重庆理工大学高等数学

第一篇：重庆理工大学高等数学

高等教育重庆大学移动通信系统实验报告.

ADS 系统级仿真

-—发射机、零中频接收机与外差式接收机

课程名称 :

移动通信系统

院

系：

通信工程学院

专

业:

通信 01 班

年

级：

2013

级

姓

名:

叶汉霆

学

号:

指导教师 :

李明玉

实验时间：

2

016、12、22

重庆大学

一、实验目得：

1、

熟悉 ADS 软件得使用、能用该软件进行原理图设计与原理图仿真。

2、?了解发射机、接收机得结构及工作原理;

3、

掌握利用 ADS 中行为级模块进行系统级仿真得方法，使用如滤波器、放大

器、混频器等行为级得功能模块搭建收发信机系统

.

4、

运 用 S 参数仿真、交流仿真、谐波平衡仿真、瞬态响应仿真等仿真器对收发信

机系统得各种性能参数进行模拟检测。

二、实验原理 :

1.

接收机

接收机将通过信道传播得信号进行接收，提取出有用信号。接收机一般具有接收灵敏度、选择性、交调抑制、噪声系数等性能参数。

接收机得实现架构可分为

:超外差、零中频与数字中频等。

接收机各部分得作用与要求如下

:

① 射频滤波器

1( FP

Fil ter1)

选择信号频段、限制输入信号带宽、减小互调失真。抑制杂散信号 ,避免杂散响应。

减少本振泄漏 ,在频分系统中作为频域相关器

.

② 低噪声放大器( LNA )

在不使接收机线性度恶化得前提下提供一定得增益。抑制后续电路得噪声，降低系统得噪声系数。

③ 射频滤波器

2( FP

F ilter2)

抑制由低噪声放大器放大或产生得镜频干扰。

进一步抑制其她杂散信号。减少本振泄漏 .

④ 混频器( Mixer )

将射频信号下变频为中频信号

.

就是接收机中输入射频信号最强得模块 ,其线性度极为重要 ,同时要求较低得噪声系数。

⑤ 本振滤波器 (Inj e ction Fil ter)

滤除来自本振得杂散信号。

⑥ 本振信号源 (LO)

为接收机提供本地振荡信号。

⑦ 中频滤波器 (IF Filter)

抑制相邻信道得干扰，提供选择性。

滤除混频器产生得互调干扰。

如果存在第二次变频

,需要抑制第二镜频。

⑧ 中频放大器 (IF

AMP )

将信号放大到一定得幅度，供后续电路(如数模转换器或解调器)处理。通常需要较大得增益并实现增益控制 .

2.

发射机

发射机就是一个非常重要得子系统 ,无论就是语音、图像 ,还就是数字信号，要 利用电磁波传送到远端 ,都必须使用发射机产生信号，然后经调制放大送到天线 .

发射机一般具有频率、带宽、功率、辐射杂散等性能指标参数，发射机得实现架构可分为：超外差、零中频与数字中频等。

3.

采用级联耦合微带线带通滤波器

使用 0、25 个导波波长耦合谐振器构成得微带带通滤波器三、实验技术指标 :

1.微波带通滤波器

切比雪夫带通滤波器阶数

:4、5

中心频率 :2140MHz

3dB 带宽：

80M Hz

阻带带宽 :400MHz

带外衰减：

25dB

通带波纹：

0、1dB

插入损耗 :1dB

2.低噪声放大器

增益 :21dB

噪声系数 :2dB

3。信号源 (交流功率源)

端口：1

输出阻抗 :50

功率方程 :P=polar(db mtow( RF_p wr )， 0) 变量 RF_pwr

频率：变量 RF_fr eq MHz

4。混频器

边带：

LOWE R

转换增益：

10dB

NF：

13dB

5、本振 本振频率与输入信号频率一致。

6、移相器与功分器

四、实验内容：

1、发射机仿真电路原理图

这里发射机得设计方案将调制与上变频分开， 先在较低得中频 ( 10、7MH z)上调制，原理图中就以调制器得输出为发射机射频前端得输入 , 然后经中频放大器放大 (增益

为 5dB)再将其上变频搬移到发射得载频(

1950MHz ) 上。

二次上变频后必须再通过一个带通滤波器滤除其中得一个不必要得边带

, 然后经功

放放大到发射机需要得发射功率电平上

, 最后经过一个带通滤波器滤波后发射。

这里所用得两个带通滤波器一个设定为4阶切比雪夫带通滤波器，

一个设定5阶得，

插入损耗分别为— 1dB与 - 2dB。

上变频器得变频损耗为

-6 dB, 另外我们取振荡器输出功率为

+13dB, 本振频率为

196

0、7MHz 。输入为1、5dBm得交流信号。

2、零中频接收机频带选择性仿真

3、零中频接收机信道选择性仿真

信道选择功能主要由中频滤波器完成，对于这里得直接下变频方案就要靠基带低通

滤波器来实现 , 仿真得电路图就就是整个零中频接收机系统得原理图。

4、零中频接收机系统预算增益仿真

第二篇：大学 高等数学 竞赛训练 试题

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）

1)

解：因为

所以，原式

2)设，求。

解：因为

……

……

所以。

3)求，其中。

解：

4)求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1)如果，则

2)如果存在正整数，使得，则。

证明：1)因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2)设，则有

。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

求证：在开区间内至少存在一点，使得。

证明：因为，在之间，

所以，

其中，

又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

求证：和。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

记第一型曲面积分为。求证：

证明：当时，。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为

。

第三篇：大学新生如何学好高等数学

大学新生可能对将要学习的高等数学产生畏惧心理，因为高等数学与初等数学相比，老师的授课方式和学生的

学习方法都发生了改变，如何帮助学生适应这些转变，提高学习效果，本人就这些问题提一点建议供同学们参考：

随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大，正因如此，确立了它在学校课程中占有重要地位,因此学好数学对将来的工作有很大的帮助。但是，学生由高中转入大学后，高等数学明显显示出与中学数学的差别，对学生的学习产生一定的影响。教师适时地给与指导，对帮助新同学克服学习困难会起到积极的作用。下面，浅谈以下几点看法。

一、高等数学与初等数学的区别对刚入大学的新生来说，高等数学与初等数学的主要不同之处在于高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物，而初等数学用静止的观点研究问题。在初等数学中，研究对象基本上都是常量，而高等数学研究的对象基本都是变量，常量与变量的区别，是静止与运动观点的具体体现。另外，高等数学与初等数学相比，其概念更复杂、理论性更强、表达形式更加抽象和推理更加严谨。正是由于高等数学与初等数学存在着如此大的区别，对于刚进大学的学生来说，学习起来就相当困难，以往在中学时形成的学习初等数学的教学方法和学习方法就无法适应新的要求，所以我们应积极探索一些适合高等数学需要的教学方法和学习方法。

二、在教学中应采取的方法

1. 概念的引入要适应学生的思维发展规律美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。这说明数学学科的高度抽象性和概括性，这些特点容易让学生对于高等数学的概念理解产生困难，不能深入理解其中的内涵,造成表面的形式理解，表现在做题时仅能够解答与例题类似的习题，遇到稍微变形的题目时，就不知如何下手，不会举一反三，灵活运用解题方法。因此，在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，讲解时，尽量由浅入深，多从生活中找素材进行引入，使学生慢慢理解消化。例如，在讲解定积分的概念时，要求曲边梯形的面积，根据他们以前掌握的知识，是没法准确得到的，怎样利用他们已有的知识去解决新的问题?教师这个时候，要有目的地去引导，把曲边形分割成几个矩形，矩形的面积求法，学生是很熟悉的，把几个矩形的面积相加，就可以近似地求出曲边梯形的面积。但是还是没法知道准确值，这时教师再适当的引导，把曲边梯形再进一步分割，让学生看到分得越多，得到的值就越接近准确值，最后求极限就可以把问题解决。通过这样慢慢的引导，学生能明白概念的来龙去脉，对概念的理解会深刻一点，也容易记住概念的实质，而不再死记硬背，起到事半功倍的效果。这种让学生也参与其中而不再被动接受知识的授课方式，能促进他们从中学的那种思维方式向大学学习的思维方式转变。 2.培养学生学习的兴趣

教师讲授新知识时，要采取各种各样的方法，调动学生学习的积极性，比如上课时多和学生交流，了解他们在想什么，学习数学时有什么困难，多关心他们，师生之间融洽的关系也能使学生学习的兴趣增加。在课堂上要坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则。讲课一定要做到思路清晰、重点突出、层次分明，对于重点、难点的地方，要不厌其烦，运用各种方法，反复解释，使学生理解其精髓;对于次要、简单的地方可以一带而过，让学生课后自学。课堂上只有精讲，才能给学生留出较为充裕的时间进行消化吸收。如果讲得太细，第一是时间不允许，第二是陷入繁琐的细节，反倒使学生抓不住要领。对于学生而言，听课只是从老师那里接受到了知识，若不经过消化吸收，就永远不是自己的东西。另外适当的时候介绍一下与所学的内容相关的数学典故，可以拉近学生与数学的距离，激励他们学习的热情。在讲解有些概念的时候，我们可以引用经典例子，让学生了解数学的发展历史，这样就可以使得课堂没有那么的枯燥无味。比如我们在讲解数列极限的时候就可以引用我国古代数学家刘徽的“割圆术”来了解极限的思想方法。他在计算圆周率的时候，为了计算圆的周长，将圆六等分。作圆的内接正六边形。则此六边形就比较接近圆周了，如此逐渐倍增分点数，依次作圆的正12 边形，正24 边形，正48 边形等等。刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，就是说，分点数越多，所作的圆内接正多边形越接近圆周。如此一直下去，则圆内接正多边形无限地接近圆周。当分割越多时，内接正多边形与圆的差异就越小，当无限增多时，则就无限接近圆的周长。在数学上我们就把这个精确的量称为数列的极限。这样给出数列极限的定义就避免了枯燥、太笼统，也使得学生产生了对数列极限学习的兴趣。老师还可以启发学生自己举出身边的一些有关数列极限的例子，从而增加课堂学习的气氛和乐趣。总之，让学生觉得高等数学并非深不可测，增强他们学习的自信心，逐渐适应高等数学的学习。只要因材施教，善于总结经验，找到适合学生特点的教学方法，就能使学生尽快适应高等数学的学习，取得良好的教学效果。

3. 引导学生尽快调整心态

学生的心态是影响听课效果的重要因素之一，教学是教师和学生互相适应的过程，大一学生刚从中学升入大学，对于大学数学课堂教学还不太适应，对于教师的依赖心理较强。一部分学生期望教师把知识讲深讲透，课堂完全解决问题，这种心理不能很好地适应大学的教学特点。教师要注意引导学生调整学习心态和学习方法，主动地适应大学数学的课堂教学，培养他们自学的能力，在教学中要允许学生有一个适应过程。在第一学期刚开学的前几周，我们注意到了由中学到大学应有一个衔接过程，讲课进度稍慢，较难的内容讲得详尽些，随着学生对大学数学的课堂教学的适应，讲课进度随之加快，并着重分析基本方法、重点和难点。如果学生能够尽快地调整好心态，主动适应大学数学的课堂教学，不仅能够使教师更好地发挥自己的教学特长，而且可以帮助学生培养学习能力，注意这一点，就会使课堂教学取得更好的效果。

三、要引导学生建立良好的学习习惯

古人曰：“凡事预则立，不预则废”。学习中也同样适用，也就是说在学习中预习也是很重要的，预习可以提高课堂学习质量，因为提前把知识点看过后，老师在讲新内容时，可以跟得上老师的思路，不至于遇到稍不理解的地方时，就对继续听讲产生障碍，从而不明白的问题越来越多，业余时间就需要花费大量时间理解、消化。另外带着问题听课，可以集中精神，把主要精力用在“刀刃”上。从小上学我们就提倡课前预习、课堂上认真听讲，课后复习巩固，这样的好习惯在我们学习高等数学时同样很有效，预习首先应从总体上把握所学内容，把以前与之有联系的内容浏览一遍。看哪些内容是自己学过的，哪些是自己新接触的，分析新知识与以前学的知识有什么联系和区别，比如预习“数列的极限” 一节时就要比较和高中所学的数列的极限有什么区别和联系，在听课时就可以有目的的听讲，看老师的讲解和自己的分析有什么相同和不同，仔细领会新学知识的要点。上课时一定要精神饱满、专心听讲，紧跟老师的思路，积极思考老师上课时提出的问题，遇到不理解的地方，一定和老师多交流，及时把问题解决，以免问题越积越多，影响后续课程的学习。课后复习巩固同样很重要，因为大学数学与高中数学教学相比，课时明显减少，一节课讲的内容较多，老师课后也不可能象高中那样安排时间领着学生复习，所以学生必须在课余时间自己复习巩固所学知识。课后一定要自觉的多做一些练习题，因为做练习不仅可以加深对内容的理解，使所学知识更加牢固，而且做练习题还可以检验自己掌握知识的程度。千万记住课前预习、课堂上认真听讲、课后复习巩固，三者缺一不可，在学习中切记不可偷懒，一步一个脚印，尽快适应高等数学的学习。另外，学生自己也应从心理上适应大学的数学学习。因为高等数学与初等数学相比，概念复杂、理论性强、推理严谨，这些特点很容易使学生对学好数学缺乏信心，进而对数学学习产生抵触情绪。要克服这种情绪，首先就要学生增强学好数学的自信心，克服害怕厌倦的心理，这是学好数学的前提。要消除这种消极的思想就要求学生在学习中能够懂得数学、应用数学，培养喜欢数学的兴趣，把握学习的主动权，提高学习的自觉性。

总之，刚跨入大学校门的大一学生，应尽快找到中学数学和高等数学的衔接点，尽快适应从中学到大学的转变。

第四篇：华南理工大学高等数学教学课件7

第三节

函数的极限

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 ：设函数fx当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0(任意小)总存在正数X，当xX时，一定有

fxA

那么常数A称为函数fx当x时的极限，记为limxfxAfxAx。

6x51例1 ：证明 1)limxx6 ; 2)limxax10a1 证明：1)对于任给的(任意小)0，

6x555x6xx 取X5，当xX时有

6x5x6 所以lim6x5xx6。(如图6) 注 1：直线y6称为函数y6x5x的水平渐近线。 2)对于任给的(任意小)0， 111要使ax1，即1ax1aloga1axaloga1

当0a1时，指数函数是递减的，所以

loga11xloga1 令Mmax1,1loglog，则当Mxx0时有

a1a1，或loga111loga1 xM当xMx0时有

loga111loga1 Mx即当xM时总有

loga11x1loga1 xa1

1xa10a1。 所以limx注2:x有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数fxarctanx(如图7)。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。

注 3：当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xXfxA。 ，极限记为xlim当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xX，fxA。 极限记为xlim例2：证明：xlimsinx0 x证明：对于任给的(任意小)0，

sinxsinx10 xxx取X，当xX时有

sinx0 x1所以xlimsinx0。 x

二、自变量趋于有限值时函数的极限

1)、函数极限的定义

定义 ：设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数(任意小)，总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值fx都满足不等式

fxA

fxA，或那么常数A就叫做函数fx当xx0的极限。记为xlimx0fxA,xx0。

x212例3 ：证明 lim。 x12x2x13证明：对于任给的(任意小)0，

x1x12x12x11x1 x2122x2x132x1x132x1332x16x3令x1，则有1xx1x

x21211x1x1x1 26x32xx136x3取min,，当0x1时有

13131323x212 22xx13x212所以lim。 x12x2x132例4：证明lim1x21x0。

xx0证明：对于任给的(任意小)0， 1x1x2202x2x01x1x220xx01x20xx0

令xx01，则有xx0xx01x1x0

21x21x0xx01x20xx012x01x20xx0

21x0取min1,，当0xx0时有

12x021x21x0

2所以lim1x21x0。

xx0cosxcosx0。 例5：证明xlimx0证明：证明：对于任给的(任意小)0，

cosxcosx02sinxx0xx0xx0sin2sinxx0(注解) 222取，当0xx0时有

cosxcosx0

cosxcosx0。 所以xlimx0注4：函数极限的几何意义(如图9)。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数2x1fx2x3x0x0当x0时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。(如图10)

注5：当x从右边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0(去心邻域)改为x0xx0(右

fxA或fxA,xx0改为limfxA或半邻域);把xlimx0xx0; fxA,xx0 当x从左边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0(去心邻域)改为x0xx0(左半邻fxA或fxA,xx0改为limfxA或域);把xlimx0xx0。 fxA,xx0例6：证明：limx2x24x4x424

证明：对于任给的(任意小)0，

x24x4x424x24x2(注意x2)

取，当2x2时有

x24x4x424

所以limx2x24x4x424。

2)、函数极限的性质

性质1 ：(唯一性)如果数A,B是函数fx当xx0时的极限，则一定有AB。

证明 ：假设AB。无妨设AB，取所以存在正数1，当xx01时有

fxAAB 2ABfxA，。因为xlimx02fxB，因此存在正数2，当xx02时有 又因为xlimx0fxBAB 2取max1,2，当xx0时有

ABfxBfxAfxBfxAAB

这是一个矛盾，从而证明AB成立。

fxA，则存在正数,M，当性质2 ：(局部有界性)如果xlimx00xx0时，一定有fxM。

fxA，取1，则存在正数，当0xx0证明 ：因为xlimx0时有

fxA1

即有

fxAfxA1fx1A

取

M1A

则得所证结论。

fxA而且A0(或A0)那么就性质3：(局部保号性)如果xlimx0存在着点x0的某一去心邻域当x在该邻域内时就有fx0(或。 fx0)证明 ：如果A0，我们取存在正数当0xx0时有

fxAA 2AfxA，所以一定，因为xlimx02即有fxAAA0。 22性质4：如果在x0的某个去心邻域内有fx0(或fx0),而且xx0limfxA，那么A0(或A0)。 证明 ：设当0xx0时有fx0。用反证法，假设这时有A0，根据性质A0。▍ 3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以作业：1题

1、4小题、2题

1、2小题、5题、7题。

思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤?处理这个步骤你有何经验?

第五篇：华南理工大学高等数学教学课件8

第八节

连续函数

一、函数连续的定义。

定义1：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当自变量的增量x趋近零时，函数增量y也趋近于零。即

x0limylimfx0xfx00

x0则称函数fx在x0处连续。

因为xxx0，当x0时，有xx0。因此我们有：

x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0xx0limfxlimfxfx0fx0fx0

xx0fxfx0。则有： 反之，如果有xlimx0x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0因此对于函数的连续性还有以下定义：

定义2：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当x趋近x0时，

fxfx0。函数fx的极限为fx0。即xlim则称函数fx在点x0连续。 x0我们还可以用“”语言来定义连续。

定义3：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。对于任给的0，一定存在0。当时xx0有

fxfx0

则称函数fx在点x0处连续。

定义4：如果函数fx在开区间I内每一点处都连续，则称函数是开区间I上的连续函数，并称开区间I是fx的连续区间。 如果函数fx在一闭区间a,b上有定义，因此函数fx在a和b处分别只可能存在右极限和左极限。此时如果

falimfxfafblimfxfb 或xaxb则分别称函数fx在a或b处连续。

定义5：(左连续和右连续)如果函数fx在x0的一个左半邻域内(右半邻域内)有定义。如果

fx0limfxfx0(或fx0limfxfx0 xx0xx0则称函数fx在点x0左连续(或右连续)。

注：函数在一点连续的充分必要条件为在此点左连续且右连续。

例1 ：证明 函数fxsinx在其定义域,内是连续的。 证明 ：因为

ysinxxsinx2sinxxcosx 220y2sinxxxcosx2sinx 222limy0。即函数fxsinx在其定义域利用夹逼准则有，x0,内是连续的。

x1axb例2 ：fx2，问a,b取何值时，fx在x1和x2x2x1x1处连续。

解：要使fx在x1和x1处连续，则要有

limfxf1ab，limfxf1ab

x1x1利用连续与左连续、右连续的关系

limfxlimfxlimfxab x1x1x1x1limfxlimfxlimfxab

x1x1得方程组

1ab 3ab解得a2,b1。

二、连续函数运算性质

定理1：

1)有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。 2)有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。 3)两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。 我们证明3)。

fxfx0,limgxgx00，证明 ：已知xlim则milxxx00xx0fxfx0。 gxgx0利用极限的除法运算法则得

limfxfxfxxx00 limxx0gxlimgxgx0xx0注：正切和余切函数在其定于域上是连续的。

定理2：如果函数x在x0处连续，且x0u0，函数fu在u0处连续，则复合函数fx在x0处连续。

fufu0,limxx0，利用复合函数求极限证明：因为ulimuxx00法则

limfxflimxfx0 xx0xx0

定理3：(反函数的连续性)设yfx在a,b上连续，且严格单调增(或减)，记faA,fbB。则

1)yfx在区间A,B(或B,A)上存在反函数xgy; 2)xgy在区间A,B(或B,A)上严格单调增(或减); 3)xgy在区间A,B(或B,A)上连续。

证明：1)要说明对每一个yA,B(或yB,A)都有唯一的(这样用到闭区间上连续函数的性质，以后xa,b，使得fxy。再证明)

2)若y1,y2B,A，且y1y2。如果x1gy1x2gy2 由于yfx严格单调减y1fx1y2fx2，这与已知矛盾。所以x1gy1x2gy2，即xgy在B,A上严格单调减。

gygy0 3)对任给的y0B,A，我们要证明ylimy0对任给的0，要使xx0当充分小时，去掉绝对值后有

ax0xx0b

设y1fx0,y2fx0，由单调性(严格单调减)有

y2yy1

y2y0yy0y1y0

因为x0x0x0，由单调性(严格单调减)有y2y0y1 所以y2y00,y1y00。取miny0y2,y1y0，当yy0时有

y2y0yy0y1y0

y2yy1 由xgy的单调性(严格单调减)有

x0xx0

xx0

gygy0。 所以ylimy0在端点处只需考虑半个邻域，证明类似。这里从略。 注：反三角函数在其定义域上是连续的。 定理4：初等函数在其定义区间上是连续的。

三、函数的间断点

函数fx在x0的某去心邻域有定义，但在x0点不连续。主要有下面三种情况： 1) 2) 3) 函数fx在x0点处无定义。

fx不存在。 函数fx在x0点处有定义，但xlimx0fx存在，但limfx不等函数fx在x0点处有定义，且xlimxxx00于fx0。

例3 ：考虑函数fxx0x0在x0处的连续性。 x0解：fx在x0处无定义。所以不连续。(如图17)

1例4 ：考虑符号函数sgnx01x0x0在x0处的连续性。 x0sgnx不存在。所以不连续。解：lim(如图18) x0x例5 ：考虑函数fx3x0在x0处的连续性。 x0fx0f03。所以不连续。解：因为lim(如图19) x0以上所给的例子函数虽在x0处不连续，但在x0处的左极限和右极限都存在。这类不连续点称为第一类间断点。其他情况称为第二类间断点。

例6 ：因为limtanx,所以xx22是函数ytanx的间断点。(无穷间断点)(如图20)

sin，所以x0是函数ysin的间断点。例7 ：因为lim(振荡间x01x1x断点)(如图21)

四、闭区间上连续函数的性质

1、最大值何最小值定理。

定义1：函数fx在开区间I上有定义，如果存在x0I使得对一切xI都有

fxfx0

(或fxfx0)

则称fx0是函数fx在开区间I上的最大值(或最小值)。

定理1：(最大值与最小值定理)如果函数fx在闭区间a,b上连续，则存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2。

证明 ：略。

定理2：若函数fx在闭区间a,b上连续，则函数fx在闭区间a,b上必有界。

证明 ：因为函数fx在闭区间a,b上连续，由定理1，存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2，即fx在a ,b上既有上界又有下界，所以函数fx在闭区间a,b上必有界。

2、介值定理

定理3：(零点定理)若函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，则在开区间a,b内至少存在一点使得f0。

证明 ：略。

例8：证明方程exx有小于1的正实跟。

证明：在闭区间0,1考虑函数fxexx，fxexx是初等函数且在0,1有定义，因此fxexx在闭区间0,1连续。

又因为f010,f110，由零点定理，方程exx有小于1的正实跟。

1e定理4：(介值定理)设函数fx在闭区间a,b上连续，又faA，fbB，且AB。若C是A,B之间任一实数，则在开区间a,b至少存在一点，使得

fCab

证明：考察函数xfxC，显然函数x在闭区间a,b上连续，且a0,b0;根据零值定理，在开区间a,b至少存在一点使得0即有

fCab

推论：设函数fx在闭区间a,b上连续，M,m分别为函数fx在闭区间a,b上的最大值与最小值，则对于M,m之间的任意实数u，在开区间a,b至少存在一点使得fuab。

证明：设fx1M,fx2m，无妨设x1x2，则有x1,x2a,b 因此fx在x1,x2是连续的。由介值定理，对于M,m之间的任意实数u，至少存在一点

x1,x2a,b

使得fu。

注：如果yfx在a,b上连续，且严格单调增(或减)，记faA,fbB。则A,B就是最大值和最小值，因此A,B之间的任何数y，都存在xa,b有fxy。由单调性可得唯一性。

fx存在，例9：若fx在区间[a,)上连续，且xlim试证明fx是区间 [a,)上的有界函数。

例10：证明：证明：方程xasinxba0,b0至少有一个正根，并且不超过ab。

例11：若函数fx在闭区间a,b上连续，acdb ，kfcfd，证明存在一个a,b，使得k2f。

作业1：习题1-8：1题：

2、3小题;2题：

3、

4、6小题;3题：3小题

作业2：4题：

1、

4、6小题;12题;13题。