合成分解范文

合成分解范文（精选8篇）

合成分解 第1篇

众所周知, 速度的合成与分解, 对象是同一个质点 (物体) , 方法是平行四边形定则 (或三角形定则) , 原则虽如此明确, 但一遇到实际问题, 则往往不是那么简单的了.试看以下例题:

例 如图1所示, 两根细长棒AB与CD分别以垂直于自身的速度v1与v2移动.求:交点M的移动速度vM=?

笔者曾尝试让学生求解此题, 结果竟出奇般地雷同, 是:$v{}_{{\rm M}}=\sqrt{v{}_1^2+v{}_2^2+2v{}_{1}v{}_2\cos \theta }$, 并配以图示如图2.

在讲评此题求解结果时, 教师可以这样引导学生:同学们, 牛顿第三定律中的作用力和反作用力能求它们的合力吗?显然不能, 因为作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的两个力, 它们根本就不存在什么合力.如果有人硬要按照求二共点力合力的方法求作用力与反作用力的合力的话, 那便是大错而特错的了.此题也类似, 只不过是求M点移动的合速度罢了.须知, 速度v1、v2分别是细棒AB、CD各自移动的速度, 它们是没有合速度而言的.不错, 表面看来, 交点M的确是同在AB、CD棒上, 但仔细分析, 却不难看出:M点只是AB、CD二棒的一个交点, 可视为空间的一个质点, 该质点只是和二棒的交点重合而已!实际上, 交点M也是同时参与两个分运动, 有两个分速度:一个是点M沿AB棒移动的分速度v′2, 另一个是沿CD棒移动的分速度v′1, 而v′1、v′2的合速度才是M交点的真正的移动速度vM.那么, 如何求分速度v′1、v′2呢?

先求v′1:若CD棒不动, 如图3所示, 对v1进行分解, 分速度v′1便是M点沿棒DC移动的速度, 且有$v{}_1^{´}=\frac{v{}_1}{\sin \theta }$.同理, 若AB棒不动, 对v2进行分解, 分速度v′2便是M点沿AB棒移动的速度, 亦有:$v{}_2^{´}=\frac{v{}_2}{\sin \theta }$.所以, 交点M移动的速度vM便是v′1、v′2 (它们才是同时作用在M点上) 的合速度.

vM的大小应为:

$\begin{array}{l}v{}_{{\rm M}}=\sqrt{v{}_1^{´2}+v{}_2^{´2}+2v{}_1^{´}v{}_2^{´}\cos (180°-\theta )}\\ =\frac{\sqrt{v{}_1^2+v{}_2^2-2v{}_{1}v{}_2\cos \theta }}{\sin \theta }\end{array}$

如图4所示.

至此, 同学们恍然大悟, 他们解题错在概念上, 速度分解与合成只能是对同一个质点 (物体) 而言, 而对两个不同的物体速度v1和v2根本就不存在什么“合速度”, 它们是风马牛不相及的!

力合成和分解作图方法总结 第2篇

力合成和分解，这两节教村要培养学生作图能力计算能力，就其作图方法和技巧而言，则有合成图，分解图、受力图等等，其作用基本技巧和原理是平行四边形法则或三角形法则，下面以力分解为例，将作用方法加以总结。

一、力分解中最小值问题作图

1、知合力和一个分力方向，求另一个分力最小值。

2、知一个分力和合力的方向，求另一个分力最小值。

点评：过F或F1箭头作F1方向或垂线时，要注意垂线段作法，两个垂线段中最短线段，作图如图所示，则F2最小值分别是F2m=F·sinθ和F2m=F1·sinθ。

二、力分解解的个数讨论作图技巧

1、知合力和一个合力

点评：作图时，则三角形法则可知，连F和F1箭头即为F2，故此时力分解具有唯一确定解。

2、知合力和两个分力方向。

点评：过箭头作两分力方向平行线，围成一个确定平四边形，此时力的分解具有唯一解。

3、知合力和一个分力大小和另一个分力方向。

①当F2=Fsinθ，一个解 ②当F>F2>Fsinθ，二个解 ③当F2≥F，一个解 ④当F2

点评：可以F箭头为圆心，以F2大小为半径作圆，看此圆弧与F1方向交点即可，但当F2>F时，尽管交点是两个，但有一个交点在F1反方向上，此解不应取。

4、知合力和两个分力大小

点评：由三解形法则可知，分别以F箭头或箭尾为圆心，以F1大小或F2大小为半径作图，看两圆交点即可。

①当F1+F2=F或|F1-F2|=F时，两圆相切，一个解 ②当F1+F2F时，两圆无交点，无解 ③当F1+F2>F或|F1-F2|

运动的合成与分解问题归类分析 第3篇

一、运动性质分析

例1 如图1甲所示，起重机将货物沿竖直方向匀加速吊起，同时又沿横梁水平匀速向右运动.此时，站在地面上观察，货物运动的轨迹可能是图乙中的

解析货物的运动可以分解为两个相互垂直的运动，一是竖直向上的匀加速运动，二是水平向右的匀速运动.其合运动是曲线运动，运动的加速度方向竖直向上，运动轨迹应弯向受力的一侧，所以站在地面上的人观察到货物的运动轨迹应是C图，C正确.

变式1：某质点在水平面上的直角坐标系xOy坐标平面内运动的轨迹如图2所示，下面判断正确的是（）

A.若质点在戈方向始终做匀速运动，则在y方向也始终做匀速运动

B.若质点在x方向始终做匀速运动，则在y方向先加速后减速运动

C.若质点在y方向始终做匀速运动，则在x方向也始终做匀速运动

D.若质点在y方向始终做匀速运动，则在x方向先加速后减速运动

二、抛体运动

例2 如图3所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同.空气阻力不计，则（）

A.B的加速度比4的大

B.B的飞行时间比4的长

C.B在最高点的速度比4在最高点的大

D.B在落地时的速度比4在落地时的大

解析A、B都只受重力，所以加速度相同，A错.时间由竖直方向高度决定，高

变式2：如图4所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平向右.设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力，一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为vo=4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，坐标格为正方形，取g=10m/S?.

（1）小球在M点的速度v1；

（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；

（3）小球到达N点的速度v2的大小.

三、渡河问题

例3 一条宽为d的河，水流速度为Vl，船在静水中的速度为v2.

（1）怎样渡河时间最短？最短时间是多少？

（2）若v1

（3）若Vl>v2，怎样渡河船漂向下游的距离最短？

解析 （1）只有v2对渡河有帮助，当v2垂直河岸时，渡河时间最短，此时船身与河岸垂直.渡河位移最短：

（2）若v1

（3）若v1>v2，则船头垂直于合速度方向时渡河位移最短.如图5所示，此时渡河的最小位移为Smin

变式3：下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸Ⅳ的实际航线，则其中可能正确的是（）

三、绳连接问题

例4 如图6所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体.若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下列说法中正确的是（）

A.物体做匀速运动，且v2=v1

B.物体做加速运动，且v2>V1

C.物体做加速运动，且v2

D.物体做减速运v1按右图进行分解，则v1' =V2，而vl'=vlcosθ，所以v2

变式4：如图7所示，人在岸上用轻绳拉船.若人匀速拉绳，则船将做（）

A.匀速运动

B.匀加速运动

C.变加速运动 D.减速运动

答安

变式1：D

变式2：（1）6m/s

（3）4√10m/s

变式3：B

变式4：C

信号波形合成分解的设计与实现 第4篇

关键词：傅里叶,信号,合成分解,MATLAB,实现

0 引 言

在《信号与系统》[1]《模拟电子电路》等课程中,信号分解与合成的思想几乎贯穿了整个教材内容。如在连续系统的时域分析中,连续信号分解为许多冲激信号的线性组合,系统的响应可看作不同强度冲激信号产生的响应的合成。同样连续系统的频域分析中,系统响应可看作不同幅度虚指数信号产生的响应的合成。周期信号分解与合成是信号和系统分析由时域向变换域转换的转折点,它对于信号频谱特性的理解及系统频域分析等都有着非常重要的作用。本文对三角形式傅里叶级数中周期信号的分解与合成进行介绍,运用MATLAB 软件对方波信号分解与合成进行仿真分析,设计制作硬件平台,实现了对仿真结果的验证。

1 系统仿真

根据傅里叶级数理论,任何周期函数只要满足Dirichlet条件[2]就可以分解为直流、无限个正弦和余弦函数的代数和。

$f(t)=a{}_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a}{}_n\cos (n\Omega t)+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b}{}_n\sin (n\Omega t)$ (1)

式中,$a{}_0=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_{-\frac{{\rm T}}{2}}^{\frac{{\rm T}}{2}}f}(t)\text{d}t‚a{}_n=\frac{2}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_{-\frac{{\rm T}}{2}}^{\frac{{\rm T}}{2}}\cos }(n\Omega t)\text{d}t‚b{}_n=\frac{2}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_{-\frac{{\rm T}}{2}}^{\frac{{\rm T}}{2}}\sin }(n\Omega t)\text{d}t$,式中$\Omega =\frac{2\text{π}}{{\rm T}}$称为基波角频率。a0为其直流分量,an和bn分别为其余弦分量和正弦分量的幅度。对上述化简得到$f(t)=A{}_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }A}{}_n\cos (n\Omega t+\Phi {}_n)$,式中$A{}_n=\sqrt{a{}_n^2+b{}_n^2}‚\Phi {}_n=-\arctan \left(\frac{b{}_n}{a{}_n}\right)‚a{}_n=A{}_n\cos (n\Omega t)‚b{}_n=-A{}_n\sin (n\Omega t)$,其中A0为周期信号中所包含的直流分量,An是n次谐波的振幅,Φn是其初始相位。

根据以上理论,正弦波是波形的基本组成,任何非正弦波都可视为是基波和无数不同频率的谐波分量组成。从而得到近似方波的方案如图1所示(以10 K基波为例)。

$\begin{array}{l}F(x)=2E/\text{π}(\sin (\omega t)+\frac{1}{3}\sin (3\omega t)+\\ \frac{1}{5}\sin (5\omega t)+\frac{1}{7}\sin (7\omega t)+\Lambda )(2)\end{array}$

运用MATLAB仿真生成如图2波形[3,4]。

三角波产生的原理与此类似。它们的不同之处在于三角波的傅里叶级数展开式为:

$\begin{array}{l}F(x)=4E/\text{π}{}^2(\cos (\omega t)-\frac{1}{3}\cos (3\omega t)\\ +\frac{1}{5{}^2}\cos (5\omega t)-\frac{1}{7}\cos (7\omega t)+\Lambda )(3)\end{array}$

运用MATLAB仿真生成如图3波形。

2 硬件设计与实现

2.1 系统结构框图

传统的分频电路采用芯片厂家集成的锁相环或CMOS器件设计基于类扭环计数器的分频电路,这两个方案或多或少都存在频率稳定度不高,参数调整困难等缺点。在滤波器的选择上,很多系统采用利用开关电容滤波器,可轻松实现10 kHz、30 kHz、50 kHz的带通滤波。但是开关电容滤波器开关噪声大,容易引入重叠误差[5]。

经过上述分析,本系统由晶体振荡电路产生6 MHz的方波,经CPLD分频及四阶有源滤波器滤波得10 kHz,30 kHz,50 kHz的有效正弦信号,三路信号经放大后峰峰值依次为6 V、2 V、1.2 V,三路信号有稳定的相位关系,经移相网络使其初始相位相同,最后将三路信号叠加输出即得近似方波,三角波的产生与此类似,只是峰峰值和相位略有不同[6]。

2.2 有源滤波器

对于方波信号,为了得到基波分量,需要滤掉3次以上的高次谐波分量,然后交流耦合即可,故滤波器可选为低通滤波器,电路简单且容易实现。

考虑到滤波器的幅度平方函数具有如式(4):

$A(\Omega {}^2)=\left|{\rm H}{}_n(j\Omega )\right|{}^2=\frac{1}{1+\left(\frac{j\Omega }{j\Omega {}_c}\right){}^{2{\rm N}}}$ (4)

式(4)中N为滤波器的阶数,N越大,通带和阻带的近似性越好,如图5所示。

经计算知当 ,选用4阶滤波,30 kHz处的波形已衰减为-40 dB,同时为获得陡峭的衰减特性,选择了4阶有源切比雪夫低通滤波器。利用TI公司提供的Filter Pro软件可以十分容易的设计出截止频率为10 kHz、30 kHz、50 kHz相应的滤波器。

2.3 移向电路

在图6所示移相电路中,由运放的虚短和虚断知节点2. 3处电压相同设为U1,则有:

$U{}_{{\rm O}}=\frac{U{}_i}{\left(R{}_{{\rm O}}+\frac{1}{j\omega C}\right)}$ (5)

流经R1、R2的电流也相同:

$\frac{U{}_i-U{}_1}{R{}_1}=\frac{U{}_1-U{}_{{\rm O}}}{R{}_2}$ (6)

联立两式可得:

$\begin{array}{l}\frac{U{}_{{\rm O}}}{U{}_i}=\omega {}^{2}C{}^{2}R{}_{{\rm O}}\left(1+\frac{R{}_2}{R{}_1}-\frac{R{}_{0}R{}_2}{R{}_1}\right)-\frac{R{}_2}{R{}_1}+\\ j\frac{\omega C\left(1+\frac{R{}_2}{R{}_1}\right)}{1+(\omega CR{}_{{\rm O}})}(7)\end{array}$

输出电压与输入电压相位关系为:

$\tan \phi =\frac{\omega C\left(1+\frac{R{}_2}{R{}_1}\right)}{\left(\omega {}^{2}C{}^{2}R{}_0\left(1+\frac{R{}_2}{R{}_1}-\frac{R{}_{0}R{}_2}{R{}_1}\right)-\frac{R{}_2}{R{}_1}\right)(1+(\omega CR{}_0){}^2)}$ (8)

其中相位随R0的改变而改变,经计算当ω=10 K时,该电路可实现 0°～180°的相移,ω=30 K时,该电路可实现 0°～40°的相移,ω=50 K时,该电路可实现 0°～22°的相移。

3 实验数据与分析

(1) 方波振荡电路输出波形见下图所示,由于受示波器带宽限制,输出方波有一定的失真,如果换用更高带宽的示波器,可观测到较为标准的波形。

(2) 用于合成方波的三路信号

(3) 用于合成三角波的三路信号

由统计的数据值组成方波的基波、3次谐波、5次谐波的峰峰值与理论分析值6 V、2 V、1.2 V基本相符,误差在5%以内。并且四路信号有确定的相位关系。

组成三角波的基波、3次谐波和5次谐波的峰峰值与理论分析值6 V、$\frac{2}{3}\text{V}$、$\frac{6}{25}\text{V}$基本相符,误差在1%以内,并且三路信号有确定的相位关系。合成近似方波的幅度为5.02,满足要求。

(4) 三路信号送入加法器叠加后,输出波形如图8、图9所示。

4 结束语

本文设计制作了一款基于CPLD, MSP430F169的信号分解合成系统。在MATLAB与该系统上,分别完成了对傅里叶变换周期信号频谱的学习及验证,对建立信号频谱的概念和分析信号频谱有着重要的意义。

于此同时,本系统具有功耗低,幅度相位控制精确,可视化界面控制,操作便捷成本合理等特点。对于构建频谱概念的学习有着教好的意义,具有一定的推广前景。

参考文献

[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]V.F.Kroupa.Phase and Amplitude Disturbances in Direct Digital Frequency Synth-esizers[J].IEEE International Frequency Control Symposium,1999,46:481-486.

[3]黄永安,马路,刘慧.MATLAB7.0/Simulink6.0建模仿真开发与高级工程应[M].北京:清华大学出版社,2005.

[4]熊元新,刘涤尘.傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象[J].武汉大学学报:工学版,2001,34(1):69-71.

[5]陈尚松,雷加,郭庆.电子测量与仪器[M].北京:电子工业出版社,2005:89-105.

物理运动的合成与分解的教案 第5篇

知识目标

1、通过对多个具体运动的演示及分析，使学生明确什么是合运动，什么是分运动;合、分运动是同时发生的，并且不互相影响.

2、利用矢量合成的原理，解决运动合成和分解的具体情况，会用作图法、直角三角形的知识解决有关位移、速度合成和分解的问题.

能力目标

培养学生应用数学知识解决物理问题的能力.

情感目标

通过对运动合成与分解的练习和理解，发挥学生空间想象能力，提高对相关知识的综合应用能力.

教学建议

教材分析

本节内容可分为四部分：演示实验、例题、对运动合成和分解轨迹的分析、思考与讨论，但都是围绕演示实验而展开的，层层深入，由提出问题到找出解决问题的方法，以至最后对运动合成和分解问题的进一步讨论.

教法建议

关于演示实验所用的器材、材料都比较容易得到，实验也容易成功.此实验是本节的重点.一些重要的结论规律都是由演示实验分析得出的.观察红蜡块的实际运动引出合运动，并分析红蜡块的运动可看成沿玻璃管竖直方向的运动，和随管一起沿水平方向的运动，从而得出分运动的概念.着重分析蜡块的合运动和分运动是同时进行的，并且两个分运动之间是不相干的.合运动和分运动的位移关系，在演示中比较直观.而明确了它们的同时性，就容易得出合运动和分运动的速度关系.因此，课本在这里同时讲述了合运动和分运动的位移及速度的关系.即找到了解决运动合成和分解的方法——平行四边形定则.它是解决运动合成和分解的工具，所以在处理一个复杂的运动时，首先明确哪个是合运动，哪个是分运动，才能用平行四边形法则求某一时刻的合速度、分速度、加速度，某一过程的合位移、分位移.课本中合运动的定义是：红蜡块实际发生的运动，(由 )通常叫合运动，即实际发生的运动，也理解为研究对象以地面为参照物的运动，再给学生举几个实例来说明如何确定合运动.如：

1、风中雨点下落 表示风速， 表示没风时雨滴下落速度，v表示雨滴合速度.

2、关于小船渡河(如图)： 表示船在静水中的运动速度，方向由船头指向确定. 表示水的流速，v表示雨滴合速度.

在研究雨滴和船的运动时，解决问题的关键是先确定雨滴、小船实际运动(合运动).

注意应用平行四边形定则时，合矢量在对角线上，问题马上得到解决.

关于例题：例1：将演示实验过程定量讨论.给出两个分运动 、 及合、分运动的时间 ，求合速度 .

法一;先求出两个分速度 再利用矢量合成求v.

法二：先利用矢量合成求出s，再由 求出v.

例2：飞机飞行给出 及与某一分速度角度，来求另外两个分速度.其思路先由平行四边形法则画出几何关系，再利用数学计算解决分速度问题.

两道例题很简单，但合、分运动关系及解决问题的方法、思路充分体现出来.通过练习使学生们加深了对合、分运动的`理解.

关于分运动的性质决定合运动的性质和轨迹：课本以蜡块的运动说明两个直线运动的合运动不一定都是直线运动.为了搞清楚蜡块哪种情况下做直线运动，哪种情况下做曲线运动.这里可以让学生自己探究，得出结论：两个直线的合运动也可以是曲线运动.研究复杂的运动，可以根据不同方向分运动来研究复杂运动情况.

“圆”在力的合成与分解中的妙用 第6篇

1. 求解数

例1如图1，已知合力[F]和一个分力[F1]的方向以及另一个分力[F2]的大小([F2]的大小可根据解题需要取)，问[F]可以分解为几组分力？

解析以合力[F]的箭头为圆心，以分力[F2]的大小为半径画圆. 由于分力[F1]的方向确定，所以这个圆会与[F1]的作用线不相交、相切或相交三种情况，如图2. 根据三角形定则，[F1]、[F2]的交点指向合力箭头的有向线段表示分力[F2]. 当[F2F]时有一组解，当[Fsinθ

例2已知合力[F]和两个不平行分力[F1]、[F2]的大小. 三力的大小的关系满足|[F1]-[F2]|<[F]<[F1]+[F2]，问[F]可以分解为几组分力？

解析如图3，分别以[F]的始端、末端为圆心，以[F1]、[F2]的大小为半径画圆，两圆有两个交点，这时，[F]分解为[F1]、[F2]有两组解. 由于两分力没有被限制在纸平面内，现以[F]为转动轴旋转，得到两分力的方向，有无数组解.

2. 找极值

例3（1）已知合力[F]和一个分力[F1]的方向，求另一个分力[F2]的最小值；

（2）已知合力[F]的方向和一個分力[F1]，求另一个分力[F2]的最小值.

解析（1）此题情境同例1中圆与[F1]相切的情况，这时两分力垂直，[F2]的最小值等于[Fsinθ].

（2）如图4，以分力[F1]的箭头为圆心画与[F]作用线相切的圆，即[F2]与[F]垂直时[F2]最小，最小值为[F1sinθ].

例4一个物体受到两个共点力[F1]、[F2]的作用，两个力间的夹角可以变化，其中[F1=]100N，[F2=]200N. 当两个力的合力[F]与[F2]之间的夹角最大时，合力[F]为多大？

解析如图5，以[F2]的箭头为圆心，[F1]的大小为半径画圆. 根据三角形定则，连接[F2]始端、[F1]末端的有向线段表示合力[F]. 旋转[F1]，改变[F1]和[F2]的夹角，动态地观察合力[F]与[F2]之间的夹角变化情况. 当[F]与圆相切时，[F]与[F2]之间的夹角最大. 此时[F=F22-F12=2002-1002N=1003N].

3. 比大小

例5两个分力[F1]、[F2]的大小不变，当夹角从零增大到180°的过程中，求合力[F]大小的变化.

解析如图6，保持[F2]不变，以[F2]的箭头为圆心，以[F1]的大小为半径画圆，随着两分力夹角的增大，能清楚地看到合力[F]大小的变化情况，即[θ]增大，[F]减小.

例6若两个力[F1]、[F2]的夹角为[α](90°<[α]<180°)，且[α]保持不变，则下列说法正确的是()

A. 两个力都增大，合力一定减小

B. 两个力都增大，合力一定增大

C. 两个力都增大，合力可能减小

D. 两个力都增大，合力可能大小不变

解析为了方便比较，以两力作用点[O]为圆心，以原合力[F]的大小为半径画圆，从图7的三种情况中可以看出：当[F1]增大到[F1]，[F2]增大到[F2]时，合力F的大小可能减小、不变或增大，同理可知一个力增大时合力的变化也存在以上三种可能.

答案CD

4. 看方向

例7橡皮条的一端固定在[A]点，另一端同时作用两个力，使橡皮条伸长到[O]位置，这时两个力[F1]、[F2]与[OA]夹角分别为[α、β]，如图8([F1]与[F2]间的夹角为锐角). 现保持[F2]大小不变，[β]角减小一些，并仍保持橡皮条伸长到[O]位置. 下列说法可能发生的是（ ）

A. [α]减小，[F1]增大B. [α]不变，[F1]增大

C. [α]增大，[F1]增大D. [α]增大，[F1]减小

解析根据三力的平衡条件，[F1]、[F2]的合力[F]沿[OA]延长线的方向，利用平行四边形定则可以画出[F]. 三个力中，[F2]大小不变，合力[F]的大小、方向不变(因为要保持橡皮条伸长到[O]位置).

如图9，以[O]点为圆心，以[F2]的大小为半径画圆，初始[F2]的箭头与圆交于[B]点，过[B]点作初始[F1]的平行线，与圆交于[C]点，[C]点是[F1]方向变化的临界点. 当[F2]的箭头沿圆弧[BC]左移时，[α]角比初始值小；[F2]指向[C]点时，[α]角等于初始值；[F2]的箭头沿圆弧从[C]点左移时，[α]角比初始值大. 连接[F2]箭头和[F]箭头的有向线段表示[F1]，可以看出在[β]角减小的过程中[F1]一直增大.

力的合成与力的分解的对立和统一 第7篇

求几个力的合力叫做力的合成 (也叫力的叠加) , 反之, 求一个已知力的分力叫做力的分解。显然力的合成与力的分解是相互矛盾的, 具有对立性。

2. 力的合成与力的分解的和谐统一

2.1 平行四边形法则是力的合成与力的分解的共同法则

力的合成与力的分解是从大量实验、事实中总结出来的客观规律。从思维的角度来看:物体受到几个力的共同作用时, 每个力各自产生的作用效果彼此互不影响 (即力的作用的独立性) , 这是力可以按照平行四边形法则合成的前提与基础, 即力的作用的独立性是力的合成 (力的叠加) 的前提条件, 而力的叠加又是力的作用具有独立性的必然结果。因此, 力的平行四边形法则具体体现了力的叠加原理、以及力的作用的独立性与力的作用的叠加性之间的因果关系。

2.2 力的合成与力的分解都是运用“等效”思维处理问题的一种方法

一个物体, 如果同时受到几个力的作用而产生了一个效果, 这时, 需要研究各个力跟这一个效果之间的关系是十分复杂的事情, 但是, 若能找到一个力, 其作用的效果 (产生形变、产生加速度或产生转动的效果) 跟这几个力的作用效果相同, 那么就可以用这一个力的作用完全代替哪几个力的作用, 即这一个力 (合力) 跟哪几个力 (分力) 等效, 因此, 也就可以把研究几个力跟其作用效果的关系变成了研究一个力跟一个效果的关系, 这样使研究的问题简单的多、方便的多——“简化”处理问题的思维方法。实际上这个合力是不存在的, 找不到这个力的施力物体, 只是为了研究问题的方便, 用合力把哪几个力 (分力) 等效而已。如实际中向心力、回复力都不是重力、弹力和摩擦力之外的合外力。我们把沿半径方向的各个外力合成, 用一个力等效代替, 这个力就是向心力;沿振动方向的各个外力合成, 用一个力等效代替, 这个力就是回复力。再如分子间同时存在着相互作用的引力和斥力, 我们也常把它们合成用一个力代替, 即分子力。

如果一个力作用在某一物体上产生了几个效果, 这时, 这个力跟其效果之间的关系也是比较复杂的。为了研究问题的方便, 我们可以把每一个效果都用一个相应的力联系起来, 即把每一个效果跟其相应的等效力一一对应起来, 使研究一个力跟几个效果之间的关系化简了。一个力产生的几个效果是客观存在的, 但每一个效果的等效力是不存在的, 因此, 根本找不到每一个分力的施力物体。如静止在斜面上的物体所受的重力紧压斜面和使物体具有沿斜面下滑的趋势的两种效果, 因此, 我们可以用垂直斜面向下和沿斜面向下的两个分力的共同作用来等效代替重力这一个力的作用。

2.3 力的合成与力的分解的相互转化

对于一些通过求分力的物理问题而选择先求合力的思维方法或求合力的问题而选择先求分力的思维方法, 充分体现了思维的灵活性和变通性, 有利于学生的创造性思维能力的培养。这种欲分先合或欲合先分都是以进为退, 通过思维方法的转换, 使解决问题变得更加简捷。

例1如图1所示, 在水平面上有一重G的物体, 与地面的摩擦因数为μ, 今用一力F拉物体使其沿地面匀速前进, 求F的最小值是多少?

析与解:常规解法是将F正交分解为水平方向与竖直方向的两个分力, 然后根据共点力作用的平衡条件列方程转化为求极值问题, 显然繁难。下面选择先求合力再求分力的思维方法求解。

先分别求N和f的合力F1, 及F与G的合力F2。设F1与N的夹角为鄣, 则有 , 根据平衡条件F1与F2平衡, 对于G、F、F2构成的三角形, 根

据几何极值原理, 拉力F的最小值为:

拉力F的方向与水平方向的夹角θ=∂=arctanμ。

例2互成120°角的三个共点力, 大小分别为此30N、40N和50N, 求它们的合力的大小和方向。

析与解:本题可以根据平行四边形法则先求其中两个分力的合力, 再根据同样的方法求这个合力跟第三个分力的合力, 即三力的合力, 显然该过程不够简捷。下面选择先求分力再求合力的思维方法求解。

先分别将40N和50N的两个分力分解为两个同向分力, 即:40N=30N+10N, 50N=30N+20N, 如图2所示。由于互成120°角的三个30N的力的合力为0, 所以只需再将余下的20N的力正交分解为水平方向的分力F2=10姨3与竖直方向的分力F1=10N, 如图3所示。则得三力的合力大小为10姨3 N, 方向与原40N的分力垂直。

总之, 在教学中, 既要重视给学生物理基础知识的传授, 又要重视培养学生的思维能力。而要达到培养学生思维能力的目的, 除了应探索思维发展的规律, 更应尽量去挖掘教材内容, 找到知识之间的内在联系, 进行纵横比较, 形成立体化、网格化的知识结构, 也才能达到教学相长的目的。

参考文献

[1]王有山.合力与分力都是等效力.物理教学.1985.4

运动的合成与分解在电磁学中的应用 第8篇

例1摇如图1所示, 空间的匀强电场沿 - y方向, 匀强磁场沿 - z方向, 有带正电粒子 (已知m、q) 从O点出发沿+ x方向以初速度v0= 2E/B进入场, 求:图 1

(1) 此带电粒子到达的地方到x轴的最远距离.

(2) 粒子运动轨迹跟x轴相切的点的坐标. (不计重力)

分析:本题是带电粒子在正交电磁场中的运动, 由于F洛与F电合成以后沿y轴正方向, 而v0在x轴正方向, 所以运动轨迹是一条曲线. 在中学阶段我们处理曲线运动时, 往往采用先分解再合成的思想, 即先将实际的运动分解为两个分运动, 利用分运动间独立性、等时性分别研究这两个方向, 再运用分运动与合运动间的等效性, 即平行四边形定则得到实际运动的规律. 通常我们处理曲线运动是分别考虑运动的初始条件和受力情况将运动进行分解, 如, 平抛物体的运动我们分别考虑只有水平方向初速度或只受竖直方向的重力作用, 将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 本题是否也可以这样呢?如果我们分别考虑 + x和 + y方向的初始条件和受力情况则在 + x方向应当以v0= 2E/B匀速运动, 那么在 + y方向是否做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动呢?很明显不是这样, 因为在 + y方向上运动一旦有了速度, 粒子的实际速度将不再是v0, 而是v0与vy的合速度, 而F洛与实际速度垂直, 且大小也发生变化, 这样在 + y方向上将不会再直线运动. 怎么办呢?我们可以将v0分解为同方向的v1= v2=E/B, 对应的洛伦兹力F1= F2= Eq, 方向均沿y轴正方向, 这样F1与F电平衡, 一个分运动是以v1沿 + x方向匀速直线运动, 而F2提供向心力, 即另一个分运动是在xOy平面内, 以y轴上某点为圆心的匀速圆周运动, 实际的位移、速度和加速度是两个分运动位移、速度和加速度的矢量和.