图形中的点、线运动, 构成了数学中的一个新问题--动态几何。它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时, 要充分发挥空间想象的能力, 不要被“动”所迷惑, 而是要在“动”中求“静”, 化“动”为“静”, 抓住它运动中的某一瞬间, 寻找确定的关系式, 就能找到解决问题的途径。本文重点探究动态几何中的第一种类型——动点问题。
例:如图1, 在等腰梯形ABCD中, AD∥BC, AB=DC=50, AD=75, BC=135。点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动, 过点Q向上作射线QK⊥BC, 交折线段CD-DA-AB于点E。点P、Q同时开始运动, 当点P与点C重合时停止运动, 点Q也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒 (t>0) 。
(1) 当点P到达终点C时, 求t的值, 并指出此时BQ的长;
(2) 当点P运动到AD上时, t为何值能使PQ∥DC?
(3) 设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S, 分别求出点E运动到CD、DA上时, S与t的函数关系式; (不必写出t的取值范围)
(4) △PQE能否成为直角三角形?若能, 写出t的取值范围;若不能, 请说明理由。
解: (1) t= (50+75+50) ÷5=35 (秒) 时, 点P到达终点C,
此时, QC=35×3=105, ∴BQ的长为135-105=30。
评析:第一问较为简单, 路程175, 运动速度每秒5个单位, 时间很容易得到, 学生得分情况较好。
(2) 如图2, 若PQ∥DC, 又AD∥BC, 则四边形PQCD为平行四边形, 从而PD=QC, 由QC=3t, BA+AP=5t, 得50+75-5t=3t, 解得t=125/8。经检验, 当t=125/8时, 有PQ∥DC。
评析:第二问在第一问的基础上上了一个台阶, 首先要求学生在仔细审题, 进而画出图8。其次, 要使得四边形PQCD为平行四边形, 则要求学生会用含有t的代数式表示PD与QC。最后求出t的值。
(3) (1) 当点E在CD上运动时, 如图3。分别过点A、D作AF⊥BC于点F, DH⊥BC于点H, 则四边形ADHF为矩形, 且△ABF≌△DCH, 从而FH=AD=75, 于是BF=CH=30。∴DH=AF=40。又QC=3t, 从而QE=QC·tan C=3t·DH/CH=4t∴S=S⊿QCE=1/2QE·QC=6t2;
(2) 当点E在DA上运动时, 如图2。过点D作DH⊥BC于点H, 由 (1) 知DH=40, CH=30, 又QC=3t, 从而ED=QH=QC-CH=3t-30。 ∴S=SQCDE=1/2 (ED+QC) DH=120 t-600。
评析:第三问主要考查学生分类讨论的思想, 对用含有t的代数式表示线段的要求有了进一步的提高。
(4) △PQE能成为直角三角形。当△PQE为直角三角形时, t的取值范围是0
解法如下:
(2) 当点P、E都在AD (不包括点A但包括点D) 上, 即10
(3) 当点P在DC上 (不包括点D但包括点C) ,
即25
由ED>25×3-30=45, 可知, 点P在以QE=40为直径的圆的外部, 故∠EPQ不会是直角。由∠PEQ<∠DEQ, 可知∠PEQ一定是锐角。对于∠PQE, ∠PQE≤∠CQE, 只有当点P与C重合, 即t=35时, 如图5, ∠PQE=90°△PQE为直角三角形。
综上所述, 当△PQE为直角三角形时, t的取值范围是0
评析:第四问的要求最高, 达到了选拔学生的目的, 分类讨论情况更为复杂, 自变量的取值范围更加细化。这需要细审题, 尽量从题目中提取有用信息, 化繁为简, 数形结合, 从文字到图形, 再从图形到文字, 深入、细致的考虑问题。需要动态问题静态化:找出特定时间, 特定图形的变量关系。如上题中第二问t为何值能使PQ∥DC?只有一个时间点, 就是使得四边形PQCD为平行四边形时, 而此时, 又有PD=QC, 进而可求
总之, 动态几何题型多样, 涉及知识点多, 包括图形的平移、翻转、剪切、拼接都可以归为此类。只要在数学学习中重视基础知识和基本技能的培养和训练, 重视学生的探究活动, 重视多媒体的使用, 不断提高学生数学思维品质, 就能提高学生处理此类问题的能力。
摘要：本文重点探究几何中的动点问题。解这类问题时, 要充分发挥空间想象的能力, 不要被“动”所迷惑, 而是要在“动”中求“静”, 化“动”为“静”, 抓住它运动中的某一瞬间, 寻找确定的关系式, 从而找到解决问题的途径。
关键词：初中数学,动点问题,解题策略