导数的概念范文

导数的概念范文（精选12篇）

导数的概念 第1篇

一、经典教材中方向导数的定义

定义1:设e是平面上xoy以Po (xo, yo) 为始点的一条射线, 是与e同方向的单位向量。射线e的参数方程为

设函数z=f (x, y) 在点Po (xo, yo) 的某个邻域∪ (Po) 内有定义, 为e上另一点, 且P∈∪ (Po) 。如果函数增量 与P到的距离 的比值

当P沿着e趋于Po (即t→O+) 时的极限存在, 则称此极限为函数f (x, y) 在点Po沿方向e的方向导数, 记作 , 即

定义2:设 为一单位向量, e是xoy面上通过点P (xo, yo) 且以e为方向向量的有向直线, 它的参数方程为

设Q (x, y) 是 上任意一点, 则由参数方程可得

因此, 若将Z看成以为原点P (xo, yo) , 以e为正方向的数轴, 则参数t就是点Q在 轴上的坐标, 且 , 故也称t是点P到点Q的有向距离。

设函数Z=f (x, y) 在点P (xo.po) 的某个邻域内有定义, 是一非零向量, 是与同方向的单位向量, 如果极限

存在, 则称此极限为函数z=f (x, y) 在点P沿方向 的方向导数, 记作 , 即

定义3:假定函数f (x, y) 是在xy平面的整个区域R上有定义的, Po (xo.yo) 是R内的一点, 并且 是单位向量。那么,

f在单位向量 的方向在点Po (xo, yo) 的导数是

如果极限存在。其中参数 度量在u的方向从Po起的弧长。

二、对三个定义的辨析

定义1选自同济版高等数学 (第五版) , 其中的方向e符合人们的潜在思维习惯, 用一条射线来代表, 而P点自然在该射线的起点Po的沿着方向的一侧。这也是为什么定义中的极限t→O+是时的极限的一个原因, 而另外一个原因则是因为在这里, t代表的是P到Po的距离, 也就是t≥0。

方向导数 从本质上来说是函数f (x, y) 在点 处沿方向e的变化率, 而偏导数是研究函数f (x, y) 在点Po (xo, yo) 处沿坐标轴的变化率问题。这样, 方向导数的概念在本质上与偏导数并没有大的不同。但是, 偏导数在定义时所使用的极限却是双侧极限, 而非定义1的单侧极限形式。既然本质都是变化率, 那么用双侧极限来刻画方向导数应该也是可行的。事实上, 定义2就是这样做的。

定义2选自同济版微积分 (第二版) , 其中使用了一条已知方向的有向直线来说明问题, 就像数轴一样, 这时的参数t则成为了一个有向距离, 有正负之分。这样做的一个明显的好处就是把方向导数与偏导数概念统一了起来, 偏导数成为方向导数的特例, 而方向导数则成为了偏导数的推广。

比较一下两个定义, 会发现尽管叙述不尽相同, 符号意义有所差别 (定义3中直线的参数方程所采用的参数 不再像之前的定义中那样是任意选择的一个参量t, 而是度量 在的方向从Po起的弧长, 当然S≥0) , 但都是同样的含义, 可以看成是相同的定义方式。而且从受众面来说, 这种单侧的定义方式似乎更容易接受。

对于大部分的高等数学教材采用单侧极限的定义, 笔者认为主要的原因在于方向导数这个概念本身的提出就是应用的需求而非理论的衍生。例如, 热空气要向冷的地方流动, 气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。这样的例子在物理学中还有很多, 人们比较关心的是研究对象沿着某一特定方向变化的程度, 而不必非得将这个方向反向延伸来讨论两侧同时逼近的情形.当然甚至可能在某些问题中研究对象在另一侧根本就没有定义或者性质差别比较大, 这时按照定义2, 方向导数是不存在的。

三、总结

《导数的概念》教学反思 第2篇

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的`单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用(解答题的第2、第3个问)往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的8分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点(a,f(a))的曲线方程，

2、求曲线y=f(x)过点(a,f(a))的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，王祖青同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

《导数的概念》教学设计 第3篇

【关键词】导数 概念 能力

【中图分类号】O172-4；G642.4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0059-01

本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。本节主要介绍导数的概念。导数的概念是微积分学的核心概念之一，是后面即将要学习的函数微分、导数应用的基础；导数还是研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。而弄清理解好导数的概念学好导数的先决，可见其地位的重要性。导数的概念比较抽象，不容易理解。如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好的把本节课讲透能让学生更好的理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。

一、教学目标

1.知识目标

（1）要求学生正确理解导数的概念。（2）掌握导数的计算，能够用定义求导法求出给定函数的导数。（3）知道导数的物理意义与几何意义。

2.能力目标

培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及抽象概括的能力。

3.情感目标

培养学生主动探索、正确认识量变与质变对立统一的观点和科学严谨的精神。

二、教学重、难点

1.教学重点

对导数的定义的掌握、导数的物理意义与几何意义。

2.教学难点

导数概念的形成过程、对导数概念的理解。

三、教学方法

采用设问和反问式，以及运用启发式、探究式与引导式的教学法。

四、教学设计

1.课题引入

导数的概念比较抽象，为了便于学生能快速理解接受，先冲生活中的例子探月卫星绕地球旋转的轨道模拟试验入手提出问题，激发学生的求知欲。通过分析问题，得到要解决的两类模型，从而引出有待解决的问题。

这两个问题正是历史上导致导数概念产生的两个经典实例。接下来就和学生一起探究导数的形成过程，引导学生观察分析、比较归纳、发现规律，亲生经历数学的研究过程，自然而然的获得导数的概念，即本节课的核心内容，实现从具体问题抽象为一般问题的目标。

从这个实际问题入手，而不是先从导数定义将起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。从问题的提出、问题的分析、问题的解决到最后导数概念的形成，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

2.概念分析

为了便于学生更好的理解导数定义，带着学生一起对定义进行了分析，从定义的结构、导数的记号、等价形式、实质、计算方法步骤等几方面剖析了定义。

在分析定义结构时，可以采用先整体再局部分析的方式，整理成一个前提、三步加工、一种检验，即一三一型结构。这样提炼后更加便于记忆。对于导数的实质，在对定义结构分析时就可以总结提炼出来，即是求增量比的极限。关于计算步骤，实际上这正是“三步加工”中的内容，只是把这三步归纳为了计算步骤，这样更便于计算。

最后又从一点的导数定义得到了导函数定义，比较归纳了二者的区别与联系。这样对导数的概念就有了一个清晰的认识。

这样设计教学环节，不但可以让学生变被动为主动，还可以让学生在研究中发现，在思考中创新，达到综合培养学生独立思考、勇于创新、归纳总结以及解决实际问题的能力。

3.导数意义

在介绍导数意义的时候，可以联系前面开篇探月卫星绕地球旋转的轨道模拟试验的例子展开。实际上这个引例就是导数在几何和物理方面的意义。从而在整节课的教学环节上形成了首尾呼应。

在讲解导数的意义时，教师可以采用提问的方式，引导学生自己总结归纳。在得到导数的物理意义和几何意义后，为了能让学生更好的理解导数的意义，教师应该设计几个实际问题，去让学生自己动手解决。实际问题举出后教师不要马上给出答案，而是采用启发引导法，让学生自己去寻求问题解决的方法。在整个授课过程中，教师要特别注意对学生数学思想的渗透和数学应用能力的培养，这种用与实际问题相结合的方法，去检验学生所学效果的做法是非常值得提倡的，因为它使学生不但明白所学的知识从哪里来，还要清楚所学的知识到哪里去，从而提高学生的数学实践能力。

五、教学体会

本节课是一堂概念课，数学概念是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基础，也是数学思维的起点，在数学教学中具有重要地位。一般概念课比较枯燥，缺乏生动性，这就要求教师精心设计教学环节，充分调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣。在授课过程中教师可以采用多种教学方法，适时引导学生自主探究发现相结合，以学生为主体，探究为主线，注重思考方法的渗透，以已知探求未知，体验无限逼近、从特殊到一般、划归与转化的数学思想，提高广泛联系、抽象概括的能力，培养学生正确认识量变与质变对立统一的观点，形成正确的数学观。在整个教学环节的设计中，教师可以把握以下几个要点：一是以问题的提出为切入点，激发学生的学习兴趣；二是以问题的解决为中心点，提高学生的认知水平；三是以思想的渗透为关键点，培养学生的创新意识。经过这样的设计后，学生不但更好的理解了概念，也在不知不觉中培养了学生分析问题，解决问题的能力，从而能够更好的完成教学目标。

参考文献：

[1]胡秀娟.探讨数学高效的课堂教学方法[J]，课堂教学，2013年3期

“导数的概念”教学设计 第4篇

导数的概念是高等数学的重点内容导数中第一节的内容, 它是全章的核心, 在整个高等数学中具有相当重要的地位和作用. 导数是对函数知识的深化, 是极限思想的最直接应用, 是解决函数相关问题的直接工具. 导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具, 在其他学科中同样具有十分重要的作用, 在生产、生活的各个领域都有广泛的应用.

二、学情分析

1. 学生的情感特点和认知特点: 学生思维较活跃, 对数学新内容的学习, 有相当的兴趣和积极性, 这为本课的学习奠定了基础.

2. 已具备的与本节课相联系的知识、生活经验: 学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度, 并学习了一些关于函数变化率的知识, 为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫.

3. 学习本课存在的困难: 导数概念建立在极限基础之上, 极限是文科学生没有学习过的新知, 超乎学生的直观经验, 抽象度高; 再者, 本课内容思维量大, 对类比归纳, 抽象概括, 联系与转化的思维能力有较高的要求, 学生学习起来有一定难度.

三、教学目标

1. 知识与技能目标: ①通过实例分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 体会导数概念的实际背景.②会用定义求导数.

2. 过程与方法目标: 通过导数概念的形成过程, 让学生掌握从具体到抽象, 特殊到一般的思维方法; 领悟“逼近”思想和函数思想; 提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力.

3. 情感、态度与价值观目标: 通过合作与交流, 让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦, 体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱, 养成实事求是的科学态度.

四、重点与难点

重点: 导数的定义及几何意义.

难点: 在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率, 深刻理解导数的内涵.

五、教学方法与教学手段

教法:引导发现式教学法.

教学手段: 多媒体辅助教学.

六、教学过程

确定依据: 为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”, 为学生创设探究空间, 让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程, 从中获取知识, 发展思维, 感受探究的乐趣.

1. 创设情境, 引入新课

(1) 瞬时速度

播放一段林跃在2008 年北京奥运会10 米跳台夺冠的视频.

师: 假如在比赛过程中, 林跃相对水面的高度在为s, 则s是时间t的函数s = s ( t) . 请同学思考一下林跃在时刻t0∈[0, t]的瞬时速度v ( t0) .

生: 个人思考, 分小组讨论, 找到突破口. 要求瞬时速度, 就是通过研究t = t0时它附近的平均速度变化.

设计意图说明: 将抽象问题具体化, 使学生更靠近问题的中心, 通过实际操作, 来感知解决问题的关键.

师: 所谓t = t0时附近的平均速度又要怎么刻画呢? 瞬时速度和平均速度有什么关系呢?

( 2) 曲线切线的斜率

师: 设曲线C是y = f ( x) 的图形, 求曲线C在任意点M ( x0, y0) 处的切线斜率.

学生按照瞬时速度例子的讨论方式, 归纳出切线斜率为过点M ( x0, y0) 的任意一条割线斜率的平均变化率. 设M1 ( x0+ Δx, y0+ Δy) (Δx≠0) 为曲线C上的另一点, 则曲线C在任意点M ( x, y) 处的切线斜率

设计意图说明: 学生通过自己动手解决问题, 进一步加深了影响.

2. 类比探究, 形成概念

师: 上面两个问题虽然范畴不同, 但数学结构相同, 函数应变量与自变量改变量之比, 当自变量改变量趋近于零时的极限. 如果将这两个变化率当中的函数用f ( x) 来表示, 那么函数f ( x) 在x = x0处的瞬时变化率该如何表示呢?

师: 我们就把这个瞬时变化率称为导数. 在黑板上写出导数的定义, 并引导学生归纳求导数的步骤.

七、教学设计说明

课堂中遵循“学生为主体, 教师为主导, 学道为主线, 展示为主旨”的“四主”原则. 教师给学生创设自主探究、合作交流的空间, 指导学生类比探究形成导数概念. 让学生经历数学知识再发现的过程, 让学生在参与中获取知识, 发展思维, 感悟数学.

摘要：课堂教学是学校教学工作的中心环节, 提高课堂教学效率是教师追求的目标.在数学教学中, 如何能更好地激发学生的学习兴趣, 让学生更好地参与到课堂教学中来, 从而使学生主动地获取知识, 提高能力.导数的概念是高等数学中的重要概念之一, 导数是对函数知识的深化, 是极限思想的最直接应用, 是解决函数相关问题的直接工具.

《导数的概念》(第1课时)教案1 第5篇

一、教学目标：

1．了解曲线的切线的概念．

2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．

3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．

二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．

教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程： 1．曲线的切线

如图，设曲线C是函数yf(x)的图像，点P(x0,y0)是曲线C上一点，点Q(x0x,y0y)是曲线C上与点P邻近的任一点．作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

问：怎样确定曲线C在点P处的切线呢？因为P是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率tan，即tanlim2f(x0x)f(x0)ylim.x0xx0x例题

求曲线yx1在点P（1，2）处的切线的斜率k．

解：yf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)(1x)21(11)x22x

yx22xx2 xx∴klimylim(x2)2，即k2．

x0xx02．瞬时速度

我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数ss(t)描述． 下面以自由落体运动为例进行分析． 已知s12gt． 2（1）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．（2）求t3秒时的瞬时速度．

解：（1）3,3.1,t3.130.1,t指时间改变量．

ss(3.1)s(3)v11g3.12g320.3059.s指位置改变量． 22s0.30593.059.t0.1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．

ss随t变化而变化，t越小，越接近tts于一个定值，由极限定义可知，这个值就是t0时，的极限．

t11g(3t)2g32ss(3t)s(3)2 vlimlimlim2t0tt0t0tt1 glim(6t)3g29.4（米/秒）

2t0s问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当t0时，平均速度的极限）

t（2）从（1）可见某段时间内的平均速度教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下： 非匀速直线运动的规律ss(t)

时间改变量t，位置改变量ss(t0t)s(t0)平均速度vss，瞬时速度vlim．

t0tt一般地，如果物体的运动规律是ss(t)，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到tt这段时间内，当t0时，平均速度的极限，即

vlimss(tt)s(t)lim

t0tt0t例题

若一物体运动方程如下：

2(0t3)(1)3t2 s 2(2)293(t3)(t3)求此物体在t1和t3时的瞬时速度．

2解：当t1时，s3t2 ss(tt)s(t)3(1t)223122vlimlimt0t0ttt 26t3t limlim(63t)6.t0t0t当t3时，s293(t3)2

ss(tt)s(t)293(3t3)2293(33)23(t)2vlimlimlimt0t0tt0ttt

lim3t0.t0所以，物体在t1和t3时的瞬时速度分别是6和0． 3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）

（1）求yx32x2在x2处的切线的斜率． 解：yf(x0x)f(x0)

f(2x)f(2)

(2x)32(2x)2(23222)

10x6(x)2(x)3y106x(x)2 xylim(106xx2)10.∴klimx0xx0（2）教科书第111页练习第1、2题． 4．课堂小结

（1）曲线的切线．（2）瞬时速度．

（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．

五、布置作业

1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．（1）yx2,x2处，（2）y231,x0处． x12．已知某质点按规律s2t2t（米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度． 解：1．（1）k12，（2）k1；

数学史融入导数概念的教学案例 第6篇

摘要：导数是高等数学中一个非常重要的工具，能否把握导数的思想直接影响后期导数的应用。本文将数学史融入到导数概念的教学中，设计具体的教学方案，使得学生能够理解其中所体现的数学思想，方便以后的应用。

关键词：导数 近似 取极限

【中图分类号】G633.6

基金项目：河北省高等学校人文社会科学研究自筹资金项目（SZ16111）

16、17世纪，天文学、光学的发展，航海的需要，矿山的开发，火药、枪炮的制作提出了一系列物理和数学问题。例如求曲线的切线和运动物体的瞬时速度，两者殊途同归，都导致了微分学的产生[1]。为什么需要研究曲线的切线呢？17世纪数学家遇到的三类问题。

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题[2]，洛必达在其《无穷小分析》中列专章加以讨论。早在公元1世纪，古希腊数学家海伦就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形[3]，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角和弓形角就有过很多争议。17世纪，数学家遇到的更一般的问题是如何求两条相交曲线所构成的角，这就需要确定曲线在交点处的切线。此外，尽管古希腊人的切线定义适用于圆锥曲线，但对于17世纪数学家所遇到的更复杂的曲线就不一定适用了。况且，古希腊数学家并没有解决他们所发现的圆锥曲线和螺线以外的曲线的切线问题。这就促使17世纪数学家去寻找求切线的一般方法。

同样，当时匀速直线运动的速度不难求出，但变速直线运动的瞬时速度就比较困难。虽然先人也得到了一些结果，但这些结果都是孤立的、不连贯的。直到17世纪，牛顿和莱布尼兹在许多数学家工作和科学积累的基础上发现了微分与积分互为逆运算，从而创立了微积分。

在讲授导数概念时，结合数学史，用具体的例子介绍当时求瞬时速度和曲线切线斜率的方法，引入导数的概念。

一、具体问题

1、变速直线运动的瞬时速度

一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .

当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。那么如何求该物体在 时的瞬时速度？没有现成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的公式是平均速度的公式，是否可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度呢？在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。

具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[4]。

近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。

取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为：

。

这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。

2、平面曲线的切线斜率

学生们之前只学过圆的切线，并没有学过一般曲线的切线概念。首先举例说明，圆的切线的概念不能推廣到一般曲线的切线。那么该如何定义一般曲线的切线，这里用到了极限的概念。

定义：设有一曲线C，M是其上一点。在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿C向点M移动时，割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。极限位置即 。

设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。

同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，是否可以用割线的斜率近似表示切线斜率呢？若M和N距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让M和N距离很近。

具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[5]。

近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：

。

取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：

。

这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。

二、一般问题

1、一般变速直线运动的瞬时速度的求法

一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .

同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。当时可以用的公式是平均速度的公式，那么就用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度，当然在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。

近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。

取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为：

。

2、一般的平面曲线的切线斜率的求法

设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。

同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，那么就用割线的斜率近似表示切线斜率，若两点距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让两点距离很近。

近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：

。

取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：

。

三、導数的概念

很多问题都与上述两个问题存在着共同之处：解决问题的方法步骤相同，所求量的极限结构式相同。这样就逐渐产生了导数的一般概念：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导或在 处具有导数（或导数存在），并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即：

也可记作： 。

为什么引入导数概念要用这两个例子，因为它们代表了两位微积分发明人的不同方向。瑞士数学家法蒂奥德迪耶在1699年向皇家学会递交一篇论文，其中肯定牛顿是微积分的第一发明者，而莱布尼兹可能是剽窃，这掀起一场轩然大波，包括两位当事人在内的许多数学家都卷入争论。欧洲大陆的人士坚持莱布尼兹是第一位，而英国人也固执地忠于他们的大师，因此导致英国数学与欧洲大陆分道扬镳达百余年。由于狭隘的民族偏见等原因，英国学者迟迟不肯接受大陆的成就，拘泥于牛顿的流数术，其进展相对地落后了。在其后的200年间，数学的成就中心是在欧洲大陆。

历史事实经过300多年的考证分析已然清晰。现在公认的观点是：牛顿和莱布尼兹总结了前人的工作，各自独立完成了这空前的伟业，在时间上，牛顿约早10年开始，而莱布尼兹则早3年公布。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼兹却是侧重于几何学来考虑的。

参考文献

[1][美]莫里斯·克莱因著，古今数学思想（第二册）[M]，上海科学技术出版社，2009，万伟勋，石生明，孙树本 等译P49.

[2]Boyer，C.B.The first textbooks in Calculus[J].Mathematics teacther 1946（39）：159-167.

[3]Heath，T.L.A History of Greek Mathematics[M].London Oxford University Press 1921.

[4]李文林，数学史概论（第二版）[M].高等教育出版社，2003，P160.

[5] [美]H.伊夫斯著，欧阳绛译.数学史概论[M].山西经济出版社，1993，P296.

高职导数概念教学的教学设计 第7篇

导数概念是微积分最基本最重要的概念, 往往影响到学生在整个高职学习阶段学习微积分的兴趣, 导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具, 在物理学、经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都得到了广泛的应用, 导数的出现推动了人类事业向前发展。

由于数学本身的严谨性, 导数概念不仅在于它自身具有非常严谨的结构, 更重要的是, 导数运算是一种高明的数学思维, 用导数的运算去处理函数的性质更具一般性, 获得更为理想的结果;如能把导数的运算更好地应用于解决问题上, 可使学生站得更高看得更远, 能把微积分作为一个重要工具, 在其他专业课程或日常生活中能运用微积分的思想则是高职数学教学达到的重要目标, 导数概念的教学是学生认识微积分, 打开微积分大门的关健一步。在高职院校数学的教学中, 由于学生的数学基础参差不齐, 要学习较为抽象的导数概念, 往往觉得枯燥难学, 提不起学习兴趣甚至产生厌学的情绪, 不但影响了数学课程的学习, 还因对概念的理解不深入, 在相关的导数应用时会束手无策。本文作者在教学过程中, 从导数概念的内容、教法及教学过程进行了有一定成效的教学设计, 取得了一定的教学成效。下面就导数概念的教学设计展开介绍和讨论。

1 内容特点及学情分析

学情特点:首先, 现阶段的中学数学教学大纲中, 导数概念及应用也包含在其中, 中学大纲的要求是让学生了解导数概念并能进行一些简单的应用, 所以在学生眼里, 导数概念在中学的课本里已出现, 而在高职数学课堂上想让学生再接触该概念, 往往容易让学生觉得没有必要甚至产生厌学的情绪, 而学生对大学的期望值又高, 这时进行导数概念的教学对教师及学生提出了一个更新更高的要求;另一方面该概念超乎了学生的直观想象力, 抽象度高, 极限概念和运算在学生的思维里只停留在一个单纯简单的运算阶段, 而导数概念当中的极限思想远已超越了单纯简单的运算意义;但有利因素在于学生们已有大量的函数瞬时变化率、物理瞬时变化率的经验, 且他们的思维正处于最活跃阶段, 刚进校对大学的学习充满期望, 只要调动得当, 自然会引导他们对导数概念的学习产生浓厚的兴趣, 从而达到理想的教学目标。

内容特点:导数概念是建立在已有函数概念和极限运算的基础上, 几乎所有教材都是以两个实例带出, 两个引例的内容学生不陌生, 它们可作为问题的切入点;导数概念的关健内容是求极限, 而这个极限的条件是自变量的增量趋向于零时, 内容是一个增量比的极限, 这个极限即由平均变化率到点的变化率的过渡。

在多年的教学经验中, 作者针对以上两个的特点, 确定该概念教学设计的总方向是从学生的思维特点出发, 把问题化抽象为具体, 分解瞬时变化率的内在含义, 一步一步地引入, 达到了理想的教学效果。其中教学设计的重点是更关注导数是一个极限, 是一个瞬时变化率等意义的真正理解, 难点是概念当中极限的意义和所起作用, 即平均变化率到点变化率的过渡, 这个过渡偏偏又是导数概念抽象之处。此时教师如能从不同于在中学时所述问题的角度又高于该角度来进行教学, 学生才会更愿意去接受, 也会做出比中学时更深入和广泛的应用。

2 教学设计和过程

2.1 内容设计

(1) 内容一:两个引例, 以它们作为切入口引入新课, 一个是求变速直线运动的某点瞬时速度, 另一个是求曲线上某点切线的斜率。

(2) 内容二:导数的概念, 在分析解决问题的关健时, 强调引例中解决问题关健的三个步骤作为引路线, 即曲线的斜率中的:Δy、;变速运动中的ΔS、;分析和分解三个步骤的本质和每步进展所起的作用, 指导学生按步骤去思索, 使概念的产生水到渠成。

(3) 内容三:举例求函数的导数, 实践和体会概念。

(4) 内容四:导数的几何意义和物理意义。

(5) 内容五:给出函数不可导的例子和图象, 了解不可导的意义。

2.1.6 (6) 内容六:练习及小结, 熟练和巩固导数概念。

2.2 教学方法设计

结合导数概念的特点, 重点在于分解概念成几个小环节, 突出重点, 分散难点。教学设计的整个流程如图1。

2.3 教学过程的实施

2.3.1 运用多媒体课件的演示给出两个实例, 引入新课

两个实例: (1) 求曲线上某点的切线的斜率; (2) 求变速直线运动的某点瞬时速度;在此前, 学生已有切线概念是曲线与直线只有一个交点这种狭隘的方式, 作者利用多媒体的教学途经, 弥补传统教学的不足, 增加教学效果的直观性, 在图形上用动态的观感来吸引学生的注意, 其中动画图形先让学生先通过观察曲线的切线形成过程, 是如何由割线通过切换而得, 得到对切线概念更广泛的认识;再给动画图形展示如何由曲线的割线位置往切线位置的转动, 从动态过程启发理解割线斜率往切线的斜率的转变, 这样动画切换可直观地感受和理解无限逼近思想, 揭示极限的思想和作用, 理解增量比的极限的本质, 过渡到更深层的瞬时变化率理解, 提高了学生学习积极性, 吸引学生的目光。同时通过对求平均速度的分析, 由一小段路程的速度转化为一点的速度的形成过程, 强调极限在当中所起的作用。

在学生观察动画时教师同时提出几个思考的问题:

(1) 由一小段的平均速度变换成一点瞬时速度如何实现?

(2) 由割线的斜率变换成一点切点斜率如何实现?

(3) Δx→0和Δt→0的目的何在?

(4) Δx→0和Δt→0的过程是动态的, 还是静止的?

2.3.2 强调三个步骤及分解三个步骤的本质

即求切线的斜率时:Δy、, 弄清三个步骤中的每项含义并提出思考问题:

(2) 在求极限过程中, Δx和x谁是常量, 谁是变量?

2.3.3 抽象形成概念

其中提练出导数概念是:函数y=f (x) , 若自变量x在x0处有增量Δx, 则函数y相应地的增量Δy, Δy=f (x0+Δx) -f (x0) , 比值

若当Δx→0时, 的极限存在, 则这个极限值称为函数y=f (x) 在x0处的导数。

2.3.4 概念的引申拓展

在给出概念后, 还要对概念进行引申拓展, 导数是一个极限, 又不是一个普通的极限, 这个极限的含义还可以有以下形式如:

作者在学生理解了上述几个形式后, 还会给出以下形式, 让学生思考下列各式子可表示什么:

2.3.5 以例子加强概念内涵的理解

(1) 导数概念内涵挖掘一:求函数的导数即求出一个极限。

例1:求函数y=x2的导数作为例子, 按上述三个步骤求出该函数y=xn的导数。再以求函数的导数作为例, 得出幂函数求导公式, 即 (xn) ′=nxn-1。当中通过求导过程引导学生经历数学知识再发现的过程, 让学生在参与其中获取知识, 巩固概念, 发展思维, 感悟数学, 提高学习的积极性。

(2) 导数概念内涵挖掘二:函数的导数是一个不定型的极限。

教师作以下演算例2:

1) 求下列极限:

2) 使用导数概念:

结论:导数是一个极限值且是一个不定型的型, 反过来极限值也可通过导数概念来解释。

(3) 导数概念内涵挖掘三:函数的导数是一个瞬时变化率, 几何意义、物理意义箅经济意义。

教师给出下列问题加强对瞬时变化率的理解:

1) 导数概念, 是变量y对x的瞬时变化率。

2) 如求函数y对自变量x的瞬时变化率时, 则有切线斜率;

如求路程S对时间t的瞬时变化率时, 则有速度

求速度v对时间t的瞬时变化率时, 则有加速度

求市场需求量q对价格p的瞬时变化率时, 则有需求弹性

求电量Q对时间t的瞬时变化率时, 则有电流等。

(4) 导数概念内涵挖掘四:函数的导数与连续的关系, 不可导的理解。

例3:求函数y=|x|在x=0处的导数, 按上述三个步骤求。

由结论得此时极限不存在, 即该点不可导。

结论:即曲线的尖点处不可导, 连续不一定可导。

例4:给出圆的图象, 通过作圆的切线, 当圆的切线与x轴垂直时, 此时切线的斜率不存在

而y′=k, 由结论得此时导数也不存在, 即该点不可导。

结论:切线与x轴垂直时, 该点也不可导。

在对导数内涵发掘的过程中, 为学生营造可以讨论问题认识问题的机会, 以这种教学形式介绍导数概念, 不但使学生学习积极性被充分地调动起来, 主动地思考和发现问题, 增加了学生的知识面, 使导数概念丰富多彩, 同时运用数学思维方法来解决问题的能力得到了更大的提高, 有助于创新和应用能力的培养。

2.3.6 学生做练习及教师小结, 巩固导数概念

安排完成练习, 用导数定义求下列函数的导数:

巩固导数概念的三个步骤。

高职数学教学中, 在课堂上把数学概念枯燥难以接受的内容进行上述精心的教学设计, 让内容更丰富立体, 知识变得生动有趣, 体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱, 养成实事求是的科学态度, 也达到了高职数学课堂上的素质教育目标, 培养了学生的数学素养。为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”, 为学生创设思考想象的空间, 让学生感受探索的乐趣, 把瞬时变化率这个抽象难以理解的概念学到并在将来有机会进行运用。

3 教学设计过程的反思

在数学概念的教学设计中, 还要充分了解学生的基础和知识面, 往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上, 如推导幂函数的求导公式时, Δy= (x-Δx) n的展开式往往是学生遗忘较大的, 在该环节上还要补充中学的知识才得以完成。

参考文献

[1]张琨.浅谈方向导数教学中的若干问题[J].太原大学教育学院学报, 2009, 27 (6) :64-65.

[2]黎诣远.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社, 1998, 767-110.

[3]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报2003, 12 (2) :83-86.

[4]王波.关于数学概念教学的几点思考[J].宁夏教育科技2008, 23 (3) :51-52.

[5]王昌元.关于导数概念的教学设计片段[J].数学通报, 2012, 51 (6) :28-29.

[6]王淑芝.导数教学对学生素质教育的培养[J].吉林教育学院学报, 2009, 25 (2) :70-71.

导数教学中的函数概念再教学 第8篇

一、导数教学中对函数概念的再认识

导数, 即导函数, 它的引出和定义始终贯穿着函数思想, 为什么这么说呢?首先要看一下高中数学中对导数的定义.我们首先定义一个函数y=f (x) 在点x0处可导, 且x0处有唯一的导数f (x0) , 然后定义函数y=f (x) 在开区间 (a, b) 内可导, 因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定的导数f (x0) .根据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新函数, 这个新函数就是导数.此处提到了根据函数的定义, 那么函数的定义或者说函数的概念又是什么呢?

函数是数学中的一种对应关系, 是从非空数集A到实数集B的对应.精确地说, 设X是一个非空集合, Y是非空数集, f是个对应法则, 若对X中的每个x, 按对应法则f, 使Y中存在唯一的一个元素y与之对应, 就称对应法则f是X上的一个函数, 记作y=f (x) , 称X为函数f (x) 的定义域, 集合{y|y=f (x) , x∈R}为其值域 (值域是Y的子集) , x叫做自变量, y叫做因变量, 习惯上也说y是x的函数.对应法则和定义域是函数的两个要素.

由于函数的学习在高中阶段要远早于导数, 因此这样旧话重提, 不但是一种对函数概念简单的复习, 而且结合着导数的定义, 我们对函数的概念又有了新的认识.因为学习函数的时候, 我们已经习惯了将函数的定义域局限于一个集合里面, 定义域中的任意数都对应着它的唯一值, 而没有想到过, 当将定义域缩小到某一个连续可导的区间时, 会产生一个全新的函数, 而且这个全新的函数拥有函数的一切特性, 也遵循着一一对应的法则.通过这种定义层面的对比与教学, 我们在导数的教学过程之中, 就实现了对函数概念的再认识.

二、导数教学中对函数性质的再教学

1. 导数与函数的图像

导数在物理上有着应用价值, 在几何上同样有意义:函数y=f (x) 在点x0处的导数f (x0) , 就是曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) 处的切线的斜率k, 即:k=tanα=f (x0) .相应的切线方程为y-y0=f (x0) (x-x0) .这就将导数与函数的图像联系了起来, 导数在有关函数图我们对导数与函数相互关系的理解.

结合具体的题目进行讲解:

已知曲线C:y=x3-3x2+2x, 直线l:y=kx, 且直线l与曲线C相切于点 (x0, y0) (x0, 0) , 求直线l的方程及切点坐标.

在求解这道题目的时候, 首先引起我们注意的是“相切”这个词眼, 自然而然我们会想到导数.将曲线C的方程还原为一个函数, 那么这个题目就转变为求函数在某处的导数这个简单的问题.

2. 导数与函数的单调性

用导数来确定函数的增减区间相对于学习函数单调性时所采用的定义法和图形法, 更为直接, 更为简便.导数的引入, 使函数的单调性在另一个层面得到了体现, 也为我们判断函数的单调性提供了一个更加快捷的途径, 也便于我们更好地理解函数的性质.函数的单调性也称为函数的增减性.通常的在某个区间 (a, b) 内, 如果f′ (x) >0, 那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递增;如果f′ (x) <0, 那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递减;如果在某个区间内恒有f′ (x) =0, 则f (x) 是常数函数.一般的, 求解可导函数y=f (x) 单调区间, 可以分为以下四个步骤: (1) 确定函数y=f (x) 的定义域; (2) 求导数y=f′ (x) ; (3) 解不等式f′ (x) >0, 解集在定义域内的部分为增区间; (4) 解不等式f′ (x) <0, 解集在定义域内的部分为减区间.结合具体的题目进行讲解:

已知函数f (x) =4x+ax2-32x3 (x∈R) 在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数a的取值范围.

题目中已经给出了函数的单调性, 要求得出某个未知数, 那么可以将利用导数求解函数单调性步骤反过来运用, 由已知推算未知.

3. 导数与函数的极值

关于导数概念教学的几点思考 第9篇

一、正确理解导数概念的地位与作用

导数的概念是高等数学的核心概念之一，它是从实践中抽象出来的，具有鲜明的实际意义、广泛的应用性和理论意义.导数概念的产生来源于实际问题，经典是例子是瞬时速度问题和切线问题，经过这两个例子的分析，抹去其实际背景，抽象其共同的数学结构，归纳出导数的概念，因而导数的概念既有实际背景意义又有抽象性.正因为其抽象性，决定了其应用的广泛性，它不仅可解决物理的瞬时速度问题和几何的切线问题，同时还可以解决大批类似的实际问题.正因为如此，才有必要从理论对导数的概念进行研究.导数的概念在高等数学中有十分重要的理论作用，它不仅是本章的求导和求微分的基础，同时也是导数应用的理论前提和理解积分概念的基础.

二、做好引例的设计，发挥引例的作用

导数概念来源于实际问题，其引例有很多，典型的引例有两个，一个是求物体在直线上运动的瞬时速度问题，另一个是求平面曲线在某点的切线问题.这两个问题分别由牛顿和莱布尼茨提出，都与微分学产生相关.那么如何把这两个引例的教学做好呢?重点是把教材的引例设计好，发挥引例的作用对切线问题的引例可以这样设计：

第一, 要明确问题，使问题简单明了.问题：已知函数y=(x)及对应曲线C的图形，求曲线C在点M (x0, y0) (y0=f (x0))处的切线.

第二, 要对问题进行细化，层层递进.要解决切线问题，一要说清为什么要讲这个问题;二要讲清如何求该切线.为此可以设计如下几个小问题：

1. 求曲线y=x2在(1, 1)处的切线.

2. 求曲线y=x3在(1, 1)处的切线.

3. 回顾高中关于二次曲线切线的定义，思考该定义是否可推广至一般曲线的切线?

4. 如何定义一般曲线的切线?

通过以上几个问题，学生慢慢地会明白高中所学的切线定义及求法只是一种特殊情况，不具有一般性，从而产生求知欲望和兴趣.由第一个问题，学生可以回顾高中的相关知识，但到了第二个问题未学过微积分的学生按高中方法就难以求出切线了，这样学生就会对什么是曲线的切线和如何求切线的问题产生一定的兴趣，于是教师就可以很自然地引入曲线切线的定义，定义如下：

设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C有点M处的切线.

第三, 要对曲线切线的定义从多方面进行讲解，力求使学生理解透彻.从上面的定义可以看出，曲线的切线位置就割线的极限位置，它是割线的动态逼近的结果.因此要理解切线就必须从文字、图形、多媒体动画等方面加强切线的含义.课堂教学时可采取学生动手计算和多媒体动画演示相结合的手段来进行，让学生明白切线的含义及其定义中的极限思想.与此同时，我们可以通过分析得出切线的斜率，其实切线的斜率就是割线斜率的极限.

对第二个瞬时速度的引例，我们也可采用类似的方法，其关键在于理解瞬时速度的含义，从而找到平均速度和瞬时速度的关系，即瞬时速度是平均速度的极限.

最后归纳两个引例的结果，引出导数的概念.一个是数学上的切线问题，一个是物理的速度问题，虽然它们来自不同的学科，但它们有共同的数学结构，都是函数增量与自变量增量比的极限，从而引出导数的概念.

三、抓住导数本质，精心设计例题

导数有着丰富的背景和广泛的应用，其导数的形式具有多样性，但其导数的本质不会变，导数本质反映的是函数的变化率，即是函数变化的快慢.为了加强学生对导数本质的理解，一方面可以列举实际例子，除切线斜率和瞬时速度问题外，还可以列举经济的边际成本问题，物理上的电流问题，净化水时净化费用的瞬时变化率问题，等等，通过多样性的实际问题，使学生进一步理解导数的本质.另一方面可以围绕导数的本质和形式的多样性来设计例题.例如对导数定义有不同的形式，常见的有.为了加强对导数不同定义形式的理解，我们可以设计如下例题：

例题：设f′(x0)存在，求下列极限：

通过以上例题，可以进一步加强学生对导数概念本质的理解.此外在设计利用导数定义计算导数的例题时，要围绕求基本初等函数的导数来进行，这样既可以加强导数计算步骤的理解，又可以向本章的核心问题的解决靠拢，为后面导出基本初等函数的导数公式和解决初等函数的导数问题做铺垫.

摘要：导数概念教学是高等数学教学的一个重要部分, 其教学效果的好坏直接影响到高等数学课程的后续教学质量的高低.本文从导数的地位与作用、做好引例设计、抓住导数本质三个方面, 对导数概念教学进行探索与思考.

关键词：导数概念教学,高等数学课程,引例

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第六版) .北京:高等教育出版社, 2010.

[2]赵树嫄等.高度数学 (修订本) .北京:中国人民大学出版社, 2006.

导数概念教学探议 第10篇

随着教育改革的不断深化, 大专学生的学习重点从掌握纯粹的理论知识逐渐转变为提高知识迁移与运用的能力。高等数学是大专学习的基础课程之一, 怎样让学生更好的学习、掌握这门课程是众多大专教育工作者关注的焦点问题。导数概念是高等数学中的思想深邃、内涵丰富的概念, 能够充分体现高等数学教学的特点。因此, 对导数概念教学的有效策略进行探讨, 能够更好地指导大专数学教学工作, 是十分必要的。

一、导数概念教学前的准备

1、明确教学目标

要提高导数概念教学的效率, 首先得明确教学目标, 并制定详细的教学目标。导数概念的教学目标包括知识目标、能力目标和情感目标。首先, 知识目标。导数概念教学应当使学生掌握导数的概念, 掌握导数的实质含义, 掌握导数的几何意义, 弄清导数和连续的关系, 可以运用幂函数、常数、正余弦函数以及对数函数等初等函数进行求导运算。其次, 能力目标。导数概念教学应当培养学生善于抓住问题本质, 从表面现象中总结归纳规律的能力, 培养学生运用导数知识解决相关问题的能力, 培养学生知识迁移的能力。最后, 情感目标。导数概念教学应当注重培养学生严谨的学习作风和勤于思考的习惯。

2、找准教学重点难点

导数概念是微积分学中的重要定义, 学生能否牢固掌握导数概念直接影响到其接下来的学习。导数概念教学应当以学生的实际学习水平和专业情况为依据, 尽量运用专业课中的导数原型例子, 加强对实际问题的分析, 从而深化学生对导数的认识。在大专导数教学中应当适当淡化一些理论、公式的推导过程, 合理的降低教学难度, 以适应大专学生的数学水平。在实际教学中, 应当将导学概念教学的重点放在导数概念的理解与问题分析能力的培养上, 切实解决部分学生难以充分理解导数概念的问题。

3、明确教学方法

导数概念教学应当遵循教、学、做一体化的原则, 将概念获得模式当作主要的教学策略, 将引导、启发、讨论作为主要的教学方法。在课堂教学中, 注重将传统教学与多媒体教学相结合, 运用多媒体设备生动地呈现大量的导数概念信息, 直观明了地展示导数演算过程, 从而加深学生的印象。教师根据学生的认知规律, 引导学生观察、分析、发现问题、解决问题, 逐步加强对导数的认识。再引导学生展开讨论, 使学生进一步掌握导数概念, 加强对导数本质涵义的理解, 促进学生知识的迁移, 从而提高学生运用导数概念知识解决实际问题的能力。

二、导数概念教学过程中的策略

1、合理设置问题, 抽象概括定义

目前, 大部分教师在导数概念教学中只采用切线问题与速度问题这两个经典例题, 不利于激发学生的兴趣, 提高学生学习的积极性。教师在导数概念教学中, 应当充分了解学生的实际情况, 结合学生的专业背景, 设置贴近学生实际的问题, 从而让学生认识到数学学习的有用性, 积极主动地学习。例如, 在给化工专业的学生授课时, 可以设置与化学反应速度相关的导数问题, 以吸引学生的注意。经过问题设置引导后, 可以让学生对导数概念定义中的关键点进行讨论, 进而概括、归纳定义。

2、延伸定义, 强化理解

利用导数与自变量的关系、点点可导等引出导数的符号和定义。提示学生注意导数符号的区别, 引导学生掌握基本的初等函数求导公式, 鼓励学生独立进行公式推导。在教学过程中应当加强导数定义的适用性, 淡化理论。为了使学生能够更好地理解、掌握导数概念, 教师可以介绍一些导数产生的历史背景, 激发学生兴趣。与此同时, 可以将导数的几何意义引出。为了深化学生对导数概念的理解, 教师还可以运用特殊函数, 如y=|x︳, 详细讲解函数可导和连续的关系, 让学生寻找函数的不可导点, 认清连续函数和可导的区别。

3、鼓励学生提问, 布置开放性作业

在导数概念的教学中, 教师应当预留一定的时间供学生提出疑问, 促使学生积极地思考导数概念中的相关问题, 充分发挥学生学习的主体作用。在课后教师可以布置一些开放性作业, 例如, 让学生搜集不同领域中导数的代名词, 搜集可以用导数解决的实际问题, 搜集和导数定义过程相似的定义等。从而开拓学生的视野, 让学生充分认识到导数的作用, 为导数的应用学习打下牢固的基础。

三、结束语

综上所述, 教师导数概念教学中, 应当明确教学目标、找准教学重点难点、明确教学方法, 通过合理设置问题、抽象概括定义, 延伸定义、强化理解, 鼓励学生提问、布置开放性作业等途径提高导数概念教学的效率。在导数教学中, 要不断地优化教学目标、教学内容、教学结构和教学方法, 围绕导数概念进行教学设计, 根据学生的认知水平适当地调整相关的教学环节, 使大部分学生都可以跟得上教学进度, 提高教学质量。教师应当根据导数概念教学大纲和学生的实际, 仔细分析导数内容与特点, 深入挖掘教材的优点, 确定合适深度、梯度和广度的导数教学内容。最后, 充分发挥教师的主导作用, 运用合理的教学方法, 通过示范、举例和语言等手段系统地教授导数知识, 提高学生的知识水平。

参考文献

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[4]《导数概念教学中值得补充的几个问题》, 《中学教学研究》, 2007 (08) 。

导数的概念 第11篇

【关键词】数学文化;数学教学;导数概念【Abstract】Mathematics itself is human abstractive thinking, it is abstract decision mathematics is a kind of culture, is an important part of human culture of bright. This article from the concept of the historical and cultural background introduction and show from the concrete to the abstract summarizes the mathematical methods of two aspects about the concept of derivative is introduced into the teaching of mathematical culture education. Mathematical culture is traditional, permeability, philosophy, aesthetics and self perfection and other characteristics, in the classroom teaching of mathematical culture education can help students to form the correct mathematical concept, improve students' mathematical quality, so as to enhance the overall quality of students.

【Keywords】Mathematics culture; mathematics teaching; the concept of derivative

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089(2012)09-0038-01

引言

数学作为一种文化现象历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20 世纪下半叶才由美国著名的数学史学家倪莱因在其3本力作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》 和《数学——确定性的丧失》中从人类文化发展史的角度进行了比较系统而深刻的阐述[1]。伽利略曾说:数学是上帝用来书写宇宙的文字。现在也有数学家说:数学是看不见的文化。的确,数学作为一种文化,它的产生和发展伴随着人类文明的进程,并在其中起着极其重要的推动作用,占有举足轻重的地位。同样在我们的教育中,数学文化的地位也是举足轻重的,“以提高学生素质,特别是提高民族素质为最终目的的数学教育,从根本上来说应该是数学文化教育”[2]。这就要求数学教育工作者在教育教学中,应该注重渗透数学文化的思想,体现其教育价值。因此,在高等数学课堂教学中,教师应从具体的数学概念、原理、定理的讲授,数学思想、数学方法的传授中揭示数学的文化底蕴,从多个侧面多个角度向学生展现数学文化,从而用数学精神、原则、思想提升学生的文化素养。文章结合自身的教学实践,浅谈一点在导数概念引入的教学中进行数学文化教育的体会。

1揭示数学概念的历史文化背景,感受数学的求真探索精神

数学概念来源于生活实践,在我们生活会遇到许多问题,这些问题的解决促使了很多概念的产生,当人们遇到用现有的概念、方法不能解决的问题时就会创立新的概念、方法和理论。导数的概念,就是在解决变速直线运动的瞬时速度和曲线切线的问题时产生的,从而导致了微积分理论的创立,开创了数学史上的新纪元,因此导数概念有着十分丰富的实际背景。在引入导数概念的教学中,教师应向学生介绍其产生的历史文化背景,介绍创立微积分的数学家——牛顿与莱布尼茨的故事与贡献。用数学家们的求真精神、探索精神激发学生的求知欲,增强他们学习数学的兴趣;用数学家的思想方法去引导学生的思考,提高学生解决实际问题的能力;从而提高学生的数学素质。

在导数概念的引入时,教师可以按如下步骤进行:

第一步教师向学生展示促使微积分产生的四大类问题,即:第一类问题是研究物体运动的时候出现的,也就是求瞬时时速度的问题,第二类问题是求曲线的切线的问题,第三类问题是求函数的最大值和最小值问题,第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题。

第二步教师向学生介绍这四个问题是17世纪科学家们遇到的问题,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,从而使上述四个问题得到了解决。牛顿创立的导数当时叫流数,侧重于运动学来考虑,莱布尼茨侧重于几何学来考虑。同时并用多媒体向学生介绍牛顿与莱布尼茨的贡献。

第三步教师向学生提问:现在用我们所学的知识能解决哪几个问题?

第四步教师引导学生重现问题解决的方法与过程:引入教材中的两个引例。下面通过变速直线运动瞬时速度的求解这个例子来探讨具体的课堂教学过程:

1、首先向学生提问匀速直线运动的速度怎么求?(学生回答:速度等于路程除以时间)

2、再向学生展示变速运动示意图,如图(1)所示,让学生计算从到这段时间内物体的路程Δs=s(t)-s(t0),所用时间为Δt=t-t0。

3、再向学生提问平均速度怎么求?(学生回答)从而得到Δt=t-t0时间内的平均速度v=ΔsΔt=s(t)-s(t0)t-t0。

图(1)

4、教师向学生提问:下面我们如何得到t0时刻的瞬时速度?教师引导学生思考:如果时刻t与时刻t0间隔越短,Δt=t-t0这段时间内的平均速度就会越接近时刻的瞬时速度。

5、引导学生分析得v(t0)=limΔt→t0ΔsΔt=limΔt→t0s(t)-s(t0)t-t0

第五步教师用同样的方法引入曲线切线的求解过程

第六步教师问学生用该方法还可以解决哪些问题?(学生回答:角速度,加速度等)

通过以上教学活动,一方面让学生体会数学知识对实际问题解决的巨大力量,同时也让学生感受到数学家的探索创新精神和数学的人文精神,有利于提高学生的数学素质和人文素养。另一方面,通过例子中由平均速度变到瞬时速度,由割线斜率变到切线斜率,让学生体会到了事物无限变化的趋势,即从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变认识质变的辩证唯物主义思想。

3展现从具体到抽象归纳概括的数学方法,培养抽象逻辑思维能力

有了第一阶段引例的铺垫,教师可引导学生抽象出两例中的共同特征是所求问题的最终结果都是要求一个极限,即:函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于零时的极限,这个极限就是所说的导数,从而得出导数的概念。

教师可以再举一个具体确定函数的例子来进行应用,如求函数在点处的切线,反过来应用导数求解具体的问题。这样教学过程就完成了从具体到抽象,又从抽象到具体的过程,培养学生的抽象逻辑思维能力及解决实际问题的能力。

参考文献

[1]甄新武,冀德刚.从数学文化的角度谈高等数学的教学[J].河北农业大学学报( 农林教育版),2011.3:80.

导数的概念 第12篇

APOS理论集中于对特定学习内容——数学概念学习过程的研究, 对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”作出了切实分析.对数学学习过程中学生的思维活动作出深入的研究, 正确揭示数学学习活动的特殊性, 提出学生学习概念要经过活动 (Action) 、过程 (Process) 、对象 (Objeet) 和概型 (Scheme) 4个阶段.从数学学习心理学角度分析, 以上4个学习层次分析是合理的, 反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件, 通过活动让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系.“过程阶段”是学生对活动进行思考, 经历思维的内化、压缩过程, 学生在头脑中对活动进行描述和反思, 抽象出概念所特有的性质.“对象阶段”是通过前面的抽象, 认识到了概念本质, 对其赋予形式化的定义及符号, 使其达到精致化, 成为一个具体的对象, 在以后的学习中以此为对象去进行新的活动.“概型阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善, 起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号, 经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系, 在头脑中形成综合的心理图式.

2. 基于APOS理论指导下的导数概念教学设计

为了描写现实世界中运动、变化着的现象, 在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.随着对函数的研究的不断深化, 产生了微积分, 它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造, 被誉为数学史上的里程碑.导数是微积分的一个核心概念, 它们有着极其丰富的背景和广泛的应用.

2.1 活动阶段, 感受概念的直观背景, 形成感性的认识

创设问题情境:

提出问题:人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 (单位:m) 与起跳后的时间 (单位:s) 存在函数关系:h (t) =-4.9t2+6.5t+10.请大家思考如何求运动员的瞬时速度, 如t=2 s时刻的瞬时速度?

问题1请大家分组计算, 当Δt取不同值时, v"的值分别为多少?

2.2 过程阶段, 体验导数概念的形成过程

问题2当Δt的取值趋近于0时, 平均速度v"有什么样的变化趋势?

问题3运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢?

2.3 对象阶段, 对导数概念形式化、工具性地表达

问题4气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢?

问题5如果将这两个变化率问题中的函数用f (x) 来表示, 那么函数f (x) 在x=x0处的瞬时变化率如何呢?

课堂练习1:将原油炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时, 原油的温度 (单位:℃) 为f (x) =x2-7x+15 (0≤x≤8) .

(1) 计算第2 h和第6 h时, 原油温度的变化率, 并说明它们的意义.

(2) 计算第3 h和第5 h时, 原油温度的变化率, 并说明它们的意义.

启发引导学生根据导数定义, 分别求出f′ (2) 和f′ (6) .

(4) 图式阶段, 建立综合心理图式

通过以上三个阶段的教学, 学生在头脑中应该建立如下的心理图式:现实生活中导数思想的应用 (如运动物体的瞬时速度、气球的瞬时膨胀率等) 、导数的作用 (刻画物体变化的快慢) 、导数 (瞬时变化率) 的形成过程及其与平均变化率的区别和联系等.

教师带领学生进行课堂训练, 进一步体会平均变化率与瞬时变化率的区别与联系以及瞬时变化率的实际意义.

课堂练习2:已知一个物体运动的位移 (m) 与时间t (s) 满足关系s (t) =-2t2+5t.

(1) 求物体在[5, 5+Δt]秒和[6, 6+Δt]秒的瞬时速度.

(2) 求物体在t时刻的瞬时速度.

(3) 求物体t时刻运动的加速度, 并判断物体做什么运动?

学生小结:

1.平均变化率与瞬时速度的概念;

2.导数的概念及导数的实际意义;

3. 思想方法:“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般.