2025年考研数学强化解题训练

2025年考研数学强化解题训练（精选14篇）

2025年考研数学强化解题训练 第1篇

2015年考研数学强化解题训练

考研复习马上就要进入冲刺阶段，现阶段我们的主要任务就是要将暑期的强化复习进行整理，查漏补缺，在冲刺复习前将基础阶段的复习彻底结束，进入提分复习阶段，太奇考研老师在这里为大家提前进行寒假复习的计划和准备工作指导希望可以帮助考研考生在最后的复习阶段大幅度提高分数，为胜利夺冠添砖加瓦。

在历年的考研试题中，可以看到某种题型经常出现，但是在内容和形式上每次都有一些变化。如果我们不断地总结和归纳解题方法，新的变化。例如，在一元函数部分，常见的题型。这类题目的解法会涉及到罗尔定理、在数学(一)中，多元函数微分学、试题主要是微分学的概念与复合函数微分法，提法，而且能够归纳出有效的解题方法。格林公式和高斯公式?怎样运用这些公式?所以只考生还必须根据考研的特点，有针对性地进行解题能力强化训练。

近年试题与往年考题雷同的占50%并做一定对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性尽管试题千变万化，其知识结构基本相

2025年考研数学强化解题训练 第2篇

对于数学，我也说说自己的一点小小经验。我觉得不要迷恋于一本书看了几遍，认认真真会做每道题才是关键，数学考的本来就是思维，而不是模式，而这种数学思维是在每次一次做题时绞尽脑汁解题中培养的，单纯的看过几遍资料和所谓的一本书做过多少多少遍并不是提高数学思维的核心方法(我认为的，如有错请指正)，所费时间太多。

我的做法是先把资料书的习题答案扔到一边，书上任何一个题目都自己思考自己做，不看答案，遇到死都想不出来的先做个记号留起来，而不是看看答案然后哦原来是这么解的，那有人会问我，那我关于这类题目的解法一点都不会我怎么解题，我的做法是例题可以看答案，习题不要看。第二天做数学题的时候把之前不会做的题目再想一遍，继续绞脑汁，绝不看答案，努力想出来，实在想不出来就继续留着，之后每天都再绞脑汁一遍知道想出来为止。这样你的进度或许会很慢别人看了一两遍你还一遍都没看完。但是要知道，你可是用一遍的时间横跨了别人看几遍的时间，而且数学不是靠背，把整本资料书都背下来也不见得对你数学成绩提高有多帮助。模式可变，而思维不变，万变不离其宗，训练思维才是应对所有题目的核心方法。

这样到整本书都做完的时候，你就会遗留一些(或是很多)不会做的题目，这个时候你就需要集中精力继续搞这些题，搞过一两遍后还不会的题目，这个时候你就可以拿起你的`答案，看看解法了。这样养成一种思考的习惯，慢慢的你就发现一些之前很难的题目自己也能做一些了。

当然，也不能绝对的说数学没有模式，毕竟有的题目是有固定解法的，比如求极值、三重积分的轮换对称性、求矩阵的特征值、求参数的估计等等，然而，仅仅是以记住为目的去做题然后再做几遍，你无非最多是把书上的题型记住了，但是当你遇到新题的时候呢?我身边就会有很多这样的同学，他们把书本做了好几遍，上面的题目都会做，而拿到一份模拟题的时候就傻眼了，没见过的题目不会做，做的时候使劲想那些做过的题目，想把书上的解题模式硬套在新题上，收效甚微。

2025年考研数学强化解题训练 第3篇

2015年江苏的高考数学试卷题目的难度适中, 在教师预测以及考生复习的范围之内, 只要熟练掌握了各种数学思想的应用方法, 解题难度不是很大.本年度江苏的高考数学试卷将转化和化归思想主要应用在了中档题和难题中, 学生只要理解掌握了这一数学思想, 就能很快找到解题思路, 提高解题速度和准确率.将2015年江苏高考数学试卷对转化和化归思想的应用进行归纳分析, 认为其思想主要是从以下几个方面进行应用.

1 数与形的转化

数与形的转化主要集中在函数图像与方程之间的转化.

例1 (2015年江苏高考数学试卷第13题) 已知函数f (x) =|ln x|, g (x) ={0, 0<x≤1;|x2-4|-2, x>1}, 则方程|f (x) +g (x) |=1实数根的个数为_____.

解析由|f (x) +g (x) |=1可得

g (x) =-f (x) ±1.

设h (x) =-f (x) +1,

q (x) =-f (x) -1.

然后画出g (x) 与h (x) 的图像 (图1) , g (x) 与q (x) 的图像 (图2) , 会发现, g (x) 与h (x) 和g (x) 与q (x) 分别有两个交点, 所以判定方程|f (x) +g (x) |=1实数根的个数为4.

此题就是运用了数与形转化的转化策略, 将方程式转化为函数图形的形式, 就能很清晰的找出答案.该题就属于试卷中的中档题型应用转化与化归思想.

2 数学各分支的转化

数学各分支的转化是指在对某一基础知识的考查中融入其他内容的考查, 将知识之间相互转化, 主要是运用于函数与立体几何、向量与解析几何等的转化.

(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

(2) 点Q是线段BP上的动点, 当直线CQ与DP所成的角最小时, 求线段BQ的长.

3 正向思维与反向思维的转化

正向思维与反向思维的转化, 是指在一道题利用常规的思维方式解答较为困难时, 就要试着反向思维, 通过反向思维找到解题思路.

例3 (2015年江苏高考数学试卷解答题的第20题) 设a1, a2, a3, a4是各项为正数且公差为d (d≠0) 的等差数列.

(1) 证明:2a1, 2a2, 2a3, 2a4依次构成等比数列;

(2) 是否存在a1, d, 使得a1, a22, a33, a44依次构成等比数列?并说明理由;

(3) 是否存在a1, d及正整数n, k, 使得a1n, a2n+k, a3n+2k, a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.

这道题不仅考查了学生对于转化与化归思想的掌握与应用, 还有对代数推理、综合运用数学知识探究和解决问题的能力等的考查, 属于难题中应用转化与化归思想.由对这道题目的解析可以得出在高考试卷中, 在一道题中, 不一定是单独考查转化与化归思想, 也有可能是在其他数学思想的应用过程中融入了转化与化归思想.所以, 在学习各个数学思想独立应用于某一题目的同时, 也要注意将各个思想结合应用能力的锻炼.

4 实际问题向数学模型的转化

(1) 求a, b的值;

(2) 设公路l与曲线C相切于P点, P的横坐标为t.

(1) 请写出公路l长度的函数解析式f (t) , 并写出其定义域;

(2) 当t为何值时, 公路l的长度最短?求出最短长度.

这道题的解答就需要将实际问题转化为函数模型, 然后根据函数以及导数的知识进行解题.这道题的解题关键是要理清楚函数关系和正确求导, 而要想理清函数关系, 就要能够将实际问题与函数模型进行合理的转化.

5 小结

通过对2015年江苏高考数学试卷的以上分析, 可以看出, 转化与化归思想在高考试题中的考查比例是比较大的, 而且大多都是在中档题型和难题中进行考查.学生在数学复习阶段一定要重视对于这一数学思想的熟练掌握和应用技巧的学习, 在仔细研究题目的基础上争取能够灵活应用各种转化方法, 将高考试卷中的中档题转化为简单题, 将难题转化为中档题, 由此来降低试卷难度.此外, 也要注意该数学思想与其他数学思想的结合应用, 提高数学学习的综合能力, 进而提高数学解题效率, 为高考数学考试增添更多的信心.

参考文献

[1]杜素丽.浅谈转化思想在高中数学解题中的应用[J].数学周刊, 2014, (21) :126.

[2]舒华瑛.浅谈转化与化归思想在高三数学复习课中的应用[J].延边教育学院学报, 2013, (04) :129-131.

[3]于艳梅.转化与化归思想在解题中的应用[J].考试 (高考数学版) , 2012, (03) :47-49.

2025年考研数学强化解题训练 第4篇

知道学了什么之外还得知道高考数学要考什么，不妨把前几年的高考题拿过来放在一起对比一下，你会发现高考试卷所考查的知识点，如函数、三角、向量、解几、立几、数列、不等式等都是平时重点练习的，是数学的主干知识；试题所考查的解题方法除个别小题外。都是平时作业中重点训练的方法：特别是所有的C级要求全部考到，如一元二次不等式、数量积、两角和与差的三角函数、等差数列和等比数列、直线和圆等，这一切都体现了命题者的良苦用心，从中也可以揣测命题者的思路，这样就能更好地把握数学的学科特点和高考要求，就能站在一定的高度更加从容地面对高考，

相当一部分同学考试的分数不高，不少是会做的题做错，特别是基础题，究其原因，有属知识方面的。也有属方法方面的，因此，要加强对以往错题的研究，找错误的原因，是哪个环节的知识点没掌握牢固，对易错知识点进行列举、对易误用的方法进行归纳，如：过一点作直线时忽略斜率不存在的情形，等比数列求和时忽略对口=1的讨论，用韦达定理时忽略判别式，换元或者消元时忽略范围等，找准了错误的原因，就能对症下药，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错，

基础不同的同学对自己补缺的范围也不同，对于基础比较好的同学，要从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度地思考问题，逐渐适应高考对“减缩思维”的要求，对立意新颖、结构精巧的新题要予以足够的重视，但是。只有对难题进行专项突破，才有可能在高考中取得优异成绕平时考试成绩在七八十分及以下的同学，在解题过程中，要控制题目的难度，在“稳”“实”上狠下工夫。那些只有运用“特技”才能解决的题目，坚决摒弃，要把常用的解法掌握熟练，同时还要提高准确率，优化解题方法。提高解题质量，这关系到考试的成败，对于艺术考生，要狠抓基础知识点的巩固，解决最基本的基础题和中档题，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明，对于难题，要学会主动放弃。没有必要去浪费时间。

专题复习的过程中，时刻不忘建立知识与知识之间的纵横联系，高考中一般有以下几个专题，即：函数与导函数专题。平面向量与三角函数专题，平面向量与解析几何专题，空间向量与立体几何专题，概率与统计专题数列与不等式专题等，通过这几个专题的复习。瞄准重点、热点，提高解答题能力，此阶段考生不应沉迷于套卷演练，应以典型问题为载体，将解题经验或学习中的想法进行归纳总结，提炼出解题策略，突出数学思想的灵活运用，并加强计算能力的训练，使自己在第一轮复习的基础上，思维能力得以明显提升。

考前，老师讲的少，课外作业少，但是考试多，自己复习的时间多，这时同学们既不能手足无措找不到方向，更不能听之任之全面松懈，很多同学选择大量地进行综合练习，但是做题先要选题，高考真题是最好的练习题!因此建议同学们一定要好好做一下最近三年的高考试卷，包括全国卷和地方卷，领悟高考精神，熟悉高考模式：其次最好能找到近两年以来本地区的调研试题，在做题的过程中来巩固前面复习过的考点，“文物之道，一张一弛，”在紧张学习之余，还要学会放松调节自己。

高考考查点“万变不离教材”，许多的试题就来源于教材的例题和习题，如2010江苏卷填空题中的前10道都能在教材中找到原型，第17题应用题也是教材例题的变式，陕西卷第18题“叙述并证明余弦定理”也是如此，许多试题源于教材，难度略高于教材，由教材例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，二轮复习回归教材，不是要强记题型、死背结论。而是要把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，这样复习才有实效，

回顾教材并系统地整理高中数学的基础知识和基本方法，在自己的头脑中应形成明晰的知识体系，如函数、方程和不等式经常相互转化；如解析几何中曲线与方程，代数中的函数与图像之间的联系：解析几何与向量，解析几何与导数知识的交汇等，只有搞清楚知识之间的内在联系，形成知识结构和网络，在解题时才能从不同角度去分析解决，才能对知识融会贯通，运用自如，

看教材不是简单的看图识字，而是要达到查漏补缺的目的，这样备考的效率才会更高，比如要体验教材上定义、例题等表述的严谨性、规范性，克服普遍存在的答题不规范问题，同时。对于教材上出现的例、习题要认真研究，例如，证明函数的单调性时应利用定义通过“设值一作差一变形一判号一结论”的步骤完成；判断函数的奇偶性时应首先判断其定义域是否关于原点对称：利用基本不等式求函数最值时应按照“一正二定三相等”的程序进行：三角变换的主要手段是变角、变名、变次和1的代换：解决三角函数的求值或化简问题时关键在于“明抓公式、暗抓变换”：处理圆锥曲线的弦的中点问题时一般可归结为“设(直线方程)一代(入)一消(元)”或“设一代一减”模式，

1狠抓基础保成绩

从笔者参加高考阅卷的经历来看，老师在阅卷时，首先看同学们的解题方法是否正确，而一个题目可能有多种解题方法，我们要用最有效的解题方法，其原则是要体现“大众化”，即注重体现“通性通法’：因为选择“通性通法”解题，不但便于阅卷老师了解你的思路。而且也便于阅卷老师根据评分标准给出相应的分数。

2分步解决克难题

高考阅卷评分采用“得分点”给分的评分办法，叫做“分点评分”。使得上下不受牵连，考试若不注意准确表达和规范书写，常常会被扣分，如立体几何证明中的“跳步”，使很多人丢失三分之一以上的分数：代数论证中“以图代证”，因为作出的图形通常是近似的，不能作为严密的命题的证明的基础，因此得分就会少得可怜了，所以，只有重视解题过程中的推理严密，“会做”的题才能多“得分”。

3持续不懈抓规范

高考阅卷时间紧，任务重，速度要求非常快，很多时候，改一道题平均只用几秒钟时间，面对如此改卷速度，要尽可能博得老师的好感，卷面要整洁，字迹要工整，层次要清楚，如果书写模糊，涂改很多，会造成难以辨认，也不能准确给分，将会得不偿失，另外，答案重于过程，解答题中答案是最重要的，一个正确的答案有时候意味着拿到了这道题目所有的分数，只有答案错误时阅卷老师才不得不看你的解题过程，这种情况也是造成你的估分往往和最终结果不一致的根源，

考研数学复习时要训练灵活解题 第5篇

依据数学基本概念、基本性质、基本定理，从题目复杂的表面挖掘出题目考查的本质，注重一个知识点的不同形式的变化，这是考生接下来这段时间需要训练的主要内容。这段时间考生在做题时要注意以下方面：

一、思考的.习惯

阅读一个知识点，宏观上思考其在整个数学科目中作用及与其他科目之间的联系，微观上思考其本身概念的深度，其具有的特点及满足的性质等等。拿到一个题目，研究其条件与结论的联系，思考题目所在的知识点及可能使用的方法，能否用更多的方法来求解，能否找到最为简单的方法。看历年真题，总结考试题目的规律，思考命题特点及与考试大纲之间的联系。

二、高效解决问题的能力

考试时不仅要正确解答题目，更重要的是要快速的达到目的。现在很多辅导资料对知识点的总结，题型的归纳都比较全面，如果能利用其对知识的归纳再加上自己的边看边思考，对知识点达到融会贯通不成问题。

三、快速判断所考知识点的能力

考研数学大纲所规定的知识点是有限的，重要的知识点就更少一些，但考研数学已经进行了二十几年，重点之处年年考，但这些知识点每年都会换上新的外衣，乔装打扮，使不少考生被蒙蔽，之后悔之不及。

四、持之以恒的毅力

数学因其高于日常生活而常受到学生的冷落，这样就会产生马太效应，愈不关心她，它就离你愈远。故而考研复习需要保持对数学热情，坚持到底！

2025年考研数学强化解题训练 第6篇

考研数学复习做题必须与看书、总结密切结合，一味的题海战术或追求偏难怪的题型只会让你劳而无获。

2015考研数学警惕强化阶段做题误区

考研数学的复习一般要经历3个阶段，第一是基础复习阶段，这个阶段的长短由自身情况而定。基础好一点的同学，基础复习的时间可以缩短一些，基础弱一些的同学，基础复习的时间则可以长一点，但不宜太长。第二个阶段是强化提高的阶段，以看历年的真题为主，按照题型分类，题型再按考试大纲章节分类;第三个阶段是冲刺阶段，按照习题集(模拟题或者是历年真题)，成套做题。下面，针对暑期基础复习阶段中存在的一些误区作出分析。误区一：“考数学就要多看考研名家的辅导书”

考研复习的第一步是对复习资料的选择。走进书店，某某辅导班的复习全书、某某大师的复习宝典，令考生应接不暇。在经历了一场又一场类似广告宣传的讲座之后，很多考生都会盲目地认为考数学就要多看考研名家的辅导书。有些考生甚至同时购买了好几位名家的辅导书来复习。其实，这种复习方法事倍功半，同时对基础知识的巩固也不能做到全面、完整。在暑假进行的基础复习阶段，考生务必要从教材入手，为打好扎实的基础提供良好的条件。考研数学资料有两类，第一类是教科书，第二类是考研辅导专家针对考研而编写的资料。基础复习时选用的教科书应是深广度适当，叙述详略得当，通俗易懂，便于自学的正规出版物，如同济版的《高等数学》(第五版)、浙大版的《概率论与数理统计》(第三版)，同济版的《线性代数》(第三版)或北大版的《高等代数》(上册)。这些参考书可以说是公认的考研数学基础复习教材，因为这些课本同时也是很多高校的数学教材，所以对考生来说非常熟悉，也利于复习备考。至于第二类的考研资料也就是各名家的辅导书，适用于重点复习阶段，因为它的针对性较强，可以作为课本的补充，但绝对不能取代课本。

误区二：“常见考点比较简单，不用多复习。”

有的人觉得基础概念不重要，考研不会这么简单，所以一开始就把重点放在高、难、怪的题目上。实际上打好基础是最重要的，我们以考研常见的10种题型来分析把握概念的重要性。众所周知，以下10种题型是考研必考的题型：

1.运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。

2.运用导数求最值、极值或证明不等式。

3.微积分中值定理的运用。

4.重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。

5.曲线积分和曲面积分的计算。

6.幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。

7.常微分方程问题。可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。

8.解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。

9.矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。

10.概率论与数理统计。求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。

很多考生第一眼看到这些考点的时候都非常开心，因为这些考点太常见了!每年考研数学得高分的人非常多，甚至会出现好些满分，但为何每年过不了考研数学这道槛的人也很多呢?考研数学并不难，但涉及的知识点很多，只要你认真翻一下历年的数学考研大纲就不难发现，高数、线代、概率3门课程有很多知识点，都是需要认真而全面的复习。

既然是基础复习，就需要通览课本。因为很多同学认为课本很简单忽视了对课本的把握，在考研中往往得不到理想的数学成绩。与很多重视积累的基础学科一样，数学是由许多定义、定理、公式等积累起来，对这些细小东西的把握只能依靠课本，只有打好扎实的基础才能应对变化多端的考题。

误区三：“复习等于做题”

对于数学考试来说，就是解题，理论再好也要应用于实践。可以说，题海战术对于深化所学知识和锻炼解题技巧还是很有必要性的。在这样的指导思想下，很多同学就将做题看成是复习的全部，通过做题发现问题，又只用做题来解决问题。这种方法在考研数学复习的初始阶段是不宜采用的。

暑假进行的是基础复习，是一个打基础的阶段，而做题是为了更好地理解基础知识，或者在有扎实的基础之后的一个能力提升。所以做题必须与看书、总结密切结合，一味的题海战术或追求偏难怪的题型只会让你劳而无获。下面重点介绍下正确的暑期数学复习方法：第一步：按章节对课本进行复习，深刻理解每一个定义、定理、公式等。注意，在考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点。首先，全面复习就是要对考研数学建立一个整体的框架，缺少任何一个知识点都会使这个框架显得残缺;其次，在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为你后期备考的一个盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补。同时，要想快速、正确地解题，大脑中一定要储存大量的消化了的公式、推论和定理等，并且到达一定的熟练程度，需要时可随时调用。在此建议大家基础复习阶段一定要以看书为主，附带着做一些简单题目，做这些题目是为了更好地理解概念、公式和推论。

第二步：按章节对课后习题进行练习。首先应该明确，我们基础复习阶段做练习的目标，那就是对各个知识点的巩固。而课后习题就是最到位、最合适的巩固练习，此外，你还可以通过这些简单的练习，及时地了解自己对各知识点的掌握情况，为下一阶段的复习重点提供参照。

第三步：及时总结，总结是一个良好的复习方法，是使知识的掌握水平上升一个层次的方法。在单独复习好每一个知识点的时候一定要联系总结，建立一个完整的考研数学的知识体系结构。比如，在复习好积分这个知识点的时候，要能建立积分、二重积分、多重积分之间的关联，由此及彼，深刻理解掌握每一个知识点。

误区四：“为做题而做题”

所谓“为做题而做题”是对考生在做题技巧方面存在的问题的概括。通过做题来巩固提高，是数学复习中不可缺少的组成部分。暑期进行的高强度的基础复习，自然会伴随着一定量的做题练习，但绝不能为做题而做题。这一误区有3个方面的表现：

1.只重技巧不重理解。这是一种投机心理的表现。学习是一件很艰苦的工作，很多人片面追求别人现成的方法和技巧，殊不知方法和技巧是建立在自己对基本概念和基础知识深入理解的基础上的，每一种方法和技巧都有它特定的适用范围和使用前提。也就是说，单纯的模仿是绝对行不通的，这就要求我们必须放弃投机心理，塌实、透彻地理解每一个方法的来龙去脉。

2.看题等同于做题。由于时间原因，很多人只是匆匆忙忙地看书而不动手练习，造成眼高手低。数学是一门严谨的学科，容不得半点纰漏，在我们还没有建立起完备的知识结构之前，一带而过的复习必然会难以把握题目中的重点，忽略精妙之处。况且，通过动手练习，我们还能规范答题模式，提高解题和运算的熟练程度，要知道3个小时那么大的题量，本身就是对计算能力和熟练程度的考查，而且现在的阅卷都是分步给分的，怎么作答有效果，这些都要通过自己不断的练习去体会。

3.做题翻书，不记公式。有许多人还有这样的习惯，不牢记公式，做题的时候遇到记不住的公式就看书，查完了也就算是复习过了。数学的逻辑性很强，公式和公式、定理和定理之间有着必然的内在联系，我们应该在平时的复习过程中通过理解加以记忆，而不是单纯地背诵。机械的记忆容易遗忘和产生差错，导致考试时用错公式却全然不知，如此造成失分岂不冤枉?

2025年考研数学强化解题训练 第7篇

辩证唯物主义和历史唯物主义是马克思主义哲学的主要观点和方法。认真学习、反复领悟相关理论对考生观察事物、分析问题大有裨益。比如唯物论，马克思主义认为，世界的本原是物质（客观存在性），物质决定意识，意识反作用于物质，物质是多样性和一元性的统一。考生要认清自己本身这个最大的实际，在备考时要从自身实际出发，制订复习计划。政治理论是很鲜活的，只要有心，就可以把它运用到生活的方方面面。辩证法教会了我们要辩证、一分为

二、全面、具体、历史地看问题和观察世界，矛盾规律是其核心内容。矛盾的两方面是同一性和斗争性的统一，在一定条件下可以相互转化。认识了这个道理，对暑期复习中的“炎热”、“烦躁”要一分为二看待，创造条件，化困难为积极因素。

政治知识点非常多，研考生一味地依靠做题来记忆知识点不可取。在这个时期内，大家的首要任务是把基础知识浏览一至两遍，而且要事无巨细。在复习时，要以分点形式进行，预测一下可能出题的形式，看到某个会议、某个地点或者某个人物要思考，可能会出什么单选题，遇到某个理论演进过程要考虑到有几个阶段，分点记清楚，有目的地去做多选题。在全面掌握的基础上，可做适量选择题来巩固知识点。只有这样，才能最大程度地保证后期做题的效率。

政治理论课涉及的内容广、课程多，不同考生对各门课的掌握程度和基础不一样，在时间分配上要视情况作出适当的安排。根据时间的多少与总阅读量的多少，考生要确定每天、每个星期或每个月要看多少书，把握好复习进度，据此制订书面的长期、中期和短期复习计划。当然计划也不是一成不变的，考生可根据复习的进展相应调整。计划一旦制订，就要自觉认真执行，只有在这段集中的时间内将政治进行系统复习，才能做好知识的强化。

强化分类思想,提高数学解题水平 第8篇

一、引导学生结合数学公式分类

在应用分类思想解决数学问题的时候, 有些初中生会问, 哪些数学习题需要应用分类思想来解决, 哪些习题不需要应用分类思想来解决呢?数学教师要引导学生从数学概念、数学性质的角度理解眼前要解决的数学问题需要不需要分类。

以初中数学教师引导学生做习题1 为例:如果|m- n|=n- m, 并且|m|=4, |n|=3, 那么求出 (m+n) = (m+n) 2的数值。这一道数学习题是解绝对值的习题, 绝对值问题的性质本身就存在分类的概念。绝对值存在正值、负值、零的问题。学生在解决绝对值问题时, 尤其不能忽略绝对值可能为零的问题, 否则可能出现解题错误。现解答习题1:由于|m|=4, 并且|n|=3, 因此m=±4, n=±3, 结合条件|m- n|= n- m, 于是可得n- m ≥0, n≥m。将条件代入不等式中, 即n= 3时, m的取值为- 4, (m+n) 2的数值为1;而当n=- 3 时, m的取值为- 4, (m+n) 2的数值为49。于是可得 (m+n) 2的数值为1 或49。在数学问题中, 平面几何问题也存在分类的概念, 比如平面几何问题可以分为四边形问题、三角形问题、圆形问题等, 每一类问题中又包含有数个问题。几何问题可以用分类问题来讨论, 概念问题也存在分类讨论的问题……。数学教师要引导学生了解分类思想是一种重要的解决数学问题的思想, 学生要学会给数学概念、数学公式应用分类思想解决各种数学问题。

学生在解决数学问题中, 可能会遇到一些需要应用到数学概念、数学公式的问题, 此时学生可应用分类思想解决这些数学问题, 在这一环节里, 学生需要关注的是是否漏掉了某些数学分类。如果学生深入了理解数学概念和数学公式, 便能应用分类思想解决该类数学问题。

二、引导学生结合隐含条件分类

学生在解决数学问题的时候, 有些问题的分类条件是隐含的, 需要学生自己去寻找出来的。教师要引导学生应用数形结合的思路来看待这些数学问题, 正确的对数学问题分类。

以初中数学教师引导学生学习习题2 为例:⊙O是等边△ABC的外接圆, 其中D是BC上异于B和C的一点。问题1:在CD的延长线上的延长线上取点E, 令DE= BD, 求证△BDE是等边三角形;问题2:BD的度数比为1∶3, ⊙O的半径为1, 取点F, 使△DCF为等腰钝角三角形, 求DF的取值范围。参看这一题的问题2, 如果学生能够发挥空间想象力, 便能了解F有三种取值方法, 这三种取值方法的描述如图1、图2、图3, 只要学生的空间想象力不足, 就会漏掉解题的条件。习题2 的取值条件与数学概念和数学公式有关, 然而却并非包含在数学概念和数学公式里, 学生必须依靠自己的想象力挖掘隐藏的取值范围, 找到完整的解题思路。数学教师在引导学生应用分类思想解决数学问题的时候, 要引导学生了解到有些数学问题的分类方法不是显而易见的, 如果学生发散能力不足, 可能就会忽略掉隐藏的解题条件。为了避免解题时出现这种问题, 教师要引导学生在遇到较难的数学问题时, 学会用数形的方法辅助思想, 图形的直观性比较强, 学生可借助几何图形、座标图形发挥想象力, 挖掘习题中隐藏的数学条件。

学生如果仅仅应用现有的数学概念、数学公式, 可能还不能解决部分数学问题的分类问题, 教师要引导学生用另一种角度思考数学问题:尝试应用丰富的想象力找到数学问题的分类, 再应用分类思想解决数学问题。

三、引导学生结合复合条件分类

部分数学问题不能应用一种分类思想分类, 它可能存在多种分类的思路, 这时数学问题的分类就显得比较繁锁。为了帮助学生找到分类的要点, 数学教师要引导学生用抽象的复合条件看待数学分类的问题。找到分类的切入点。

以数学教师引导学生做习题2 为例:已知抛物线y=x2+x+m与x轴相交于A、B两点, 与y相交于C点, 求△ABC可能出现的分类。这一题的分类问题由三个因素决定, 第一个因素为抛物线的因素, 第二个因素为直线的因素, 第三个因素为座标轴的因素。学生只有全面的考虑这三个问题, 才能准确地抓住这个数学问题的分类要点。数学教师在引导学生解决这类数学问题时, 要引导学生用集合的思路来思考数学问题的分类。即将第一个因素和第二个因素视为两个集合, 从中找到分类问题的交集。然后该交集形成一个新的集合, 结合该集合与第三个因素集合进行判断, 再次得到集合。该集合就是数学分类问题的分类条件。应用该思路, 可找到习题3 的解题思路, 描述如图4 与图5。初中生在遇到数学问题时, 有时涉及到数学问题的分类因素比较多。教师要引导学生应用集合与排除的思路找到数学问题分类的条件。

学生在遇到复合数学问题分类因素时, 要应用抽象的思路来考虑数学分类的问题, 此时学生首先要用抽象的思路找到影响数学问题分类的因素, 然后结合多种因素绘制出几何图形及排出流程图来找到数学问题分类的关键。当学生找到数学分类的关键时, 可通过画图来验证自己的分类思路是否具有可行性。

分类思想是解决数学问题的一个重要思想, 初中学生如果学会应用数学分类思想, 就能把一个复杂的数学问题变为几类简单的数学问题, 化简解题的过程。然而学生应当如何应用分类思想呢?本次研究说明了分类思想应用的方法, 数学教师要引导学生掌握本次研究所述的数学分类技巧, 这些数学分类技巧会成为学生解决数学问题的有力武器。

摘要：分类思想是初中学生必须掌握的一种数学思想, 初中生只有学会这种思想, 才能高效地解答某些数学习题。教师要善于引导学生结合数学公式分类, 引导学生结合隐含条件分类, 引导学生结合复合条件分类。

关键词：分类思想,数学,解题,水平

参考文献

[1]和玉梅.数学分类思想及其应用[J].科技致富向导2014年21期

2015年考研数学备考三重视 第9篇

考研是一项艰巨的过程，初试考试科目包括数学、英语、政治以及专业课，数学试卷是150分的分值，在考研总成绩中占有较大的比例。虽然数学经常被许多考生比喻成考研途中的“拦路虎”，甚至有很多考生都对数学犯愁，就怕数学挂了。即使前期数学基础不太好，但是后期如果学习方法对头，数学提升成绩也会很快的，最后取得一个高分会和其他学生拉开一个很大的差距，对提高整体的考研成绩起到一个关键性的作用。以下几点要引起重视：

第一，重视基础;

考研数学23道题目，70%的题目都是基础题，包括基本概念、基本理论和基本方法。基本概念有极限、连续、间断点、可导、可微、渐近线、拐点、可积等等;基本理论有单调有界准则、夹逼准则、闭区间连续函数的性质、微分和积分中值定理等等;基本方法有极限的四则运算法则、罗必达法则求不定式极限、幂级数的求和、函数的幂级数形式展开、常见微分方程的解法等等。从近十年考研数学真题来看，几乎没有出现过偏题、怪题，基本上都是以常规题目考查为主的。

第二，重视计算;

考研数学中80%的题目都是计算题，这就要求你的计算能力一定要过关，否则即使这道题目你有完整的思路，但是计算过程出现失误，也会导致你最后的结果是错误的，数学拿不到高分。有些同学学习数学时容易出现眼高手低的坏毛病，一看题目，觉得题目不难，自己不用笔进行计算解答，直接看答案，这样的考研复习是不会有进步的。再次强调复习时一定要多动手，多思考。

第三，重视归纳总结;

同学们每做一道题目的时候，都要从两方面进行分析：一是，这道题的考点是什么?以及同类型题目该如何求解。二是，通过做这道题目，对你而言具有价值有哪些?比如对知识点有更深的理解、掌握了一种解题技巧等。每做完一道题目，一定要明白其解题思路，对于解题过程中所用到的方法、技巧要进行归纳总结，如求极限、微分中值定理的应用、二重积分的计算等等，切记不能因题而做题，我们做题是为了提高自己的知识层次和解题能力。

最后，祝2015考研学子们学习进步!

2025年考研数学强化解题训练 第10篇

第一步：基础夯实阶段

基础夯实阶段从时间上讲，大致是从二月份到六七月份，复习内容是考试大纲涉及到的各个知识点，复习方式是地毯式的逐点攻克，包括所有的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法、基本思想，这是后续复习阶段的基础，也是考试的基础，因为考研数学考试不是奥数竞赛，不考怪题、偏题，主要是考基本知识和基本方法。

在基础夯实阶段，要以知识点为复习主线，全面地复习考纲内所有的知识点，不管是年年都考的核心知识点，还是偶尔考一下的次要知识点，都不放过，之所以要这样做，主要有两个原因：一是因为数学知识是体系化的、相互联系的一个整体，只有全面地复习才能对知识有一个整体的把握和透彻的理解，在考试时才能做到心中有数、沉着应战，另一方面，某个次要知识点虽然不是年年都考，但多个次要知识点加在一起就有可能考其中的若干个，其分值之和也不小。在基础夯实阶段，不要一开始就沉浸在题海之中，否则会因为基础知识没掌握好而导致做题效果差，并且到复习后期会越来越艰难，越发不易提高。当然，适当结合各个知识点的复习做一定量的习题是必要的，毕竟考试是以做题形式进行的。

在基础夯实阶段，可以选用内容比较全面的复习全书，如文都教育的2015年考研数学复习大全。

第二步：强化提高阶段

在经过前一阶段的全面的基础知识复习之后，接下来就应该通过做题来进行强化提高——提高自己解题的能力，包括解题的正确率和速度，提高知识的灵活应用能力，同时对第一阶段的复习进行查漏补缺。

在做题的过程中，要注意不断地进行归纳总结，对不同的题型进行归纳总结，总结出各种有效的解题方法、思路、规律，不能盲目地做题，不能为做题而做题。强化提高复习阶段在时间上大致是七月至10月左右。

第三步：考前冲刺阶段

考前大约2个月时间，即11月和12月，为考前冲刺阶段。在经过前二个阶段的全面和强化复习后，这时就应该做一些往年的考研数学真题和今年的模拟题，一方面可以进一步巩固所学各方面知识，提高解题能力，另一方面可以提高自己面临正式考试时的适应能力，使自己不至于怯场。

考研政治强化解题思路解析 第11篇

秋来了，枫叶红了，考生朋友，你的考研政治的基础知识点是否已全面掌握?这里专家提出几点复习目标和复习任务，考生可根据此建议进行合理制定复习规划，以便提高复习成果。

首先，确定复习的主要目标。

在考研强化复习时期，最主要的目标就是全面了解知识点并理解其特性，掌握其应用规律，提炼知识点加以重点记忆。

其次，掌握复习的主要规律。

在先前的复习中，考生已基本掌握基本概念和原理，在强化阶段应侧重于对知识点的深化理解和系统把握。对与基础的知识点加强实际运用的能力。要形成知识脉络、学科体系以及整个政治理论相互关联的大框架。

再次，了解复习的主要任务。

在这个阶段主要的任务有：第一，提炼知识点，进行重点记忆;第二，加强练习量，通过不断的做题加强、巩固记忆，加深对问题的理解。

在这一时期，要加强对外界重大事件的积累，并运用知识点进行解读，拥有自己的理解观点，这样可以有效的提高应试能力。

最后，强化解题的主要方法。

从根本上讲，选择题是最易得分也是最易失分的，考生应在平时练习的时候，加强对题干选项的理解能力和选择判断的能力，选择题分为两类：答案唯一型和答案最佳型。考生可根据排除法选择最符合题干的选项。而分析题的`解题方法主要是理论联系实际，首先阐明自己的观点，并加以知识点论证，在论证过程中需要论点条理清晰，这样更利于阅卷老师给分，最后写上结论，这样才是以完整的答题过程，缺一不可。

根据上述对考研政治的强化复习阶段的目标和任务，考生可根据自己复习情况，适当调整和修改下面的复习安排，这样有助于提高复习最终的效果。希望考生可以如愿以偿，实现自己的考研梦。

利用数学解题强化学生素质教育 第12篇

命制试题时, 注重拓宽题材, 通过多样化的选材和试题信息的合理匹配, 以及恰当的设问, 有层次地考查数学理性思维, 揭示数学本质.

例1设函数y=f (x) 在 (-∞, +∞) 内有定义.对于给定的正数K, 定义函数, 取函数f (x) =2-x-e-x.若对任意的x∈ (-∞, +∞) , 恒有fK (x) =f (x) , 则 () .

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1.

分析这道题是对分段函数的解析式的求法及图像的作法、函数恒成立问题的考查, 这道题考查学生对函数知识的综合能力及较强的读题分析能力.这也就要求我们在平时教学中对学生既要强调对知识的掌握, 也要能够对题意准确理解.

例2将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0~1三角数表.从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行……第______次全行的数都为1的是第______行, 第61行中1的个数是______.

分析这是一道以杨辉三角为载体的题目, 对大多数学生来讲都是比较熟悉的.如果我们把二进制的运算引进来就不难发现, 这表中的每个数都是它肩上的两个数的和 (规定1+1=0, 0+0=0) , 这与杨辉三角是一样的.所以这道题考查学生的观察力和迁移能力.先由条件找到全行的数都为1的前几项, 利用前几项的规律来求出全行的数都为1的行得通项即可.

知识只有插上能力的翅膀才能腾飞, 能力是知识的运用和实践, 又是知识的升华和延伸.只有用好所学知识才能解问题.

二、加强创新意识的考查, 从促进学生学会学习的角度, 考查独立学习、获取新知识的能力

创新意识是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中, 知识的迁移、组合及融会的程度越高, 展示能力的区域就越宽泛, 显现出的创新意识也越强.因此试题形式的多样性, 考查内容的层次性, 呈现问题的开放性与探索性等, 以加强对考生创新意识的考查.如对传统内容试题的设计, 力求推陈出新, 对新增内容的试题设计, 关注与传统内容的交汇融合, 以形成联系广泛、背景新颖、结构精巧的试题.考查学生对问题的探索能力.

例3对于n∈N*, 将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20, 当i=0时, ai=1, 当1≤i≤k时, ai为0或1.记I (n) 为上述表示中ai为0的个数 (例如1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I (1) =0, I (4) =2) .则: (1) I (12) =______; (2)

分析这道题给我们的感觉是在考查进制的, 从教材中引申一些新的数学概念、符号, 要求考生运用所给的新概念或符号作进一步的运算、分析、推理来解决问题.新定义一种表示, 要求考生运用二进制、排列组合、二项式定理、等比数列等基础知识以及分类与整合的数学思想解决问题.

三、从培养学生实践能力的角度, 考查数学应用意识.从培养学生综合素质的角度, 考查综合运用知识的能力以及个性

创设生活化的教学情境, 激发学生的应用意识.数学情景是沟通现实生活的具体问题与抽象概念之间的桥梁, 把真实的生活情景转化为数学情景, 使数学知识生活化, 给数学找到生活的原型, 为学生主动从数学的角度去分析现实问题、解决现实问题提出了示范.“发展学生的数学应用意识”是数学新课程的一个重要理念.高考数学卷特别注重对数学应用意识的考查.除有一道与概率统计内容相关的解答题外, 另有一道依据现实生活背景, 提炼相关数量关系, 构造数学模型, 解决数学问题的应用题.

生活问题数学化, 数学问题生活化是对知识的认识和转化能力运用.所以我们要加强学生对问题分析和转化能力的培养, 也是强化学生素质的教育.因此试题设计强调综合性较强、能力层级较高, 以考查考生综合分析和解决问题的能力.需要考生综合运用函数、导数、不等式、数学归纳法等相关知识以及函数与方程、数形结合、分类与整合等思想.素质教育不等于知识传授教育和能力培养教育, 但知识结构优化、能力结构完备, 却是成为具有高素质人才的必备条件.素质教育的实质就是通过教学, 以知识传授和能力培养为主要载体, 在此基础上培养学生的综合素质.换言之, 正确处理好知识学习、能力培养和素质提高三者的关系, 促进其协调发展、融为一体, 则是素质教育理念的关键所在.

摘要：从高考分省命题以来, 各省数学卷逐步形成了各自鲜明的特色和风格, 但是“知能并重, 深化能力立意;突出对创新意识和作为数学核心能力的思维能力的考查;注重对数学应用意识的考查”, 也就强化学生的数学素质考查作用.

考研英语：强化阶段阅读解题技巧 第13篇

强化阶段――如果大家基础阶段一直坚持复习，那么强化阶段就要注重阅读技巧的总结和练习。能够针对考研英语阅读的各种题型：细节题、推理题、词义题、 例证题、主旨题、态度题总结实用的解题技巧，提升自己的正确率。而在所有阅读题型中，推理题是占第二大比例的题。推断题 分为细节推理题和段落推理题。今天我们着重讲解段落推理题的解题秘诀。

首先，段落推理题目题干中的标志词为infer,learn,imply, conclude, suggest, indicate等;以及段落标志词paragraph 3，the first paragraph, the first two paragraphs，当只有这两种词出现时，即可判定其为段落推理题。其次，推理题的常考出题点：1.段落首末句、主题句、观点句;2.与主题密切相关的细节;3、转折的地方;4.强调或者递进关系的地方。考研英语阅读中推理题通常为正反推理和归纳总结。最后，做题时考生还要记住以下几点：1、主题大于细节，观点大于论据;2、推理必须以原文为依据;3、特别关注转折，弄清转折前后内容的逻辑关系。

推理题解题步骤如下：

首先，根据题干关键词，判断是否为段落推断题。段落推断题关键词为Paragraph5和show, infer, learn, imply等。

其次，迅速找到段落中心句并仔细阅读该句。段落中心句往往是段落考察的重点，因此考生可以重点分析段落中心句。

最后，段落中心句和选项进行精确比对，直击答案。

下面以最近十年真题为例，为大家详细剖析段落推理题解题秘诀。

真题：Text 2

27. It can be inferred from Paragraph 3 that ________。

[A] the sightseers cannot visit the Castle and the Palace separately

[B] the playgoers spend more money than the sightseers

[C] the sightseers do more shopping than the playgoers

[D] the playgoers go to no other places in town than the theater

The tourist streams are not entirely separate. The sightseers who come by bus -- and often take in Warwick Castle and Blenheim Palace on the side -- don’t usually see the plays, and some of them are even surprised to find a theatre in Stratford. However, the playgoers do manage a little sight-seeing along with their playgoing. It is the playgoers, the RSC contends, who bring in much of the town’s revenue because they spend the night (some of them four or five nights) pouring cash into the hotels and restaurants. The sightseers can take in everything and get out of town by nightfall。

【直击答案】根据题干可知，本题为单段落推理题。本段有转折词however 和观点句the RSC contends, 这两句任选一句为段落中心句，或者两句联合理解，即可选出正确答案。However, the playgoers do manage a little sight-seeing along with their playgoing. (看戏的人除了看戏还要进行一些观光。)It is the playgoers, the RSC contends, who bring in much of the town’s revenue because they spend the night (some of them four or five nights) pouring cash into the hotels and restaurants。(RSC认为，恰恰是看戏的人给小镇带了大多数的`收入，因为他们他们过夜(有些人4到5天)向酒店和餐馆注入现金。两句都强调“看戏的人给小镇带来了大多数的收入”因此正确答案为B the playgoers spend more money than the sightseers(看戏的人比观光的人花更多的钱)。

真题：20Text 2

26. From the first two paragraphs, we learn that ________。

[A] the townsfolk deny the RSC’s contribution to the town’s revenue

[B] the actors of the RSC imitate Shakespeare on and off stage

[C] the two branches of the RSC are not on good terms

[D] the townsfolk earn little from tourism

Stratford-on-Avon, as we all know, has only one industry -- William Shakespeare -- but there are two distinctly separate and increasingly hostile branches. There is the Royal Shakespeare Company (RSC)， which presents superb productions of the plays at the Shakespeare Memorial Theatre on the Avon. And there are the townsfolk who largely live off the tourists who come, not to see the plays, but to look at Anne Hathaway’s Cottage, Shakespeare’s birthplace and the other sights。

The worthy residents of Stratford doubt that the theatre adds a penny to their revenue. They frankly dislike the RSC’s actors, them with their long hair and beards and sandals and noisiness. It’s all deliciously ironic when you consider that Shakespeare, who earns their living, was himself an actor (with a beard) and did his share of noise-making。

【直击答案】根据题干可知，本题为双段落推理题。答案一般为第二段段落中心句。考生找到第二段段落中心句，即可找出题目答案。第二段是总分结构，因此首句为第二段段落中心句“The worthy residents of Stratford doubt that the theatre adds a penny to their revenue。(斯特拉特福德的居民怀疑剧院增加了他们的收入一分钱。)因此，可以推出选项A the townsfolk deny the RSC’s contribution to the town’s revenue(小镇居民否认剧院为小镇收入做出了贡献)为正确答案。

细节推理题解题步骤如下：

首先，根据题干关键词，判断是否为细节推理题。细节推理题，顾名思义，既具有细节题的特征，也具有推理题的特征。细节题的关键词为名词、动词、形容词。推理题关键词为Paragraph5和show, infer, learn, imply等。

其次，迅速找到段落中心句并仔细阅读该句。由于细节推断题必定涉及到该段落的具体信息，而段落中心句往往是段落考察的重点，所以考生可以重点分析段落中心句。

最后，段落中心句和选项进行精确比对，直击答案。细节推断题的正确答案是一般为段落中心句的同义改写。因此，考生能否准确理解段落中心句是能否做对推理题的关键。

下面以真题为例，为大家详细剖析推理题解题秘诀。

真题：20Text 1

24. Paragraph 5 shows that our imitation of behaviors __________。

[A] is harmful to our networks of friends

[B] will mislead behavioral studies

[C] occurs without our realizing it

[D]can produce negative health habits

There’s no doubt that our peer groups exert enormous influence on our behavior. An emerging body of research shows that positive health habits―as well as negative ones―spread through networks of friends via social communication. This is a subtle form of peer pressure: we unconsciously imitate the behavior we see every day。

【直击答案】根据题干our imitation of behaviors, Paragraph5, shows可知，本题为细节推断题。本段段落中心句为最后一句(特殊标点“冒号”)：“This is a subtle form of peer pressure: we unconsciously imitate the behavior we see every day。”(……我们下意识地模仿每天看到的行为)，可以判断选项C“(行为模仿)在我们没有意识到的情况下发生”是正确答案。选项A“不利于我们的朋友网络”，选项B“将误导行为研究”，和选项D“会产生不良健康习惯”，并未在本段提到。

真题：年Text 3

32. It can be inferred from Paragraph 2 that credibility process requires _________。

[A] strict inspection [B] shared efforts

[C] individual wisdom [D] persistent innovation

Consequently, discovery claims should be thought of as protoscience. Similar to newly staked mining claims, they are full of potential. But it takes collective scrutiny and acceptance to transform a discovery claim into a mature discovery. This is the credibility process, through which the individual researcher’s me, here, now becomes the community’s anyone, anywhere, anytime. Objective knowledge is the goal, not the starting point。

【直击答案】根据题干credibility process requires, Paragraph 2, infer可知，本题为细节推断题。本段段落中心句为第三句(转折标志词but)：“But it takes collective scrutiny and acceptance to transform a discovery claim into a mature discovery。”(但是要把声称发现转换到真正的科学发现需要共同的监察与认可)，可以判断选项B“共同努力”是正确答案，collective对应shared，efforts对应scrutiny and acceptance。选项A“严格的检查”，选项C“个人的智慧”和选项D“持续的创新”，并未在本段提到。

2025年考研数学强化解题训练 第14篇

1. 定义法

定义法就是直接用数学定义解题的方法。数学概念一般是以定义的方式来表达的, 数学中的定理、公式、性质和法则等都是由定义和公理推演出来的。深刻理解数学定义是掌握数学基础知识、会用定义解题的前提, 巧妙的解法常常来源于对定义的运用。波利亚在《怎样解题》中提出回到定义去, 一些专家学者把“回到定义去”作为一个重要的解题策略。无论是高考还是“专升本”等数学试题中, 历年都有一定数量的用定义法解答的试题。

值得注意的是:从2007年至2012年, 全国普通高考统一数学试题全国卷 (无论文科或理科试题) 中几乎每年都有运用圆锥曲线定义解答的题, 对一些基础较差的学生来说, 用圆锥曲线定义 (尤其是第二定义) 解题恰是他们的薄弱环节。

例1. (2012年全国普通高考统一数学试题 (以下简称“高考”) 全国卷理科第8题、文科第10题) 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点, 点P在C上, |PF1|=2|PF2|, 则cos∠F1PF2= () .

分析:求解此题的关键在于会用双曲线定义列出:, 再据余弦定理就可得出正确答案。2010年高考全国卷一文科第8题与此题基本类似。

数学分析中, 最重要、最核心的方法为定义法。因为微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的[2], 如, 连续、导数、定积分、广义积分等都是用极限来定义的, 所以有关这些方面知识的考题, 在不知道函数解析式或函数是分段函数时, 往往是用相应的定义证明、解答。

例2. (2003年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学 (一) 试题 (以下简称“专升本”试题) 一、7) 设函数y=f (x) 满足, 则f′ (0) =_____.

解:此题考查的知识点显然就是导数的定义, 考生须对导数的定义有深刻理解才能正确求解。

例3. (2011年“专升本” (一) 试题二、12) 设函数在x=0处连续, 则a=_____.

解:此题考查连续函数定义, 是一类常见考题。

解:计算广义积分总是按定义将其化为定积分与极限两种运算。

2. 数形结合法

数形结合是最重要的数学思想方法之一。对于所研究的代数问题, 有时可研究对应几何图形的性质, 使问题得到解决 (以形助数) ;或者对于所研究的几何图形问题, 可研究对应图形的数量关系, 使问题得到解决 (以数助形) , 这种解决问题的方法叫数形结合法。恩格斯指出:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”17世纪笛卡儿建立了直角坐标系, 把对立着的两个研究对象“形”和“数”统一起来, 被恩格斯称为数学中的转折点, 所以数形结合是数学的本质特征。华罗庚先生说:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微;数形结合百般好, 隔裂分家万事非。”发挥形的生动直观性, 使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化;发挥数的运算的规范性与严密性, 使几何图形的一些性质得以深入精确地刻画。波利亚在《怎样解题表》中也指出:画张图, 引入适当符号。运用数形结合法解题, 不仅能够直观地发现解题途径, 而且能够避免复杂的计算与推理, 大大简化解题过程, 节约时间。在历年的高考试题中, 考查数形结合的试题都占相当大的比重。有关函数 (包括三角函数) 、解析几何的试题一般都要用数形结合法解答, 此外一些题型也值得关注:解分式或高次不等式 (是一类常出现的考题, 多在选择题中出现) ;线性规划中求目标函数的最值 (近七八年来成为每年高考必考题) ;立体几何中证明垂直、平行, 求线线、线面、面面所成的角等 (近几年常以大题形式出现, 难度大分值高) 。证明、解答上述几类题运用数形结合和转化法效果较好。

例5. (2010年高考全国卷二理科一、5) 不等式的解集为 () .

A.{x|x<-2, 或x>3}B.{x|x<-2, 或13}D.{x|-2

分析:解此类不等式借助图形用通俗的叫法“穿根法”解答, 比化为不等式组或列表法要迅速、简捷得多。

把使分子、分母为0的x值 (叫根) 对应的点在数轴上标出, 从最大根的右上方从右至左任画一条曲线穿过所有的根, 据不等号和图形, 立即就可选出正确答案为C。2004年、2007年、2009年高考全国卷中都出现类似的题。

例6. (2012年高考课标卷理科二、14) 设x、y满足约束条件, 则z=x-2y的取值范围为.

分析:此题实质上就是求z的最大值和最小值。解题的关键在于正确作出约束条件表示的区域, 利用直线在y轴上截距的几何意义即可求解。或用向量法, 设a= (x, y) , b= (1, -2) , 则z=a·b, 据向量内积几何意义也较容易求出。此题若不画图, 通过解方程组求出6个交点, 代入z的表达式比较z值的大小求解, 一是计算量较大, 二是容易出错, 因为交点 (0, 3) 不在区域内, 会得出zmin=-6的错误结果。

例7. (2012年高考全国卷理科18) 如图 (略) , 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, , PA=2, E是PC上的一点, PE=2EC.

(Ⅰ) 证明:PC⊥平面BED;

(Ⅱ) 设二面角A-PB-C为90°, 求PD与平面PBC所成角的大小.

分析:此类题目若用传统解法即化为平面问题用平面几何知识证明、解答, 一般难度较大、较繁。证明 (Ⅰ) 时, 要作辅助线, 通过用两个三角形相似的条件对应边成比例 (学生较熟悉的是相似三角形对应边成比例) , 证明△FCE∽△PCA来证明PC⊥EF, 技巧性较强, 还用到三垂线定理 (目前教学中有被弱化趋势) ;在解答 (Ⅱ) 中, 求出点D到平面PBC的距离技巧性也较强, 需经转化成求点A到平面PBC的距离, 最后据线面所成角的定义求出PD与平面PBC所成的角, 线面所成角的定义是个教学难点。此类题目若用向量法证明、解答, 要显得较容易, 因为只要建立了适当的直角坐标系, 求出 (或设出) 相关点的坐标后, 运用向量内积定义式, 问题就转化为代数问题, 变为程序化、公式化了.

3. 逆向思维法

逆向思维又称反向思维, 是以对立的、颠倒的、相反的角度去想问题, 是一种逆常规思路的思考[3], 它是创造性思维的一个重要组成部分。数学解题中常用的反证法、分析法、逆证法等, 本质上都是逆向思维法。数学中的定义都有可逆性, 多数公式、定理、运算法则也都具有可逆性。可能是受小学、初中形成的“正向思维”定势影响, 不少学生不会用上述方法和可逆性解题, 这也正是他们解题过程中思维受阻的一个重要原因。在历年高考和“专升本”等数学试题中, 运用逆向思维法解答的也占有一定比例, 而且一般难度都较大, 解题的关键在于是否善于逆向思维。

例8.定义在 (-1, 1) 上的奇函数f (x) 是减函数, 且f (1-a) + (1-a2) <0, 求a的取值范围.

分析:解此题的关键和难点是对函数奇偶性、单调性定义的逆用, 只要做到f (1-a) +f (1-a2) <0圳1-a>a2-1这一步, 难点就突破了。

例9. (2003年高考课标卷理科17) 已知:函数f (x) =2sinx (sinx+cosx) . (Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期和最大值.

分析:此类考题常出现, 解题的难点和关键点是会逆用两角和与差的正、余弦公式, 将函数解析式化为正、余弦型函数一般式后就可以用周期公式和函数有界性将问题解决。

例10. (2010年“专升本” (二) 27) 证明:当x>1时, x>1+lnx.

分析:此类题直接证明都很难, 应对结论逆向思维 (即分析法) 将结论等价变形为x- (1+lnx) >0, 平时学生只要做过类似的题, 就会联想到通过用导数知识证明函数f (x) =x- (1+lnx) 的单调性来证明, 问题就迎刃而解了。又如2011年高考课标卷文、理科21题 (Ⅱ) 与此题类似, 只不过计算较复杂, 要分类讨论。

例11. (2009年高考天津卷理科一、1) 若是3a与3b的等比中项, 则的最小值为 () .

解:解答此题的关键是会逆用化简后的题设条件a+b=1。

例12. (2007年高考全国卷文科18 (Ⅰ) , 题目条件略) 求3位购买商品的顾客中至少有一位采用一次性付款的概率.

解:此题若用直接法求明显较繁, 可逆向思维, 先求出其对立事件的概率即3位都不采用一次性付款的概率 (比较容易求) , 再用对立事件概率公式就可得到所求概率。

从对以上一些考题的分析可以看出, 数学试题可以千变万化, 但解题的思想和基本方法不会变, 提高解题能力的关键在于灵活运用数学思想方法。“如果把解题比做打仗, 那么解题者的‘兵力’就是数学基本知识, 解题者的‘兵器’就是数学基本方法”[4]。波利亚在《数学的发现》序言中强调指出:“中学数学教学首要任务就是加强解题训练。”因此, 教学中让学生在牢固掌握数学知识的基础上, 加强运用重要数学思想和基本方法解题的训练, 并教会学生在解题过程中善于总结, 发现规律, 概括为自己的解题模式, 对培养学生的思维品质和提高学生的解题能力是行之有效的教学方法和途径。

参考文献

[1][4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2008.9:2.

[2]高中数学第四册教学参考书[M].人民教育出版社, 1980.7, (第一版) :3.