期权定价理论论文

期权定价理论论文（精选10篇）

期权定价理论论文 第1篇

完全信息下的经济学都假设投资者知道资产的期望均值和波动率。但是实际情况并非如此。在现实中, 资产的期望均值我们并不知道, 投资者只能根据历史数据去估计。因此投资者所拥有的信息和个人偏好, 对资产定价有很大影响。在完全信息条件下进行定价的时候, 我们通常是以无风险银行利率作为标准进行资产定价和期望折现的。本文我们将讨论一种建立在期望生命期效用基础上的定价理论。

Alexandre Ziegler在文献[1]中, 通过建立代理经济人模型说明了代理人的信息质量和个人风险偏好是如何影响期望效用的。本文先介绍一般的效用函数理论, 然后在对数效用函数和幂效用函数理论下讨论期望生命期效用, 给出资产的均衡价格以及建立在效用理论上的无风险折现因子, 从而推导出欧式期权的均衡价格公式。

2、建立模型

我们考虑一个企业, 该企业只有一种产品, 企业完全由股本融资, 这里我们只考虑一个有代表性的股东。企业在时刻以比率支付红利给股东。

假设红利过程:

其中是期望红利的瞬时增长率, 假设是一个常数, 随着时间的推移代理人不断的改进它的取值。σ是红利过程的瞬时波动率, 这里假设参数σ是已知的。Bt是标准布朗运动, 它定义在由红利xs (s≤t) 生成的带!流的概率空间上 (Ω, Ftx, P) , 其中Ftx=σ (xs, s≤t) 。然而代理人并不知道真正的均值u, 必须根据过去的数据去估计它, 我们假设在初始时刻t=0, 代理人具有关于u的先验信息:u是一个均值为m0, 方差为v0=E[m0-u]2的正态分布变量。除此之外没有关于u的另外的先验信息了。他的信息集就是Ftx=σ (xs, s≤t) 。

当新的红利信息到达后, 代理人会更新关于红利平均增长率u的估计mt, mt满足

即mt是均值回复的, 这个假设符合经济实际。又mt在由 (3) 定义的新的概率测下是鞅。显然, 若取u=mt则 。

vt=Et[ (mt-u) 2]表示mt的平均均方误差, 根据 (1) 及 (3) 式可以把 (2) 改写为:

因此, 投资者用 乘以红利的突然改变量 来更新估计值mt。这是关于u的不确定性的一种度量。从代理人角度看, 对红利的期望增长率作部分观测的经济学等价于对随机的, 时变的红利平均增长率mt作部分观测的经济学, 由上面的表达式可以看出红利的瞬时改变量 和投资者对u的估计是完全相关的。当 时, 投资者向上修正关于u的估计, 当 时, 他向下修正关于u的估计。

根据实际意义, 平均均方误差vt的动态可表达 根据初始条件v0得出 (4)

平均均方误差vt是代理人关于u的真值的不确定性的度量。也可以视为对信息质量的一种度量。当vt=0时, u是完全已知的, 这是完全信息经济学情况。当vt较大时代理人关于u的不确定性也大, 而根据新的红利信息对mt作的修正也大。

为了后面计算的需要我们先给出几个结论及其证明

可见, 在t时刻关于u的最佳估计

此时这个估计的平均均方误差vt为

由 (1) 和 (3) 可得:

应用Ito’s引理得

因为ms是鞅, 当u≥t时, Et (mu) =mt。这里Et是d Bt在对应的测度下的期望, 所以 (8) 式应用Fubini’s定理得

进一步, 由计算可

3、一般效用函数理论

假设代理人有如下形式的基于期望消费量的效用

其中P是非负的, 是跟物价指数相关的一个参数, 而μ (c) 是当前消费cs的连续凸函数。

假设代理人初始财富为0, 在t时刻持有一份股票而消费红利xt。在均衡条件ct=xt下, 代理人的消费对应的期望生命期效用为 我们用st表示时刻t的企业股票的均衡价格, 在均衡状态下代理人持有一份股票, 假设他的消费等于当前的红利, 即ct=xt。因此状态价格指数定义为:

而均衡的资产价格过程为: (11)

用表示到期日为s (s≤T) 的不违约零息票债券在t时刻的价格, 这个权益的均衡价格即折现因子为: (12)

4、效用函数理论下的期权定价

一个欧式买入期权, 它的到期日为T0 (T0

4.1 对数效用理论下的期权定价

4.1.1 相关变量的计算

假设代理人的效用函数是对数形式的, 则

对应的消费期望生命期效用为:

应用 (9) , (10) 得

在时刻相对于红利的资产的均衡价格为:

所以对应的买入期权价格为

在上式求期望的过程中, 在t时刻我们根据先验信息得到红利均值的估计值, 在t到T0的时间区间上进行计算的时候我们用u在时刻t的估计值mt来代替u.因此d Bt和 , 变为两个完全相同的过程。从而E (·) 和Et (·) 等价。~

4.1.2 对数效用函数理论下欧式买入期权的价格公式

为标准正态分布函数类似的我们可以得到欧式卖出期权的定价公式

N (·) 为标准正态分布函数

4.2 幂效用函数理论下的期权定价公式

4.2.1 相关变量的计算

我们现在假设代理人的效用函数是幂效用函数形式, 即, (a>0) 则

那么他的消费期望生命期效用为:

价格指数πt为πt=e-pt"μ (xt) =e-ptxta-1

T0时刻的均衡价格为:

为了后面求期望的计算需要我们下面给出在信息Ftx=σ (xs, s≤t) 下mTo的表达式由 (2) , (3) 两式可得

因为信息量Fxt是已知的, 故u可以用它在t时刻的估计值mt来代替从而得到 (15)

所以mTo为正态分布随机变量, 而且它和BT0-Bt是完全正相关的容易得出

4.2.2幂效用函数理论下欧式买入期权的价格公式

N (·) 为标准正态分布函数, 其他参数同上。

参考文献

[1].Alexandre Ziegler, Incomplete Information and Hetero-generous beliefs in Continuous-time Finance, Springer, 2002

[2].李时银, 期权定价与组合选择-金融数学与金融工程的核心, 厦门大学出版社, 2002

期权定价理论论文 第2篇

关键词 复合期权；风险中性评价方法；Copula模型；边缘分布函数；Bayes时序诊断法；Z检验

中图分类号 F224 文献标识码 A

Application of Copula Theory in Option Pricing

XIANG Shengpeng， YANG Xiangyu

（College of Mathematics and Econometrics， Hunan University， Changsha，Hunan 410079，China）

Abstract In order to calculate the value of compound option by risk neutral valuation approach， we divided it into three parts. To prove the second part， we selected the bivariate normal Copula model with GARCH model as the appropriate marginal distribution functions to gain the joint distribution function， and the calculation shows that they have the same result. Furthermore， the value of time dependent compound option was calculated， and the method to diagnose the local inflecting point by taking Bayes timing diagnostics and Z test was given when the price appeared large fluctuations in the option pricing.

Key words compound option； risk neutral valuation approach； Copula model； marginal distribution function； Bayes timing diagnostics； Z test

1 引 言

期权的定价一直是金融衍生产品理论中极其重要但又在计算上比较困难的一环，B-S方程为期权的定价打下了基础，但随着期权种类的日益繁多，定价模型也越来越复杂，计算也变得越发困难.

当前不论是使用格林函数或风险中性评价方法计算复合期权，还是利用反射原理以及镜像法来计算障碍期权，都需要计算一个联合分布，而在金融风险管理上应用越来越广的Copula模型为这个问题的解决提供了一种新思路，众所周知，Copula模型不仅可以分析两个序列之间的相关性还可以通过选取合适的边缘分布函数和Copula函数求得联合分布，并且由于Copula模型可以把求解所需要的边缘分布模型和Copula函数部分分开来研究，那么当知道序列的边缘分布后，就可很容易通过选取合适的Copula函数来求解所要求的联合分布，以达到计算期权的定价模型，这为解类似的联合分布问题提供了一种可行的方法.

2 复合期权

2.1 复合期权的概念

B为向下障碍值，在这里既可以用传统的反射原理[7]以及使用镜像法来计算其期权，还可以使用对数正态分布函数和极值分布函数为边缘分布函数，然后选择合适的Copula函数来进行求解.正是由于Copula模型可以把求解所需要的边缘分布模型和Copula函数部分分开来研究，使得其在金融风险管理上的应用越来越广，特别是在序列相关性的研究、投资组合风险分析、波动溢出效应以及信用风险分析上的应用.另外用Copula理论来计算期权定价相关问题就可以通过诊断二元正态Copula函数的局部变结构点来得出定价方法中价格出现大波动时的拐点，这对解释一些经济现象，说明相关经济理论和实行相关政策具有指导意义.

参考文献

[1] YueKuen KWOK. Mathematical models of financial derivatives[M]. New York： Springer，1998.

[2] JinChuan DUAN. Pricing foreign currency and crosscurrency options under GARCH[J]. Journal of Derivatives， 1999，7（1）：51-63.

[3] 万云波，许自坚.股指期货与现货指数收益率序列相关性研究—基于Copula函数的实证分析[J].西南交通大学学报：社会科学版，2012，13（5）：14-18.

[4] 韦艳华，张世英.Copula理论及其在金融分析上的应用[M].北京：清华大学出版社，2008.

[5] 邓小华，何传江.随机利率下服从分数O-U过程的欧式幂期权定价[J].经济数学，2009，26（1）：64-71.

[6] 胡四修.金融市场随机波动模型的研究与分析[J].统计与决策， 2012（20）：26-29.

[7] 李冰清.应用反射原理定价梯式期权[J].南开大学学报：自然科学版，2011，41（1）：85-91.

期权定价理论及其VBA实现过程 第3篇

关键词：看涨期权,看跌期权,B-S公式,VBA

一、B-S-M期权定价模型

本部分主要介绍B-S-M公式, 并对其进行推导扩展使之适用于存在连续红利的情况。默顿扩展方法将不存在红利和每年有q%连续红利收益的情况作比较。在风险中性的世界里, 这两种股票应该具有相同的总收益, 即红利和资本增长。如果有红利收益的股票在时间段T内从初始价格S增长到, 那么对于无红利股票, 就应该从S增长到, 也可以说, 从增长到。因此, 的概率分布可以适用于以下两种情况: (a) 初试价格为S, 并有q%的连续红利收益 (b) 初试价格为, 但没有红利收益, 因此, 如果一个欧式期权的标的股票以连续收益率q来支付红利, 那么在为它定价时, 可以用代替原来的初试值S, 然后将该股票看作不支付红利的股票。于是, 对一个支付红利的欧式看涨期权来说, 其中q是连续红利收益率, N (d) 是累积的标准正态分布函数为了便于解释B-S-M公式各项内容的意义, 可以联想到看涨期权的复制组合形式, c=h S-B。公式第一项是乘数S, 等于。第二项则是执行价格的现值与的乘积。因此, 可以看成是在风险中性世界里看涨期权被执行的概率。利用期权平价关系, 看跌期权在支付连续红利情况下新的布莱克-舒尔斯定价公式, 如果没有公式前的负号以及累积正态分布函数内的负号上, 则该式与看涨期权定价公式完全一样。

二、期权定价过程的实现

以及B-S定价所需的计算。最初计算时, 常用多项式来近似累积正态分布概率。现在, 可以用Excel的N O R M SD IST函数直接得到。得出和后, 就可以计算相应的和了, 它们都是计算过程的中间值。也可以用用户定义函数B SO ption V alue计算布莱克-舒尔斯期权价格。从前面的讨论中可知, 对冲比率是exp (-q T) 与的乘积。期权在风险中性世界里被执行的概率为。对于相同标的股票的看跌期权, 看涨期权定价公式的第一项是, 由于正态分布的对称性, 看跌期权定价公式的第一项则为。同样, 用户定义函数B SO ption V alue计算看跌期权价格。这个函数有个重要的参数iopt, 取值为1代表看涨期权, 取-1则代表看跌期权, 这样就可以用一个通用函数来代替两个分开的函数。可以看出, 看涨期权和看跌期权定价的代数表达式非常相似, 仅在一些符号上有差异。为了研究期权价格的影响因素, 首先必须弄清楚期权与标的股票之间的因果关系。你将发现期权价格对标的股票的波动率变化非常敏感。这种敏感性分析用一个或多个模拟运算表很容易实现。

三、计算期权的‘希腊’参数

B-S模型的输入参数有股票现值S, 利率r, 期权有效期, 波动率, 及其他一些因素。研究输入变量变化对期权价值的影响时, 一种办法是计算期权的所谓“希腊”参数, 或对冲参数。经常计算的对冲参数是一些一阶偏导值:delta (描述股价变化的影响) , rho (描述利率变化的影响) , theta, vega;也经常计算股价的二阶偏导值gam m a。除了theta外, 所有的对冲参数都由公式直接给出。B-S偏微分方程将thera与期权价格, delta值, gam m a值联系起来。gam m a值等于股价变化时delta值的变化率 (也就是看涨期权价格对股价的二阶偏导) 。它的计算公式对看涨期权和看跌期权都是一样的。如果gam m a值较小, delta的变化量也就非常小。对于看涨期权和看跌期权而言, theta都是负值。它度量期权价格随时间流失 (即期权有效期减少) 的变化率。当期权有效期减小时, 期权价格也会减小。另一方面, 随着波动率的增加, 期权的价格也会随之增加。V ega用来度量期权价格相对于波动率的变化率, 它是一个正值。而且, 计算vega的公式对于看涨期权和看跌期权来说是一样的。

投资银行常常构造对冲组合来抵消他们面临的期权风险。他们感兴趣的是, 在股票价值以及波动率等因素变化时, 整个头寸价值将如何变化。期权相对于股价以及其他因素变化的敏感度 (也就是‘希腊’参数) 常用来来构造对冲组合, 具体情况将在下一部分演示。

四、对冲组合

计算对冲参数是构造对冲组合必不可少的一步。利用前面用于计算‘希腊’参数的看涨期权, 我们来构造两个零投资对冲组合。所谓零投资组合, 是指相对于股价的变化, 组合价值的变化非常微小。第一个是delta对冲组合, 也就是说, 它可以对冲掉股票价格的微小变化 (被称为delta风险) 。另一个是delta-gam m a对冲组合, 它用于对冲股票价格的较大变化, 此时gam m a值会发生改变 (被称为gam m a风险) 。将看涨期权定价公式 (c=h S-B) 写成0=h S-B-c的形式, 由此可以得到一个零投资组合, 它包括一些借入资金, 用来购买一定数量的股票并出售一份看涨期权。由于这个组合是零投资组合, 因此在每一期股价S发生微小变化时, 这种数量关系必须保持平衡。在delta中性的情况下, 购买的股票数量必须等于组合中看涨期权的delta值。构造delta中性组合的目的在于用期权价值的变化来抵消股票价值的变化。为了构造一个更好的对冲投资组合以面对更大的未来股价变化, 可以在组合中加入另一种看涨期权, 从而构造出一个delta-gam m a组合以满足delta中性, 形式为:其中和为两种看涨期权的价值。

五、结论

期权的delta值是期权价格相对于股价的变化率。通过delta值, 可以构造短期的delta中性投资组合。但由于组合的delta值会随时间变化, 因此组合中标的股票的头寸需要不断调整以达到新的平衡。期权价格相对于其他因素的敏感度 (如波动率, 有效期和收益率等) 同样可以计算得到。它们统称为‘希腊’参数, 它们对构建对冲组合很重要。

参考文献

[1]John C.Hull.期权期货及其他衍生产品 (第八版) .

[2]朱顺泉.金融财务建模与计算—基于VBA与MATLAB.

美式期权有限差分定价方法综述 第4篇

关键词：综述；美式期权定价；B-S模型；有限差分方法

一、引言

期权是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定费用为代价获得的一种权力，这种权力赋予期权持有人在将来的某一时刻按照规定的价格买卖合约指定的基础资产。期权已成为最具活力的金融衍生产品，得到迅速发展和广泛利用。其中，美式看跌期权是在期权交易期限内的任何一个时点上，持有者都有按约定价格卖出的权利。实际应用中，美式期权定价问题应用更为广泛，然而，不同于欧式期权定价问题有精确的解析式，美式期权定价问题不存在解析解，它的有关理论和数值方法研究一直是不同学者的花费大量精力钻研的领域。

布莱克和斯科尔斯[1]给出不支付红利下的欧式期权的定价公式重要论文，同年，莫顿[2]可以用来对支付已知红利的期权进行定价，奠定了期权定价理论基础。后来，各类学者在B-S模型基础上做出了大量的理论研究与数值方法探讨。本文主要针对不支付红利的美式看跌期权定价问题，进行各种有限差分方法的综述，首先，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价模型，然后，基础阐述显式、更高精度的高阶有限差分方法，最后，对各种方法的特点和效果进行评价。

二、美式期权定价问题的模型

Black-Scholes期权定价模型

布莱克和斯科尔斯推导出不支付红利下欧式期权价格满足著名的B-S方程，进而得到欧式期权的解析式，基本假设有：

利用mathmatic可以得到一个三对角矩阵线性方程组，从而迭代得到最后的期权价值，这里的边界条件和初始条件均不变。

五、结论

对于美式看跌期权的定价，各种文献的数值仿真过程与结果证明：

在最基础的B-S模型上，流行的有限差分直接方法简单易操作，显式差分方法最易，但与隐式差分格式相比稳定性较弱，CN介于显隐式之间比二者效果好，对计算机性能要求低，这些方法都有一个共同的弱点，在时间和空间上的点数过少，最多只能达到二阶精度，最优执行边界不够平滑。高阶有限差分利用更多的点得到空间和时间上的四阶精度，操作比较复杂，必须用到mathmatic进行符号计算，对计算机的性能要求更高，对方法使用人的要求自然也高。

有关美式期权定价有限差分方法的研究还在不断的探讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此，研究探讨美式期权定价有限差分方法的优缺点，对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。（作者单位：广东工业大学管理学院）

参考文献：

[1] Fisher B，Myron S.The pricing of options and corporate liabilities，Journal of Political Economy 81（1973）637–654.

[2] R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1（1973）141–183.

[3] Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.（2004）.

[4] Sukha.Advanced mathematics of finance honours project：finite-difference methods for pricing the American put option.（2001）.

[5] H.K.Versteeg，W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume method.Pearson Education（1995）.

期权定价理论论文 第5篇

1. 投资的不确定性

企业所面临的最大的问题就是缺乏现实的客户基础群。他们在进行信息系统和网站投资时, 一般是很难准确预算未来客户的数量和销售规模的。这样就很难确定信息系统的最佳投资规模, 很难满足客户需求。

2. 投资应该在短时间内回收

在企业的投资中, 大部分都是信息技术产品, 此产品最大的特点就是更新速度快。但其经济寿命较短, 要是企业的不以较快的速度增长销售额并回收投资的话, 企业就要面临亏损甚至面临倒闭的局面。

二、期权定价理论的具体应用

1. 追加投资的决策应用

企业如果想在投资决策的过程中来追加投资, 那么就要根据前期投资的情况来做出决定, 为此, 可以把后续项目作为一个期权。比如, 某一个本身的净现值近似零或为为负值的投资项目, 若想要此投资项目之后的项目能够上马, 那么此项目就必须优先上马, 这样才有获得回报的可能。而当前的投资项目是一个资产选择权, 资产的现价就变成了项目的现值, 而执行的价格也就相对应的变为了投资的额度, 其价值要加算到目前决策项目的净现值中, 如图1所示。

假设某企业想进行关于环保型产品的开发及生产, 但是, 面对如今激烈的市场竞争, 企业为了加强其竞争能力, 扩大市场的占有率, 制定了一个长远的发展目标。此目标共分两个步骤。第一个步骤:生产及销售此环保型产品;第二个步骤, 购置现代化生产线并对产品进行更新换代。资料如表1、表2所示。

(单位:万元)

(单位:万元)

初始投资收益现值:折现率为10%。

当净现值是负数时, 初始投资的方案不可行。因此, 必须要想办法购置现代化生产线, 对产品进行更新换代, 并伴随着市场对环保型产品的需求量增大的趋势。经过多年之后, 投资的净现值才会有大于零的可能。但如果现在就进行初始投资, 除了6年的现金流量外, 还可拥有3年后扩大生产和增加销量的机会。其价值是可以通过布莱克——斯科尔斯模型来计算。我们可以假设标的物价格不动率 (&) 为40%, 期限 (t) 为3天, 短时间内无风险利率 (r) 为6%, 期权的协定价格 (K) 为200万元, 标的资产现行价格 (S) 为后三年的现金流量:

当前的投资决策实际净现值最低为:NPV=-12.074+146.474=134.400 (万元) 从企业长远的利益考虑, 当净现值为正值时方可投资。因此, 企业应立即进行投资。

2. 等待投资时机的决策

投资并不都需要抢占市场, 在特殊的情况下, 市场进入先后是决定不了竞争的优劣势, 还得根据市场的变化及企业的情况, 适时的作出发展决策, 如图2所示。

3. 放弃投资的决策。

假设此项目的期权放弃价值比该项目未来的现金流量大, 而且又没有达到期望的经济效益, 若真是这样就应该放弃投资。如图3所示。

综上所述, 通过期权定价理论在投资决策中的扩大投资决策, 等待投资时机决策和放弃投资决策三个方面的应用分析, 可得知期权定价方法是对投资机会的估价。因此, 此方法并不是对传统净现值法的否定, 而是在净现值法的基础上做出了适当的修改。

三、期权定价理论的意义

1. 期权定价方法提高了决策的科学性

在比较投资项目的可行性好坏时, 不但要想方设法的让净现值为正值, 而且还得超过项目投资的成本。而期权定价的方法, 就能有效弥补净现值法的不足之处, 还能有效提高决策的科学性。

2. 期权定价方法投资决策提供了新思路和分析工具

期权定价方法与传统的方法相比较, 其毫无疑问的会使企业发展机遇得到充分体现, 使投资决策合理化。期权定价的思想, 是有助于提高企业管理人员认识和把握机遇的能力, 因而创造更多的财富。

3. 期权定价方法使企业意识到其长期发展的重要性

大多数的中小型企业往往都只注重眼前的利益, 而没有考虑企业长远的发展, 因此造成企业无法适应万变的市场。而期权定价方法的有效引入, 对于投资者通过对企业整体价值的认识有着极大的帮助, 为此, 投资者就可进一步的制定长远的经营战略。

四、总结

如今的经济发展最为迅速, 经济环境也变得越来越捉摸不定。因此, 正确的运用期权定价理论的基本观点, 在实际操作中, 先通过计算进行估值, 再将结论整理分析后, 进行有效的投资。此方法克服了传统净现值法的不足, 能在投资决策中作出最佳的选择。这对于企业投资电子商务的发展来说, 有着较为重要的作用。

摘要：近年来, 电子商务发展迅速, 且不确定性越来越大。为此, 各个企业不仅要考虑并计算投资项目的投资净现值, 还要选择确定投资的最佳时机。本文讨论期权定价的理论, 分析期权定价理论在电子商务投资决策中的重要作用。

关键词：电子商务,投资,期权定价

参考文献

[1]谈平秋.实物期权在风险投资项目决策中的方法研究, 2007.

[2]刘奕均.不确定条件下实物期权在投资决策中的应用探析, 2008.

期权定价理论论文 第6篇

1 期权定价理论概述

1.1 期权

期权 (Option) 是一种能在期权到期日或到期日之前以固定的执行价格购买或出售一定数量的某种特定商品 (即标的资产) 的权利[1]。通俗地讲, 期权是一种预期的约定的权利, 该权利使期权持有者将来能以固定价格买进或卖出资产。这一权利在指定的时限内可以行使也可以放弃, 从而降低当前直接拥有该标的资产可能造成的市场风险。按照不同的分类标准, 期权可分为看涨期权和看跌期权、欧式期权和美式期权。

1.2 期权价值

期权价格是指期权购买方为了购买期权, 或者说为了获得某种权利而向期权卖出方所支付的费用, 它反映了期权所具有的价值。期权价格 (即期权价值) 由内在价值和时间价值两部分组成, 其数学表达式为:V=IV+TV。其中V表示期权价值;IV表示期权的内在价值;TV表示期权的时间价值, 源于期权中标的资产市价的波动性[2]。即期权价值来源于期权持有者所拥有的某种权利和标的资产市价所具有的不确定性两个方面。

1.3 期权定价模型[3]

自从1972年美国学者Black和Scholes发表了不付红利的欧式期权定价模型以来, 期权定价理论得到了突飞猛进的发展。因此, 本文重点介绍经典的Black-Scholes期权定价模型:

在以下假设前提下: (1) 标的资产价格服从对数正态分布;

(2) 标的资产投资回报的波动性在期权有效期内保持固定不变;

(3) 存在一个固定的无风险利率;

(4) 投资者可以按无风险利率任意借入或贷出。

设:S=标的资产的当前价值;

X=期权的执行价格;

t=距期权到期日时间;

r=期权有效期间的无风险利率;

σ2=标的资产价格的自然对数的方差;

σ为波动率, 即标的资产自然对数的标准差;

N (d1) 、N (d2) 为参数d1、d2的累积正态分布函数值。

B-S模型可表示为:看涨期权的价值=SN (d1) -Xe-rtN (d2)

2 期权定价理论在技术型无形资产评估中的可行性

技术型无形资产是无形资产中最重要的一类, 它是在资产形成的过程中技术因素起决定作用, 其价值通过所含技术的先进性和适用性来体现的无形资产[4]。在《资产评估准则一一无形资产》中, 专利和专有技术统称为技术型无形资产:“专利、专有技术是以不同方式受有关法律保护的、合理的、垄断的专有技术。其有用性与垄断性, 使其具有资产的特征, 因而在无形资产评估中将专利、专有技术称为技术型资产, 是知识产权型无形资产的重要组成部分。[5]”大多数情况下, 企业购入技术型无形资产, 目的是进行后续投资获取投资收益。为技术型无形资产付诸实施所支付的生产、销售和管理方面的投资总额, 就是这种特殊标的资产的执行价格。当预期投资项目所产生的净现金流量的现值高于标的资产的执行价格时, 企业就选择投资获利, 否则就放弃投资。这些就是典型的看涨期权的特性, 因此从这个意义上来说, 技术型无形资产具有看涨期权的特性[6], 可被视为看涨期权。将期权定价理论应用于技术型无形资产的评估中, 这样可以充分体现选择权或不同的投资机会所创造的价值, 使无形资产的评估更合理也更具说服力。

3 期权定价理论在技术型无形资产评估中的应用

具体运用期权定价理论 (Black-Scholes期权定价模型) 评估技术型无形资产时, 可以设想如下:

技术型无形资产投产产生的现金收益的现值看作是期权标的资产的当前价值S;

利用该项技术型无形资产生产产品的初始投资成本看作是期权的执行价格X;

该项技术型无形资产面临的风险体现或其创造收益的波动率即标的资产价格的波动率σ;

该项技术型无形资产法律保护期限或相关技术合同规定时限为距期权到期日时间t。

下面以专利权为例具体分析。我国某公司作为某种仪器设计制造技术领域内的主要研究单位, 申请了多项专利。现该公司决定凭借其技术优势, 引进外资, 因此委托资产评估事务所对拟投入合资企业的各项专利进行评估, 以确定专利技术的现时价值, 作为组建合资企业时确定股权结构的依据, 评估基准日是2009年12月31日。预测期是7年 (2010年-2016年) ;无风险利率为5%;风险报酬率为12.56%;折现率为17.56%;收益、成本、税后利润的预测分别如表1、表2、表3所示 (单位:万元) 。

由于专利技术属于强期权性质的技术型无形资产, 因而除波动率σ外的数据相对容易取得, 如表4所示。

由表4数据得出:S=77669.25万元, X=57478.01万元, 此外, t=7, r=5%。鉴于波动率σ在该领域比较难得到, 因而假设σ=0.18, 此时, 通过B-S模型得出:专利权的价值为38197.08万元。而用收益现值法评估该专利技术的价值为11962.41万元。从以上数据可以看出, 在考虑专利权有效期间的价格的波动性情况下, 期权定价理论评估出的专利权价值 (38197.08万元) 与收益现值法评估值有明显的不同, 远远高于收益现值法的评估值 (11962.41万元) 。而收益现值法未考虑专利权有效期间的价格的波动性σ, 造成这项专利权的价值被低估。

4 对技术型无形资产评估中期权定价理论应用的评析

评估界通常认为, 采用收益现值法评估技术型无形资产, 把将来可能创造的收益折现, 注重其未来收益, 兼顾了发明人和受让方的合法权益, 有利于调动发明者的积极性[7]。对于当前我国的专利等技术型无形资产的交易, 采用收益现值法来评估是相对合理的, 容易为交易双方所接受。但事实证明收益现值法并不总是有效的, 在很多评估实务中常暴露出缺陷, 而将期权定价理论应用于技术型无形资产的评估中正好可以弥补收益现值法的不足, 这主要体现在两个方面:1) 期权定价理论充分考虑了管理的灵活性。在现实情况下, 企业管理者可根据具体市场环境做出灵活的决策, 而收益现值法忽视了管理者根据环境变化调整项目的弹性, 不能反映这种灵活性的价值。2) 期权定价理论充分考虑到技术型无形资产投产后产生现金流量的波动性, 并将其看作是一种正面的、向上的因素, 赋予一定的数值。而收益现值法忽视了这种波动性, 所得评估值往往会低估技术型无形资产的价值, 这可从案例分析中得到证实。

虽然期权定价理论为资产评估提供了一种新的理念, 受到了研究人员和实业界的关注, 但在实际应用中尤其是用于量化分析时, 应用期权定价理论还存在着一些问题, 主要有三个方面:1) 期权的概念较新, 很多企业决策者对期权定价理论不熟悉甚至一无所知, 而以期权概念定义的现实选择权就更加难以理解了, 因此用期权估算的资产价值常会让评估各方难以接受;2) 从技术角度来看, 由于期权定价理论本身涉及一些高深的数学知识, 很多人觉得不易理解, 而且评估技术型无形资产时, 其理论的适用性和模型中一些参数的取值上也存在着一些问题, 因此计算出来的资产价值常会让人觉得可信度不够高;3) 期权定价模型同其他理论模型一样, 是基于一系列的假设条件的, 但是这些假设前提在现实中往往无法验证是否能够满足, 且在现实中, 这些假设前提得到完全满足是很少见的。尽管如此, 利用期权定价理论对企业的技术型无形资产进行评估仍然是具有一定借鉴作用的, 尤其在传统的评估方法基础上期权定价理论的应用不失为一种有益的补充和创新。

参考文献

[1]王黎霞.基于期权定价理论的无形资产评估[D].昆明理工大学, 2006.

[2]何晓光.期权定价理论的发展与应用[J].经济论坛, 2009, (5) .

[3]潘晶, 周春喜.资产评估学教程[M].杭州:浙江大学出版社, 2007.

[4]余恕莲.无形资产评估[M].北京:对外经济贸易大学出版社, 2003.

[5]中国注册会计师协会.资产评估准则——无形资产[M].北京:经济科学出版社, 2002.

[6]陈俊丽.基于期权定价模型的无形资产评估方法初探[J].经济研究导刊, 2009, (26) .

选择期权的定价 第7篇

期权作为一种金融工具是在远期业务基础上产生的。它可以被看作是一种附加了特殊条件的远期业务。在这种有价的标准化金融合约中规定了合约的买方有权力(并非义务)在未来一个确定的时间点按照事先约定的价格(即Basisprice)买入(看涨期权)或卖出(看跌期权)一种有价证券或是一种物品(即合约的标的物)。

期权按照一般的划分方法有两种不同的类型:欧式期权和美式期权。在欧式期权中,合约的买方只能在合约规定的时间点行使其权利。而在美式期权中买方可以在约定的时间段内的任何时刻行使这种权利。这两种不同的类型是期权的基本形式,人们标之为标准期权。随着经济的不断发展,从标准期权中衍生出无数的其他类型的期权,比如:栅栏期权(Barrier-O ptionen),百慕达期权(Berm uda O ptionen),亚洲期权(A siatische O ptionen),回看期权(Lookback O ptionen),选择期权(Chooser O ptionen)等。这些非标准的期权被人们统称为外来期权(或奇异期权)。这些期权实际上是包含了标准期权的特点,同时附加了特别客户的特定要求的特殊的金融合约。

选择期权(Choose O ption)是外来期权的一种。大约在1990 年7 月出现在伦敦,它是一种特殊的场外交易品种。选择期权也被称为“pay-now-choose-later-O ption”。它是由一个欧式看涨期权和一个欧式看跌期权共同组成的(即所谓的“券中券”)。在这种期权中,合约的买方在签订合约后,同时拥有欧式买入和卖出两种期权。然后,在合约规定的时间点,他有权根据标的物价格的近期波动做出决定,选择一种期权类型(看涨期权或是看跌期权)以备日后执行。在合约最后的执行日期,买方有权决定他之前选择的期权最终要不要行权。通过购买这种合同,投资者等于对剧烈的价格波动做了两个方向的保险,比单纯购买一份看涨或看跌期权更灵活,更安全,并且又比“long Straddle”(即同时购买看涨看碟两份期权,也即多头跨式期权) 降低了成本。选择期权有两种类型:“简单型”和“复杂型”。在“简单型”选择期权包含的的看涨期权和看跌期权的标的物的执行价格(即Basisprice)、执行日期是相同的。在“复杂型”中包含的两个期权(看涨期权和看跌期权)有着不同的执行价格或执行时间,或这两者都不相同。

为了使分析更容易理解,本文首先推演常见的“简单型”选择期权(其标的物为有价证券,比如一支股票)。然后,用同样的方法,进一步研究“复杂型”的选择期权。本文中提到的选择期权合约中的时点反映在下面的时间轴上(见图1):

在这个时间轴上,t0是期权合约签订的时点。在时点t1,期权合约的买方根据标的物的价格走势对选择哪种期权做出决定。在T时点期权合约到期,买方决定最终要不要执行手中持有的期权合约。

二、“简单型”选择期权的定价

提到期权的定价,一定会涉及到Black-Scholes模型。这是一个被广泛接受和认可的典型的期权定价模型。它是由费雪布莱克(Fisher Black)和米荣绶勒斯(M yron Scholes)在1973 年共同发表的。这个模型给出的定价理论无论是对金融市场或是金融市场的参与者都产生了很大的影响。该模型建立在一些限定的假设上,比如假设作为期权合约标的物的价格是呈对数正态分布的,金融市场中的利率是非随机变化的。同时模型中不考虑税收、交易和其他的费用。模型假设市场在任何时点都是开放的,任何时候任何金额和单位的交易都可以执行,并且对当时的交易价格不产生影响。

在建立一个金融市场模型之前,首先需要定义一些概念和符号Sandm ann.(2001):

(Ω,F,P*)是本文研究的样本空间,其中 Ω 表示所有随机事件的集合。{Ft}t∈[t0 ，T]是由n维布朗运动(Brownian M otion)产生的Filtration,Ft包含了截止到t时点的所有关于价格波动过程的信息。P*表示等价于原始客观概率M artingal单位的同价衍生的M artingal单位,在概率P*下的所有价格波动过程中都不能进行无风险的套利活动。

{W *(t)}t∈[t0，T]表示了在同价衍生M artingal单位下的n维布朗运动的路径。W *(t)的每一时段的增量W *(t1)-W *(t0),W *(t2)-W *(t1),…,W *(tn)-W *(tn-1)之间呈随机不相关的分布。并且对于任意一个时间段u-t>0 来说,W *(t)的增量W *(u)-W *(t)呈正态分布。

即:W *(u)-W *(t)~N(0,(u-t))

{S(t)}t∈[t0 ，T]是作为标的物的有价证券(股票)的随机价格波动过程。它与同时点的Filtration{Ft}t∈[t0 ，T]相对映,并且是下面随机微分方程的解:

其中,μ 表示价格随机变化的趋势(即价格的期望值);σS表示这个有价证券价格的不稳定程度(即价格的波动率)。

在同价衍生M artingal单位P* 下,这支股票的瞬时价格为:

其中,μ=r;r是以对数形式表示的无风险利率(conform interest),即是无风险的年利率。

在Black-Scholes模型中,看涨和看跌期权的无套利价格(A rbitrageprice)分别是:

其中,;di是作为标的物的有价证券S(t)的固定不变的股息(期末支付);N(z)是正态分布的分布函数:。

在利率非随机变化的假设下,一个标的物为一支股票S(t),到期日为T,执行价格(即Basisprice)为K的简单型选择期权在t1时的无套利价格(即A rbitrageprice)为:

其中:Call[S(t1),K ,t1,T]是t1点时看涨期权的无套利价格;Put[S(t1),K ,t1,T]是t1点时看跌期权的无套利价格

为了在T时点得到较大的预期收益,期权合约的购买者会在t1点比较看涨和看跌期权在这一时点对T点的预期收益,即他们会比较t1点时看涨和看跌期权的无套利价格,然后选择那个有较大值的期权继续持有。因此可以对上述简单型选择期在t1时的无套利价格进行改写:

在“简单型”选择期权合约中,看涨和看跌期权有同样的标的物,同样的执行价格,同样的执行日期。所以可以用H ans R .Stoll的“Put-Call Parity”(即看涨看跌期权等价关系)来表示它们之间的这种关系。1969 年,H ans R .Stoll定义了看涨和看跌期权无套利价格之间的等价关系:

现在,这中等价关系是在时点t1,因此有:

所以上述选择期权在t1时的无套利价格就可以改写成:

其中:m ax{K·e-r(T-t1)-S(t1)·e-di(T-t1),0;t1}可以看作是一个标的物为S(t1)·e-di(T-t1),执行价格为K·e-r(T-t1),执行日期为t1的新的看跌期权在t1时点的无套利价格,即m ax{K·e-r(T-t1)-S(t1)·e-di(T-t1),0;t1}=Putneu[S(t1)·e-di(T-t1),K·e-r(T-t1),t1,t1]

则上述选择期权在t1时的无套利价格可以进一步写成:

那么在t0时这个简单选择期权的无套利价格为:

所以一个简单型的选择期权在t0时的无套利价格(A rbitrageprice)可以看作其包含的看涨期权和一个新的看跌期权的无套利价格和。这个新的看跌期权具有一个和原来看跌期权不同的股票(在t0时股票价格为S(t0)·e-di(T-t1)),不同的执行价格(在t0时执行价格为K·e-r(T-t1))和不同的执行期间(t0点签订合约,t1点执行)。

在Black-Scholes模型中,t0时这个简单选择期权的无套利价格为:

三、“复杂型”选择期权的定价

在“复杂型”选择期权中,看涨和看跌期权有着不同的执行价格(即Basisprice)或者不同的执行时间,或者两者都不一致。本文研究两者都不一致的情况。

利率非随机变化的条件下,一个复杂型选择期权的在t0时的无套利价格为:

这里KC和KP分别表示看涨期权(C)和看跌期权(P)的执行价格,TC和TP分别表示它们的执行时间。

R ubinstein在他的题为“O ption forthe U ndecided”(1991)的论文中曾经证明,利率非随机变化的条件下复杂型选择期权的无套利价格可以通过二元正态分布计算出来:

m1/2中的参数“I”是下面方程的解:

N(a,b,ρ)表示一个二元正态分布的概率,它表示两个随机变量共同的分布情况。其中每一个随机变量自身都是呈正态分布的。

对于包含两个随机变量X和Y的二元正态分布(X ,Y)~N(μ,∑):

这两个随机变量X ,Y的概率是:

它们共同的密度函数为:

其中:,ρ 表示两个布朗运动的相关系数,并且。

本文只研究标准二元正态分布的情况,即两个随机函数的期待值和方差分别为:E[zX]=0,V ar[zX]=1,E[zY]=0,V ar[zY]=1。

这种表达可以简化成:(X,Y)~N(μ,∑),其中。

重要参数“I”的值可以通过“N ewton-R aphson”的方法计算出来。利用M athem atica 5.0 软件这个值可以很容易算出。并且对于任意一组给定的参数,这个参数“I”的值是唯一确定的,这样复杂型选择期权的在t0时的无套利价格也是唯一确定的。

四、结论

期权定价方法综述 第8篇

关键词：期权,定价,B-S公式

一、引言

期权交易始于十八世纪后期的美国和欧洲市场, 直到1973年芝加哥期权交易所进行标准化期权合约的买卖, 而后得到迅猛的发展。期权又被称作为选择权, 是指在未来的一定时期内可以买卖某种资产的权利, 是期权的买方向期权的卖方支付一定数量的金额 (指期权费) 后拥有的在未来的一段时间内 (指美式期权) 或未来某一特定日期 (指欧式期权) 以事先约定好的价格 (指行权价格) 向卖方买入或卖出一定数量的标的资产的权力, 但同时没有必须买入或卖出的义务。随着期权的日益迅猛发展, 其定价就显得越来越重要, 本文就其中主要的一些定价方法作简要的介绍。

二、传统的期权定价方法

最早的期权定价模型是由巴舍利耶提出的, 他第一次以严格的数学描述给了Brown运动。他假设了股票的价格过程是一个不带漂移的纯标准布朗运动, 并且最终得到了期日看涨期权的预期价格。但巴舍利耶得到的期权定价模型缺陷严重, 主要是标准布朗运动允许股票价格为负的假设脱离了实际情况, 与现实存在严重的矛盾, 另外在定价过程中没有考虑到货比的时间价值。

三、Black-Seholes模型定价方法

Black-Seh oles模型基本假设条件: (1) 无风险利率r为已知的且为常数; (2) 标的资产价格服从对数正态分布; (3) 市场交易连续, 对卖空没有任何限制; (4) 标的资产不分红; (5) 整个交易无摩擦。

Black-Seh oles模型的基本思路是:影响标的资产价格的因素也会对基于标的资产的期权价格产生影响, 通过构造包含适当头寸的标的资产和衍生资产组合的头寸, 可以消除随机游走带来的不确定性影响, 则该资产组合为无风险资产组合, 由无套利原则, 该资产组合的收益率就等于无风险利率。

则根据假设和数学推断, 通过复制资产组合的方法, 最后推得欧式看涨期权的计算公式为:

其中, C表示期权价格, X表示期权的执行价格, S表示标的资产价格, τ表示期权的剩余期限, σ代表资产的波动率, r表示无风险利率, N () 表示正态分布变量的累积概率分布函数,

四、二叉树定价方法

二叉树期权定价模型则是将考察的整个存续期间划分为若干足够小的时间段, 在每一个时间段内都假定标的资产的价格有向上和向下的两个方向, 且向上为u倍, 向下为d倍, (其中u=1/d) , 且假设在整个考察期内, 股价每次向上 (或向下) 波动的概率和幅度不变。根据股价的历史波动率来模拟出股价在整个存续期内所有可能的运动路径, 并对每一路径上的每一时间节点都计算期权的收益, 并且最后用贴现的方法计算出期权的价格。

而对于美式期权, 由于期权的购买者可以在期权的存续期内任何时刻行权, 故每一时间节点上期权的理论价格应为期权立即执行的收益和贴现计算出的期权价格两者中的较大者, 反向递推最后得到初始时刻的期权价格。

五、有限差分方法定价

有限差分方法定价主要是先求得资产价格所满足的偏微分方程;把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散的点又被称作网格节点;再将每一处导数由有限差分近似替代, 从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题, 即所谓的有限差分法。

有限差分求解步骤:

(1) 求解区间的离散化, 即把所给的求解区间划分成由有限多个网格; (2) 近似替代, 即用差商代替微商, 把偏微分方程转化为差分方程; (3) 逼近求解, 最后近似求得期权的价格。

六、蒙特卡洛模拟方法

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术, 是一种随机模拟方法。它的基本思想是:原生资产价格在风险中性的基本假设前提下, 已知标的资产价格的分布函数, 然后把期权定价的有效期限分为若干个相等的小时间间隔, 借助计算机的帮助, 根据资产价格的分布, 模拟出股价的可能的运行路径, 这样就可以得出期权的最终价值。不断地重复上述过程, 经过上千次的模拟, 就能够得到T时刻期权价格的一个集合, 经过平均计算就可以得到期权的近似结果。

但是蒙特卡洛较二叉树有一个明显的缺陷, 就是它不能用于路径依赖型期权的定价, 如美式期权, 而且其计算的精度依赖运算的次数等。

七、区间定价方法

区间定价的基本思想是无套利定价原理。但由于在非完全金融市场上不存在完全的复制策略, 故期权定价不能通过复制策略得到, 因此期权价格不是一个确定性的数值, 而是一个区间, 只不过它通过买方和卖方无套利确定区间的两个端点来作为期权价格的区间。期权的买方通过构造强复制策略来对他的潜在的负债进行套期保值, 所确定的价格就是期权的卖方的无套利价格, 同样的期权的卖方通过构造强复制策略来对他的潜在的负债进行套期保值, 所确定的期权的价格就是期权的买方的无套利价格, 这样就保障了双方利益。

八、结束语

目前, 随着数学、统计学、心理学等学科的发展, 更多其他专业的研究成果被应用到期权定价问题的研究上, 极大地丰富了期权定价领域的内容。但是, 现实中各个国家的金融市场受到本国国家发展的影响, 有些国家的期权市场很难实现经典模型中所要求的“复制”, 从而造成使用风险中性假设、不存在无风险套利投资组合原则的经典期权定价模型实用性降低。金融市场作为一个综合性多层次的交易环境, 市场中所有的组成要素都在随时随地发生变化, 传统的线性模型经常无法满足现实中金融市场的条件。在期权定价领域中, 目前最为普遍使用的非线性模型就是基于神经网络的期权定价模型。无论哪种定价方法, 无套利定价原理都是最基本的原则, 由于期权的重要性会使得期权的种类不断地发展壮大, 以上关于期权的定价方法也会由于其他学科的发展而不断的衍生出来的。在后续期权的发展过程中, 也需要我们不断地去探索, 深入研究金融市场的特征, 使得模型更加贴近实际, 扩大方法的适用性, 得到更好的结果。

参考文献

[1]Black F, Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy, May-June, 1973, (81) :637-659.

[2]Merton R C.Continuous-Time Finance[M].Cambridge, MA:Blackwell, 1992.

[3]刘海龙.期权定价方法综述[J].管理科学学报, 2002, 5 (02) .

[4]赖欣, 冯勤超.亚式期权定价研究综述[J].现代商贸工业, 2009 (24) .

[5]马文伟.基于人工神经网络的实物期权定价方法研究[D].武汉:武汉理工大学, 2004:12-34.

基于跳扩散过程的欧式交换期权定价 第9篇

关键词 跳扩散过程;交换期权;随机微分方程

中图分类号 O211．6 文献标识码 A

Pricing of European Exchange Options on Jump Diffusion Process Model

HUANG Shuangshuang1,HE Zhanbing2

( College of Mathematics, Physics and Information Engineering,Jiaxing University,Jiaxing 314001,China;

2.Hunan Mass Media Vocational Technical College,Changsha,Hunan 410100,China)

Abstract The problem of pricing european exchange options on a jumpdiffusion model was considered. This paper assumes that the stock price is driven by jumpdiffusion process, and the jump process is a homogenous poisson process. The differential equation of option value was derived with noarbitrage theory. By using the method of numeraire conversion, the exact formula for pricing exchange option was obtained.

Key words jumpdiffusion process , exchange option , stochastic differential equation

1 引 言

交换期权是一种期权持有人在到期日有权但不必须以一种资产交换另一种资产的合约［1］. Margrabe在1978年首次给出了在扩散模型中交换期权的闭式解［2］，他的工作是在BlackScholes模型的假设下完成的，而大量的金融统计数据表明，这样的假设与实际情形有很大偏差. 为了减小偏差，较之Margrabe的扩散模型，Merton的跳扩散模型［3］更符合实际，该模型把股票价格的运动过程分为两部分：其一是正常的连续价格波动，即因一些细小的信息的到达使得股票价格进行一些小波动，用布朗运动来刻画；其二是“非正常”的不连续的价格波动，即因一些比较重大的信息的到达使得股票价格进行较大的波动，用泊松过程来刻画.在服从泊松过程的跳扩散模型基础上，金融衍生资产定价问题是一个热点问题，文献［4］基于此模型用期权定价的鞅方法得出了障碍期权的定价公式. 本文假定股票价格过程遵循带有强度参数都为λ的时齐泊松过程的跳扩散过程，在文献［3］的基础上进行了扩展，借鉴了文献［3］和［5］中利用无套利理论的方法推导出期权满足的微分方程，然后运用文献［6］中变换计价单位的方法求解无套利条件下期权满足的随机微分方程，并与扩散模型进行了比较.

2 基本模型及假设

考虑一个具有3项资产（B(t),S1(t),S2(t)）的无摩擦金融市场，假定市场无套利，其中B(t)为无风险债券的价格过程，满足方程dB(t)=rB(t)dt，常数r为银行利率；Si(t)(i=1,2)为第i项风险资产（股票）的价格过程，其不确定性包含扩散和跳跃，假定不支付红利，其在t时刻的价格S1(t)和S2(t)分别满足随机微分方程［3］：

dS1(t)S1(t)=(μ1－λk1)dt+σ1dW1(t)+X1dN(t),(1)

dS2(t)S2(t)=(μ2－λk2)dt+σ2dW2(t)+X2dN(t),(2)

其中,常数μi(i=1,2)是第i个股票的期望收益率，常数σi(i=1,2)是没有跳跃发生时第i个股票收益的波动率；Wi(t)(i=1,2)是标准布朗运动，其相关系数为ρ；N(t)是强度参数为常数λ的时齐泊松过程；常数ki≡E(Xi)(i=1,2)，其中Xi（Xi＞－1，否则会出现非正价格）是第i个泊松过程发生跳跃时第i个股票价格的相对跳跃高度且服从独立同分布；W1(t)，W2(t)，N(t)，X1j，X2j相互独立，Xij(i=1,2)是第i个股票第j次的相对跳跃高度，是独立同分布的，且Xi0＝0；E(•)是无条件期望算子.

引理1随机微分方程（1）和（2）的解［7］分别为：

S1(t)=S1(0)exp ((μ1－λk1－12σ21)t

+σ1W1(t))∏Ntj=0(1+X1j),(3)

S2(t)=S2(0)exp ((μ2－λk2－12σ22)t

+σ2W2(t))∏Ntj=0(1+X2j),(4)

即在服从泊松跳过程的跳扩散模型下，股票价格的显示公式.

3 期权价值微分方程

记联系两种股票的交换期权在t时刻的价值为V(t)，设V(t)＝F(S1,S2，t)，其中F关于t一次连续可微，关于S1,S2二次连续可微，则由交换期权的定义，有

F(S1,S2,T)=(S2－S1)+，(5)

其边值条件为

F(S1,0,t)=0 .(6)

由式(1)和式(2)及It引理，期权的收益率可写成：

dV(t)V(t)=(μv－λk1v－λk2v)dt+σ1vdW1(t)

+σ2vdW2(t)+X1vdN(t)+X2vdN(t), (7)

其中,μv是期权的期望收益率；(σ1v,σ2v)是没有跳跃发生时期权收益的波动率； kiv=∑(Xiv) (i=1,2)，其中Xiv是服从独立同分布的第i个过程发生跳跃时期权的相对跳跃高度.

引理2(广义It公式)［8］设有跳扩散过程dx=adt+ bdW+ydq, 另有函数f(t,x)关于t一阶连续, 关于x二阶连续可导, 则

df=(ft+afx+12fxxb2)dt+bfxdW+Ydq,

其中Y=f(t,x+y)－f(t,x).

定理1 设由跳产生的风险为非系统风险，F(S1,S2,t)是联系于股票S1和股票S2在t时刻的交换期权价值，S1和S2分别满足式(1)和式(2)，则F(S1,S2,t)满足微分方程组：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12 +(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))=0，F(S1,S2,T)=(S2－S1)+. (8)

证明：由It引理，有：

μv=［Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+(μ1－λk1)S1F1+(μ2－

λk2)S2F2+λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))］/F(S1,S2,t).(9)

σ1v=σ1S1F1(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(10)

σ2v=σ2S2F2(S1,S2,t)F(S1,S2,t), (11)

X1v=F(S1(1+X1),S2,t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t), (12)

X2v=F(S1,S2(1+X2),t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(13)

其中F的下标表示偏微分，E(•)是无条件期望算子.

考虑一个包含两种股票S1,S2和期权V的资产组合，令其比例分别为Δ1、Δ2和Δ3，Δ1+Δ2+Δ3=1，记P(t)为组合在t时刻的价值，那么组合的期望收益率可以写成：

dP(t)P(t)=(μp－λk1p－λk2p)dt+σ1pdW1(t)+

σ2pdW2(t) +X1pdN(t)+X2pdN(t) , (14)

其中，μp是组合的期望收益率；(σ1p,σ2p)是没有跳跃发生时组合收益的波动率；kip=∑(Xip)(i=1,2)，Xip是服从独立同分布的第i个过程发生跳跃时组合的相对跳跃高度.

由式(1)、(2)及式(9)式，有：

μp=Δ1μ1+Δ2μ2+Δ3μv , (15)

σ1p=Δ1σ1+Δ3σ1v,(16)

σ2p=Δ2σ2+Δ3σ2v ,(17)

X1p=Δ1X1+Δ3F(S1(1+X1),S2,t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(18)

X2p=Δ2X2+Δ3F(S1,S2(1+X2),t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t). (19)

选取Δ1=Δ*1，Δ2=Δ*2和Δ3=Δ*3,使得Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0和Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0. 记此时组合的价值为P*，把式(16)、(17)代入式(14)，得此组合的期望收益率：

dP*(t)P*(t)=(μ*p－λk*1p－λk*2p)dt+X*1pdN(t)+

X*2pdN(t). (20)

如果由跳产生的风险为非系统风险，由资本资产定价理论，组合的期望收益率等于无风险利率r，即μ*p=r，因此得到方程组:

Δ*1μ1+Δ*2μ2+Δ*3μv=r,Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0,Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0.(21)

将式(9)~(11)代入方程组(21)，得到F满足微分方程：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12+

(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))=0. (22)

证毕.

注1 如果λ=0，微分方程组(8)即股票价格服从连续过程的资产交换期权价值方程组：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+rS1F1+rS2F2－rF=0,

F(S1,S2,T)=(S2－S1)+.(23)

4 交换期权定价公式

定理2 在股票价格过程服从式(1)~(2)的跳扩散模型中，由式(5)定义的交换期权的定价公式为

F(S1,S2,t)

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)

•∏nj=0(1+X2j)－S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］, (24)

其中E(•)是期望算子，

d1=1σ2(T-t)［ln（S2S1e-λ(k2-k1)(T-t)•

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T-t)］,

d2=d1－σ2(T－t),(25)

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

证明 为了求解微分方程组(8)，做一个变换，令Z=S2S1,

U(Z,t)=F(S1,S2,t)S1.(26)

即引进新的概率测度Q，满足dQdP=S1(t)S1(0)B(t)，则有

FS1=U－ZUZ，

FS2=UZ，

2FS21=Z2S1•2UZ2，

2FS22=1S1•2UZ2，

2FS1S2=－ZS12UZ2.

为了简化，记

F1=U－ZUz，

F2=Uz，

F11=Z2S1Uzz，

F22=1S1Uzz，

F12=－ZS1Uzz,(27)

其中F的下标与U的下标表示偏微分. 将式(26)~(27)代入方程组(22)，容易验证U(Z,t)满足一维随机微分方程组：

Ut+σ22Z2UZZ－λ(k2－k1)ZUz+

λ(1+k1)E(U(1+X21+X1Z,t)－U(Z,t))=0,U(Z,T)=(Z－1)+, (28)

其中，σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22. 将方程组(28)与文献［3］中关于跳扩散模型中的欧式期权定价方程比较，易知可以把U(Z,T)看作是以虚拟资产Z(t)为标的资产的、敲定价格为1的欧式期权的价格，且在该虚拟市场中利率r=0，虚拟资产Z(t)的波动率为σ，泊松过程的强度参数为λS1=λ(1+k1)，且发生跳跃时组合的相对跳跃高度为X2－X11+X1.则由文献［3］中相应的定价公式，即知微分方程(28)的解为：

U(Z,T)=∑+

n=0e－λ(1+k1)(T－t)(λ(1+k1)(T－t))nn!•

EQ［Ze－λ(k2－k1)(T－t)∏nj=01+X2j1+X1jΦ(d1)－Φ(d2)］

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［Ze－λk2(T－t)Φ(d1)•

∏nj=0(1+X2j)－e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］,(29)

其中,Φ(x)=12π∫x－

et22dt，约定∏0j=1Xij=1，EQ(•)是在以S1(t)为新的计价单位的概率测度Q下的期望算子，E(•)是原给定概率测度P中的期望算子，且d1，d2分别为

d1=1σ2(T－t)［ln (S2S1e－λ(k2－k1)(T－t)•

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T－t)］,

d2=d1－σ2(T－t),

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

综合式(26)、式(29)，得到结论：在股票价格过程服从式(1)、式(2)的跳扩散模型中，由式(5)定义的交换期权的定价公式为

F(S1,S2,t)=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!•

E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)∏nj=0(1+X2j)－

S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］,

其中E(•)是期望算子，d1,d2由式（25）定义.

证毕.

注2 如果λ=0，即模型简化为扩散模型，则期权定价公式简化为

F(S1,S2,t)=S2Φ(d1)－S1Φ(d2)，(30)

其中

d1=1σ2(T－t)［ln S2S1+12σ2(T－t)］，

d2=d1－σ2(T－t).

此即Margrabe在文献［2］中得到的结果.

4 结 论

本文在不支付红利的前提下，求解了股票价格服从带时齐泊松跳的跳扩散模型的交换期权定价问题，运用了无套利理论推导出期权价值的微分方程，利用变换计价单位的方法把交换期权的定价问题转化成单个的期权定价问题，从而得到交换期权的显示定价公式.但在现实金融市场中，股票价格可能是支付红利的，股票价格的跳可能并不一定是泊松跳过程，波动率也可能不是常数，很多更为复杂的情形还有待于进一步去研究.

参考文献

［1］ 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法［M］. 北京：高等数学教育出版社，2003.

［2］ William Margrabe. The value of an option to exchange one asset for another［J］. The Journal of Fiance, 1978, 33(1): 177-186.

［3］ Robert C Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous［J］. Journal of Financial Economics, 1976,(3):125-144.

［4］ 王莉, 杜雪樵.跳扩散模型下的欧式障碍期权的定价［J］. 经济数学, 2008, 25(3): 248-253.

［5］ 姚小义，邹捷中，陈超. 股票价格服从跳-扩散过程的资产交换期权定价模型［J］.长沙铁道学院学报，2002, 20(1)：4-9.

［6］ 钱晓松. 跳扩散模型中交换期权的定价［J］. 扬州大学学报:自然科学版，2004, 7(1)：9-12.

［7］ Knut K Aase. Contingent claims valuation when the security price is combination of an ito process and a random point process［J］. Stochastic processes and their Applications, 1988, 28(2):185-220.

［8］ 张利兵, 潘德惠. 标的股票价格服从跳跃-扩散过程的期权套期保值率确定［J］.系统工程理论方法应用, 2005, 14(1): 23-27.

一类欧式期权定价问题 第10篇

具有长程相依性的自相似随机过程广泛应用于包括金融、电信学、流体力学等许多领域。分数布朗运动 (fractionallBrownian motion) 是使用最广泛的一种, 也是自相似高斯过程中唯一一个具有平稳增量的随机过程。近年来, 分数布朗运动以其简单的结构、精美的性质以及广泛的应用引起了许多学者的兴趣, 随着研究的不断深入, 已经获得了很多有意义的结果但是与分数布朗运动的广泛研究相比较, 其它类型的自相似高斯过程的研究却非常少!这主要是由于其他类型自相似高斯过程并没有平稳增量, 且相依结构更为复杂。

此后, 很多学者开始了诸如次分数布朗运动, 双分数布朗运动等自相似高斯过程的研究, 然而对于赋权分数布朗运动的研究还非常少, 结构也更加复杂, 这也是我们开展赋权分数布朗运动研究的原因之一。另一方面, 赋权分数布朗运动涵盖分数布朗运动、双分数布朗运动等许多具有长程相依性的自相似高斯过程, 所以我们认为这类研究对于金融市场的定价问题具有应用意义。

本文主要研究赋权分数布朗运动在金融市场中的一个应用, 给出了由赋权分数布朗运动版本的欧式期权定价公式, 并绘出了当长程相依性指数及波动率取不同值时, 欧式期权的价格随时间变化的图像。

二、欧式期权定价公式及相关证明

由于金融系统的复杂性, 投资者往往不是在得到金融信息时立刻做出决定, 而是等信息达到一定的量的时候再做出决定。这种行为往往导致长程相依性, 赋权分数布朗运动能够成为解释这种现象的有用工具。在我们的模型中, 假设股票价格V服从下面的随机过程:

其中Bta, b为赋权分数布朗运动且积分类型为离散型。

假设金融市场有两种资产, 其中一种资产为证券, 收益率为无风险利率r;另一种资产为股票, 其收益率是一个随机过程Vt, 初始价格为V0。我们关心的是以此股票为标的资产的到期日为T执行价格为k的欧式期权定价问题。

定义1:股票价格{Vt}的预期收益μ与时间T之间满足

因为对{Vt}没有限制, μ一般情况下与T有关。

引理1:欧式看涨期权价格C (K, T) 为

类似的, 欧式看跌期权价格P (K, T) 为

因此我们有

引理2:方程 (1) 的解为

定理1.到期日为T执行价格为K的欧式看涨期权价格C (K, T) 为

其中

又根据引理 (1) (2) , 可知到期日执行价格为的欧式期权价格C (K, T) 为

另一方面, 我们可以类似证明.

三、数值仿真

根据以上内容, 给出一些数值仿真结果, 在图 (1) ~图 (4) 中, 我们绘出了不同参数值σ∈{0.2, 0.3, 0.5}从图可以看出, 看涨期权的价格是到期日T, 波动率σ及长相依指数α的增函数;看跌期权的价格是波动率σ及及长相依指数α的增函数, 但关于到期日T是先增后减。取σ∈{0.2, 0.0, 0.2}固定b=0.4的图像

图 (1) :期权价格关于到期日为T的图像, 其中的参数值为r=0.06, α=0.2, b=0.4, K=60, V0=100, 0<T<50.

图 (2) :期权价格关于到期日为T的图像, 其中的参数值为b=0.4, r=0.06, σ=0.2, K=60, V0=100, 0<T<50.K=60, V0=100, 0<T<50.

图 (3) :长程相依指数取不同参数值时欧式看涨 (看跌) 期权价格关于到期日T的图像, 其中的参数数值为r=0.06, α=0.2, b=0.4, K=60, V0=100, 0<T<50.

图4:长程相依指数取不同参数值时欧式看涨 (看跌) 期权价格关于到期日T的图像, 其中的参数数值为b=0.4, r=0.06, σ=0.2, K=60, V0=100, 0<T<50.K=60, V0=100, 0<T<50.

四、总结

本文利用赋权分数布朗运动的一些良好的性质与实际金融市场相结合, 建立了依托该理论的数学公式, 试利用其特质给出欧式期权的定价公式, 并绘制了仿真图像, 发现赋权分数布朗运动, 确实可应用于金融市场, 尤其是在信用违约率、期权定价等方面拥有广泛应用, 因此未来进行更优化处理会得到更准确的结论, 并且非常具有实用价值。

摘要：赋权分数布朗运动因具备长程相依性、重对数率等精美性质, 可用于资本市场。文章主要考虑由赋权分数布朗运动驱动的金融市场, 从其相关性质出发, 定义了新型的欧式期权定价公式并绘制出一些仿真结果。

关键词：赋权分数布朗运动,欧式期权

参考文献

[1]E.Al′os, O.Mazet and D.N ualart, Stochastic calculus with respect to Gaussian processes, Ann.Prob.29 (2001) , 766-801.

[2]L.An and L.Yan, Smoothness for the collision local time of fractional Brownian motion, Preprint, 2011.

[3]Yan L, Yang X.Some R emarks on Local Time-Space Calculus.Stat Prob Lett, 2007, 77:1600-1607.