函数的周期性总复习

函数的周期性总复习（精选6篇）

函数的周期性总复习 第1篇

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性 性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数 证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

3x15,4x6∴f(x).22(x7)5,6x9而

函数的周期性总复习 第2篇

高考网 高考数学总复习第一讲：函数与方程

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．

在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．

一、例题分析

例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．

分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．

例2．已知0

分析：为比较aα与(aα)α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a＜aα，从而aα<(aα)α．

比较aα与(aα)α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数

是减函数，由于1>a，得到aα<(aα)α．

由于a＜aα，函数y=ax(0(aα)α．

综上，．

解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．

例3．关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围．

分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0

高考网 现要求0

若将ax=3变形为，令，现研究指数函数a=3t，由0

通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．

例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（）．

（A）f(x)=x+4（B）f(x)=2-x

（C）f(x)=3-|x+1|（D）f(x)=3+|x+1|

解法

一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．

又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．

解法

二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，∵函数周期是2，∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．

∵函数是偶函数，∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．

于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：

即

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．

解法

三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，∵函数周期是2，学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 ∴f(x+4)=f(x)．

而f(x+4)=x+4，∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．

当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，且-x+2∈[2,3]．

∵函数是偶函数，周期又是2，∴

，于是在［–2，0］上，．

由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．

本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．

例5．已知y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）．

（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，+∞］

分析：设t=2-ax，则y=logat，因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．

解法

一、由于a≠1，所以（C）是错误的．

又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的． 当0

于是应选（B）．

解法

二、设t=2-ax，y=logat

由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在［0，1］上才是减函数；

又x=1时，y=loga(2-a)，依题意，此时，函数有定义，故2–a>0

综上可知：1

例6．已知则g(5)=_____________-

，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，解法

一、由 去分母，得，解出x，得，故，于是，设，去分母得，解出x，得，学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 ∴ 的反函数 ．

∴ 解法

二、由 ∴，∴

．

，则

．

，即 根据已知： 的反函数为

，∴ ．

解法

三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．

故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，∴ ．

本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出

二、巩固练习

（1）已知函数值．

在区间 上的最大值为1，求实数a的（1）解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，得，故此解舍去．

，而顶点横坐标，最大值在顶点外取 当最大值为f(2)时，f(2)=1，合理．

，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 当最大值在顶点处取得时，由，解得，当，此时，顶点不在区间内，应舍去．

综上，．

（2）函数 的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．

当a0，应舍去．

有，解得：a=1，b=2．

当a<0

当a0，应舍去． 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 有，解得：a=1，b=2．

当a<0

，所以最小，解得：，综上，或

（3）求函数 的最小值．

解（3）分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求 的最小值．

（3）解法一：∵，∴x>2．

设，则，由于该方程有实根，且实根大于2，∴ 解之，μ≥8．

当μ=8时，x=4，故等号能成立．

于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3．

解法二：∵，∴x>2 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 设，则 =

∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．

故 的最小值是3．

（4）已知a>0,a≠1，试求方程 有解时k的取值范围． 4）解法一：原方程 由②可得：

③，当k=0时，③无解，原方程无解；

当k≠0时，③解为，代入①式，．

解法二：原方程 原方程有解，应方程组

，即两曲线有交点，那么ak<-a或00)

∴k<-1或0

高考网（Ⅰ）解不等式f(x)≤1

（Ⅱ）求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．

5）解（Ⅰ），不等式f(x≤1)，即 由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，∴原不等式 即

∴当0

（Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1

∴ 又 ∴

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．

（ⅱ）当0

函数周期性的探究 第3篇

这个定义是采用内涵定义法定义的, 要正确理解周期函数定义, 应从定义的内涵 (性质) 和外延 (对象) 两个方面来分析, 应注意以下几点:

1.式子f (x+T) =f (x) 对定义域中的每一个值都成立, 即定义域内任何x, 式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”, 另一方面, 判断一个函数是不是周期函数, 只需举一个反例就行了.

例如, 教材第63页第6题:等式$\sin (\frac{\text{π}}{6}+\frac{2}{3}\text{π})=\sin \frac{\text{π}}{6}$, 此等式成立, 即$\sin (x+\frac{2}{3}\text{π})=\sin x$, 该式中x取$\frac{\text{π}}{6}$时等式成立.能否断定$\frac{2}{3}\text{π}$是sinx的周期呢?不能.因为对于其他一些x值, 该式不一定成立, 如$x=\frac{\text{π}}{3}$时, $\sin (x+\frac{2}{3}\text{π})\ne \sin x.$

【例1】 函数y=cosx (x≠0) 是周期函数吗?

解:不是.举反例, 当T=2π时, 令x=-2π, 则有cos (x+2π) =cos (-2π+2π) =cos0=1, 但x=0不属于题设的定义域, 则x≠-2π, 故y=cosx (x≠0) 不是周期函数.

2.式子f (x+T) =f (x) 是对“x”而言.

【例2】 由$\cos (\frac{x}{3}+2k\text{π})=\cos \frac{x}{3}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$是否可以说cosx的周期是2kπ呢?

解:不能.因为$\cos (\frac{x}{3}+2k\text{π})=\cos \frac{x+6k\text{π}}{3}$, 即$\cos \frac{x+6k\text{π}}{3}=\cos \frac{1}{3}(x+6k\text{π})=\cos \frac{1}{3}x(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 所以$\cos \frac{x}{3}$的周期是6kπ, 而不是2kπ (k∈Z) .

3.一个函数是周期函数, 但它不一定有最小正周期.例如, f (x) =a (常数) , 显然任何一个正数T都是f (x) 的周期, 由于正数中不存在最小的数, 所以周期函数f (x) =a无最小正周期.

4.设T是f (x) (x∈R) 的周期, 那么kT (T∈Z, k≠0) 也一定是f (x) 的周期, 定义规定了T为一个实常数, 而不是一个变数, 同时也规定了T的取值范围, 只要求不为零, 不要误认为T一定是π的倍数.

众所周知, 函数y=Acos (ωx+φ) 的周期即最小正周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{|\omega |}$, 函数y=Acos (ωx+φ) 的最小正周期也是${\rm T}=\frac{2\text{π}}{|\omega |}$.函数y=tan (ωx+φ) 的周期是${\rm T}=\frac{\text{π}}{|\omega |}$, 不难看出, 上述各函数的周期中都含有“π”, 而且, 同学们所见的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”.于是, 有的同学认为:周期函数的周期一定含有“π”.

事实上, 这种看法是错误的.实际上, 有许多周期函数的周期中是不含“π”的, 如下面几例:

(1) 函数y=sinπx的周期是${\rm T}=\frac{2\text{π}}{\text{π}}=2.$

(2) 函数y=tan2πx的周期是${\rm T}=\frac{\text{π}}{2\text{π}}=\frac{1}{2}.$

(3) 若对于函数y=f (x) 定义域的任何x的值, 都有f (x+1) =f (x) 成立, 则由周期函数的定义可知, 函数y=f (x) 是周期函数, 且T=1是其周期.

函数的周期性总复习 第4篇

【关键词】正弦函数；余弦函数；周期性；抽象

一、教材分析

教材是新课程标准的具体化，是进行课堂教学设计的蓝本，是教师教、学生学的具体材料，要把握好教材，落实教学目标，必须准确理解课程标准。因此我在认真研读课程标准的基础上从教材的地位与作用、教材重点与难点两个方面展开我对教材的分析。

1.教材的地位与作用

本课选自人教A版数学必修4第一章第4节第2小节第一课时，该课时主要学习函数的周期性。

这节课是在学习了正、余弦函数图像以及三角函数诱导公式之后，对三角函数的又一重要探讨。周期性，是对函数性质的一个重要补充，又是研究三角函数其它性质的根本，所以本课既是前期知识的发展，又是后续知识的基础，起着承前启后的作用。

从思想方法上讲，这节课的教学过程中还渗透了建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

2.教材的重点与难点

根据新课标的要求，我确定本课的重点为，周期函数的定义和正、余弦函数的周期性；难点为：对周期函数概念的理解和求函数的周期。

二、学情分析

从学生的知识储备上看：学生已经学习了正、余弦函数的图像和三角函数的诱导公式，这为学习本课做好了知识上的准备。

从学生思维特点来看：学生具备了一定的形象思维和抽象思维，但还需要进一步加强。

三、教学目标

在充分把握新课程标准的要求，教学内容和教学对象的基本情况的基础上，我制定如下教学目标：

1.知识与技能

准理解周期函数的概念和正弦函数、余弦函数的周期性，会求一个函数的周期。

2.过程与方法

在概念形成与探究的过程中，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力和抽象素养，渗透建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

在获取知识的过程中，让学生感受数学来源于生活，又回归于生活，体会数学的应用价值；是学生体会获取知识后成功的喜悦，培养学生的学习兴趣，养成主动探究的习惯。

四、教法学法

1.教学方法

第斯多惠说过：“一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理”。因此，我采用引导发现法与启发探究法相结合的教学方法，启发学生在探究的过程中发现真理，体会获得成功的快乐。

2.学习方法

新课标中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”因此，我鼓励他们采用自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲身经历知识的形成过程，最终掌握良好的学习方法和学习习惯。

五、教学过程

为了达到预期的教学目标，我设计了以下五个环节。

环节1：创设情境，导入新课

教师用多媒体向同学们展示情境1、情境2. 引导学生发现它们的变化周期，使学生对周期有初步的认识。再让学生进入情境3，说一说。

情境1：四季变化的图片。

情景2：月亮圆缺现象，即一个月的月亮图形。

情境3：鼓励学生列举类似的周而复始的现象。 紧接着，说明这种现象是周期性。

设计思路： 皮亚杰曾说：没有一个行为模式不含有情感因素作为动机。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生对周期有一个初步的认识。

师：数学源于生活，但高于生活，数学是自然规律的高度概括与抽象。那么，我们用数学语言如何刻画周期性？

设计思路：由生活中的自然现象自然过渡到数学课堂中，使学生感受到数学源于生活。

环节2：观察分析，形成概念

问题1：观察正弦函数、余弦函数的图像，指出它的定义域和值域分别是什么？

设计思路：学生们容易想到正、余弦函数就是周期函数的代表。首先，带领学生回顾其图像，得到正弦函数、余弦函数的定义域和值域，为本节课的难点做铺垫。

问题2：正弦函数图像有何规律？其本质是什么？

设计思路：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始。”留给学生充分的时间，进行小组讨论，之后请小组代表汇报结果。学生可以得到该图像是以2π、4π等为单位的周而复始的变化。但对于其本质，部分同学难以表达。

问题3：观察下面的图形和三组点，分析并总结这几组点有什么共同特征？

设计思路：对于正弦函数图像规律的本质，一些同学难以理解。我以2π为周期为例，化抽象为形象，帮助学生理解周期函数的本质，为概念形成打下良好的基础。让学生观察几组特殊点，分析共同属性，同学们经过交流，抽象得到其本质。

问题4：你能将正弦函数的周期性推广到一般函数，得到周期函数的定义么？

定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。

设计思路：趁热打铁，启发同学们将它推广到一般函数，在小组中交流后，形成周期函数的概念。这样的设计有利于培养学生观察、分析、抽象概括的能力，培养学生的六大核心素养之一——抽象素养，同时，进一步渗透数形结合的思想方法。

问题5：一个函数的周期是唯一的么？其周期中最小的正数是多少？

生：不是唯一的，例如正弦函数的周期有2π，4π，6π…，最小正数是2π。

此时，我便给出最小正周期的概念：如果在周期函数f（x）的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期）。

设计意图：直接给出最小正周期的概念，以概念同化的形式让学生学习此概念，扩大了学生原有的认知结构。

问题6：是不是每一个周期函数都有最小正周期呢？

生：常函数f（x）=c没有最小正周期。

设计思路：学生通过对已学的函数进行讨论，得到常函数没有最小正周期。

问题7：我们已经基本掌握了正弦函数的周期性，通过类比的方法，你能得到余弦函数的周期性么？

师：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

生：余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

设计思路：学生通过类比的方法，进行知识性的小结，再次理解函数的周期性。

环节3：合作探究，深入理解

探究1：用定义法求下列函数的周期。

设计思路：本环节是这节课的难点。我采用由一般到特殊的方法，先给出一个例题，请同学们独立完成。本题既是对周期函数定义的考察，又是为探究正余弦型函数周期公式做铺垫，起着承上启下的作用。我将对一二题进行分析，首先看第一题，观察f（x）的形式，由正弦函数的周期为2π得到f（x+T）的形式，T既是此函数的周期。再看第二题，需要将2x看成一个整体，同理得到其周期周期。通过对前两题的分析，让同学们对第三题进行整理、分析、交流、展示。

探究2：你能从探究1的解题过程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的周期与解析式里的哪些量有关？

设计思路：同学们在小组内交流后发现：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函数的周期仅与ω的值有关，并猜想得到周期公式 。数学是抽象的，为了让学生形象感知，我将在几何画板中，通过改变A、W、Q量，验证此猜想的一般性。同时，数学也是严谨的，学生类比探究1的第（3）题的证明演绎推理得到该函数周期公式。同理，得到余弦型函数周期公式。

环节4：运用新知，巩固提升

练习1：求函数 的周期。

变式：求函数 的周期。

练习2：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示.

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s时钟摆的高度。

设计思路：学生知识的掌握是通过“学得”和“习得”而来的，所以我给出了两道练习题。练习1是基本型的，直接利用公式，目的是强化学生对公式的理解，变式是对公式的灵活运用，需要先应用诱导公式。练习2是一道实际应用题，不仅考察了学生对周期函数的理解，还体现了数学的应用价值。

环节5：温故反思，任务后延

1.温顾反思

（1）本节课你学习了哪些知识？

（2）本节课你学习了哪些思想方法？

设计思路：我以学生为主体归纳本节所学知识和思想方法。目的是帮助学生建构知识体系，深化认知结构。

2.任务后延

必做题：课本P36：练习1、练习2

选做题：你认为求函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的方法能否推广到一般函数的周期上去？即命题：

“如果函数f（x）的周期是T，那么函数y=f（x）的周期是 ”是否成立？

设计思路：针对学生差异我设计了必做题和选做题，这样使人人都学数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

六、板书设计

七、设计分析

本课在“教师为主导，学生为主体”的教学思想的指导下，以周期函数概念的形成，正弦函数、余弦函数的周期性，正弦型、余弦型函数周期公式作为明线，让学生由感性认识上升到理性认识，感受其应用价值。在教学当中，我还将通过学生的课堂反馈及时调整自己的教学内容和方法，使自己的教更好的服务于学生的学。

参考文献：

[1]何小亚.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2012：249.

[2]孙培青.教育名言录.上海：上海教育出版社，1984：67.

函数的周期性总复习 第5篇

解答下列各题。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1、设a0，求函数f(x)

全解P2472、已知函数f(x)x

实验班P

53xxln(xa)(x(0,))的单调区间。2xa(2lnx),a0，讨论f(x)的单调性。

3、已知函数f(x)(xk)ek。2

（1）求f(x)的单调区间。

（2）若x(0,),f(x)

实验班P53

函数的周期性总复习 第6篇

一、选择题

1.函数f(x)＝ax3-x在(-∞,+∞)内是减函数,则()

A.a＜1B.a1C.a＜0D.a≤0

3解析:f′(x)＝3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a

而1在(-∞,+∞)上恒成立, 3x210,∴a≤0.故选D.23x

答案:D

2.函数f(x)＝1+x-sinx在(0,2π)上是 …()

A.增函数B.减函数

C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 解析:f′(x)＝1-cosx＞0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A

3.若a＞3,则方程x3-ax2+1＝0在(0,2)上恰有()

A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根 解析:令f(x)＝x3-ax2+1,则f′(x)＝3x2-2ax＝3x(x

由f′(x)＝0,得x＝0或x2a).322a(∵a＞3,∴a2).33

∴当0＜x＜2时,f′(x)＜0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)＝8-4a+1＝9-4a＜0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.故选B.答案:B

4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y＝f′(x)的图象如右图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是

（）

解析:由y＝f′(x)的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0,∴f(x)在（-∞,0)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0,∴f′(x)在（0，2）上单调递减.故选C.答案:C

5.(2008广东高考,理7)设a∈R,若函数y＝eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a＞-3B.a＜-3C.a解析:y′＝a·eax+3＝0,当a＝0时,显然不合题意,∴a≠0.1

1D.a 33

313

.∴xln().aaa13

由题意,得ln()0,aa

∴e

ax



a0,∴ 301a

∴a＜-3.故应选B.答案:B

6.(2008福建高考,理12)已知函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象如右图,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是（）

解析:由y＝f′(x)和y＝g′(x)的图象可知，y＝f′(x)是减函数，y＝g′(x)是增函数.∴y＝g(x)图象上升速度越来越快,y＝f(x)图象上升速度越来越慢.故选D.答案:D

二、填空题

7.已知函数f(x)＝x3-12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m＝____________________.解析:f′(x)＝3x2-12＝3(x+2)(x-2),令f′(x)＝0,得x＝±2.∵f(-3)＝17,f(3)＝-1,f(-2)＝24,f(2)＝-8, ∴M-m＝f(-2)-f(2)＝32.答案:

328.函数y＝lnx-x在x∈(0,e］上的最大值为______________.解析:y

11x

1,令y′＝0,∴x＝1.又在(0,1］上y′＞0,在［1,e］上y′＜0,∴函数在x＝1xx

处取极大值,同时是最大值,此时y＝-1.答案:-

19.若函数f(x)__________.4x

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是2

x1

4(x21)8x24(1x2)

解析:f(x), 2

222(x1)(x1)

令f′(x)＞0,∴-1＜x＜1.m-1,

根据题意,得2m11,∴-1＜m≤0.2m1m,

答案:(-1,0］

10.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________.（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）

解析:右图为圆木的横截面, 由b2+h2＝d2, ∴bh2＝b(d2-b2).设f(b)＝b(d2-b2), ∴f′(b)＝-3b2+d2.令f′(b)＝0,由b＞0, ∴b

d,且在(0,d］上f′(b)＞0, 33

d处取极大值,也是最大值, d,d)上,f′(b)＜0.∴函数f(b)在b33

在［

即抗弯强度最大,此时长h

d.3

答案:

6d 3

三、解答题

11.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD＝2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值

.解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如右图),则点C的横坐标为x,点C

x2y2

1(y≥0), 的纵坐标y满足方程22

r4r

解得y2r2x2(0＜x＜r).S

(2x2r)2r2x2 2

＝2(xr)r2x2, 其定义域为{x|0＜x＜r}.(2)记f(x)＝4(x+r)2(r2-x2),0＜x＜r, 则f′(x)＝8(x+r)2(r-2x).令f′(x)＝0,得x因为当0＜x＜

1r.2

rr1

时,f′(x)＞0;当＜x＜r时,f′(x)＜0,所以f(r)是f(x)的最大值.222

因此,当x

r时,S也取得最大值,最大值为21332f(r)r, 22

即梯形面积S的最大值为

332

r.2

a

(a＞0),设F(x)＝f(x)+g(x).x

12.已知函数f(x)＝lnx,g(x)(1)求F（x)的单调区间；

（2）若以y＝F(x)〔x∈(0,3］〕图象上任意一点P（x0,y0)为切点的切线的斜率k求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m,使得方程f(x)g（恒成立，2

2a)m1恰好有两个不同的零点？若存在，2

x1

求m的取值范围；若不存在，请说明理由.a

(a＞0)的定义域为(0,+∞), x

1axa

∴F(x)2.2

xxx

解:(1)F(x)lnx

当x＞a时,F′(x)＞0;当0＜x＜a时,F′(x)＜0,∴F(x)的单调增区间为(a,+∞),F(x)的单调减区间为（0，a).(2)以P（x0,y0)为切点的切线的斜率为k＝F′(x0)＝

x0ax0,x0∈(0,3］,由已知，得

x0ax0



112,即ax0x0.22

12111

x0(x01)2, 222211∴a.∴amin＝.22

121

(3)由题意,知方程lnxxm在(0,+∞)内恰有两个不同的零点，22

121

即mlnxx在（0,+∞)内恰有两个不同的零点.221211(1x)(1x)

令h(x)lnxx,则h(x)x,当x∈(0,1)时,h′(x)＞0;

22xx

∵x0

当x∈(1,+∞)时,h′(x)＜0,∴h(x)在(0,1)上是增函数, h(x)在(1,+∞)上是减函数.于是,h(x)在x＝1处取得极大值即最大值, 最大值为＝h

(1)ln1

121

10.22

又x＞0且x→0时,h(x)lnx

121

x→-∞, 22

∴h(x)的大致图象如右图所示: