线性代数的应用特征（精选7篇）
线性代数的应用特征 第1篇
1 线性代数的发展
在1600年以前, 在数学界几何占主导地位。然而, 在笛卡尔看来, 几何过于抽象, 而且对图形太过依赖。经过不断地实践, 笛卡尔对代数有了全面系统的掌握, 并且认识到代数这门学科中所蕴含的潜力和力量, 于是他主张对二者取其精华, 去其糟粕, 相互联系相互补充。他是这么说的, “所有人们能够知道的东西, 也同样是互相联系着的。”在几何作图遇到问题时可以采用代数来解决, 这样他否决了希腊人长久以来的判决标准。不久笛卡尔又提出写出在同一坐标轴下两条曲线的方程, 并且联立解出这两个方程, 便可以求出这同一坐标轴下两条曲线的交点。就这样, 人们逐渐认识到线性代数的重要性, 线性代数被提高到了重要地位, 代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。最终, 代数取代了几何的主导地位, 变得更为重要。随后, 代数的范围更加广阔, 微积分和无穷级数出现了, 牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展, 使线性方法更加普遍。
正如我们所熟悉的, 线性代数起源于对二维和三维坐标系的研究, 也就是向量, 一个有方向的线段, 可以由长度和大小同时表示。同时向量也可以运用到物理中去, 就像“力”, 我们就可以用向量来表示, 这也是实数向量空间的第一个例子。还有, 我们可以用9维向量来表示9个国家的国民生产总值, 这便是在经济学中的运用。
因此, 如果我们换个角度来看, 线性代数可以说是代数方法在几何问题中孕育而生的。所以说线性代数处理的是几何对象, 它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组, 具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
2 线性代数的应用
在我们进行科技研究时, 当把一些问题转换成数学问题后, 这些数学问题就分为两大类, 一类是线性问题, 另一类便是非线性问题。其中, 线性问题的研究时间比较长, 相对而言比较完善, 所以在数学问题中, 线性问题是比较容易解决的, 如微分学便是研究很多函数线性近似的问题。在遇到非线性问题时, 我们通常是将其转换成线性问题来解决。随着计算机的普及, 线性化了的问题可以很容易地计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具。
投入产出模型, 就是将投入产出表中所描述的经济内容用线性方程组描述出来。这个模型是在1949年由哈佛大学的教授Wassily Leontief提出来的, 同时Wassily Leontief教授也是1973年第五届诺贝尔经济学奖得主。从科学的角度来看, 投入产出法作为一种数量分析的方法, 在经济体系各个部分之间关系的研究中极为重要。所以我们可以看出, 线性代数方法是指我们在看待一些问题时要有线性的眼光, 并采用线性的语言来描述, 用线性的方法来解决。例如, 线性空间是线性代数中一个很重要的概念。线性空间的定义是这样的, 定义非空集合中的元素, 若对“加法”和“数乘”运算满足八条规律, 则称该集合为线性空间, 其中所包含的元素则称为向量, 满足八条规律的运算称为线性运算。换一种方式来说, 只要符合定义的要求, 我们便可以把它们转换成线性问题来处理。这便是线性代数的魅力所在, 可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理, 这也是数学与工程学中最主要的应用之一。
如今, 线性代数也已经广泛运用到得到普及的计算机技术中, 例如计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等, 线性代数都是其理论和算法的基础。并且, 随着科学的不断发展, 我们需要研究的问题也由单个变量之间的关系, 发展为多个变量之间的关系, 同时我们也可以用计算机解决这些线性化的问题。同时在数学领域, 线性代数也在不断地发展扩大, 已经触及到数学的各个分支。所以, 线性代数已经成为解决实际问题的一个有力工具。
值得我们注意的是, 从另一方面来说, 线性代数可以加强我们的数学训练, 增强人们的科学智能, 因为线性代数代表的是几何观念与代数方法之间的联系, 从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等。瑞典著名数学家L.戈定 (Garding) 说过, 没有掌握线性代数的人简直就是文盲。同时, 他也在自己的著作《数学概观》中写道:“要是没有线性代数, 任何数学和初等教程都讲不下去。”
按照现行的国际标准, 线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型, 其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。如果我们不了解线性性质、向量、线性空间、矩阵等这些基本的线性代数的概念, 就去学习自然科学, 在现在看来就和文盲差不多, 甚至学习社会科学也是如此。
摘要：线性代数是一门注重实际应用的学科, 蕴含着欧几里得经典几何思想, 经过不断地发展和改良, 更加的实用化。本文通过对线性代数的起始阶段、发展阶段的分析, 全面总结线性代数的应用特征。大家不仅要从数学的角度来看本文, 更要体会到本文所蕴含的人文情怀, 从而了解线性代数的另一种学科文化。
关键词：应用性,线性方程组,坐标几何结构问题,线性代数教学,线性代数
参考文献
线性代数的应用特征 第2篇
启发式教学指教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律,从学生的实际出发,采用多种方式,以启发学生的思维为核心,调动学生的学习主动性和积极性,促使他们高效率学习的一种教学指导思想。
我国古代大教育家孔子就非常重视启发式教学。他曾论述:“不愤不启,不悱不发。”这里“愤”意为发愤学习,积极思考,然后想把知识表达出来;“发”意为开其意、指导;“悱”意为积极思考后要表达而表达不清时,则要求老师予以答其词,使其清楚[1]。对教师来讲,就一定要通过自己的外因作用,调动起学生内因的积极性。启发式教学,对于教师的能力要求就是引导转化,把教学内容转化为学生的具体知识,再进一步把学生的具体知识转化为能力。教学,就是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有积极性非常重要,启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性,把学生的求知欲激发出来。在指导学生学习的过程中,是“授之以鱼”还是“授之以渔”,每一位优秀的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法,让学生直接参与教学过程,充分发挥学生的主观能动性,开发学生的创新能力,使学生在学习中有成就感,这样有利于培养他们学习的自信心并确立科学的学习态度。教育理论家曾明确指出:“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。而启发式教学法的实质就在于正确处理教与学的相互关系,变教师主体为学生主体,变教师满堂讲为教师启发,师生共同讨论。
2 高等代数课程的特点与启发式教学的实施
综观《高等代数》课程,其课程特点可以用“三点一线”加以概括。何谓“三点”,即逻辑推理的严密性、研究方法的合理性、代数系统的合理性;而“一线”即是矩阵表示是一条主线,利用矩阵理论把前后知识串起来[2]。高等代数是一门理论性与应用性都很强的专业基础课,在数学院的本科课程体系中占有非常重要的地位[3]。众所周知,高等代数有的抽像性和逻辑性,学生常常觉得课堂内容单调,课堂氛围枯燥乏味,上课的时候容极易走小差,课堂教学效果非常不理想。所以在高等代数课程教学中,探索和实施启发式教学法,有利于克服传统的灌输型教学模式,培养学生的自主学习能力、分析问题和解决问题的能力。而实施启发式教学的关键就在于设置问题情境。不同的学科、不同的课程在实行启发式教学时都需要结合自身的特点。就高等代数而言,教师在启发时,一定要紧紧围绕其基本概念、基本定理和基本应用来进行,摆脱以往老套、按部就班的方法,灵活运用启发式教学。设计的问题应具有科学性、可探究性、实践性和层次性的特点。下面笔者将以高等代教中的一小节为例予以说明。
3 如何设置问题情景——以线性变换的特征值与特征向量为例
这一节主要包括两个内容:特征值与特征向量的定义及求法。
3.1 线性变换的特征值与特征向量的定义
定义:设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数λ0存在一个非零向量ξ,使得Aξ=λ0ξ(*)
那么λ0称为A的一个特征值,而ξ称为A的属于特征值λ0的一个特征向量[4]。
这里主要是理解特征值和特征向量的几何意义,及其之间的关系。而理解这些的本质是首先要真正理解(*)式的内涵,笔者设计如下问题:
(1)Aξ=λ0ξ的几何意义是什么?
(2)对于特征值λ0,特征向量是唯一的吗?
(3)特征值和特征向量的关系是什么?
(4)该如何求一个线性变换的特征值和特征向量呢?
通过对前3个问题的解决,大家能一步步地理解Aξ=λ0ξ的内涵,更好地掌握特征值和特征向量的关系。带着第四个问题,大家共同来探求一下此节的第二个教学内容。
3.2 特征值与特征向量的求法
为了更好地启发大家去解决这个问题,设A在基ε1,ε2,L,εn下的矩阵为A,ξ在该基下的坐标为(x01,x02,L,x0n)',并设计了如下的问题:
问题(1):考虑ξ在(*)式两边的坐标,看能得到一个什么样的等式?
问题(2):特征向量ξ≠0对这个等式来说意味着什么?
问题(3):这个等式有非零解的充分必要条件是什么?
问题(4):怎么求特征值,求出来特征值之后又怎么样去寻找该特征值的全部特征向量呢?
问题(5):特征值λ0的所有的特征向量放入一个集合,这个集合能构成一个子空间吗?
通过对这些问题的解决,能启发大家自己动手去解决问题。再把上述过程归纳整理就是今天特征值和特征向量的定义及求法。
启发式教学法与传统的填鸭式教学法虽然各有千秋,但前者有两个显著的特点:一是以启发为核心,整堂课围绕着预先设定好的启发方法和内容进行教学,激发学生自己动手动脑的意愿;二是转变角色,主角由教师变为学生,让学生真正有兴趣地主动参与到问题的解决和探索中来,培养学生的自学能力、分析和解决问题的能力,这是传统的教学模式所不能实现的。
4 结语
运用启发式教学法,在教学过程中需注意以下几个问题。
(1)善于提出问题。并非把要讲授的内容都变成“问题”向学生提出来就是启发式教学。
这里首要的是教师先通过反复探索,找出内容中主要“因果”关系的衔接点,然后一针见血地提出实质性问题,能把学生推到创立该理论或发明的时代背景上,促使他们设身处地地积极思考。
(2)将问题连在一起的是“点”:指点,点拨,点化。这是教师对学生学习中遇到的困难和疑问,通过各种方式随机点拨的教学方式。教学点拨,一是点拨学生的思路;二是点拨学习疑难;三是点拨知识重点;四是点拨学习方法。也就是说,不多讲,不乱讲,只在节骨眼上点一下,常有“一点就透”“画龙点睛”“点石成金”的效果。
(3)要有机地把传统的教学方法和启发式教学法结合起来,把问题把握得恰当好处。传统的填鸭式教学法的一个优点就是教师主导课堂内容包含的知识点多,信息量非常大,较少地考虑学生的实际情况。启发式教学法显然克服了这些缺点,但如果用过了头,让学生一味地去自主探索,可能会使教学进度过于缓慢,完不成教学大纲规定的教学任务。所以需要把两者巧妙地结合起来,把握好这个度,既发挥了学生的主动性、积极性和创造性,又保持了合适的进度。这样既能让学生有兴趣地学习,又较好地实现了教学目标。
摘要：“学生为主体,教师为主导”,这是现代教学的指导思想,体现这一思想的关键是如何调动学生的学习积极性。因此在课堂教学中进行启发式教学,提高学生学习的积极性,从多方面提高学生的各种能力就显得尤为重要。
关键词：启发式教学法,高等代数,特征值,特征向量
参考文献
[1]成伟华,孙贺.浅谈启发式教学法的误区及其运用关键[J].湖北广播电视大学学报,2009,29(11):114-115.
[2]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京:科学出版社,2008.
[3]兰艳,沈艨.高等代数抽象性及其教学的研究[J].数学学习与研究,2011,23(1):11-12.
磁流变减振系统的非线性特征分析 第3篇
关键词：磁流变液,分数阶导数,减振系统,非线性特征
0 引言
磁流变液 (magnetorheological fluid, MRF) 是一种智能软物质, 具有强度高、黏度低、耗能小、温度稳定性好、对制造过程中产生的杂质不敏感等特点, 采用MRF的磁流变阻尼器已应用于汽车的二次悬挂系统和很多的工业场合中[1]。Spence等[2]对磁流变减振器的建模、测试和控制进行了研究。廖昌荣等[3]根据磁流变液和减振性能的设计要求, 开发了微型汽车的磁流变减振器, 总结了磁流变阻尼器的设计原理及计算公式, 并对主要的设计参数进行了实验分析。李延成等[4]研究了基础激励下的磁流变减振系统的动态响应特性, 获得了阻尼比与磁流变阻尼器结构参数之间的关系。磁流变减振技术的关键是研制性能优良的磁流变液、设计出结构优化的磁流变减振器以及构建其完善且灵活的测控系统。
笔者研制出了一种新型复合式磁流变减振器, 该减振器由橡胶弹簧和磁流变阻尼器组合而成, 既具有橡胶减振器减振效果明显和安全可靠的优点, 又有磁流变阻尼器阻尼可调和响应迅速的特点, 且能够承受剪切负载。为充分研究该减振器的减振性能及非线性特性, 将分数阶导数引入减振系统的模型分析中, 建立了磁流变减振系统的分数阶导数模型, 并通过实验研究了复合式磁流变减振器的动态特性。
1 磁流变减振系统的分数阶模型
1.1磁流变减振测控实验台
笔者研制的复合式磁流变减振器实物如图1a所示, 图1b所示为减振实验台的测控原理。该系统工作过程如下:传感器采集的振动台位移信号和加速度信号经调理和去噪声后通过数据采集卡输入计算机, 将其在基于LabVIEW虚拟仪器控制的平台上进行分析、处理和显示, 得到振动速度和位移幅值, 然后根据具体的减振要求 (如幅值控制) 和相关参数 (系统结构、磁流变材料特性等) , 计算出需要的控制电流大小。采用GBIP方式, 通过数据采集卡和GBIP传输电缆控制电流源输出, 从而控制阻尼器的阻尼力大小来实现减振。观察实验台振动参数的变化, 进一步调整输出电流以达到更佳减振效果。阻尼器对电信号的响应可以达到数十毫秒, 为达到快速减振的要求, 需有高的信号采样率。
以上的测控功能由LabVIEW软硬件体系来完成, 测控系统配置有温度传感器、温度变送仪、加速度传感器、位移传感器、虚拟仪器系统的数据采集卡、数据采集端子、可编程电流源等, 软件体系采用LabVIEW7.0。
1.2磁流变减振系统分数阶导数模型的建立
在图1a所示的磁流变减振系统中存在着复杂的阻尼, 如橡胶的阻尼、磁流变液的阻尼和系统的内摩擦等。为了研究和分析复合磁流变减振器的减振性能, 引入等效黏性阻尼的概念[5], 用等效黏性阻尼代替上述复杂的阻尼, 对该减振器的黏弹性阻尼系统进行深入分析, 可以大大简化分析过程。
由磁流变减振系统的测控原理图 (图1b) 可知, 偏心轮的激振方向与测试物体 (质量为m) 的速度方向相反, 系统所受的外力F (t) =Fsinω t, F为激振力, k为系统弹性刚度, c为系统的阻尼系数, 则系统的分数阶导数方程 (式 (1) ) 为
mD2x (t) +cDαx (t) +kx (t) =Fsinω t (1)
L[Dαx (t) ]=sαX (s) (3)
式中, ω为偏心轮的旋转角频率;x (t) 为系统的位移响应;Dα为分数阶导数算子[6], α为任意实数, 当α为自然数时式 (2) 就成了通常意义下的整数阶导数;Γ (·) 为Gamma函数。
令黏弹比η=c/k、固有频率
D2x (t) +η ω2nDαx (t) +ω2nx (t) =f (t) 0<α≤1 (4)
为方便后面讨论, 同时令A1=η ω2n, A2=ω2n。
1.3磁流变减振系统分数阶导数模型的求解
1.3.1 系统分数阶导数模型的解析解
近年来, 很多学者利用Adomain分解法求分数导数方程的解析解[7,8], 该方法可以求出线性分数导数方程的精确解析解, 但只能提供非线性分数导数方程的高精度近似解[7]。本研究中磁流变减振系统模型是一个非线性系统, 因此我们采用Laplace变换法求系统模型的解析解。结合式 (3) 和式 (4) 可求得减振系统的分数阶模型的传递函数:
对式 (5) 进行展开得
由文献[9]可知, 式 (4) 的解存在且唯一, 则对式 (6) 进行Laplace逆变换即可求得式 (4) 的解析解:
式 (7) 中的Eλ, μ (z) 是带有两个参数的Mittag-Leffler (M-L) 函数 (此处, λ=2-α, μ=2+α k, z=-A1 (t-τ) 2-α) , 且有
由以上分析可知, 式 (7) 即为减振系统分数导数模型的解析解。由于解中包含有M-L函数, 当|z|较小时, M-L函数的收敛较快;但当|z|较大时, 式 (7) 中的级数收敛很慢, 计算十分困难, 所以Jimenez等[10]在利用分数Maxwell模型研究聚合物的应力松弛时, 仅对M-L函数的渐近行为进行了分析。Davis等[11]在研究人体组织的黏弹行为时, 对M-L函数的计算进行了简单的截断处理。一般情况下, 这种处理给出的结果是不可靠的[12]。
1.3.2 系统分数阶导数模型的数值解
这里采用Grünwald-Letnikov分数导数定义求式 (4) 的数值解, 这也是求解分数阶微积分最直接的方法[9]。根据Grünwald-Letnikov的定义[13], 可以直接推导出微分方程的数值解:
w (αi) 0=1
其中, λ为计算初值, 0<λ<1, 一般可以假设零初始条件, 即令λ=0;h为计算步长, h越小计算精度越高;ci和αi (i=0, 1, 2) 分别表示式 (4) 中的系数A2、A1、1和阶数0、α、2。
图2所示为根据式 (8) 和Adomain分解法分别求得的模型的数值解与解析解, 可以看出, 两种方法求得的解几乎是相同的, 因此用离散法求得的数值解是可以应用到以下的实验分析中的。
2 实验分析
图3所示为控制电流I=0时的系统位移 (减振系统的振幅) , 其中整数阶 (α=1) 和分数阶 (α=0.62) 对应的位移曲线是根据式 (8) 计算而得的理论振幅, 迭代的初始值由实验系统的参数确定。由图3可知, 分数阶的位移比整数阶的位移更接近实验测量值, 这说明分数阶的模型是可靠的。
图4是减振器在10Hz的工作状态下, 实验台在不同的控制电流下的振幅变化曲线。随着电流的增大, 振动台的振幅是逐渐减小的, 减振器减振效果十分明显。在10Hz时, 当电流I=0时, 系统模型的分数导数算子的阶数α=0.62;当I=1A时, α=0.68;当I=2A时, α=0.80;当I=3A时, α=0.84。随着电流的增大, 分数导数算子的阶数α有增长趋势且振幅变化量减小, 可见系统的动态特性跟分数导数算子的阶数有关, 且与系统的控制参数有关。分数导数算子的阶数越趋于0, 系统弹性环节作用越大;阶数越趋于1, 系统承受着越大的阻尼力作用。
表1给出了10Hz时, 分数阶和整数阶的系统模型参数在不同控制电流I下的变化情况。由表1可知, 对同一组系统振幅的采样信号进行理论数据的计算时, 分数阶导数模型拟合返回的残差平方和∑D (e) 小于整数阶的残差平方和, 说明分数阶系统模型要比整数阶系统模型精确。表1中系数A1、A2的比值恰是系统的黏弹比η, 可以得出, 分数阶时的黏弹比基本上大于相同状态下整数阶的黏弹比, 这表明减振器在工作状态下, 橡胶与磁流变液都存在着黏弹性, 阻尼特征的表现略强于弹性特征的表现。
减振器在11Hz时系统的动态特性如图5所示, 与图4进行比较可知, 系统在不同频率下的振动幅值曲线是不同的, 可见减振器的动态性能不仅与控制电流有关, 且与工作频率有关。但对于减振系统的分数阶导数模型来说, 算子的阶数α在频率变化的情况下几乎保持不变, 说明在相同工作状态下分数导数算子的阶数与工作频率无关。表2中, 分数阶模型下的残差平方和同样小于整数阶下的残差平方和, 说明分数阶模型较之整数阶模型有明显的优越性。
图6、图7中减振实验台的振动幅值曲线是在改变减振系统的激振力F和系统质量m的情况下获得的, 工作频率分别为14Hz、15Hz。可以发现:图6、图7中分数导数算子的阶数α较之图4、图5中相对应电流下的算子阶数发生了很大变化, 且系统的振动幅度也大幅减少;
图6、图7中的分数导数算子的阶数是相同的。表3、表4所示分别是工作频率为14Hz、15Hz时, 系统模型的相关参数。表3、表4中整数阶黏弹比要大于相同状态下对应的分数阶黏弹比, 因此减振器对外表现出较强的弹性。与表1、表2数据对比可知, 分数导数算子的阶数α与系统质量m和激振力F有很大的关联, 在小激振力、小振幅和高频的情况下, 复合式磁流变减振器橡胶部分与磁流变体的弹性形变起主要作用;大激振力和大振幅的情况下, 阻尼器中的磁流变体的屈服应力作用比较明显。
表5所示为分数导数算子的阶数α随电流的变化, 阶数样本是由改变系统质量m前 (10Hz) 、后 (14Hz) 的实验所得的。由表5可知, 两次实验过程中分数导数算子的阶数变化趋势是一致的, 都随着控制电流的增大而变大。
3 结论
(1) 分数导数的系统模型能够较好地描述磁流变减振系统的动态性能与非线性特征, 且比整数阶模型精度高。
(2) 系统的动态特性跟分数阶模型的阶数有关, 改变控制电流, 系统内部的黏弹特性发生变化, 非线性品质也随之改变;在相同工作频率下, 随着控制电流的增大, 分数阶模型阶数增大, 减振器的黏性增强, 减振效果增强。
(3) 分数阶模型的阶数表征着系统的非线性品质。
一类非线性特征值的存在性 第4篇
关键词：非线性,特征值,比较原则
一、引言
如果 (u, v) ∈C01 (Ω) ×C01 (Ω) (u, v) ∈C01 (Ω) ×C01 (Ω) , 在Ω中u>0, v>0, 且在弱指向下满足p-拉普拉斯系统, 我们就说该解是p-拉普拉斯系统的一个正解。在文献[1-2]中, 研究了类似的椭圆系统。本文主要研究p-拉普拉斯系统的正解结构。
二、引理
设θ∈E, 在Ω里, θ≠0, 则线性特征值问题
有一最小特征值λ1p (θ) , 已知λ1p (θ) >0是一个简单特征值, 相应的特征函数φ在Ω中不变号。下面同样假设在Ω里, φ>0, 且, 进而得到
引理1 (i) 在一个正测度集上, 如果θ1<θ2, 且θ1≠θ2, 则λ1p (θ1) <λ1p (θ2) 。
(ii) 在E中, 如果θn→θ, 则λ1p (θn) →λ1p (θ) 。
为了后边定理证明, 我们给出另外一个重要引理。
引理2 (比较原则) 设Ω是RN中的一个有界区域, a (x) 和b (x) 是Ω上的连续函数, x∈Ω时, , b (x) ≥0, 且b (x) 不恒等于0, 令u1, u2∈C1 (Ω) , 在Ω中为正, 且满足
3结论证明
现在主要讨论非线性特征值问题
我们来证明方程 (2) 的非线性特征值得存在性。
定理存在-∞<∧pf (θ) <λ1 (p) (θ) 使得 (2) 有一正解u, 当且仅当
∧pf (θ) <λ<λ1 (p) (θ) , 次外, 对每一∧pf (θ) <λ<λ1 (p) (θ) , (2) 有唯一正解uλ, 映射λ→uλ是从 (∧pf (θ) , λ1 (p) (θ) ) 到F的非减映射且是连续的, 在C0loc (Ω) 里, λ→λ1 (p) (θ) 时, uλ→∞, 进而得到∧pf (θ) =λ1 (p) (θ) -a, 并且a已给出。
证明:首先证明 (2) 中有一正解uλ时, λ1 (p) (θ) -a<λ<λ1 (p) (θ) 。由于
反证, 假设存在, 使得 (2) 有一正解ω, 因此ω是方程
的上解。另一方面, 对任意M>0,
由引理2得ω≥Mφ。有M的任意性得出矛盾, 所以λ<λ1 (p) (θ) , 即得
λ1 (p) (θ) -a<λ<λ1 (p) (θ) 。由此∧pf (θ) 关于θ在C0 (Ω) 上的连续性可由λ1 (p) (θ) ∧pf (θ) 关于θ在C 0 (Ω) 上的连续性得到。显然εφ (0<ε1) 是 (2) 的一个下解, 大常数K>0是 (2) 的一个上解, 因此由上解, 下解理论可得:当∧pf (θ) <λ<λ1 (p) (θ) 时, (2) 有一正解uλ。
应用条件和比较原则得:当∧pf (θ) <λ<λ1 (p) (θ) 时, uλ是 (2) 的唯一正解。说明λ∈ (∧pf (θ) , λ1 (p) (θ) ) 时, 在Ω里, uλ≥F-1 (λ1 (p) (θ) -λ) φ, 其中是F (s) 的反函数, 这可以从F-1 (λ1 (p) (θ) -λ) φ是 (2) 的一个下解得到。包含了在λ1 (p) (θ) 附近uλ的状态。我们还知道, 当λ<∧pf (θ) 时, (2) 没有正解。我们知道在C0 (Ω中, 当λ→∧pf (θ) +时, uλ→0, 这包括了在Ω中, uλ恒等于0矛盾。
由上解, 下解理论和极大值理论得λ→uλ是非递减的, 事实上, 当∧pf (θ) <λ1<λ2<λ1 (p) (θ) 时, uλ1是 (2λ2的一个下解, uλ2的唯一性说明在Ω中, uλ2≥uλ1。由uλ的唯一性和在中解集的紧性知λ→uλ的连续性。证毕
参考文献
[1]Du Y H and Brown K J.Bifurcation andmonotonicity in competition reaction-diffusion systems.Nonlinear Anal, 1994, 23:434-475.
[2]Dancer E N and Du Y H.Competing species eqations with diffusion, large interactions, and jumping nonlinearities.J Diff Eqns, 1994, 114:434-475.
人民币汇率非线性特征的研究与分析 第5篇
关键词：人民币汇率,JB正态性检验,自相关性检验,ARCH异方差模型
一、汇率时间序列的非线性特征
在过往较长时间内,经典理论对于汇率变量的解释主要是采用简单的线性模型,假设汇率这一随机变量服从于标准正态分布或对数正态分布,其波动过程遵循简单的随机游走模型。然而,自20世纪70年代以来,学者们通过长期的研究,发现汇率时间序列存在着诸多难以解释的现象,如波动的集群性、统计分布中“尖峰厚尾”性等,这些现象无法通过传统的线性模式来解释。
传统的金融学理论假定金融时间序列服从标准正态分布,对于时间序列所做的计量分析都是建立在正态分布这一假设之上的。其后的一些学者通过实证研究证实了汇率时间序列具有“尖峰厚尾”这一特性,说明了:汇率的波动过程并不完全服从标准正态分布,与标准正态分布相比,大量的值在波动过程中出现于均值附近。
“尖峰厚尾”的特性将传统汇率分析模型的前提假设推翻,基于异方差性假设的模型被期望来用于更好地解释汇率市场的波动。
汇率波动的集群性,是指汇率的波动存在时间序列上所谓的“簇聚现象”,即较大幅度的波动会集中出现在某些时段,而较小幅度的波动会集中出现在另一些时段。ARCH异方差性模型被认为能够最集中地反映方差变化的特点,较好地解释汇率时间序列中存在的波动聚类现象,该模型被广泛应用于汇率时间序列的研究当中。
二、人民币汇率的非线性特征检验
(一)初始数据
考虑到前人研究人民币汇率的非线性特征的数据基本都是从1994年1月1日开始到研究日期的人民币兑美元的历史数据,虽然研究结果都证明人民币兑美元的汇率具有非线性特征,但很少有考虑将人民币一篮子货币的非线性特征考虑进去。因此本文选取自2005年7月21日汇率制度改革后(从2005年7月26日一2013年4月26日)中国人民银行每日公布的人民币兑美元、人民币兑港元、人民币兑100日元、人民币兑欧元四种人民币汇率中间价的数据作为实证研究对象。美元、港元、日元、欧元各个样本区的样本数量均为1890个,所有数据均来自于中国人民银行网站。
考虑到全面分析汇率价格的波动变化,本文对汇率的原始价格进行平稳处理。汇率的波动选用相邻两天汇率收盘价的自然对数的一阶差分来表示,以此消除掉原始汇率时间序列的趋势性。下文分别用VUSD、VHKD、VJPV、VEUR来表示人民币兑美元、人民币兑港元、人民币兑日元、人民币兑欧元的汇率波动序列,用Matlab作出汇率波动序列的走势图后发现,四种人民币汇率波动序列都呈现出一定程度上的群聚特征。人民币兑美元和人民币兑港元右边部分波动较大,人民币兑日元中间部分波动比较大,人民币兑欧元左边部分波动比较大。
下文将对以上四种汇率波动的时间序列做进一步检验,从而发现人民币汇率的非线性特征。
(二)正态性检验
Jarque—Bera检验(JB检验)是计量学中常常用于时间序列正态性检验的方法。它运用了服从正态分布的随机变量具有的性质,即整个分布的一阶原点矩——均值,二到四阶中心距及其衍生量——方差、偏度及峰度。
标准正态分布的偏度值为0,若偏度值大于0,说明序列分布整体上右偏,右尾较长;偏度值小于0,说明序列分布整体上左偏,左尾较长。标准正态分布的峰度值为3。若峰度值大于3,说明分布整体上呈尖峰状;峰度值小于3,分布整体上呈矮峰状。
本文运用Eviews6.0,得出四个汇率波动序列的JB统计量分别为689.41830,38865.5100,2085.78700,4694.61900均显著异于0。
如上的检验结果说明这四种汇率波动序列都呈现出“尖峰厚尾”特征,同时也都具有左厚尾的特征。其中人民币兑美元和日元汇率的波动序列“尖峰厚尾”特性相对不明显。
(三)序列相关性检验
严格的随机游走模型认为时间序列是不相关的。时间序列在超前或滞后任意阶数上的自相关系数均应为零。可以通过计算样本序列的自相关系数ACF和偏自相关系数PACF来判断其自相关性。
计量学上规定ACF和PACF为零的标准差边界为±1.96/√T。
对于这四种汇率的波动序列,有效样本T=1889,所以1.96/√T≈0.0451。所以当ACF和PACF在(-0.0451,0.0451)区间外时,是统计显著异于0,表明存在序列相关性。
本文利用Eviews 6.0软件计算出四种汇率波动时间序列从1阶到5阶的ACF、PACF、Q统计量和对应P值。
观察结果,人民币兑港元汇率波动序列的自相关系数在滞后1阶时显著异于0,为-0.069,而人民币兑日元汇率波动序列的自相关系数在滞后2阶时显著异于0,为-0.076。再看Q统计量和P值,Q统计量较大,P值接近于0,而对应港元和日元分别为0.003和0.004,因此对于这两个汇率序列可以拒绝不存在自相关性的原假设。
因此,四种汇率波动序列中港元和日元均存在明显的自相关性,不是独立同分布,也即具备非线性的特征。
(四)异方差性检验
为了准确测量汇率序列的波动特征,本文采用ARCH模型对其进行异方差性检验,验证汇率市场在信息不对称条件下,对好消息和坏消息是否有不同程度的波动反应。
ARCH类模型的主要思想是:扰动项的条件方差依赖于它的前期值的大小。假设预测误差为实随机变量,记为时刻t的信息集,则一个ARCH(p)过程如下:
通常所用的ARCH检验方法有Wald检验、LM检验和LR检验。在相同的假设检验下,采用LM统计量的“拒真”概率是最小的。因此,本文选择LM方法来检验汇率时间序列波动的异方差性。
本文运用Eviews6.0,尝试对前两种汇率波动时间序列建立回归模型AR(1),并对模型残差序列进行ARCH-LM检验。
结果中,一阶下美元和港元所对应的统计量分别为4.32190和26.32476,对应的P值极小,因而可以拒绝同方差的原假设,在二到五阶下情况均类似,但总体上美元的异方差性较港元稍弱。
三、结论
通过本文的检验得出以下三个结论:
1、通过JB正态性检验证实了人民币汇率的“尖峰厚尾”特生,同时也都具有左厚尾的特征,其中日元较不明显。
2、AC-PAC序列自相关性检验表明人民币兑港元和日元汇率时间序列存在一定程度上自相关性,不是独立同分布,也即具备非线性的特征。
3、由ARCH-LM检验可知人民币兑美元和港元的AR(1)残差平方序列各阶均存在明显的ARCH效应——汇率的波动现象存在时间司序列上的“簇聚现象”,并且总体上港元要强于美元。
参考文献
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轮轨接触几何非线性特征参数 第6篇
车轮与钢轨或轮对与轨道间的接触几何关系对铁道车辆动力学有着重要影响。在实际情况中,轮对与轨道的接触几何关系不仅会随着不同线路区段上钢轨断面形状的变化而变化,还与轨距不平顺、轨底坡、轨道在垂向和横向的误差,以及轨道基础的弹性有关。同时,由于车轴的弯曲而引起的轮对内侧距的变化也会对其产生影响。
影响轮轨接触几何关系的主要参数有:轮轨型面、轨底坡、轮对内侧距和轨距。这些参数经常用来评估轮轨接触几何关系,或者作为铁道车辆多体动力学仿真的输入数据。虽然测试系统的进步使沿着轨道进行钢轨型面的连续测量成为可能,但即使是最新的非线性多体动力学仿真程序仍不能应用连续测量所得到的轨道型面进行动力学性能仿真计算。
由于轮轨磨损和轨距不平顺造成了轮轨接触几何关系的离散性很大,所以需要一个合适而又简单的参数来评估轮轨接触几何关系。“等效锥度”是源自轮轨接触线性化的一个参数,已经在铁路系统内广泛地应用于描述轮轨接触几何关系。在EN 14363[1]和UIC 518[2]车辆验收试验规范中,采用“等效锥度”来评估轮轨接触几何关系。同时,等效锥度还在TSI技术协议[3,4]中用来描述轨道(将实际测量的钢轨型面与理论车轮型面相结合)或磨损的车轮型面(将实际测量的车轮型面与理论钢轨型面相结合)。
在过去的几十年中,非线性铁道车辆系统动力学的进步,使人们认识到非线性轮轨关系对车辆运行状态的影响。有些论文介绍了关于非线性轮轨接触几何关系对铁道车辆稳定性影响的研究。影响轮轨接触几何关系的参数通常有轮轨型面、轨底坡和轨距[6,7,8,9]。但是,这些参数不能得到非线性轮轨接触与车辆运行状态间的普遍规律。因此,简化对轮轨接触关系的描述将依旧是轨道、车辆评估及多体仿真输入的重要课题。非线性动力学的发展与轮轨接触几何关系的实际评估之间仍然存在一定的差距,本文试图缩小这些差距,论述了非线性轮轨接触的影响,并提出了一种用2个参数描述轮轨接触几何关系的方法。
本文内容如下:在第2节中介绍了用拟线性化对轮轨接触几何关系做出的传统描述;第3节主要介绍了非线性轨轮接触几何关系和不平滑的轮轨接触几何关系对车辆稳定性判据的影响;第4节中,对所提出的用来描述非线性接触的特征参数进行了定义,并通过6个实例(分别具有3个不同的等效锥度)做出比较。这一节中讲述了这些特征参数的关系,稳定极限的分岔分析和车辆在已知的轨道不平顺线路上运行时的动力学响应。第5节是对全文的总结,并对研究前景做出展望。
2 线性化的轮轨接触特征
2.1 拟线性化轮轨接触模型
“等效锥度”是确定轮轨接触几何关系的一个评估准则。目前应用最广泛的拟线性轮轨接触模型[10]包括以下3个参数:
(1) 等效锥度λ;
(2) 接触角参数ε;
(3) 侧滚参数σ。
可以将轮轨型面用圆弧近似描述进行线性化,把上述线性化参数描述为关于车轮横截面半径RW、钢轨型面半径RR、轮轨名义位置的接触角δ0、左右车轮中心线距离的一半e0 和车轮名义滚动圆半径r0的函数(图1)。
在轮轨名义接触位置进行线性化,则等效锥度λ可表示为[11]:
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左右轮轨接触角差由接触角参数ε表示:
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绕纵向轴的侧滚角由侧滚参数σ表示:
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假设接触角很小(sinδ0≈δ0,cosδ0≈1),故undefined很接近于1。则名义接触点处的锥度线性化表达式(1)可以简化为:
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由于式(4)中的RR/(RW-RR)与轮轨圆弧截面的一致性有关,故可以称为一致性参数。
从式(4)可以看出,等效锥度的值受以下因素影响:
(1) 接触角;
(2) 轮、轨型面半径。
以上2种因素都会导致锥度的变化。如图2所示,在大的接触角和轮轨型面一致性差异大的情况下,接触区在轮轨接触面上的横向位移很小,接触角变化很小,侧滚角变化较大。轮轨型面一致性好、接触角小的情况下,接触区横移大,接触角变化很大,侧滚角变化很小。通常在磨耗后的轮轨型面匹配中可以观察到更一致的轮轨共形接触。但是轮轨接触几何关系与新型面或磨耗型面并没有联系。
拟线性轮轨模型的参数是通过谐波线性化计算得到的[11],在线性化过程中,不仅考虑了轮对在名义位置附近的较小位移,还考虑了轮对在轮轨间隙内的特定位移。在文献[12]中,作者提出了一种用拟线性轮轨接触计算车辆稳定临界速度对接触角参数和滚动参数变化的敏感度的方法。总的来说,运行稳定性对接触角参数和滚动参数的敏感度比对等效锥度的敏感度要低。等效锥度影响着其他参数,所以在轮轨接触几何关系的评估中,锥度往往成为唯一的一个参数。
在铁路应用中,轮对横向位移幅值为3 mm时,对应的等效锥度值常常被特定用来描述轮轨接触的几何特性[1,2]。因此,如果没有其他的注释,等效锥度就被认为是轮对横向位移幅值为3 mm时的锥度。
关于锥度的计算有多种定义和方法。等效锥度计算中的轮对移动可以是周期性的,也可以是随机的[13]。英国铁路使用规定标准偏差下的随机位移来计算等效锥度,但是在欧洲大陆国家普遍使用轮对的周期性正弦位移来计算等效锥度,并将这种方法写入确定等效锥度的标准[14,15]。
等效锥度计算中经常使用的方法有:
(1) 谐波线性化法;
(2) 应用Klingel公式进行等效线性化法;
(3) 滚动圆半径差函数的线性回归法。
当锥形踏面轮对从它的中心位置横向移动位移y时,它的左、右轮滚动圆半径rl和rr就发生了变化,车轮踏面的锥度λ可以描述为轮对滚动圆半径差Δr的函数:
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常常用关于轮对横向位移y的函数——车轮滚动圆半径差Δr来计算等效锥度。下文将会分析上面所提到的几种等效锥度计算方法的计算原理。在分析中假定左右轮轨型面是对称的,并且2个车轮的半径是完全相同的。在这些假设条件下,接触几何函数是对称的。
2.2 谐波线性化法
这一方法[11]旨在对轮对的一个周期的运动进行积分时,使非线性函数Δr(y)的估计值与拟线性化方法Δr=ky得到的预期值的平方差达到最小,使轮对运动接近振幅为A的简谐振动:
y(ωt)=Asin(ωt)=Asinφ (6)
在与线性化振幅A整合为一个非线性函数后,等效锥度可以表示为[11]:
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由于实测轮轨型面用数值表示,故等效锥度可以通过式(7)进行数值积分计算得出。
2.3 等效线性化法
等效线性化[14,15]是基于确定轮对运动波长和计算等效锥度的Klingel公式提出的:
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假设轮轨接触斑处的旋转力和横向分力可以忽略,就可以推导出自由无质量轮对以速度v在平直理想刚性轨道上沿x方向滚动的运动方程。考虑到轮对绕垂向轴的摇头角位移Ψ很小,假设纵向、横向轮轨蠕滑率为零,可以得到轮对在水平面内的自由运动方程:
undefined
消去时间变量,上述方程可以改写为:
undefined
利用文献[14]、文献[15]中描述的等效线性化方法,通过对式(11)进行数值积分,便可获得轮对重心从ymin(此时Ψmin=0)到ymax(此时Ψmax=0)的运动。对于可以覆盖研究范围的足够大的轮对位移幅值而言,上述积分只需计算一次。而后,可以通过对式(12)进行积分,来计算每一轮对振幅所对应的波长L。
将式(12)代入到式(11)可以得出式(13),设定式(13)的初始条件为y(0)=ymin和y′(0)=0(即Ψ=0),对式(13)进行积分也可以直接计算出波长L:
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将波长L代入到式(8)中即可得到等效锥度的值。
2.4 滚动圆半径差函数的线性回归法
这种线性化方法[14,15]是基于线性函数Δr的斜率k等于2λ的事实提出来的:
Δr=2λy=ky (14)
对于非线性函数Δr=f(y),线性回归的斜率近似于2λ。因此,通过计算从ymin到ymax范围内Δr函数的线性回归,就可以得到式(15)所示的等效锥度值:
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式(15)中:kLR——Δr函数线性回归后的斜率。
2.5 线性化方法比较
由于锥度计算方法的不同,由等效线性化法和谐波线性化法所得到的大的轮对横向位移出现的频率,比小的轮对横向位移出现的频率高。在线性回归法中,2种轮对横向位移的出现频率几乎相同,而在英国计算方法中,由于假设了一个随机轮对位移,因此,小的轮对位移出现的频率最高。不同的计算结果必然会导致不同的锥度计算值,在已刊发的文章中没有对这一课题进行过分析,作者所知道的唯一讨论不同锥度计算方法的差异的是Bonadero的一篇文章[16]。
用轮对横向位移幅值为3 mm 时所对应的等效锥度来描述轮轨接触几何关系的方法,考虑的是线性轮轨接触几何关系。但是滚动圆半径差和等效锥度还受非线性轮轨接触几何关系的影响。因此,即使轮轨接触几何在轮对某个位移幅值下具有相等的等效锥度,其车辆动力学性能也可能不同。下面的研究主要关注非线性接触几何关系对等效锥度的影响。本文研究的目标是,从非线性接触对铁道车辆动力学影响的角度,找出合适的参数来描述非线性轮轨接触几何关系。
3 轮轨接触非线性对铁道车辆动力学性能的影响
众所周知,轮轨接触几何关系对铁道车辆运行稳定性有很大影响。可以借助于分岔分析手段对非线性系统做出详细的稳定性分析。对于铁道车辆来说,常常用轮对横向位移幅值的分岔图来评估车辆稳定性,详细介绍见文献[17]。轮轨接触的非线性由以轮对位移幅值为自变量的等效锥度函数表示,作者通过自己的研究和与其他文献进行比较,界定了分岔图形状与轮轨接触非线性之间的关系,图3中用3种不同的车辆和2个不同的轮轨接触几何关系描述了这种关系。当轮对横向位移幅值取3 mm时,2种轮轨接触几何关系有相同的等效锥度值,但是对其他的横移幅值而言,等效锥度并不相同。对接触关系A来讲,轮对幅值函数所对应的等效锥度值呈逐渐上升趋势。分岔分析的结果显示为亚临界Hopf分岔。相比之下,对接触关系B来讲,在轮对横向位移幅值增大到5 mm的过程中(即接触点在远离轮缘的踏面区域),等效锥度函数值快速下降。在这种接触关系下,可以观察到一个超临界的Hopf分岔。在文献[18]中率先描述了这种“A型”和“B型”接触几何关系所对应的等效锥度函数的不同,而后,在文献[17]和文献[19]中进行了更为详细的描述。
在正斜率等效锥度函数下,当轮对横向位移很小时具有低锥度轮轨接触关系,往往导致大振幅的极限环的突然出现,以至于超出安全限值。这一现象可以用亚临界Hopf分岔来描述,即突发振动使得由极限环法得到的非线性临界速度和由超过安全极限得到的非线性临界速度值非常接近。在负斜率等效锥度函数下,当轮对横向位移很小时具有高锥度轮轨接触关系,常导致一个随车速增加而缓慢增大的极限环。这种情况为超临界Hopf分岔。根据标准EN 14363[1],在这种情况下,经常在速度远低于安全限值速度时就出现小振幅的极限环,但不一定会导致超出稳定限值(图4)。
正如上例,非线性轮轨接触几何关系通常决定了铁道车辆Hopf分岔的类型。车辆模型的非线性与上述轮轨接触的影响是相同的,可以改变Hopf分岔的类型,见文献[20],但是分岔图的变化趋势不会改变。从分岔图可以看出,亚临界Hopf分岔会导致低估临界速度的危险。如果试验或仿真中输入的轨道不平顺过小,那么,即使车辆运行速度高于非线性临界速度,车辆仍然可以稳定运行。对一个表现为超临界Hopf分岔的系统来说,它的非线性临界速度比安全速度限值要低。对这样一个系统的评估会得到一个过低的临界速度,使得非线性临界速度远低于通过车辆验收标准中规定的安全限值判定得到的临界速度。所以,稳定性评估可能会低估或者高估安全临界速度。因此,对车辆在极限稳定下动力学性能的理解成为铁道车辆稳定性评估的重要组成部分。
尽管轮轨接触几何函数形状和分岔图存在一定的对应关系,但作者和Chung以及Shim[21]都没有找到分岔图形状与轮轨磨耗之间的关系。因此,找出轮轨接触几何关系的特征参数,来描述上面所提到的非线性对车辆稳定极限的影响是一项重要工作。
4 非线性轮轨接触几何关系参数
4.1 描述轮轨接触关系的新参数
当前都用轮对横向位移幅值为3 mm时的等效锥度值来描述轮轨接触几何关系[1,2]。“等效锥度”在铁道行业内的使用经验已经证实,就车辆验收标准中所提到的不稳定限值而言,等效锥度是一个有用的信息。但是等效锥度并没有考虑到非线性轮轨接触关系的影响。
为了考虑轮轨非线性接触关系的影响,作者提出了一种由2个参数组成的新描述。与锥度函数斜率有关的第二参数的加入,延伸了等效锥度的现有定义。该“第二参数”可以评估相同锥度水平的轮轨接触几何关系。等效锥度可以对车辆的不稳定性等级进行评估,而该非线性参数可以描述某一不稳定等级的特点或性能。等效锥度与不稳定安全极限的临界速度有关,而本文中提出的非线性参数可以判定车辆的临界状态,即是以突发的轮缘接触极限环运动形式出现,或者以随速度增长而增长的小幅值极限环运动形式出现。
本文提出的对非线性轮轨接触几何关系进行描述的参数包括:
(1) 由现在使用的等效锥度所表述的等级参数,即轮对横向位移幅值为3 mm时的锥度值;
(2) 在轮对横向位移幅值为3 mm附近,与锥度斜率相关的非线性参数λN。
对非线性参数的定义,是以更容易地应用既有方法评估为目的。因此,可以通过对目前很多铁路工作者和基础设施公司所执行的锥度评估进行一些小的改进,以计算非线性参数。根据UIC 518[22]的最新修订版,在校核轮对横向位移幅值为3 mm对应的锥度值的同时,横向位移幅值为2 mm和4 mm的锥度值也应该被校核。描述轮对横向位移幅值在2 mm～4 mm之间每增加1 mm时锥度函数增量的非线性参数λN,可以由这3个锥度值计算得到:
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式(16)中:λ2——轮对横向位移幅值为2 mm时的等效锥度;λ4——轮对横向位移幅值为4 mm时的等效锥度。
在式(16)对非线性参数的定义中,认为有足够的轮轨间隙以避免发生轮缘贴靠钢轨。为了避免在小轨距情况下出现错误描述,可以利用在TSI 技术规范中高速部分[3]的做法,在考虑到最大轮轨间隙的情况下,对等效锥度定义进行类似的修正。式(16)可改写为:
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式(17)中:若 (TG-FG)≥7 mm,则yλ=3 mm;
若5 mm≤(TG-FG)<7 mm,
则undefined; (18)
若 (TG-FG)<5 mm,则yλ=2 mm
式(18)中:TG——轨距,mm;FG——轮缘外侧距,mm。
对所提出的非线性参数的定义还可以使用其他轮对横移幅值。对非线性参数定义的不同方法的初步研究表明,定义方法不同对结果并无重大影响,为了进行最终判断,还需要更进一步的研究。
4.2 轮轨接触几何关系评估举例
下面通过6个轮轨接触实例,对上面提到的特征参数进行比较和分析。所选择的轮轨实例分别代表了3个不同的等效锥度,同时,每一锥度又列举了2个不同的非线性接触关系。例中所选择的型面包括理想型面和磨耗后型面,它们并不代表典型型面或标准型面,而是为了在名义轨距1 435 mm和一定锥度的条件下,得到完全不同的接触几何关系和非线性效果。
应用以下几种方法计算等效锥度:
(1) 谐波线性化法,单轮载荷为70 kN的弹性轮轨接触;
(2) 谐波线性化法,轮轨刚性接触;
(3) 应用UIC 519[14]附录B中所提到的Klingel公式进行等效线性化;
(4) 根据UIC 519[14]附录C,对Δr函数(滚动圆半径差)进行线性回归;
(5) 英国算法即应用标准差分别为1.25 mm、2.50 mm和3.75 mm时的随机轮对横向位移幅值计算等效锥度。
在车轮直径850 mm、轮对内侧距1 360 mm、轨距1 435 mm的前提下,应用RSGEO程序[23]和VAMPIRE®软件[24]计算等效锥度。对上述各轮轨型面等效锥度函数的比较见图 5。在
图 5 的例 1b、例 2a
和例3a中,可以观察到刚性轮轨接触与弹性轮轨接触的不同。轮轨刚性接触是轮轨弹性接触在车轮载荷趋于0时的极限情况。如图6所示,在理想轮轨型面例1b的前提下,在车轮载荷很小时,上述结果导致Δr函数的差异(见图7(a)),接触区出现很大的位移。而在大的车轮载荷情况下,会观察到接触斑的加宽和接触斑中心的连续运动。
当轮对横向位移幅值大于6 mm时,有些例子的锥度结果差别很大。这些差别与轮对横向位移幅值所导致的车轮型面绕沿轨道中心线的转动(侧滚运动)有关。在文献[25]对Ayasse法的描述中以及Gerlici和Lack的文章[26]中,包括在UIC 519[14]和EN 15302[15]中,都忽略了这一影响,只考虑了轮轨型面的横向和垂向移动。但是,在应用仿真软件进行等效锥度计算的过程中,考虑了上述旋转运动的影响,这导致了Δr函数的不同(见图7(b),以1b轮轨型面为例)。对车轮踏面接触区域而言,这种差异很小,而对轮缘接触而言,这种差异就不能被忽视了。对车轮踏面接触区域而言,等效锥度函数形状是相似的。
意外的是,尽管在英国算法中使用轮对随机横向位移幅值替代周期性位移幅值,但是计算得到的等效锥度结果也出现了类似的规律。
本文对应用不同方法计算得到的轮对横向位移幅值为3 mm时所对应的等效锥度值进行了比较,结果如图8所示。尽管锥度函数图形状相似,但轮对横向位移幅值为3 mm时所对应的锥度值还取决于计算方法。显然,用英国方法对标准偏差(轮对横向位移幅值为2.5 mm)进行计算所得的结果,与用其他方法对轮对周期性横向位移(振幅为3 mm)计算所得到的结果差异最大。但是,将轮对横向运动假定为周期性运动计算而得到的结果也存在偏差。在本文所研究的例子中,锥度差值达到了0.14,大于锥度值的30%。对应用UIC 519和EN 15302中2种计算方法所得的结果进行了对比,除了图5中例3b两种结果差值为0.085外,其他差值都在0.02～0.03范围内。图5中例3b的锥度差值为0.085,而EN 14363规定,若车辆已装用新轮廓车轮而不是磨耗后车轮进行过试验,在其他条件不变的情况下,若装用的其他车轮锥度与试验过的车轮锥度相比,其最大增量没有超过0.05,则车辆可以免于试验。虽然UIC 519和EN 15302中描述的2种计算方法非常相似,但必须注意到这2种方法对实际情况所进行的简化处理(轮轨刚性接触、忽略轮对横向位移过程中车轮型面的侧滚)。因此,相对于通过弹性轮轨接触和考虑包括侧滚在内的车轮型面全部运动而得到的等效锥度值,由UIC 519和EN 15302中所描述的方法计算得到的等效锥度,对车辆运行状况进行响应分析是欠佳的。
通过这些比较可知,在车辆验收中,轮轨接触条件说明里所使用的轮对横向位移幅值为3 mm时所对应的等效锥度值只是一种象征性描述,这种描述只有在计算方法和计算工具都相同时才具有可比性。EN 14363中所给出的由于车轮磨耗而导致的锥度增量限值太小,甚至小于铁路行业中使用不同计算方法评估同一轮轨关系时可能出现的锥度差值。
针对所研究的几组轮轨匹配情况,本文提出的非线性参数见图9。这种描述由非线性参数(由式(16)得到)和轮对横向位移幅值为3 mm时的等效锥度(根据弹性轮轨接触的谐波线性化法得到)组成。正如图9中看到的,所分析的轮轨组合代表了3个不同的锥度水平,而每一个锥度水平都对应于一个正的非线性参数和1个负的非线性参数。
4.3 特征参数与车辆动力学响应
轮轨接触非线性对双层客车非线性模型分岔图和所研究轮轨关系的影响见图10。对等级参数(等效锥度λ)相同的2种轮轨接触几何关系,它们都在一个相似的速度附近出现了大于5 mm的轮对横向位移幅值,所以,对同一锥度而言,不稳定安全速度限值也是接近的。但是非线性参数λN的不同会导致分岔图形状和极限环形状的显著变化。
由于轮轨接触特征参数的变化而导致的分岔图改变趋势见图11。等级参数(等效锥度)的增加导致了不稳定安全速度限值的降低。而非线性参数的增加促进了Hopf分岔图的亚临界特性,在稳定极限状态可能会突然出现大振幅的极限环。车辆运行动力学在某种程度上是由车辆和轨道系统的整体非线性特性决定的,因此,其他车辆的分岔图与图10可能会有显著的区别。但是,作者在对其他车辆的仿真研究中发现与本文中提到的轮轨特征参数有相似的变化趋势,这证明了本文所提出的轮轨参数的变化趋势具有普遍性。
特征参数对所研究双层客车临界速度的影响见图12。由于图12(a)中的临界速度定义为出现极限环的最低速度,因此,在图12中可以观察到较大的不同。非线性参数对临界速度的影响甚至比等效锥度的影响更大。如图12(b)所示,当临界速度定义为极限环与轮对运动幅值相同时的速度时,不同临界速度间的差异减小,通过线路测试可知,临界速度主要受锥度的影响。因此,在临界速度计算[27]中出现的差异,以及在测试、仿真中出现的差异,都可以用所提出的非线性参数加以解释。
车辆在实测不平顺直线轨道上运行状况的仿真结果与轮轨特征参数间的关系见图13。结果显示,在B型轮轨接触几何关系下,即非线性参数为负时,会出现更大的转向架横向加速度和总导向力,文献[28]有进一步验证。随着锥度的降低或非线性参数的增加,转向架构架的横向加速度和总导向力的均方根值都有所下降,非线性参数的影响甚至比锥度的影响更大。轮轨特征参数与转向架加速度最大值、轮轨力最大值间的关系没有如此明显,但有类似趋势。
虽然图14证明轨道A的质量比轨道B好,但转向架构架加速度和轮轨力的均方根值和最大值还是与轨道B上得到的值很接近。轨道B的横向不平顺标准差达到了3.3 mm,横向不平顺的最大值达到了11.7 mm,而轨道A分别只有1.1 mm和5.0 mm。这一对比结果证明轮轨接触几何关系对车辆横向动力学响应起主要影响作用。因此,轮轨接触几何非线性参数的提出有利于车辆运行动力学性能的评估。
5 总结与展望
针对车辆测试或多体仿真过程中对实测或理论轮轨型面的评估,本文研究了轮轨接触几何关系特性的有关描述。首先介绍了用等效线性化法对轮轨接触几何关系所做出的传统描述,以及这种描述的局限性。然后介绍了轮轨接触几何非线性对车辆稳定性限度的影响。
本文提出了一种用2个参数描述轮轨接触几何关系的新方法。第一个参数可以评估车辆关于EN 14363[1]中所规定的不稳定安全极限的性能;第二个新参数则可以评估车辆在稳定限度下的预期响应:一个突然出现的轮缘接触钢轨的极限环,或者是一个随速度提高而增大的小振幅极限环。这一参数还可以表征车辆对轨道横向不平顺激扰的敏感度。通过具有3个不同等效锥度水平的6个轮轨接触关系,对本文所提出的轮轨接触关系描述进行了比较。介绍了特征参数、稳定极限分岔图和车辆在实测轨道不平顺上运行的动力学响应之间的关系。
本文所定义的特征参数可以改进对非线性轮轨接触几何关系的描述,并且具有普遍性。应用这一定义可以更好地理解在铁道车辆测试过程中,不同的轮轨接触条件下的运行状况,也可以对车轮情况(检查车轮维修的必要性)及轨道型面(检查钢轨维修的必要性)做更准确的评估,还可以在多体仿真中对轮轨接触几何关系做出更详细的说明。
本文只是改进轮轨非线性接触几何关系广泛性描述之路上的第一步。为了证实所观察到的关系,审定所提出的描述方法的适用性,或者是为了发现更好、更适合的参数,需要对测量数据进行进一步的评估,用所测得的轮轨接触几何关系进行大量的仿真,对线路试验进行更多的分析。这些努力将有助于改进轮轨接触几何关系的描述,并保持描述的简单性。随着这些特征参数与铁道车辆系统非线性动力学关系的越来越紧密,轮轨接触几何关系的测量和评估也显得越来越重要。
摘要：论述了轮轨非线性接触对铁道车辆稳定性判据的影响,提出用2个特征参数对轮轨接触几何关系进行描述的新方法。通过轮轨匹配实例,对比分析了特征参数对车辆运动稳定性的影响。
关键词：铁道车辆,轮轨接触,非线性,瑞士
参考文献
[1]EN14363Railway applications.Testing for the Acceptance of Running Characteristics of Railway Vehicles———Testing of Running Behaviour and Stationary Tests[S].CEN,Brussels,2005.
[2] UIC Code 518. Testing and Approval of Railway Vehicles From the Point of View of Their Dynamic Behaviour-Safety-Track Fatigue-Ride Quality, 3rd ed. [S]. International Union of Railways, Paris,2005.
[3] Directive 96/48/EC. Interoperability of the Trans-European High Speed Rail System, European Commission[S].Brussels, 2006.
线性代数的应用特征 第7篇
高等代数是数学专业的基础课, 而特征值与特征向量是高等代数课程中非常重要的一部分内容, 在现代科技的信号处理、模式识别、数据压缩技术等各个方面都有广泛的应用, 但特征值与特征向量的相关内容比较抽象, 学生学习起来没有兴趣, 因此有必要研究一下如何讲解才能既提高学生的学习兴趣, 又能使学生很好地理解这一部分内容.
目前, 随着现代科技的飞速发展, 现实生活中有大量的信息是用数据进行存储、压缩、处理和传送, 而存储器容量大小、传输带宽、速度等都有一定的限制, 所以数据压缩技术很重要. 数据压缩技术是信息时代快速发展的核心技术, 在图像文件中的应用也很重要. 数据图像压缩技术的模型可以通过矩阵的奇异值分解来建立, 而这主要依赖于矩阵的特征值和特征向量的相关知识, 因此考虑把讲解特征值和特征向量的相关知识与数据图像压缩技术有机地结合起来, 以提高学生的学习兴趣, 提高学生的学习效果.
本文主要研究在给出数据图像压缩技术原理的前提下, 如何把特征值与特征向量基础知识的讲解融会在数据图像压缩技术模型中. 把讲解特征值与特征向量这一专题的基础知识与数据图像压缩技术有机地结合起来, 在学习基础知识的同时, 掌握它们在图像压缩技术中的应用, 培养学生把理论知识应用于实践的能力, 确实实现数学基础知识的实践化教学.
二、“特征值与特征向量”教学研究与实践
对于数学专业的学生, 在实际教学中往往注重学生理论知识的学习, 对所学知识的实际应用介绍得很少或没有具体的介绍, 这样学生对所学知识只是被动地接受, 没有学习的自主性和积极性. 针对这些特点, 在讲授特征值与特征向量的概念和相关知识时, 可以把具体的应用实例引入课堂, 让学生在体会到它们的实际应用的基础上, 带着问题和兴趣去学习.
具体的教学过程我们可以按照如下几个步骤来进行:
( 一) 数据图像压缩技术模型的引入
在讲解特征值与特征向量这一内容之前, 给学生提供关于数据图像压缩技术的相关资料, 让学生通过自主的阅读和学习, 初步了解数据图像压缩技术原理和模型, 找出与原理和模型相关的未知的概念和结论. 为激起学生的阅读兴趣, 教师所提供的资料或文献应具有吸引力, 并且简单易懂, 最好图文并茂.
( 二) 数据图像压缩技术原理的讲解
在课堂上讲解数据图像压缩技术原理, 讲解的过程中可适当进行提问, 检验学生阅读资料的效果. 在此过程中也可允许学生适量地提出一些问题, 以便于把握学生对这一原理的理解程度, 进一步明确这一原理需要哪些数学知识做准备, 特别是有关于特征值与特征向量的概念和定理的一些知识, 使学生带着问题去听课.
( 三) 特征值与特征向量相关知识的讲解
在前面准备工作做完的基础上, 开始系统讲解特征值与特征向量的概念、性质等相关知识, 此时, 学生的目的比较明确, 听课时积极性很高, 与老师的互动进行得很好, 改变了以往只是被动在听的情况, 绝大多数同学都能跟上思路, 并能主动地分析问题和解决问题, 课堂气氛比较活跃.
( 四) 作业的布置
通过讲解, 学生对数据图像压缩技术原理和模型中有关特征值与特征向量的相关问题已基本理解和掌握, 可以布置每名同学选择图像数据, 自己建立模型把图像进行压缩并通过计算机进行恢复, 把所学数学知识应用于实际, 使学生体会到数学基础知识的实际意义. 这对今后课程内容的学习有很大的促进作用.
( 五) 特征值与特征向量在数学中应用的讲解
针对高等代数的课程内容设置, 讲解利用特征值和特征向量在矩阵的对角化、二次型的标准化等问题中的应用, 进一步让学生体会到特征值和特征向量相关内容的重要性. 并向学生表明我们所学的每一个数学知识点都有它重要的理论价值和实际意义, 激发学生学习的积极性, 变被动学习为主动学习, 提高学习效果, 培养学生分析问题和解决问题的能力.
三、研究与实践的效果
通过教学实践, 这种教学方式取得了很好的效果, 主要体现在以下几个方面:
( 一) 学生普遍欢迎这种新的教学方法, 学习兴趣和积极性比以前大为提高.
( 二) 学生的上课纪律明显好转, 自觉性提高, 平时不爱学习, 成绩较差的同学课堂表现也很出色.
( 三) 这种教学方式促进了老师与学生的互动, 学生可以大胆地提问, 并能得到及时的解答, 学生普遍反映跟得上老师的思路, 觉得数学也很有意思.
( 四) 由于理论与实际应用的结合, 使所学知识掌握得更牢固, 分析问题和解决问题的能力得到了提高.
( 五) 学生增强了自主学习的积极性, 经常有学生询问一些关于数学在实际中的应用问题以及教材和课堂以外的一些数学知识, 这对于他们参加大学生数学竞赛和大学生数学建模竞赛并取得好成绩有很大的促进作用.
四、结束语