数学直角坐标系

数学直角坐标系（精选9篇）

数学直角坐标系 第1篇

直角坐标系的创建, 在代数和几何间架起了一座桥梁, 它使几何概念可以用代数形式来表示, 几何图形也可以用代数形式来表示, 于是代数和几何就这样成为一家人.

据说, 解析几何的创造人笛卡尔思考几何图形是直观的, 而代数方程是比较抽象的, 能不能把几何图形与代数方程结合起来呢?要达到此目的, 关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他通过蜘蛛织网这个现象受到启发, 把蜘蛛看作一个点, 蜘蛛爬的每一个位置用一组数确定.同样道理, 用一组数 (x, y) 可以表示平面上的一点, 平面上的一个点也可以用两个有顺序的数来表示, 这就是坐标.因此, 我觉得培养学生在直角坐标系中解决数学问题的习惯和能力, 关键要抓住坐标, 利用坐标, 充分发挥出它的桥梁作用.

在教学过程中, 我体会到坐标的利用是学生的弱点, 所以应该通过课本上的习题引导他们, 让他们体会到坐标的作用.

例:试证明, 当B>0时

(1) 二元一次不等式Ax+By+C>0所对应的平面区域是直线Ax+By+C=0上方的部分;

(2) 二元一次不等式Ax+By+C<0所对应的平面区域是直线Ax+By+C=0下方的部分.

分析:我们应注意到区域和直线是点的集合, 因此, 在不等式Ax+By+C>0 (<0) 所对应的平面区域内任取一点 (x0 , y0 ) , 再令直线Ax+By+C=0中的x=x0, 可得y=-Ax0-C/B .接下来比较y0 与y的大小 (如图) .

直线上方满足y0 >y, 下方满足y0

证明: (1) 若在不等式Ax+By+C>0所对应的平面区域内任取一点 (x0 , y0 ) , 则Ax0 +By0 +C >0, 因为B >0, 所以y0 > -Ax0 -C/B .令直线Ax+By+C=0中的x= x0 , 得y=-Ax0 -C , 所以y0 >y.

所以二元一次不等式Ax0 +By0 +C>0所对应的平面区域是直线Ax+By+C=0上方的部分.

同理可证得 (2) .

七年级数学平面直角坐标系检测试题 第2篇

一，选择

1，下列说法正确的个数是()

①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1+∠2=1800③因为∠1与∠2不是对顶角。所以∠1≠∠2④因为∠1与∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠1800

A1B2C3D4

2.如图1，直线AB、CD相交于E，DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D=()

A700B800

C900D1000

3.如图2，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列关系不一定成立的是()

AAB﹥AC﹥ADBAB﹥BC﹥CD

CAC+BC﹥ABDAC﹥CD﹥AD

4，在运动会上，成绩是点到直线的距离的运动是()

A跳远B跳高C掷铅球D掷标枪

5，如图2，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中互余的角有()

A4对B3对C2对D1对

6，在同一平面内有l1、l2、……l10十条直线，如果l1∥l2，l2⊥l3，l3∥l4，l4⊥l5，l5∥l6，l6⊥l7，……那么l1与l10的关系是()

A垂直B平行C可以垂直也可以平行D不能确定

7，已知点P(a,b)满足ab﹥0，a+b﹤0，则点P在()

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

8，若点E(_a，_a)在第一象限，则点(--a2，--2a)在()

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

9，已知坐标平面内的三个点A(5，4)，B(2，4)，C(4，2)，则⊿ABC的面积为()

A3B5C6D7

10，已知⊿ABC平移后得到⊿A1B1C1，且A1(﹣2，3)，B(﹣4，﹣1)，C1(m,n),C(m+5，n+3)，则A，B两点的坐标为()

A(3，6)，(1，2)B(-7，0)，(-9，-4)，

C(1，8)，(-1，4)D(-7，-2)，(0，-9)

二，填空

11，如果将一张“5排3号”的电影票记为(5，3)，李珊珊同学买了一张标号为(15，2)的电影票，那么她应该坐在排号。

12，将点A(1，1)先向平移个单位长度，再向平移

个单位长度，得到点B(-1，-1)。

13，如下图，在正方形网格中，将⊿ABC向右平移3个单位长度后，得到⊿DEF(其中点A、B、C的对应点分别为点D、E、F)，若点A的坐标为(1，1)，则点D的坐标为。

14，如图3，在直线的`同侧有P，Q，R三点，若PQ∥L，QR∥L,那么P，Q，R三点(填“是”或“不是”)在同一条直线上，理由是。

15，将命题“两点确定一条直线”改写成“如果…….,那么…….”的形式为

。

16，如果∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少360，则∠A的度数是。

三，解答题

17，如图，小海龟位于图中点A(2，1)处，按下述路线移动：(2，1)→(2，4)→(7，4)→(7，7)→(1，7)→(1，1)→(2，1)，用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。

18，如图四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2，8)，B(-11，6)，C(-14，0)，D(0，0)

(1)求这个四边形的面积。

(2)如果四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形的面积又是多少?

19，如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线

(1)求∠COD的度数。

(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由。

20，如图，∠B、∠D的两边分别平行。

(1)在图①中，∠B与∠D的数量关系为。

(2)在图②中，∠B与∠D的数量关系为。

(3)用一句话归纳的结论为

试分别说明理由。

21，如图，AOB是一条在O处拐弯的河流，为了向缺水城市P供水，开挖了PM和PO两条水渠，PM和PO两条水渠哪条更短一些?为什么?如果不考虑其他因素，现有的水渠是不是最经济的?如果不是，画出最经济的水渠来，并说明原因。

22，如图，已知∠1=∠2，∠MAE=450，∠FEG=150,∠NEG=750，EG平分∠AEC，

平面直角坐标系概念解读 第3篇

如图1,要在数轴上表示-1,则找到点A,而点B则表示3,那么我们怎么表示点C的位置呢?点C不在数轴上,这就给我们带来了困难.

一、定物体的位置

在生活中我们是怎样来表示物体的位置的呢?

(1)经纬表示

这个方法用得非常广泛,同学们很容易想到我们地理中的经纬表示方法,根据经纬度,我们就能准确地找到相应的位置我们熟悉的GPS导航就是这种方法.

如:南京的位置在东经118°46′,北纬32°03′处.

(2)方位角表示

如图2,我们知道点P在点O的南偏东60°方向上,如果线段OP的长度是5米,我们就可以把点P的位置记作在点O的南偏东60°方向5米处.

(3)行列表示

行列表示法经常被我们用来表示平面上的位置关系. 我们需要两个独立的数据来表示,这样的两个数据,我们可以称之为有序实数对. 生活中这样的例子很多.

比如,我们怎样向别人介绍自己的座位呢?我们可以说在第4列、第3排,用(4,3)表示. 又比如电影院表示座位的5排11座可以用(5,11)表示.

二、坐标系

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系.

1. 相关概念

水平方向的数轴称为x轴或横轴,竖直方向的数轴称为y轴或纵轴,它们统称为坐标轴. 两条坐标轴的公共原点称为坐标原点,通常记为O. 我们可以看出x轴和y轴将平面分成4个区域,这4个区域称为象限,按逆时针顺序分别记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 但必须注意,坐标轴上的点不属于任何象限.

2. 点的坐标

在直角坐标系中,由一对有序实数(a,b),可以确定一个点P的位置,这样的有序实数对叫做点的坐标.

过x轴上表示实数a的点画x轴的垂线,过y轴上表示实数b的点画y轴的垂线,这两条垂线的交点,即为点P.

下图中点P的坐标为(a,b),其中a称为点P的横坐标,b称为点P的纵坐标,横坐标应写在纵坐标的前面.

点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起,如P(a,b).

任意一点的位置都可以用一对有序实数表示.

如果点Q是直角坐标系中一点,我们可以用一对相应的有序实数来表示,由上图中点Q的位置可以知 道它的坐 标为(m ,n).

我们要注意的是,有序实数对(a,b)和(b,a)虽然数字一样,但由于字母顺序不同,所以它们在坐标系中是两个不同的点.

3. 点的坐标规律总结

在直角坐标系中,如果点P的坐标为(a,b).

(1)点的坐标与到坐标轴距离的关系

点P(a,b)到x轴的距离为b ,到y轴的距离为a .

(2)在各象限中

点P在第一象限中,则a>0,b>0.

点P在第二象限中,则a<0,b>0.

点P在第三象限中,则a<0,b<0.

点P在第四象限中,则a>0,b<0.

反之也成立.

(3)在坐标轴上

点P在x轴上,则b=0.

点P在y轴上,则a=0.

反之也成立.

(4)对称点

点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);

点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);

点P(a,b)关于坐标原点对称的点的坐标为(-a,-b).

(5)点在坐标轴角平分线上

点P(a,b)在第一、第三象限角平分线上,则a=b;

点P(a,b)在第二、第四象限角平分线上,则a=-b(或a+b=0).

例已知P点坐标为(2a+4,a-3),

(1)点P在x轴上,则a=______;

(2)点P在y轴上,则a=______.

【解析】(1)点P在x轴上,所以纵坐标为0,即a-3=0,a=3.

教学设计七年级数学平面直角坐标系 第4篇

111724147 朱琴

一、教材说明:

1、学科：初中数学

2、教材版本：《义务教育课程标准实验教科书》（华东师大出版社）八年级（下）第十七章第2节平面直角坐标系第一课时。

3、“平面直角坐标系”是学习函数及其图象、曲线和方程的基础，是沟通数与形的桥梁。这节课是在学习了数轴与有关几何知识的基础上，进行函数图像教学的第一节课，万事开头难，学生在学好平面直角坐标系的概念，探究出特殊点的坐标特征，为以后学习函数图像打下基础。本节内容需2课时，本设计为第一课时，只是对点的坐标特征进行初步探究，而对于特殊点的坐标特征的深入研究是下一节课的重点与难点。

二、教学目标：

（一）【知识目标】

1、了解平面直角坐标系的产生过程；

2、认识平面直角坐标系及其相关概念；

3、探索象限内点的特征与坐标轴上点的特征。

（二）【技能目标】

1、会正确画出平面直角坐标系；

2、在给定的平面直角坐标系中，能够根据坐标指出点的位置，并且已知点的位置写出它对应的坐标；

3、在给定的条件下，能够根据象限内点的特征与坐标轴上点的特征，结合特殊点，利用方程、不等式等已有的知识解决一些简单的数学问题；

4、初步培养学生把现实问题抽象成数学模型的能力。

（三）【情感目标】

1、能使学生感受到数学与现实世界的联系，增强学生“用数学”的意识，感受数学之用；

2、培养学生严谨朴实的科学态度和勤奋自强的探索精神，以及独立思考与合作交流的学习习惯，感受数学之实。

3、让学生得到尝试、成功的情感体验，感受数学之美。

三、教学重点与难点：

1、教学重点：能在给定的平面直角坐标系中，由点求出坐标，由坐标描出点。

2、教学难点：探索象限内点的特征与坐标轴上点的特征，以及它们特征的简单运用。

四、教学媒体和教学技术选用

1、提供学习资源：

（1）笛卡尔与平面直角坐标系。

（2）数学拓展：GPS全球定位系统、极坐标、围棋棋子位置表示。

2、教学资源：根据教学需要制作相关的教学课件（“点将”游戏、成功的“点”、教室“点兵”），方便教学。

五、教学过程：

（一）创设问题情境

引例：我们的教室共有56个座位，自前向后分为7排，自左向右分为8列，每位学生对应了一个座位，我们来玩个“点将”游戏，你们是“将”，由我来点，点到的同学说出自己的座位号几排几列）。同时演示“点将”游戏，游戏规则：（1）老师报到学生姓名，学生起立并说出座位号；（2）老师说出座位号，对应的学生起立。奖励：同学们的掌声。

再提问你如何来确定自己的座位？

先让学生自己思考，也可以进行小范围的讨论，学生可以归纳出：要确定一个学生的座位必须有两个数，一个是排数，一个是列数。

那么再问2排3列与3排2列是否是同一个座位？由此你认为表示座位与两个数的顺序有关吗？ 结合课件演示，让学生进行讨论与思考，可以发现：一个“将”的座位应该由一对有序的数组构成的。

（二）构建数学模型

由上面的例子中我们可以发现，我们学生的座位是由一对有序的数组构成的，那么就我们已有的数学知识而言，我们能否将其也用数学知识来解决呢？

教师在这个时间可以先提问一个数是如何来确定它的位置的，学生马上可以想到有关数轴的知识。再利用教室的座位安排情况，同时特别要注意排与列之间的位置关系，由此学生可以有如下的发现：

1、排与列之间是互相垂直的位置关系。

2、每个座位都可以是排与列的交点。由此教师就可以总结如下：

学生的座位是由看成是两条互相垂直的数轴的交点确定的，但是我们是否可以再简单一些呢？对于在平面内的点，我们可以用同样的方法来表示它的位置。

教师板书：画出平面直角坐标系。(简介：1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了直角坐标系)然后教师结合图形介绍：坐标轴，原点，坐标平面，象限等相关概念。

（三）解决相关问题

问题1：写出图中P，B，C，D，E，F各点的坐标。（如图1）

以P点为例进行讲解，如图1-1。

从P点分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为M、N，点M、数，就是点P的横坐标与纵坐标，由此得出的有序实数对就是点P的坐标P（3，2）。

以下就可以让学生自己处理，可以交流。

图1-1 N在x轴与y轴上所的对应的问题2：在同一平面直角坐标系中，描出下列各点： A(-3,0)、B（-2，1）、C（0，-4）、D（2，1）、E（3，0）。以A点为例进行讲解。结合课件---成功的“点”进行讲解。

可以先在X轴上找到-3，再在Y轴上找到0，（或先在Y轴上找到0，再在X轴上找到-3），描出这个点。接着，让学生个别学习（允许相互讨论），教师巡视，个别指导，请学生自行操作得出答案。得出结论：平面上的点与有序实数对一一对应。

激趣：老师让学生依次连结AB、BC、CD、DE，得到“V”字形，感受数学图形之美，又代表成功（victory）之意。

（四）应用探究特征

问题3：象限内的点有什么特征？坐标轴上的点有什么特征？结合课件--教室“点兵”演示。

教师利用教室内的座位特点，先在教室里建立一个适当的平面直角坐标系，然后作一个简单的点的坐标的小游戏，把教室当沙场，玩“点兵”游戏。教室“点兵”游戏规则：（1）把学生分成六组：第一象限组、第二象限组、第三象限组、第四象限组、横轴组、纵轴组；（2）有老师点出每一组的代表；（3）有这组代表讨论出本组点的特点；（4）最后每组代表陈述；（5）处在原点处的学生可同时参与横轴组与纵轴组的讨论。奖励：来自本组的掌声。动作要求：每组全体同学起立动作整齐，协调统一。

先说出几个坐标，让与坐标相对应的学生起立，也可以点名学生说出自己的坐标。看看学生对点的坐标的熟悉与掌握程度。

再让分别处在第一、二、三、四象限的学生起立，让他们自己发现他们所在的象限的点的坐标的特征。然后让处在坐标轴上的学生起立，也是让他们自己发现他们所在坐标轴上的点的特征。

要求每组学生在游戏中，允许相互讨论，由于强调每组的整体，教师也应该能较好控制学生的情绪与班级的相关秩序。

概括出相关特征后，教师在黑板上板书。结论：

1、象限内点的特点：

x0点p(x,y)在第一象限；

y0点p(x,y)在第二象限x0；

y0x0；

y0点p(x,y)在第三象限x0点p(x,y)在第四象限；

y0

2、x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；反之亦然。

3、强调：坐标轴上的点不在任何象限内，原点既在横轴上又在纵轴上。

再做几个相关的练习以巩固所学知识。练习1：

（1）点A（2，-3）在第 象限。

（2）点C（a-1，-b+3）在X轴上，则b=。

若点D（-3a-1，-2b+3）在Y轴上，则a=。

（3）点P（4a-8，1-2 a）是第三象限的点，且a是整数，a=。

（五）情境回归现实

问题4：在我们的现实生活中除了我们今天的教室座位与平面直角坐标系有关，还有那些也是用平面直角坐标系来解决的呢？

如：电影院的座位，象棋、围棋的棋谱等。练习2：

（1）如图2，所示的国际象棋的棋盘中，双方四只马的位置分别是AC（f，7）、D（h，2），请在图中描出它们的位置.（课本练习3）

（2）如图3，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的由置可白棋②的位置可记为(E，3)，则黑棋⑨的位置应记为_________。（2006题）

（六）归纳小结提高

今天我们从现实生活中得出来了平面直角坐标系的有关知识，学

会了用点写为记录棋谱记为(C，4)，苏州中考试（b，3）、B（d、5）、（图2）出坐标和用坐标表示点的方法；同时也探究了象限中点的坐标、坐标轴上的点的特征，使我们对平面直角坐标系有了初步的认识和了解。本节课我们也学习了解决现实问题的一般思想方法：

（七）作业布置巩固 教师安排一定的练习与作业。练习3 ：课后练习

1、如图所示，在平面直角坐标系中，写出下列各点的坐标

点A

点B

点C

点E

点F

点G

点O

点D

点H、在下面方格纸上画平面直角坐标系中，并描出各点坐标： A（2，3）、B（-2，3）、C（-2，-3）、D（2，-3）、E（3，2）、F（-3，-2）、G（-3，3）、H（3，-2）。如有时间，想一想，这些点之间有什么位置关系。

3、填空与选择

（1）点A（-4，-5）在第 象限。（2）点A（1，22）在第 象限。

（3）点B（3 b，a+1）关于X轴的对称点的坐标是（6，-2 a +2），a+ b=

。（4）点P（-2 ,3）向右平移3个单位，所得的新点P的坐标为

。（5）点M（a ,-b）在第二象限，则点N（b,-a）在第（）象限。（A）一

（B）二（C）三

（D）四

六、教学设计反思

1、生活化。本节课以学生的座位切入，学生很容易进入我们安排的问题情境，同时学生也会感到熟悉，学习的兴趣与积极性就很好被调动起来。但是在这样的一个情境中又处处安排了一些问题，让学生感受到在我们的现实生活中数学的魅力，让学生产生“用数学”的意识。

2、真实化。以生活化的情景入手，内容真实，现实性强，同时又摆脱了陈旧的教材本位主义，我们是在“用教材”而不是在“教教材”，充分利用教学资源，为我们行之有效的教学活动服务，充分挖掘教材的潜在功能。

3、简洁化。本课以一个简单的问题情境出现，逐层深入，同时又围绕这一情境，展开教学与讨论。让学生在学习的过程有充分的时间与空间“自主学习”，教师在教学是的作用就是引导，点破，激励。学生才是学习的主人。

4、多样化。多样化的教学方式是为学生多样化的学习服务的，多样化的教学目标是为学生多样化的发展服务的。让学生在情境中活动，在活动中感受，在感受中体验，在体验中进步。有自主学习，有合作交流，有师生互动，学生可以交流学习成果，也可以反驳质疑。在一个大的宽松的，又不缺少严谨科学的环境下学习与成长。

5、问题思考：

本节课的知识点，新概念比较多，学生对新名词、新概念的陌生，可能会对教学效果有所影响，我们在教学应该如何处理？

平面直角坐标系核心概念解读 第5篇

1. 用有序实数对确定点的位置

确定一个物体在平面上的位置的常用方法,一般是用两个数据来表示,即一对有序实数.

【注意】1要用两个数据表示,如(a,b);2确定位置时,要注意数据的顺序性,如一般地,点(a,b)与(b,a)表示不同的位置.

2. 其他确定位置的方法

表示位置的方法很多,常用的还有如下方法:

(1)经纬定位法

经纬定位法在地理学中应用极其广泛. 用经纬度可以准确地描述地球上任意一点的位置,改变经纬度的数值,点的位置就随之改变.

如:无锡市江南中学位于北纬31°33′42″,东经120°18′12″的交点处.

(2)行列定位法

行列定位法是确定平面内某物体位置的重要方法之一. 用这种方法时,常把平面分成若干行、列,然后利用行号和列号表示平面上点的位置,要表示出某点的位置需要两个互相独立的数据,即有序实数对,两者缺一不可.

如:电影院里的“7排12号”用(7,12)表示.

(3)方位角、距离定位法

以一点为中心,在某个方向上的点有无数个,若该方向上的一点与中心点的距离确定,就能唯一确定该点的位置. 这种表示位置的方法实质就是用角度表示方向,用距离确定位置.

例,如图1,雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F. 按照规定的目标表示方法,目标A、B、C、D、E、F可分别表示为A(5,30°)、B(2,90°)、C(6,120°)、D(4,240°)、E(3,300°)、F(5,210°).

(4)标志物定位法

利用确定的标志物可以描述运动物体位置的变化,但这种描述方法有时不够精确,标志物越多,精确程度越高.

二、平面直角坐标系

1. 平面直角坐标系

(1)在平面内,两条互相垂直且原点重合的数轴,构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.

如图2,水平方向的数轴称为x轴或横轴,取向右为正方向;垂直方向的数轴称为y轴或纵轴,取向上为正方向;两条数轴的交点O为原点.

(2)建立平面直角坐标系后,两条坐标轴将平面分成的四个区域称为象限,如图2,从右上角开始按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限.

【注意】坐标平面是由两条坐标轴和四个象限组成,即坐标平面内的点被分成六个区域:在x轴上、y轴上、第一象限内、第二象限内、第三象限内,第四象限内. 在这六个区域内,除x轴与y轴有一个公共点(原点)之外,其他区域之间没有公共点.

2. 点的坐标

(1)由平面直角坐标系中的点求其坐标

如图3,对于坐标平面内的任一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别在x轴、y轴上,对应的数m、n分别叫做点P的横坐标、纵坐标,用有序实数对(m,n)表示点P的坐标.

(2)由点的坐标在直角坐标系内描出相应的点

已知点Q(a,b),要在直角坐标系中确定点Q的位置,先过x轴上表示数a的点作x轴的垂线,再过y轴上表示数b的点作y轴的垂线,两条垂线的交点即为所描的点Q(a,b),如图3所示.

【注意】1记一个点的坐标时,横坐标在前,纵坐标在后,中间用逗号隔开;

2有序实数对(3,4)和(4,3)虽然数字一样,但顺序不同,所以它们表示的不是同一个点.

3. 特殊点的坐标及表示方法

平面直角坐标系内各个位置上的点的坐标都是有特征的,设点P的坐标为(m,n).

(1)各象限中的点的坐标

点P(m,n)在第一象限m>0,n>0;点P(m,n)在第二象限m<0,n>0;点P(m,n)在第三象限m<0,n<0;点P(m,n)在第四象限m>0,n<0.

(2)坐标轴上的点的坐标

点P(m,n)在x轴上n=0;点P(m,n)在y轴上m=0.

(3)对称的点的坐标

点P(m,n)关于x轴对称的点的坐标为(m,-n);

点P(m,n)关于y轴对称的点的坐标为(-m,n);

点P(m,n)关于原点对称的点的坐标为(-m,-n);

或设点P1(m1,n1)和点P2(m2,n2).

点P1与点P2关于x轴对称m1=m2,n1+n2=0;

点P1与点P2关于y轴对称m1+m2=0,n1=n2;

点P1与点P2关于原点对称m1+m2=0,n1+n2=0.

(4)象限角平分线上的点的坐标

点P(m,n)在第一、三象限角平分线上m=n;

点P(m,n)在第二、四象限角平分线上m+n=0.

如,已知点A(3a+5,-6a-2)在第二、四象限的角平分线上,求a的值.

【解析】此题考查点的坐标与象限的角平分线的关系,根据点的坐标特征可得:(3a+5)+(-6a-2)=0,便可求得a=1.

4. 点的坐标与点到坐标轴的距离的关系

点P(m,n)到x轴的距离为|n| ,到y轴的距离为|m| .

5. 图形变换与坐标变化

(1)平移变换前后对应点的坐标的变化

1一个图形沿x轴(或沿平行于x轴的直线)平移k个单位长度后,所得到的图形与原图形的对应点之间的坐标关系为:各对应点的纵坐标不变,横坐标加上或减去k.

2一个图形沿y轴(或沿平行于y轴的直线)平移k个单位长度后,所得到的图形与原图形的对应点之间的坐标关系为:各对应点的横坐标不变,纵坐标加上或减去k.

(2)对称变换前后对应点的变化

1一个图形沿x轴对折,则翻折前后两个图形的对应点的坐标之间的关系:横坐标相等,纵坐标互为相反数.

2一个图形沿y轴对折,则翻折前后两个图形的对应点的坐标之间的关系:纵坐标相等,横坐标互为相反数.

(3)旋转变换前后对应点的变化

3在同一直角坐标系中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形的对应点的坐标之间的关系:横坐标和纵坐标分别互为相反数.

【注意】以上概念的掌握关键在于理解,若不熟练,可结合图形进行分析,帮助理解,探索变换前后两图形对应点的坐标变化关系即可.

6. 建立适当的坐标系确定点的坐标

根据已知条件,建立适当的坐标系确定点的坐标时,要选择那些使点的位置比较容易确定的方法,一般采用以下方法建立坐标系:

(1)使图形中尽量多的点在坐标轴上;

(2)以某些特殊线段所在的直线为x轴或y轴(如高、中线等);

(3)以对称图形的对称轴为x轴或y轴;

(4)以某已知点为原点建立坐标系,则它的坐标为(0,0).

由于在坐标平面中图形放置的方式不同,所得图形上的点的坐标也不同,对解决问题的难易程度也会不一样.

如,若以正方形ABCD的点A为原点 ,分别以边AB、AD所在直线为x轴和y轴建立直角坐标系,如图4,则该正方形四 个顶点的坐标分 别为A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2);

若以正方 形ABCD的中心为原点,分别以对边中点的连线为x轴和y轴建立直角坐标系,如图5,则该正方形四个顶 点的坐标分别为A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).

数学直角坐标系 第6篇

一、新课引入

(1) 复习数轴知识, 用简单的话语迅速让学生回忆学过的数轴知识, 让学生知道数轴的三要素:原点、正方向和单位长度, 在数轴上确定点用一个实数表示就可以了. (2) 复习数对, 然后以班级中学生座位的确定来举例, 要在平面内确定一个点需要一对有序实数对, 为后面坐标的引入做好铺垫.

二、新课讲授

这里主要还是以书本上的步骤为主, 讲授直角坐标系的相关知识, 通过确定平面内一点A引入平面直角坐标系, 并且阐述要在平面内表示某个点的位置要用一对有序实数对表示, 即点的坐标, 如P (a, b) .这个过程既让学生理解了直角坐标系的相关概念, 又让学生明白了如何在一个平面内将某个点的位置用坐标表示出来.

三、练习巩固

这节课的练习巩固是随着新知识一起给出的, 目的是让学生学与练紧密相连, 学会了就要用上.我设计了4组练习:①找出所给的点的坐标; ②根据所给的几个特殊点归纳出在横轴和纵轴上的点的坐标的特征, x轴的所有点的纵坐标为0, 记作 (a, 0) y轴的所有点的横坐标为0, 记作 (0, b) , 原点的横、纵坐标都为0, 记作 (0, 0) ;象限内的点的坐标符号特征:第一象限 (+, +) , 第二象限 (-, +) , 第三象限 (-, -) , 第四象限 (+, -) .但是坐标轴上的点不属于任何象限;③请一位同学在所给的坐标平面上指一个点, 另一个同学说出它的坐标, 答对了这个同学可以请另外的同学说出他所指的点的坐标, 以此类推;④现实运用, 在班级中建立直角坐标系, 请学生说出自己所在位置的坐标.

本课灵活运用了多种教学方法, 既有教师的讲解, 又有讨论, 在教师指导下的自学、组织活动等, 调动了学生学习的积极性, 充分发挥了学生的主体作用.通过活动让学生再次感知点和数对的对应关系, 然后上升到理性, 从而突破难点, 体现素质教育要求.课堂上拓展了学生学习空间, 给学生以充分发表意见的自由度.

本课设计了小结, 不仅归纳了知识点, 还注重了数学思想方法在课堂中的渗透, 拓宽了学生的知识面, 培养了学生的发散思维能力和创新能力. 并向学生展示了人类认识世界是由特殊到一般、具象到抽象、一维到多维、数与形相结合等认识规律, 使学生站在一个新的高度认识所学内容, 培养了学生探求、归纳、总结等认识客观世界的认知方法.

在课后, 我认真地看了教材, 再结合多年的教学经验, 发现教材留给学生思考的内容太多;学生只掌握教材知识, 在做题时, 很多题将会十分困难.于是我在教学时就增加以下一些相关的内容, 对本节内容进行了提高和拓展.在课时上也做了相应的调整 (两课时) .

这一节的有关规律很多, 学生应该掌握, 进而利用它做题.

1.象限内的点的坐标符号特征 :第一象限 (+, +) , 第二象限 (-, +) , 第三象限 (-, -) , 第四象限 (+, -) .但是坐标轴上的点不属于任何象限.

2. 坐标轴上的点的坐标特征:x轴的所有点的纵坐标为0记作 (a, 0) , y轴的所有点的横坐标为0记作 (0, b) , 原点的横、纵坐标都为0.记作 (0, 0) .

3.与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相等, 如A (2, 5) , B (-3, 5) , 即直线AB平行x轴;与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相等, 如A (2, 5) , B (2, 12) , 即直线AB平行于y轴.

4.一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等 , 记作 (a, a) 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 , 记作 (a, -a) .

5.关于x轴对称的点的横坐标相等, 纵坐标互为相反数, 关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数, 关于原点对称的点横坐标、纵坐标都互为相反数.

6.平面直角坐标系中点到直线的距离,

①到x轴的距离是纵坐标的绝对值, 即P (a, b) 到x轴的距离是b的绝对值;

②到y轴的距离是横坐标的绝对值, 即P (a, b) 到y轴的距离是a的绝对值.

在教学时通过举例和练习, 加深学生对知识理解和掌握.

数学直角坐标系 第7篇

本节课的教学内容是苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第四章第三节第一课时内容, 它是在研究了数量的变化、位置的变化的基础上提出来的, 学生对实际生活中某个位置与有序实数对之间的对应关系有了一个初步的认识.由于教材浓缩了思维过程, 给学生理解造成了一定的困难.为此, 笔者在认真研究学情的基础上, 对教材进行了加工和创新.

二、教学过程

1. 创设情景

(电脑显示) 小明不会求图1中皇冠的面积, 就打电话给他的哥哥, 可他怎么也说不清, 心中非常着急.热心的同学们, 帮帮小明, 好吗?

(学生欲言又止, 想说又不知从何说起.)

师:相信通过本节课的学习, 同学们一定会帮上这个忙.

2. 构建模型

(电脑显示) 图2是某时刻拍摄的某地区的俯视图, 此时汽车A、B、C、D、E、F离站台O的距离分别为200米、100米、100米、200米、150米、100米;音乐喷泉G距南北路100米, 距东西路150米.

师:若把汽车、音乐喷泉、站台看成点, 这两条路可以看成什么?

生: (齐答) 直线.

师:你能用实数表示点A、B、O、C、D吗?谈谈你的想法.

生1:因为我们知道数轴上每一个点都可用实数表示, 而这些点又都在同一水平线上, 因此, 只需把水平线转化为数轴就可以了.

师:说得很好, 请继续.

生1:由于A、B、C、D都是以点O为参照, 到点O的距离都是100的倍数, 故以点O为原点, 100米为一个单位, 规定以向东为正方向, 该水平线就变成了水平数轴, 点A、B、O、C、D可分别用-200、-100、0、100、200表示.

(运用几何画板演示音乐喷泉、汽车、站台演变为点, 东西路、南北路演变为直线, 水平直线演变为数轴等过程, 如图3所示.)

师:说得太好了.回忆一下, 数轴上点与实数之间存在着怎样的对应关系?

生: (齐答) 一一对应.

师:能用水平数轴来描述点E、F吗?为什么?

生2:不能, 因为点E、F不在这个数轴上.

师:很好!如何描述点E、F呢?谈谈你的想法.

生3:点E、F不在水平线上, 但在竖直线上, 模仿上面的方法, 把竖直线转化为以点O为原点, 100米为1个单位长度, 向北为正方向的数轴, 点E、F可分别表示为+150, -100.

(运用几何画板演示竖直线演变为数轴的过程, 如图4所示.)

师:活学活用, 很不简单.

3. 引入概念

(1) 平面直角坐标系.

师:如何给这两条数轴命名, 方能凸显它们特殊的位置?

生4:一个是水平的, 一个是竖直的, 可分别称为水平轴、竖直轴.

生5:一个是横向的, 一个是纵向的, 可分别称为横轴、纵轴.

师:有创意, 我们通常称水平方向的数轴为横轴或x轴;竖直方向的数轴为纵轴或y轴.

师:这两条数轴有何特殊的位置关系?

生6:相交于点O, 且互相垂直.

师:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系, 简称为直角坐标系.由于它是由伟大的科学家笛卡儿创立的, 因此又称为笛卡儿坐标系.其中, 公共原点O称为坐标原点, 横轴和纵轴统称为坐标轴.

(2) 象限.

师:坐标轴将平面分成的四个区域称为象限, 按逆时针顺序分别记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.如图5坐标轴上的点 (如点A、B、O、C、D、E、F) 不属于任何象限.

(3) 点的坐标.

师:以y轴为参照, 如何描述点G的位置?

生7:点G在y轴的左边.

师:能再具体一点吗?

生8:点G在y轴的左边100米处.

师:以x轴为参照, 如何描述点G的位置?

生9:点G在x轴的上面150米处.

师:他们的描述能确定点G的位置吗?

(全班讨论, 教师总结.)

师:要确定点G的位置, 既要以y轴为参照, 又要以x轴为参照;既要指明方向, 又要知道距离.

(运用几何画板演示一条竖直虚线从y轴出发, 向左移动100;一条水平虚线从x轴出发, 向上移动150;两条线交于点G.)

师:我们把这种通过平移确定点的方法命名为“平移定点法”.

师:在实际生活中描述一个点的位置需要几个数据?举例说明.

生10:通常需要两个数据, 如地球上的点由经度和纬度两个数据确定, 我们的座位由列和行两个数据确定……

师:在直角坐标系中, 能用两个数据描述点G的位置吗?如何描述?

生11:以向右为正, y轴左边100米可记为-100;以向上为正, x轴上方150米可记为+150.按先横 (左、右) 后竖 (上、下) 的书写顺序, 点G的位置可用一对实数 (-100, 150) 表示.

师:说得好!能指出 (150, -100) 所表示点的位置吗?是点G吗?

生12: (150, -100) 所表示的点应在y轴的右边150米, x轴的下面100米处.该点在第四象限, 不是点G.

师:可见, 若规定了书写顺序, 顺序不同的实数对所对应的点不同, 我们把这样的实数对叫做有序实数对.探索中我们发现:在直角坐标系中, 一对有序实数确定一个点的位置, 一个点的位置可以用一对有序实数表示.把这样的有序实数对叫做点的坐标.其中横向 (左、右) 移动所对应的数叫横坐标, 写在前面;纵向 (上、下) 移动所对应的数叫纵坐标, 写在后面;它们之间用逗号隔开, 并用括号把它们括起来.点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起, 如G (-100, 150) .

4. 组织游戏

(电脑显示.)

(1) 打击罪犯:你在监控中心监视屏 (含有网格的平面直角坐标系) 上发现有10名歹徒 (在格点) , 请在1分钟内向伏击的警察准确通报这些人的位置 (坐标) , 以便一网打尽.

[学生先写在纸上, 1分钟后, 同桌对调批改, 教师用几何画板演示如何用竖直线 (初始位置在y轴) 、水平线 (初始位置在x轴) 给歹徒定位.根据移动的方向和距离显示坐标.统计全对的人数, 给予表扬.]

(2) 捉迷藏:有10个人隐藏在某个区域 (平面直角坐标系) , 现有这些人的地址 (坐标) , 你能在1分钟内把他们全部找出来吗?

[学生在网格纸上完成, 1分钟后, 同桌对调批改, 教师用几何画板根据横坐标的符号和绝对值, 将一竖直虚线 (初始位置在y轴) 横向 (负左、正右、0不动) 平移一段距离 (横坐标的绝对值) ;再根据纵坐标的符号和绝对值, 将一水平虚线 (初始位置在x轴) 纵向 (负下、正上、0不动) 平移一段距离 (纵坐标的绝对值) ;两虚线的交点为对应点.统计全对的人数, 给予表扬.]

师:从游戏中我们深刻体会到直角坐标系中的点与其坐标之间存在怎样的对应关系?

生: (齐答) 一一对应.

师:横 (纵) 坐标由符号和绝对值组成.符号、绝对值有怎样的几何意义?

生13:符号表示方向, 绝对值表示距离.

师:精妙绝伦!

5. 电脑牛刀

（电脑显示.）

(1) 找出错误的语句, 并加以纠正.

(1) 原点的坐标为0; (2) 直角坐标系中的点都在象限内; (3) (2, -1) 与 (-1, 2) 是同一个点; (4) 直角坐标系中的点与有序实数对一一对应; (5) (0, 2) 在x轴上.

(2) 在平面直角坐标系 (图6) 中, 写出点A、B、C、D、E、F的坐标;描出坐标 (-3, 6) 、 (0, 6) 、 (3, 6) 、 (3, 3) 、 (3, -3) 、 (-3, -3) 、 (-1, 3-3、-3-3、-10) 、 (-3, 3) 所对应的点G、H、I、J、K、L、M、N.

(学生独立完成, 电脑显示答案, 同桌互批.)

6. 探究规律

探究1: (电脑显示) 观察图6中各点的坐标, 思考下列问题.

(1) 第一象限点的横纵坐标符号有何特征?

(2) 第二象限点的横、纵坐标符号有何特征?

(3) 第三象限点的横、纵坐标符号有何特征?

(4) 第四象限点的横、纵坐标符号有何特征?

(5) x轴上点的坐标有何特征?

(6) y轴上点的坐标有何特征?

(小组讨论后, 由代表发言, 相互补充, 教师总结.)

师:设点A的坐标为 (a, b) .若a>0, b>0, 则点A在第一象限;若a<0, b>0, 则点A在第二象限;若a<0, b<0, 则点A在第三象限;若a>0, b<0, 则点A在第四象限;若a=0, 则点A在y轴上, 若b=0, 则点A在x轴上.

探究2:

师:说出图6中的点到x轴、y轴的距离.

(学生逐一回答.)

师:P (x, y) 到x轴、y轴的距离呢?

生14:P (x, y) 到x轴的距离为y, 到y轴的距离为x.

师:赞同的举手.

(多数学生举手表示赞同, 只有少数学生没有举手.)

师:有不同意见的举手?

(少数学生举手, 其他学生开始进行反思, 不一会儿, 越来越多的学生举起了手.)

生15:x, y可以为负, 但距离不能为负, P (x, y) 到x轴的距离应该是, 到y轴的距离应该是.

生16:我是这样理解的:x, y是由符号和绝对值组成, 符号表示方向, 绝对值表示距离, 所以P (x, y) 到x轴、y轴的距离分别为|x|、|y|.

师:两位同学说得都很棒!

7. 勇夺桂冠

师:你想成为今天的冠军吗?

生: (齐声) 想.

(学生情绪激昂.)

师: (几何画板演示) 小虫在含有网格的直角坐标系中跳动 (5秒钟跳一次) , 依次说出它的位置、坐标、到y轴及x轴的距离.先同桌, 再小组、最后全班, 两人轮流说, 来不及回答或出现错误就被淘汰, 速度快且完全正确者获胜.

(先做热身训练, 再正式比赛.比赛结束后, 给冠军颁发荣誉证书.)

8. 攻克难关

师:把图6中的点G、H、I、J、B、E、C、K、F、L、D、M、A、N、G顺次连接, 欣赏一下你的杰作.

生: (惊呼) 奖杯!

(教师用几何画板将以上各点顺次连接, 并将其内部填上黄色, 如图7所示.)

师:能向朋友描绘你的杰作吗?

生17:能, 只需向朋友提供各点的坐标, 让他根据坐标描点, 并将点G、H、I、J、B、E、C、K、F、L、D、M、A、N、G顺次连接即可.

师:好主意, 现在你们能帮小明吗?

(学生举手争着要回答.)

生18:能, 只需在图1中添上一个直角坐标系, 然后告诉他哥哥各点的坐标, 让他哥哥根据坐标描点, 并将点A、B、C、、D、E、F、G、A顺次连接即可.

师:很有创意, 了不起!我替小明感谢你.

9. 畅所欲言

本节课你学到了哪些知识?学会了哪些本领?掌握了哪些数学思想方法?还有哪些困惑?

(学生很踊跃, 先组内交流, 后代表发言, 教师补充.)

1 0. 结束语

师:同学们今天的表现非常出色, 愿你们在人生这个坐标系中, 以勤劳为横轴, 以智慧为纵轴, 用勤劳和智慧描绘出一个个光彩夺目的点, 创造美好的人生.

1 1. 作业

(1) 必做题:P130.T1、T3、T4;

(2) 选做题:在图1中建立一个适当的平面直角坐标系, 写出点A、B、C、D、E、F、G的坐标;

(3) 挑战题:在平面直角坐标系中, 点O (0, 0) , 点A (3, -4) , 点B在坐标轴上, 若△OAB是等腰三角形, 求点B的坐标.

三、教学反思

1. 教学环节环环紧扣, 层层推进, 前后呼应, 相得益彰, 符合学生的认知规律.在概念的引入上, 力求由自然到必然, 设置了“构建模型”、“引入概念”等环节, 以数轴为“生长点”, 经过几次演变, 将实际图形自然转化为直角坐标系, 然后自然引出有关概念;在知识的落实上, 力求“寓教于乐”, 设置了“组织游戏”、“小试牛刀”、“勇夺桂冠”等环节, 大大激发了学生的学习兴趣和潜能, 使学生对知识理解得以提高和升华;在能力的培养上, 设置了“探究规律”、“攻克难关”、“畅所欲言”等环节, 培养了学生语言表达能力、探究能力和创造力.

2. 在组织教学上, 抓住学生的心理特点, 营造和谐的教学氛围.通过语言激励, 激发学生的学习热情;通过适时提问, 让课堂成为师生交流的平台, 成为学生自主探索、合作交流、展示才华的舞台.

3. 在教学过程中, 注重思想方法的渗透.数学思想方法是数学的灵魂, 在“构建模型”过程中, 渗透了建模思想、类比思想;在“引入概念”过程中, 渗透了对应思想、坐标思想;在“组织游戏”过程中, 渗透了数形结合的思想等.

4. 创造性地使用“平移定点法”, 形象直观, 易操作, 对理解坐标与距离之间的关系有很大的帮助, 从而化解了教学难点.

数学直角坐标系 第8篇

在工程放样、小面积测图和变形监测等情况下, 在实际工作中经常会需要我们建立独立平面直角坐标系, 并且这些工作基本上都是在100km2范围内完成的, 往往以水平面代替水准面。

用水平面代替水准面 (即平面代替球面) 必然会给测量结果带来误差, 如果这些误差在规范所允许的限差内, 则直接建立独立平面直角坐标系可行, 不再需要高斯投影等复杂计算变换。现从三个方面加以简要说明, 即长度、角度和高程误差。

1.1 产生的长度误差

在这里不加推导地直接给出长度误差公式:ΔD=D3/3R3。把边长D=10km代入公式可得如表1结果。

1.2 产生的角度误差

平面代替球面后, 角度误差为:Δα=Sρ/3R2, 把S=100km2代入公式得Δα=0.17″。

1.3 产生的高差误差

高差误差公式:Δh=D2/2R。用不同水平距离D代入, 结果见表2。

表2说明, 地球曲率对高差的影响, 即使在很短的距离也必须考虑。

综上所述, 在面积为100km2的范围内, 不论是进行水平距离或水平角测量, 都是可以不考虑地球曲率的影响, 直接建立独立平面直角坐标系可行, 不必再进行长度和方向归算以及投影等复杂计算。但地球曲率对高差的影响是不能忽视的。

2 独立平面直角坐标系的建立

现在我们主要讨论在建筑工程施工放样和小面积地形测量中的独立平面直角坐标系的建立。

2.1 在建筑工程施工放样中独立平面直角坐标系的建立

尽管由于地形测量的数字化, 现在获取放样点的坐标容易多了, 但是在没有提供坐标或者缺少控制点时, 依然有其实际工作中的实用意义。现在以桩基础放样为例加以叙述。

图1是一栋楼的桩基设计图。

放样要求:距离北面已有建筑20m, 距离西面已有建筑30m。间距指建成后墙面与墙面之间的净距离。北面与西面已有房屋相互垂直。

基本原理:利用周围建筑物建立独立平面直角坐标系, 根据拟建筑物与周围建筑物的几何关系, 确定拟建筑物在独立平面直角坐标系中的数学关系。高程可根据实际情况假定。

为了确定拟建房屋框架位置, 准确定出各桩位在实地中的位置, 我们分两步走:

(1) 建立简易独立平面直角坐标系, 确定整个房屋框架的位置。

具体做法是:

(1) 在选定位于拟建筑物的西南角某点作为坐标原点。

(2) 垂直北面已建房屋的长边, 或者沿着短边从两个房角F、G同方向各量出1m或1m以上距离, 确定两个点O1、O2, 这个距离不宜过长, 但至少要保证能够架设测量仪器, 并不被周围物体妨碍测量。我们把直线O1O2作为X轴。

(3) 在点O1上架设全站仪, 以点O2为后视点, 方位归零, 测量西面已建房屋的房角H或K, 计算H的坐标 (Xh, Yh) 或K的坐标 (Xk, Yk) , 测站O1的坐标可暂时假设为 (0, 0) 。

(4) 由点H的X坐标就知道了测站O1距离西面已建房屋在X方向上的精确距离了, 再根据这个距离, 重新假定测站O1的坐标 (a, b) , a不一定要等于-Xh, b不一定要等于0, 要根据实际情况确定一个合适的数值, 最后要调整的假定坐标X、Y值要满足各轴线的引点和各桩位坐标不出现负值, 以方便计算和放样的实际工作。确定了测站O1的坐标也就确定了独立坐标系原点O的位置。

(5) 至此, 有原点, 有X轴, 我们就建立了独立平面直角坐标系。根据拟建房屋与周围建筑物的几何关系, 我们也就可以确定拟建房屋在已建立的独立坐标系中的位置, 拟建房屋的四个轴线交点坐标分别为:

这里要注意一个细节, 给出的间距指的是墙面间净距离, 而我们上面的坐标值是按已建建筑的墙面与拟建建筑的轴线之间的距离计算的, 所以, 各X、Y坐标还应该再加上一个拟建筑物的墙面厚度p。

(2) 计算各桩位坐标。建立坐标系后, 我们就比较容易的计算出桩位的坐标, 再利用极坐标法就可以在实地放样出各桩的位置。这里要注意一个细节, 很多桩中心不是轴线的交点, 而是偏离了一定的距离。本例很多桩位向某一方向就偏离了100mm, 或者同时向两个方向偏离100mm。

2.2 在小面积地形测量中的独立平面直角坐标系的建立

在缺少控制点的山区及某些不发达国家测量小面积地形图等情况下, 都需要我们建立独立平面直角坐标系。随着全球化经济的发展, 我国企业已开始走出国门, 走向世界, 涉及工程项目、土地和矿产开发等。由于某些国家测量工作非常薄弱, 控制点稀少, 并且很多地方无大比例尺地形图, 不利于后续工作的顺利开展, 要获取这些基础资料首先就得建立坐标系。

现分两种情况对建立独立平面直角坐标系加以阐述:

2.2.1 建立磁北或真北平面直角坐标系

此坐标体系整体框架采用三点单三角形, 亦可采用其它图形, 如大地四边形等。现分步说明建立过程和步骤。

(1) 确立独立坐标系的北方向。

第一步在测区合适的位置, 如视野开阔的高地、测区中心等, 在地上做个固定标志, 确定一个基准点;第二步用地质罗盘确定北方向, 把地质罗盘水平放在全站仪的北面, 并在5m距离左右;第三步左右移动地质罗盘, 并保持罗盘的南北指针始终指向正南北向, 直至使全站仪的竖直中丝与罗盘的南北向刻度指标完全重合。这时, 全站仪北方向归零, 便确定了全站仪的磁北方向, 亦即整个独立坐标系的磁北方向。

(2) 完成框架点测量。

确定测区的另外两个可通视的首级控制点, 根据控制点的选择规则选点。并按控制测量的观测程序和技术要求测量其余各点。高程可采用水准测量或三角高程测量。按照测区实际面积的大小确定首级控制网的精度等级。

(3) 完成整个首级控制网点的计算。

假定测站点平面坐标和高程, 并平差, 计算出另外两点的坐标和高程。至此, 即成功建立了磁北平面坐标系。

如果知道当地的磁偏角δ, 真北和磁北的数学关系, 即:

式中:A为真方位角, Am为磁方位角。

根据这个关系式, 进行磁偏角的改正, 即可换算成真北平面直角坐标系。

今后如有必要可与国家控制点联测, 即可归算到国家坐标系。

2.2.2 基于GPS技术建立平面直角坐标系

整个控制网我们用的其实就是标准单点定位, 当然我们也可以采用精密单点定位。在目前GPS系统状态下, 标准单点定位静态定位精度优于±2m, 动态定位精度在±3m左右。

(1) 组网及采集数据

在测区内, 按照控制测量选点原则选取3个及以上控制点组成简单的网, 作为首级控制。然后, 在各点上施测静态GPS, 测量时间必须60min以上。高程测量方法可采用水准测量、三角高程测量、GPS水准测量。现在GPS测量控制网内符合精度一般很高, 达到或超过D级GPS点的精度是很容易的, 因此, 用于测图精度已足够。

(2) 数据处理。

数据采集完备, 进行数据处理。解算基线, 并进行平差。

起算数据的确定, 一般采用一点一方向的方案, 即:选定一个起算点, 固定一个起始方位角。这里我们选定一个控制点的平面坐标和这个点所在的一条边的方位角作为整个控制网的起算数据。

我们知道GPS测量所得的成果之一是点的平面坐标和大地高。这里高程系统就可以大地高作为假定高程。

至此, 我们就已经建立了测区的独立平面直角坐标系。此坐标系其实也是一个地心坐标系。

平面坐标和高程与国家控制点联测后, 即可归算到国家坐标系。

3 结束语

本文主要针对面积在100km2以下, 甚至在几百平方米范围内如何建立独立平面直角坐标系, 详细阐述了简易平面直角坐标系的建立过程和步骤。特别是刚入行的基层测绘技术人员, 往往不知从何下手开展工作, 而本文就会有重要的参考价值。

摘要：本文主要针对面积在100km2以下, 甚至在几百平方米范围内如何建立独立平面直角坐标系, 如在工程放样、小面积测图和变形监测等方面的应用。希望本文能给有关人员有价值的参考。

数学直角坐标系 第9篇

(一) 在教材中的地位

平面直角坐标系、一次函数是初中数学必须掌握的重要内容之一。初中阶段它与平移、轴对称、中心对称、反比例函数、二次函数等都紧密联系。一方面让学生初步认识函数, 建立函数思想;另一方面也是为今后学习反比例函数、二次函数奠定基础。

(二) 教材分析

这两章的教学是解析几何的基础, 由于他们是新知识体系的起点;思维方法上总是紧紧地将数与形结合在一起, 这种数形结合的程度是以往各章所无法达到的。直角坐标系、一次函数这两章, 以前旧人教版教材是合并在一起的, 现在苏科版已经将它们分成两章, 这对于降低入门的难度, 加强学生对函数与图像的理解是相当有好处的。但在教学中我们不能将这两章知识之间的联系割裂开来, 直角坐标系知识是函数图像的基础, 随着点变化体现数量变化思想;而一次函数体现的是两个变量之间的关系, 是在直角坐标系基础上的知识的突破, 思维的飞跃。

(三) 考点分析

中考中, 注重考查函数思想、数形结合思想、阅读理解能力和运用函数知识解决实际问题的能力。主要考查自变量的取值范围, 求一次函数的解析式, 画一次函数图像, 利用一次函数建模等。题型以填空、选择和解答题为主, 其中解答题多与生活紧密联系, 尤其是一次函数与二次函数、直线型、圆等知识通过图形变换或点的运动而形成的压轴题, 更是大多数中考试卷中经常可以见到的。

(四) 重点、难点

重点:1.识图 (识别、分析函数图像) ;通过函数图像读出它的内在含义, 从而准确地转化为数学问题。

2. 根据画图像的三个步骤画函数图像;根据两点之间确定一条直线画一次函数图像。

3. 利用一次函数图像及其性质, 解决综合问题, 包括建立合理的解决实际应用问题的数学模型。

4. 培养能力;领会本章的教学思想, 数形结合、变换思想、想象能力、总结归纳能力、读图能力、计算能力, 问题转化能力等。

难点:1.将抽象的函数与具体的几何知识结合起来。

2.将抽象的变化的函数思想与具体数量相结合。

3.针对不同的学生的情况, 有效地解决疑难, 实现函数的入门工作。

二、学情分析与基本技能

(一) 学情分析

在苏科版八年级 (上) 直角坐标系与一次函数的教学中笔者深深体会到:在点的坐标、函数、函数图像等问题上, 对于学生来说都是新生事物;特别是坐标系的数形结合的抽象理解、函数的易混淆知识理解等问题上, 需要学生正确理解新知识, 防止因旧知识而产生的思维定势, 理顺新旧知识的关系, 建立起新的知识体系和认知规律, 形成正确的思维方法。

(二) 基本技能

1. 正确理解和掌握函数概念和正比例函数、一次函数的定义。

2. 根据直角坐标系中关键点的坐标, 利用待定系数法求出函数解析式。

3. 利用函数 (包括分段函数) 解决简单的实际问题。

4. 利用函数图像的性质判断直线的位置, 培养识图能力, 形成画草图的能力。

5. 判断点是否在图像上, 利用图像求两直线交点, 解方程、不等式。

6. 利用函数图像的增减性和定义域的范围, 求函数的最值。

三、教法探究

(一) 学中做, 做中学, 提高学生的参与度

在讲解直角坐标系与点的坐标时, 可将全班同学的位置均匀排成网格形, 将中间的一横排当做横轴, 一个纵列当做纵轴, 建立起直角坐标系, 划分出四个象限, 让同学们学习坐标系概念之后确定自我的位置即坐标, 让大家在不断的回答、纠错中找出坐标。比如: (1) 请 (1, 2) 的同学站起来, 同时请 (1, 2) 关于y轴对称的点的同学也站起来, 研究对称点的坐标关系。让同学们在活动的趣味中感受到点的变换、图形的变换。 (2) 请纵坐标大于3的同学站起来。 (3) 在学习一次函数时, 给出一次函数y=3-x, 让同学们判断自己的坐标是否在这条直线上。并让坐标符合一次函数y=3-x的同学站起来, 然后观察站起来的同学构成的图形, 使同学们直观地感受到一次函数表示的图形是一条直线等。通过这些活动有效地将几何图形与方程、不等式结合起来。

(二) 培养学生的识图能力, 提高函数知识的理解

识图能力从小学开始就通过条形图、折线图、扇形图进行渗透, 对于函数图像的识别有它的特殊性, 需要通过图、文互“译”理解:函数表达的含义与实际意义的一致性。

例1:下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是 ()

解析:通过语言表达对函数的概念进行定义之后, 再利用图像来识别是否是函数的图像, 对函数定义的理解进一步加深。

(三) 注意总结归纳, 寻找规律

由于函数比较抽象, 刚开始学习时, 有一个入门过程, 因此对于一些难以理解的问题最好从简单问题入手, 注意归纳, 形成结论。比如, 在学习一次函数y=kx+b (k≠0, k、b为常数) 图像中k、b的几何意义时, 可以通过归纳得出:

k的几何意义是|k|越大, 直线越陡;|k|相同, 直线倾斜度相同。

(四) 要体现出解题过程, 把宏观的观察与微观的分析、理解相结合

例5:请画出直线 (1) y=2x, (2) y=2x+1, 并比较这两个图像, 说说你发现了什么。

解析:如果画出草图, 直接判断两个函数图像平行, 未免有些武断, 不够严谨;这时如果能够完整的体现规范的作图过程, 那么学生就会更容易自主得出相关结论。