高二不等式复习

2024-08-30

高二不等式复习（精选10篇）

高二不等式复习第1篇

高二不等式复习

本周重点：复习不等式一章的整体知识结构

本周难点：进一步深化不等式应用的思想和方法

本周内容：

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：

(1)对称性或反身性：若a>b，则b

(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c；

(3)可加性：，此法则又称为移项法则：

(4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc：当c<0时，ac

不等式运算性质：

(1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d：

(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

特例：

(3)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则an>bn；

(4)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则

：

(5)倒数法则：若ab>0，a>b，则

掌握不等式的性质，应注意：

(1)条件与结论间的对应关系，如是

符号还是符号

：

(2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式：利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为

；

当a,b≥0时，在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：

(1)不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法：

(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用：

(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

研究不等式结合函数，数形结合思想，等价变换思想等。

本周例题

例

1、已知f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。

分析：

从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。

设f(3)=mf(1)+nf(2)

∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)

∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c

∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5

∴-1≤f(3)≤20

说明：

1.本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即代入f(3)，达到用f(1),f(2)表示f(3)的目的。，然后

2.本题典型错误是-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

3.本题还可用线性规划知识求解。

例2.设a>0,b>0，求证：

分析：

法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

∴左≥右

法二：基本不等式

根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。

∴两式相加得：

例3.设实数x，y满足y+x2=0，0

分析：

说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。

例4.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且

分析：，求x+y的最小值。

法一：直接利用基本不等式：当且仅当

时等号成立

说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。

法二：消元为一元函数

途径一：由

∵x>0,y>0,a>0

当且仅当时，等号成立

途径二：令

当且仅当时，等号成立

说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。

例5.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b

(1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时，求实数a，b的值。

分析：

(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3

∵f(1)>0

∴a2-6a+3-b<0

△=24+4b

当b≤-6时，△≤0

∴f(1)>0的解集为φ

当b>-6时，∴f(1)>0的解集为

(2)∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3)

∴f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解

∵3x2-a(6-a)x-b<0解集为(-1,3)

例6.设a,b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。

分析：

在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。

法一：令f(x)=x2+ax+b

则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵0<|a|≤|a|+|b|<1

∴-1

∴f(x)=0的两根在(-1,1)内，即|α|<1，|β|<1

法二：

同理：

说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。

例7.某人乘坐出租车从A地到B地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？

分析：

设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm

显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适

当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x

∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)

∴当x>0时，P(x)

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适

当x=10时，此时两种出租车任选

本周练习：

(一)选择题

1.“a>0且b>0”是的()

A 充分而非必要条件

B.必要而非充要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2.设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为

A.B.C.D.3.若0

A.B.b

C.2ab

D.a2+b2

4.已知x>0，则

A.f(x)≤2

B.f(x)≥10

C.f(x)≥6

D.f(x)≤3

5.已知，则

A.p>q

B.q

C.p≥q

D.p≤q

6.若|a-c|

A.|a-b|<2h

B.|a-b|>2h

C.|a-b

D.|a-b>h

7.关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是

A.B.C.8.若a>0，b>0，且2a+b=1，则的最大值是

D.A.B.C.D.(二)填空题

9.设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数的最小值是____

10.周长为的直角三角形面积的最大值为_________

11.记，则S与1的大小关系是_______

12.不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________

(三)解答题

13.要使不等式对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？

14.解关于x的不等式

15.已知a≠0，求证：

16.已知不等式都成立，试求实数a的取值范围。

对n∈N+

17.若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。

18.商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为进货量Q为多大时，整个费用最省？

件，问每批

练习答案：

(一)选择题

1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A

(二)填空题

9.10.11.S<1 12.(1,4)

(三)解答题

13.14.当a≤-1时，x∈(-∞,a)∪(-1,2)

当-1

当a=2时，x∈(-∞,-1)

当a>2时，x∈(-∞,-1)∪(2,a)

15.当|a|≤|b|时，不等式显然成立

当|a|>|b|时

左

16.17.18.高二数学周末练习六

1.已知直线ax+by+c=0不经过第一象限，且ab>0，则有()

(A)c≤0

(B)c≥0

(C)ac≥0

(D)ac≤0

2.直线l的倾斜角是连结A(3，-5)，B(0，-9)两点直线倾斜角的两倍，则l的斜率为()

(A)

(B)

(C)

(D)

3.下列方程中表示的图形为一条直线的是

(D)(A)lgx-lgy=1

(B)

(C)

4.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为θ，则它关于直线x=3对称直线的倾斜角为()

(A)θ

(B)

(C)

(D)

5.三点A(-2，a)，B(3,1)，C(8,11)在同一条直线上，则a=（）

(A)-1

(B)-9

(D)23

6.若直线L沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线L的斜率是（）

(A)

(B)-3

(C)

(D)3

7.已知A(3,3)，B(-1,5)，直线y=ax+1与线段AB有公共点，则实数a应满足的条件为_____

8.已知直线，下列命题：(1)直线的倾斜角是

；(2)不论如何变化，直线不过原点；(3)直线和两轴都相交时，可围成的三角形面积小于1。其中不正确的命题序号是_____

9.过点A(-3,4)且在两坐标轴上截距之和为12的直线方程是____

10.直线l过A(3,2)点且与直线x+3y-9=0及x轴围成等腰三角形，求直线l的方程。

答案：

C D D C B A

7.9.x+3y-9=0或4x-y+16=0

10.x-3y+3=0或

或3x+4y-17=0或

8.(1)(3)

高二不等式复习第2篇

[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式

[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得到假设不正确，原命题正确。

4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

证明格式：

(1)当n=n0时，命题成立；

(2)假设当n=k时命题成立；

则当n=k+1时，证明出命题也成立。

由(1)(2)知：原命题都成立。

[本周教学例题]

一、换元法：

1.三角换元：

例1.求证：

证一：(综合法)

即：

证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

则

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

证一：

证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

例3.若x2+y2≤1，求证：

证：设

则

例4.若x>1，y>1，求证：

证：设

则

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

小结：若0≤x≤1，则可令

若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，则可令

2.代数换元：，若xR，则可令

例6：证明：若a>0，则

证：设

则

即

∴原式成立

小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

二、放缩法：

例7.若a,b,c,dR+，求证：

证：记

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求证：

证：

三.反证法

例10.设0

证：设

则三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

与①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾

又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

四.构造法：

1.构造函数法

例12.已知x>0，求证：

证：构造函数

由

显然

∴上式>0

∴f(x)在上单调递增，∴左边

例13.求证：

证：设

用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1

例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

则有两个实根。

例15.求证：

证：设

当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数

∴要证：(xy)≥ac+bd

只需证

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac+bd

证二：(综合法)

证三：(三角代换法)

∵x2=a2+b2，∴不妨设

y2=c2+d

2五.数学归纳法：

例17.求证：设nN，n≥2，求证：

分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。

当n=k时，命题成立，即：成立。

当n=k+1时，左边

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即当n=k+1时，命题也成立；

综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

[本周参考练习]

证明下列不等式：

1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。

2.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，则

提示：左边

令t=xy，则

在上单调递减

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。

5.设x>0，y>0，求证：a

放缩法

6.若a>b>c，则

10.左边

11.求证：高二数学不等式的应用

三.关于不等式的应用：

不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

四、不等式的应用问题举例：

例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

解：由可得；

小结：如果本题采用

两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

；则出现了错误：“=”

例11.求函数的最小值。

分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

解：

即f(x)最小值为-1

此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一个

分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。

解：

当且仅当：4a2+2=3b2+6，即

时取等号，y的最大值为8。

小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。

也即；时，取等号。

例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。

分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。

分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a

小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2)

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，Bn>An。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。

五、本周参考练习

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明：

2.如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：

3.已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：

4.已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证：

5.已知a，b，c∈R+，求证：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值为)

7.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？

(答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。)高二数学练习三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值()

A.一定是正数

B.一定是负数

C.可能是0

D.无法确定

3.已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有两个不相等的实根

B.有两个相等的实根

C.没有实数根

D.要依a，b，c的具体取值确定

4.设0

A.C.5.设a,bR+，则A，B的大小关系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.设a，b，cR+，则三个数

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一个不大于2

D.至少有一个不小于2

8.若a，bR+，满足a+b+3=ab，则

9.设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则的取值范围是_____ 的最大值为_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

《不等式选讲》复习导引第3篇

本专题内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式的求解、不等式的证明 (比较法、综合法、分析法) 、几个著名的不等式、利用不等式求最大 (小) 值、运用数学归纳法证明不等式。这些知识点在高考考试说明中除几个著名的不等式为A级要求外, 其余为B级要求.下面对本专题的考点作一简要分析。

一、在解绝对值不等式时, 要控制难度:含未知数的绝对值不超过两个;绝对值内的关于未知数的代数式主要限于一次式。

例1 设函数f (x) =|x-1|+|x-a|,

(1) 若a=-1, 解不等式f (x) ≥3;

(2) 如果undefinedx∈R, f (x) ≥2, 求a的取值范围.

解: (1) 当a=-1时, f (x) =|x-1|+|x+1|, 由f (x) ≥3得|x-1|+|x+1|≥3,

(法一) 由绝对值的几何意义知不等式的解集为undefined或undefined。

(法二) 不等式可化为undefined或undefined或undefined

∴不等式的解集为undefined或undefined。

(2) 若a=1, f (x) =2|x-1|, 不满足题设条件;

若undefined的最小值为1-a;

故对于undefinedx∈R, f (x) ≥2的充要条件是|a-1|≥2, 从而a的取值范围 (-∞, 1]∪[3, -∞) 。

点评:本例是2009年高考辽宁卷附加题, 主要考查解绝对值不等式的有关知识以及转化思想、分类讨论的思想, 高考中不等式选讲考查的难易度最终转化为对必修知识的理解和掌握程度。

二、比较法、综合法、分析法是证明不等式的常用方法, 在利用这些方法证明不等式时, 常常使用代数恒等变换以及放缩等一些技巧。但是, 对大多数学生来说, 往往很难掌握这些技巧, 对他们更为重要的是理解这些方法的背景和它们所体现的数学思想, 对一些技巧不做更多的要求, 不要让不等式的证明陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。

例2 设a≥b>0, 求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2。

证明:3a3+2b3- (3a2b+2ab2) =3a2 (a-b) +2b2 (b-a) = (3a2-2b2) (a-b) 。

因为a≥b>0, 所以a-b≥0, 3a2-2b2>0, 从而 (3a2-2b2) (a-b) ≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2。

点评:本例是2009年高考江苏卷附加题, 主要考查比较法证明不等式的常见方法, 考查代数式的变形能力。

例3 设a, b, c为正实数, 求证:undefined。

证明:因为a, b, c为正实数, 由平均不等式可得undefined,

即undefined, 所以undefined。

而undefined, 所以undefined。

点评:本例是2008年高考江苏卷附加题, 主要考查平均不等式和证明不等式的常用方法——综合法等基础知识, 以及运用已知事实和已经获得的正确的数学命题进行推理论证的能力。

三、不等式的应用, 主要是考查学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题的能力, 其中最值问题主要是掌握用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、二元柯西不等式求解的方法。对于n元算术—几何平均不等式、柯西不等式、排序不等式只要求了解。

例4 求函数undefined的最大值。

解:该函数的定义域为[5, 6], 且undefined。

点评:本题主要考查函数的基本概念和利用二元柯西不等式 (即设a, b, c, d均为实数, 则 (a2+b2) (c2+d2) ≥ (ac+bd) 2, 其中等号当且仅当ad=bc时成立) 求函数最值等基础知识, 要求学生通过类比、构造实现知识迁移。

四、数学归纳法是重要的数学思想方法, 运用数学归纳法证明不等式, 要求掌握数学归纳法证题的基本原理, 会用它证明一些简单的与自然数n有关的不等式命题。

例5 设x>-1, n∈N+, 证明不等式: (1+x) n≥1+nx。

证明:1.当n=1时, 原不等式成立, 当n=2时, 左边=1+2x+x2, 右边=1+2x, ∵x2≥0, ∴左边≥右边, 原不等式成立。

2.假设当n=k时, 不等式成立, 即 (1+x) k≥1+kx。

则当n=k+1时, ∵x>-1, ∴1+x>0, 于是在不等式 (1+x) k≥1+kx两边同时乘以, 得 (1+x) k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x) =1+ (k+1) x+kx2≥1+ (k+1) x。

∴ (1+x) k+1≥1+ (k+1) x。即当n=k+1时, 不等式也成立。

综上1、2知, 对一切正整数, 不等式都成立。

点评:本题主要考查不等式的证明和数学归纳法等基础知识.数学归纳法原理即第一步验证P (n0) 成立, 这是递推的基础;第二步是假设P (k) 成立, 推出P (k+1) , 这是递推的依据. 证明时, 关键是P (k+1) 的推证, 要有目标意识。

高二不等式复习第4篇

一、准确把脉高考，吃透题型

数列与不等式的综合问题是近年来高考的一个热点，也是一个难点.

高考试题中这类试题通常考查到什么程度？

纵观这几年的高考，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级.从高考试题的排序来看，这类问题通常比较靠后，试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份属于后者，即常以“难题”的面貌出现，对综合能力的考查深刻.

这类试题的考试形式和考查的重点在哪里呢？

这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列，对数列的提问，多涉及通项、前n项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列.至于有关不等式的提问，可以是含变量n或其他参变量的不等式的证明或求解，亦或者是求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等.

从数学思想方法来看，对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.

高二数学不等式的证明6 第5篇

（六）教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。

教学重点：熟练运用。

教学过程：

一、复习准备：

1.已知x≥4，求证：x1－

x2

解法：分析法，先移项再平方。推广：求x1－x2的单调性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求证：2a3＋2b3≤4（四种解法：估值配项；柯西不等式；均值不等式；分析法）

二、讲授新课： 1.教学典型习题：

①出示典型习题：（先不给出方法）

22 Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy＋y2yzz2>x＋y＋z

1x2x1 Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证 ≤2≤3（另解：拆分法）

3xx1 Ⅲ.用换元法证明：已知a＋b＝4,求证：2≤a±ab＋b≤6 ②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习：

Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)＋(z)2＝… 22x2x1 Ⅱ.判别式法，设2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。

xx1 Ⅲ.三角换元法，设a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。③再讨论其它解法： Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。2.练习：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函数y＝x＋21的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0两种情况；凑配法）x1③求函数y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x21)2

三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n＋2)>log(n2)(n＋3)2.课堂作业：书P31 2、5题。

高二数学不等关系及不等式检测题第6篇

一、选择题

1.已知a>b，ac

A.c>0 B.c<0

C.c=0 D.以上均有可能

答案：B

2.下列命题正确的.是( )

A.若a2>b2，则a>b B.若1a>1b，则a

C.若ac>bc，则a>b D.若a

解析：选D.A错，例如(-3)2>22;B错，例如12 >1-3;C错，例如当c=-2，a=-3，b=2时，有ac>bc，但a

3.设a，b∈R，若a-b>0，则下列不等式中正确的是( )

A.b-a>0 B.a3+b3<0

C.b+a<0 D.a2-b2>0

解析：选D.利用赋值法，令a=1，b=0，排除A，B，C.

4.若b<0，a+b>0，则a-b的值( )

A.大于零 B.大于或等于零

C.小于零 D.小于或等于零

解析：选A.∵b<0，∴-b>0，由a+b>0，得a>-b>0.

5.若x>y，m>n，则下列不等式正确的是( )

A.x-m>y-n B.xm>ym

C.xy>ym D.m-y>n-x

解析：选D.将x>y变为-y>-x，将其与m>n左右两边分别相加，即得结论.

6.若x、y、z互不相等且x+y+z=0，则下列说法不正确的为( )

A.必有两数之和为正数

B.必有两数之和为负数

C.必有两数之积为正数

D.必有两数之积为负数

答案：C

二、填空题

7.若a>b>0，则1an________1bn(n∈N，n≥2).(填“>”或“<”)

答案：<

8.设x>1，-1

解析：∵-1

∴y<-y，又x>1，∴y<-y

答案：y<-y

9.已知-π2≤α<β≤π2，则α+β2的取值范围为__________.

解析：∵-π2≤α<β≤π2，

∴-π4≤α2<π4，-π4<β2≤π4.

两式相加，得-π2<α+β2<π2.

答案：(-π2，π2)

三、解答题

10.已知c>a>b>0，求证：ac-a>bc-a.

证明：∵c>a，∴c-a>0，

又∵a>b，∴ac-a>bc-a.

11.已知2

(1)m+2n;(2)m-n;(3)mn;(4)mn.

解：(1)∵3

又∵2

(2)∵3

又∵2

(3)∵2

(4)∵3

由2

12.已知-3

求证：-16<(a-b)c2<0.

证明：∵-3

∴0<-(a-b)<4.又-2

∴1

高二数学不等式综合应用测试题第7篇

tog

x

2x

3的定义域为（）

A.5,B.5,C.,35,D.,3 2.实数a、b满足b＜a＜0，则下列不等式

①

1b1x

3＞②a＜b③

21a

＞

④a＞b 其中正确的个数为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个 3.不等式

＞1的解集是（）

A.4,B.,4C.3,4D.3,4 4.若0＜＜＜



ab，sincosa，sincosb，则（）

A.a＜bB.a＞bC.ab＜1D.ab＞2 5.已知0＜a＜b＜1，则a，log

A.logC.log

b1aab，log

b1a的大小关系（）

b1a

＜log＜log

＜aB.log

＜a＜log

b1a

bab

b1a

＜aD.a＜log＜log

6.不等式1x1x＞0的解集是（）

A.x0≤x＜1B.xx＜0且x≠1C.x1＜x＜1D.xx＜1且x≠1 7.关于x的不等式ax

bxc＜0的解为,,，其中＜＜0，则不等式

bxa＞0的解集为（）

A.



11

B.,11

,C.11

,D.

11

, 



8.条件甲：x,yR且xy＜1条件乙：x,yR且xy＜2，则甲是乙的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件 9.若关于x的不等式2x1＞ax2的解集为R，则实数a的范围是（）A.a＞2B.a=2C.a＜2D.a不存在 10.下列不等式中不一定成立的是（）

A.x,y＞0时

xy2yx

≥2B.x

2

≥2

第1页

1

C.lgx1

lgx≥2D.a＞0时a111≥4

a

11.实数a、b满足条件ab＜0，那么（）A.ab＜abB.ab＞ab C.ab＜abD.ab＜ab

12.若关于x的方程x4ax40有解，则a的取值范围是（）

A.,80,B.,4C.8,4D.,8

13.已知x、y都为正数且x2y1，则

14.当a＞1，0＜b＜1时，logb

a2x3y的最小值为 logab的取值范围。

2215.已知0＜a＜1，0＜b＜1且a≠b，那么ab，2ab，ab，2ab中最大者

16.x1x

x224x3≤0的解集为。x

217.已知Axx2x2＞0，xzBx2x252kx5k＜0，xz且AB2，求实数k的范围。

18.（1）已知a、b、c为RtABC的三边之长，且abc4，求斜边c的最值范围。

（2）a、b、c为ABC的三边。求证：abc＜2ab2bc2ac

19.设函数fxx2222c

1x2（c为常数）的最小值为m。

1c1 cc求证：（1）当c≤1时m2（2）当c＞1时m

220.已知函数fxxaxb（a、bR），当实数pq1时，试证明：

pfxqfy≥fpxqy对任意x、y都成立的充要条件是0≤p≤1。

21.如图所示，某校把一块边长为2a的等边ABC的边角地A 开辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，E ．．．．

D在AB上，E在AC上。D

（1）设ADx（x≥a），EDy求用xB表示y的函数关系式。

（2）如果DE是灌溉水管的位置，为了省线，希望它最短，DE应该在哪里？如果DE是

参观路线即希望它最长，DE的位置又应该在哪里？

22.已知函数fxx23

xa（xa,a为非零常数）

（1）解不等式fx＜x（2）设x＞a时fx的最小值为6，求a的值。

关于不等式的高考复习策略第8篇

关键词：不等式,高中数学,教学策略,复习

不等式是很多数学教材内容的一个基础, 在其后不但有关于函数、几何等各类章节, 并且这些章节都是在不等式的基础上进行研究的, 这也进一步体现了不等式的基础性以及重要性. 与此同时, 不等式还能反映客观事实之间上的数量关系, 在现实生活中这是一种普遍现象. 而建立不等关系、树立不等观念、研究处理不等关系的实际问题, 在某种程度和意义上比处理等量问题更具一般性, 因为相等与不等是相对的, 不等是普遍存在的. 并且根据以往高考中不等式所占的比例而言, 一般在高考试卷中不等式出题占整个卷面分数的比例也是相当高的, 因此, 做好不等式的复习, 不但有助于学生解决生活中实际出现的问题, 更有助于学生在升学考试中拿到优异的成绩.

一、近几年高考中不等式内容的考察分析

根据近几年高考真题中的整合分析, 不难看出, 与不等式相关类型的试题一般不会进行直接的单独命题, 通常都是将不等式的题型隐藏在其他题型中来, 并且分值比例较高. 一般情况下, 有关不等式的试题会出现在试卷的各大模块中, 选择题以及填空题中一般都是以求其解集以及最值为主. 然而, 在解答题中则会相对较为复杂, 是掺杂在数列、导数、函数等一些综合试题中, 这类型的题型较为困难, 难度较大并且较为复杂, 涉及知识面较为广泛. 这也进一步说明了不等式在高考中的基础性以及重要性. 在高考试题中, 不但存在着单纯对不等式问题的求解, 也存在着不等式隐藏于试题中作为基础的综合试题, 因此, 不等式也是其他问题的解题工具, 必不可少. 由此可以得出, 不单单要将不等式刻画成数学中的阶梯工具, 更要将其转移到实际生活中, 这样不但可以让学生更容易地感受到不等式的真正意义, 也更容易融入到不等式的学习中来, 现实生活中也存在着许多的不等关系, 注重将数学基础知识这一理论基础联系到实际生活中来.

二、不等式在高考复习中的教学策略

1. 融入实际生活

在复习的过程中, 首先要根据不等式的实际特点进行讲解, 要让学生了解到不等式所描述的是与现实世界相融合的, 是与实际生活相联系的, 与自身的生活有着紧密的联系, 将学生所了解到的不等式问题融会到实际情景中来, 这是非常必要的; 其次, 由于是复习的过程, 学生本身就已经对不等式有一定的了解, 在此基础上, 学生更应该做到各内容的相互连接, 将所学到的知识点相互融会贯通, 使其成为一个完整的系统, 这更有利于学生解决复合型的问题, 为整个复习提供方便.

2. 整合知识链

纵观近几年的高考内容, 不等式大多都是“隐藏”于综合性的试题中, 而不等式的解答知识是解决整个综合问题的基础. 因此在复习过程中, 一定要让学生了解到解不等式对于每个人而言都是一种相当重要的运算能力, 只有将这种运算能力熟练掌握, 才更有可能将其运用到其他知识中, 才更有利于解答其他综合问题. 另外, 还应重视含有参数的不等式的联系, 应注意在学习解不等式这部分内容, 不能孤立地学习, 一定要放在数学大环境中去, 要加强与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题等知识间的联系.

3. 培养学生抽象的思维能力

在学生进行高考复习中, 要让学生自己进行推导并对不等式进行证明学习, 这样可以使得学生真实地感受到不等式不光是存在于实际生活中的, 在数学中其思想方法更是抽象的, 并以此锻炼学生的综合能力, 即数形结合的能力, 与此同时也可以提高学生的逻辑思维能力以及抽象思维能力的综合运用, 从而通过学生的抽象思维能力的提升, 进一步提高其对问题解决的能力以及分析能力. 并且通过观察教材以及高考相关试题不难发现, 对于基本不等式这一知识点的内容要求则大大降低, 反而着重强调其在解决其他问题时的工具性.

4. 实际问题抽象化

在做有关不等式的综合问题中不难发现, 不等式是以实际生活中存在的问题作为出发点, 比如以解析几何作为背景例题进行分析, 这就要根据解析几何中的一些基本性质以及不等式的一些性质等相关知识进行结合, 最终来考查学生对问题的综合分析能力以及运用能力, 进一步体现了这个解答工具在数学中的比例之重. 由此可知, 在学生进行高考复习中, 要增强学生对知识进行整合分析的能力, 加强对问题的理解能力, 并将实际问题抽象到数学问题中来, 这种问题与问题之间的转换能力的加强, 是教师在复习中的主要侧重点.

5. 典型问题, 着重分析

通过对不等式问题的分析和研究不难发现, 很多问题虽然是综合出现的, 很多知识点是相互连接的, 但其主要思路以及解决方法是基本一致的, 对于这类问题, 数学教师只要通过具有特点的典型例题给学生进行举例分析. 相信在总的复习中, 着重对典型例题进行分析解答, 有助于学生在遇到同类问题时可以更快地分析问题并解决问题.

结论

高中数学总复习阶段是高中学生进行系统学习后的最后阶段, 也是高中学生升学考试的冲刺阶段, 是知识系统化、条理化、灵活化, 促进学生素质、能力发展的关键时期. 尤其在不等式复习中, 由于不等式的基础性、综合性以及工具性, 其章节的复习结果对于高中数学复习阶段来说是较为重要的, 学生在对于不等式的复习中, 不但有利于解答综合性分析问题, 对于基础性质问题的解答也是至关重要的. 由于不等式与实际生活联系紧密, 这对于即将奔向大学, 步入社会的高中生来说, 复习中学习好不等式也是至关重要的, 对此, 高中数学教师一定要加强学生不等式复习的策略管理, 培养出符合社会要求的优秀人才.

参考文献

[1]何克抗.教学系统设计[M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[D].天津:天津师范大学, 2012.

基本不等式的应用专题复习 第9篇

一、考纲要求

基本不等式在江苏省自主命题考试中属于C级考点，考纲中要求学生能系统地掌握其知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。与基本不等式相关的主要知识点有：

二、难点疑点

1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正、二定、三相等”，若忽略了某个条件，就会出现错误。

2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22；a+b2≥ab（a、b>0）逆用就是ab≤a+b22 （a、b>0）等。还要注意“添项、拆项”技巧和公式等号成立的条件。

3. 基本不等式是几个正数的和与积转化的依据，不仅可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性，还可以解决其他形式的不等问题。

4. 利用基本不等式求解与其他知识的综合问题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。

三、例题精析

高二不等式复习第10篇

一、选择题

1、若a,b是任意实数,且a＞b,则

（）（A）a2＞b

2（B）b11＜1

（C）lg(a-b)＞0

（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是

（）

1+a≥2(a0)at111（C）＜(a＞b)

（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(21)(21)的最小值为

（）

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)

（B）

(A)6

(B)7

(D)9

4、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为

（）

(A)0个

(B)1个

(D)3个

5、f(n)= n21－n , (n)=(A)f(n)

(B)f(n)<(n)

(D)g(n)

（）2n

6、设x2+y2 = 1, 则x +y

（）

(A)有最小值1

(B)有最小值(C)有最小值－1

(D)有最小值－2

7、不等式|x＋5|＞3的解集是

（）(A){x|－8＜x＜8}

(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝

(D){x|x＜－8或x＞－2＝

8、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是

（）(A)ac＞bc

(B)|a＋c|＞|b＋c|

(C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x31x22x329、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有

（）x12（A）MN=P

（B）MNP

（C）M=PN

（D）M=N=P

10、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是

（）（A）6

（B）

42（C）22

（D）26

11、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,11,，则ab等于（）23(A)－24

(B)24

(D)－14

12、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是

（）(A)(,2]

(B)(,2)

(C)(2,2]

(D)(－2,2)

13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式

f(x)0的解集是

（）g(x)(A)

(B)(,1)(2,)

(C)[1，2]

(D)R

14、xx的解集是

（）x2x(A)(－2,0)

(B)(－2,0)

(C)R

(D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞)

15、不等式31x3的解集是

（）

3(A)(－∞,1)

(B)(33,1)

(C)(,1)

(D)R 4

4二、填空题

1、若x与实数列a1,a2,…,an中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xlog1x21的解集是________.x3、某工厂产量第二年增长率是p1,第三年增长率是p2,第四年增长率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,则a1b的最大值是________.225、若实数x、y满足xy＞0且x2y=2,则xy＋x2的最小值是________.6、x＞1时，f(x)=x＋116x的最小值是________，此时x=________.2xx1

7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.xx412

329、命题①：关于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;命题②：f(x)=－(12x－3a－a)是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.10、设A={x|x≥

三、解答题 1,xR},B={x|2x1＜3,xR＝,则D=A∩B=________.xx29x111、解不等式：2≥7.x2x

12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x5≥－2.x25x624、解不等式：9x26xx2＞3.5、解不等式：x3x2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y＞0，求xyxy的最大值。

8、已知关于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，求参数m的取值范围。

9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8xx3.不等式练习答案

一、DADCB

DDDAB

BCBAB

二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3

4n315)8、0＜x＜log23