函数单调性与导数教案

在教学工作者开展教学活动前，时常需要用到教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。那么教案应该怎么写才合适呢？下面是小编精心整理的《函数单调性与导数教案》的相关内容，希望能给你带来帮助!

第一篇：函数单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教学反思

一节课下来暴露了许多问题：

1、学生对函数的单调性有所遗忘，不会求单调区间。

2、学生对导数的几何意义不能深入理解。

3、学生对求导公式掌握不够熟练，求导出现错误。

4、教师所设计的问题难度偏大，练习题目过少。

5、学生的讨论与参与不够主动。 补救措施：

在下一节应用课多设计一些基础性典型问题及题目，注重层次性教学，对学生多鼓励、多引导、多练习、多参 与。注重对学生的思维训练和数学思想方法的总结;注重夯实基础，为今后的学习打好基础。

第二篇：函数的单调性与极值教案

目的要求

1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.

2.弄清函数极值与最值的区别与联系.

3.养成整体思维的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.

内容分析

1.教科书结合函数图象，直观地指出函数最大值、最小值的概念，从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.

2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的.

3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.

4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.

5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.

教学过程

1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤.

②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.

2.提出问题(用字幕打出)

①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?

②x=a、x=b是不是极值点?

③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?

④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解?

3.分组讨论，回答问题

①学生回答：f(x2)是极大值，f(x1)与f(x3)都是极小值. ②依照极值点的定义讨论得出：f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.

③直观地从函数图象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.

(教师在回答完问题①②③之后，再提问：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)

④与学生共同讨论，得出求函数最值的一般方法：

i)求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);

ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

4.分析讲解例题

例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.

板书讲解，巩固求函数最值的求导法的两个步骤，同时复习求函数极值的一般求法.

例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积为多少?

用多媒体课件讲解：

①用课件展示题目与水箱的制作过程.

②分析变量与变量的关系，确定建模思想，列出函数关系式V=f(x)，xD.

③解决V=f(x)，xD求最值问题的方法(高次函数的最值，一般采用求导的方法，提醒学生注意自变量的实际意义).

④用几何画板平台验证答案.

5.强化训练

演板P68练习

6.归纳小结

①求函数最大值与最小值的两个步骤.

②解决最值应用题的一般思路.

布置作业

教科书习题2.5第4题、第5题、第

6题、第7题.

第三篇：高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性(一) 教案 北师大选修2-2

3.1.1 导数与函数的单调性

教学过程： 【引 例】

1、 确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。 问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数?

2、研究函数的单调区间你有哪些方法?

都是反映函数随自(1) 观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)

变量的变化情况。 (2) 利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)

322、确定函数f(x)=2x-6x+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?

(1) 能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生：解决了吗?到哪一步解决不了?(产生认知冲突)

(2) (多媒体放映)

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x-6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

(研究的必要性)事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手?(图象) 从函数f(x)=2x-6x+7的图象吗?

1、研究二次函数yx4x3的图象; (1) (2) (3) (4) (5) 学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? (开口方向，对称轴)既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律? 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结)： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负; 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正;

注：切线斜率等于0，即其导数为0;如何理解?

②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?

2、先看一次函数图象;

3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证) (1) 观察三次函数yx的图象;(几何画板演示)

(2) 观察某个函数的图象。(几何画板演示)

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

- 13

∴y=x-9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(-∞，2) 令3(x-2)(x-4)<0，解得20，解得-11或x<-1. 3∴y=3x-x的单调减区间是(-∞，-1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是( ) 32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系? 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【思考题】

32对于函数f(x)=2x-6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图? 思考

2、2x76x在区间(0，2)内有几个解? 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

用心

第四篇：2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版

[第5讲 函数的单调性与最值]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1.下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1f(x2)”的是()

1A.f(x)=x

B.f(x)=(x-1)

xC.f(x)=e

D.f(x)=ln(x+1)

12.函数f(x)=1-在[3，4)上() 2x

A.有最小值无最大值

B.有最大值无最小值

C.既有最大值又有最小值

D.最大值和最小值皆不存在

3.[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为()

A.y=cos2x，x∈R

B.y=log2|x|，x∈R且x≠0

x-xe-eC.y=x∈R2

3D.y=x+1，x∈R

4.函数f(x)=x

x+1________.

能力提升

5.[2013·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)=0，函数g(x)在(-∞，1]上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，且g(4)=g(0)=0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}=()

A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}

C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4}

6.[2013·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，5则f-=() 211A24

11C.D.42

1x27.[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y=2

1A.(-∞，1)B.，1 2

11C.，1D.，+∞ 22

x

的值域为()

8.[2013·惠州二调] 已知函数f(x)=e-1，g(x)=-x+4x-3，若有f(a)=g(b)，则b的取值范围为()

A.(2-2，2+2)B.[22，22] C.[1，3]D.(1，3)

xa(x<0)，

9.[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)=满足对任

(a-3)x+4a(x≥0)

f(x1)-f(x2)

意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是()

x1-x2

A.(3，+∞)B.(0，1) 1C.0D.(1，3) 4

1110.若函数y=f(x)的值域是，3，则函数F(x)=f(x)+________. f(x)2

112

11.若在区间，2上，函数f(x)=x+px+q与g(x)=x+在同一点取得相同的最小

x2

值，则f(x)在该区间上的最大值是________.

12.函数y=

x

x+a

(-2，+∞)上为增函数，则a的取值范围是________.

1+x

13.函数y=的单调递增区间是________.

1-x14.(10分)试讨论函数f(x)=

15.(13分)已知函数f(x)=a-|x|

(1)求证：函数y=f(x)在(0，+∞)上是增函数;

(2)若f(x)<2x在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

x

x+1

难点突破

16.(12分)已知函数f(x)=

x2

x-2

x∈R，且x≠2).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若函数g(x)=x-2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值.

课时作业(五)

【基础热身】

1.A [解析] 由题意知，函数f(x)在(0，+∞)上是减函数.而反比例函数f(x)=在

x

(0，+∞)上是减函数.故选A.

2.A [解析] 函数f(x)在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.

3.B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C，D，又∵y=cos2x为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.

方法二：由偶函数定义知y=log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增.

1x4. [解析] 因为x≥0，当x=0时，y=0不是函数的最大值.当x>0时，f(x)=2x+1111=x+2，当且仅当x=1时等号成立，所以f(x)≤12xx+

x

【能力提升】

5.A [解析] 由题意，结合函数性质可得x>1时f(x)>0，x<1时f(x)<0;x<0或x>4时g(x)<0，00，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}.

5111

6.A [解析] 因为函数的周期为2，所以f=f2+=f2222

155∴f-=-f=-A. 222

11111t1011t2

7.C [解析] 因为x+1≥1，所以0<21，令t=2，则≤<，≤<1，

x+1x+122222

所以≤y<1.故选C.

x22

8.A [解析] 由题可知f(x)=e-1>-1，g(x)=-x+4x-3=-(x-2)+1≤1，若

有f(a)=g(b)，则g(b)∈(-1，1]，即-b+4b-3>-1，解得22

x

9.C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数，所以x<0时，f1(x)=a为减函

数，则a∈(0，1);x≥0时，f(x)=(a-3)x+4a中a-3<0，且f(0)=(a-3)×0+4a≤a，

11

得a≤综上知0

44

1101110.2， [解析] 令f(x)=t，t∈3，问题转化为求y=t+t∈，3的值

3t22

域.

1110因为y=t+在1上递减，在[1，3]上递增，所以y∈2，.

3t2

x·2，当x=1时等号成立，所以x=1时，g(x)

xx

p4q-p

的最小值为2，则f(x)在x=1时取最小值2，所以-12.解得p=-2，q=3.

11.3 [解析] g(x)=x+≥2

12

所以f(x)=x-2x+3，所以f(x)在区间2上的最大值为3.

2

12.a≥2 [解析] y=

x

x+a

1-

a

x+a

(-2，+∞)上为增函数，所以a>0，

所以得函数的单调增区间为(-∞，-a)，(-a，+∞)，要使y=增函数，只需-2≥-a，即a≥2.

x

x+a

在(-2，+∞)上为

1+x

13.(-1，1) [解析] 由得函数的定义域为(-1，1)，原函数的递增区间即为

1-x

1+x1+x2

函数u(x)=在(-1，1)上的递增区间，由于u′(x)=′=2故函数u(x)

1-x1-x(1-x)

1+x=的递增区间为(-1，1)，即为原函数的递增区间. 1-x

14.解：f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1

x1x2(x1-x2)(1-x1x2)

有f(x1)-f(x2)2-2=， 2

x1+1x2+1(x21+1)(x2+1)22

其中x1-x2<0，x1+1>0，x2+1>0.

①当x1，x2∈(-1，1)时，即|x1|<1，|x2|<1，所以|x1x2|<1，

则x1x2<1，1-x1x2>0，f(x1)-f(x2)<0，f(x1)

1-x1x2<0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)为减函数.

综上所述，f(x)在(-1，1)上是增函数，在(-∞，-1]和[1，+∞)上是减函数.

15.解：(1)证明：当x∈(0，+∞)时，f(x)=a

x

设00，x2-x1>0.

1111x1-x2

∴f(x1)-f(x2)=a-a=-<0. 1

(2)由题意a-<2x在(1，+∞)上恒成立，

x1x2x2x1x1x2

∴f(x1)

x

设h(x)=2x+，则a

x

可证h(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以a≤h(1)，即a≤3.

所以a的取值范围为(-∞，3]. 【难点突破】

x2[(x-2)+2]4

16.解：(1)f(x)==(x-2)+4，

x-2x-2x-2

令x-2=t，由于y=t+4在(-∞，-2)，(2，+∞)内单调递增，

t

在(-2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(4，+∞);单调递减区间为(0，2)，(2，4).

(2)∵f(x)在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[-1，0]， 即x∈[0，1]时，g(x)∈[-1，0].

∵g(0)=0为最大值，∴最小值只能为g(1)或g(a)，

a≥1，

若g(1)=-1，则⇒a=1;

1-2a=-11≤a≤1，

若g(a)=-1，则2⇒a=1.

-a2=-1

综上得a=1.

第五篇：示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时）

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为10000x

2m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+

10000x),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题. 思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征?

①f(x)=-x+3;②f(x)=-x+3,x∈[-1,2]; ③f(x)=x+2x+1;④f(x)=x+2x+1,x∈[-2,2]. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.

22

2图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系?

③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C?

图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?

⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征? ⑦函数最大值的几何意义是什么? ⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么? ⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点? ⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方?

讨论结果: ①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. ②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小. ③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. ④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立. ⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. ⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M. ⑦函数图象上最高点的纵坐标. ⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点. ⑨不是，因为该函数的定义域中没有-1. ⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点. 提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义. ②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么?

活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值. 讨论结果：①函数最小值的定义是: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，称M是函数y=f(x)的最小值. 函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标. ②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点. 应用示例

思路1 例1求函数y=2x1在区间[2，6]上的最大值和最小值. 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x1的图象，只取在区间[2，6]上的部分.观察可得函数的图象是上升的. 解：设2≤x1

2[(x21)(x11)](x11)(x21)=

2(x2x1)(x11)(x21)

∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0. ∴f(x1)>f(x2),即函数y=

2x1在区间[2，6]上是减函数.

2所以，当x=2时，函数y=当x=6时，函数y=2x1x1在区间[2，6]上取得最大值f(2)=2;

25在区间[2，6]上取得最小值f(6)= . 变式训练

1.求函数y=x2-2x(x∈[-3,2])的最大值和最小值_______. 答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1. 2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是. 分析：(换元法)转化为求二次函数的最小值. 设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，

又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数， 则当t=0时，函数y=t+2t-1(t≥0)取最小值-1. 所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是-1. 答案：-1 3.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象，指出函数的单调区间和最大值. 分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象;借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间. 解：函数图象如图1-3-1-13所示. 2

图1-3-1-13 由图象得，函数的图象在区间(-∞，-1)和[0，1]上是上升的，在[-1，0]和(1，+∞)上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在(-∞，-1)，[0，1]上是增函数;函数在[-1，0]，(1，+∞)上是减函数，最大值是4. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题. 单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地

2面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?

活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值;“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值;转化为求函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值. 解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度. 2

2图1-3-1-14 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有： 当t=14.72(4.9)=1.5时，函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m. 点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论. 注意：要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(

) A.323cm2

B.4cm2

C.32cm2

D.23cm2

解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=34x2+

34(4-x)2=

32(x-2)2+23≥23. 当x=2时，S取最小值23m2.故选D. 答案：D 2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润. 分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润=(售价-进价)×销售量. 解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则 y=(x-8)[60-(x-10)·10]

=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10

思路2 例1已知函数f(x)=x+1x,x>0，

(1)证明当00的最小值. 活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.(1)利用定义法证明函数的单调性;(2)应用函数的单调性得函数的最小值. (1)解：任取x

1、x2∈(0，+∞)且x1

1x1)-(x2+

1x2)=(x1-x2)+

x2x1x1x2=

(x1x2)(x1x21)x1x2，

∵x10. 当0

∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2)，即当00， ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)

1x1x,x>0取最小值.

,x>0取最小值是2.

1x解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，

图1-3-1-15 由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+

1x,x>0取最小值f(1)=2. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”;三个步骤缺一不可. 利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法. 图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值. 变式训练 1.求函数y=3x12x(x≥0)的最大值. 3x12x解析:可证明函数y=∴函数y=3x12x(x≥0)是减函数，

(x≥0)的最大值是f(0)=3. 2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值. 2x,解法一：(图象法)y=|x+1|+|x-1|=2,2x,x1,1x1,其图象如图1-3-1-16所示. x1,

图1-3-1-16 由图象得，函数的最小值是2，无最大值. 解法二：(数形结合)函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值. 3.2007天利高考第一次全国大联考(江苏卷)，11设0

14≤

14, 例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少? 活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键. 解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，

则每个涨(x-50)元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个). ∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x<100). ∴当x=70时,ymax=9000, 即为了赚取最大利润，售价应定为70元. 点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论. 注意：要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大?

解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元. 由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab100001212时，该[-mx2+100(1-m)x+10 000]. ab20000当m=时,y=[-(x-50)2+22 500]，

98则当x=50时，ymax=ab. 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大. 2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：1400xx2,R(x)=280000,0x400,x400,其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数. (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润). 分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.(1)利润=总收益-总成本;(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值. 解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，

12x300x20000,0x400,从而f(x)=2

x400.60000100x,12(2)当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)+25000;

2当x=300时，有最大值25000; 当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数; 又f(x)<60000-100×400<25000, 所以，当x=300时，有最大值25000, 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 知能训练

课本P32练习5. [补充练习]

2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m≥0)满足x=32m1.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数; (2)求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元?

分析：(1)年利润=销售价格×年销售量-固定投入-促销费-再投入，销售价格=1.5×每件产品平均成本;(2)利用单调法求函数的最大值. 解：(1)每件产品的成本为y=1.5×816xx816xx元，故2007年的利润

2m1×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(316m116m1)-m=2816m1-m(万元)(m≥0).

16m1(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m取最大值21(万元).

-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28拓展提升 问题：求函数y=1xx12的最大值. 探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，

图1-3-1-18 故图象最高点是(则函数y=1xx121423,).

43的最大值是. (方法二)函数的定义域是R， 可以证明当x<当x≥1212时，函数y=

11xx12是增函数;

时，函数y=12则当x=时，函数y=xx1122是减函数. 取最大值

43xx1, 即函数y=1xx112的最大值是

43. (方法三)函数的定义域是R， 由y=xx12,得yx2+yx+y-1=0. ∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，

当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域. 当y≠0时，则关于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程， 则有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0

243. 的最大值是

43.

axdx22点评：方法三称为判别式法，形如函数y=

bxcexf(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，n24mk0,解不等式组

m0.2m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值. 课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值;(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法;(3)求函数最值时，要注意函数的定义域. 作业

课本P39习题1.3A组

5、6.

设计感想

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： (1)在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入. (2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤. 备课资料

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间[a,b]上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)=kb，最小值为f(a)=ka;当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)=ka，最小值为f(b)=kb. 2.反比例函数：y=kx(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间[a,b](ab>0)上

kx存在最值，当k>0时，函数y=数y=kx的最大值为f(a)=

kaka，最小值为f(b)=

kb;当k<0时，函的最大值为f(b)=

kb，最小值为f(a)=. 3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间[m,n]上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)=km+b;当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)=km+b，最小值为f(n)=kn+b. 24.二次函数：y=ax+bx+c(a≠0):

当a>0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f(2

b2ab2a)=

b4ac4ab4ac4a22，无最大值;

当a<0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f(2

)=，无最小值. 二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax+bx+c(a>0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况： (1)若b2a2

2apq2pq2b2a时，则f(x)max=f(q); =<时，则f(x)max=f(p)=f(q); 0)在闭区间[p，q]上的最大值

b2a2是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f();当b2a[p,q]时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a

2>0)在闭区间[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值. (设计者：方诚心)