四边形证明题范文

四边形证明题范文（精选11篇）

四边形证明题 第1篇

四边形证明题

已知E.F分别为平行四边形ABCD一组对边ADBC的中点,BE与AF交于点G，CE与DF交于点H求证四边形EGFH是平行四边形

解：在三角形ABF和三角形EDC中

因为：AB=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以：三角形ABF全等于三角形EDC

所以：EB=FD

所以：四边形BEDF为平行四边形

同理可证：四边形AEFC为平行四边形

在三角形EHD和三角形CHF中

因为：角EHD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以：角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因为：角EBF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以：三角形BGF全等于三角形FHC

所以：三角形BGF全等于三角形EHD

所以：GF=EH

同理可证：GE=FH

所以：四边形EGFH是平行四边形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高

四边形证明题 第2篇

1．如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.F

AD

BEC

（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）

（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．

（3）若AB=m,BC=n,当m.n满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）

【答案】（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形;

（2）存在.当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

（3）当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形．

2【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四边形是平行四边形,根据勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,设AB=x,则BC=10﹣x,四边形AEDF的面积为y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函数的最值即可;

（3）根据矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判别式,即可得出答案． 试题解析：（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形,理由是：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵E为BC中点,∴BE=CE,由勾股定理得：AE=DE,∵点O是边AD上的中点,OE=OF,∴四边形AEDF是平行四边形,∴平行四边形AEDF是菱形;

（2）存在.∵点O是AD的中点,∴AO=DO ,∵OE=OF,∴四边形AEDF是平行四边形 ,∴S四边形AEDF2SAEDS矩形ABCD ,设AB=x,则BC=10x,四边形AEDF的面积为y,yx(10x)

x210x

(x5)22

5当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

（3）当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形, 2

理由是：设BE=z,则CE=n﹣z,当四边形AEDF是矩形时,∠AED=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BAE=∠DEC,∴△BAE∽△CED, ABBE, CECD

mz, ∴nzm∴

∴z﹣nz+m=0,22当判别式△=（﹣n）﹣4m≥0时,方程有根,即四边形AEDF是矩形, 解得：m≤

∴当m≤221n, 21n时,四边形AEDF能成为一个矩形． 2

考点：四边形综合题．

2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE的形状是什么？说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析.【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可.试题解析：（1）∵矩形ABCD的对角线相交于点O，∴AC＝BD（矩形对角线相等），OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD（矩形对角线互相平分）.∴OA＝OD.22

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形.∵菱形ABCD，∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴平行四边形AODE是矩形．

考点：1.矩形的判定和性质；2.平行四边形的判定；3.菱形的判定和性质.3．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；

②当AB=4，FG的长．

【答案】(1)BD=CF成立,证明见解析；（2）①证明见解析；②FG=.5

【解析】

试题分析：(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等，直观上判断BD=CF,而由题目条件，旋转过程中出

现了两个三角形△BAD和△CAF，并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夹角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要证明BD⊥CF，只要证明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，题目中没有和FG直接相关的线段，而CG从已知条件中又无法求出，所以需要作辅助线，连接FD，交AC于点N, 在正方形ADEF中，, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=，设FG=x，CG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4x2，∵在Rt△BCG中，CGBGBC，∴(x)2(4x2)2(42)2，解之得FG=

试题解析：②解法一：

如图，连接FD，交AC于点N,222.5

∵在正方形ADEF中，, 1AE=1，FD=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中，CFFN2CN2232,∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=,设FG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4x2, ∵CF=，∴CG=x,∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，∴BC

∵在Rt△BCG中，CGBGBC, ∴(x)2(4x2)2(42)2 ,整理，得5x2x60, 解之，得x122223，x2（不合题意，故舍去）55

∴FG=.5

解法二：

如图，连接FD，交AC于点N；连接CD,同解法一，可得：DG=4x2，CG=x，易证△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，在Rt△CGD中，CGDGCD,即(x)2(4x2)2()2 解之，得x222,故FG=.55

四边形证明题 第3篇

作图步骤:已知正五边形的外接圆, 作外接圆一条半径AB的中点C, 以C为圆心, CD (其中D为与AB垂直的直径的端点) 为半径画弧, 与BA延长线相交于E点, DE的长就是五边形的边长。

这样的正五边形画法是否准确, 值得进一步探究。现用三角函数的知识证明了这种几何画法的准确性。在证明过程中同时发现了另一种画图方法, 也给出了其作图方法。

1 预备知识:计算sin∠18°

由于正五边形的圆心角为72°, 与18°成倍数关系。所以首先得计算sin18°的值。

构造等腰三角形ABC, 使∠B=72°, ∠C=72°, ∠A=36°, 如图2。

过点B作BD使∠BDC=72°, 则在⊿CBD中,

∠CBD=36°, BC=BD

在⊿ABD中

∠ABD=36°, AD=BD

故BC=BD=AD

在⊿ABC中, 设

AB=AC=x, BC=y

再作CD的中垂线BE, 作BC的中垂AF。

则BC=BD=AD=y

CD=AC-AD=x-y

∵⊿BCE∽⊿ABF

整理得:y2-x2+xy=0

2 用三角函数证明正五边形的画法

图1中, 设正五边形的外接圆半径为1, 则:

根据作图方法得:

那么正五边形的这种作图方法就是准的。

将代入并计算整理得

代入计算正五边边长中的①式得:

即①式成

故图1的正五边形的作图方法是准的。

3 探究五边形的另一画

图1的⊿DGH中, ∠HDG=18°

将代入计算整理后得:

由此可构造正五边形的另一种作图方如图3。

作图步骤:已知正五边形的外接圆, 外接圆一条半径AB的中点C, 延长AC至使 (其中D为与AB垂直的径的端点) , 连接DE, 则:即为正五边形的对线的长度, 再以D为圆心, DE为半径画弧外接圆与F、G点, 在分别以F、G点为圆DE为半径画弧交外接圆与H、K点, D、F、G、K就是正五边形的五个顶点, 顺次接即得正五边形。参考文献

摘要：画法几何中介绍了正五边形的作图方法, 但画法的准确性值得探究。用三角函数的知识证明了正五边形画法的准确性, 并探究了正五边形的其他作图方法。

关键词：正五边形,画法,三角函数

参考文献

与四边形有关的计算和证明 第4篇

■平行四边形

与平行四边形有关的考题重点涉及平行四边形的性质及判定方法，解决有关问题需要熟练掌握平行四边形的性质和判定方法.

■ （2011四川凉山）如图1，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系，并对你的猜想加以证明.

■

■?摇猜想：BE∥DF，且BE=DF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB=AD，CB∥AD. 所以∠BCE=∠DAF. 在△BCE和△DAF中，CB=AD，∠BCE=∠DAF，CE=AF，所以△BCE≌△DAF. 所以BE=DF，∠BEC=∠DFA. 所以BE∥DF. 所以BE∥DF，且BE=DF.

■矩形

与矩形有关的考题通常为矩形折叠问题和矩形的判定，解决折叠问题，需要把折叠的特征、勾股定理及平行线的相关知识综合应用；解决矩形的判定问题应熟练掌握矩形的判定方法，并能根据所给的条件灵活选用.

■ （2011黑龙江大庆）如图2，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将∠A翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

（1）求∠DA1E的大小.

（2）求△A1BE的面积．

■

■?摇（1）由Rt△ABE≌Rt△A1BE知A1B=AB=2，又BC=1，所以∠BA■C=30°. 因为∠BA1E=∠BAE=90°，所以∠DA1E=60°.

（2）在Rt△A1BC中，A1B=2，BC=1，所以A1C=■. 所以A1D=2-■. 设AE=x（x>0），则ED=1-x，A1E=x.?摇 在Rt△A1DE中，A1D2+DE2=A1E2，即（2-■）2+（1-x）2=x2，解得x=4-2■. 在Rt△A1BE中，A1E=4-2■，A1B=AB=2，所以S△A1BE=■×2×（4-2■）=4-2■.

■菱形

与菱形有关的考题重点考查菱形的判定，常以解答题或探索题的形式出现，解决有关的计算题需要将菱形与勾股定理相结合；解决有关的判定题，需从边、对角线两个方面进行判定.

■ （2011福建福州）已知，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. 如图3，连结AF，CE，求证四边形AFCE为菱形.

■

四边形证明题复习 第5篇

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

2．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点。连接EF交AC于O，连接AE、FC。

（1）证：AOFCOE；

（2）证：四边形AECF是平行四边形；

（3）当ABC满足什么条件时（只能添加一个条件），四边形AECF是矩形。

3.已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD≌△EOC；

（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB= _________ °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

4.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；

(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．

1．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AC于E，BF平分∠ABC交AC于F，试问四边形BEDF是什么四边形，请证明你的结论．

2.如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

3.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．

1.已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到 △PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解

答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y(cm)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．

（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由． 的

2.已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？

特殊四边形证明题习题 第6篇

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2.（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

(1）求证：BEDG；

(2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定

D

B C

E F



3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

A

E

B

F C

4．（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

(1）求证：△ABE≌△ACE

(2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？并说明理由.

5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由

.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

6．(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

(1）求证：BD=CD；

(2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

ACD30°，BD6．7．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，A（1）求证：△ABD是正三角形；

(2）求 AC的长（结果可保留根号）．

8．（2009肇庆）如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

B F C

（1）求证：△ABF≌△DAE；

(2）求证：DEEFFB．

9．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定

A B

D图

110．（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于

点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

(1）求证：AD＝CE；

(2）填空：四边形ADCE的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

A

M

N

B11．(2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1）求证：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

B

FD第21题图C

AB5，AC6．12．（2009年广东省）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过

点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

(1）求△BDE的周长；

(2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．

求证：BPDQ．

Q

P C E

特殊四边形的证明题 第7篇

1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断

四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证： PA=PQ．

Q

B

D C

3.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

C

4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E在AB延长线上，∠BCE=60°，求∠ADE.1 E A FB E

5.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.（第23题）

6.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC． D

B E

7.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC

分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

题型二：菱形

8.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

BE C D

9.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a.（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积。

10.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量

关系，并证明你的结论．

11.如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形． BN B C

题型三：正方形

12.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观

察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明

13.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

F

E

14.如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF = EF．(2)当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． C

题型四：综合证明题

15.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

四边形证明题 第8篇

此式为《解析几何基础》[1](科学普及出版社出版)中提及的公式，但书中未提供该公式的证明﹒因此，笔者给出基于初等数学范畴的证明过程，仅供参考﹒

证明(一)先证明n=3时重心坐标公式成立﹒

众所周知，三角形3中线的交点即为其重心，但几何意义上3中线的交点为什么一定是三角形的重心?也就是说为什么以3中线的交点为支点，均质的三角形会处于水平的平衡状态?这当然是要经过证明的﹒

最简单的多边形是三角形，故从三角形开始证明，即需求证△P1P2P3顶点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)时，其重心P(x,y)的坐标为:

如图1所示，设想△P1P2P3的质量平均集中于其3个顶点，各顶点的质点质量均为m﹒那么

△P1P2P3的重心问题就等同于求解3个质点P1,P2、P3的重心﹒

先求P1和P2的重心P'(x',y')，再求P'与P3的重心P(x,y)﹒

将P1P2看作一个杠杆，当此杠杆处于水平的平衡状态时，其支点P'即为P1P2的重心﹒由杠杆平衡原理[2]可得:由定比分点坐标公式得P'点的坐标为:

连接P'P3并设杠杆P'P3的支点(重心)为P(x,y)，这时P'质点的质量为m+m=2 m,P3质点的质量仍为m，根据杠杆平衡原理可知:

由定比分点坐标公式得P点的坐标为:

可见，n=3时重心坐标公式成立﹒

(二)假设n=k时重心坐标公式亦成立，即k边形重心P'点坐标为下面证明n=k+1时重心坐标公式成立﹒

图2为平面直角坐标系中任一k+1边形P1P2…PkPk+1，假想其质量均匀集中于k+1个顶点(x1,y1),(x2,y2)，…，(xk,yk),(xk+1,yk+1)上，每个顶点的质点质量为m，连接P1Pk则得到一个k边形P1P2…Pk，根据假设n=k时重心坐标公式成立知，此k边形重心为连接P'Pk+1，则杠杆P'Pk+1的重心(即支点)P(x,y)便是k+1边形P1P2…PkPk+1之重心﹒这时P'质点的质量为km,Pk+1质点质量仍为m﹒

由杠杆平衡原理可知:

因P为之内分点，

根据定比分点坐标公式得P点坐标为:

可见，当n=k+1时重心坐标公式成立，那么对于n≥3的任何自然数而言n边形重心坐标公式均成立﹒

综上得到如下结论:当n边形P1P2…Pn的n个顶点坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)时，其重心P(x,y)的坐标为:

摘要：以杠杆平衡原理和定比分点坐标公式为基础,采用质点处理法和数学归纳法,提出在初等数学范畴对n边形重心坐标公式的证明方法,以资借鉴.

关键词：n边形,重心坐标,公式,数学归纳法

参考文献

[1]刘鸿坤﹒解析几何基础[M].北京:科学普及出版社,1982:22-23﹒

“四边形”检测题 第9篇

A.4B.12C.24D.28

2．如图1，?荀ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?荀ABCD的两条对角线的和是（ ）

A.18B.28C.36D.46

3如图2，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）

A.14B.15C.16D.17

■

4.如图3，?荀ABCD中，对角形AC、BD相交于点O，添加一个条件，能使?荀ABCD成为菱形。你添加的条件是＿＿＿＿＿＿（不再添加辅助线和字母）。

■

5.如图4，在■ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（ ）

A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5

6.如图5，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O。若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=_______。

7.如图6，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB =5，AO=4，求BD的长。

■

8.如图7，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF、CE。

（1）求证：△BEC≌△DFA。

（2）求证：四边形AECF是平行四边形。

■

9.如图8，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8 cm，AB＝6 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动（不与点D重合）。设点P运动时间为t s，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

参考答案

1.B。解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝DA，又因为?荀ABCD的周长为32，所以AB+BC＝■×32＝16，因为AB＝4，所以BC＝12。

2.C。解析在?荀ABCD中，CD＝AB＝5，AC＝2OC，BD＝2OD，而△OCD的周长为23，所以OC+OD+CD＝23，即OC+OD＝18，所以AC+BD＝2OC+2OD＝36。

3.C。解析因为四边形ABCD为菱形，AB＝4，所以AB＝BC＝CD＝AD＝4，

因为∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC＝4，

所以正方形ACEF的周长＝4×4＝16。

4.答案不唯一。如AB＝AD，或AB＝BC，或BC＝CD，或∠ABD＝∠ADB，或∠BAC＝∠BCA，或∠CBD＝∠CDB，或AC⊥BD等。

5.A。解析因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD=BC，AD∥BC，所以△EDF∽△BCF。

所以△EDF与△BCF的周长之比为■，

因为E是AD边上的中点，所以AD=2DE，因为AD=BC，所以BC=2DE。

所以△EDF与△BCF的周长之比为1∶2。

6.5。解析过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，

因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以AC∥BD，∠D=90°。

所以平行四边形BDCE是矩形。

所以CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°。则AE=AC+CE=1+2=3。

所以在Rt△ABE中，AB=■=■=5。

7.6。解析因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且BO = DO。

在Rt△AOB中，因为AB=5，AO=4，

则由勾股定理可求得BO=3，所以BD=6。

8.证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，

又因为E、F分别是边AB、CD的中点， 所以BE＝■AB，DF■＝CD。

所以BE＝DF，所以△BEC≌△DFA（SAS）。

（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AE∥CF，AB＝CD。

又因为E、F分别是边AB、CD的中点，所以AE＝■AB，CF＝■CD，所以AE＝CF。

又因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形。

9.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC， 所以∠PDO＝∠QBO，又OB＝OD，∠POD＝∠QOB，所以△POD≌△QOB，所以OP＝OQ。

特殊四边形证明题(正方形) 第10篇

1．如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2．如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． A D

（1）求证：△ABF≌△DAE；(2）求证：DEEFFB．

3．如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

4．正方形ABCD中，MNGH，求证：MN=HG。

5．在正方形ABCD的边CD上任取一点E，延长BC到F，使CF=CE，求证：BEDF

6．在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。

F B C

A

E B

F

C

_B _C_E

7．已知如图，四边形ABCD是正方形，F、E分别为BC、CD上的点，且EF=BF+DE，AM⊥EF，垂足为M，求证：(1)AM=AB；(2)连AF，连AE，求∠FAE．

D

E

8．正方形ABCD中，∠EAF=45.求证：BE+DF=EF。

9．若分别以三角形ABC的边AB、AC

为边，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：BG=EC，BGEC。

10．若以三角形ABC的边AB、AC为边 向三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：SAEG

=SABC。

C

_ F

B_

_ E

_ B

_C

11．若以三角形ABC的边AB、BC为边向 三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC 中点，求证：DG=2BN，BMDG。

12．正方形ABCD的边AD上有一点E，满足BE=ED+DC，如果M是AD的中点，求证：∠EBC=2∠ABM，_B_

C

_A_

N_C

_B

_C

13．正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是线段CE的中点

求证：∠DAE=∠BAF。

_ E _ B

_C

14．已知，如图，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，EA平分∠BAC交BD于F点．求证：FO=

D

C

EC．

215．如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，B求证：EF∥DC。A

C DG

16．如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。(1)说明OE=OF的道理；

(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

AD

D

B

C

F

G

E

17．在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点 为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。

_B

_ F

_

C

18．若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。

19．正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC 于K，交CD于H，求证：EG=GC=CH=HF。

20．在正方形ABCD的对角线BD上，取BE=AB，若过E作BD的垂线EF交CD于F，求证：CF=ED。

21．在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PEBC交BC于E，过P 引PFCD于F，求证：APEF。

22．过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，若作菱形CAFÉ，求证：AE及AF三等分∠BAC。

_ B_ F_C

_A

_ B_ E

_D

_ F

_ B

_C

_D

_F

_C

_ E

23．正方形ABCD中，M为AB的任意点，MNDM，BN平分∠CBF，求证：MD=NM

24．从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行 于BD，使BE=BD，若BE、CD的交点为F，求证：DE=DF。

_

_ B

C_

25．如图，M、N分别是正方形ABCD两边AD、DC的中点，CM与BM交于点P．求证：PA=AB．

26．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AP=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若Rt△GBH的周长为1，求矩形EPHD的面积；

（4）若矩形AEGP的面积为矩形PFCH面积的一半，求∠FAH的度数。

27．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

第24题图①

第24题图②

第24题图③

D

D

28．如同，在正方形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。（1）EF+0.5AC =AB；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，0.5 A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。

数学选讲四边形证明经典题 第11篇

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.B

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

D

3.如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F．

（1）求证：BFFD；

（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG由．

4DA，并说明理

A

F图①

C

B

F图②

（第1题图）C

A

B

图③

G C

B

F

图④

2.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

B

B

F

D M

4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

5.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；

(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不

存在．

DE

BC

(第29题图)

6.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG

⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

A

D

G

B

C问题一图

17、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且

GCDG

AEBE

＝

FCBF

＝

＝

AHHD

＝k（k＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：

AEBE

如上图，连结BD∵＝

AHHD，FCBF

＝

GCDG

∴EH∥BD，FG∥BD

①连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：；

②当k值为时，四边形EFGH是平行四边形；

③在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为矩形； ④在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形；

A

H

D

E

G

BFC

第2题图

8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H。求证：AH＝AD。

B

C

例1图

9、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

（1）求证：△PQS是等边三角形；（2）若AB＝8，CD＝6，求SPQS的值。

（3）若SPQS∶SAOD＝4∶5，求CD∶AB的值。

DS

P

C

AB

第4题图

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。

探究：设A、P两点间的距离为x。

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

A

D

A

D

A

D

BC

BC

BC11、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．