坐标系与参数方程例题

坐标系与参数方程例题（精选6篇）

坐标系与参数方程例题 第1篇

坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

xx(0)设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换:的作用

yy(0)下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，我们把称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.（2）极坐标

设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为.我们把有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).（3）极径、极角的取值范围

一般地，极径0，极角R.坐标系与参数方程专题

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(x,y)，极坐标为(,).我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：xcos，ysin；（ⅱ）极坐标化直角坐标：2x2y2，tany（x0）.x

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在C(a,0)（a0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是

的直线l的极坐标方程为4 4和5.45.柱坐标系与球坐标系（1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，它在Oxy平面上的)（0，02）表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P射影为点Q，用(,2 坐标系与参数方程专题的位置可用有序数组(,,z)（zR）表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,,z)，其中0，02，zR.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：（2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，连结OP，记OPr，OP与Oz轴正向所夹的角为，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r,,)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(r,,)叫做点P的球坐标，记作P(r,,)，其中r0，0，02.xrcoscos【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：yrcossin

zrsin 坐标系与参数方程专题

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函xf(t)数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线yg(t)上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式.一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，xf(t)由此得到的方程组就是该曲线的参数方程.yg(t)【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x，y的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程

xrcosO（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为

yrsin（为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程为

xacosybsinxasec1secsec（为参数），这里，是的正割函数，并且； cosybtan（4）抛物线的参数方程：以原点O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线 坐标系与参数方程专题

2pxtan22（不包括原点）的参数方程为（为参数）； y2px（p0）

y2ptan（5）直线的参数方程：过点M0(x0,y0)，倾斜角为（为2）的直线l的参数方程xx0tcos（t为参数）；

yy0tsin（6）渐开线的参数方程：xr(cossin)（为参数）；

yr(sincos)（7）摆线的参数方程：

xr(sin)（为参数）.yr(1cos)5

坐标系与参数方程例题 第2篇

十三、坐标系与参数方程

一、单选题

1．（2019·北京（理））已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是

A．

B．

C．

D．

二、解答题

2．（2021·全国（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

3．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

4．（2020·江苏）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

5．（2020·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6．（2020·全国（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

7．（2020·全国（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.8．（2019·江苏）在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；

（2）求点B到直线l的距离.9．（2019·全国（理））如图，在极坐标系中，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；

（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标.10．（2019·全国（文））在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.11．（2019·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

12．（2018·江苏）

在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

13．（2018·全国（文））

在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.14．（2018·全国（理））

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

15．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

16．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

17．（2017·全国（理））

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.18．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

19．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

20．（2017·江苏）已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值

三、填空题

21．（2019·天津（理））设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.22．（2018·北京（理））在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．

23．（2018·天津（理））已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________.24．（2017·天津（理））在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.25．（2017·北京（理））在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十三、坐标系与参数方程（答案解析）

1．D

【分析】

首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【解析】

直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【小结】

本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】

（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；

（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【解析】

（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【小结】

本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.3．（1），（为参数）；（2）或.【分析】

（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【解析】

（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得

或

【小结】

本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（1）（2）

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【解析】

（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2），当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【小结】

本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（1）（2）

【分析】

（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【解析】

（1）令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.；

（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.【小结】

本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.6．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【分析】

（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，曲线的参数方程化为

为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线

化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.【解析】

（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或

（舍去），公共点的直角坐标为

.【小结】

本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.7．（1）；；（2）.【分析】

（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【解析】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为.【小结】

本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.8．（1）；

（2）2.【分析】

(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；

(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【解析】

（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为.【小结】

本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

9．(1)，,(2)，,.【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.【解析】

(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为

解方程得或，此时P的极坐标为或

解方程得，此时P的极坐标为

故P的极坐标为，,.【小结】

此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.10．（1），l的极坐标方程为；（2）

【分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；

（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】

（1）因为点在曲线上，所以；

即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；

因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；

（2）设，则，由题意，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【小结】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.11．（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

【小结】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.12．直线l被曲线C截得的弦长为

【解析】

分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.解析：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

小结：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.13．(1)

.(2)

.【解析】

分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；

(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.解析：（1）由，得的直角坐标方程为

．

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

小结：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.14．（1）

（2）为参数，【解析】

分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．

（2）联立方程，由根与系数的关系求解

解析：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，对应的参数分别为，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是

为参数，．

小结：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．

15．（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）

【分析】

分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分

与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．

【解析】

解析：（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

16．（1），；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．

试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.小结:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．

17．（1）（2）

【解析】

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为.【名师小结】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为

（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积

当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为

（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积

当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20．.【解析】

直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.21．

【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．

【解析】

圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得．

【小结】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．

22．【分析】

根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出.【解析】

因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以

【小结】

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．

【分析】

由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.【解析】

由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.【小结】

处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

24．2

【解析】

直线为，圆为，因为，所以有两个交点

【考点】极坐标

【名师小结】再利用公式

把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.25．1

【解析】

试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系

坐标系与参数方程例题 第3篇

《极坐标系与参数方程 》 这一专题对于高中学生而言具有重要的学习意义,具体来说学习极坐标系和参数方程能够帮助学生提高自身的数学思维逻辑能力. 新课改要求学生在教学活动中不仅仅要单纯地掌握相关的理论知识,同时还应当及时培养自身的理性思维逻辑能力. 极坐标系与参数方程作为一种需要用严密数学思维逻辑去思考分析的专题,学生在学习过程中一方面可以提高自己的解题能力,另一方面还能够拓展自身思维的深度和广度,发散视角.

以某市期末考试试题为例, 已知圆C:x2+ y2= 4, 直线l:x + y = 2 ,以O为极点 ,X轴的正半轴为极轴 , 建立极坐标系. P是l上的点,射线OP交圆C于点R ,又点Q在OP上且满足|OQ|·|QP | = |OR|2,当点P在l上移动时 ,求点Q的轨迹的极坐标系方程.

学生在解这一题时, 由于考虑到在图形中,P,Q,R在同一条直线上, 即说明它们的极角相同而极径不同. 极径在题干中已经给出了相关信息提示, 因此直接代入即可. 直线和圆的方程分别为 ρ(cosθ + sinθ) = 2,ρ = 2,则设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1, θ),(ρ,θ),(ρ2,θ).

根据已知 条件|OQ |·|QP | = |OR |2可得 ρρ1= ρ22, 即

又点Q不能在极点上,即 ρ ≠ 0.

所以,点Q轨迹的极坐标方程为:

通过这样的解题方式,学生会在实际应用过程中加深对于极坐标系的理解,同时有利于学生积极主动地去拓展自己的数学思维逻辑能力. 而针对这一特点, 教师在教学过程中应当及时掌握学生在学习极坐标系当中所呈现出的一些特点,帮助学生不断完善自我思维的多样性.

2.《极坐标系与参数方程》的教学策略探究

2.1将数形结合思想运用于教学活动

极坐标系对于高中生来说既是重点也是难点,它难就难在将几何与代数相结合,一旦没有掌握好二者之中的任何一个都不能深刻地理解极坐标系的相关知识点. 根据这一 特征,教师在进行教学活动中应当坚持将数形结合的理念贯彻到该专题的教学中,帮助学生在理解极坐标方程时学会利用相关的几何图形来化繁为简. 另一方面, 学生在学习过程中结合几何图形来理解曲线方程,在加深记忆的同时确保对于极坐标方程的相关概念有一个明确的认识. 以安徽省高考题为例,

2011年安徽数学高考题中在极坐标系中 , 点(2,π /3)到圆 ρ=2cos θ 的圆心距离为( ).

该题解题过程中,学生一般会把点和圆放在直角坐标系中处理,点(2,π /3)化为直角坐标圆 ρ = 2cos θ 化为方程化简可得圆心 (1,0).

实际上,如果学生能够运用极坐标系与参数方程的相关知识, 这道题的难度瞬间就降低了简单画出图形后 (见下图), 书籍半径|OA| = 1, 点(2,π /3)与点B相对应,∠AOB =π /3 ,即可知故选D.

2.2强化极坐标系的应用意识

强化极坐标系的应用意识是教师在教学活动中除了帮助学生提高数形结合思维解题能力之外的另一重要目的. 由于当前学生在经过学习后虽然能够基本掌握直角坐标系与极坐标系之间的转换过程,但实际上大多数学生学会的只是某一道的解题方法而非某一类型的解题思路,极坐标系的实际应用思维与方法仍然没有被广泛地领会. 针对这一问题, 教师在教学过程中应当主动引导学生在联系过程中尽量运用极坐标系的思维来分析和解题问题,同时有意识地设置相应的习题来重点强化极坐标系的实际应用性特点.

2.3合理利用现代技术,探索多种教学方法

由于极坐标系与参数方程的概念较为抽象,学生在学习的过程中难免仍会有不适应感.针对这一问题,教师开展教学活动时可以尝试转变传统的教学方式,充分发挥好现代教学手段与教学技术的作用,积极探索新型教学方法,以帮助学生提高自身的学习积极性与主动性. 例如教师可以通过利用多媒体教学工具, 将复杂的几何问题现场通过图形描绘出来,既便于学生直观理解,同时也鼓励学生主动动手画图.

3.结语

综上所述,《极坐标系与参数方程》是高中数学里的一个较为重要的专题知识点,数学教师在进行教学活动中,应当注意将其理论性与实践性有机地结合起来,积极探索新型教学策略,帮助学生尽快掌握相关解题能力.

摘要：随着新课标改革进程的不断深入发展,素质教育在教学活动中的推广与应用越来越成为当代主要的教学方式.在高中数学的教学过程中,推行素质教育即要求教师帮助学生将课本上的理论知识与现实生活有机地结合起来.以高中数学选修4.4的重点教学内容《极坐标系与参数方程》为例,单纯的理论性教学已不能满足新课改的要求,教师在教学活动中应当以这一知识点为切入口,引导学生学以致用,积极发展新型教学方式,完善教学理念.

坐标系与参数方程“考点”扫描 第4篇

一、 坐标系

1. 以坐标系为工具,用代数方法研究几何图形的性质是解析几何的本质,它的特点是“数形结合”.

2. 能否根据题设条件建立适当的坐标系,是能否准确地解决相关问题的关键.

例1 已知△ABC的周长为6,三边长BC,CA,AB构成等差数列,求BA•BC的取值范围.

分析 由条件可知CA=2,BC+AB=4.因为4>2,所以B在以A,C为焦点,4为长轴长的椭圆上,

因此可以建立直角坐标系解决本题.

解 以边CA所在的直线为x轴,CA方向为x轴正方向,线段CA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则点C为(-1,0),点A为(1,0).

设点B为(x0,y0)(y0≠0),则BA=(1-x0,-y0),BC=(-1-x0,-y0),且x204+y203=1.

所以BA•BC=x20+y20-1=x204+2,

因为-2

二、 极坐标

1. 要注意直角坐标系与极坐标系的区别:在直角坐标系中,平面上的点与有序实数对(x,y)是一一对应的;但在极坐标系中,平面上的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的,只有在规定了ρ>0,θ∈[0,2π)的前提下才一一对应.因此在解题时要注意点的



极坐标的多种表示形式.

2. 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.要注意直角坐标与极坐标相互

转化的前提:(1)极点与原点重合,(2)极轴与x轴正半轴重合,(3)取相同的单位长度;以及方法:设点P的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),则x=ρcosθ,y=ρsinθ

且ρ2=x2+y2,tgθ=yx.注意:把点P的直角坐标转化为极坐标时,要确定点P所在的象限(即极角θ终边的位置),以便正确地求出极角θ.

例2 在极坐标系下:

(1) 求过点A2,π4且平行于极轴的直线的方程.

(2) 求过点A3,π3且到极轴的角为-3π4的直线的方程.

图1

解 (1) 如图1,在所求直线上任取一点M(ρ,θ),过M作MH垂直极轴或其延长线于H,过A作AA′垂直极轴或其延长线于A′.

又因为A2,π4,由题意,MH=AA′=2sinπ4=2.

在Rt△MOH中,有MH=OMsin∠MOH,所以ρsinθ=2,即为过点A2,π4且平行于极轴的直线的方程.

(2) 设M(ρ,θ)为所求直线上的任意一点,B为所求直线与极轴的交点,则∠ABx=3π4,

图2图3

由已知,得OA=3,∠AOB=π3,所以∠OAB=3π4-π3=5π12,

如图2或3,所以∠OAM=π-5π12=7π12,∠OMA=3π4-θ,或∠OAM=5π12,∠OMA=π4+θ.

在△MOA中,根据正弦定理,得3sin3π4-θ=ρsin7π12,或3sinπ4+θ=ρsin5π12,

又sin7π12=sin5π12=sinπ4+π3=6+24,sin3π4-θ=sinπ4+θ=22(cosθ+sinθ),

可得ρ(sinθ+cosθ)=332+32,即为过点A3,π3且到极轴的角为-3π4的直线的方程.

点评 求曲线方程的关键是找出曲线上的点满足的几何条件并将它用坐标表示出来,再通过代数变换进行化简.另外,解本题时,也可先将极坐标转化为直角坐标,求出所求直线的直角坐标方程,再将其转化为极坐标方程;还可直接利用公式ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

例3 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ和ρ=-4sinθ.

(1) 分别把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2) 求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程.

解 以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,并对两坐标系取相同的长度单位.则x=ρcosθ,y=ρsinθ.

(1) 由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,

得x2+y2=4x,即为圆O1的直角坐标方程.

同理x2+y2=-4y为圆O2的直角坐标方程.

(2) 由x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,解得x1=0,y1=0,x2=2,y2=-2.

所以过这两个圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

点评 注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提及互化时的等价性.

三、 参数方程

1. 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点

的坐标之间的关系的方程,是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式,而且有时参数还具有几何意义或物理意义.

2. 面临一个轨迹问题时,如何选择和利用参数是同学们要掌握的主要问题,必须在学习过程中深刻地领会.

例4 求直线x=1+2t,y=1-2t(t为参数,t∈R)被圆x=3cosα,y=3sinα(α为参数,α∈R)截得的弦长.

解 把直线的参数方程x=1+2t,y=1-2t化为普通方程,得x+y=2;

将圆的参数方程x=3cosα,y=3sinα化为普通方程,得x2+y2=9.

于是不难求得所截得的弦长为27.

点评 在参数方程与普通方程互化的过程中,要注意等价性.

例5 设P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.

(1) 求2x+y的取值范围;

(2) 若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解 (1) 已知圆即为x=cosθ,y=1+sinθ(θ为参数,

θ∈R),

故2x+y=2cosθ+sinθ+1=5sin(θ+φ)+1,

所以2x+y的取值范围是[1-5,1+5].

(2) x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0恒成立,

即a≥-(cosθ+sinθ)-1=-2sinθ+π4-1恒成立.

所以实数a的取值范围是[2-1,+∞).

点评 对于二元函数x+2y,也常直接消元,不过,由x,y满足的方程x2+y2=2y来用y(或x)表示出x(或y)时,会出现无理式,这样,进一步求函数最值时,会比较麻烦;但若通过三角函数换元(即这里的“参数方程法”),则既可实现消元,又使求最值变得很容易.

例6 已知A和B分别是椭圆x236+y29=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC重心的轨迹的普通方程.

解 由动点C在已知椭圆上运动,可设C的坐标为(6cosθ,3sinθ).设重心G的坐标为(x,y).

又可知A(6,0),B(0,3),

故x=6+0+6cosθ3=2+2cosθ,

y=0+3+3sinθ3=1+sinθ,

得x-22=cosθ,y-1=sinθ,

两式平方相加,得(x-2)24+(y-1)2=1,

即为重心的轨迹的普通方程.

点评 本题的解法体现了椭圆的参数方程(即“三角换元法”)对于解决轨迹问题的优越性.要消去sinθ和cosθ,常用“平方相加法”.

巩 固 练 习

1. 若某三角形的一个顶点为极点,其他两个顶点的极坐标分别为(-5,109°),(4,49°),则这个三角形的面积为.

2. 设M和N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsinθ+π4=22上的动点,则M与N的最小距离是

.

3. 若某曲线的参数方程是x=1-1t,y=1-t2(t为参数,t≠0),则它的普通方程为 .

4. 已知圆C的参数方程为x=cosθ+1,y=sinθ(θ为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是.

坐标系与参数方程例题 第5篇

1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：

1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式.（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式.（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？

2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：

坐标系与参数方程例题 第6篇

ρθ

⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ 极轴

一、极坐标与参数方程选讲

1、极坐标与直角坐标的公式转换:

2、点的极坐标含义(, M ρθ: 练习:

(1 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线 C 的直角坐标 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 的直角坐标为(1,.若以原点 O 为极点, x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 3, 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 4, 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则△ AOB(其 中 O 为极点的面积为.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在极坐标系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲线 ρ=2sin θ 与 cos 1p θ=-的交点 的极坐标为 ______.3 4 π

提示:这两条曲线的普通方程分别为 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-⎧⎨=⎩

(5 已 知 直 线 l 的 参 数 方

程 为 :2, 14x t y t =⎧⎨

=+⎩(t 为 参 数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

ρθ=,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交(6已知直线的极坐标方程为(4R π θρ=

∈,它与曲线 12cos 22sin x y α α

=+⎧⎨=+⎩(α为参数相 交于两点 A 和 B ,则(7若直线 12, 23.{x t y t =-=+(t 为参数与直线 41x ky +=垂直,则常数 k =________.6-=k(8设直线 1l 的参数方程为 113x t y t =+⎧⎨

=+⎩(t 为参数 ,直线 2l 的方程为 y=3x+4则 1l 与 2l 的 距离为 _______ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线 1l 的普通方程为 023=--y x ,故它与与 2l 的距离为 3|24|=

+。

(9 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ρsin θ=3, 则点(2, π/6到直线 l 的距离为.【解析】法 1:画出极坐标系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐标 可得答 案 2.(10在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(33 R t t y t x ∈⎩

⎨⎧-=+=参数 ,圆 C 的参数 方程为 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 参数 ∈⎩⎨

⎧+==y x ,则圆 C 的圆心坐标为.(0, 2 ,圆心 到直线 l 的距离为 22.(11在极坐标系中, P Q , 是曲线 C :4sin ρθ=上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为.4【解析】最长线段 PQ 即圆 22(2 4x y +-=的直径.(12曲线 C 的参数方程是 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 为参数 ,则曲线 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,平方后相减消去参数 t(13 已知曲线 132 14x t y t ⎧

=-+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数与曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数的交点为 A , B , ,则 AB =

(14 若直线 :l y kx =与曲线 { 2cos :sin x C y θθ=+=(参 数 ∈θR 有唯一的公共点,则实数 k =

.二、几何证明选讲

1、与切线有关 构造直角三角形

如图, AB 是 ⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , 2=PC , 若

︒=∠30CAP ,则 ⊙ O 的直径 =AB 4.切割线定理

如图 1所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A , B 两点, 已知 PA =2, 点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如图,直角三角形 ABC 中, ︒=∠90B , 4=AB ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D , 2=AD ,则 C ∠的大小为

提示 连接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂径定理

如图 AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 则 CP =______.【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由 垂径定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ∆ 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ⋅=⋅ 2 3 CP a =⋅,所以 98CP a =.图 1 A B C 图 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =⨯ 2BC BD AB =⨯, 2AC AD AB =⨯ 如 图 , AB 是 半圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 异于 A B , 的 点 , C D A B ⊥, 垂 足 为 D , 已

知 2AD =, CB =, 则 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=

4、相似比

如图,在 ABC ∆中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,则 AB 的长为 __9 2 _________.5、圆的内接四边形对角互补 如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, MN 与⊙ O 相切 , 切点为 A , MAB ∠35︒=, 则 D ∠=.125︒

6、圆心角 =2倍圆周角

如图,点 A B C、、是圆 O 上的点,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 则圆 O 的面积等于 _________.解:连结 OA , OB ,则∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 为正三角形,圆 O 的半径 r=4AB =,于是,圆 O 的面积等于 πππ1642 2 =⨯=r 如图 , 已知△ ABC 内接于⊙ O ,点 D 在 OC 的 延长线上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 则 AD 的长为

.提示 连接 OA ,圆心角 AOD=2B=60°, AOC 是等边三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。