面的数据, 是这样吗?

生:是的。

师:现在我给你数据, 你能算出这个容器的体积和容积吗? (出示:长、宽、高和材料厚度)

生独立计算并反馈。

体积:V=abh

=4×4×12=192 (立方厘米)

容积:V=abh

=3×3×11=99 (立方厘米)

师:同意吗?

生:体积对的。算容积的时候, 长和宽应该是2厘米, 高是10厘米, 因为要去掉材料的厚度。所以是2×2×11=44 (立方厘米) 。

师:长、宽怎么会是2厘米的呢?

生:左右两边都要减去材料的厚度, 所以是2厘米, 而高只要减去底部1厘米就够了。 (生上台指着投影比划)

师:体积算对的请举手 (全班全对) , 容积算对的请举手 (三分之二的学生对) , 你们错在哪里?

生:方法对的, 数据分析错了。

师:所以做题的时候要选择方法, 还要仔细分析数据。接下去再做2题, 这回要仔细分析数据了。

师出示题目, 生独立完成。

(1) 如果将32立方厘米的水倒入这个容器中, 这时水面的高度是多少厘米?

(2) 把这样的容器装在长12厘米、宽8厘米、高24厘米的盒子里, 这个盒子最多能装几个这样的容器?

师:谁来说说, 你的算式是怎样的?

生:第 (1) 题, 我的算式为h=v÷a÷b, 32÷2÷2=8 (厘米) 。

生:我的算式不一样。h=v÷s, 32÷ (2×2) =8 (厘米) 。

师:还会选择不同的思想方法解题, 真不错, 你们同意吗?

生:同意。

(设计意图:通过比较容器的体积和容积, 让学生进一步明确体积、容积的概念, 真正知道“计算容积是测量容器里面的数据, 计算体积是测量容器外面的数据”的原因。既培养了学生数据的分析能力, 又复习了求体积、容积的计算方法)

师:谁来说说第 (2) 题?

生:第 (2) 题先求盒子的容积, 再求容器的体积, 然后大体积除以小体积。算式为 (12×8×24) ÷ (4×4×12) =12 (个) 。

师:讲得非常好, 还有别的方法吗?

生 (思考一会儿, 近10个学生举起了手) :还可以这样算: (12÷4) × (8÷4) × (24÷12) 。

师:你能说说意思吗?

生:12÷4就是盒子里横着放几个容器, 8÷4是表示盒子里可以放几排, 24÷12就是可以放几层。

师:你们理解他的意思吗?我们一起来看一下。 (师课件演示图1, 帮助学生理解)

师:你们比较喜欢哪种方法?为什么?

生:我喜欢第二种方法, 因为第二种算起来简便。

师:如果我把第 (2) 题题目中的24改成26, 请你选择喜欢的方法做一做。

出示题目:把这样的容器装在长12厘米、宽8厘米、高26厘米的盒子里, 这个盒子最多能装几个这样的容器?

生独立完成, 部分学生开始议论, 第二种方法除不尽的。

师:谁来把计算方法说一说?

生:我选择第一种方法。 (12×8×26) ÷ (4×4×12) =13 (个) 。

师:同意吗?

生:同意。

师:有没有用第二种方法的?

生:第二种方法除不尽。

师:是吗, 我们来看一下。 (12÷4) × (8÷4) × (26÷12) , 是啊, 26÷12除不尽。按照道理两种方法算出来的答案是一样的, 你们认为呢?现在怎么会出现两种答案? (生思考)

生:我认为第一种方法 (12×8×26) ÷ (4×4×12) =13 (个) , 是错的, 因为把多余的空间都算进去了。

生:是的, 因为多出了2厘米, 这点空间是放不进一个的, 应该用第二种方法做。

生:我也认为第二种方法对, 尽管除不尽, 我们可以保留整数26÷12≈2 (层) , 26厘米只能放两层, 所以还是3×2×2=12 (个) 。

师:你们回答得真好。我们再来看图1。 (边演示边说多出2厘米高的空间正好是一个容器的体积) 所以, 一共也只能装12个。

师:通过刚才的练习, 我们知道了在解题思路正确的前提下, 我们不光要选择正确的数据, 还要选择合适的方法。

(设计意图:通过对比练习, 培养学生如何分析数据、选择数据和选择正确的计算方法, 学生经过多次的尝试, 体会解决问题不光要选择正确的数据, 还要选择合适的方法)

三、拓展思维, 贯通脉络

师:刚才我们复习了长方体、正方体的体积与容积, 你能用学过的知识来求这个三棱柱的体积吗?请你说一说解题思路 (见图2) 。

生:用一个一样的立体图形, 拼一个大长方体再除以2。 (师板书:V=a×b×h÷2)

师电脑演示图3。

生:把这个物体从中间截开, 再拼成一个长方体, 长方体的长就是a的一半, 所以V=a÷2×b×h。

生:可以用底面积乘高来计算。

师:你的知识真丰富, 你们知道吗?我们一起来验证下。请看黑板上的两个公式。我给它变一下:

师:其实不光是三棱柱的体积可以用底面积乘高来计算, 四棱柱、五棱柱……今后学的圆柱都可以用这个公式来计算体积。

师:其实求这个三棱柱的体积还有一种方法, 我们书本上有, 打开找找看。

生:排水法。

师出示题目:将三棱柱放入长20cm、宽10cm的水箱后, 水面上升了0.6cm且水没有溢出, 这个三棱柱的体积是多少?

生:排开水的长方体体积等于三棱柱的体积。20×10×0.6=120 (立方厘米) 。

师 (演示方法) :这个方法主要是测量不规则物体的体积, 比如石头、土豆……

师:刚才, 同学们想出了很多办法求出了这个三棱柱的体积, 其实在解题的过程中我们都用了一个转化的思想方法, 把新的知识通过转化成为学过的知识来解决了新的问题。这种方法在今后的数学学习中经常要用到。

(设计意图:用已经学过的知识求三棱柱的体积, 拓展学生思维, 渗透数学思想方法, 提高了解决实践问题的能力。通过推导底面积乘高的方法求体积, 让学生把所学知识与未学知识串联起来, 构建数学知识体系)

师:今天我们复习了长方体、正方体的体积与容积, 有收获吗?

……

四、独立作业, 查漏补缺

1. 填上合适的体积 (容积) 单位

(1) 一台冰箱体积约180 ()

(2) 游泳池容积约7200 ()

(3) 微波炉体积约18 ()

(4) 一个月用了约8 () 自来水

2. 填空

3. 解决问题

(1) 一段方钢, 长2分米, 横截面是一个边长为5厘米的正方形, 已知1立方分米的钢的重量是7.8千克, 这段方钢重多少千克?

(2) 将一个棱长为8分米的正方体铁块, 熔铸成一个底面边长为4分米的长方体铁块, 这根长方体铁块高多少分米?

(3) 一个装有水的长方体容器, 底面长2分米、宽1.8分米, 放入一个土豆和西红柿后, 水面升高了0.4分米, 取出一个西红柿后, 水面下降了0.15分米, 土豆的体积是多少?

立方体体积 第4篇

教学目标：

1、知识与技能目标：使学生掌握长方体和正方体体积公式的推导过程，理解长方体和正方体的计算公式；初步学会计算长方体和正方体的体积。

2、方法目标：培养学生实际操作能力同时发展他们的空间观念。

3、情感目标：在活动中使学生感受数学与实际生活的密切关系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。

教学重点：

理解长方体和正方体的体积公式的的推导过程，掌握长方体和正方体的体积的计算方法。

教学难点：

掌握长方体和正方体体积公式的推导过程，理解长方体和正方体体积的计算公式

教具准备：1立方厘米的立方体12块，多媒体课件。

学具准备：1立方厘米的立方体12块。

教学过程：

一、复习导入

1、师：在前面的学习中，我们已经掌握了一种计算体积的方法，是什么方法？

生：数体积单位。

师：我们再一起来复习一下这种方法。（课件演示）这是一个体积为1 cm3 的正方体，如果用4个这样的正方体拼成一个长方体，它的体积是多少？是的，通过前面的学习，我们知道一个物体含有几个体积单位，那么它的体积就是多少。

下面这些的长方体的体积是多少呢？请你数一数，填一填。全班交流。说说你是怎么数的？随学生回答板书。

小结：一个物体里含有多少个体积单位，它的体积就是多少。

2、（1）出示长方体和正方体模型 问：这两个长方体和正方体，你还能像刚才那样直接看出它们的体积吗？能比较它们的体积大小吗？

（2）说得真好，但是在现实生活中，用切割的这种方法有很大的局限性，比如要计算电冰箱、电脑主机等比较大的物体时，这种方法显然就行不通了，那有没有什么更好的办法，今天这节课我们就一起来探索长方体和正方体体积的计算方法。（板书课题：长方体和正方体的体积）。

二、探究新知

1、首先请同学们猜一猜长方体的体积与什么有关？

2、请同桌两人合作，用12个1立方厘米的小正方体来拼摆不同的长方体，并分别记下摆出的长方体的长、宽、高各是多少，体积单位数量及体积，再填入表中。

师：哪位同学愿意先汇报一下你们组摆的情况

这些长方体有什么共同点？不同点？为什么形状不同而体积相等呢？

请观察自己摆出的长方体长、宽、高的数，除了表示出长方体的长、宽、高的长度外，还表示什么？

摆成长方体每排用的小正方体的个数相当于长方体的长，排数相当于宽，层数相当于高。

师：请观察这些从实际操作中得出的数据，结合拼摆成的图形，看一看这些数据与长方体的体积有没有关系？是什么关系？

长方体的体积就是它的长、宽、高的乘积。

长方体的体积=长×宽×高

如果用v表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长、宽、高，那么长方体的体积计算公式可以表示为：学生答：

师板书：v=a×b×h 或v=abh

3、师：同学们，同学们真了不起，通过猜想、实验、验证总结出了长方体的体积计算公式，这是一个了不起的好方法，在今后我们同样可以采用这种方法来学习。现在我们就应用这个公式来解决一些实际问题。 出示课件。

学生解题后交流。

4、探索正方体的体积

师：同学们，你们能根据正方体和长方体的关系再推导出正方体体积的计算公式吗？生：能。

师：谁能说说自己的推导方法？

教师根据学生汇报，归纳板书为：

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a =a3

师讲解：a3读作的a立方，表示3个a相乘。

请你运用正方体的体积的计算公式来解决下面这个问题。课件出示。学生解题后交流。

三、巩固练习

1、体积计算。

2、雄伟的人民英雄纪念碑矗立在天安门广场上，石碑的高是14.7米，宽2.9米，厚1米。这块巨大的花岗岩石碑的体积是多少立方米？

V=abh =2.9×1×14.7=42.63（m3）

答：这块巨大的花岗岩石碑的体积是42.63立方米。

3、学校要在操场修建一个长方体的沙坑，如果长6米，宽4米，里面要铺垫0.9米厚的沙子，需要多少立方米沙子？按每立方米沙子重1.7吨计算，这些沙子重多少吨？

V=abh =6×4×0.9=21.6（m3）

0.9×21.6=19.44（吨）

答：需要21.6立方米的沙子，这些沙子重19.44吨。

四、小结

谈谈这节课的收获。

板书设计：

长方体和正方体的體积

长方体的体积=每排数×排数×层数

长方体的体积= 长× 宽× 高

V=a×b×h = abh

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

长方体、正方体的体积教案 第5篇

1、出示课本30页的例一：生独自完成，集体订正。

2、课本31页做一做。

四、课堂总结

今天你有哪些收获?还有什么疑问?

长方体正方体体积的教学反思 第6篇

在学习长方体和正方体体积的知识中，我通过动手操作，摆一摆、算一算，让学生自己探索，验证方法的正确性与可行性，把求长方体的体积很自然地引入了求小正方体的个数，把复杂问题简单化，最后借助小组合作交流，经过归纳、推理，揭示出长方体体积计算公式。

从课堂教学实践看，本节课教学效果较好，充分体现了教师为主导、学生为主体的教学观念，学生学得自主，学得快乐，并学有所获，不但能做到较好的掌握课本知识，还能做到灵活的运用迁移和转化的数学思想学习新知，既训练了思维又培养了能力，老师是学习的组织者和引导者，适当的引导可以使教学任务得以事半功倍的效果。

当然在操作解答的过程中，我还是发现一些问题的存在，学生的实践能力还有待于提高，学生的理解能力还稍差，遇到有关长方体和正方体的相关知识时，没有认真审题、思考，也导致了很多的错误，把棱长和、表面积以及体积的问题混在了一起，不能正确区分、解答。所以今后在教学过程中要注重培养学生的读题、审题的能力，使数学课堂变得丰富多彩，提高教学质量。

长方体和正方体体积教学设计 第7篇

内容六年制小学数学第十一册P25—26。

教学目的和要求

1、使学生经历操作、观察、猜想、验证、交流和归纳等数学活动的过程，探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能应用公式正确计算长方体和正方体的体积，并能解决相关的简单实际问题。

2、使学生在活动中进一步积累探索数学问题的经验，增强空间观念，发展数学思考。

3、培养学生初步的归纳推理、抽象概括的能力。

教学重点

及难点探索并掌握长方体和正方体体积的计算方法。

长方体和正方体体积公式的推导。

教学方法

及手段本课设计了一系列的问题，让学生自主探究，从中探索并掌握长方体和正方体的体积计算公式，促进学生的思维，提高学生积累探索数学问题的经验，进一步增强学生的空间观念。

学法指导

讨论交流，并认真听讲思考。

集体备课个性化修改

预习阅读书本25、26页，并初步理解解

教学环节设计

一、以旧引新

师：上节课我们认识了长方体和正方体的特征，谁能对着模型再来介绍一下?

要计量一个物体的体积，就要看这个物体含有多少个体积单位.今天我们来学习怎样计算长方体和正方体的体积.(板书课题)

二、探究新知

1、通过操作、观察、猜想来认识长方体的体积与长、宽、高的关系。

师：用1立方厘米的小正方体摆成长方体，要求四人小组内每人摆出的长方体各不相同。

师：将摆出的长方体放在桌上，并编号。

请同学们说一说这些长方体的长、宽、高各是多少，你是怎样看出来的，将这些长方体的长、宽、高依次记录在表格中。

引导学生依次去数每个长方体中包含的小长方体的个数，并记录在表格中。

问?观察表格中的这些长方体的长、宽、高以及它们的体积，再联系刚才数出它们体积的过程，你发现了什么?

师：通过刚才的操作和讨论，我们想一想，长方体的体积是不是它的长、宽、高的乘积呢?

依次出示例10中的三个长方体，问：如果用1立方厘米的小正方体摆出这三个长方体，各需要多少个小正方体?

师：摆出的每个长方体的长、宽、高分别是多少?体积是多少立方厘米?这个结果与你操作前的想法一样吗?

2、验证、交流后归纳出长方体的体积计算公式及字母公式。

通过刚才操作过程中的发现，同学们能说一说长方体的体积与它的长、宽、高有什么关系吗?怎样求长方体的体积?

通过交流得出公式：长方体的体积=长×宽×高。

问：如果用V表示长方体的体积用a、b、h分别表示长方体长、宽、高(出示如教材所示的长方体的直观图)，你能用字母表示长方体的体积公式吗?

交流得出：V=abh.

3、根据正方体与长方体之间的联系，得出正方体的体积计算公式。

师：正方体的棱长有什么特点?你能直接写出正方体的体积公式吗?

交流得出：正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

重点理解的含义，进一步明确的读法、写法。

做“试一试”。

作业做“练一练”。

做练习六第2题

课堂作业：做练习六第1、2题

板书设计

立方体体积 第8篇

师: (呈现体积分别为1立方厘米和1立方分米的小方块。) 这是棱长为1厘米的小方块, 它的体积是多少?

生:1立方厘米。

师:那么棱长为1分米的小方块, 它的体积是多少呢?

生:1立方分米。

师:对照1立方厘米, 你能说说老师手中这个长方体的体积大概是多少吗?

(呈现长6厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体)

生:10立方厘米。

师:能说说你是怎么想的吗?

生:我是猜的。

师:还有其他的想法吗?

生:可以把这个长方体切割成1立方厘米的小方块, 再数出小方块的数量。我看大概有18立方厘米。

生:只要用尺子量出长方体的长、宽、高各是多少厘米, 然后把三个数相乘, 结果就是这个长方体的体积。

师:这种方法有哪些同学知道?

(有10多位同学举手)

……

新课程实施以来, 诸如以上这种“未学先知”的现象比比皆是, 学生事实的认知起点明显高于逻辑的认识起点。而学生的这种反应往往与教师的预设是相违背的。对于教学过程中如此的生成, 教师该如何应对呢?

据笔者所知, 教师们一般有如下几种应对措施:

其一, 教师不关注学生的学习起点, 硬把他们拉回来, 学生就只能“明知故问”了。这样, 学生显然没有学习的兴趣, 也没有自主探究的空间, 教学就成了无效或低效教学。正因如此, 教师就怕学生有“先知”, 怕学生对数学知识失去新鲜感, 怕学生课前进行了预习, 到课堂上就不认真听讲, 怕一些错误的理论先入为主影响学生。但我们不能因为“怕噎着就不吃饭“吧, 况且“先知”并不意味着“先觉”。

其二, 教师认为“学生知道了, 就不用教了”。既然学生已经知道了结果, 又何必苦苦地上下求索, 没必要再刨根问底。正因为有此思想主导, 这类教师就采取顺水推舟, 针对结论开展练习的策略。可是, 仔细思量, 这与教师直接告诉学生结论有何本质区别呢?学生的练习量是获得了显著增加, 可学生对于知识的来龙去脉却一无所知。这对于学生知识结构的形成和系统的构建都是非常不利的。

其三, 引导学生刨根问底、自主探究, 实现知其然更知其所以然。把学习活动的起点建立在学生的知识经验基础上, 让学生大胆地说, 而教师把教学的重点转移到验证、帮助理解计算公式、探究为何这样计算的原因上来, 这样学生就会感到有话可说, 就能够积极地投入到学习中去, 主动地建构知识, 这样的课, 依然是有效而富有意义的。

综观这三种应对措施, 笔者选择了第三种, 让学生由已知进行回溯, 经历一个丰满的课堂教学过程, 而非简单的“公式呈现—尝试运用—练习巩固”。这样做主要基于如下认识:

首先, 需要正确认识学生“未学先知”

1.“未学先知”是教学的精彩生成

数学教学是数学活动的教学, 是师生之间交往互动与共同发展的过程, 课堂因生成而精彩。如果没有课堂生成, 学生的主体性将无法体现, 学生的数学探究活动就不真实, 从而无法让课堂焕发出生命的活力。但生成并非都是事先可预设的, 非预设性生成信息也是一种资源, 它和各种预设性的生成资源共同构成精彩的课堂。因此, 在教学中面对各种非预设性生成信息时, 要以积极的态度与科学的策略真诚应对。

教学实践中发现, “未学先知”并不是在任何课堂中都会出现, 但不管何时发生, 不管教师是否已有预设, 都是学生主体的客观表现, 是课堂教学中的精彩生成。我们不应该对学生的“未学先知”产生害怕或逃避情绪, 而应该积极应对。

2.“未学先知”是教学的真实起点

奥苏伯尔说过:“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么, 教师应根据学生的原有知识进行教学。”建构主义理论也明确指出, 学生的数学学习不是知识的简单接受过程, 而是学习主体基于自身原有生活经验与知识基础的主动建构过程。因此, 只有尽可能多地了解学生, 分析学生, 掌握学生原有的生活经验和知识背景, 把握学生的学习心理和学习品质, 才能做到抓准教学的真实起点。教师可以通过课前谈话, 课始、课中提问, 如“关于这些内容, 你们已经知道了什么”, 或者教师提供解决实际问题的情境, 通过分析学生在解决问题过程中的表现来了解学生的学习起点。对于学生在课堂中表现出的“未学先知”, 教师是不应该刻意回避的。

3.明了学生“未学先知什么”

笔者在上这节研究课之前, 曾对学生进行过课前测试, “知道长方体体积计算公式吗?”全班45位同学中仅有2人认为自己知道并写出正确的公式。“你知道长方体体积计算公式的由来吗?”全班没有一位同学知道。从中我们可以发现, 只有两位同学知道长方体的体积计算公式, 而且仅仅停留在了解结果阶段, 对于结果的形成过程一无所知。可是, 在上课过程中却有10多人已经知道长方体的体积计算方法, 与课前的2人差距悬殊。难道是学生在作假吗?显然不是, 因为课前的问题和课间不同, 造成学生的回答也就不一致。其实, 课间认为已经知道公式的学生处于对知识的再认水平, 与课前的2人是有本质区别的。由此可见, 即使“未学先知”也还是有所不同的。教师只有明了学生“未学先知什么”, 才能真正实现对学生学习起点的了解, 组织教学才能有的放矢。

其次, 需要准确应对“未学先知”

“数学教育的目标不仅仅是掌握必要的数学基础知识和基本技能, 另一个核心目标是让学生深刻理解并掌握数学思想和方法。”这就是说, 数学教学不能停留在片段性的零碎知识层面, 也不能仅满足于教给程序和方法, 而是要把教学内容放在数学思想的脉络中, 还原到它的意义情境中, 让学生在这个背景下学习“知识”。这能帮助学生有效地构建各自系统的认识结构并随时通畅地提取信息, 促使各类数学知识的融会贯通。

《长方体体积复习》教学设计 第9篇

复习目标：

1、结合实际题目进一步认识长方体的特征，熟练运用长方体体积公式解决有关体积、容积的一些具体问题。

2、进一步提高学生的计算、观察、比较和判断能力。

复习重难点：

1、熟练掌握长方体体积公式。

2、熟练运用长方体体积公式解决生活中的具体问题。

教学过程：

一、知识梳理

1、结合自己对本单元的学习理解，完成知识框架图：

2、展示学生典型的知识树：

二、基础练习

一、判断题：（对的画“√”，错的画“×”）

（1）长方体中，有时有两个相对的面是正方形。 （ ）

（2）正方体的六个面的面积都相等。 （ ）

（3）长方体中有时四个面是完全一样的长方形。 （ ）

（4）当正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积就相等。（ ）

二、在横线上填空：

1、一个正方体，棱长是4分米。这个正方体棱长之和是_____；表面积是_____；体积是______。

2、一个长方体，长2米，宽3分米，高4厘米。这个长方体的表面积是____平方分米；体积是____立方米。

3、一根长方体木料，宽3分米，厚2厘米，体积0.12立方米。这根木料的长是____米；放在地上，占地面积最大是_____平方分米。

4、把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ），体积是（ ）。

5、一个正方体的棱长如果扩大2倍，那么表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍

6、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高（ ）厘米的长方体。

三、应用题

（1） 有一块正方形铁皮，从四个顶点分别剪下一个边长2厘米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？

（2）建一个游泳池，要挖一个长50米，宽20米，深1.5米的坑。挖土机每小时可挖土25立方米，如果每天工作8小时，多少天可以挖完？

四、拓展练习

1、一个长方体的长宽高分别是a ，b， h，如果高增高3米，那么表面积比原来增加（ ）平方米，体积增加（ ）立方米。

2、将一根长方体木料横截成两段完全相同的长方体木块时，表面积增加了48平方厘米，每段木料长2米，求这根木料原平的体积是多少立方分米？

3有一个底面积是300平方厘米，现在把一块底面积60平方厘米的长方体特快浸没到水里，水面上升2厘米。这块铁高几厘米？

五、清理疑难

通过复习有关长方体的相关知识体系，又进行了相关的练习，我们目前在这一单元还存在一些问题：

1、对题目分析还不够仔细，简单问题复杂化。

2、计算水平不够扎实，有待提高。

思考：有一个底面积是300平方厘米，现在把一块底面积60平方厘米的长方体特快浸没到水里，水面上升2厘米。这块铁高几厘米？

解决这一类题目的关键：

（1）弄清铁块体积与上升水体积相同。

（2）注意公式V=S.h中的各个量与实物的对应关系。

六、小结：

长方体和正方体体积教学设计 第10篇

（三）》教学设计

教学内容：

《义务教育教科书·数学》（青岛版）六年制五年级下册第七单元信息窗4.教学目标：

1．给合具体情境探索、掌握长方体和正方体的体积计算方法，会计算长方体和正方体的体积。

2.在观察、操作、探索的过程中，提高动手操作能力，进一步发展空间观念。3．在解决简单的实际问题中，体会数学与生活的密切联系，增强应用意识。

教学重点：长方体和正方体体积（容积）的计算。

教学难点：计算方法的探究和理解。

教具准备：课件。

学具准备：长方体实物模型（萝卜或土豆）、小正方体数个。

教学过程：

一、情境导入

课件出示教材中的情境图。

师：同学们，请看屏幕，生活中见过这样的盒子吗？仔细观察，从图中你知道了哪些数学信息？

学生回答，教师适时评价。

师：根据这些数学信息，谁能提出什么数学问题?（出示课件）学生可能提出：

（1）可乐箱的体积是多少？

（2）桃汁饮料盒的体积是多少？

（3）啤酒箱的体积是多少？

„„

【设计意图:直接出示情境图，以学生生活中常见的这些盒子直接切入主题，既适合五年级的学生，又和学生的生活紧密联系在一起，让学生体会到数学来源于生活。】

二、合作探索

1．怎样求饮料箱的体积呢？

师引导学生由问题入手，引起学生思考：要求饮料箱的体积，我们就要知道体积的 1

计算方法。那怎样计算体积呢？这些物体的形状是长方体和正方体，那我们就可以借助长方体或正方体学具来研究怎样求长方体和正方体的体积。

（1）切割学具，自主探究。

师：那长方体的体积怎样求呢？

让学生将课前准备的萝卜或土豆切成一个长6厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体模型。引导学生先动手切一切，把长方体切成棱长是1厘米的小正方体，也就是1立方厘米的小正方体，切完后再数一数共包含多少个小正方体。

学生动手操作，最后交流小正方体的个数是36个。

师：那刚才这个长6厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体的体积是多少呢？ 引导学生明晰：长方体中含有多少个1立方厘米，体积就是多少立方厘米。这个长方体一共含有36个小正方体，它的体积就是36立方厘米。（出示课件展示切割过程）

（2）拼摆学具，感悟算理。

师：除了切割，我们也可以用学具来摆一摆。请同学们拿出准备好的小正方体，摆出长是6厘米、宽是2厘米、高是3厘米的长方体。同桌交流你是怎样拼摆出来的？体积又是多少？

引导学生交流出：长摆了6个小正方体，摆了这样的2排，摆了这样的3层。体积是36立方厘米。

师：为什么长摆了6个小正方体？为什么摆这样的2排？又为什么摆这样的3层呢？体积为什么是36立方厘米？

引导学生交流出：因为长是6厘米，所以一排可以摆6个。宽2厘米，一层可以摆2排，高3厘米，就可以摆这样的3层。摆完后发现一共用了36个小正方体，所以体积就是36立方厘米。（出示课件：摆的过程）

师：你能列式求出小正方体的个数吗？体积呢？

生：个数：6×2×3＝36（个）所以长方体的体积就是36（立方厘米）（出示课件）师：再用小正方体拼摆长5厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体和棱长是3厘米的正方体。并且同位互相交流是怎样摆的，体积是多少，并用算式表示求小正方体的个数。

汇报交流，并且课件出示过程。

（3）组间交流，理解算理。

师：（课件呈现三个拼摆的形体及算式）同学们仔细观察这三个算式，你有什么发现？小组交流。

引导学生交流：

长方体所含“体积单位”的数量，就是长方体的体积。

长方体所含“体积单位”的数量，等于长、宽、高的乘积。

（4）提升方法，沟通联系。

师：根据我们刚才的研究，我们得出长方体和正方体的体积怎样进行计算？ 学生回答，课件呈现体积计算公式和字母表示式。

师：同学们仔细观察，你们知道什么叫底面积吗？如果知道了长方体或正方体的底面积，又怎样求长方体或正方体的体积呢？为什么呢？（课件闪烁底面）

学生回答，课件呈现底面积乘高及字母表示式。

（5）解决情境图中的问题：（课件呈现情境图）

①长方体可乐箱的体积是多少？ 7×3×2＝42（dm3）

②正方体啤酒箱的体积是多少？

3×3×3＝27（dm3）

2．教学容积的计算方法。

师：（课件呈现桃汁饮料盒及问题）同学们，还记得我们上节课学的容积吗？如果要求桃汁饮料盒可盛饮料多少升，应该知道什么条件？如果盒壁厚度不计的话，你又有什么发现？容积应该怎样求呢？同位讨论。

引导学生交流得出：（课件呈现）长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高，这样才能更准确地算出容器的容积。10720＝1400（立方厘米）1400立方厘米＝1.4升

答：桃汁饮料盒可盛饮料1.4升。

【设计意图:在问题的引领下，让学生切割学具、拼摆学具，在这种动手操作的过程中，感悟算理，在互相讨论中理解算理。在这种互动中，培养了学生合作交流和探索的能力。由学具操作提升算法并进行沟通，突出算理的教学，渗透数形结合和转化的思想。】

三、自主练习

1.基本练习：第1题和第2题（课件呈现）

2.扩展练习： 10题（课件呈现）

【设计意图:练习设计的层次性，不仅让学生重温和巩固了长方体和正方体体积计算

方法的探索过程，还让学生用所学到的知识解决生活中的实际问题，让学生更加深切的体会到数学源于生活，用于生活，提高了学生解决实际问题的能力。】

四、回顾反思

师：同学们，这节课马上就要结束了，回想一下，你有什么收获？（课件出示教材丰收园图）

学生可能回答：我会积极学习了。教师适时追问：你哪个环节最积极？（课件“积极”绿苹果图片飞出果篮，同时出示问题：你哪个环节最积极？）

学生回答。（课件将绿苹果变成红苹果）

学生也可能回答：我学会提问了。教师适时追问：你都问什么问题了？（课件“会问”绿苹果图片飞出果篮，同时出示问题：你都问什么问题了？）

学生回答。（课件将“会问”绿苹果变成红苹果）„„

师：让我们满载着收获，下课休息一下吧。（课件将红苹果装入果篮）

立方体体积 第11篇

通过一段时间对微课的了解以及使用微课进行教学和指导学生运用微课进行学习和复习，我设计了一堂关于运用微课进行教学的展示课《长方体正方体的体积》。

我在网上搜来的成功微课运视频，将长方体的形成过程，由点到线、由线到面，由面到体形象直观的展示给学生，学生对长方体的体积的计算方法的学习兴趣浓厚、理解起来简单明了。在此基础上，教学中进一步通过动画引入正方体体积计算，学起来浅显易懂。学完微课，我设计了师生通过解决“你学到了什么”这一问题，在回顾交流中掌握了教学重点，通过解决“你还有哪些困惑”这个问题，师生在探索讨论中突破了教学难点。经过课后检测分析，教学效果特别不错。

虽然还有需要改进的地方，但通过展示课，我更进一步认识到怎样运用微课才能使数学课堂教学更加有效，为下 一步的改进提供真实有力地素材。

长方体和正方体体积的教学反思 第12篇

本节课教学时我主要运用操作实验法、引探发现法、小组合作学习法等多种方法，给学生提供自主探索的平台，让学生通过小组合作学习，操作实验、观察、猜想、发现推导出长方体体积计算公式，让学生亲身经历知识的形成全过程，从而证明了自己的能力，品尝到成功的喜悦。培养学生的合作意识和实践能力。

体积对学生来说是一个新概念，由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次重大的发展。然而此时，学生对立体的空间观念还很模糊，要注意加强实物或教具的演示和学生的动手操作，以发展学生的空间观念，加深对长方体计算公式的理解。教学中，我先通过切开一个长3厘米、宽3厘米、高1厘米的长方体和棱长为2厘米的正方体，看看它们各含有多少个1立方厘米的体积单位，引入计量体积的方法。但是在很多情况下，是不能用切开的方法来计量物体的体积的。于是我给了学生若干个1立方厘米的小正方体，放手让学生摆放出不同的长方体，并把长、宽、高的数据填入表格中，启发学生思考，根据记录的长、宽、高，摆这个长方体一排要摆几个小正方体，要摆几排，摆几层，一共是多少个小正方体。再引导学生进一步思考，这个长方体所含小正方体的个数，与它的长、宽、高有什么关系。长方体的体积与长、宽、高的关系这一内容，比较抽象，教材中用6个小正方体让学生摆，只能摆3种，不利于学生找出规律。我大胆地让学生用12个小正方体摆，学生摆到了8种，并记录整理数据，提高学生的兴趣和学习积极性，更有利于学生悟出长方体的体积与长、宽、高的关系，这样做可能有人认为费时，但我认为这样做值得，因为这样做能让他们在认识数学、理解数学的过程中更好地发展认知水平，提高了学习能力。最后，通过学生自己比较、发现长方体体积的计算公式，并用字母表示。在教学完长方体的计算公式后，继续启发学生根据正方体与长方体的关系，联系长方体体积的计算公式，引导学生自己推导出正方体体积的计算公式。这种实际操作，培养了学生勤于思考和勇于探索的精神，激发学生的探究意识，增强数学的吸引力。

立方体体积 第13篇

一、创设情境, 产生问题

“科学知识的增长永远始于问题, 终于问题。”探究性学习需要学生在学习情境中通过观察、阅读, 发现问题。因此, 教师要善于创设问题情境, 巧妙地把数学学习内容转换成具有潜在意义的问题, 在新知内容与原有认知结构之间制造冲突, 把学生引导到迫切希望探个究竟的情境之中。

片断1:

计算一下, 右面长方体有几个1立方厘米的小正方体?

这些长方体的体积是多少?

你是怎样计算它们的体积的?

反馈交流, 得出:含有多少个小正方体, 它的体积就是多少。

出示:右面长方体的体积是多少?

生1:不知道有多少个体积单位, 不好求。

生2:要把它切成若干个体积是1立方厘米的小正方体就知道了。

生3 (表示反对) :不行, 把它切成小正方体就破坏这个长方体了。

师:是啊, 如果是一台洗衣机、一个冰箱, 我们总不能把它们分割啊, 那又该怎么办呢?

从而引起学生的共鸣:必须找出长方体体积的计算方法。

学生已经掌握了看物体包含几个体积单位的方法求体积, 但通过实例发现用这种方法存在的局限性, 这就引发了他们进一步探求新知的内驱力。

二、明确问题, 展开探究

学生开展自主探究活动是探究性学习的核心部分, 教师有针对性地指导学生围绕问题展开探究活动, 帮助他们分析问题, 寻求假设, 进行实验, 以求解决问题。在活动中要注意让学生充分发表自己的见解, 体验探究的乐趣。学生独立探究的过程, 不单单获得了新的数学知识, 更能学习科学研究的方法, 增强自主意识和克服困难的意志。值得注意的是, 既要注意体现学生在学习过程中的主体地位, 但当学生在探究过程中遇到困惑或陷入困境时, 教师要适时予以帮助。

片断2:

师:你猜猜长方体的体积和什么有关?

生1:与拼的小正方体个数有关。

生2:与长方体的长、宽、高有关。

(课件动画演示:长、宽相等时, 越高, 体积就越大;长、高相等时, 越宽体积就越大;宽、高相等时, 越长体积就越大。)

师:你发现了什么?

生1:我发现了长、宽、高发生变化后, 体积也发生了变化。

生2:说明长方体的体积与长、宽、高有关系。

师:那么到底有着什么样的关系呢?我们还是通过自己的探索来发现吧。

(学生操作:摆一摆, 四人小组每人用12个棱长1厘米的立方体摆成形状不同的长方体, 摆完后填表)

组内交流:发现了什么?

从猜想 (假设) 出发, 并通过课件动画演示初步验证猜想, 让学生明白与长方体的体积相关的量, 但这并不能说明它们之间存在什么样的关系, 这既为学生探究打好了基础, 也激发了学生进一步深入探究的欲望。学生通过拼摆出长、宽、高不同, 但体积都是12立方厘米的长方体, 在教师的引导下逐步发现了长方体体积与长、宽、高之间的关系。

三、归纳总结, 达成共识

学生进行了充分的探究, 但探究的结论对他们来说心中没底, 不知是否正确, 这时要组织学生交流各自探索得出的结论及问题的解决过程, 让他们不断修正错误的观点, 最终达成一致。在此过程中要特别注意学生的原创思维, 学生在交流中, 也明白了这样一个道理:科学研究并不是一蹴而就的, 往往需要经过无数次实验, 经历艰辛而又曲折的过程才能抵达彼岸。

片断3:

(展示小组填写的表格)

师:各组谈谈自己的收获。

生1:我们发现所拼成的长方体体积都一样。

(引来“不满”的声音:用的小正方体个数都一样, 体积肯定一样)

生2:我们发现拼成的长方体的每排个数、排数、层数其实就是长方体的长、宽、高。

生3:我们发现长方体的体积的确和它的长、宽、高有关。

师:那长方体体积和长、宽、高之间到底有什么样的关系呢?

生4:体积就是用每排个数、排数、层数相乘的积。

生5:也就是长、宽、高相乘的积。

学生的发现可能是有价值的, 也可能是无价值的, 但在学生的不断修正之下, 最终通过有用的信息得出结论。

四、验证结论, 建立模型

此环节为知识迁移、形成和发展的过程。学生对所得出的结论是否有普遍性心存疑虑, 适时组织学生验证, 以事实来证明结论的适用性。这样, 不但让学生进一步体验了探究的完整过程, 而且让学生明白了任何真理都必须经过实践的检验这一道理。

片断4:

师:你们的发现是否正确呢?实践是检验真理的唯一标准, 还是在实践中去发现和检验吧。

(学生再次操作:任意拼一个长方体, 看长、宽、高分别是多少, 利用刚发现的规律计算它的体积, 验证规律是否正确。)

(总结公式长方体体积=长×宽×高

立方体体积 第14篇

在“变教为学”的备课中，教师应抓准一节课的学习目标，并围绕“学什么”“怎么学”两个问题展开备课。在备课中寻找知识的源头、分析知识的属性，并设计出一系列与之对应的学习活动。

一、对长方体体积的分析

以人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学（五年级下册）》（以下简称“教科书”）为例，长方体体积学习是学生第一次接触立体几何图形和体积概念，这是学生立体几何学习的起始。（见表1）人们常说：“好的开始是成功的一半。”因此，长方体体积的学习对学生今后的发展具有重要的教育教学意义。起始时，学生学习立体图形的好坏程度，决定其今后对立体图形学习的兴趣与动机。小学长方体体积认知程度也将影响着学生初中乃至高中空间几何体的学习。所以，长方体体积学习要求教师在备课中从历史视角、文化视角深入挖掘，发现知识的“本质性”“关联性”“文化性”，让学生知其然并知其所以然。

从历史的视角看，长方体体积公式早在我国著名的《九章算术》第五章“商功章”中有所记载：“方自乘之，以高乘之，即积尺。”[2]意思是用边长和边长相乘再乘以高，就是体积的大小了。由此可见，体积公式很早就被古人发现并使用它计算了。除此之外，《九章算术》中还给出了其他几何体体积的计算公式。比如：球体积。另外，数学课程不仅仅是程序化、模式化反复练习直至熟练的计算和严谨的逻辑推理，数学课程还有它的文化性，这里的文化性是与工具性相对的。强调数学概念背后的故事，概念背后是否与人类思维方式、人的情感有联系。比如：体积是什么意思？体积中的“积”是否和乘积中的“积”一样？“体积”在古代怎么说？《九章算术》第五章讲述几何体的体积，为什么叫商功二字？体积的下位概念，长、宽、高是什么意思？为什么叫长、宽，而不是长、短？这些小问题，都值得教师在备课中思考。

从文化的视角看，乘积中“积”本意是“垛”，[3]而“垛”在《现代汉语词典》中解释为整齐地堆，我们常说的垛子的意思就是整齐地堆成堆。《说文解字》中对“积”的解释为：“积，聚也。”那么，积有整齐地由少到多变化的意思。因此长方体体积可以被看作是由一个个长方形从下至上整齐地堆积而成的，所以命名为体积。“体积”一词在商功章羡除术刘徽注：“虽背正异形，与常所谓鳖臑参不相似，实则同也。”“故方锥与阳马同实。” [4]由此可以看出，体积在古代的叫法是“实”。“实”作为古算用语有多义。实，与“虚”相对之义，它表示内部完全填满而没有空隙的实体。由此，我们可以推断出“实”表示的是空间区域，仅用于三维空间。如果教师在让学生理解概念时，理解它背后的文化，相信对学生的学习会有很大益处。

听课观察中发现，教师问：“同学们，长方形较长的一边叫作长，较短的一边叫什么呢？”学生齐声回答：“短。”长方形中，长、宽这两个概念，表面上看没有什么联系，实质上蕴含着数学文化。“长”在《九章算术》中被解释为“广”，也就是人们视野范围的广度，就是长。而现在所说的“宽”在《九章算术》中被解释为“从”，“从”字在古代又同横纵的“纵”，纵的意思指的是竖、直，南北的方向，与“横”相反。由此可见“宽”字的来龙去脉了。如果教师能让学生知道“宽”字背后的文化，相信学生就不会认为长方形较短的一边叫作“短”了，否则的话，很难说服学生。比如：《九章算术》中第五章讲述几何体的体积，书中以“商功”命名此章。如果光看字面意思，很难理解与体积有什么联系。李籍在《九章算术音义》中写道：“商，度也。以度其功庸，故曰商功。”功，通“工”，指工程量或人工数。大致意思是说，商是度量的意思，度量工程量的多少即关于各种工程中的体积计算。这样就沟通解释了“商功”与“体积”之间的联系。应该相信，虽然概念的命名是人规定的，但是它不是盲目的，一定是和当时人的思维方式、人的情感、社会生活、大自然有所联系而命名的。作为教师，我们应当找到这样的联系并能够解释，沟通字面解释与背后文化的联系。

二、对其他教材的分析

除了从历史、文化的视角分析长方体体积，教师还要关注教科书和课程标准。在我国的教科书中对体积的定义为物体所占空间的大小。美国加州的教材中对于长方体体积的学习，先有对长方体的认识，然后指出长方体的上部、前部、侧面。再利用三视图，从不同角度看长方体，然后给出定义。美国加州五年级教科书中定义为体积是三维空间中所占空间的量，长方体体积被正方体单位（cubic units）测量，长方体体积的学习与维数建立联系。[5]我国现行的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标（2011年版）”）中提出，通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱、圆锥。结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积的计算方法。[6]美国加州共同核心标准中指出，学生理解体积要放在三维空间中，理解体积被一个接一个的相同大小正方体的单位（standard units）填满，既没有空隙也没有重叠，在这样的情况下，小正方体单位的数量就是体积的大小。学生要理解长方体的体积被一个个小正方体测量，这也就是当长方体被填满后的小正方体的个数就是长方体的体积。在探索的过程中，分解三维图形，把长方体看成由一层一层的小正方体组成的图形。[7]

《美国学校数学教育的原则和标准》（NCTM）（以下简称“标准”）中指出：“帮助并加强学生在测量二维和三维图形时发展几何直观。”[8]由此可见，在实际教学中教师应在观察、操作的基础上以实验几何为主线探索长方体体积公式，建立学生的三维空间观念，发展学生的几何直观。

长方体体积的学习实际上是建立学生三维空间观念和发展几何直观的起始，在今后初中学段，学生还会接触到更多的几何体，比如：球、六棱柱、四棱锥等。还会从不同角度观察其他不规则几何体，绘制三视图。初中主要是对柱、锥、球进行初步认识。高中学段，要对柱、锥、台、球、简单几何体的结构特征有所把握，学习中心投影和平行投影，并在平行投影下从不同角度观察空间几何体，利用斜二测法绘制空间几何体的直观图，计算空间几何体的表面积和体积及简单几何体的体积。由此看出，体积的学习是层层递进、一脉相承的，从简单的长方体体积的计算，再到柱体、锥体、台体、球体及组合体的计算，学生的空间几何观念，也随着年龄的增加不断增强。

三、教学中的活动设计

根据瑞士心理学家让·皮亚杰提出的“学生有逻辑的理解概念要在学会数学计算之前”[9]的观点，也就是说学生概念理解比计算重要得多，所以本节课的总目标制定为明晰体积概念，探索体积公式。体积属于规律性知识，也就是不以人的意志为转移的客观存在，对学习者来说是确定的，这部分知识具有“不可变”的特点。所以认识这部分知识的基本方法是发现（discover），而发现知识的重点要放在“观察”上。学生的思维方式应该是观察对象形成动机、产生想法、交流、假设、实验与解释、判断、关联与应用的过程。根据这样的基本原则，那么学生就要经历以下学习活动。

第一是建立观察对象、激发学生的动机。动机与兴趣是学生学习的动力，激发学习动机是非常关键的一步。因此，在教学一开始，教师可以给学生讲一个故事。

一个非常有名的乐队叫作几何家族，他们计划在学校开一场音乐会，现在需要用卡车运送搭建音乐会舞台的器材，需要将一个个正方体的箱子装进长方体的卡车中。（如图1）

这个过程处于课程刚刚开始阶段，学生要做的是观察，观察教师演示的过程。教师可以用一个大长方体鱼缸模拟卡车，然后依次放入一个个小正方体，让大长方体被一个个小正方体填满，复现故事场景。这个过程从知识习得的角度和历史的角度来说，是为了让学生体会到体积在古代被称为“实”，表示内部完全填满而没有空隙的实体。让学生利用小正方体模具是根据著名瑞士心理学家让·皮亚杰提出的认知发展理论（Theory of Cognitive Development）。他将儿童的认知发展过程分为了四个阶段，分别是感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段。[10]五年级的学生认识体积概念处在具体运算阶段（Concrete Operational Stage），学生的思维阶段是从具体的、形象的表象思维逐渐过渡到抽象思维。这一时期的顺利过渡，会对儿童学习“体积”、对抽象概念的理解起到重要作用。在这一时期，儿童在心理发展和思维特征上具有逻辑性，但是在具体活动中仍然离不开具体事物的支持。这一原则将成为儿童思维水平的判断依据，也是教师教学设计的重要理论依据，在具体的教学实践中，教师要以具体事物作为儿童理解体积并推导体积公式的依托。

第二是产生想法。任务一是通过刚才教师的演示，你观察到了什么？你是如何看待长方体的形成的？长方体体积如何计算？四个人一小组，可采取画图、用文字写下来等多种形式和同伴相互讨论。经思维碰撞后对于体积公式的答案是唯一的，但是表达形式可能是多元的，所以，教师应允许多元的表达，多样的形式。在用不同的活动形式进行充分讨论之后，学生要以小组为单位给全班汇报展示，并说说本组每一位同学的想法。这种活动形式具有较强的灵活性。

第三是实验解释。任务二是利用小正方体模具解释如何理解长方体体积的形成，利用小正方体模具解释体积公式是如何得到的。学生可能会演示并解释小正方体填满长方体的过程。（如图2）先从一个小正方体拼成一行，从一行再到一个面。三个同样的平面叠加，填满整个长方体，最终得到一个完整的长方体，小正方体的个数也就是长方体体积。

之所以让学生解释长方体体积的形成过程，是根据荷兰数学教师范希尔夫妇提出的几何思维水平理论。其中包括学生几何思维发展的五个水平和与之对应的学生几何学习的五个阶段。[11]学生几何思维发展的五个水平分别是视觉化（visualization）、分析（analysis）、非形式化演绎（inference）、形式化演绎（deduction）、严密性（rigor）；与之对应的学生几何学习的五个阶段分别是熟悉（familiarization）、指导定向（guided orientation）、语言表达（verbalization）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。五年级学生处在几何思维的分析期，并由分析期逐渐转化为非形式化演绎期。所以，在长方体体积的概念学习上，要让学生经历体积概念的分析和理解过程，并对体积形成过程进行简单的非形式化演绎，这是教师教学设计的重要依据。学生对概念的学习不是简单的“听懂、记忆、背诵”过程，深入理解、消化概念，明晰概念背后的本质，对学生今后学习几何知识具有重要意义。在公式的探索方面，让学生经历非形式化演绎的过程，明确长方体体积公式的产生。在这个环节中，活动形式为先小组讨论再全班汇报。在汇报的过程中，教师要给学生立规矩。比如：“汇报的同学要面向大家，说话要保证班里的每一位同学都能听清楚。”“当你想指出别人不足的时候，请先说出他的一个优点。”教师引导学生，先说他人优点再指出他人的不足之处。另外，小组汇报是提高学生当众讲话能力的好机会，这种活动方式有助于培养学生的自信心和演讲能力。

第四是判断假设。根据上一个任务全班同学完成的情况，判断大家说的长方体体积的对错，是否同意汇报同学的观点，是否有其他的异议。

第五是关联应用。结合相应的练习题，学生独立思考并计算长方体体积。

比如：一个汽车上的油箱，长8分米，宽3.5分米，高5分米，这个油箱可以装多少升汽油？（如图3）

第六是拓展。任务三是有人说：“周长与面积之间有某种关系，表面积和体积也有某种联系，你同意吗？”“解释正方体体积的形成过程，写出正方体体积公式。”这个任务布置的目的是让学生试图探索长方体体积和长方形面积之间的关系。从已有周长和面积入手，周长反映物体外部而面积反映物体内部，而表面积和体积恰巧也有“外”与“里”的关系。这样就把周长与面积、表面积与体积联系在一起了，在英文文献中也有记载表明，学生在学习的过程中要理解四个概念之间的联系。[12]

以上教学活动仅供教师参考，教师可根据本班学生情况而定。依据以上分析，本节课关于学习目标、学习任务、学习方式和学习活动的设计可以用表格（表格略）的形式呈现。

总之，要想在变教为学的课堂中“突出本质、渗透文化、实现关联”，就要挖掘知识背后的故事，要想“让每一个学生受到关注，让每一个学生都有机会，让每一个学生都有活动”，就要设计出以“立德树人”为终极目标，并能突出数学本质的有效的活动。

参考文献：

[1] 卢江，杨刚.义务教育课程实验教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2] 张苍，等编.九章算术[M].曾海龙，译.江苏：江苏人民出版社，2011.

[3] 郜舒竹.问题解决与教学实践[M].北京：首都师范大学出版社，2012（06）：168.

[4] 李继闵.九章算术导读与译注[M].西安：陕西科学技术出版社，1998.

[5] California Mathematics Grade 5[M].The United States.McGraw-Hill Companies，2009：396.

[6] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[7] California State Board of Education. California Common Core State Standards Mathematics[M]. California Department of Education，2010.

[8] 全美数学教师理事会著.美国学校数学教育的原则和标准[M].北京：人民教育出版社，2004.

[9] Piaget，J，Inhelder，B.&Szeminska，A.[Translated from the French by E.A.Lunzer]，.The Child’s Conception of Geometry[M].New York： Basic Books，Inc，Publishers.1970.

[10] 莫雷.教育心理学[M].北京：教育科学出版社，2007.

[11] 鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[12]Joan D.Martin. A Study of Fourth Grade Students’ Understanding of Perimeter， Area， Surface Area， and Volume When Taught Concurrently[J].Mathematics Education Tufts University，2009（05）：3354724.