如今我国各高校陆续开办了“数学建模”课程, 全国大学生数学建模竞赛已经广泛开展起来。大学生数学建模课程是数学理论基础与实践动手能力相结合的一种竞赛项目。我们的教学要求培养学生数学表述能力, 综合学知识的能力, 利用计算机进行数值计算的能力。使学生加深理解和提高应用能力, 达到数学建模的效果。很多工科专业的研究方向也是与数学建模及其数值计算有关的。而线性代数中的矩阵计算又是该课程中数学解题的重要一环。数学建模比赛中以大学一二年级的学生为主。而我校《线性代数》课程的教学放在二年级上学期, 而一些二年级的学生因为专业设置的原因没有该课程。所以如何在较短时间内让这部分学生掌握线性代数的基本结构成为一个重要课题。并且数学建模中的一些数学问题又需要一些超出课本之外的线性代数的内容, 这需要学生阅读一定量的科技文献, 这要经过一定的训练才行。教师必须要对此进行一系列的指导。
1 传统教学内容的分析与调整的具体做法
我院工科学生的《线性代数》课程教学, 是以同济四版或五版为教材开设的, 授课计划的安排都是按照其内容结构和知识体系来完成。对于线性方程组, 在第三章矩阵的初等变换后引入了线性方程组解的判定定理, 随后又在第四章向量组的线性组合及相关性后面又探讨了线性方程组解的结构。在通常的具体教学过程中我们认为这样安排确实有其合理的地方, 比如要得到线性方程组解的判定定理, 就要用到矩阵的初等变换和矩阵的秩, 要探讨线性方程组解的结构就要用到向量组的线性相关性和向量组的秩。可是由于数学建模学生训练的时间短, 内容多, 有必要将此两部分内容进行适当调整和优化以利于教学。对此, 我们首先给出了这两部分知识的分析, 然后提出了我们进行调整的想法。
传统的教学内容和教学安排, 将矩阵的初等变换与线性方程组解的判定放在第三章, 先讲了矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩, 然后讲线性方程组的解。在第四章中安排了向量组及其线性组合、向量组的线性相关性、向量组的秩以及线性方程组的解的结构、向量空间。在第三章中, 教材中在第三节讲过了矩阵的秩后, 随即在第四节通过对非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵的初等行变换, 变成了行最简矩阵, 从而得出了非齐次线性方程组解的判定定理, 即书中所说的定理4。然后再给出解齐次方程组的例子, 以及非齐次方程组的例子, 最后给出了在解线性方程组理论中所提出的两个基本定理, 定理5和定理6。而在提出了第四章的第三节向量组的秩后, 先给出了齐次方程组Ax=0的系数矩阵的行最简形式, 又利用齐次方程组解的性质, 得出了齐次方程组的基础解系和通解的结构;再利用非齐次方程组解的性质给出了非齐次方程给的通解的结构:
即非齐次方程组的通解等于齐次方程组的通解加上非齐次方程组的特解。我们认为在数学建模这样一个安排内容多, 时间短, 需要尽快让学生运用所学知识解题的情况下需要探求更合理地安排教学内容和教学体系, 并作了积极的尝试, 编写了新的教案与讲义, 在数学建模中的教学效果明显。我们对知识体系调整的具体做法是:
(1) 改进并调整矩阵有关的内容。把和矩阵有关的内容, 包括矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩, 全部放在第二章, 使矩阵的整体知识内容完整地放在了一起。
(2) 将与向量有关的内容, 包括向量与向量组及其线性组合、向量组的线性相关性和向量组的秩以及向量空间, 作为第三章。对于线性相关性的判断, 通过演示一些简单的例子给出用定义来证明;对于一个向量表示成一个向量组的线性组合, 也是能过比较简单的例子, 能直接看出组合系数即可。对于用齐次方程组的解来判断向量组的线性相关性, 以及用非齐次线性方程组的解来判断一个向量由一个向量组线性表示的这部分教学内容, 我们则把它们放在第四章, 在线性方程组的应用中去讲。
(3) 将线性方程组作为专门的一章, 分为第一节线性方程组解的判定定理, 第二节线性方程组的结构, 第三节线性方程组的应用。其中应用一节, 加进了线性方程组在工程上的应用, 在几何上的应用, 和在向量组有关证明上的应用。这样做了一个结构的调整后, 感觉到知识体系完整了, 整体的逻辑性加强了, 尤其是加入了线性方程组的应用一节后, 把线性方程组的有关应用教给了学生, 更增加了同学们学习线性代数的兴趣。我们的具体安排如下:
第二章矩阵及其运算和矩阵的初等变换。包括:
第一节矩阵的概念和运算;
第二节逆矩阵和分块矩阵;
第三节矩阵的初等变换和初等方阵;
第四节矩阵的秩。
第三章向量组及线性相关性。其中包括:
第一节向量组及线性相关性;
第二节向量组的秩;
第三节向量空间。
第四章线性方程组的解。其中包括:
第一节线性方程组解的判定;
第二节线性方程组的解的结构;
第三节线性方程组的应用。
其中第四章的第三节“线性方程组的应用”是非常重要的一节, 也是我们教学中的关键, 它体现了数学建模的特点:从“学数学”到“用数学”。
2 关于矩阵计算的科技文献的阅读及其在数学建模中的应用
由于数学建模的特点, 学生从《线性代数》课程中所学到的知识还不足以解决建模竞赛中所遇到的问题。数学建模与矩阵计算联系紧密, 数学建模中有着大量的矩阵计算, 而《线性代数》中所提到的矩阵计算知识是其中最基础的部分。因此, 如何利用现有文献中的已知结果解决建模过程中的问题就变得重要起来。
学生从以往的学习中只是学习书本上的知识, 并且是在老师的课堂教学与课后练习中学习和掌握知识的。现在要求他们独立的阅读科技文献并迅速消化其中的结果显然是有着一定的难度。
作为指导老师, 我们觉得应当循序渐进。既然数学建模与矩阵计算联系紧密, 而数值计算方法的内容一般计算过程比较复杂。那么熟练利用数学软件就成为首先要解决的问题。我们在电脑中装入了Mathematica和Matlab等数学软件。指导学生搜寻和下载科技文献。提高学生的学术搜索能力。
文献下载了之后, 如何消化和利用其中的结果是摆在学生们之间的一个难题。学生很少有这种需要独自阅读文献的经历。我引导学生首先逐字地明白其含义, 这还不够, 还必须从总体上把握其主导思想。这篇文章是为了解决什么问题, 它所提出的方法相对于其他的方法有什么不同之处, 这个方法对于我们所面临的问题有哪些帮助。有时文章中有一些数值的例子, 我也引导学生去编程序, 他们得到的结果与文章中的结果相对照, 以加深学生对文章内容的认识。
鉴于内容多, 时间短的特点, 有时将文献中的内容分为若干模块。让学生分块阅读然后再集中讨论, 以避免理解上的失误, 提高了阅读的效率。
对于英文的文献, 由于英语和汉语的表达方式以及语法结构有着很大的区别。因此, 学生在阅读英文文献时有着一定的困难。我指导学生从一些较易懂的文献入手, 首先熟悉一些数学上的常用英文词汇, 如, 矩阵 (matrix) , 向量 (vector) , 迭代方法 (iterative method) , 秩 (rank) 等。勤查英汉字典, 多花时间。
学生在老师指导下, 参与用科技文献中方法解决线性方程组中问题的全过程。通过自己动手选择合适的算法, 利用软件, 比较并计算结果。与文章中的例子作对比, 得到亲身体会。
比如说用迭代方法 (iterative method) 去解决线性方程组:
预先优化过的AOR迭代方法与没有优化过的AOR迭代方法在其计算速度上有着很大的不同。我们指导学生翻阅有关文献。让学生找出文章中的方程组的迭代格式, 用数学软件进行编程。如计算:
该矩阵满足文章中定理的条件, 当一定的参数取定时, 我们得到预优AOR方法的谱半径为0.9399, 而非预优AOR方法的谱半径为0.9564, 可见效果是很明显的。学生通过编程序感到这样的方法对于解决数学建模中的问题有着非常大的帮助。
一段时间下来, 学生们感觉进步快, 学习效果好。他们在数学建模的比赛中取得了良好的成绩。我们也感到欣慰, 这一段时间的努力没有白花。
3 结语
本文讲述了如何调整传统《线性代数》教学内容以适应数学建模比赛的需要, 以及如何指导学生搜寻和利用科技文献中的结果去求解问题, 以此提高学生的阅读科技文献并将其中结果与现实问题结合起来的能力。数学建模是为了在“学数学”和“用数学”之间搭建一座桥梁。通过指导学生进行数学建模, 学生对《线性代数》这门课程的体会加深了, 对计算机的使用更加熟练了。同时他们还学会了如何搜索和阅读科技文献。这必将对他们今后的学习与工作产生积极的影响。
摘要：本文对数学建模时线性代数课程中的线性方程组解法和向量组的线性相关性以及线性方程组解的结构的知识体系做了优化调整, 同时指导了学生对科技文献的阅读, 以便于更好地安排线性代数在数学建模中的教学过程, 对于教学达到了良好的效果, 同时也有利于学生的理解掌握。
关键词：数学建模,线性代数,知识体系,科技文献
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