§8.4双曲线的简单几何性质习题

§8.4双曲线的简单几何性质习题（精选11篇）

§8.4双曲线的简单几何性质习题 第1篇

1.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（）A.C.x220x2y216y21 B.1 D.y220y2x216x21 1

162016202.渐近线为3x±2y=0，且与x2-y2=0无公共点的双曲线方程是（）A.C.y218x2x28y21 B.1 D.y24x2x29y21 1

x24912273.双曲线的渐近线方程是y=±程是（） A.B. C.D.y234x，两个焦点都在椭圆

100y2251上，则双曲线的方9y2x216x21或1或1或1或x216x2y29y21 1 1 1 9x216y29y216x264x236y29y216x216964364.焦点为(0，6)且与双曲线A.C.x2x22y21有相同渐近线的方程是（）

y212y2y224x21 B.12x2x224y21

24121  D.x224121

5.已知双曲线16yb221的实轴的一个端点为A１，虚轴的一个端点为B１，且｜A1B1｜=5,则双曲线的方程是（）

A.C.x216x2y225y21 B.x216x2y225y221 1 yb2221691 D.xa2216xa96.0＜k＜a，双曲线

kby221与双曲线k1有（）

A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D.相同的焦点 7.求与双曲线x29xa22y216yb1有共同的渐近线，并且经过点(-3，2322)的双曲线方程.8.证明：双曲线定值.1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个 9.双曲线x29y241与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.参考答案：

1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.x2y21

8.证明略.9.k23或k53

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§8.4双曲线的简单几何性质习题 第2篇

则x124y12=4 ①

x24y24 ② 22①-②得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 ∵P是线段AB的中点，∴x1x216,y1y22 ∴y1y2x1x2x1x24(y1y2)2

∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.说明：此题也可设直线的斜率为k，然后待定k的值.［例2］过双曲线xa22yb221的焦点F(c,0)作渐近线

ybax的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x证明：过F与ybaa2c上.ab(xc)x垂直的直线的方程是y2axc得yabc.ay(xc)b由方程组ybxa

即H点的坐标是(∴H在直线上xa2c2,abc)，ac.y20［例3］已知双曲线的一条准线方程为x是(-2，与这条准线相对应的焦点的坐标,2),且双曲线的离心率为

2，求双曲线的方程.选题意图：灵活运用双曲线的定义解决数学问题.解：设P(x,y)是双曲线上的任一点，P到直线xxy22y20的距离为

.P到焦点的距离为

(x2)(y22)2，∴(x2)2(y22)22

xy2∴(x2)2(y2)2xy2.两边平方，得：

x222x2y222y2x2y222xy22x22y

∴xy=-1.即所求双曲线的方程为xy=-1.［例4］如图，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当2334时，求双曲线离心率e的取值范围.选题意图：考查坐标法、定比分点坐标公式，双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.分析：关键找e与λ的关系.解：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为

xa22yb221.∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c12AB,h是梯形的高.(2)c2(1),y0由定比分点坐标公式得x0h1

ca∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e= e2代入双曲线方程得：

4e2hb(221 ①

21hb4)222(e12)2hb221 ②

由①得： 又ee2241代入②并整理得：

12

34,，得：

23ee22231234

解得7≤ｅ≤10

∴双曲线离心率的取值范围为［7，10］.说明：e2ee2212也可整理成

3121212231

双曲线的几何性质（一）教学设计 第3篇

新课程积极提倡学生“主动参与、乐于探究、、勤于思考”,以培养学生“获取新知识”、“分析解决问题的能力”,而不再视知识为确定的、独立于于认知者的一个目标,而是视其为一种探索行动或创造的过程。依据新课程的对教学要求和教学内容的需要,设计了本节课的教学设计。本节课的设计教学思路有主要三个方面:(1)有让学生在现实的情境和已有的知识经验中体验和理解数学,(2)引导学生动手实践,主动探索与合作交流,(3)鼓励学生发现问题,解决问题,体验成功的愉悦。

二、教材分析

1、教材内容与地位

本节课是新课程实验教材人教A版数学选修2-1第二章第6节的内容。它是学好双曲线性质及利用其性质解决应用问题的关键一课。在这之前学生已经掌握了曲线与方程的联系以及椭圆及其几何性质。还有双曲线的基本概念。应该说具备了相当的知识储备,足够学生自主探索,合作探究来完成本课时的教学内容。

2、教学重点、难点

重点:双曲线的几何性质及初步运用.

解决办法:布置学生动手操作任务,通过完成任务的整个过程得到双曲线的的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明,培养学生定性分析的数学思想。

难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.

解决办法:采用逐步设问,引导学生发现问题,解决问题。

疑点:双曲线的渐近线的证明.

解决办法:分三个层次。(1)通过观察几何画板动画展示给出合理猜想(2)通过公式变形定性分析(3)通过详细讲解

三、学情分析

这些学生是第一批接受新课程理念的教学模式,他们有强烈的自主探究学习的欲望,有很好的合作意思。而且刚学了曲线与方程及椭圆,已经接触了通过方程研究曲线的思想,具有一定能力自主研究曲线。而双曲线的几何性质与椭圆的几何性质完全可以类比过来,所以把这堂课设计成学生自主探索,研究发现,体验“研究者”的快感是非常合适的。

四、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.进一步体会到方程与曲线的联系。

(二)能力训练点

通过学生动手实践,合作学习,在发现问题和解决问题中学习新知识,从而培养学生分析、归纳、推理、合作学习等能力.

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解。同时也让学生体会到数学研究的快乐,培养学生发现数学美,欣赏数学美,提高对数学学习的热情。

五、教学方法

本课程教学设计使用的教学方法有别于传统的讲授法。主要是采用学导式教学方法与讨论法、发现法相结合。当然在整个教学过程有老师适时的问题作为过程引导与衔接。

六、媒体选择

PPT辅助;几何画板辅助;实物投影仪

七、教学程序

(一)提出问题:前面我们已经学习了椭圆及其双曲线的概念,大家告诉我你们学的如何?(学生很有激情的回答学的不错)

那好,我来出考考大家

画出双曲线方程 的草图

(1)给学生5分钟的时间,以后相互同学交换成果,比较讨论下,谈谈有何体会。

(2)到学生中去观察,找几个典型错误实例。

(3)通过讨论,再通过投影将几个典型错误实例展示给大家看,让同学感受自己知识的不足

设计意图:抛出问题与学生现有知识产生碰撞,引起学生兴趣。为整节课奠定了一个动手探索,自主发现的基调。

(二)制定方案:谁有办法较准确的画出双曲线方程草图呢?接下来我们就来探索下,能不能解决这个问题。

抛出问题:我们是如何画出椭圆草图的?那么是否可以用类比方法解决双曲线 草图?

引导学生要画出图像必须从方程入手,然后讨论确定出研究步骤

(1)确定图像区域

(2)曲线是具有对程性

(3)曲线的大致变化趋势

(4)曲线的开口情况

设计意图:明确研究方案,为后续讨论指明了方向,使得学生的探索具有方向性,有利于问题解决。

(三)剖析问题

第一小组第二小组第三小组第四小组

确定图像区域负责///

曲线是否具有对称性/负责//

曲线大致变化趋势//负责/

曲线开口情况///负责

(1)第一小组成果:考察了方程x,y的取值范围得到图像应该在直线 确定的区域外侧(这个探索过程学生完成的很漂亮,主要是学生类比了椭圆草图的得到过程)

动手任务1:大家在白纸上画出双曲线所在的区域

(2)第二小组成果:图像关于x,y及原点中心对称。

这个过程学生得到有点困难,所以我们实施的启发引导方程f(x,y)=0关于x,y及原点对称会有什么特征。完成这个过程后,学生很快探索出成果。完成情况不错。

思考任务2、第二小组同学的成果能给我们画草图带来何帮助?

学生回答:只要画出第一象限内的草图,然后根据对称性就可以画出全部图像了。

(3)第三小组成果:方程图像在第一象限内的图像y随x增大无限接近 ,但达不到

这个内容是教学的重点,也是难点,要注意逐步启发教学。我在教学过程中分这么几步:

1、回顾函数图像变化趋势是考什么来衡量?

学生答:函数单调性!

老师追问:如何判断单调性?

学生答:定义、图像、y随x增大而增大。

2、双曲线是函数吗?有办法变形成函数不?

学生答:双曲线不是函数,但在第一象限内的图像可以理解成函数图像

老师追问:函数解析式是什么?

学生答:

3、在第一象限内的双曲线对应函数单调性如何?

学生答:y随x增大而增大,所以函数在第一象限内单调递增。

老师追问:黑板上画出两种递增的形态是,不是可以随意递增呢?

引导学生观察函数值的变化情况!给出2分钟思考时间。学生很快发现

学生回答:无论x有多大函数值y永远比 小

老师答:非常棒!你能解释下为什么?

学生答:

老师问:非常好,大家能根据上述函数关系来回答反应在图像上他们的位置关系有何特征?

学生答:随着x的无限增大,曲线的图像越来越靠近直线 ,但永远不能达到。

老师答:GOOD,大家回一下以前我们研究的函数有没有类似的表述?

学生答:双曲线函数 有这个性质。那条线叫渐近线。

老师答:对,那直线 叫什么好呢?

学生异口同声的回答:渐近线。

4、你能得到双曲线图像变化趋势吗?

学生答:能,根据对称性就可以完成了。

动手任务3:大家在草稿纸上继续完成我们刚才没完成的草图。(给同学动手2分钟)

老师找几个典型图像,然后用投影仪展示给学生看,初步享受成果,体会快乐。但又提出问题,他们的画图像还不那么一致,所以还有必要研究另一个问题,也就是第四组同学的工作必须完成。

(4)第四小组成果

老师引导:椭圆中有控制形状的量e,双曲线中有没有呢?我们类似椭圆也给双曲线定义e

(e>1)

离心率是如何控制双曲线形状的呢?给学生3分钟讨论时间

老师问:大家讨论出结果了没有?

学生答: ,渐近线斜率越大,离心率越大。

老师答:非常好,简单说e越大,带过来渐近线的斜率越大(第一象限),导致双曲线开口越大

老师答:通过刚才所有同学的不懈努力我们完成了最先给出的4个问题。现在大家能告诉我你如何较准确画出双曲线草图?

动手任务4:在草稿纸上完成我们最先给出的双曲线方程,比较下你最初话的图像,修改错误之处。

设计意图:本环节是本节课的关键。所以在整个设计过程中我采用了以小组为单位进行任务分工解决,提高解决效率。同时对于较为困难的问题采用适时引导,层层设问,引导学生解决问题。同时在整个过程中始终贯穿这一个任务:正确画除双曲线草图。每每发现一点新知识就及时应用于画图。让学生边探索,边应用,体会学以致用。这个设计环节不仅培养了学生的动手与合作学习的能力同时也让学生体会成功的快乐,提高对数学研究的积极性。

(四)解决问题

展示部分学生优秀的作品,然学生充分体验成个的快乐。然后结合图像给出双曲线中几个相应的概念:顶点,焦点,实轴,短轴,渐近线等概念。

总结归纳:通过刚才学习,谁能总结下如何画出双曲线草图?能归纳下基本步骤吗?

(1)确定曲线范围;

(2)画出渐近线方程(两条);

(3)画出第一象限草图;

(4)根据对程性完成整个图像。

设计意图:展示成果,充分肯定学生的劳动成果。对问题进行归纳、概括、提升,获得解决双曲线方程的基本思路。同时也培养学生通过方程研究曲线的的能力。

(五)巩固问题

例、求双曲线 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程

设计意图:通过这个例题让学生体会下如何研究焦点在y轴上的双曲线几何性质与焦点在x轴上双曲线的几何性质有何异同。特别指明:焦点在x和在y轴上双曲线标准方程对应的渐近线方程公式化形式是不不同的,为下节课故设悬念。

(六)深化提升

思考作业:探究方程 具有何性质?并画出草图

设计意图:通过本题更一步强化如何通过方程研究曲线的基本过程。检验学生通过方程研究曲线的能力。

八、板书设计

九、自主性教学设计评价

本课的教学设计有别于传统的教学设计。而是采用将问题抛给学生,然后通过逐步引导、启发,发现问题,解决问题,发现新知识的过程。整个教学设计其实就是一个研究性课题。解决了如何通过方程研究图象的问题,也完成了更个教学计划。更将双曲线的几个零散的几何性质串联的一起,形成一个整体。让学生从使用角度、整体大局角度去掌握双曲线的性质从但优点遗憾的是本教学设计对学生要求较高,极少部分同学在探求新知识上存在一定困难。

1、刘兼《数学新课程与数学学习》 高等教育出版社 2008

§8.4双曲线的简单几何性质习题 第4篇

xa22yb22b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）1(a＞0，是双曲线上的任一点，求证：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是双曲线的离心率.选题意图：巩固双曲线的第二定义，给出双曲线焦半径的推导方法.证明：双曲线xa2xa22yb221的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)相应的准线方程分别是

c和xa2c.∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0a2e,PF2x0a2e.cc化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x程.选题意图：研究离心率、准线与a、b、c的关系，考查准线的几何意义.解：∵ca4,a212,求双曲线的方c12

∴a=2,c=8,∴b2822260.∴双曲线的方程是x24y2601.说明：双曲线的准线总与实轴垂直.［例3］在双曲线倍.选题意图：考查双曲线准线方程、第二定义等基本内容.

解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x∴PF1x165PF2x165x216y291上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两

165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，∴2PF2x165485PF2x165,x4852

把x代入方程x216y91得：y35119.所以，P点的坐标为(485,35119)

双曲线的简单几何性质 第5篇

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

双曲线的简单几何性质教学反思 第6篇

双曲线的简单几何性质教学反思

圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题，主要是对圆锥曲线几何性质的考查，因此，课堂教学时应重视对圆锥曲线几何性质的归纳和运用.有效教学要在学生已有认知基础上，寻找学生最近发展区促进学生更深层面上思维和理解。本节课学习活动是以学生对椭圆几何性质的认知基础上进行的，利用方程讨论曲线的性质的这种方法，学生在学习讨论椭圆的性质时已经尝试探讨过，所以这节课主要是对照椭圆几何性质，让学生通过类比的思想方法得出双曲线的几何性质.充分调动学生学习的积极性，使学生更清楚地区分两者曲线，找出“共性”和“个性”.有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程.当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，一是与椭圆的类比不到位，二是知识网络的形成欠缺，三是由于应用多媒体，客课容量是增加了，但个别知识容易造成一带而过，引不起足够重视，四是时间分配上存在误差，练习时间减少。

在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？…….促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。（5）问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学习行为，及时整理、内省自己的思维过程，提升对知识、方法的认识。如：问题是怎样得到解决的？使用了哪些思维方法？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？……..这在实际教学活动确实有所体现，但是还有一定的欠缺，这需要在教学实践中不断的去摸索经验，此外在教学设计中还应更加细致，预先设置的更细致些，会有更好的效果。

双曲线的几何性质习题3 第7篇

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

§8.4双曲线的简单几何性质习题 第8篇

［例1］已知双曲线的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程.【解】 把方程化为标准方程

ya2222222

2xb22=1，由此可知，实半轴长为a,虚半轴长为b，c=a2b2.焦点坐标是(0,－a2b2),(0, 渐近线方程为x=±【点评】 双曲线近线为x=±baxaa2b2).ba22y,即y=±

yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线

ya22xb22=1的渐y,即y=±

abx，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.［例2］求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.【解】 双曲线的渐近线方程可写成（λ≠0）

∵焦点在x轴上，∴λ＞0 把双曲线的方程写成x2x4y3=0,因此双曲线的方程可写成x216y29＝λ

16y29＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求双曲线的标准方程为

x2 ＝1

2562514425∵a2=25625,即a=165，ca416554∴双曲线的离心率e=.【点评】 渐近线为对角线证明.xayb＝0的双曲线方程总是

xa22yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点.求证：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【证明】（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为x=b(b>a)

xa22yb22＝1 如图8—7易求得

N(b,a2b2)

图8—7 b2∴tanNA1x＝a2ab2=

baba

tanNA2x＝ba2ba=

baba

∴tanNA1x＝21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均为锐角

双曲线及其简单几何性质作业 第9篇

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

§8.4双曲线的简单几何性质习题 第10篇

（二）●教学目标

1.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；

2.应用双曲线知识解决生产中的实际问题.●教学重点

双曲线的准线与几何性质的应用 ●教学难点

双曲线离心率方程与双曲线关系.●教学过程 I.复习回顾：

师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用.II.讲授新课：

例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC=13×2(m)，BB=25×2(m).设双曲线的方程为

x2y2a2b2

1（a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以

252122(y55)2b21, 132122y2b21.252(y12255)2b21(1)解方程组1322

122yb21(2)由方程（2）得 y512b

（负值舍去）.代入方程（1）得

(5b25255)212212b21, 化简得

19b2+275b－18150=0

（3）解方程（3）得

b≈25(m).所以所求双曲线方程为： x2y21.144625说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.a2c例3 点M（x,y）与定点F(c,o)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(ca0),求点M

ca的轨迹.解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合MFcp=M, da由此得

(xc)2y2a2xcc.a化简得

(c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2).设c2－a2=b2，就可化为：

x2y221(a0,b0).2ab这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.（图8—18）说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.6.双曲线的准线：

由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

c(e>1)时，这个点的a轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.a2准线方程：x=.ca2x2y2a2其中x=相应于双曲线221的右焦点F(c,0);x=－相应于左焦点F′(－c,0).ccab师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用.III.课堂练习：

课本P113 2、3、4、5.要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用.●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题.●课后作业

§8.4双曲线的简单几何性质习题 第11篇

◆ 知识与技能目标

了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．

◆ 过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，yb22xa2210，进一步得：xa，或xa．这说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线ybax叫做双曲线

xa22yb221的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e（iii）例题讲解与引申、扩展

ca叫做双曲线的离心率（e1）． 例3 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y扩展：求与双曲线离心率．

解法剖析：双曲线22abx．

2x16y291共渐近线，且经过A23,3点的双曲线的标准方及

x216y22y291的渐近线方程为y34x．①焦点在x轴上时，设所求的双曲线为x16k9k1，∵A23,3点在双曲线上，∴k214，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为x2216ky229k21，∵A23,3点在双曲线上，∴

k214，因此，所求双曲线的标准方程为

y94x241，离心率e53．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为x216y29mmR,m0．

例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为xa22yb221，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知AP150m，BP100m，BC60m，APB60．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即BMAMAPBP50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为x2625y23750135x25,0y60．理由略．

165例5 如图，设Mx,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x数54的距离的比是常，求点M的轨迹方程．

2分析：若设点Mx,y，则MFx5y2，到直线l：x距离dx165165的，则容易得点M的轨迹方程．

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：xecaa2c的距离比是常数ca0，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：2xac相应于F的准线；另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：xa2c．

◆ 情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．