高三数学回归教材篇——函数性质习题（精选2篇）
高三数学回归教材篇——函数性质习题 第1篇
高三数学复习学案二 典型题部分
第二部分 函数性质典型习题
对应高考题位：8——12题、21题；选择、填空、大题均有涉及（本部分内容40分左右）
知识点1.函数的单调性
例1.求下列函数的单调区间
y＝丨x22x-3丨
例2.下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）.1A.y＝x+1B.y＝-x1C.y＝xD.y＝x2 x
例3.若函数f（x）＝丨2x+a丨的单调递增区间是[3，+∞）,则a＝.例2+1（x≥0）
已知函数f（x）＝，则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的x的取值范围
（x＜0）
是.知识点2.函数的奇偶性
例5.非零实数x、y，已知函数y＝f（x）（x≠0），则满足f（xy）＝f（x）+f（y）的f（x）为（填奇偶性）
x例6.若函数f（x）＝为奇函数，则a＝.（2x1）（xa）
知识点3.函数的性质综合例7.若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则
集为.知识点4.周期性
例8.已知函数f（x）对任意x，满足f（x+1）＝-f（x），且当x∈[-1,1]时，f（x）＝x2，试求：
1①f（2012）的值；②函数f（x）与函数y＝丨x丨的交点个数.2
f（x）f（-x）＜0的解x
高三数学回归教材篇——函数性质习题 第2篇
目前在高三数学复习课堂上, 多数教师多年来采取“以教为主”的教学设计。这种“以教为主”的教学设计之所以盛行, 其优点是有利于教师主导作用的发挥, 有利于按教学目标的要求来组织教学, 对客观事实的介绍、行为矫正、简单认知加工任务的完成、动作技能的学习、问题解决技能的培养均比较适合。多年来, 已形成一套比较完整、严密的做法, 具有较强的可操作性。但是这种教法的高三数学复习课堂上, 学生的主动性、积极性往往受到一定的限制, 难以充分体现学生的认知主体作用。在高考中, 经常会出现有的学生平时数学成绩很好, 但是在高考中没有发挥出应有的水平, 于是就没有拿到理想的分数现象。
这是笔者在高三数学复习时的一个案例:
案例1: (2010安徽) 设abc>0, 二次函数f (x) =ax2+bx+c的图象可能是 ( )
教师讲评:
当a>0时, b、c同号, (C) 、 (D) 两图中c<0, 故b<0, -b /2a >0选项 (D) 符合。
在高三数学复习时这类题型肯定受到了老师和学生的关注, 而且二次函数的图像一直是高中数学的重点, 在这方面, 教师在课堂上“教”得清楚了, 学生也是听懂并理解了的。但在2011年的高考中就出现了这样的问题:
(2011浙江) 设函数f (x) =ax2+bx+c (a、b、c∈R) , 若x=-1为函数f (x) e2的一个极值点, 则下列图象不可能为y=f (x) 的图象是
从学生考后的反映来看, 出现了一些典型的问题: (1) 没有从二次函数的开口方向、对称轴、x=-1对应的函数值中得到的条件, 也就无法发现其中的矛盾, (2) 把函数f (x) e2与f (x) 混淆起来; (3) 对于选项A, B, C中的图象, 未利用赋值法, 将它们从错误中筛选出来。
这个案例说明我们的复习是否有效, 应该引起思考。对于平时常见的题型, 我们老师或者学生都对自己认为“讲清”、“听懂”的题型为什么在高考中就会出问题感到困惑。
笔者由此想到了我们的课堂复习的教学方法应该改进。尤其在二轮复习中, 作为教师, 如何将重点放在学生身上, 把“学”置于教学的中心, 构建“学为中心”的高三数学二轮复习课堂, 优化教学设计, 深化数学思想, 提升学生能力, 提高课堂效率。
二、高三数学第二轮复习的主要任务
第一轮复习重在基础, 指导思想是全面、系统、灵活, 抓好单元知识, 夯实“三基”。一轮复习中主要的课堂模式是 (一) 知识整理 (二) 典例分析 (三) 巩固练习。笔者在高三一轮复习的一个案例:
案例2:1.函数f (x) =x2-x-2的零点是 ____;
功能:通过解题让知识点浮现出来, 而不是单纯的回忆知识。从而实现以学生为主的知识整理。
紧接着给出第二组:2.设若存在互异的三个实数x1, x2, x3使f (x1) =f (x2) =f (x3) , 则x1+x2+x3的取值范围是 ____.
功能:对零点问题在次巩固, 同时又暴露出学生的困惑点。针对这个困惑点在加以深化。给出了第3个问题:3.设f (x) =x|x-1|+m, g (x) =lnx若h (x) =f (x) -g (x) , 若h (x) 有零点, 求m的取值范围。
这个教学设计是根据, 第一轮复习重在基础, 指导思想是全面、系统、灵活, 抓好单元知识, 夯实“三基”, 而设定的。图象与性质丢复习到了, 但没把它串联起来。而第二轮复习则重在专题归类和数学思想方法训练, 把高中的主干内容明朗化、条理化、概念化、规律化, 明确数学基本方法。高三数学第二轮复习要达到三个目的:一是从全面基础复习转入重点复习, 对各重点、难点进行提炼和把握, 注重知识间的前后联系, 关注知识间的交汇与融合, 深化数学思想, 重视能力的提升, 悟出其中的数学本质;二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去, 将已经把握的知识转化为实际解题能力, 重视产生知识过程中形成的方法与思想, 形成内化能力并灵活运用知识;三是要把握各题型的特点和规律, 把握解题方法, 初步形成应试技巧。达到高考考查学生学习的能力和未来运用知识发展自己的能力的目的, 这也正是高考数学专题复习的主要目标。
三、“学为中心”的高三数学二轮复习课堂的建构
(一) 课前准备:如我在处理《函数图象与性质应用》这节课之前从学生的纠错本上收集有关的内容, 发现很多学生对图象与性质的综合问题存在很多漏洞, 为了检验收集的情报是否真实我给学生进行了测试。给出下面这个题组:
案例3:1. (09山东文) 若函数f (x) =ax-x-a (a>0且a≠1) 有两个零点, 则实数a的取值范围是 ____。
分析:从测试的结果看, 95%学生掌握了, 说明学生对零点问题的基本方法是扎实的。
2.已知函数若f (a) >f (-a) , 则实数a的取值范围是 ___
分析:从测试的结果看50%以上的学生没掌握。主要原因有:此题融合的信息较多, 知识内在的联系复杂起来, 学生不能有效的把知识信息综合起来。
从学生做的情况来看, 很多学生缺乏转化的能力。从而让笔者设置了这节《函数图象与性质应用》的专题课。课前准备的首要任务是了解“学情”。在对学生了解的基础上, 认真研读《课程标准》和《考试说明》, 明确考试要求和命题要求, 熟知考试重点和范围, 以及高考数学试题的结构和特点。给这节课的开设提供了理论依据。以课本为依托, 以考纲为依据, 对于支撑学科知识体系的重点内容, 在花大力气研究基础上把握复习方向, 备课上突出培养学生能力、数学思想、数学理性思维能力发展的为指导思想。问题的设置以递进式设问, 逐步增加难度, 注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳, 以及可能引起失分原因的总结。
(二) 课堂教学:笔者在处理《函数图象与性质应用》这节专题复习课开展教学设计:
第一环节:引例:已知函数
问题1:你能说出此函数有哪些性质吗?并画出此函数的图象吗?
学生1: (成绩中下) 图象画不出来, 性质能说出点, 不完整。只能说出单调性, 奇函数发现不了。
学生2: (成绩中等) 归纳不出函数的性质, 但他能画出此函数的图象, 在老师的引导下, 让他看图归纳出性质。能完成。
学生3: (成绩中等) 能说出此函数的性质, 且能画出此函数的图象, 顺利解决问题1。
【分析】:说明学生在很多时候会做题, 但不会归纳, 能画图 (描点法) 但不能找出图象与性质的联系点。学生3的思路很清晰, 该生的基础知识很扎实。
问题2:不等式f (x) <1的解集是?
学生4:分x>0和x<0来解不等式 (即代数法) 老师肯定了他的解答。
教师:还有别的想法吗?能否和问题1联系起来?
学生5:转化为y=f (x) 和y=1图象的关系, 即可。
教师, 肯定了学生2:同时对两种方法进行比较。
问题3:若f (a) >f (-a) 求a的取值范围。
学生:由学生3能完整回答问题1的学生来分析, 思考了一会没找到思路, 教师接着问:“你的困惑点在哪?”他说: “想把f (a) , f (-a) 带出来, 但发现a的范围不知道, 要讨论, 麻烦不想做下去”教师又问:“问什么一定要求f (a) , f (-a) 呢?能不能和问题2联系起来呢?”学生3思考下说:“f (-a) 怎么转化啊?反问我”此时我大力表扬了学生3:“问的很好, 这是这题的关键”, 紧接着我又反问学生“f (a) 与f (-a) 的关系可以从哪个方向去思考啊”。此时很多学生都明白了, 问题1的结论:函数是奇函数是问题3的突破点。
完成三个问题后, 组织学生完成小结1: (1) 解决函数问题, 优先要了解、研究函数的基本性质, 在此基础上能否画出函数的图象或者变化示意图; (2) 方程或不等式问题可以考虑转化为函数问题来解决。
这样开展课堂第一环节目的是引出问题, 调动学生再现知识库内的知识、方法, 不是简单的回忆, 而是把知识的串联和数学学科内的综合。通过问题层层设置, 揭示高考考察的核心、要求, 通过及时的小结完成第一过程:函数与方程、函数与不等式关系:转化思想、数形结合思想。为学生进入第二环节做好准备。
第二环节:例题精讲
例:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 若方程f (x) -a=0有四个不同的解, 则a的取值范围是?
学生讲评:一名学生上黑板非常完整的解出了这道题, 此时教师在教室进行巡视。发现大多数学生和好的解决了。教师给予了高度的评价。
教师:在评价完后追问, 真的都掌握了?学生齐声回答“是”。在追问“既然都会了, 那同学们, 给我找出些这种类型的问题, 相互考察检验下, 刚才你们的回答是否真实有效”。以此例题展开变式设计活动。
同学们分成几个小组, 积极开展了讨论。
第一组很快给出了:变式练习1:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 解不等式f (x) <-1。
组长:受引例的影响我们把方程问题改成了不等式, 并点名让第四组的学生张来完成。张很快接受挑战, 并出色的完成了。教师给了2个组好评。
第二组二快给出了:变式练习2:已知函数f (x) 是奇函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 讨论方程f (x) -a=0的解的问题。
组长:我们把函数的性质修改下, 偶函数变为奇函数, 并指明让第3组的学生李回答。同样出色的完成了。教师又及时给出了好评。再问还能变吗?
教师:不断鼓励, 同时引导可增加写条件……
第四组给出了:变式练习3:已知函数f (x) 是偶函数:且对于定义域内的任何一个x都满足f (x+2) =f (x) , 当x∈[0, 2]时f (x) =- (x-1) 2+1, 则方程f (x) -|lgx|=0的解的个数是多少个。
教师:给予了表扬, 把函数的性质综合起来了, 并让大家完成。通过巡视发现很多同学确实掌握的蛮好的。并把有问题的和优秀的解答进行展示。
完成小结2: (1) 利用函数图象加以解决函数零点个数、方程解的个数问题; (2) 解题中要提取题设信息, 运用数与形间、方程与函数间的转化;特别要注意图形中的关键特殊点的数字信息。
第二环节关键在于针对高三复习中的困惑: (1) 类型多, 解法多, 时间少; (2) 识别难, 分析难, 转化难。通过这个环节的设置, 利用“探究”“变式”两种手段, 逐步递进?体现有效性的三个内涵, 即有效果、有效率和有效益。抓住变式源头, 积累转化经验, 让学生从不同的角度, 不同问题进行研究, 充分调动学生参与课堂活动的积极性, 促进学生对所复习的问题触类旁通, 举一反三, 从而更好地发掘学生的潜能, 拓展学生的思维。达到了高效课堂的效果。总之:优化复习设计。从改进和优化复习课的教学设计入手。这样做有两个好处: (1) 有利于学生抓住“变式”的源头; (2) 有利于学生积累“转化”的经验。
第三环节:考题测试
1. (2010全国卷) 直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个不同交点则a的取值范围是 ____;
2. (2010浙江卷) 已知x0是函数f (x) =2x+1 / (1-x) 的一个零点, 若x1∈ (1, x0) , x2∈ (x0, +∞) 则f (x1) ____0, f (x2) ____0
3. (2012浙江样卷) 设函数, 则不等式f (x) <4的解集是 ________
在这个环节中给了学生6分钟的时间来解决此问题, 主要想检查下在前面2个环节的学习中, 学生到底达到了何种效果, 是否有效。从检查的结果看很多学生都能作对了。而且还能对很多问题有了更灵活更深刻的理解。如2.已知x0是函数f (x) =2x+1/ ( 1-x) 的一个零点, 若x1∈ (1, x0) , x2∈ (x0, + ∞) 则f (x1) ____0, f (x2) ____0此题一部分学生是画图象解决的, 还有一部分同学更灵活看出了此函数是单调递增的函数, 直接运用单调性就解出来了。说明对图象和性质能灵活的把握。
第三环节主要目的: (1) 立足通法, 当堂检测, 及时反馈学生分析、琢磨、强化、变通的情况, 对数学本质的把握情况; (2) 要留心历年考卷变化的内容, 更要关注不变的内容, 因为不变的内容才是精髓, 在考试中处于核心、主干地位, 应该将其列为复习的重点, 同时, 还应关注与数学相关的热点问题, 并能够用所学的知识进行简单的分析、归纳, 这可以提高活学活用知识的能力。
第四环节:探讨研究
二轮复习注重知识间的前后联系, 关注知识间的交汇与融合, 深化数学思想, 重视能力的提升, 悟出其中的数学本质;为了加深学生知识的迁移能力, 分析转化能力, 我设置了此环节。
问题1:函数y=1 / (1-x) 与y=2sinπx (-2≤x≤4) 的图象交点横坐标之和是 ____;
学生1:学生三角图象 (五点作图) 有欠缺
学生2.y=1/ ( 1-x) 图象处理是他们的难点。难点1:由y=-1 /x的图象往左还是往右移。难点2:图象的特征线, 特征点没把握住。
学生3.把2个图象公共的特征点对称中心 (1, 0) 寻找出来, 从图发现交点横坐标是关于 (1, 0) 称的。
教师:针对学生出现的问题, 难点, 困惑点, 给予指导。师生共同来解决。但前提是让学生的问题暴露出来。把教师的“教”与学生的“学”有机的结合起来。
问题2:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+ 1, 则满足f (f (a) ) =1/2的实数a的个数是 _____。
此题上课没来得及分析, 留给学生课后进行探究, 让数学的探究学习延续在整个学习的过程中。
第四环节主要目的:着意对数学思想的突显。联想到若干相关, 相通的其他问题, 训练学生的思维能力, 引导学生扩展思路, 启发学生在复习过程中爱思、会思、多思、深思。这样的讲评才能使学生融会贯通, 达到做一题、学一法、会一类、通一片之目的, 同时也有助于引导学生在复习中摆脱“题海战术”的束缚, 培养学生的举一反三的发散思维能力和举三归一的聚合思维能力。让学生学会要根据不同阶段的复习内容和所要求的思维方法与策略, 适当地对学习方法与思维方式和策略进行调整, 就会走出高原期。
高三二轮复习的课堂教学设计应变式迁移, 层层推进。重在专题归类和数学思想方法训练, 把高中的主干内容明朗化、条理化、概念化、规律化, 明确数学基本方法, 注重知识间的前后联系, 深化数学思想, 重视能力的提升。开展课堂教学重点在于运用题组训练, 变式迁移, 归纳总结, 层层推进引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价, 提高自主学习的能力。
(三) 课堂上讲与练的把握:老师作引导, 学生是主体。著名的拉弗曲线 (1974年美国南加州大学社会学家阿瑟·拉弗〈A.Lafer〉提出) 曾成功解释过许多“过犹不及”的社会现象, 把它引入高三数学评讲课也是适用的。
在A点教师评讲得少和B点教师评讲得多基本上是等效的, 在A点评讲课固然给学生留下充分的思考时间, 但由于教师指导太少, 学生学习兴趣受挫。而B点由于教师灌输得太多、太杂, 超出了学生的接受能力, 易让学生产生厌倦心理。所以, 这两种评讲效果均不理想。教师应充分发挥自己在试卷评讲中的主导地位, 但主导不应等同于包办代替的“一言堂”, 也应充分发挥学生的主体作用, 调动学生的积极性, 变灌输式为自控式, 不断鼓励学生对评讲内容尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”, 产生恍然大悟的成就感。这种积极的学习心态可以导致主导作用与主体作用的和谐统一, 从而逼近拉弗曲线中理想的E点。需要指出的是, E点处于A、B之间但绝不是两者相加除以2, 它是一个变值, 这个变值的确定, 依赖教师对试卷难度、学生成绩情况、学生能力状况的分析, 以及教学目标的实现。为此要鼓励学生自我探索, 发现, 训练学生评讲课上“二次思维”, 以求逐渐过渡到考场上“一次思维”的到位。
四、“学为中心”的高三数学二轮复习课堂的建构思考 与建议
高效二轮复习的实质就是做到:系统夯实, 加强对数学概念的深化;立足通法, 注重对数学本质的把握;精讲精练, 着意对数学思想的突显。有效教学一定是在巩固知识的基础上对各种能力的充分培养。要构建一个高效的数学课堂应围绕在以下几个方面展开:
1.高三的二轮复习要打造成“师生互动”的高效精彩课堂, 教师要静下心来研究、研究学生、研究教材、研究教法, 才能让学生更好的地去理解、领悟所要掌握的知识。
2.教师要有广博的专业知识, 要具备驾驭课堂的能力, 才能在课堂教学中带领学生去登峰涉险, 有效突破重点难点, 点燃学生智慧的火花。如:二轮复习是一种积极地、创造性的学习过程, 而学生在考场上都会出现“怕难”“惧新”“畏繁”等现象, “怕难”可以通过心理调节来克服, “惧新”“畏繁”则应是教师可以控制的, 通过二轮的优化复习的教学设计来完成。通过问题的“拓展”尽可能对选中的例题进行合理合情地深度开发;通过设计一组组具有层次性, 富有挑战性和探究性、蕴涵数学思想价值、环环相扣的问题串, 促使学生在“联系”“变化”“拓展”的氛围中深入地进行数学思考, 重视思维的合理性、提高思维的灵活性, 促进学生对知识的巩固, 方便考试时对知识的提取。
3.要构建有效的课堂, 真可谓是教学有法, 教无定法, 新课程倡导积极主动, 勇于探索的学习方法, 这就要求教师主动将时间还给学生, 努力引导学生自己发现知识间的联系, 努力提高学生对知识内涵与外延的理解, 尽可能在数学思想层面上进行指导, 去揭示数学的本质, 要重视对通性通法的讲解与分析。让学生自己去发现问题, 解决问题, 让学生有更深层次的理解。
参考文献
[1]杨志文《.中学数学教学参考》.2011.12期《.高中数学高效课堂的实践与认识》.
[2]李广修《.中学数学月刊》.2012.10“.函数与方程思想”的教学实录与反思.