正弦定理教学设计及反思

2024-05-25

正弦定理教学设计及反思（精选15篇）

正弦定理教学设计及反思第1篇

湖北省宜昌市第十八中学高中数教师学教学反思：正弦定理教学设计

及反思

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。在教学过程中，采用了以学生互动探究为主的“五二五”教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够通过观察、归纳、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现与创造的历程；掌握正弦定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论结果。）探究一：在△ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出△ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准：书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2，3，4，5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。

总的来说，本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。数学知识也在欢乐和谐的氛围中主动的进入了学生的大脑。

正弦定理教学设计及反思第2篇

1.在教学过程中，我注重引导学生的思维发生，发展，让学生体会数学问题是如何解决的，给学生解决问题的一般思路。从学生熟悉的直角三角形边角关系，把锐角三角形和钝角三角形的问题也转化为直角三角形的性，从而得到解决，并渗透了分类讨论思想和数形结合思想等思想。

2.在教学中我恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段.利用《几何画板》探究比值的值，由动到静，取得了很好的效果，加深了学生的印象.

正弦定理证明的探究及教学建议第3篇

一、定理引出

利用直角三角形中的边角关系引出正弦定理.

二、定理的证明

正弦定理的证明方法很多, 本文仅就锐角三角形从传统几何证法和向量证法两方面进行探讨.

1.传统几何证法

证法一:利用三角形的高进行证明.

点评:这种证法体现了解决问题的一般思路, 将未知转化为已知, 即将非直角三角形问题转化为直角三角形问题解决, 关键是利用边角关系表示CD并变形.

证法二:利用三角形的面积证明.

点评:这种证法建立在三角形面积用两边及其夹角正弦乘积的一半表示基础上, 否则就要以证法一为基础.

证法三:利用三角形的外接圆证明.

点评:这种证法就是利用同弦所对的圆周角相等, 将问题向直角三角形转化, 同时建立起比值与外接圆直径的关系, 这是一种很好的关系, 有利于正弦定理的变形应用.

证法四:利用余弦定理证明.

又由海伦公式知

点评:正、余弦定理都是阐述三角形边角关系的定理, 本证法说明他们相互之间是有联系的, 同时建立起比值与三角形三边乘积及其面积的关系, 但计算量大, 不适于课堂教学.

证法五:利用角平分线定理和锐角三角函数定义证明.

点评:这种证法将正弦定理中的比例关系与角平分线定理中的比例关系建立联系, 再用直角三角形中的三角函数进行转化, 完成定理的证明.

2.向量证法

证法六:利用向量投影证明.

点评:向量投影在教材上只作了简单的介绍, 没有说明它的应用, 实际上向量投影的用处是很大的, 突出应用于立体几何中.本证法实质上与证法一相同.

证法七:利用向量数量积证明.

如图2, 在△ABC中, AAAC+CAAB=AAAB, 两边同取与向量CAAD的数量积运算, 得到CAAD· (AAAC+CAAB) =CAAD·AAAB,

点评:正弦定理表达了三角形中的边角关系, 而向量中的数量积则涉及边角关系, 从而考虑用数量积证明.为了同时达到消元的目的, 构造与三角形的一边垂直的向量, 自然选用图2中的向量CAAD, 当然也可以构造其他向量.

证法八:利用向量坐标运算证明.

如图5, 以AB所在直线为x轴, 以点A为原点建立直角坐标系, 作AAAD=BAAC, 则有A (0, 0) , B (c, 0) , C (bcos A, bsin A) , D (acos (π-B) , asin (π-B) , 则:

点评:这种证法通过建立直角坐标系, 确定点坐标, 由向量的坐标运算及向量相等来证明.关键是找到一对相等向量.

证法九:利用三角形外接圆和向量知识证明.

点评:比值与外接圆直径的关系也可以利用向量证明.

证法十:利用向量知识和余弦定理证明.

点评:在a2+b2-2abcos C=4R2sin2C中, 用c=2Rsin C代换, 即得余弦定理, 所以正、余弦定理也可以说是等价的.

3.现行教材中的证法比较

笔者翻阅了六套高中数学教材, 在人教大纲版教材中, 正弦定理在第五章“平面向量”中出现, 在湘教课标版教材中, 正弦定理在必修四中出现, 在其余四套课标教材 (人教课标A版和B版、北师大课标版、苏教课标版) 中, 正弦定理均在必修五中出现.除湘教版外, 其余五套教材均利用直角三角形中的锐角三角函数关系引出正弦定理, 但证法各不相同.

人教大纲版利用向量数量积证明, 但没有利用证法七中的向量C D, 而是过A作了垂直于AB的单位向量j来证明 (如图7) , 也没有探讨比值与外接圆直径的关系.这样的处理不是很自然, 不易想到, 较难接受.不探讨比值与外接圆直径的关系, 对正弦定理的变形应用有一定影响.

人教课标A、B版教材采用证法一, 比值与外接圆直径的关系在习题1.1B组中以习题形式出现, “证明:设△ABC的外接圆半径是R, 则a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.”

北师大课标版教材首先说明正弦定理在等边三角形中成立, 然后利用向量投影证明, 但没有采用证法六, 而是在直角坐标系中给出钝角三角形ABC (如图8) , 利用A C、B C在y轴上的投影相同证明.并利用证法三探讨了比值与外接圆直径的关系.这种处理没有发挥坐标系的作用, 建立坐标系自然会想到点坐标, 但在证明过程中没有用到坐标.

各版本教材的证明各有特色, 人教课标A、B版, 证法简单, 最容易被学生接受.苏教课标版的处理思路清晰自然, 既考虑最佳方法, 又兼顾向量方法;既巩固向量知识, 突出向量的工具性, 又开启学生的思维, 将学习延伸到课后.人教大纲版和北师大课标版的证法不是很理想.笔者赞同将正弦定理的比值与外接圆直径的关系纳入课堂教学, 这个关系的探讨不太难, 学生易接受, 体现了数学的和谐、神奇, 既是一次正弦定理的深入理解和变形应用, 也是一次对学生进行数学美、数学精神教育的机会.特别指出的是湘教课标版的教材体系不同于其余四套课标教材体系, 更接近人教大纲版教材体系, 以向量为主线, 以“问题解决”为驱动, 揭示数学知识的内在联系和数学知识中隐藏的思想、方法, 正弦定理的处理突出重点知识, 内容展开简洁明快, 易教易学, 容易实现课堂的高效化.

《正弦定理》教学设计第4篇

【教学对象】高二学生

【教材分析】正弦定理是高中《数学》必修五的第一章第一节，是高中生学习解三角形的第一个重要工具。同时为学习余弦定理做准备，起到十分重要的作用。

【学情分析】本课的教学对象设定为中等水平的高二学生。学习本课前，学生需要掌握前面已学过的三角函数知识。

【教学目标】

知识与技能：（1）理解正弦定理概念和公式的本质；（2）会正弦定理解决两个基本的解三角形问题。

过程与方法：（1）通过提出对以前知识的疑问，培养学生严谨的逻辑思维能力；（2）通过猜想——探究——证明的过程学习正弦定理，提高学生的探究意识。

情感态度价值观：（1）体会到数学的普适性的美；（2）体会数学公式的结构不变性与字母可变性。

【教学重点】证明正弦定理的过程以及如何应用正弦定理解三角形。

【教学难点、关键】正弦定理的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、回顾旧知

1、三角形中“大边对大角”的描述是真的吗？

提问让学生思考，产生认知疑惑。教师引导学生回答问题，发现根据现已掌握的知识似乎只有在直角三角形中，才可以通过理论证明“大边对大角”。

2、老师继续引导学生严谨证明在直角三角形中大边对大角

老师引导学生，证明不能似乎好像，必须有严谨的证明才可以，并板书证明过程：

斜边>任一直角边（由勾股定理可得）设直角边分别为a，b，且分别对应角A，B，斜边为c，那么a=c*sinA，b=c*sinB，又A，B是锐角，所以角越大时边越大，边越大时角越大，故“大边对大角”。

设计意图：先造成学生认知上的疑惑，通过老师不断地引导培养学生严谨的数学思维能力。

二、在一般三角形中猜想并证明正弦定理

利用已知在直角三角形中的证明可以得到：a/sinA=c=b/sinB，其中c可以写作c/sinC猜测在一般三角形中也有这样的等式成立

先让学生自己任意画一个三角形，任意标出三角形的三个顶点A，B，C，其中角A，B，C，分别对应边a，b，c，再根据教师的引导共同证明猜想。黑板上演示证明的全过程，让学生清楚地看到正弦定理对任意三角形都成立的全过程。

板书演示：（略）

老师让同学之间相互交流看看对方画的三角形是否一样，可以发现这样的猜想对任意的三角形都是成立的，老师继续提示在证明过程中也没有任何限制三角形形状的地方，所这样的猜想对三角形有普适性。老师揭示刚刚所证明的猜想就是今天要学习的正弦定理。

设计意图：通过证明向学生们揭示正弦定理的普适性，让学生们感受到数学定理的伟大。

三、正弦定理的本质

例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其对应角分别是O，P，Q，请写出该三角形的正弦定理表达式。

由刚刚学习的正弦定理可知m/sinO=n/sinP=l/sinQ。老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母及其对应角的字母解决问题。在解决这些问题时学生对正弦定理的认识有进一步了解。可以发现运用正弦定理公式时不是简单的套用字母的运算，而要分析公式的真正含义再结合题意进行运用。学生总结或通过老师揭示正弦定理的实质。

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握正弦定理的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、正弦定理的应用

老师引导学生利用正弦定理证明“大边对大角”：直角三角形的情况在课堂一开始就已经证明过；在锐角三角形中，所有的角均为锐角，故角度越大其正弦值越大，那么由正弦定理的实质（任意三角形中每一边与其对应角的正弦值之比为定值）可以得到其对应边的值也越大，反之亦然，故而锐角三角形中有“大边对大角”；类似地，在钝角三角形中的两个锐角及其对应边，自然是有“大边对大角”的，那么钝角的正弦值是不是大于其中任一锐角的正弦值呢？给学生一定的思考空间后，老师提示三角形的内角和为180o，所以钝角的正弦值等于其余两个锐角和的正弦值，那么钝角的正弦值肯定大于其中任一锐角的正弦值，同理“大边对大角”在钝角三角中也成立。

正弦定理除了可以证明“大边对大角”，还有什么应用呢？

例题：已知△ABC的三角形∠A=60°，∠B=45°，AB=3，求△ABC的周长L

先让学生们独立做题，最后由老师板书提示：

周长L=AC+BC+AB

=sinA（AB/sinC）+sinB*（AB/sinC）+AB

=（sinA+sinB+sinC）AB/sinC.

总结，任意三角形只要是任意给出两角和一边都可以计算出其余的值。

例题：1.已知△ABC的三角形∠A=60°，CB=5，AB=3，求△ABC的周长L

例题：2.已知△ABC的三角形∠A=60°，AC=4，AB=3，求△ABC的周长L

学生自行做题，发现例2无法解出。总结，任意三角形中任给两边和其中一边的对应角才可以利用正弦定理计算出其余的量。

《正弦定理》教学反思第5篇

1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

正弦定理的教学反思第6篇

周至中学

李娟

2011年11月份，在全县赛教活动中，我选择了《正弦定理》这一节内容.在备课中有两个问题需要精心设计.一个是问题的引入，一个是定理的证明.课本通过一个实际问题引入，但没有深入展开下去；对正弦定理的证明是利用三角形的面积公式导出的，但不够自然.为了处理好这两个问题，我首先确定了一个基本原则，就是充分利用课本素材，从学生的“最近发展区”入手进行设计.具体的思路就是从解决课本的实际问题入手展开，将问题一般化导出三角形中的边角关系——正弦定理.C1．问题引入

某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情.在AC处观测到火情发生在北偏西40º方向，而在B处观测到火情在北偏西60º方向（如图1），已知B在A的正东方向10千米处.现在请你确定火场C距A、B多远.A要解决问题，首先应将此问题转化为数学问题

图1 “在△ABC中，已知∠CAB=130º，∠CBA=30º，AB=10千米，求AC与BC的长.”

师：这里△ABC是斜三角形，问题是求△ABC 的边长AC与BC.一般应如何处理这类问题？生：通常把它转化为直角三角形的问题来解决.学生思考后，叫两个学生表述解题思路：

学生1.过A作BC的垂线,垂足为D，则ADABsinB ∠C=180º-130º-30º=20º，BACADABsinB10sin3015（千米）sinCsinCsin20学生2.BCBDDC10cos30015cos20022（千米）

2．深入探究

引导学生将上述问题一般化，即“在△ABC中，已知两角(∠A，∠B)和一边(c)，求其他两边(a,b)” 的问题.师：根据上述问题的解答思路，你能否导出一个a、b的计算公式？一个学生给出bADcsinB sinCsinC对于BC，另一个学生给出的思路是

BCBDDCADcotBADcotC

非常遗憾的是，当学生给出思路后，我打断学生说，这种方法太麻烦，我们看另一种思路，如图2，过B作CA的垂线交CA的延长线于E，则aBEcsinA sinCsinC这种思路虽然简单，但不是从学生的头脑中产生的，而是教师强加给学生的，只注意教学的结果而没有注意学生思维过程的发展，思路再好对学生的也没有指导意义.违背了以学生发展为本的原则.事实上按照学生的思路并不麻烦，可推导如下.BCBDDCAD（cotBcotC）csinB（3．归纳、概括结论

cosBcosCsin(BC)csinA）=csinB sinBsinCsinBsinCsinC 1 师：由上面两个式子你能得到什么关系？生：在△ABC中，abc sinAsinBsinCA师：刚才讨论的△ABC是钝角三角形，对于直角三角形和锐角三角形是否

也有这样的关系呢？

生1：在直角三角形ABC中，设∠C=90º，则sinC=1，abcc sinAsinBsinC对于锐角三角形，学生A的思路是在ABC中，过A作BC边的高AD=h，cbEaa则，再往下没说清楚，我也没听明白学生的思路，为sinAhbBaDC图3 了赶进度，就另叫了一个学生说出了如下的思路，直接得到结论：在锐角三角形中，直接有bsinCcsinB，asinCcsinA，可得课下我问了学生A，他的推导方法是：

abc.sinAsinBsinCaaabbb,又错过了一次展示学生sinAhhhsinBba思维过程的机会.这样对于钝角三角形、直角三角形和锐角三角形上述关系都成立，一般地我们得到结论：在任意△ABC中，有

abc sinAsinBsinC我让学生用语言叙述这一关系.本来我按课本上设计的表述是：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等.而被提问的学生的表述为：在三角形中，各边与它所对角的正弦成正比.我顺势按照学生的表述，概括出正弦定理，并进一步追问：既然各边与它所对角的正弦成正比，那么这个比值是多少呢？

4．探究比值a？ sinAAO师：设a是常数，我们让点A运动，保持∠A不变，那么点 A的运动轨迹如何呢？

生：在圆弧上（如图4用《几何画板》演示）.师：在运动过程中能否找到一个直角三角形，使得 ∠A是直角三角形的一个锐角？

生：当BA过圆心O时，角C为直角（如图4），比值

BCaa2R.等于△ABC外接圆的直径，即sinAsinA图4 以下过程略.教学反思

1．本节课虽然在教师的引导下，完成了教学任务，但是一味地为了完成任务而忽略了对学生正确思维的展开和引导.上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，只有从思想上真正转变为以学生的发展为根本，才不会为了进度而将学生强拉进自己事先设计好的轨道.正是教学有法，又无定法.2 2．问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.本节课通过对课本引例的解决、展开，引导学生在问题解决中发现结论.符合认识问题的思维规律，对激发学生探究问题兴趣是非常有益的.3．正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法.但在具体的推导时，要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力.4.在教学中恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段.本节课利用《几何画板》探究比值a的值，由动到静，取得了很好的效果.而课下学生问，∠A是钝角的情形怎么证明呢？sinA于是我将这一问题给学生留作思考题，即“你能否将∠A是钝角的情形转化为锐角的情形呢？”

正弦定理的教学反思第7篇

上完这节课，让我有这样一些体会：

1、问题是思维的起点，是学生主动探索的动力。本节课在教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点。

2、在教学中恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段。本节课利用《几何画板》探究比值，的值，由动到静，取得了很好的效果。”

3、做练习时，有学生提出解三角形时，正弦定理可以解决哪些问题?学生有这样归纳的意识，在课堂及时肯定，表扬，并在课后刻意留一道思考题，任务后延，自主探究，使学生发现用正弦定理解决两边一对角问题时可能会出现两解，一解或无解的情况，那么自然过渡到下一节内容，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数问题。

4、正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，采用转化，分类讨论的的数学思想，是学生们易于接受的一种证明方法。但在具体的推导时，发现学生可以想到对三角形进行分类讨论，并将斜三角形转化成直角三角形证明，但在转化时，不仅可以通过作高，还可以有别的方法，比如外接圆法。但在证明时只用了作高这种方法，这种思路虽然简单，但不是从学生的头脑中产生的，而是教师强加给学生的，只注意教学的结果而没有注意学生思维过程的发展，思路再好对学生的也没有指导意义。所以今后要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力。上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，要尊重学生的思路，善于发现学生的闪光点，并及时引导，才不会为了进度而导下，将学生强拉进自己事先设计好的轨道。

正弦定理教学设计及反思第8篇

正弦定理:三棱柱的三个侧面面积的比等于其相对二面角的正弦的比:

$\frac{S_{1}}{\sin (A A_{1})} = \frac{S_{2}}{\sin (B B_{1})} = \frac{S_{3}}{\sin (C C_{1})} .$

余弦定理:三棱柱的任一侧面面积的平方等于其他两个侧面面积的平方和,再减去这两个侧面面积与其所夹二面角余弦的积的两倍:

S $_{1}^{2}$ =S $_{2}^{2}$ +S $_{3}^{2}$ -2S2S3cos(AA1).

(其余二式略写)

这里,S1,S2,S3分别表示侧棱AA1,BB1,CC1所对侧面的面积,(AA1)表示以侧棱AA1为棱的二面角,(BB1)表示以侧棱BB1为棱的二面角,(CC1)表示以侧棱CC1为棱的二面角.

证明:三棱柱ABC-A1B1C1如图1.任取一与它的侧棱垂直的平面α,设A,B,C在α的射影分别为A′,B′,C′.

在△A′B′C′中由正弦定理与余弦定理得

$\begin{array}{l} \frac{B^{'} C^{'}}{s i n A^{'}} = \frac{C^{'} A^{'}}{s i n B^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{s i n C^{'}} . ① \\ B^{'} C^{'}^{2} = A^{'} C^{'}^{2} + A^{'} B^{'}^{2} - 2 A^{'} C^{'} \cdot A^{'} B^{'} \cos A^{'} . ② \end{array}$

在①中各分子乘以三棱柱的侧棱长l即得

$\frac{S_{1}}{\sin (A A_{1})} = \frac{S_{2}}{\sin (B B_{1})} = \frac{S_{3}}{\sin (C C_{1})} .$

在②中两边遍乘l2即得

S $_{1}^{2}$ =S $_{2}^{2}$ +S $_{3}^{2}$ -2S2S3cos(AA1).

正、余弦定理证毕.定理的应用举例如下:

【例1】求证:平行六面体的两个对棱截面面积的平方和等于四个侧面面积的平方和.

证明:如图2,在三棱柱和ABC-A1B1C1和ABD-A1B1D1中用余弦定理得:

S $_{B D_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{D A_{1}}^{2}$ -2SAB1SDA1cos(AA1), ③

S $_{C A_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{B C_{1}}^{2}$ -2SAB1SBC1cos[π-(AA1)]. ④

注意SAB1=SCD1,SBC1=SDA1,

③+④即得

S $_{B D_{1}}^{2}$ +S $_{C A_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{B C_{1}}^{2}$ +S $_{C D_{1}}^{2}$ +S $_{D A_{1}}^{2}$ .

【例2】在四面体ABCD中,已知棱长AC及(AC),S△ABC=S1,S△ADC=S2,试求相对棱AC与BD的距离.

解:将四面体ABCD补成三棱柱B1AD1-BCD,如图3,则AC与BD的距离即为AC与平面B1D的距离d.

设侧棱AC与D1D的距离为m,则易知

d=msin(D1D). ⑤

而 $\frac{S_{B_{1} C}}{\sin (D D_{1})} = \frac{S_{B_{1} D}}{\sin (A C)}$ .(正弦定理)

故 $\sin (D D_{1}) = \frac{S_{B_{1} C} \sin (A C)}{S_{B_{1} D}}, ⑥$

⑥代入⑤得 $d = \frac{m S_{B_{1} C} \sin (A C)}{S_{B_{1} D}} . ⑦$

又 $m = \frac{2 S_{2}}{A C}, S_{B_{1} C} = 2 S_{1},$

而 $S_{B_{1} D} = \sqrt{(2 S_{1})^{2} + (2 S_{2})^{2} - 2 \times 2 S_{1} \cdot 2 S_{2} \cos (A C)}$ (余弦定理),

将这三式代入⑦整理得

$d = \frac{2 S_{1} S_{2} \sin (A C)}{A C \times \sqrt{S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2 S_{1} S_{2} \cos (A C)}} . ⑧$

这就是相对棱AC与BD的距离.

说明:例2的结果⑧实际上给出了两异面直线距离的一个公式.特别地,当(AC)=90°时,⑧成为更简单的形式 $d = \frac{2 S_{1} S_{2}}{A C \sqrt{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}} .$

【例3】已知矩形ABCD的AB=3,BC=4.现沿对角线AC将矩形折成60°的二面角.求对折后BD与AC的距离.

解:问题的实质是求四面体ABCD的对棱AC与BD的距离.对照⑧,得

$\begin{array}{l} S_{1} = S_{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6, A C = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5, (A C) = 60 °, \\ \sin (A C) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (A C) = \frac{1}{2} . \end{array}$

正弦定理教学设计及反思第9篇

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

正弦定理教学设计与反思第10篇

“正弦定理”的教学设计

一、教材分析

1、正弦与余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理，《标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用这两个定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，从而使学生进一步了解数学在实际中的运用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

2、定理的探究可以采用向量的方法。向量在研究与解决有关几何问题时提供了两种方法——向量法与坐标法，它在实际问题与数学问题、“形”与“数”之间搭起了“桥梁”。向量在数学与物理中运用广泛，在解析几何运用更直接，用向量方法便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，是一张具有优良运算通性的数学体系。

3、定理的探究也可以采用几何推理的方法。

4、在必修4中，学生已经学习了三角函数的基础知识、图像性质与恒等变形等三角函数和平面向量的有关内容，对三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，是学习正弦定理的知识基础。学生已经掌握的知识和方法形成的认知结构，是学习正弦定理的能力基础。

正弦定理是必修5 中第一章解三角形第一节

正弦定理和余弦定理中的第一

正弦定理，起着承上启下的作用。

二、教学目标

1、掌握利用几何或平面向量证明正弦定理的方法，引导学生运用向量知识解决问题的意识。

2、掌握正弦定理，并能解决一些简单三角形度量问题。

3、能根据三角形边长和角度的关系，进行三角形和解的个数的判定。

4、培养学生的观察，归纳、猜想、探究的思维方法与能力。

三、教学重点、难点重点：正弦定理的探究与运用

难点：根据三角形边长和角度的关系，进行形状和解的个数的判定。

四、教学过程

（一）、创设情景，导入新课

问题

1、在测量某水池东西两端A与B之间距离实践活动中。学生甲的测量方法是：从水池的一端点A出发，沿西北方向走了10米到C点出，又再C点测得点B在C的南偏西60度的方向上···试判断：依据学生甲的测量数据是否能计算出水池两端A、B之间的距离/若能求出A与B之间的距离？

利用直角三角形的边角关系可以直接求解。正弦定理的引入

问题

2、p2探究

AbcCBa

在初中我们学习了关于任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确化的表示呢？

对于此问题，首先研究比较特殊的直角三角形（锐角三角函数）由于涉及边角之间的数量关系（引导学生到三角函数）问题

3、在初中，我们已学过如何解直角三角形，那么在直角三角形中存在怎样的边角关系呢？

正弦定理的探究

AbCc探究

如同：在Rt△ABC中，在∠c=90°，设BC=a，AC=b,AB=c,sinA=

sinB=

sinC= 可以得到直角三角形中的正弦定理

abcC sinAsinBsinCacbccc思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否成立？

abc sinAsinBsinC探究；根据三角形的分类，可分为锐角三角形和钝角三角形亮种情况进行讨论；

（二）合作交流，解读新知

一般三角形的计算：采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。问题是生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都化为直角三角形求解，很麻烦，能不能，像直角三角形一样利用边角关系求解呢? 锐角三角形

利用锐角三角形中，同一条高的不同表示，证明锐角三角形中的正弦CABD定理。

asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形

ab，同理可得，sinAsinBAB边上的高，CDasinBbsinA，则钝角三角形

P3探究，当三角形ABC是钝角三角形时，以上等式成立吗？是否可以用其他方法证明正弦定理，学生自己探究，小组讨论，教师提示

钝角三角形中的正弦定理（正弦函数的诱导公式）作一边上的高，总结：正弦定理abc sinAsinBsinC正弦定理的证明

方法有：向量法、三角形面积公式。

前面我们学习了排名向量，能否运用向量的方法证明呢？

CiAB但△ABC是锐角三角形时，过点A作单位向量

i垂直于AB，因为ACABAC，所以 iACi(ABBC)

iACiABiBC

所以bcos(900A)ccos900acos(900B)

即bsinAasinBab sinAsinB当△ABC是钝角三角形时，类似证明。

提问为什么要做单位向量，引入单位向量有什么用？

因为垂直的两向量的数量积等于0，所以过点A引入单位向量是为了消去第三边。

正弦定理说明：（1）同一个三角形中，三条边与其对应角的正弦成正比且比例系数为改三角形外接圆的直径2R。即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（2）、anisbcAnisBnisCanisbcbac,, AnisBnisCnisBnisAnisC（3）三角形面积公式解三角形

(1)、说明是解三角形p3 三角形的元素，三边对应三角（传统）（2）正弦定理可以用于两类解三角形的问题

P3思考

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？（正弦定理说明（2））

（1）两角与一边（三角形内角和定理，求另一角，）正弦定理求另两边。

（2）两边与一边对角，正弦定理求另一边的对角正弦值（确定角）和其他边和角。

（三）、例题讲解（正弦定理的应用）P3例1 P4例2

教师提示学生动手做，叫学生上黑板演练，注意两边和一边对角，解三角形，在某些条件下，出现无解情形关于解三角形的进一步讨论。（三角形中大边对大角）

（四）、课堂练习P4练习

（五）、小结与作业

1、正弦定理的应用，在同一个三角形中，大角队大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大。

即三角形中，A>B，等价于a>b等价于sin A>sin B

2、解决三角形中的计算与咱们问题时，要注意以下几点，sinA=sin(B+C)

3、三角形常用的面积公式

教学反思

本节课是正弦、余弦定理教学的第一街课，重点是正弦定理的探究原因如下：教学的目的不仅是传授知识与技能，更主要的是再此过程中，培养学生的能力，特别是思维能力；素材适合于学生教学“观察与分析”，“归纳与猜想”，“实验与证明”等思维能力的训练，正弦定理的探究包含利用向量方法证明定理。缺点是，课堂思维容量大，教学进度受学生的思维水平的影响；教学中容易出现突发事件影响教学进度；故要求教师灵活处理随机事件的能力高，在组织教学中，采取“让学生走上讲台”、“让学生自学课本”、“师生、生生讨论”等模式，形成学生主动观察、分析、归纳、探究、猜想、证明为主线的，教师的主导作用，真正体现了新课改的理念。教学的注意

对学生情况的把握是否到位，教学设计与学生的生成是否精彩，师生配合度是否默偰，方法是否得当。

正弦定理试讲反思第11篇

对于这次的试讲，我还是比较看重的，在上课前我也准备了比较久的时间，总的来说，我对于课堂上总体进度的把握以及上课的梯度有了一定的掌握，并且预想了诸多的问题以应付课堂上的突发状况。但俗话说“实践出真知”，真正的课堂远不是备课时所设想的这般简单。

这次我试讲的内容是必修5第一章第一节第一课时的正弦定理，本节课是新授课，我根据带队老师的建议总结了一下，发现了其中存在的一些问题。

一、首先，对于教材的熟悉度还不够

在课堂上进行语言表达的时候，还是有些不连贯，在脑中也不能很好的呈现出知识框架，另外，在内容的衔接上也还有一些生硬，我还是需要多多的研读教材，将教材进行前后联系，才能逐渐的驾驭教材。

二、在写新课名称的时候没有写章节目录

在试讲写新课名称的时候我没有写本节课的章节名称，而PPT上面是有写的，所以带队老师建议我把板书跟PPT上的内容统一起来，以便于使PPT更清晰更完美，学生也可以更好的观看。

三、PPT中的字太多，不够简洁

在课前我精心准备了一份课件，将书中大部分的内容都收入其中，包括引入部分的练习、例题讲解的步骤和一些定义，但是在试讲时带队老师提出建议，对于PPT上的定义这部分内容可以省略，学生可以通过对书本的观察得知，同时也可以让PPT显得更简练清爽。

四、课堂上问题的设置不够，与学生之间的互动比较少

在试讲时大部分的时间都是由我在讲，很少有提问学生的时候，这样就容易让学生跟不上老师的教学进程，并且老师也不能知道学生对于知识的了解程度，这样做会对老师的教学会产生极大发阻碍，所以带队老师要求我多提一些问题，在一些重要的知识点上更是要放慢教学节奏，认真细心的帮助同学理解并掌握了之后再继续授课，也可以引导学生跟着自己的思路走，这样上课学生就会更投入。

五、上课时的语速要注意抑扬顿挫

上面我已经说到过，对于教材的熟悉度不够，从而会在语言的连贯上产生一些影响，现在带队老师也提出，在熟悉了教材之后我们要更进一步，要求自己逐渐养成抑扬顿挫的习惯，这样可以让课堂更生动活泼，有更好的氛围，让学生的学习效率更高。

正弦定理教学设计及反思第12篇

第1题.直角△ABC的斜边AB2，内切圆半径为r，则r的最大值是（）

．B．1C

答案：Ｄ

第2题.在△ABC中，若sinBsinCcos

2A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：Ｂ

第3题.在△ABC中，若A120，AB5，BC7，则△ABC的面积S．

答案：4A2则△ABC是（），第4题.在已知△ABC的两边a，b及角A解三角形时，解的情况有下面六种：Ａ．absinA，无解Ｂ．absinA，一解Ｃ．bsinAab，两解Ｄ．a≥b，一解Ｅ．a≤b，无解Ｆ．ab，一解

每种情况相对应的图形分别为（在图形下面填上相应字母）：

答案：ＣＤＡＢＥＦ

第5题.正弦定理适用的范围是（）

Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．任意三角形

答案：Ｄ

第6题.在△ABC中，若此三角形有一解，则a，b，A满足的条件为_________．答案：absinA或ba．

第7题.在△ABC中，已知b

3，cB30，则a________．答案：3或6

第8题.如图，已知△ABC中，AD为BAC的平分线，利用正弦定理证明

BD

ABAC

BDDC

．



sinsinABBD

答案：证明：由正弦定理得． 

ACDCACDC

sinπsin

第9题.在△ABC中，已知sinAsinBsinC，求证：△ABC为直角三角形．答案：证明：设

则sinA

asinA



bsinB



csinC

kk0，ck

ak，sinB，sinC

．

代入sinAsinBsinC，ak

得到



22，abc． △ABC为直角三角形．

222

第10题.已知△ABC中，A60，B45，且三角形一边的长为m，解此三角形．答案：解：依题设得C75．

若am，由正弦定理，得

b

asinCsinAasinCsinA



msin45sin60





m，c

msin75sin60





．

若b

m，同理可得a，c，若c

m，同理可得a



m，b

1m．



第11题.利用余弦定理说明△ABC的内角C为锐角、直角、钝角的充要条件分别为

abc、abc、abc．

答案：在△ABC中，C为锐角cosC0

abc

2ab

2故C0abc，222

为锐角的充要条件为a2b2c2．

同理可说明C为直角、钝角的充要条件分别为abc，abc．

第12题.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC．

答案：证明：如图１，设△ABC的外接圆的半径是Ｒ，当△ABC是直角三角形，C90

△ABC的外接圆的圆心O在Rt△ABC的斜边AB上．时，在Rt△ABCACAB

sinB，sinA，b2R

sinB．



BCAB

sinA，即

所以a2RsinA，b2RsinB．又c2R2Rsin902RsinC．当△ABC是锐角三角形时，它的外接圆的

圆心O在三角形内（图２），作过O，B的直径

A，B，联结A1C，则△A1BC是直角三角形，A1CB90，BACBA1C．



在Rt△A1BC中，所以，a2RsinA．

BCA1B

sinBA1C，即

a2R

sinBA1CsinA．

同理，b2RsinB，c2RsinC．

当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，它的外接圆的圆心O在△ABC外（图３）．作过O，B的直径A1B，联结A1C．则△A1CB是直角三角形，A1CB90，BA1C180BAC．



在Rt△A1BC中，BC2RsinBA1C，即a2Rsin180BAC，即a2RsinA．类似可证，b2RsinB，c2RsinC．

RsniA，b2RsinB，综上，对任意三角形△ABC，如果它的外接圆半径等于R，则a2c2RsinC．

第13题.cosA0，

答案：解：△ABC为锐角三角形，cosB0，且1x5，cosC0

2232x20，2

x13，2

3x20，2

x5，即

222

x230，1x5.1x5.



x

第14题.在△ABC中．为什么说sinAsinB是AB的充要条件？答案：因为sinAsinB

第15题.在△ABC中，A最大，C最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比．答案：解：由正弦定理得

abc

2ab

sinAsinB

1

1abAB．



sinAsinC



sin2CsinC

2cosC，即cosC

a2c，由余弦定理得

cosC

acacb2

2ab

．

acac

2bacb2ac

． ac2b，cosC

2ab2a

a2c

2ac

2a3

ac

，整理得2a25ac3c20，解得ac或a

c．

A2C，ac不成立．

b

ac2

3

cc2



c．

c∶c∶c6∶5∶4． 24

故此三角形三边之比为6∶5∶4． a∶b∶c

第16题.在△ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等边三角形答案：Ｃ

正弦定理教学设计及反思第13篇

一、面积法

分别过A、B作AD⊥BC于D, 作BE⊥AC于E.

在Rt△ACD中, AD=bsinC,

所以S△ABC=1/2BC·AD=1/2absinC.

同理, 在Rt△ABE中, BE=csinA,

所以S△ABC=1/2AC·BE=1/2bcsinA.

同理可得.

该证明过程中产生的“副产品”是三角形的面积公式:S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB.

二、外接圆法

设△ABC的外接圆为⊙O, 连结AO并延长交⊙O于D, 连结BD、CD.

因为AD为⊙O的直径, 所以∠ABD和∠ACD均为直角.

因为∠ADB=∠ACB, 所以在Rt△ABD中,

同理可得

所以

该证明方法产生的“副产品”就是且都等于该三角形外接圆的直径.

三、向量的数量积法

同理可得

向量的数量积是向量数量化的一种重要手段, 在高中课本中很多定理的证明都借助于向量方法, 所以这种处理问题的思想方法是非常重要的.

四、坐标法

以A为原点, 以射线AB为x轴的正半轴建立平面直角坐标系, 且使点C落在x轴的上方, 则AB边上的高即为C点的纵坐标.根据三角函数的定义, C点的纵坐标yC=bsinA.

所以△ABC的面积S=1/2cyC=1/2bcsinA.

同理S=1/2acsinB, S=1/2absinC.

所以1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC,

同除以1/2abc, 再取倒数, 有

正弦定理和余弦定理第14篇

正、余弦定理是高考的必考内容，主要涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状.

（1）解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少一边）求出其他元素的过程. 三角形中的基本元素（边和角）与非基本元素（如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径）之间的联系要通过有关的概念与公式（周长、面积、射影定理、勾股定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等）的掌握来实现.

（2）解斜三角形分以下四种类型：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角；

③已知三边，求三个角；

④已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；

（3）理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时，有一解、二解或无解三种情况，并会判断哪些条件使得三角形有一解、二解或无解.

（4）关于三角形的已学过的一些结论：如边角不等关系；全等关系；三角形的面积公式等等，在解三角形过程中可能要用到.

（5）要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论. 如常见的三角形边角关系恒等式、三角形面积的公式等.

（6）注意三角公式的灵活运用，主要是利用两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，诱导公式等进行三角函数变换.

《正弦定理》教学设计第15篇

一、教材分析

1、教学背景

在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。“正弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

2、教材的地位及作用 1.教材结构

《正弦定理》是高中数学必修5第一章第一节的内容。在此之前学生已学习了三角函数、平面向量知识，它起着承前启后的作用，是《三角函数》中有关三角形知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，为以后学习《余弦定理》提供了方法上的模式，是解决实际生活中三角形问题的有力工具之一。正弦定理教学时数的安排为2课时，它涉及定理的推导教学和应用教学两大部分，本节课的内容是定理的推导及定理的简单应用。

2.新旧教材对比

新旧教材中均运用归纳思想，在直角三角形中揭示边角关系并进一步进行探索，证实在斜三角形中此关系也成立；不同点在于定理的证明新教材多给出了一种向量的证明的方法，这样的设置给学生们眼前一亮的感觉，同时留给学生们更多的对数学知识的相关性更多的思考空间。

3．新高考对解三角形的要求，将三角形作为几何度量问题来展开。要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练，为发展数学应用意识，提高实践能力创造条件。4新课程对解三角形的定位

关注数学应用，倡导“学以致用”重视概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。重视新概念的引入，关注其贴切的背景支撑，和与生活实际密切相关的联系。重视亲身体验数学发现和创造的历程，达到发展创新意识和实践能力的目的。重视能否给学生带来最大的思考空间；怎样创设问题情境？如何设问？才会有助于学生更好地认识和理解基本概念、掌握基础知识。提倡以学生自主学习为主的合作探究、小组讨论的学习方式。

二、教学目标、重点难点 1.教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：正弦定理是一节在实际生活中受到广泛应用的定理,通过定理的教学,不仅培养学生解三角形的应用能力,更重要的是提高应用所学知识解决实际问题的意识和能力；同时引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。情感目标：通过感受数学美激发学生热爱科学勇于探索的精神，通过自主学习的发展体验获取知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征、辨证特征、开放特征。2.教学重、难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及证明

三、教学方法和教学手段

教学方法：我采用的是引导发现法、探索讨论法等。

1、引导发现法：实际问题。

2、探索讨论法：通过实际问题总结出数学问题，并运用数学知识解决实际问题。根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点学法指导

“学即为用，用则要学” 教会学生

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

教学手段：利用多媒体课件教学，化实践为数学问题，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。

四、教学程序

教学流程设计：实际应用问题→化为数学问题→特殊情况分析→猜测结果→证明猜想→余弦定理→余弦定理的应用→课堂练习→课堂总结→布置作业

教学程序（师生双边活动）设计意图实

图片展示：不可到达的山高或河宽

际（1）、从学生所关心提出问题：

应的实际问题引入，使某人站在黄河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，用学生了解数学来源于请你设计一个方案能够求出A、B两点间的距离？（备用工具：问实际。

测角仪和皮尺）

题实

1、化为数学问题（1）、通过主观能动际已知三角形的两个角及公共边，求公共边上的高性，把实际问题转化---为数学问题

提出问题。在中，----（2）、培养学生从实理求AB边上的高际问题抽象出数学模论

2、特出情况分析

回顾直角三角形中的边角关系：

3、猜测结果

型的能力，先探索结论，再找规律，引发学生积极的思维，学生通过不断尝试（不一定一次发现），但这种尝试符合从特殊到一般的认知规律。

1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理 2．那结论对任意三角形都适用吗？指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行证明

验证。

猜测、得

3．让学生总结实验结出

果，得出猜想：

正弦

在三角形中，角与所定理

对的边满足关系

总结，[这为下一步证明树1．让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称立信心，不断的使学和谐美，提升对数学美的享受。生对结论的认识从感2．正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。性逐步上升到理性。] 3．运用正弦定理求解本节课引入的桥臂长的问题。（让学生逻辑推理，证明猜想自己参与重大实际工程问题，能激发学生知识后用于实际的价1．强调将猜想转化为值观。）定理，需要严格的理通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你论证明。对此有何体会？ 2．鼓励学生通过作高1．用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。转化为熟悉的直角三2．它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。角形进行证明。3．定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的3．提示学生思考哪些思想。知识能把长度和三角

函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理。

从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）

掌握正弦定理的简单应用

允许和鼓励学生提应

问，让学生从“不问”用

到“敢问、善问”是培正弦

养学习能力的重要一定

环。

理

强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度

五，作业设计阅读课本，课本习题，提出自己的问题六，设计理念把“数学发现的权力”还给学生

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