有理数章节知识点总结

有理数章节知识点总结（精选9篇）

有理数章节知识点总结 第1篇

一、教学目标

知识与技能：学习正数、负数、有理数的概念，会用正、负数表示具有相反意义的量，能正确地将有理数进行分类、过程与方法：通过观察节前图，分析、讨论出用正、负数表示具有相反意义的量的方法，了解有理数的产生的必要性、合理性、情感与态度：要求学生树立勇于探索、积极实践的学习态度，通过合作交流培养协作精神，撰写小论文进一步了解数的发展历史。

二、教学重点和难点

教学重点：正数、负数的概念对有理数的建立起关键性的作用，是本节课重点、教学难点：正数、负数的概念的建立是学生从来未经历过的数学的抽象过程，是本节的难点。

三、教学过程

1、创设情景，引入新课

同学们你们还记不记上一节课老师请你们举了一些生活当中的例子，这些例子用自然数，分数，小数是不能解决的，当时我们都举了哪些例子啊?

我记得同学们好象讲到了温度计当中零下的`温度，还有地下室，还有欠银行的钱如何表示，还有路标向东向西，扣分如何表示等等等等。那么温度的零上、零下，路程的向东、向西，钱的收入和支出，得分和扣分这些量是不是相互对立的?因此我们称它们为具有相反意义的量，那么如何把这些具有相反意义的量表示出来呢?

2、合作探索，寻求新知

师：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，比如我们会把零上的温度规定为正，路程当中会把向东方向规定为正方向，钱的收入规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负，而这些规定为正的量一般比较容易表示，比如规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，而与之相反的量就不好表示，如果也记作22千米，别人一看就分不清是向东还是向西，所以我们必须引进新的数来表示这些相反意义的量。

师：把过去学过的数(除零外)规定为正数，如123，15，2/3等，正数前面有时也可以放上+(读做正号);在这些数的前面放上—(读做负号)就表示负数，如—123，—15，—2/3等。负数是在正数的前面加上得到的，大家现在来举一队正数和负数?那下面老师来举一个例子：0是正数，—1是负数，对吗?那么1是正数，0是负数。正数里有没有包括0，负数会不会包括0，所以零既不是正数，也不是负数。(强调)有了负数，相反意义的量就好表示了，规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，向西走50米，就记作—50米。那现在我来问大家：如果上升8米，记作+8，那么下降5米，应该怎么记呢?

做一做：第二题

这样我们学过的数中，又增加了新的数，我们以前学的整数如1，2，3，4，更准确地说是正整数，那么—1，—2，—3，—4应该称为什么?

1/2，3/2，5。4为正分数，则—1/2，—3/2，—5。4为。

(这里老师要提示一下：凡是能化为分数的小数都算做是分数)

3、练习反馈，巩固新知

例：下列给出的各数中哪些是正数、负数?哪些是整数、分数?哪些是有理数—8。4，22，+17/6，0。33，0，—3/5，—9。

先让学生做，总结学生出现的一些问题

分析：同学们我们在分类的时候，只要根据前面这个分类图来分就会很简单。再提一下正有理数。由教师来演示。本例主要考察学生对于数的不同分类，加强学生的分类意识。

4、回顾小结

强调负数的由来，及有理数的分类。

5、布置作业

四、教学反思

昨天的作业情况很不理想，特别是12班，还有今天上课12、13班的纪律情况还是不行，今天在这个班级上课的教学任务完成的不好，我甚至抓不住教学时间，我得好好反思一下。有些同学喜欢跟老师抬杠，这让我非常苦恼，还有上课随意插话，如李正一，许小斌，周贤达，还有同学上课说话如王翔。17，18班的情况比12，13班好，但也有一些同学上课讲话。

有理数章节知识点总结 第2篇

判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。)

初三数学上册章节重要知识点总结3

三角形的外心定义：

外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

三角形的外心的性质：

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;

3.锐角三角形的外心在三角形内;

钝角三角形的外心在三角形外;

直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

有理数章节知识点总结 第3篇

一、错误理解公差的取值而漏解

学生作为学习知识的主体, 在等差数列概念、性质等内容的学习过程中, 由于受思维能力水平局限性的影响 (在等差数列中公差的取值可能为正值、负值或0) , 在解题时往往会主观地认为公差大于0而造成漏解。在教学活动中, 教师要引导学生正确而全面地理解概念及其性质, 从而运用全面的思维理念, 进行问题的有效解答。

例题:已知b是a, c的等差中项, 且lg (a+1) , lg (b-1) , lg (c-1) 成等差数列, 且a+b+c=15, 求a、b、c的值.

某一学生解题过程如下:

解:∵2b=a+c, a+b+c=15, ∴3b=15, b=5.

设等差数列a, b, c的公差为d, 则a=5-d, c=5+d.

∵2lg (b-1) =lg (a+1) +lg (c-1) ,

∴2lg4=lg (5-d+1) +lg (5+d-1) =lg[25- (d-1) 2].

∴16=25- (d-1) 2∴ (d-1) 2=9, ∴d-1=3, d=4.∴a, b, c依次为1, 5, 9.

通过对等差数列公差的概念和取值方法等内容的分析, 发现该解答过程中, 在解 (d-1) 2=9时, 开平方得d-1=3, 仅取了算术平方根是错误的。应该注意到在解题过程中, 遇到求某数的算术平方根时一般应求出两个值, 再根据题设条件来决定取舍, 如果仅取算术平方根, 那么往往会发生漏解的现象。因此, 正确的解答过程如下。

解:∵2b=a+c, a+b+c=15, ∴3b=15, b=5.

设等差数列a, b, c的公差为d, 则a=5-d, c=5+d.

∵2lg (b-1) =lg (a+1) +lg (c-1) , ∴2lg4=lg (6-d) +lg (4+d) , ∴16= (6-d) (4+d) ,

∴d=4或-2, ∴a, b, c的值依次是1, 5, 9或7, 5, 3.

二、不能正确理解等差数列的性质而出现解题错误

在等差数列{an}中, 如果m, n, p, q∈N*, 且m+n=p+q, 则am+an=ap+aq.但在解答相类似的问题过程中, 学生一般会错误地将该结果总结为ap+q=ap+aq.这就要求教师在进行这一问题教学过程中, 在进行问题练习的基础上, 还要注意有效引导学生对等差数列的性质内容进行正确理解, 找到进行等差数列解答的两种最基本和最广泛的性质: (1) 若m+n=p+q (m, n, p, q∈N*) , 一定有am+an=ap+aq (反之亦然) ; (2) 若 (m+n) /2=p (m, n, p∈N*) , 则一定有am+an=2ap.从而使学生能够熟记并灵活运用, 实现学生对等差数列性质的正确运用。

例题:设{an}是等差数列, ap=q, aq=p (p≠q) , 试求ap+q.

学生由于对等差数列的性质不能正确地理解, 进行了如下解答:

∵设{an}是等差数列, ∴ap+q=ap+aq=p+q.

这时, 我引导学生对等差数列的性质进行复习, 学生发现了上述解题过程错误.纷纷说出正确解题过程为:

解:∵ap=a1+ (p-1) d, aq=a1+ (q-1) d, ∴a1+ (p-1) d=q, a1+ (q-1) d=p,

组成方程组, 得出: (p-q) d=q-p.

∵p≠q, ∴d=-1.代入方程中, 有a1+ (p-1) (-1) =q,

∴a1=p+q-1, 故ap+q=0.

为使学生对等差数列的性质有准确和熟练的掌握和运用, 我在进行上述问题训练活动后, 还向学生布置了“已知5个数成等差数列, 且它们的和为25, 它们的平方和为165, 求这5个数.”等凸显等差数列性质有效运用的综合性问题, 让学生进行有效训练, 为学生提供进行问题解答的时机, 从而为正确高效解答类似问题提供经验和方法基础。

三、错用等差数列前n项和的性质

等差数列前n项和的性质作为等差数列章节性质内容的重要部分, 是学生掌握等差数列知识内涵, 正确解答等差数列问题的重要手段和途径, 但由于学生在解答等差数列{an}的前m项和Sm的过程中, 往往由于思维惯性, 经常将Sm, S2m-Sm, S3m-S2m成等差数列, 误认为Sm, S2m, S3m成等差数列而导致解题出错。如在讲解“等差数列{an}中, S10=10, S20=30, 求S30.”问题时, 教师引导学生在进行这一问题解答过程中, 有意提醒学生, 要注意解答该类问题过程中, 要切实避免“Sm, S2m-Sm, S3m-S2m成等差数列, 误认为Sm, S2m, S3m成等差数列”情况的发生。学生在教师的提醒和引导下, 通过结合等差数列前n项和的性质解答方法, 得出以下解题过程:

解:由条件得S10=10, S20-S10=20, 由性质得S30-S20=30, 从而S30=60.

总之, 新课程教学目标的提出, 为高中数学教师教学活动的开展提出了明确的要求, 同时, 通过对历年高考试卷命题知识点的分析, 数列内容在整个试卷总分的比重较大, 考查的内容中包含了等差数列的知识要点及其性质内容, 有效地考查了学生逻辑思维推理能力、运算能力, 以及运用数列中的知识和方法分析问题与解决问题的能力。因此, 在等差数列知识教学中, 教师要善于寻找规律, 找出学生解题错误所在, 实行“针对性”、“实效性”的解题活动, 帮助学生改正解题中的错误方法, 实现学生良好思维习惯和学习能力的有效形成。

摘要：本文对解题过程中的问题进行了整理、梳理、汇总和研析, 总结出学生易出现错误解答的原因:错误理解公差的取值而漏解, 不能正确理解等差数列的性质, 错用等差数列前几项和的性质。

有理数章节知识点总结 第4篇

初三数学上册章节重要知识点总结 第5篇

仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数。

当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。

1、多项式

有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

单项式可以看作是多项式的特例

把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

2、多项式的值

任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

3、多项式的恒等

对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即f(a)=g(a)，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x)，或简记为f(x)=g(x)。

性质1如果f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值a，都有f(a)=g(a)。

性质2如果f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。

4、一元多项式的根

一般地，能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值，叫做多项式f(x)的根。

多项式的加、减法，乘法

1、多项式的加、减法

2、多项式的乘法

单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。

3、多项式的乘法

多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。

常用乘法公式

公式I平方差公式

(a+b)(a—b)=a^2—b^2

有理数知识点总结 第6篇

正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数：比0小的数

正数：比0大的数

0既不是正数，也不是负数

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“

没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：

有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类

⑵按正、负来分

正整数

正整数

整数

0

正有理数

负整数

正分数

有理数

有理数

0

（0不能忽视）

正分数

负整数

分数

负有理数

负分数

负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；

②如果a<0，那么|a|=-a；

③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥0，<═>

|a|=a

（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，<═>

|a|=-a

（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0

<═>

|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；

②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：

⑴当b>0时，a+b>a

⑵当b<0时，a+b

⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)

（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23

（省略加号和括号）

=(-33-15-1)+(18+23)

（把符号相同的加数相结合）

=-49+41

（运用加法法则一进行运算）

=-8

（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)

（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8

（省略加号和括号）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8

（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8

（运用加法法则进行运算）

=7.8-10

（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2

（得出结论）

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

--+-+-

原式=(--)+(-+)+(+-)

=-1+0-

=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)

原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)

=+3-3+10-1

=(3-1)+(-3)+10

=2-3+10

=-3+13

=10

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3+10-12+4

原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)

=-1++

=-1++

Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)

=0

Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）

有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：任何数同0相乘，都得0；

法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

注意：①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

有理数的乘方

1.乘方的概念

求n

个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a

叫做底数，n

叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

有理数章节知识点总结 第7篇

(1)数据库(DB):是一个以一定的组织形式长期存储在计算机内的，有组织的可共享的相关数据概念(2)数据库管理系统(DBMS)；是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，是数据库系统的核心(3)数据库系统(DBS)；计算机系统中引入数据库后的系统构成(4)实体；凡是现实世界中存在的可以相互区别开，并可以被我们所识别的事物.概念等对象均可认为是实体(5)属性；是实体所具有的某些特征,通过属性对实体进行刻画.实体由属性组成(6)码；唯一标识实体的属性集称为码(7)域；属性的取值范围称为该属性的域

(8)实体型；具有相同属性的实体必然具有共同的特征和性质。用实体名和属性名集合来抽象和刻画同类实体，称为实体型。(9)实体集；同一类型实体的集合。(10)1 :1联系：如果实体集E1中每个实体至多和实体集E2中的一个实体有联系，反之亦然，那么E1和E2的联系称为“1:1联系”。1:N联系：如果实体集E1中每个实体可以与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，而E2中每个实体至多和E1中一个实体有联系，那么E1和E2的联系是“1:N联系”。M:N联系：如果实体集E1中每个实体可以与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，反之亦然，那么E1和E2的联系称为“M:N联系”。（11）现实世界(现实世界是指我们要管理的客户存在的各种事物.事物之间的发生.变化过程)、观念世界（信息世界）、数据世界 2.数据管理技术的发展阶段

人工管理阶段(数据不保存,系统没有专用的软件对数据进行管理,数据不共享,数据不具有独立性)、文件系统阶段(数据以文件形式可长期保存下来,文件系统可对数据的存取进行管理,文件组织多样化,程序与数据之间有一定独立性)、数据库系统阶段(数据结构化,数据共享性高,冗余少于且易扩充,数据独立性高,有统一的数据控制功能)3.数据库系统的特点

(1)数据结构化

(2)共享性高，冗余度低，易扩充

(3)独立性高

(4)由DBMS统一管理和控制 4.DBMS的数据控制功能

(1)数据的安全性保护

(2)数据的完整性检查

(3)并发控制

(4)数据库恢复 5.数据模型的组成要素

数据结构 数据结构是所研究的对象类型的集合，是刻画一个数据模型性质最重要的方 面，是对系统静态特性的描述。

数据操作 数据操作是指对数据库中各种对象（型）的实例（值）允许执行的操作的集 合，包括操作及有关的操作规则。是对系统动态特性的描述。

数据的约束条件 数据的约束条件是一组完整性规则的集合。完整性规则是给定的数据 模型中数据及其联系所具有的制约和依存规则，以保证数据的正确、有效、相容。6.最常用的数据模型

层次、网状、关系、面向对象模型 7.关系模型

       关系: 一张表 元组: 表中的一行 属性: 表中的一列

主码: 表中的某个属性组，它可以唯一确定一个元组 域: 属性的取值范围 分量: 元组中的一个属性值 关系模式: 对关系的描述。

表示为：关系名（属性1，属性2,…属性n)8.关系数据模型优缺点

(1)建立在严格的数学概念基础之上

(2)概念单一

(3)存取路径对用户透明 9.数据库系统的三级模式结构

内模式、外模式、模式

二级映射

10.数据库系统的组成：数据库、软件系统、硬件系统、数据库管理员四部分组成。11.数据描述 概念设计、逻辑设计和物理设计等各阶段中数据描述的术语，概念设计中实体间二元联系的描述（1:1，1:N，M:N）。

12.数据模型 数据模型的定义:是专门用来抽象,表示和处理现实世界中的数据和信息的工具。两类数据模型(概念模型和逻辑模型),逻辑模型的形式定义(逻辑模型是按计算机观点对数据建模，主要包括层次模型、网络模型、关系模型、面向对象模型、对象关系模型；物理模型是对数据最底层的抽象，它描述数据在系统内部的表示方式和存取方法。)，ER模型，层次模型、网状模型、关系模型和面向对象模型的数据结构以及联系的实现方式。13.DB的体系结构 三级结构，两级映象，两级数据独立性，体系结构各个层次中记录的联系。

14.DBMS（数据库管理系统）

DBMS的工作模式、主要功能和模块组成。DBMS的工作模式有六点：

接受应用程序的数据请求和处理请求； 将用户的数据请求转换成低层指令； 实现对DB的操作；

从对DB的操作中接受查询结果； 对查询结构进行处理； 将处理结果返回给用户。

DBMS的主要功能有DB的定义、操纵、保护、维护和数据字典等五个功能。15.DBS（数据库系统）

DBS的组成(DBS由DB、硬件、软件和DBA等四个部分组成)，DBA(DBA是控制数据整体结构的一组人员，负责DBS的正常运行，承担创建、监控和维护DB结构的责任。)，DBS的全局结构(数据库用户有四类：DBA，专业用户，应用程序员，终端用户。DBMS的查询处理器有四个模块：DML编译器，嵌入型DML预编译器，DDL编译器，查询运行核心程序。DBMS的存储管理器有四个模块：授权和完整性管理器，事务管理器，文件管理器，缓冲区管理器。磁盘存储器中有五种数据结构：数据文件，数据字典，索引文件，统计数据组织和日志。)，DBS结构的分类。

第二章

关系数据库

1.基本概念

关系，候选码，主码，主属性，非主属性，键 2.完整性约束

实体完整性、参照完整性、用户定义完整性 3.笛卡儿积 4.关系的性质

 列是同质的

 不同的列可出自同一个域，每一列为一个属性，不同的属性要有不同的属性名

 列的顺序无所谓

 任意两个元组不能完全相同  行的顺序无所谓

 分量必须取原子值，即每一个分量必须是不可分的数据项

5.关系的完整性

实体完整性、参照完整性、用户定义的完整性 6.关系代数

(1)并、交、差、广义笛卡儿积

(2)选择

(3)投影

(4)连接：等值连接、自然连接

超键(Super Key)：在关系中能惟一标识元组的属性集称为关系模式的超键。

候选键(Candidate Key)：不含有多余属性的超键称为候选键。也就是在候选键中，若要再删除属性，就不是键了。

主键：(Primary Key)：用户选作元组标识的一个侯选键称为主键。一般，如不加说明，则键是指主键。

外键：(Foreign Key)：如果关系R中属性K是其他模式的主键，那么K在模式R中称为外键

例如：学生（学号，姓名，性别，驾驶证号）假定学生不重名 超键：（学号，姓名），（学号，性别），（学 号，姓名，性别），（姓名，性别）等等 候选键：学号，姓名

主键：你在数据库定义的时候，如果选择学号作为 键，那么学号就是候选键

外键：驾驶证号 本章的重要概念（1）基本概念

关系模型，关键键（主键和外键），关系的定义和性质，三类完整性规则，ER模型到关系模型的转换规则。（2）关系代数

五个基本操作，四个组合操作，七个扩充操作。

第三章

SQL语言 1.SQL的特点

 综合统一



高度非过程化



面向集合的操作方式



以同一种语法结构提供两种使用方式 

语言简洁，易学易用

2.表

(1)创建表 create table

create table student

(Sno char(5)not null，Sname char(20)unique，Ssex char(1)，Sage int，Sdept char(15));(2)create table customer（customer_name char(20)not null，customer_street char(30)，customer_city char(30)，primary key(customer_name));

(3)create table account（account_number char(10)not null，branch_name char(15)，balance

int，primary key(account_number)，foreign key(branch_name)reference branch(branch_name)，check(balance>=0));

(2)修改表 alter table

(3)删除表 drop table 3.索引

(1)创建索引 create index

(2)删除

drop index 4.查询 select

(1)格式

(2)单表查询：选择列、满足条件、排序、分组、集函数

(3)连接查询

(4)嵌套查询

IN、比较、（ANY 或 ALL）、EXISTS

(5)集合查询

5.更新数据

INSERT、UPDATE、DELETE 6.视图

(1)建立视图 Create view

(2)视图的作用 7.数据控制

(1)授权 Grant

(2)收回权限 Revoke 本章的重要概念

（1）SQL数据库的体系结构，SQL的组成。

（2）SQL的数据定义：SQL模式、基本表和索引的创建和撤销。

（3）SQL的数据查询；SELECT语句的句法，SELECT语句的三种形式及各种限定，基本表的联接操作，SQL中的递归查询。

（4）SQL的数据更新：插入、删除和修改语句。（5）视图的创建和撤销，对视图更新操作的限制。

（6）嵌入式SQL：预处理方式，使用规定，使用技术，卷游标，动态SQL语句。

第四章

关系数据库的规范化设计

1.函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖 2.1NF、2NF、3NF、BCNF 模式的分解

关系模式的分解需要遵循两个主要原则：

1.满足无损连接分解的要求。

2.既要满足无损连接分解的要求，又要满足保持函数依赖 无损分解的测试方法

算法4.3

无损分解的测试的算法：如何判断是否是无损分解 构造一张k行n列的表格，每列对应一个属性Aj（1≤j≤n），每行对应一个模式Ri（1≤i≤k）。如果Aj在Ri中，那么在表格的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。

把表格看成模式R的一个关系，反复检查F中每个FD在表格中是否成立，若不成立，则修改表格中的值。修改方法如下：对于F中一个FD X→Y，如果表格中有两行在X值上相等，在Y值上不相等，那么把这两行在Y值上也改成相等的值。如果Y值中有一个是aj，那么另一个也改成aj；如果没有aj，那么用其中一个bij替换另一个值（尽量把下标ij改成较小的数）。一直到表格不能修改为止。（这个过程称为chase过程）

若修改的最后一张表格中有一行是全a，即a1a2„an，那么称ρ相对于F是无损分解，否则称损失分解。

无损分解的测试方法 第一范式（1NF）1NF的定义

如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF 即不能以集合、序列等作为属性值。第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库 但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式 第二范式（2NF）

（回顾）定义4.14 对于FD W→A，如果存在X⊂W有X→A成立，那么称W→A是局部依赖（A局部依赖于W）；否则称W→A是完全依赖。完全依赖也称为“左部不可约依赖”。（回顾）定义4.15 如果A是关系模式R的候选键中属性，那么称A是R的主属性；否则称A是R的非主属性。

定义4.16 如果关系模式R是1NF，且每个非主属性完全函数依赖于候选键，那么称R是第二范式（2NF）的模式。如果数据库模式中每个关系模式都是2NF，则称数据库模式为2NF的数据库模式。第三范式（3NF）（回顾）定义4.17 如果X→Y，Y→A，且Y→X和

A∈Y，那么称X→A是传递依赖（A传递依赖于X）。

定义4.18 如果关系模式R是1NF，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，那么称R是第三范式（3NF）的模式。如果数据库模式中每个关系模式都是3NF，则称其为3NF的数据库模式。



将2NF的关系模式规范化为3NF的关系模式，其方法是消除2NF的关系模式中非键属性对键的传递依赖。

本章重要概念

（1）关系模式的冗余和异常问题。

（2）FD的定义、逻辑蕴涵、闭包、推理规则、与关键码的联系；平凡的FD；属性集的闭包；推理规则的正确性和完备性；FD集的等价。

（3）无损分解的定义、性质、测试；保持依赖集的分解。

（4）关系模式的范式：1NF，2NF，3NF，BCNF。分解成2NF、3NF模式集的算法。

第 五 章

数据库设计

1.数据库设计的六个阶段

需求分析、概念结构设计、逻辑结构设计物理结构设计、数据库实施、数据库运行和维护 2.需求分析：

数据字典：数据项、数据结构、数据流、数据存储和处理过程 3.概念结构设计

(1)是整个数据库设计的关键，它通过对用户需求进行综合、归纳与抽象，形成一个独立于具体DBMS的概念模型

(2)E-R图：基本表示方法 4.逻辑结构设计

是将概念结构转换为某个DBMS所支持的数据模型，并对其进行优化 5.物理设计

(1)为逻辑数据模型选取一个最适合应用环境的物理结构（包括存储结构和存取方法）6.实施阶段

设计人员运用DBMS提供的数据语言及其宿主语言，建立数据库，编制与调试程序，组织数据入库，并进行试运行 7.运行和维护阶段

 数据库应用系统经过试运行后即可投入正式运行。 重构，重组织

本章重要概念

（1）DBS生存期及其7个阶段的任务和工作，DBD过程的输入和输出。（2）概念设计的重要性、主要步骤。逻辑设计阶段的主要步骤。

（3）ER模型的基本元素，属性的分类，联系的元数、连通词、基数。采用ER方法的概念设计步骤。

（4）ER模型到关系模型的转换规则。采用ER方法的逻辑设计步骤。（5）ER模型的扩充：弱实体，超类和子类。

第 七 章 系统实现技术 1.事务

(1)概念

(2)特性：原子性、一致性、隔离性、持续性 2.故障种类事务

内部的故障、系统故障、介质故障 3.恢复的实现技术

(1)数据转储：转储状态、转储方式

(2)日志：基本格式和内容、日志的作用、登记日志文件 并发控制

1.问题：

丢失修改、不可重复读、读“脏”数据 2.封锁

共享锁、排它锁 3.一级封锁协议

(1)事务T在修改数据R之前必须先对其加X锁，直到事务结束才释放

(2)解决的问题：防止丢失修改 4.二级封锁协议

(1)一级封锁协议加上事务T在读取数据R前必须先对其加S锁，读完后即可释放S锁

(2)解决的问题：防止丢失修改、防止读“脏”数据 5.三级封锁协议

(1)一级封锁协议加上事务T在读取数据R前必须先对其加S锁，直到事务结束才释放。

(2)解决的问题：防止丢失修改、防止读“脏”数据、防止不可重复读 6.活锁和死锁

(1)死锁的预防：一次封锁法，顺序封锁法(2)死锁的诊断：超时法，等待图法(3)死锁的解除：选择一个处理死锁代价最小的事务，将其撤消，释放此事务持有的所有锁，使其它事务得以继续进行下去。本章重要概念

事务的定义，COMMIT和ROLLBACK的语义，事务的ACID性质

恢复的定义、基本原则和实现方法，故障的类型，检查点技术，REDO和UNDO操作，运行记录优先原则。

并发操作带来的三个问题，X锁、S锁、活锁、饿死和死锁

完整性的定义，完整性子系统的功能，完整性规则的组成。SQL中的三大类完整性约束，SQL3中的触发器技术。

有理数章节知识点总结 第8篇

无理数

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数

整数和分数统称为有理数

数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο??，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

初中数学有理数知识模块归纳总结 第9篇

第一章

有理数

1，2，3~~叫做自然数。包括0和正整数。自然数：数0，”（读作“正”）号，通常可以省略不写。正数：大于零的数叫做正数。正数前面常有“复数：小于零的数，叫做负数，负数用“—”号标记（读作“负”）零既不是正数，也不是负数；它是正负数的分界线。整数：正整数、0、负整数统称整数。分数：正分数、负分数统称分数

1、有理数的概念有理数：整数和分数统称有理数。无理数：无限不循环小数称为无理数。数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。（数轴三要素：原点，正方向和单位长度）相反数：在数轴上，原点左、右两边到原点距离相等的点所表示的有理数，只有符号不同，这样的一对数互为相反数。11例如：6与-6，与-等。（a的相反数是-a，这里a可以是正数、负数或0。当a6时，-a-6；a-6时，-a（--6）6。440的相反数是0，）

正奇数正整数|正整数正偶数正有理数|整数零正分数|

2、有理数的分类按整数和分数的关系分类负奇数按正数、零和负数的关系分类零负整数|负偶数负整数负有理数|负分数正分数|分数负分数

1倒数：乘积为1的两个数互为倒数。一般的，a的倒数为a,其中a0。（0没有倒数，倒数等于它本身的数只有1，乘积为-1的两个数互为互倒数。）绝对值：数轴上表示a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作｜a｜。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是a(a＞0)0的绝对值是0，即：｜a｜0(a0)它的相反数；a(a＜0)(任意有理数a的绝对值永远是非负数，或者说｜a｜0,0是绝对值之中最小的数；-a｜；互为相反数的两个数的绝对值相等。例如：a与-a，互为相反数，故｜a｜｜若两数的绝对值相等，则这两个数相等或者互为相反数。即若｜a｜｜b｜，则ab或ab。）

3、有理数大小的比较

1、数轴法：数轴上右边的数总比左边的大

2、代数比较法：正数大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数小.ab＞0ab

3、差值比较法：设a、b为任意两个数，则ab0abab0ab有理数的大小比较：aaa

1、设a、b两个正数，则1ab；1ab；1,abbbb

4、商值比较法：aa

2、设a、b两个负数，则a1ab；1ab,1,abbbb1，绝对值最小的是0.）(最大的负整数是-1，最大的非负整数0，最小的非负整数0，最小的正整数是