分步乘法计数原理

第一篇：分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

教学目标

①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;

教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学过程

一、引入课题

引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式? ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法?

这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.

二、讲授新课：

1、分类加法计数原理

问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有3+2=5种方法

探究1：你能说说以上问题的特征吗?(分析要完成的“一件事”是什么.) 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。

发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.(也称加法原理) 知识应用

例1：(多媒体展示)在1，2，3，，200中能被5整除的数有多少个?

变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么

可以用：10+10+10+10+10=50(分成5类)

也可以直接得到50(分成2类——奇数与偶数) 分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 、分步乘法计数原理

问题2：从A村道B村的道路有3条，从B村去C村的路有2条，从C村去D的道路有3条，小明要从A村经过B村，再经过C村，最后到D村，一共有多

1

少条路线可以选择?

从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 第三步，从C村到D村有3种方法

所以从A村经 B村又经过C村到D村共有 3 ×2 ×3= 18 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗?(分析要完成的“一件事”是什么.) 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有3种不同的方法，在第2步中有2种不同的方法，第三步有3种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×3= 18种不同的方法.一件事就是：从A村到D村的一种走法

发现新知

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„„做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.(也称乘法原理)

知识应用

例2：有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加. (1)若只需1人参加，有多少种选法?

(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法?

变式：学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法? 分步乘法计数原理的特点：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点?要注意什么问题?

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法;

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

三、课堂练习 1.填空：

①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.

2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.

2

①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种. 4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法. 5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名? 6.乘积(a+b+c)( d+e+f+g)展开后共有多少项?

四、课堂小结

(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么?不同点什么?

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法;

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。 (2)分类加法原理、分布乘法原理的特点是什么? 加法原理：完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成. 乘法原理：完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.

3

第二篇：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 过程与方法：培养学生的归纳概括能力;

情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式

2. 教学重点/难点

教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解

3. 教学用具

多媒体

4. 标签

1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

教学过程 引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法? ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法?

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

分类加法计数原理 (1)提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码?

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

探究：你能说说以上两个问题的特征吗? (2)发现新知

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法

(3)知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?

分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有

5+4=9(种). 变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢? 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法„„在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,

第一类,

m1 = 1×2 = 2

条

第二类,

m2 = 1×2 = 2

条

第三类,

m3 = 1×2 = 2

条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6

条

练习 1.填空： ( 1 )一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是_ ;

( 2 )从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有_条.

第三篇：分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理.

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用.

教学用具

投影仪.

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.

今天我们先学习两个基本原理.

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课.讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1.介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1).

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4+2+3=9

种不同的走法.

这个问题可以总结为下面的一个基本原理.

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2).

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9-1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法.

(教师要读一遍分步计数原理)

2.浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢?

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢?

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘.)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.

师：请看下面的分析是否正确.

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个;第二类办法是找含因数3的合数，共有2个;第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.

1～10中一共有N=4+2+1=7个合数.

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法?

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法.

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法.

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢?

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求.

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以.

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理.

也就是说：类类互斥，步步独立.

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了.请看例题1.(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法?

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法.根据分类计数原理，得到的取法种数是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.

故从书架上任取一本书的不同取法有14种.

师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法;第二步取1本语文书，有5种方法;第三步取1本英语书，有6种方法.根据分步计数原理，得到不同的取法种数是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90.

故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法.

师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是

N=3×5+3×6+5×6=63.

即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.

师：请大家再来分析和解决例题2.

(板书)

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?

师：每一个三位整数是由什么构成的呢?

生：三个整数字.

师：023是一个三位整数吗?

生：不是，百位上不能是0.

师：对!百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0.那么要组成一个三位数需要怎么做呢?

生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字;第二步确定十位上的数字;第三步确定个位上的数字.

师：很好!怎样表述呢?

(教师巡视指导、并归纳)

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.

答：可以组成100个三位整数.

(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.

教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

(四)归纳小结

师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢?

生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理.

师：应用两个基本原理时需要注意什么呢?

生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.

(五)课堂练习

P222：练习1～4.

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7.

补充题：

1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+…+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第

一、

二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.

(提示：需要按三个志愿分成三步.共有m(m-1)(m-2)种填写方式)

3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?

(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

课堂教学设计说明

两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过;或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题.对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的.基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题.

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的.

分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.教学中给出了例题

1、例题2.这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯.为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础.

考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪.要是有实物投影仪那就更方便了.

第四篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(一)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理

(一)

教学目标

1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，

2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.

教学的重点与难点

1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

(一)分类加法计数原理。

问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗?

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，

一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，

乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

图1

问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数?

归纳：

一般地，有如下原理：(出示投影)

分类计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 注意：分类适当不重不漏。

(二)分步乘法计数原理

问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图2)?

图2

这个问题与前一个问题不同.在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地;而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地.

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.

问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗?

归纳;完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 那么完成这件事共有m1×m2种不同的方法。

问题8：完成一件事，需要分成3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少不同的方法?如果完成一件事情, 需要有n个步骤做每一步都有若干中不同的方法，应当如何计数? 于是得到如下原理：(出示投影)

分步计数原理落千丈 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.

问题8：分类计数原理与分步计数原理有什么不同?

分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题， 共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。

它们的区别在于：

分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事; 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.

(三)举例应用 例1.第4面的例2 例2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法? 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2

(四)课堂练习

1.教科书第6面的第1，3题

2.(1)将4个信封投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法?

34 (2)4位同学参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法?

34 (3)4位同学参加3项不同的竞赛，每项限报一项，有多少种不同的报法?

43 (4)4位同学去3人参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法?

4×3×2 3.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?

解：由于

1、

2、

3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理N3333381

(五) 课堂小结

1、分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，

2、“合理分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,

3、“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;

4、在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,不重复、不遗漏

(六) 课后作业

《习案》与《学案》

4

第五篇：高考数学第一轮复习_分类分步计数原理(例题解析含答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础梳理

1.分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，„„，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N

2.分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，„„，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=×mׄ×m种不同的方法.

两个原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”.而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”.

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有().

A.238个B.232个C.174个D.168个

解析 可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个)，其中无重复的数字的四位

3数共有3A3=18(个)，故共有192-18=174(个).答案 C

2.(2010·广州模拟)已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7}，C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合().

A.24个B.36个C.26个D.27个

11111解析 C14C3+C4C2+C3C2=26，故选C.答案 C

3.(2012·滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有().

A.6种B.12种C.24种D.30种

解析 分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，

1甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种)，故选C.4.(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为().

A.10B.11C.12D.1

5解析 若4个位置的数字都不同的信息个数为1;若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C3若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C2由分类计数原理知满足条件的信息个数4;4，

2为1+C34+C4=

11.

5.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种. 解析 法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2-1=15(种).

法二 恰有i个焊点脱落的可能情况为Ci4(i=1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊

234点脱落的可能情况共C14+C4+C4+C4=15(种).

考向一 分类加法计数原理

【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有().

A.4种B.10种C.18种D.20种

[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理.

解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法;赠送2本画册，2本集邮册共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共4+C24=10(种).

【训练1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个.

解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4=32(个);第二类，有两条公共边的三角形共有8(个).

由分类加法计数原理知，共有32+8=40(个).

考向二 分步乘法计数原理

【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答).

[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理.

解析 法一 用2,3组成四位数共有2×2×2×2=16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).

法二 满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个;第二类含有三个2，一个3共有4个;第三类含有二个2，二个3共有C24=6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4+C24=14(个).

考向三 涂色问题

【例3】► 如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法?

[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色.

解 法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事：

涂A有5种涂法;涂B有4种方法;涂C有3种方法;涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色).根据分步计数原理共有5×4×3×3=180种涂色方法.

法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35=60种涂法;又D与B、C相邻、因此D有3种涂法;由分步计数原理知共有60×3=180种涂法.

【训练3】 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.

解 法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.由题设，四棱锥S -ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为

1、

2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法;若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染

法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7=420(种). 法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色

第一步，S点染色，有5种方法;

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法;

第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法;

第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法;当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).

规范解答20——如何解决涂色问题

【问题研究】 涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.

【示例】► (本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?

[解答示范] 如图所示，将4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.(2分)

2①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A4=12种不同的涂法，第4个小方格有3种

不同的涂法.由分步计数原理可知，有5×12×3=180种不同的涂法;(6分)

②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知.有5×4×4=80种不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180+80=260种不同的涂法.(12分)