基本不等式测试题（精选15篇）
基本不等式测试题 第1篇
2014届高考数学理科试题大冲关：基本不等式
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()
A．2
C．12B．4 D．6
142．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋()ab
7A.2
9C.2B．4 D．5
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是()
A．(－∞，－1]
C．[－1,3]B．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
xz4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则()yA．最小值为8
1C．最小值为8B．最大值为81D．最大值为8
215．已知x>0，y>0，且＋1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()xy
A．m≥4或m≤－2
C．－2 11k6．设a>0，b>0，且不等式＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于()aba＋b A．0 C．－4 二、填空题 117．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋＋4y2)·的最小值为________． yx28．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x)＝的图象交于P，Q两x 点，则线段PQ长的最小值是____．B．4 D．－2 9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则c＋2a＋2________． ac 三、解答题 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． ab411．已知a，b>0，求证：.baa＋b 12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 详解答案 一、选择题 1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.∴2x＋y＝2.则9x＋3y＝32x＋3y≥3·3＝23＝29＝6.＋ 1当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号． 2 答案：D 141141b4a12．解析：依题意得＝a＋b)＝＋(＋)]≥(5＋2ab2ab2ab2 a＋b＝2b4aaba>0，b>09＝，当且仅当ab2 24149，即a＝，b33ab2 答案：C 3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)． 如果x>1，则log2x＋logx2≥2，如果0 xzxzxz114．解析：≤.＝yx＋2zx＋4xz＋4zx4z8＋4zx x4z当且仅当＝，x＝2z时取等号． zx 答案：D 215．解析：∵x>0，y>0，且＝1，xy 214yx∴x＋2y＝(x＋2y)()＝44＋xyxy4yx8，当且仅当4y2＝x2，xyxy 21x＝2y时取等号，又1，此时x＝4，y＝2，xy ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4 a＋b2a＋b2ba11k6．解析：0得k≥－＝2≥4(a＝b时取等号)，所aba＋bababab a＋b2a＋b2 以－≤－4，因此要使k≥恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.abab 答案：C 二、填空题 1117．解析：(x2)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1＋4＋2yxxy4x2y2＝9，当且仅当4x2y2xy ＝1 xy|xy|时等号成立． 2 答案：9 8．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，244则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋≥16(当且仅当m2＝，即mmm m2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：4 9．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，4ac－1因此有0，4a 1从而c＝>0，4a ∴c＋2a＋221(8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，aca4a 2a＝8a，当且仅当14a＝4a，2 1，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.2 答案：10 三、解答题 10．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥16xy 即xy≥8xy，∴xy≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y 即x＝16，y＝4时，“＝”成立． ∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，28∴2x＋8y＝xy，即＝1.yx 282x8y∴x＋y＝(x＋y()＝10≥10＋2yxyx18 yx 2x8y＝x＝2y＝12时“＝”成立． yx ∴x＋y的最小值为18.ab11．证明：∵≥2ba ba ＝2>0，a＋b≥ab>0，ab 2ab＝4.abab∴()(a＋b)≥ba ab4∴＋.baa＋b abb＝a当且仅当，取等号． a＝b 即a＝b时，不等式等号成立． k12．解：(1)由题意可设3－x＝t＝0，x＝1代入，得k＝2.t＋1 2∴x＝3－.t＋1 当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，2∴年生产成本为32x＋3＝32(3)＋3.t＋1 当销售x(万件)时，年销售收入为 21150%[32(3－＋3]＋t.2t＋1 由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得 －t2＋98t＋35年利润y＝t≥0)． 2t＋1 －t2＋98t＋35t＋132(2)y＝50－(＋)≤50－ 22t＋1t＋1 t＋13250－216＝42(万元)，2t＋1t＋132，即t＝7时，ymax＝42，2t＋1 ∴当促销费定在7万元时，年利润最大． 【学习目标】 掌握利用基本不等式求参数范围 在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑法、换元法，创造条件应用均值不等式。 通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。 能应用均值不等式解决最值 【学习重点】 基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件 【学习难点】 基本不等式求参数的取值范围时，应注意的事项以及条件.[自主学习] 1．基本不等式，若a>b>0,m>0,则 ； 若a,b同号且a>b则。 2．均值不等式: 两个正数的均值不等式： 变形，等。 3．最值定理:设 （1）如果x,y是正数,且积,则xy时,（2）如果x,y是正数和,则x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 [典型例析] 例1（1）设且恒成立，求的取值范围？ 变式训练 （1）若对任意，恒成立，则的取值范围是多少？ 例2 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 变式训练 （2）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？ 例3 已知且，则的最小值为（） A.B.C.D.例4求函数的最大值 [当堂检测] 1.已知，则的最小值是.2.若x，y是正数，则的最小值是 3.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ． 4．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 [学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ WORD模版 源自网络，仅供参考！ 如有侵权，可予删除！ 一、试题展示 为了节约篇幅及说明的方便, 以下摘录试题由命题组提供的参考答案 ( 运用基本不等式) 的详细解答过程将省略. 四、结束语 通过上述三道高考题的“另类”解法不难看出, 与较难的多元式子用基本不等式求最值相比, 将元的个数减少 ( 消元法、主元法、还原法) 的处理方法虽然计算较为繁琐, 但在压力大的高考考场上却颇为实用. 可以说, 学生对于知识的理解能力是不同的, 在中等题与较难的题目的处理上, 不同层次的学生的差异化就表现得更为明显. 我们的教育就是在这种差异化的环境中完成, 给所有学生以发挥其特长的机会. 1． 下列x的取值中，使不等式x－1＞3成立的是（） A． x＝8B． x＝－8C． x＝10D． x＝－10 2． 对于任意实数a，下列不等式中总成立的是（） A． －2a＜2aB． －2a＜2（－a）C． －2＋a＜2＋aD． －a＜a 3． 若x为实数，则｜x｜＋x的值（） A． 一定大于0B． 不可能小于0C． 可能小于0 D． 可能是全体实数 4． 若a＞b＞0，则不列不等式中不正确的是（） A． a－b＞b－aB． ＞＞0C． －a＜－bD． ＞ 5． 若x＜y，则下列不等式中，一定成立的个数是（） ①x＋m＜y＋m；②x－m＜y－m；③xm＜ym；④＜；⑤xm2＜ym2；⑥x2＜y2． A． 1B． 2C． 3D． 4 6． 如果a＜0，则（） A． 2007a＜2008aB． －a＜－aC． πa＞3．141592aD． －a＜－a 7． 若a＜－1，则a、a2、三者的大小满足（） A． a2＞a＞B． ＞a＞a2 C． a＞a2＞ D． a2＞＞a 8． 已知实数a、b、c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子正确的是（） A． cb＞abB． ac＞abC． cb＜abD． c＋b＞a＋b 二、填空题（每题5分，共30分） 9． 用不等号连接： （1）3×（－9）－4×（－9）． （2）当－1＜b＜0时，b；bb2． 10． 小明的语文、英语两科的平均成绩为m分．若使语文、英语、数学三科的平均成绩超过n分，则数学成绩a（分）满足． 11． 若－3x＋4＜－2x－5，则x9． 12． 若ax＞b，ac2＜0，则x． 13． 用不等式表示： （1）x的3倍与 y的的差是正数：． （2）m的5倍比n的立方小：． 14． 若a＞b，则ab＜b2成立的条件是． 三、比较大小（每题5分，共15分） 15． x2－2x＋3与－2x＋3． 16． （x＋3）（x－5）与（x＋2）（x－4）． 17． x2－4x＋3与x2－6x＋9． 四、计算题（18～19题每题9分，20题13分，共31分） 18． 某厂原计划在5月份生产汽车a辆．现需增产10％，而本年5月份又有7天假期，要想完成任务，请你写出每天汽车产量y（辆）应满足的关系式． 19． 若2≤a≤8， ≤b≤4a，c＝a＋b，请你确定c的范围． 20． 比较下列算式结果的大小（在横线上填“＜”“＞”或“＝”）： 42＋322×4×3， （－2）2＋12 2×（－2）×1， （）2＋ 2 2××， 22＋22 2×2×2． 观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明其中的道理． 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用;从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法(如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等)在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程;用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程;基本不等式中等号成立的条件;应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法; 2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用; 3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用; 4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力; 5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解。 三、教学对策 本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法;二是通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法;三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程; 四、教学过程 (一)温故知新，回顾基本不等式. 情景引入： 【投影显示】赵爽弦图。 问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S’的大小，看可以得到怎样的不等关系? (通过对“赵爽弦图”的观察，使学生由形识数，从几何图形中得到重要不等式的代数形式： 当且仅当，a=b时，取得等号。) 问题3、那么在使用基本不等式时，对实数a、b有什么要求呢? ( ) 下面请大家打开课本第98页，看探究中的图3.4-3。 问题5、让D点动起来，请大家指出等号成立的条件. 【教学目标】 1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题 2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解 3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】 教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】 一、设置情景，引发探究 问题一：x1有最小值吗？ x2问题二：x31x322正确吗？ 二、合作交流，研究课题 R中，a+b≥2ab，a+b≥2ab，当且仅当a=b时取到等号。22 22a2b2ab2 R中，当且仅当a=b时取到等号。ab，1122ab注意： 1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例 1、求所给下列各式的最小值（1）ya 1(a3)a31(a3)3235,a3 1当且仅当a3a31a4时，ymin5。a3x22x2(1x1)（2）y2x2ya3(x1)21x11 y2(x1)22(x1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，当且仅当x11(1x1)x0时，y有最小值1。22(x1)11+的最小值.xy总结：想求和的最小值，乘积为定值 例 2、已知正数x、y满足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y22xy，∴xy 1； 8（2）∵x、y为正数，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy当且仅当 22yx=，即当x=2－1，y=1－时等号成立.2xy∴11+的最小值为3+22.（目的：发现同学中的等号不成立的错解）xy总结：想求乘积的最大值，和为定值 四、总结提高，明确要点 五、布置作业，复习巩固 一、教材分析 1.地位和作用 本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。二元均值不等式。这是在学习了“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用，具有承上启下的作用。同时本节知识渗透数形结合等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 2.教学目标： （1）知识与技能:掌握均值不等式的推导与证明，会用均值不等式解决简单的证明和最值问题。 （2）过程与方法：利用数形结合的思想，探究均值不等式。 （3）情感、态度与价值观:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 3.重点和难点 重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索均值不等式的证明过程及其简单应用； 难点：均值不等式等号成立条件以及应用均值不等式求最值。 二．教学分析： 本节课的教学通过学生拼接风车模型，在发挥学生主观能动性的同时引导学生发现问题，思考交流概括归纳结论并加深理解应用于实例当中，培养学生发现问题、分析问题、解决问题及应用的能力。 三、教学流程 1.动手操作，几何引入（风车模型，自行拼接） 2.代数证明，得出结论（运用勾股定理与平方和公式） 3.几何证明，相见益彰（此环节给出基本不等式的几何解释，使学生多方位了解基本不等式） 4.自我尝试，巩固提高 5.归纳小结，反思提高 6.分层作业，全面提高 四、教学分析 形式1: 已知a, b∈R, 那么a2+ b2≥2ab. 形式2: 已知a, b∈R+, 那么 对上述两种形式, 学生基本上没问题, 但用于解高考题好像很困难, 是不是真的要学完4 -5才能解决呢? 其实不尽然, 只要对上述不等式再变形一下就能解高考题了. 下面我们来看看几种常用变形: 变形1: 已知b > 0, 那么ab 2≥2a - b (如果a > 0, 那么b2/a≥2b -a ) . 变形2: 已知a >0, 那么a/b2 ≥ 2/b-1/a . 变形3: 已知b >0, 那么a2 /b≥a -b/4 . 变形4: 已知a, b∈R+, 那么a3/b ≥2a2- b 2 (或b3a ≥2b2- a 2) . 下面我们就来看看变形1在高考和高考模拟考试中的运用. 例1 ( 2010年苏北四市一模) 若正数满足a + b + c =1, 求 9/ (3a + 2) +/9 (3b + 2) +9/ ( 3c + 2) 的最小值. 解∵9/ (3a + 2) ≥6 - ( 3a + 2) , 9/ (3b + 2) ≥6 - ( 3b + 2) , 9/ (3c + 2) ≥6 - ( 3c +2) , ∴9/ (3a + 2) +9/ (3b + 2) +9/ (3c + 2) ≥3 × 6 - ( 3a + 2) - ( 3b +2) - ( 3c + 2) = 18 - ( 3a + 3b + 3c + 6) = 9 ( 当且仅当a =b = c =1/3时, 取等号) . ∴ 9/ (3a + 2) + 9/ (3b + 2) +9/ ( 3c + 2) 的最小值为9. (注: 本题给出的参考答案是用柯西不等式求解) 例2 ( 2009年江苏高考) 设a≥b > 0, 求证: 3a3+2b3≥3a2b + 2ab2. 证明∵a2/b≥2a - b, b2/a≥2b - a, ∴ 3a2/b+ 2b2/a≥3 ( 2a - b) + 2 ( 2b - a) = 4a + b ≥3a + 2b. 两边同乘ab得: 3a3+ 2b3≥3a2b + 2ab2 ( 当且仅当a = b时, 取等号) . 例3 ( 2010年苏锡常二模) 设x, y, z满足x + y +2z =6, 求x2+ y2+ z2的最小值. 解∵x2/1≥2x -1, y2/1≥2y -1, z2/1≥2z -2, ∴ x2+ y2+ z2≥2x - 1 + 2y - 1 + 4z - 4 = ( 2x + 2y +4z) - 6 = 6 ( 当且仅当x = y = 1, z = 2时, 取等号) . ∴x2+ y2+ z2的最小值为6. (注: 本题给出的参考答案是用柯西不等式求解) 例4 ( 2013年江苏高考) 已知a≥b > 0, 求证: 2a3-b3≥2ab2- a2b. 证明∵a≥b >0, ∴a2/b≥b2/a .∴2a2/b≥ b2/a+b2/a . ∴2a2 /b -b2 /a ≥b2 /a . 由变形1知:2a2 /b -b2 /a ≥2b - a. 两边同乘ab得: 2a3- b3≥2ab2- a2b ( 当且仅当a = b时, 取等号) . 例5 ( 2010年江苏高考) 设a, b是非负数, 求证: a3+b3≥ 分析要证: 即证: a6+ 2a3b3+ b6≥ab ( a4+ 2a2b2+ b4) , 即证: a6+ b6≥a5b + ab5, 即证: a5/b + b5/a≥a4+ b4. 利用变形4:a3 /b≥2a2- b2, 则有a5/b≥ 2a4- a2b2, b3/a≥ 2b2- a2, 则有b5≥2b4- a2b2. 所以a5/b+b5/a≥2a4+ 2b4- 2a2b2= a4+ b4+ ( a2-b2) 2≥a4+ b4 ( 当且仅当a = b时, 取等号) . 命题成立. 通过上述例子, 我们可以知道, 只要你能用好基本不等式, 不一定非要学完选修4 - 5才能解高考题. 只要我们平时在学习一个知识的时候多动脑、多思考, 就能发现好多有用的知识. 摘要：必修5的基本不等式能否解决选修4-5中的不等式的问题呢?高考中的不等式真的就只能用选修中的不等式解吗? 1. 若[a，b∈R]，且[ab>0]，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. [a2+b2>2ab] B. [a+b≥2ab] C. [1a+1b>2ab] D. [ba+ab≥2] 2. 设[a>b>0]，则[a2+1ab+1aa-b]的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.[“a=18”]是“对任意的正数[x，2x+ax≥1]”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若[2x+2y=1，则x+y的取值范围是]（ ） A. [0，2] B. [-2，0] C. [-2，+∞] D. [-∞，-2] 5. 已知[a>0，b>0]，且[2a+b=4]，则[1ab]的最小值为（ ） A. [14] B. 4 C. [12] D. 2 6. 已知二次函数[f（x）=ax2+2x+c（c∈R）]的值域为[0，+∞]，则[a+1c+c+1a]的最小值为（ ） A. 4 B. [42] C. 8 D. [82] 7. 已知[x>0，y>0，x+2y+2xy=8]，则[x+2y]的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. [92] D. [112] 8. 函数[y=loga（x+3）-1（a>0，且a≠1）]的图象恒过定点[A]，若点[A]在直线[mx+ny+1=0]上（其中[m，n>0]），则[1m+2n]的最小值等于（ ） A. 16 B. 12 C. 9 D. 8 9. 已知[x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2][+2m恒成立]，则实数[m]的取值范围是（ ） A. [m≥4或m≤-2] B. [m≥2或m≤-4] C. [-2 10. 已知[a>0，b>0]，且[2a+b=1]，则[S=][2ab-4a2-b2]的最大值为（ ） A. [12] B. 2 C. [2-12] D. [2+12] 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若[a>0，b>0，a+b=2]，则下列不等式对一切满足条件的[a，b]恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）. ①[ab≤1] ②[a+b≤2] ③ [a2+b2≥2] ④[a3+b3≥3] ⑤[1a+1b≥2] 12. 设[a>b>c]，不等式[1a-b+1b-c>λa-c]恒成立，则[λ]的取值范围是 . 13. 设[x，y]为实数，若[4x2+y2+xy=1，]则[2x+y]的最大值是 . 14. [若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，]则[a]的取值范围是 . 三、解答题（共4小题，44分） 15. （12分）在下列条件下，求[y=4x-2+14x-5]的最值. （1）[x<54时，求最大值]； （2）[x>54时，求最小值]； （3）[x≥2时，求最小值]. 16. （10分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算，如果将楼房建为[x（x]≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为[560+48x]（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=[购地总费用建筑总面积]） 17. （10分）已知[x，a，b，y]成等差数列，[x，c，d，y]成等比数列，求[（a+b）2cd]的取值范围. 18. （12分）已知关于[x]的不等式[2x+2x-a≥7]在[x∈（a，+∞）]上恒成立，求实数[a]的最小值. 上完这节课后，我对教学设计和教学过程进行了反思，得到以下几点： 教学中的优点： 1.课题引入 在教学案和发给学生的导学案中，首先用问题的形式呈现本节课的知识点和解题方法，学生通过回答问题，掌握本节课所应用的知识点，为后面的解题打下基础。 2. 精讲例题 通过精选的三个例题，和学生一起回顾《基本不等式》的基本解题思路和解题方法，常用的变形方法----配凑法，以及解题的一般步骤，为学生作好解题示范。 3. 课堂练习 在本节课中，我精选了五道往届的高考真题，供学生进行练习，并且提前让学生进行练习，然后在课堂上与同学进行交流、讨论，对于一道题，提出自己的看法，在学生讨论的过程中，教师进行观察，对于学生普遍存在的问题进行现场指导。 4. 学生板演 学生通过讨论，对于问题有了自己的解决方案，每个小组叫一个同学进行板演，提高学生对课堂的参与度，也让同学们有了展示的机会。 5. 学生讨论 在课堂上，给学生留有讨论的时间，增强学生之间的交流，让每个同学都有机会在小组内说出自己的想法，在倾听中学会交流和提高。 6. 课堂小结 学完本节课后，让学生先进行总结，然后教师启发同学们进行补充，既总结所学的知识点，又总结学习过程和所采用的数学思想方法。 教学中的不足： 在本节课中，由于有些学生提前做的练习比较少，因此课堂练习的时间显得有点紧，有个别同学没有做完布置的五道练习题，还有，由于很多高考题目对于应用条件中的“三相等”考察得不多，可能导致有些学生对这个应用条件不够重视。 对于今后教学的启示： 讲完本节课，和同教研组的教师进行讨论交流后，对于今后工作的启示，我认为有以下几点： 1. 在教学中，让学生多动手多动脑，充分发挥学生学习的主动性和积极性。 2. 布置的练习多督促检查，让学生先自己动手，为课堂教学中学生之间的合作交流打下基础。 3. 组织学生的小组讨论，激发学生讨论的热情，引导学生与同学合作交流，分享学习过程中的经验教训。 4. 高三的复习课可以以先复习相关知识点，再讲解典型例题，然后学生练习，、小组讨论、上黑板板演，最后师生总结的模式进行。 5. 在高三复习时，习题可以用往届的高考真题来进行，既提高学生的做题能力，又增强学生对高考题的适应能力，降低高考的神秘感。 6.在进行课堂总结时，既总结所学的知识点，又总结学习过程和所采用的数学思想方法。 昨天讲了必修五第三章的基本不等式。开堂先回忆了初中所学的有关不等式知识，并讲解了基本不等式的几何意义。接着又把不等式中的高考涉及的几大问题都有所涉及。但是，一节课下来，感觉不是很好。 虽然一节课讲了几个高考考点，但是对于学生而言，刚刚接触，理解的不是很透彻。我觉得应该按照下面的方式来进行：一，第一节只讲基本不等式及其几何意义。让学生通过练习，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具体含义和应用。并辅以高考题型，是学生掌握高考动向。二，第二节再讲拼凑和分离这两种与之前所学函数知识有关的题型。体现出不等式与函数的关联，说明函数在高中数学的重要性，顺便回顾函数中的拼凑和分离这两种方法。三，第三节课再讲“1”的代换和图像法。这两种方法考察学生对知识的灵活变化以及对数形结合思想的应用，又比第二节的知识深一点。这样的话，三节课知识层层加深，让学生体会到知识的关联，明确各个知识点在高考中的具体应用。而初始方法中，一节课先把所有高考重点全讲给学生，使学生容易迷惑，不知道本节课的重点到底是什么，而且学生不易掌握，毕竟容量大的话，练习量就会相应减少。而等到第二节，第三节再讲时，学生掌握的不熟练，还得再次复习，有点“烫剩饭”的感觉。 所以，讲新课，尤其是讲学生之前知识接触不多的新课，一定要稳扎稳打，不能只求大容量，贴高考，也要站在学生的思维角度去准备合适的.内容，顺序以及授课方式。 摘 要： 基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件DD“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词： 基本不等式 限制条件 最值 应用一、主干知识 1.基本不等式：≤或a+b≥2. （1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0; （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.基本不等式的拓展：ab≤，其中a，b∈R. 二、深入探究，加强理解 问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值. 解析：∵x＞0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等” 故函数y=x+的最小值为2. 点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正DD各项都是正数；二定DD和或积为定值；三相等DD等号能取得”，这三个条件缺一不可． 探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值. 解析：∵x＜0，∴-x＞0， ∴x+=-（-x+）≤-2=-2， 当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立. 故函数y=x+的最大值为-2. 变式：设x≠0，求函数y=x+的值域. 解析：∵x≠0，∴|x|＞0， ∴|x+|=|x|+≥2=2， 当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立. ∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的.值域为（-∞，-2］∪［2，＋∞）. 另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）. 点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正DD各项都是正数”. 探究2：设a＞1，求a+的最小值. 解析：∵a＞1，∴a-1＞0， ∴a+=a-1++1≥2+1=3， 当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立. 故a+的最小值为3. 变式：设0＜a＜1，求的最大值. 解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0， ∴=?≤?=， 当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立. 故的最大值为. 点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定DD和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件. 探究3：设t≥2，求t+的最小值. 分析：本题不满足限制条件：“三相等DD等号能取得”，故不能用基本不等式. 解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数， 当t=2时，t+的最小值为2. 变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值. 错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解. 正解：∵x＞0，y＞0， ∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4 当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值. 解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0， ∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4， 当且仅当=，即x=2-3时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次. 三、高考回放 A组 1.（湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇. 2.（重庆高考12） 已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇. 3.（重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（ ） A.1+ B.1+ C.3 D.4 A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可. B组 1.（20重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（ ） A.2 B.2 C.4 D.5 2.（20四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（20天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________. B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性. C组 1.（年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（ ） A.2 B. C.1 D. 2.（年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________. 3.（年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________. C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用. 从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．参考文献： ［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4. ［2］杜志建主编.2007D2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社. 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安 基本不等式及其应用装 原版全文 求证:a>0, b>0, c>0. 分析由已知条件联想到关于一元三次方程的韦达定理. 当x=0时, f (x) =abc>0; 当x>0时, 由 所以正数或零不能是方程f (x) =0的根, 而-a, -b, -c是方程f (x) =0的根, 所以-a, -b, -c都是负数, 即-a<0, -b<0, -c<0, 从而a>0, b>0, c>0. 推广已知x1, x2, x3, …, xn为实数, 且 证明令 当x=0时, g (x) =x1x2…xn>0; 当x>0时, 很明显f (x) >0. 所以非负实数不可能是方程f (x) =0的根, 而-x1, -x2, -x3, …, -xn是方程f (x) =0 的根, 所以 利用基本不等求最值必须满足三个条件才可以进行，即一正，二定，三相等。其中一正是指各项为正数，二定是指“和”或“积”为定值，三相等指等号一定能取得到，这三个条件缺一不可。这是比较抽象的内容，尤其是“定”的相關变化比较灵活。因所带两个班级学生基础相当。因此我尝试采用两种不同的教学方式。在一个班级中用以往的教学模式，先引言引出基本不等式，再引导学生探究公式，再给出相应的练习题。很明显学生是依葫芦画瓢，对公式不是很理解，生搬硬套公式，稍微改变就不会了。在另一个班级我改变以往的教学方式，并没有立即对概念进行进一步的探索，而是在教学过程中让学生自己发现问题，独立思考，小组合作再想办法解决问题。例如，一正，我采用反证法。如果a<0，b<0，结果会怎样？立刻就有学生回答如果a<0，b<0，左边为正数，而右边为负数，不等式不成立。接着给出了两道练习题。 （1）已知y=x+（x>0），求函数的最小值。 （2）若a，的最小值。 让学生初步体会基本不等式的应用。紧接着又给出两道有难度的题，先让学生自己独立完成。学生在做题过程中遇到困难发现无法继续时，让学生分组讨论。 先让学生自己独立思考，再分组讨论。学生才能表述出自己的观点，融入自己的想法。 （3）已知y=sin t+（t∈0，），求函数的最小值。 （4）已知y=x+（x>2），求函数的最小值。 有小组的学生很快给出了第（3）小题的答案是4。此时有学生提出问题，第（3）小题有问题。公式中指出当且仅当a=b时取等号，那么只有当sin t=2时取等号，此时y≥4，函数的最小值为4。然而正弦函数最大值为1，sin t=2不成立。此时取不到等号，函数没有最小值。说明a=b这个条件不可缺。 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式叠加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有 ④ (当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)． ④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加． 3．再探索 师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，启示我们把②式变成 a2－ab＋b2≥ab，两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？ 生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式叠加，并应用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究． 4．推论 师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式． ⑦ (当且仅当a=b时取“=”号)． 这就是课本中定理1的推论． ⑧ (当且仅当a=b=c时取“=”号)．这就是课本中定理2的推论． 当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明) ⑨ (当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)． 何平均数．⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即⑦和⑧． 三、小结 (1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下： (2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数． 四个公式中，②、⑦是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明． 几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a＋b=c表示以斜边c为边的正方形的面积．而 + 如上左图所示，显然有 (当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过． 三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2＋b2(∵sin2A≤1) (当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号)． 2三、应用公式练习 1．判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正． a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就对了．这时需令α是第一、三象限的角．] 改条件使a、b∈R+；②改变证法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．] 师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)． 2．填空： (1)当a________时，an＋a－n≥________； (3)当x________时，lg2x＋1≥_________； (5)tg2α＋ctg2α≥________； (6)sinxcosx≤________； 师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如 表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半． 四、布置作业 略． 教案说明 1．知识容量问题 这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容．这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案．实践证明是可行的，效果也比较好．对于普通班级则应另当别论．补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩．但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的．还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的．同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反 三、触类旁通，获取更多的知识．知识容量增加了，并未增加学生的负担．从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间．反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的．由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系．我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果． 2．教学目的问题 近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果．在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识．据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力．当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的．它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果．考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果． 3．教材组织与教法选用问题 实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来．教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应．但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法．事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n＞3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式)．因此不具有一般性．而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称)．现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式： 和它的等价形式当 n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化)．在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的．由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础．同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性．这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法． 这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式 a3＋b3≥a2b＋ab2，然后经迭代、叠加，推出不等式 a3＋b3＋c3≥3abc，这种方法具有一般性．事实上，引入一个一般的辅助不等式 an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式 正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于 2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真．可见配方法的重要作用．它的重要性应在上一节比较法中就予以强调． 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