空间向量专题复习

空间向量专题复习（精选8篇）

空间向量专题复习 第1篇

第7课时专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理 任务1点共面问题

例1.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，

OMxOA1

1OBOC,则x的值为3

3多少 笔记：

任务2空间向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

任务3 利用空间向量证明平行、垂直问题

例4.如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB

⊥平面EFD；

笔记：

【堂中精练】

1．设





O,P,A,B为空间任意四个点，若OPmOAnOB,且mn1,则（）

A.P在直线AB上B.P,A,B三点不共线C.P有可能在直线AB上D.以上都不对

2．若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，1OMxOAOB1

OC,则x3

3的值为（）

A.1B.0C.3D.13



3．设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是

（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

4．若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b

|（）

B

CD.4点睛：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只

要

能

证

明，或

对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上

也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

点睛：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都

用、、表示出来，即

可求出x、y、z的值

点睛：证明线面平行的方

法：

①证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已 知直

线的方向向量共线

【反馈测评】

1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M,N,P,Q,R,S分别为AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点，则MNPQ化简的结果为（）A.0B.RSC.SRD.NQ











10已知A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则ABC中AC边上的高BD是

2．在以下命题中，不正确的命题个数是（）①对于空间中任意

的四点A,B,C,D恒有AB

BCCD0D；A②

|a|

b||a|b|共线；③若ab

a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间中任意的一点O和不共线的三点



A,B,C,若OPxOAyOBzOC（x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。A.1B.2C.3D.43．若点G为ABC的重心，点O是空间中任意一点，则下列结论中（）是正确的。





A.GAGBGC0

B.OG1OA1OB1OCOAOBO



22

2C.OG

C D.OG3OA3OB3O C4．下列命题正确的是（）A.若

11OPOAOB,则

P,A,B

三点共线2

3B.若{a,b,c}为一个基底，则{ab,bc,ca}也为一个基底

C.|(ab)c||a||b||c|



D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0

5.已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的射影向量的模为

6.已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则直线AB与平面xOz的交点坐标为

7.如图，在矩形ABCD中，AB1,BCa,PA平面AC，且PA1,若在BC边上存在两个

点Q,使得PQQD,则正实数a的取值范围是8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a,BB13a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE 9.设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是何三角形

11.若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b| 多少

12.如图所示，边长为a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,E

BD,AE上的动点，且ANDM,试用向量解决：（1）证明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

与A、B、C共面。(2)P与A、B、C三点不共面

例2.1/3 例3

例4.连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则

【堂中精练】5.A6.D7.C8.C 【反馈测评】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a(2,).8.AEa或2a。

9.锐角三角形

12.(1)

由

C|a3b|(a3b)13913.题意，设

BBD



MEA

E

x(x0

N

则1),BMxBDx(BABC),ENxEAx(BABE),MNBNBMBEENBM



.B(ExB)A(BEx)B(A1xB)BCExBC

MN//面EBC，MN面EBC，MN//面EBC。

(2)|MN|maxasin



2.

空间向量专题复习 第2篇

一、选择题

1.已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为()A.30°

B.45°

C.60°

D.150° 【答案】C 【解析】设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

∵θ∈0°，90°，∴θ＝60°，故选C.2.(2017·泸州二模)在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为则m的值为()A.－9或1 B.9或－1 C.5或－5 D.2或3 【答案】B 【解析】由题意|PP1|＝1.故选B.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝

2，即，∴(m－4)＝25，解得m＝9或m＝－

2，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A，D，E分别是AC1和BB1的中点，【解析】

由已知AB＋BC＝AC，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，222cos〈，n〉＝，〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sinθ＋cosθ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

4.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()2

A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 【答案】B 【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；

C中，BC⊥PC，AP⊂平面APC，因为平面BCP⊥平面PAC，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；

D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5.(2017·东北三校联考(一))在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】试题分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角． 解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．

考点：异面直线及其所成的角．

6.(2017·丽水一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为 时，AE＝()

A.1B.C.2－

D.2－

【答案】D

DA,DC,DP分别为【解析】试题分析：以点D为原点建立空间直角坐标系，0，0）,E（1,a,0）,C（0,2,0）,P（0,0,1），,设平面

D轴，（0，平面的法向量为，即,那么，解得:,平面的法向量为,那么，解得，所以考点：空间向量 ,故选D.7.(2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是()

A.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为B.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

C.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30° D.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30° 【答案】D 【解析】

连接AC，BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥P－ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，知A(－则 ＝，0,0)，B(0，－，＝(－，0)，C(，0，－，即，0,0)，D(0，)，＝(0，0)，P(0,0，－)，E，)，设m＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，则m⊥，且m⊥，令x＝1，则z＝－1，y＝－1，m，＝(1，－1，－1)是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°，故选D.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2＋cos2＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则点A1到平面AB1D1的距离是()A.1 B.C.D.2 【答案】B 【解析】设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝故选B.点睛：点面距离往往转化为对应棱锥的高，通过等体积法求高得点面距离

二、填空题

9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为．

【答案】，D，E分别是AC1，BB1的中点，【解析】

如图，取AC的中点F，连接DF，BF，则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成角的正弦值为所求．∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角．由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝

＝，∴∠FBG＝，∴sin∠FBG＝sin＝，即直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为．

【答案】60°【解析】建立空间直角坐标系D－xyz，如图．

设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． ∴ ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(1,1,0)．

设平面ABD1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则由m·＝0，m·＝0，可得m＝(1,0,1)，由n·＝0，n·＝0，得n＝(1，－1，0), ∴cos〈m，n〉＝＝.∴所求二平面的大小为60°.学

...学

...学

...学

...11.(2017·山西晋中五校联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为时，∠AFE为直角．

【答案】

【解析】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)． 设BC＝m，则C(m,4,0)，∵∴∴F∴要使∠AFE＝90°，则又∴∴16λ＝9，∴λ＝.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝，进而，＝λ，∴

＝λ

.同理，E，，可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||2＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

三、解答题

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定 t 的值．

【答案】(1)见解析(2)3

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为，设∵，则，．，；，∴，∴

在平面MBQ中，∴平面MBQ法向量为∵二面角M-BQ-C为30，∴．，．，考点：本题考查了空间中的线面关系

空间向量专题复习 第3篇

一、课前预习

先让学生复习平面向量涉及的3个定理或推论:

已学的平面向量:

1平面向量共线定理:

2平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线的向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ1,λ2,使

3平面向量基本定理推论:设平面任意一点O,则P,A,B三点共线

二、课堂互动

教师与学生合作总结空间向量中的4个定理或推论.

新学的空间向量:

4空间向量共线定理:

5空间向量共面定理:如果两个向量不共线 ,那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组 (x,y),使得

6空间向量共面定理推论:设空间任意一点O和不共线三点A,B,C.

P,A,B,C四点共面

7空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使

这么多的定理及推论,靠死记硬背,能记住就不错了,更谈不上灵活运用了.

三、小组讨论,自主互助

此时我要求学生进行小组讨论, 观察两组定理的联系与区别,能否将定理的条数变少.学生在经过长时间的谈论后总结出定理的条数可以减少.定理①④、定理②⑦类似.

四、教师点评

要求同学们只要记住两个定理:

一是共线定理即定理①④, 它们的内容和形式都是一样的,很好记.

二是基本定理,分平面和空间,即定理②⑦.定理②中的系数之和为1,即λ1+λ2=1时 ,即为③,定理⑦中的系数之和为1即x+y+z=1时即为⑥,还有⑤,=⑤②.

这样记不仅记住了定理, 还知道了它们之间的联系和区别,有了知识的生成过程和关联,熟练掌握水到渠成.

五、及时巩固

例1:已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

设M(x,y,z)是平面ABC内任一点,求x,y,z满足的关系式.

解法一:

评注:解法一利用平面的法向量解题,计算简单且容易理解. 很多学生反映好像向量这边学完了之后感觉都是计算方向向量和法向量,其实如果我们能够对定理1~7有深刻理解就会有其他途径解决该问题.

解法二:

解法三:

因为A,B,C,M四点共面,设O为空间中任意一点,则

评注:解法二和解法三计算量稍大,但不需要计算平面的法向量,而且能加深对定理56的理解,这两种解法也是相当自然.从而得到了三种已知平面上不共线三点求平面方程的方法.

很多时候学生解题过于依赖坐标系中的方向向量和法向量,一旦题目坐标系难以建立或不好建系,往往就会因为不习惯导致解题失败.

例2:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,各棱长都相等,且∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.求证 :是平面A1BD的法向量.

分析:本题即证直线AC⊥平面A1BD,易知AC⊥BD,只要在平面A1BD中找一条与BD相交且与AC垂直的直线即可 , 不妨选择A1B. 学生上来先建系 , 无论是以为z轴还是在平面ABCD中作DC的垂线为z轴都是错误的.

证法一:

连接D1C、D1A, 算出D1C、D1A、AC的长度用勾股定理证明AC⊥CD1

或记AC∩BD=O,连接A1O,连接A1O,A1C,用勾股定理证明AC⊥C1O

评注:两种思路都需要作辅助线,学生短时间内思考有一定难度.

证法二:

评注:此种证法用空间向量基本定理证明,简单易行,关键是要用对定理和选择合适的基底,关于基底的选择,建议选择同起点的不共面向量,结合向量的运算都能解决.

本题若将∠BAD=90°改成∠BAD=60°, 则会产生哪些新题型,留给读者思考.

专题立体几何与空间向量 第4篇

（2） 当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2

（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）

立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。

在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。

一、 考纲要求

1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。

二、 难点疑点

1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。

三、 经典练习回顾

1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.

2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.

其中正确的是.

3. 下列命题中，正确命题的序号是.

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

4. 已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.

5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.

6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.

四、 例题精析

题型一空间几何体的表面积和体积

【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1） 求四面体ABCD的体积；

（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1） 如图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（图1）

由Rt△ABC中AB=AC2-BC2=3，S△ABC=12AB·BC=32.

故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=58.

（2） 如图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF⊥平面ABC，

所以DE⊥AB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.

在Rt△AFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在Rt△DEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1） 如图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由AB⊥BC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（图2）

即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

nlc202309010559

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即点D的坐标为D0，34，154.从而△ACD边AC上的高为h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有 32l+32m=0. ①

由n⊥AD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值为2157.

点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

题型二点、线、面的位置关系

【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）

（A） EF与GH互相平行

（B） EF与GH异面

（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上

解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.

点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1） 设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2） 证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2） 连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：（1） 直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

解（1） 因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴EF∥PD，又∵P、D∈面PCD，E、F面PCD∴直线EF∥平面PCD.

（2） ∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴BF⊥面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离

【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1） 解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

nlc202309010559

设E点坐标为（0，2，t），

则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴BE·B1C=4+0-4t=0.

∴t=1，故CE=1.

（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

∴A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，

即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），

∴cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.

点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。

牛刀小试

1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.

2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1） 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2） 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3） 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4） 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（1） 证明：BD⊥PC；

（2） 若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.

4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上；

（1） 求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2） 当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

（作者：朱振华江苏省海门高级中学）

空间向量专题复习 第5篇

一、填空题

1.若O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++=0，那么=________.[解析] 因为D为BC边的中点，+=2，又2++=0，2+2=0，即=.因此=2，故=.[答案]

2.(2014镇江质检)若a+c与b都是非零向量，则a+b+c=0是b(a+c)的________条件.[解析] 若a+b+c=0，则b=-(a+c)，b∥(a+c);

若b(a+c)，则b=(a+c)，当-1时，a+b+c0.因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要条件.[答案] 充分不必要

3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F三点共线，则k=________.[解析] =e1+e2，=2e1-3e2，=+=3e1-2e2.A，C，F三点共线，∥，从而存在实数，使得=.3e1-2e2=3e1-ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k=2.[答案]

24.(2014南京调研)在ABC中，点D是BC边上的点，=+(，R)，则的最大值为________.[解析] D在边BC上，且=+，0，0，且+=1，2=，当且仅当==时，取=号.[答案]

5.(2014泰州市期末考试)在ABC中，=2，若=1+2，则12的值为________.[解析] =+=+，而=-，所以=+，所以1=，2=，则12=.[答案]

6.(2014南京市调研)如图43所示，在ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点，F为边AB上的点，且=3，若=x+y，x，yR，则x+y的值为________.图

43[解析] D为BC的中点，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.[答案]

7.(2014宿迁质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则ABM与ABC的面积比为________.[解析] 设AB的中点为D，如图所示，由5=+3得

3-3=2-2，即3=2.故C，M，D三点共线，且=.所以===.[答案]

8.(2014扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||=4，|+|=|-|，则||=________.[解析] 延长AM至点D，连结BD、CD，则ABDC为平行四边形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，||=||=2.[答案]

2二、解答题

9.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线;

(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.[解](1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)假设ka+b与a+kb共线，则存在实数，使ka+b=(a+kb)，即(k-)a=(k-1)b.又a，b是两不共线的非零向量，k-=k-1=0.k2-1=0，k=1.10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.图44

空间向量专题复习 第6篇

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件： ；

2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

空间向量专题复习 第7篇

专题复习：空间中直线、平面平行的判定及其性质（修改前教案）环节二：典例精析：

讲解例1（此例题的目的是让学生初步学会在要证明平行的平面内讲解例2（此例题的目的是让学生初步学会利用线面平行的性质定理证明线线平行的方法，处理方法同例1）

学习目标：

1.理解线面平行、面面平行的判定及性质定理，并会灵活

应用。

2.会进行空间线面平行位置关系的转化。

3.培养学生逻辑推理能力，并能规范的书写论证步骤。

教学过程：

环节一：内容回顾：由教师向学生就下面六个问题向学生提问： 直线与平面有哪几种位置关系：

平面与平面有哪几种位置关系：

直线与平面平行的判定定理的内容：

面面平行的判定定理的内容:

直线与平面平行的性质定理的内容：

面面平行的性质定理的内容：/ 2

找到与平面外的直线平行的直线的方法：即构造三角形，找中位线法，处理方法以教师讲解为主，启发学生自主探究为辅。）例１:（２０１３全国文改编）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。证明：BC1//平面ACD11；

A1

C 1

A

D

环节三：巩固练习与拓展应用

让学生做下面两个练习题巩固所学，处理方法是选两个学生上黑板做，其余学生在学案上做，然后教师启发学生用别的方法做，比如构造平行四边形找平行线及用面面平行证线线平行。练习１：(2012年辽宁文改编)如图，直三棱柱

ABCA/B/C/中，点M，N分别为A/B和B/C/的中点。证明：MN∥平面A/

ACC/

;

:/ 2

练习２

环节四：知识梳理与课堂小结：

浅谈空间向量的法宝——法向量 第8篇

一、法向量的定义

所谓平面的法向量, 就是指所在的直线与平面垂直的向量。显然一个平面的法向量有无数多个, 它们是共线向量。

二、法向量的求解

求一个平面的法向量的坐标, 首先要建立空间直角坐标系, 然后用待定系数法求解, 其步骤如下:

4.解方程组, 取其中的一个解, 即得法向量的坐标。

三、法向量的应用

(一) 利用法向量求二面角

解:以D为原点, DA所在直线为X轴, DC所在直线为Y轴, DS所在直线为Z轴, 建系如图, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , S (0, 0, 1) 。

评析:1.因为所求的二面角的交线在图中较难作出, 所以用传统的方法求二面角比较困难, 向量法在这里就体现出它的特有的优势;

2. 用法向量求解二面角时, 将传统求二面角的三步曲“找———证———求”直接简化成了一步曲“计算”。这在一定程度上降低了学生的空间想象能力, 达到不用作图就可以直接计算的目的, 更加注重对学生计算能力的培养, 体现了新课改的精神;

3. 向量法在解决二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题。所以, 在计算之前先依题意直观判断一下所求的二面角的大小, 然后根据计算取“相等角”或“补角”。

(二) 利用法向量求点到平面的距离

例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1和D1C1的中点, 求点A1到平面BDFE的距离。

评析:求点到面的距离难点是确定垂足, 过去解决此问题主要方法一是“先找后求”, 二是“等体积法”。前者要先找到 (作出并证明) 距离, 然后构造三角形, 应用勾股定理、余弦定理求解, 这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能, 而且不同的问题需要不同的技巧;后者需要用到体积公式。实践证明, 没有向量法, 学生求解这类问题比较困难, 有了法向量这一工具很多较难的空间距离问题就有了统一的方法求解。

(三) 利用法向量证明线面平行

证明线面平行只需证直线与平面的法向量垂直即可。

例3.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD为正方形, PA=AB=4, G为PD中点, E点在AB上, 平面PEC平面PDC, 求证:AG||面PEC。

证明:以A为原点, AB所在直线为X轴, AD所在直线为Y轴, AP所在直线为Z轴, 建系如图, 设AE长为a, 则E (a, 0, 0) , P (0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , G (0, 2, 2) , D (0, 4, 0) , A (0, 0, 0) ,

评析:证明线面平行通常找线线平行或线面平行, 但当线或面不易找时, 此类问题就不易证明了。就像此题E点位置不确定如何寻找线或面呢?在这里法向量为我们解决了这个难题, 不去找而去算, 这正是向量法的优点。同时通过使用向量法, 可使学生较牢固地掌握向量代数工具, 从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。