向量问题范文

2024-06-21

向量问题范文（精选12篇）

向量问题第1篇

问题呈现已知a≠e,|e|=1,对任意的t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则( ).

(A)a⊥e (B)a⊥(a-e)

(C)e⊥(a-e) (D)(a+e)⊥(a-e)

解法1几何法.如图1所示,令∀t∈R,te是e所在直线上任一点P所对应的向量

则,即e所在直线上任一点P与点A的距离.如果∀t∈R,

|a-te|≥|a-e|

恒成立,则|a-e|即表示点A到e所在直线l的最短距离,根据距离的几何性质可知,当AB⊥l时,|a-e|最小,即当e⊥(a-e)时, 命题成立.

解法2 |a-te|≥|a-e|,即 (a-te)2≥(a-e)2,

化简整理得

2(1-t)a·e≥(1-t)(1+t).

当t=1时,命题成立.

当t<1时,2a·e≥1+t,即

a·e≥(1+t )/2 ,

∀t<1恒成立.所以a·e≥1.

当t>1时,2a·e≤1+t,即

a·e≤(1+t)/ 2 ,

∀t>1恒成立.所以a·e≤1.

从而a·e=1=e2,变形可得

即 e⊥(a-e).

解法3应用二次不等式求解.

因为|a-te|≥|a-e|,∀t∈R恒成立.

则

即 t2-2a·e·t+2a·e-1≥0.

由a·e为实数,则有

Δ=(2a·e)2-4(2a·e-1)≤0,

所以(a·e)2-2a·e+1≤0,则 (a·e-1)2≤0,即a·e=1,其中1=e2.

与解法2同样方法变形可得

即 e⊥(a-e).

向量问题第2篇

一、直线的方向向量及其应用

1、直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

2、直线方向向量的应用

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l

上取ABa，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得APtAB，这

样，点A和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线

交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基

本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点O与方向

向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．



2、在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点

A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用



1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1// l2u1//u2，l1⊥l2u1

⊥u2．



2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//βv1//v2，α⊥βv1

⊥v2．

若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v，l⊥α

u//v

b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、



（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）





四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：



1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．



2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)

na0nb0

3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： 1.设u、





（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，





2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。



2.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。



3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系

（一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

1、线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则

l∥m⇔⇔_⇔_______.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内



一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()

A．0个C．2个

B．1个 D．3个

2、线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则

l∥α⇔⇔_______⇔1

1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，

则m＝________.2．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD

.4.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

5.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

abc⇔__⇔________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)

2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点。

平面向量热点问题探究第3篇

点拨向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点。

【例 2 】已知函数f(x)=ex+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形;

②△ABC可能是直角三角形;

③△ABC可能是等腰三角形;

④△ABC不可能是等腰三角形.

其中,正确的判断是 .

分析设出A,B,C三点的坐标,表示BA •BC ,结合A,B,C三个点的横坐标判断BA •BC 的符号,由BA •BC 的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形,再求｜BA ｜2-|BC |2的值,由它的值来判断△ABC是否是等腰三角形。

点拨此例题很好的利用向量这个工具来衡量一个角的大小,进而通过向量的坐标形式转化为坐标形式,在转化为函数模型进行解决,其实这一思想在解决一些衡量、一个角的大小问题时是经常应用。 

热点三：向量与解析几何的综合问题 

【例 3 】已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 3 2 ,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 6 5 5 .

(1) 求椭圆C的标准方程；

解答向量问题的思维方法第4篇

例1已知向量a,b满足| a| = 1,| b| = 2. a·( a + b) =2,求| a - λb |的最小值.

方法1: 直接运算法: 解: ( 1) 分析与解法一: 直接从向量的运算出发由| a | = 1,a·( a + b) = 2,可知a·b = 1,根据向量求模公式得:,易知,当λ =1/4时,| a - λb|的最小值为

方法2: 几何背景法: 解: 由|a| =1,|b| =2,a·( a + b) =2,可知a·b = 1,﹤a,b﹥ =p/3.

方法3: 直角坐标系法: 解: 将向量a,b放到直角坐标系中,

由| a | = 1,| b | = 2,a·( a + b) = 2,可知a·b = 1,< a,b > =p/3.

考虑将向量a,b放到直角坐标系中,因此a = ( 1,0) ,) ,这样问题就转化为向量的坐标运算形式.

总结:

1. 从向量的运算( 选择恰当的基底) 出发;

2. 从问题的几何背景出发;

3. 通过直角坐标系,将问题转化为坐标形式.

例2给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为120°. 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若,其中x,y∈R,求x + y的最大值.

当x = y = 1时,x + y取最大值为2.

解法3以O为坐标原点,OA为x轴正向建立直角坐标系,设∠AOC = a,则

以下同解法2.

解法4如图2过点C作CA1∥BO交OA于A1,则由向量运算的三角形法则有:

以下同解法3.

以上解法1,2利用直接运算法; 解法3利用坐标法; 解法4,5利用几何背景法.

向量问题第5篇

整节课的设计是由学生探究的方式切入，进而引出三种解决最值问题的策略，通过高考题来分析方法，引出本节课的重点，适时的总结让学生能较容易的掌握方法。通过四川高考题，让学生一题多解，直接应用三种策略，达到对本节课知识的掌握，效果比较好，

从而突破难点，掌握重点。

巧妙引入参数，求解平面向量问题第6篇

一、三点共线背景下引入参数

例1 如图1，向量，设M是直线OP上的一点（O是坐标原点）。

（l）求使取最小值时的。

（2）对（1）中求出的点M，求∠AMB的余弦值。

分析：M是直线OP上的一点，可设，并将表示成λ的函数。

解：（l）因为O，P，M三点共线，所以设，则，当λ=2时，取最小值，这时

（2）由，可得

点评

上述解法的“点睛”之处就是根据O，P，M三点共线引入参数λ，将向量问题转化为关于λ的函数20λ+12，从而可以利用函数求最值。

二、平面向量基本定理背景下引入参数

例2

如图2，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN一2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值。

分析：选择一组适当的向量作基底，用这组基底可表示平面内的有关向量，再由向量共线条件列出等式，用待定系数法求解。

因为BC和AC上有已知分点，所以选向量BM和CN为一组基底。

解：设，则

因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得

所以

又，所以由平面向量基本定理得，所以，即AP：PM=4：1。

点评

基底建模是向量法解决几何问题的一种重要方法，其关键在于选取的基底是否合适，选好基底就是迈出了成功的第一步。

三、点的轨迹背景下引入参数

例3 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a，β∈R，a+β=l，则点C的轨迹方程为（）。

A.3x+2y-ll=0

C.2x-y=O

D.x+2y-5=0

分析：求轨迹方程的基本思路就是设点列方程。由题设条件“点C满足，其中a，β∈R，a+β=l”，可知点C的轨迹为一条直线，即A，B，C三点共线。利用方程a+β=l把点C（x，y）的坐标联系在一起，即可得到点C的轨迹方程。

解：设。由（3a-β，a+3β），可得（x，y）=（3a-β，a+3β）. 所以，解得

因为α+β=1，所以x+2y-5=0，应选D。

点评

平面向量数量积问题求解揭秘第7篇

(A) 20. (B) 15. (C) 9. (D) 6.

解法1数量积定义

如图1, 由题意知

BM=3 MC=3,

DN=2 NC=4.

设∠ADC=θ, 则

AN2=AD2+DN2-2AD·DNcosθ

=32-32cosθ,

AM2=AB2+BM2-2AB·BMcosθ

=45-36cosθ,

NM2=NC2+CM2-2 NC·CMcos (π-θ)

=5+4cosθ,

故选 (C) .

解法2基底转化

解法3坐标表示

以A为原点, AB所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系, 设D (a, h) , 则

解法4坐标表示

以A为原点, AB所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系, 于是可设D (4cosα, 4sinα) , 则

解法5几何意义

不妨取四边形ABCD为矩形, 如图3, 连接BN, 交AM于点P, 易知

通过以上的探解过程可见, 结果仅与平行四边形的边长有关, 而与角无关.一般地, 点M、N的位置变动时, 结果还是定值吗?

仿照解法2, 可得

一般地, 可得如下结论:

利用“向量”知识, 巧解数学问题第8篇

一、向量在解代数题中的应用

解:令a= (3, 4) , b= (x, 姨4-x2) , 则f (x) =a·b+2, a=5, b=2,

二、向量在解平面几何题中的应用

向量方法是借助向量的几何意义, 把问题转化为向量的计算, 通过向量计算达到求解目的, 用向量方法解决几何问题, 一方面体现向量的运用性, 另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握.

例2.求证:直径所对的圆周角是直角.

证明:令AB为圆O的直径, 即AB=2r

三、向量在解立体几何题中的应用

例3.已知M, N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点, 求:异面直线MN与CD1间的距离.

分析解答:本题需要找出异面直线MN与CD1的公垂线段, 比较麻烦, 可以考虑用法向量来解答:以D为原点, DA, DC, DD1分别为x、y、z轴建立如图1的空间直角坐标系, 则A (1, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , D (0, 0, 0) , A1 (1, 0, 1) , B1 (1, 1, 1) , C1 (0, 1, 1) , D1 (0, 0, 1) .

四、向量在解析几何题中的应用

例4.如图2, 设点A和B为抛物线y2=4px (p>0) 原点以外的两个动点, 已知OA⊥OB, OM⊥AB, 求点M的轨迹方程, 并说明它表示什么曲线。

将 (1) (2) 代入 (3) 得:x2+y2-4px=0

A、B是异于原点的点, 故x≠0, 所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0 (x≠0) , 它表示以 (2p, 0) 为圆心, 以2p为半径的圆 (除去圆点) .

综上所述, 利用向量的知识可以解决代数、几何, 甚至物理中的一些问题, 它可以使一些复杂的问题变得简单, 使抽象的问题变得具体。只要我们在平时的学习中合理使用向量这一工具来解决问题, 就能培养学生学习向量的兴趣, 加深各个学科之间的联系。

摘要：“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.它是近代数学中最基本和重要的数学概念之一, 是沟通代数与几何最重要的工具, 在各个领域中有着广泛的应用.就它在数学解题中的应用做以说明。

有关平面向量的数学综合问题分析第9篇

一、与集合的综合

[例1] (2009年湖北卷) 已知undefined

undefined是两个向量集合, 则P∩Q= ( )

A { (1, 1) } B { (-1, 1) } C{ (1, 0) } D{ (0, 1) }

解:undefined代入选项可得P∩Q={ (1, 1) }, 故选A。

[例2] (2009年北京卷) 设D是正ΔP1P2P3及其内部的点构成的集合, 点P0是ΔP1P2P3的中心, 若集合undefined, 则集合S表示的平面区域是 ( )

A.三角形区域 B.四边形区域

C.五边形区域 D.六边形区域

解:如图, A, B, C, D, E, F为各边三等分点,

集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF。

[点评]本题主要考查集合与平面几何基础知识, 理解向量模的含义, 注重学生分析问题和知识迁移的能力, 是一道很好的创新题型。

二、与图象平移的综合

[例3] (2007年辽宁卷) 若函数y=f (x) 的图象按向量undefined平移后, 得到函数y=f (x+1) -2的图象, 则向量undefined= ( )

A. (-1, -2) B. (1, -2)

C. (-1, 2) D. (1, 2)

解:设undefined= (m, n) , y=f (x) 的图象按undefined= (m, n) 平移后, 得y-n=f (x-m) 即y=f (x-m) +n, 与y=f (x+1) -2

比较得

undefined

, undefined。

[例4] (2006年湖北卷) 将undefined的图象按向量undefined平移, 则平移后所得图象的解析式为 ( )

AundefinedBundefined

CundefinedDundefined

解:由undefined坐标可知, 即将undefined的图象向右平移undefined个单位, 然后再向下平移2个单位, 故选A。

[点评]用平面向量表示平移, 已成近几年高考的趋势, 此类题型解决的关键是把向量坐标与平移的方向及单位长度对应起来, 再结合三角函数图象的平移规律, 即可求解。

三、与函数的综合

[例5] (2005年湖北卷) 已知向量undefined, 若函数undefined在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求t的取值范围。

解:依定义undefined, 则undefined

若undefined在 (-1, 1) 上是增函数, 则在 (-1, 1) 上可设undefined,

undefined, 在区间 (-1, 1) 上恒成立, 考查函数g (x) =3x2-2x,

由于g (x) 的图象是对称轴为undefined, 开口向上的抛物线, 故要使t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立t≥t (-1) , 即t≥5时, 而当t≥5时, 在 (-1, 1) 上满足8' (x) >0, 即8 (x) 在 (-1, 1) 上是增函数, 故t的取值范围是t≥5。

[点评]本小题主要考查平面向量数量积的计算方法, 利用导数研究函数的单调性, 以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。

四、与三角函数的综合

[例6] (2006年全国Ⅱ) 已知向量undefined,

(1) 若undefined, 求θ

(2) 求undefined的最小值。

解: (1) 若undefined, 则sinθ+cosθ=0, 由此得tanθ=-1 (undefined) , 所以undefined。

(2) 由undefined得undefined

undefined=undefined=undefined=undefined

当undefined=1时, undefined取得最小值, 即当undefined时, undefined的最大值为undefined。

[点评]在向量中, 向量的平行、垂直、模的运算是常考查的内容。我们要掌握它们的运算法则和运算律, 以及它们的几何运算及坐标运算, 这些都是高考常涉及的问题。本题将向量与三角函数知识有机结合, 体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神。

五、与平面几何的综合

[例7] (2009年宁夏海南卷理) 已知O、N、P在所在平面内, 且undefined, 且undefined, 则点O、N、P依次是△ABC的 ( )

A.重心外心垂心 B.重心外心内心

C.外心重心垂心 D.外心重心内心

解:由undefined知, O为△ABC的外心;由undefined知, O为△ABC的重心;undefined

同理AP⊥BC ∴P为△ABC的垂心, 选C 。

[例8] (2009年安徽卷) 给定两个长度为1的平面向量undefined和undefined, 它们的夹角为120°.

如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧undefined上变动.

若undefined, 其中x, y∈R, 则x+y的最大值是___.

undefined

[点评]本题依托平面图形, 考查了平面向量的基础知识, 同时融汇了三角形几何知识, 三角函数的最值问题。

六、与解析几何的综合

[例9] (2002年新课程卷) 平面直角坐标系中, O为坐标原点, 已知A (3, 1) , B (-1, 3) , 若点C满足undefined, 其中α, β∈R, 且α+β=1, 则点C的轨迹方程为 ( )

A. 3x+2y-11=0 B. (x-1) 2+ (y-2) 2=5

C.2x-y=0 D. x+2y-5=0

undefined

消去参数α, 得点C的轨迹方程为x+2y-5=0。

[例10] (2004全国卷Ⅱ) 给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点, 过点F的直线l与C相交于A、B两点。

(Ⅰ) 设l的斜率为1, 求undefined与undefined夹角的大小;

(Ⅱ) 设undefined=λundefined, 若λ∈[4 , 9], 求l在y轴上截距的变化范围。

解: (Ⅰ) C的焦点为F (1, 0) , 直线l的斜率为1, 所以l的方程为y=x-1, 将y=x-1代入方程y2=4x, 整理得x2-6x+1=0, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则有x1+x2=6, x1x2=1, undefined·undefined=x1x2+y1y2=2x1x2- (x1+x2) +1=-3, ︱undefined︱·︱undefined︱=undefined·undefined=undefined, cosundefined=undefined=undefined

所以undefined与undefined夹角的大小为π-arcosundefined

(II) 由题设知undefined得: (x2-1, y2) =λ (1-x1, -y1) , 即

undefined

由 (2) 得y22=λ2y12, ∵y12=4x1, y22=4x2, ∴x2=λ2x1……………… (3)

联立 (1) (3) 解得x2=λ.依题意有undefined或undefined, 又F (1, 0) , 得直线的方程为undefined或undefined

当λ∈[4, 9]时, 在y轴上的截距为undefined或undefined.由undefined,

可知undefined在[4, 9]上是递减的, undefined

直线l在y轴上截距的变化范围是undefined

点评:平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理。解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化, 符号化, 数量化, 从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义, 利用其几何意义解决有关问题。

参考文献

[1]杨霞芬.《1996-2005全国高考数学试题全编》.山西教育出版社, 2005年.

突破向量中的求值问题第10篇

一、两种思路, 突破向量最值

例1 ( 2010年全国高考11) 已知圆O的半径为1, PA、PB为该圆的两条切线, A、B为两切点, 那么的最小值为 ( )

命题意图: 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理, 着重考查最值的求法同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

解析1: 如图1所示: 设PA = PB =x ( x > 0 ) , ∠APO = α, 则∠APB = 2α,

解析2: 上同解析1得到

解析4: 建系: 圆的方程为

点评: 不管是哪种解法, 解答平面向量与解析几何有关的综合问题往往有两种策略: 一是建立直角坐标系转化为坐标运算 ( 解析4) , 二是直接运用向量问题求解. 同时本题也非常好的考察了几种求最值的方法, 不等式, 三角法, 求导.

二、向量与线性规划的结合

例2已知椭圆E的中心在坐标原点O, 且经过点. 圆C以点 ( 2, 0) 为圆心, 椭圆的短半轴长为半径.

( 1) 求椭圆的标准方程

( 2) 若点P是圆上的一个动点, 求的取值范围.

命题意图: 本小题主要考查向量的坐标表示以及用抛物线求最值.

( 2) 由 ( 1) 椭圆短半轴长为1, 所以圆的方程为

点评: 本题考察了向量的坐标表示, 坐标系已经给出所以很容易得到

例3 ( 南通市09 - 10高三其中调研测试13) 如图2在等腰直角三角形ABC中, AC = BC = 1, 点M, N分别是AB, BC中点, P是三角形ABC ( 包括边界) 内任意一点, 则的取值范围是[-3/4, 3/4].

命题意图: 本小题主要考查向量的数量积运算与线性规划的知识, 着重考查用线性规划求最值的方法法同时也考查了考生综合运用数学知识的能力.

解析: 以AC, BC分别为x, y轴建立坐标系如图3示, 则B ( 0, 1) , A ( 1, 0) , M (1/2, 1/2) , N ( 0, 1/2) , P ( x, y) , 所以

所以由线性规划的知识得到

点评: 本题是线性规划和向量的可以说完美结合, 关键是想不到用线性规划的知识来解决, 主要还是对向量的两种解决方法不熟悉, 刚开始也想到用模但是走不通, 后观察是等腰直角三角形, 因此用坐标来解决更为方便, 而得到向量内积的表达式之后需要对线性规划的知识扎实的掌握.

三、运用几何意义解决向量问题

例4 ( 2009全国卷Ⅰ理) 设a、b、c是单位向量, 且a·b =0, 则 ( a - c) · ( b - c) 的最小值为_______ .

命题意图: 本小题主要考查向量的数量积运算以及对向量的几何意义的理解.

点评: 运用几何性质解决一些问题时需要联系运用题目的相关条件才可以达到突破, 本题要求向量的表达式很容易求得.

例5 ( 南京市09 - 10第一学期期末调研) 设a, b, c是单位向量, 且a + b = c, 则a·c值是_______ .

命题意图: 本小题主要考查向量几何意义的理解.

解析: a, b, c是单位向量, 且a + b = c, 因此a, b, c如图4所示, a, b的夹角只能为120°, 所以得到a·c为-1/2.

点评: 本题采用单纯的向量的几何意义, 又类似于物理中力的合成简单快捷的解决了本题, 当然也可以用代数法来进行但是远不如几何法快捷方便直观.

例6 ( 2009年广东卷理) 若平面向量a, b满足| a + b | =1, a + b平行于x轴, b = ( 2, - 1) , 则a = ______.

命题意图: 本小题同样主要考查向量几何意义的理解.

解析: 平面向量a, b满足| a + b | = 1, 因此 ( a + b) 在单位圆上, a + b平行于x轴因此a + b的坐标只能是 ( 0, 1) 或 ( 0, - 1) , 因此a = ( - 2, 2) 或 ( - 2, 0) .

点评: 本题如果用代数法, 平行于x轴用代数语言不好进行描述, 即使能得到代数关系, 解的时候也是相当复杂, 而几何法的巨大威力在本题中展示的淋漓尽致.

巧用向量的加法证明点线问题第11篇

关键词：向量；加法；共线；内积

G633.6

纵观数学的发展史，矛盾推动数的发展。在公元前580年，古希腊数学中有名的学派：毕达哥拉斯学派提出了：“万物皆数”的信条。并且毕达哥拉斯把这一信条作为该学派的理论基础。但是，在公元前500年，毕达哥拉斯的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的边与对角线的长度是不可公度量的。这一发现就与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲理大相径庭。正方形的边与对角线是不可公度量的本质是什么？在当时的数学历史上，数学家们众说纷纭。人们对无理数的认识在数学历史上，具有重要的意义，它在希腊的数学史上引起一场大风暴，数学史称之为“第一次数学危机”。直到19世纪下半叶，实数理论的建立，无理数的本质才彻底的弄清楚，从而圆满解决了第一次数学危机。第一次数学危机的结束推动了无理数的出现。

在数学史中，复数的出现起源于解方程。16世纪的意大利数学家卡当在《重要的艺术》一书中公布了三次方程的一般解法即卡当公式，他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。由于复数能用来表示和研究平面上的向量，而向量在物理学中非常重要，如力、位移、速度、加速度等。而人们很早就已经知道向量的合成服从平行四边形法则。数学家们很快发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四边形法则相加的向量的和。

两个向量的加法法则有两种：平行四边形法则、三角形法则。其中，平行四边形法则指的是将两个向量的起点通过平移的方式移至同一个起点，再以两个向量为邻边作出平行四边形，而平行四边形中与两向量同一起点的对角线向量就是两个向量的和向量。

两向量和的三角形法则指的是将两个向量依次地首尾顺次相接，两个向量的和向量为以第一个向量的起点为起点、以第二个向量的终点为终点的向量。

不论是平行四边形法则还是三角形法则，通过向量的加法解决平行四边形和三角形的点线问题是解析几何中比较便捷的方法。并且，向量作为解析几何中最基本的元素，是设法把几何的结构有系统的代数化、数量的化的基础。下面我们可以通过几个具体的例子來说明向量加法的几何应用。

一、向量加法解决三点共线的问题

三点共线问题是解析几何中的常见证明题，也是近几年来中学数学考试常见的题目，用向量加法来证明三点共线是几何里最常用的方法。

二、向量加法证明平行四边形

在平面几何里，平行四边形是基本的四边形。中学的平面几何里证明四边形是平行四边形的方法很多。其中有一条判定定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。如何证明这条判定定理，在几何中有很多种方法。特别是在吕林根主编的《解析几何》一书中，指出可以用向量的方法来证明。在书中，利用向量加法的交换律，借助对角线平分的性质，最后证明了这一个判断平行四边形的判定定理。然而，在此我们可以重新给出另外一种证明的方法，例如以下的例2。

在这个例题中，巧妙的运用了向量加法的平行四边形法则。因为在向量加法成立的前提下，就已经保证了所构造的四边形就是平行四边形了，这就是向量加法的巧妙之处。

参考文献：

[1]吕林根，徐子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]孙浩盛，高浩.关于四边形的两个定理的向量法证明[J].中学数学，2011（1）：70-70.

平面向量问题的几种解题意识第12篇

向量因其具有数和形的双重身份, 是一个重要的知识交汇点, 因而成为高考命题的热点.本文试通过一些例子说明在解向量问题时, 应树立的解题意识, 以期对同学们有所帮助.

一、条件意识

条件是解题的重要信息, 解题时, 紧紧抓住条件, 实施条件转化、揉合, 寻找解题途径.

例1 已知 $| \vec{Ο A} | = 1 ‚ | \vec{Ο B} | = \sqrt{3} ‚ \vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = 0$ , 点C在∠AOB内, 且∠AOC=30°, 设 $\vec{Ο C} = m \vec{Ο A} + n \vec{Ο B} (m ‚ n \in R)$ , 则 $\begin{array}{l} \frac{m}{n} = () \\ (A) \frac{1}{3} (B) 3 (C) \frac{\sqrt{3}}{3} (D) \sqrt{3} \end{array}$

解析1:本题的切入点是向量的夹角公式.

又 $\begin{array}{l} | \vec{Ο C} |^{2} = | m \vec{Ο A} + n \vec{Ο B} |^{2} \\ = m^{2} | \vec{Ο A} |^{2} + 2 m n \vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} + \end{array}$

$\begin{array}{l} n^{2} | \vec{Ο B} |^{2} \\ = m^{2} + 3 n^{2} \end{array}$ ,

所以 $\begin{array}{l} \cos ∠ A Ο C = \frac{\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο C}}{| \vec{Ο A} | | \vec{Ο C} |} \\ = \frac{(m \vec{Ο A} + n \vec{Ο B}) \cdot \vec{Ο A}}{| \vec{Ο A} | | \vec{Ο C} |} \\ = \frac{m}{\sqrt{m^{2} + 3 n^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$ ,

解得 $\frac{m}{n} = \sqrt{3}$ .

故选 (B) .

解析2:从“数形结合”切入.由条件可设 $\vec{Ο C} = (\sqrt{3} y ‚ y) ‚ \vec{Ο A} = (1 ‚ 0) ‚ \vec{Ο B} = (0 ‚ \sqrt{3})$ ,

所以 $\begin{array}{l} (\sqrt{3} y ‚ y) = m (1 ‚ 0) + n (0 ‚ \sqrt{3}) \\ = (m ‚ \sqrt{3} n) \end{array}$ ,

得 $\frac{m}{\sqrt{3} n} = \frac{\sqrt{3} y}{y}$ , 所以 $\frac{m}{n} = 3$ .

故选 (B) .

二、目标意识

数学解题是从题目的条件不断向解题目标靠拢的过程, 解题过程紧紧围绕目标进行, 解题的目标在解题过程中具有导航作用.解题者树立目标意识, 可避免思维的盲目性和低效性.

例2 已知直角坐标平面内直线 l 的方向向量 $e = (- \frac{4}{5} ‚ \frac{3}{5})$ , 点O (0, 0) 和A (1, -2) 在 l 上的射影分别是O1和A1, 且 $\vec{Ο_{1} A_{1}} = λ e$ , 则λ等于 ( )

$(A) \frac{11}{5} (B) - \frac{11}{5} (C) 2 (D) - 2$

解析:解题目标是λ的意义.由向量在已知向量上射影定义知:

$\begin{array}{l} λ = | \vec{Ο A} | \cos 〈 e ‚ \vec{Ο A} 〉 = \frac{e \cdot \vec{Ο A}}{| e |} \\ = \frac{(- \frac{4}{5} ‚ \frac{3}{5}) \cdot (1 ‚ - 2)}{1} = - 2 \end{array}$ ,

故选 (D) .

三、整体意识

有些学生对题意的理解, 对条件的利用往往是片面的、孤立的和局部的, 从而使解题的过程繁杂.因此, 在解题时, 要积极培养解题的整体意识, 从而得到更优美的解法.

例3 已知P为∠AOB所在平面内一点, 向量 $\vec{Ο A} = a ‚ \vec{Ο B} = b$ , 且P在线段AB的垂直平分线上, 向量 $\vec{Ο Ρ} = c$ , 若|a|=3, |b|=2, 则 c· (a-b) 的值为 ( )

$(A) \frac{5}{2} (B) 3 (C) 2 (D) \frac{3}{2}$

解析:本题应着眼于条件与结论的整体沟通, 切入点是线段的垂直平分线性质.

可知 $| \vec{B Ρ} | = | \vec{A Ρ} |$ ,

所以 |c-b|2=|c-a|2,

即 |c|2-2c·b+|b|2

=|c|2-2c·a+|a|2,

得 2c· (a-b) =|a|2-|b|2=9-4=5.

故选 (A) .

四、模型识别意识

模型意识就是指解题者在看完题目条件和结论后, 能够快速反应出该题是什么问题, 用什么方法求解以及怎样用这种方法求解的思维过程.分析问题的过程中应注意对条件、结论的合理转化后对模型的识别和判断.当一个问题直接求解比较困难时, 也可设法寻找、构造合适的模型, 然后借助模型, 转换解题条件, 增加解题途径.

例4 在△ABC中, 点O是BC的中点, 过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M, N, 若 $\vec{A B} = m \vec{A Μ} ‚ \vec{A C} = n \vec{A Ν} ‚$ 则 m+n= ( )

解析1:本题由三角形中线的向量式及三点共线的向量式模型, 可得如下解法:

因为O是BC中点, 所以

$\vec{A Ο} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{m}{2} \vec{A Μ} + \frac{n}{2} \vec{A Ν} .$

又M、O、N三点共线,

所以 $\frac{m}{2} + \frac{n}{2} = 1$ , 所以 m+n=2.

解析2:由于 m+n 的值与直线MN的位置无关, 所以可用特例法.当直线MN与BC重合时, 点M与点B重合, 点N与点C重合, 则 m=1, n=1, 故 m+n=2.

五、策略意识

同学们解题时, 必须具有策略意识, 因为策略的好处是花时少, 效率高.平时有意识地培养自己的策略意识, 将善于融会贯通, 内化为自身的一种思维习惯, 可以提高灵活解题的能力.

例5 已知非零向量 $\vec{Ο A} ‚ \vec{Ο B}$ 与 x 轴正半轴的夹角分别为 $\frac{π}{6}$ 和 $\frac{2 π}{3}$ , 且 $\vec{Ο A} + \vec{Ο B} + \vec{Ο C} = 0$ , 则 $\vec{Ο C}$ 与 x 轴正半轴的夹角的取值范围是 ( )

$\begin{array}{l} (A) (0 ‚ \frac{π}{3}) (B) (\frac{π}{3} ‚ \frac{5 π}{6}) \\ (C) (\frac{π}{2} ‚ \frac{2 π}{3}) (D) (\frac{2 π}{3} ‚ \frac{5 π}{6}) \end{array}$

解析:本题选用“数形结合”求解.

因为 $- \vec{Ο C} = \vec{Ο A} + \vec{Ο B} ‚$ 即 $- \vec{Ο C}$ 是 $\vec{Ο A} ‚ \vec{Ο B}$ 的和向量, 于是 $- \vec{Ο C}$ 与 x 轴正半轴的夹角范围为 $(\frac{π}{6} ‚ \frac{2 π}{3})$ .而 $- \vec{Ο C}$ 与 $\vec{Ο C}$ 互为相反向量, 所以 $\vec{Ο C}$ 与 x 轴正半轴的夹角范围为 $(\frac{π}{3} ‚ \frac{5 π}{6})$ .故选 (B) .