傅科摆的研究及可视化

2022-09-18

一、前言

1851年, 法国物理学家傅科在巴黎万胜殿的拱顶上悬挂了一个摆长67m, 摆锤质量28kg的单摆, 该单摆摆动周期约为16s, 实验发现, 改摆的摆动平面绕竖直轴作顺时针 (从上往下看) 转动, 周期约为32h, 这就是著名的傅科摆实验。这个实验无需依赖地球以外的任何个体, 就能直接向人们展示地球的转动。

由于傅科摆的运动微分方程没有解析解, 故无法人工求得其严格的定量解, 因此, 不妨利用计算机数值计算求得傅科摆的严格定量解, 以更好地研究傅科摆。再者, 由于傅科摆具有十分重要的科普意义, 加之其虽然原理简单, 但由于摩擦阻力、空气阻力、场地限制等因素, 并不易制作, 所以通过计算机将傅科摆可视化也具有重要的意义和实用性。

二、傅科摆的数值解

(一) 傅科摆的运动学方程

由于傅科摆的摆长很长, 故当摆作小角度摆动时, 可以认为摆锤在水平面内运动, 由于摆锤质量大, 体积小, 故忽略空气阻力。以摆锤平衡位置为原点O, x轴正方向指向正南面, y轴正方向指向正东面, 如图1建立直角坐标系。

则在该系下, 纬度为λ处傅科摆的运动方程为:

其中重力加速度g=9.8m/s2, 摆长l=67m, 地球自转角速度v=2π/86400。

(二) 利用matlab数值计算求解运动学方程

本文的目的是在已知初始条件的情况下求解傅科摆的运动学方程, 故选用Matlab的内置函数ode45, 即四阶龙格库塔法进行求解。由于ode45只能解一阶微分方程, 故求解前需要对[1]行降阶处理, 结果如下:

其中, θ=π/180×λ因为matlab采用弧度制, 故需要将纬度化为弧制。用解微分方程组[2]的过程如下:

在实际中, 傅科摆摆动平面的转动较为缓慢, 为了便于观察, 在数值计算时将ω更改为π/50。

三、三维可视化

在得到了傅科摆的严格数值解后, 利用matlab的绘图功能, 将其的摆动过程做成三维动图, 程序如下:

四、利用数值解半定量研究傅科摆的摆动

(一) 初始速度和方向相同, 傅科摆在不同纬度下的摆动

图2-8绘制了从南极点到北极点, 随着纬度增加, 傅科摆的摆动轨迹变化的情况。图中所有轨迹用时均相同, 因此, 可以看出, 纬度约大, 即越远离赤道, 傅科摆的摆动平面转动的速度就越快。其中, 如图2所示, 在赤道上, 傅科摆的摆动平面完全不转动。在南北半球同一纬度地区, 傅科摆的摆动平面转动速度相同, 转动方向相反:在北半球, 傅科摆的摆动平面顺时针转动;在南半球, 傅科摆的摆动平面逆时针转动。