高中数学不等式的证明

第一篇：高中数学不等式的证明

高中数学2.5不等式的证明教案

2.5不等式的证明

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

(一)作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，

也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号(将差和0作比较)，从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数

的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

1 / 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

(二)作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

2 / 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若

，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知(1)

，求证：

(2)

证：(1)

3 / 6 (2)

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有 ，如果有

，那么只要证明了

，就有

4 / 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

5 / 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用

6 / 6

第二篇：高中理科数学第一轮复习：不等式的证明(二)

不等式的证明(二)

【知识点精讲】

1. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

2. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【例题选讲】

(一).复习:不等式证明三种主要方法,然后讲P89例1例2 例1

(P89)

1设实数x.y 满足y+x=0,0

8

2xy例2.已知a.b.cR,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c)

1。 2(二)其它方法: 2例

3、已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于

1”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成2的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。 【证明】(反证法)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于

1，则 2|f(1)|2|f(2)||f(3)|2，

而 |f(1)|2|f(2)||f(3)||f(1)f(3)2f(2)|

|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，相互矛盾

∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于

1。 2[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。 例

4、(1)设x,yR，且x2y21，求证：|x22xyy2|2 ;

1 322

2 (2)设a,b,cR，且abc1，求证：abc【证明】 (1)设xrsin,yrcos,且|r|1 则|x22xyy2|r2|cos22sincossin2| ， =r|cos2sin2|(2)设a22r2|sin(24)|2。

111,b,c， 333∵abc1，∴0 。 于是abc

[思维点拔](1)本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为 222121() (222) 。 333xyr或222xyr222x2y2或221等均可三角换元。(2)换元法是不等式证明中的重要变形ab73方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。 例

5、.已知xyz5，x2y2z29求证：x,y,z都属于[1,]。 【证明】由已知得：z5xy，代入x2y2z29中得：

x2(y5)xy25y80

∵xR，∴△≥0，即(y5)24(y25y8)0

7777，即y∈ [1,]。同理可证x∈ [1,]，z∈ [1,]。 33331222变式：设abc1,abc1，且abc，求证：c0

3解得1y因为ab1c,所以a2b22ab1c22c，而ab1c 所以abcc，所以a，b为方程x2(1c)xc2c0 (1)的二实根 而abc，故方程(1)有均大于c的二不等实根。 记f(x)x2(1c)xc2c，则 22220,1c1c0。 解得c,32f(c)0[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。 【课堂小结】

3. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

4. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题 中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略

3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B

4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。

【作业布置】

第三篇：高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法

高考要求

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式

重难点归纳

1 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野

2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点

1112(n∈N*) 例1证明不等式123n

命题意图

本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能

知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等

错解分析 此题易出现下列放缩错误

1n个

技巧与方法本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立

111(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+<2k， 2k则1

1211k112k1k1 2k(k1)11k(k1)12k1,

∴当n=k+

1综合(1)、(2)得当n∈N*时，都有1+

121

31

n<

另从k到k+12(k1)12k(k1)k2k(k1)(k1)

(kk1)20,

2k(k1)12(k1),

k10,21

k12k1.k1

21k11

k1, 又如:2k12

2k21. k1

对任意k∈N*，都有1

kkkk1证法111因此122(1)2(2)2(nn1)2n.23三 设f(n)=2n(1222(kk1),1

2

3那么对任意k∈N* 都有11n),

f(k1)f(k)2(k1k)



1k11

k1[2(k1)2k(k1)1][(k1)2k(k1)k]1k1 (k1k)2

k10

∴f(k+1)>f(k)

因此，对任意n∈N* 都有f(n)>f(n-1)>„>f(1)=1>0， 1112n. ∴123例2求使xy≤axy(x>0，y>0)恒成立的a 命题意图本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力 知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再错解分析 本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0<θ<

2)，这样也得a≥sin

θ+cosθ其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=

1技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max 若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得

x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2-1)(x+y)，

∴x，y>0，∴x+y≥2xy，①②

当且仅当x=y时，②中有等号成立

比较①、②得a的最小值满足a2-1=1，

∴a2=2，a=2 (因a>0)，∴a

设

uxy(xy)2xy2xy xyxyxy∵x>0，y>0，∴x+y≥2xy (当x=y时“=”成立)，

∴2xy2xy≤1，的最大值是1 xyxy

从而可知，u的最大值为12，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值为∵y>0， ∴原不等式可化为x+1≤ayx1， y

设x

=tanθ，θ∈(0，) y2

∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+

又∵sin(θ+4)，③ 

4)

的最大值为1(此时θ=

4)

由③式可知a

例3已知a>0，b>0，且a+b=1求证 (a+11)(b+)ba (分析综合法)

欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0，

即证4(ab)2-33(ab)+8≥0，即证ab≤1或ab≥8 4

∵a>0，b>0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2ab，∴ab≤

(均值代换法) 1，从而得证 4

设a=11+t1，b=+t222

∵a+b=1，a>0，b>0，∴t1+t2=0，|t1|<11，|t2|< 22

11a21b21(a)(b)abab

111122(t1)21(t2)21(t1t11)(t2t21)1111t1t2(t1)(t2)2222

1152222 (t1t11)(t2t21)(t2)2t21122t2t244

2532254t2t225.24t244

显然当且仅当t=0，即a=b=

(比较法) 1时，等号成立 2

∵a+b=1，a>0，b>0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1 4

1125a21b21254a2b233ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab 1125(a)(b)ab4

(综合法)

∵a+b=1， a>0，b>0，∴a+b≥2ab，∴ab 252(1ab)1213916(1ab)12521ab1(1ab)44161ab44ab

1125 即(a)(b)ab4

(三角代换法)

∵ a>0，b>0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2)

11112(a)(b)(sin2)(cos)absin2cos2

sin4cos42sin2cos22(4sin2)2164sin224sin22

sin221,4sin22413.2 42sin221625(4sin22)22511244sin224sin2

1125即得(a)(b).ab4

第四篇：2011全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)

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§14不等式的证明

课后练习

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有( ). (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组

(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有( ). (A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个 2.填空题

(1)的个位数分别为_________及_________.

4

5422(2)满足不________. 等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1，则x的值(3)已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________. 3.求三个正整数x、y、z满足

2

23. 4.在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组?

5.求的整数解. 6.求证可被37整除. 7.求满足条件的整数x，y的所有可能的值. 数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 8.已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2(l+m+n)是完全平方数. 9.如果p、q、、都是整数，并且p>1，q>1，试求p+q的值. 课后练习答案

1.D.C. 2.(1)9及1. (2)9. (3)4. (4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.

223.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数. 4.可仿例2解. 5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法. ..

略解：ab2ab,同理bc2bc,ca2ca;三式相加再除以2即得证. 评述：(1)利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.

22xnx12x2如x1x2xn，可在不等式两边同时加上x2x3x1222322x2x3xnx1. 再如证(a1)(b1)(ac)(bc)256abc(a,b,c0)时，可连续使用基本不

33223等式.

ab2a2b2)(2)基本不等式有各种变式

如(等.但其本质特征不等式两边的次22数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).

2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.

22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4). 8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数. 222

229.易知p≠q,不妨设p>q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.

=n,则m>n由此可得不定方程数学教育网http://

第五篇：高中数学 3.4.1《基本不等式的证明(2)》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明(2)

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式;

2.学会推导并掌握均值不等式定理;

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

2.基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取""号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数， ①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p;②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s. 4xyxy，

2①当xyp (定值)有(xy)min2p; xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys (定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s. 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义(“”取最小值，“”取最大值);

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 (1)求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，

当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10.

(2)若上题改成0x1，结果将如何?

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，

从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2 (1)求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

(2)求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1. 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。 xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:(1)y3x11yx;(2) 2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1.已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。 93

32.已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3.已知0x

2，求函数f(x)x值。

4.已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1.用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解;

2.运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

(1)运用拆分和配凑的方法变成和式和积式;(2)配凑出和为定值;

(3)配凑出积为定值;(4)将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数;积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计(略)

八、课后记：