几何距离函数范文（精选6篇）
几何距离函数 第1篇
1.利用几何画板轻松演示图像变化规律
例如, 我们可以通过几何画板将指数函数y=ax图像变化特征形象生动地展现出来。A在直线上滑动带动底数a的变化, 我们可以清晰地看出底数变化时图像的变化规律 (图1) :在第一象限内图像沿逆时针方向对应底数在逐渐增大。同样对数函数y=logax, 三角函数y=Asin (ωx+φ) 图像及其变换都可以通过这种方式生动地展现给学生 (图2, 图3) 。
又如, 借助几何画板可以清晰地展现正弦线, 余弦线, 正切线地变化规律。设置ME为粗体红色, OM为粗体蓝色, AT为粗体黑色, 拖动E点动态改变角的大小时, 学生能够清晰地发现ME, OM, AT的变化规律 (图4) 。从而可以让学生轻松地总结出以下结论:
(1) 正弦函数在undefined上, 函数值从-1增大到1, 在undefined上, 函数值从1减小到-1;余弦值在[0, π]上由1减小到-1, 在上由-1增大到1;正切值在undefined上由-∞增大到+∞, 在undefined上由+∞减小到-∞。此时学生也更深刻理解了终边在y轴上的角的正切不存在的的意义。
(2) 当undefined时, cosθ≥sinθ;当undefined时cosθ≤sinθ, 更进一步引导学生得出sinθ+cosθ, sinθ-cosθ的符号分布。
2.利用几何画板很容易纠正学生得出的一些错误的观点
例如, 对数函数y=logax (a>1) 与直线y=x交点问题。课本上只给出图5, 似乎当a>1时, 所有的对数函数与直线均无交点。但是, 我们利用几何画板做一个动态演示就会发现事实并非如此。我们动态地改变底数大小, 可以发现对数函数的图像可以与直线y=x的图像有一个交点 (图6) , 也可以有两个交点 (图7) 。
又如, 指数函数与它的反函数图像的交点问题。我们可以通过几何画板的动态演示得到如下结论:a>1时有0, 1, 2个交点, 分别对应图7, 图8, 图9
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3.恰当应用培养学生思维能力
有人担心, 几何画板突出形象思维, 但对培养其它能力不利。当然, 几何画板只是一个教学工具, 采用何种教学手段以及选用什么样的教学方法应该服从教学目的。实践表明, 只要我们找到几何画板与教学内容的最佳整合点, 把握好使用的度, 做到恰到好处, 同样可以促进其他思维能力的发展。
例如为了更加深刻地认识函数undefined的性质, 如图我们可以拖动点B动态地改变b值, 让学生观察图像的变化并说明理由, 不要将B向x轴下方拖动, 使得b成为负数。让学生想一想图像会成为什么样子, 图像有什么性质, 能否徒手画出图像 (需要了解函数的某些性质, 把握图像的主要特征) , 把图形的演示作为对猜想的验证, 这个猜想需要抽象思维能力。我们在研究它们的具体性质后, 可以再通过几何画板做出它们的图像 (如图12, 图13) 加深学生对这些函数性质的理解。
再如利用数形结合讨论方程根的个数问题, 让学生先徒手作图去解决这个问题, 学生可能会因为作图不精确而做错, 此时我们可以借助几何画板可以准确作出它们的图像, 准确地解决这个问题 (图14) , 从而也使学生明白精确作图地重要性, 培养了学生对待数学的严谨态度。
4.利用几何画板可以形象轻松地解决含参问题
含参问题毫无疑问是高中的重点内容, 也是难点问题。若我们通过几何画板将参数制作成按钮, 通过动态演示可以使学生度过难关。例如给定区间上二次函数的最值问题高一学生掌握较差, 原因就在于过不了图像关。我们通过制作按钮直观地展示“区间定轴动”, “轴动区间定”时的图像。如y=x2-2ax-3在区间[-1, 2]上的最大值 (图15) , 我们通过手动拖动对称轴可以清晰地看到函数在[-1, 2]上图像的形状, 从而轻松地求出在此区间上地最大值。
初三数学函数几何知识点总结 第2篇
常用的数学思想方法：
⑴数形结合的思想方法。
⑵待定系数法。
⑶配方法。
⑷联系与转化的思想。
⑸图像的平移变换。
二、证明角的相等
1、对顶角相等。
2、角(或同角)的补角相等或余角相等。
3、两直线平行，同位角相等、内错角相等。
4、凡直角都相等。
5、角平分线分得的两个角相等。
6、同一个三角形中，等边对等角。
7、等腰三角形中，底边上的高(或中线)平分顶角。
8、平行四边形的对角相等。
9、菱形的每一条对角线平分一组对角。
10、等腰梯形同一底上的两个角相等。
11、关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧(或弦、或弦心距)相等，则它们所 对的圆心角相等。
12、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
13、同弧或等弧所对的圆周角相等。
14、弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
15、同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
16、全等三角形的对应角相等。
17、相似三角形的对应角相等。
18、利用等量代换。
19、利用代数或三角计算出角的度数相等
20、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、证明直线的平行或垂直
1、证明两条直线平行的主要依据和方法：
⑴、定义、在同一平面内不相交的两条直线平行。
⑵、平行定理、两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
⑶、平行线的判定：同位角相等(内错角或同旁内角)，两直线平行。
⑷、平行四边形的对边平行。
⑸、梯形的两底平行。
⑹、三角形(或梯形)的中位线平行与第三边(或两底)
⑺、一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
2、证明两条直线垂直的主要依据和方法：
⑴、两条直线相交所成的四个角中，由一个是直角时，这两条直线互相垂直。
⑵、直角三角形的两直角边互相垂直。
⑶、三角形的两个锐角互余，则第三个内角为直角。
⑷、三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形。
⑸、三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
⑹、三角形(或多边形)一边上的高垂直于这边。
⑺、等腰三角形的顶角平分线(或底边上的中线)垂直于底边。
⑻、矩形的两临边互相垂直。
⑼、菱形的对角线互相垂直。
⑽、平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，或平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。
⑾、半圆或直径所对的圆周角是直角。
⑿、圆的切线垂直于过切点的半径。
⒀、相交两圆的连心线垂直于两圆的公共弦。
四、证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法
1、比例线段的定义。
2、平行线分线段成比例定理及推论。
3、平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4、过分点作平行线;
5、相似三角形的对应高成比例，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
6、相似三角形的周长的比等于相似比。
7、相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
8、相似三角形的对应边成比例。
9、通过比例的性质推导。
10、用代数、三角方法进行计算。
11、借助等比或等线段代换。
几何距离函数 第3篇
随着互联网上图像数量爆炸性的增长,近似重复图像检测技术变得越来越重要[1,2]。这种技术可以作为一种有效的方法,用作高清新闻照片筛取,版权检测,垃圾邮件和非法内容的过滤等等。而我们在做近似重复图像检测的研究时发现,近似重复图像数据集本身的特征以及分布往往为大家所忽视,这主要体现在距离函数的选取上。一些工作采用图像之间的曼哈顿距离[3],这种距离函数简单但是没有考虑数据集本身的特征;另外一些工作采用l2距离,即欧式距离[4],更一般的,采用马氏距离。马氏距离考虑了数据集本身的特征,但前提是默认图像数据集符合高维高斯分布,图像特征点分布在一个超椭球空间内。如果原始的数据集不服从这个分布,那么马氏距离往往不能得到很好的效果。因此,单一的采用任何一种距离都有其缺陷与不足。
针对这些问题,在本文中我们提出了一种新的距离函数来进行近似重复图像的检测。由于实际的图像数据集是复杂且无法很好地判断其分布类型的,于是我们新提出了曼哈顿相关距离(MR距离),将曼哈顿距离和LRCA距离结合起来,克服了单一使用某种距离带来的缺陷,可以更全面地反映图像之间的真实距离。这种新的距离函数提高了计算复杂度,但是由于利用了数据集的特征,并且不局限于单一的分布,而是考虑了多种分布的情况,所以可以更广泛地应用到复杂的数据集上,从而在近似重复图像检测中表现出更好的性能。另外,针对大规模数据集无法实时计算图像之间距离的问题,我们将这种距离函数嵌入到LSH中,使我们的算法在处理大规模数据集时可以以近似线性的时间得到查询结果,从而提高了用户的检索体验。
论文的其它部分安排如下:首先在第1部分给出我们的距离函数,以及如何将这种距离函数嵌入到LSH中;第2部分给出了我们的算法同其它算法的比较结果;第3部分给出我们的结论。
1 新距离函数的提出
1.1 曼哈顿相关(MR)距离
近似重复图像检测的成功很大程度上依赖于一个很好的距离度量方法,常用的典型距离是欧氏距离(l2距离)或者曼哈顿距离(l1距离)。由于欧氏距离是在源特征空间中计算得到,所以受到特征向量任何方式的变化的影响。而为了得到一种精确的距离度量方法,我们需要忽略导致产生近似重复图像的那些变化,例如平移、旋转、添加文字等。于是为了充分利用数据集本身的特征,一般首先根据数据集学习出马氏矩阵。由于这个矩阵根据不同维度上的相关度,对不同的特征向量赋予不同的权值,从而得到一个符合该分布的距离。但是,采用马氏距离也就等于默认图像的特征向量符合高维的高斯分布,并且在数据空间中,特征数据点成一个超椭圆球体分布。然而这个假设并不总是成立的,也就是说,特征数据点很可能并不服从高斯分布,那么采用马氏距离就不能得到很好的度量效果。而MR距离只是根据两个特征向量形成的线段在轴上的投影计算总和,没有考虑数据集本身的特征。因此,面对真实复杂分布的数据集时,单一地采用上述两种距离的任何一种,都不能得到很好的结果。但是我们发现,如果我们能够将两种距离以某种方式结合起来共同表示特征向量之间的距离,既考虑了数据集本身的特征又不局限于某种分布,那么就可以在数据集分布很复杂的情况下取得较好的效果。
根据这个思路,两种距离可以以很多方法联合起来共同表示特征向量之间的距离,这里我们只采用一种简单的方法,即对两种距离取均值。对于任何两个特征向量xi和xj,它们之间的距离d(xi+xj)由式(1)得到。
其中代表xi和xj间的曼哈顿距离,代表xi和xj之间的l2距离。
为了利用数据集本身的特征,可以将l2距离用马氏距离代替,或者更进一步,我们采用类似于bar-Hillel提出的相关成分分析(RCA)[5]计算出来的LRCA距离[6]。这种LRCA距离采用了平均协方差矩阵,忽略掉了那些可以产生近似重复图像的变换对图像特征的影响。
当给定一个训练集,其中包括K组近似重复图像,这K组近似重复图像都是由原始图像通过前文所述近似重复变换得到的。那么根据这个训练集,我们就可以对任何两个特征向量xi和xj,重新得到它们之间的一个距离公式(2),即MR距离:
其中代表xi和xj之间的曼哈顿距离,d(xi+xj)代表xi和xj之间的LRCA距离。是由训练集学习到的RCA的平均散度矩阵。
相较于式(1),使用这种学习到的距离度量机制,我们可以有效地度量近似重复图像。但是显然,进行图像检测时,逐一地计算查询图像与数据集中所有图像的距离是非常耗时的,尤其是当数据集非常大时,这种逐一计算的方法几乎是不可行的。所以在下面的部分中,我们给出了一种将我们的距离度量机制同LSH[7,8]结合使用的方法,这样可以更加高效地进行图像检测。
1.2 使用MR距离的LSH机制
LSH是一种针对高维数据空间的高效的查找算法,能够以近似线性的时间从一个很大的数据集中查找到查询点的近似最近邻数据点。LSH是一种随机算法,它的主要思想是这样的,通过数个哈希函数将原始数据空间映射到一个哈希空间上,每一个原始数据点落入哈希空间中的一个桶(bucket)中,并且保证,对于每一个哈希函数来说,两个距离较近的数据点通过哈希映射后碰撞的概率,即落入同一个桶中的概率,高于两个距离较远的数据点。所以,执行查找过程时,将查询点映射到哈希空间的桶后,检测这个桶中的所有点,就可以得到查询点的近似最近邻点。
在LSH中,我们构造如式(5)的哈希函数,并使用一组该哈希函数将原始特征向量映射为一组整数。
其中,A是满足的矩阵,是一个随机变量,其中的每一维分量都是从高斯分布中独立地得到,也是一个随机变量,其中的每一维分量都是从柯西分布中独立地得到,b,r都是实数,其中b是从均匀分布[0,r]中独立抽取到的。这样,给定相应的参数构造一组哈希函数,我们就能够将图像的特征向量映射到哈希空间的桶中。这里,在不影响图像之间距离的前提下,我们忽略了式(2)中的系数。
2 实验
2.1 数据集
为了评估我们所提出的距离函数的性能,我们使用Corel数据集进行测试。这个数据集包括1000幅图像,其中的内容大致可以分为十类,分别是人物、天空、公共汽车、马等等。在下面的实验中,我们将对这些图像做平移等变换,为每幅图像生成29幅近似重复图像,这样我们就会得到一个包含30,000幅图像的数据集。表1给出了这些近似重复变换的名称以及数量。为了提高实验的真实度,我们另外爬取大约1,000幅图像作为实验背景。我们采用一种全局统计特征来描述这些图像,其中包括颜色直方图、边缘特征和纹理特征等。每一幅图像都抽取得到一个64维的全局特征。
2.2 结果
在这个实验中,先从Corel数据集中随机挑选600幅图像作为训练集。对于训练集中的图像,按照表1中列出的各种变换,为每一幅图像生成29个近似重复图像,共得到18,000幅图像。每一幅原始图像同它的近似重复图像共同组成一个近似重复图像集合。我们使用这600个近似重复图像集合学习一个新的距离度量函数。然后我们从余下的图像中随机挑选50幅图像做作为查询图像。其余的350幅图像同另外爬取的1000幅图像共同作为背景图像。对于每一幅查询图像,我们也相应地为其生成29幅近似重复图像。这些图像同背景图像等共同构成了一个包括13,000余幅图像的测试集。
在实验中,我们比较了3种距离度量函数的性能,分别是采用LRCA距离的LSH方法、采用曼哈顿距离的LSH方法,以及采用我们所提出的距离函数的LSH方法。我们采用标准的查准率-查全率曲线来描述实验结果,如图1所示。
从结果中可以看出,我们的算法性能良好。采用曼哈顿距离的LSH方法表现较差,因为这种距离函数工作在原始的空间,并没有根据数据集作任何优化;采用LRCA的LSH方法性能较之要好一些,这是因为RCA采用了从训练集中学习到的平均协方差矩阵,但是,如我们前面所说,这种方法性能良好的前提是数据集满足高维高斯分布,但是这个前提并不一定成立,所以结合了曼哈顿距离和LRCA距离的优势的MR距离,由于考虑了这些因素,所以表现最好,查准率曲线下降缓慢。当查全率为0.5时,两种对比方法的查准率已降至0.95以下,而MR仍为0.96;当查准率为0.8时,MR距离的查准率下降至0.83,但仍然比LRCA距离提高近5个百分点。
3 结论
在本文中我们提出了一种新的距离函数-MR距离,这种距离函数取曼哈顿距离和LRCA距离的平均值,克服了单一使用某种距离函数的缺陷。实验结果表明,采用我们的新算法后,搜索准确率会有效地提高,当查全率为0.8时,查准率提高了5个百分点。
参考文献
[1]Yang X,Zhu Q,Cheng T.Near-duplicate detection for images and videos[C].ACM MM Workshop on Large Scale Multimedia Retrieval and Mining,Beijing,Oct,2009.
[2]Kim H-s,Chang H-W,Lee J,et al.Basil:Effective near-duplicate image detection using gene sequence alignment[EB/OL].http://pike.psu.edu/publications/ecir10.pdf.
[3]Krause E F.Taxicab Geometry[M].New York:Dover,1987:63-89.
[4]Ferrer-i-Cancho R.The Euclidean distance between syntactically linked words[J].Physical Review E,2004,70(5):1-5.
[5]Bar-Hillel A,Hertz T,Shental N,et al.Learning distance functions using equivalence relations[C]//Procs of the Twentieth International Conference on Machine Learning,Washington DC,2003.
[6]Hu Yang,Li M J,Yu N H.Efficient near-duplicate image detection by learning from examples[C].Proceeding of ICME,Beijing,China,2008.
[7]Indyk P,Motwani R.Approximate nearest neighbors:Towards removing the curse of dimensionality[C]//Procs of the30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing,1998:604-613.
借助几何画板探究对勾函数 第4篇
具体的探究方案如下:
1. 学前先思,激活经验
回顾学习研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程,总结研究函数的思路和方法,思考:面对一个陌生的函数,你将从哪些方面对它展开研究?你的方法是什么?
(设计意图:在学习新知之前,以问题的形式,引导大家回顾总结研究函数的一般思路和方法,激活已有知识和经验,生成解决问题的新智慧.)
2. 创设情境,提出问题
(1)问题背景:若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值. 我们可以设矩形的一边长为x,面积为S,则S与x的函数关系式为:S=-x2+(1/2)x(x>0),利用函数的图像或通过配方均可求得该函数的最大值.
(2)提出问题:若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
(设计意图:通过创设问题情境,让同学们在运用已有知识、经验解决问题的过程中提出新问题,并为类比原有解决问题的策略解决新问题埋下伏笔.)
3. 类比学习,建立模型
若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:x,且x>0.于是,问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
(设计意图:期望同学们能类比原有解决问题的策略,从实际问题中抽象建立数学模型,努力通过对数学模型的求解而解决实际问题.)
4. 自主探究,分析问题
(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数x(x>0)的图像:
(2)观察猜想:观察该函数的图像,猜想当x=______ 时,函数有最 ______ 值(填“大”或“小”),是 ______.
(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数的最大值. 你能通过配方求函数的最大(小)值吗?
(设计意图:以问题为载体,引领大家从“形”与“数”两个角度,自主探索,独立求解新函数的最值.)
5. 合作探究,解决问题
(1)小组合作交流,分享经验,共探疑难. 小组成员先分别介绍自主探究过程中的收获,提出自主探究过程中的疑问,然后共同分析疑难问题.
(2)全班展示交流,相互补充,共同完善. 各小组代表汇报小组交流达成的共识,以及还未解决的问题,然后共同解决疑难问题.
(3)同学们在交流的过程中,还可以通过引发深思的追问,触及问题的本质,激发思考,并有意识将问题拓展延伸.
(设计意图:通过小组合作学习,互相追问,深化同学们对问题的本质理解.)
6. 运用技术,拓展研究
借助几何画板探究对勾函数(a,b为常数,且a≠0,b≠0)的图像和性质.
(1)按照从特殊到一般的顺序,用控制变量法探究对勾函数的图像,感受a,b对函数图像和性质的影响.
(2)用极限的思想,体会对勾函数(a,b为常数,且a≠0,b≠0)与正比例函数y=ax(a为常数,且a≠0)、反比例函数(b为常数,且b≠0)之间的关系.
(3)当a>0,b>0时,作出对勾函数y=ax+b/x的图像,并写出你发现的性质.
几何距离函数 第5篇
●几何画板5的主要功能及特点
几何画板5主要具有以下功能:计算机上的直尺和圆规、测量和计算功能、绘制多种函数图像、制作复杂的动画、保持和突出几何关系、自定义工具功能、动态演示功能。
几何画板, 顾名思义是“画板”, 能构造出各种欧几里德几何图形;能构造出解析几何中的所有二次曲线;也能构造出任意一个初等函数的图像 (并给出函数表达式) 。几何画板还能够对所有画出的图形、图像进行各种“变换”, 如平移、旋转、缩放、反射等。几何画板还提供了“度量”、“计算”等功能, 能够对所做出的对象进行度量, 如线段的长度、两点间的距离、圆弧的弧长、角度、面积等, 并把结果动态地显示在屏幕上。
几何画板主要有以下几个特点:
◇动态性──几何画板最大的特色是其具有强大的“动态性”。
◇交互性──它是功能强大的反馈工具。
◇探索性──几何画板为探索式几何教学开辟了道路。
◇简洁性──几何画板功能虽然强大, 但使用起来却非常简单。它的制作工具少, 制作过程简单, 掌握容易。
几何画板5版本在许多方面的功能较之以前版本都得到了加强, 有的功能更是发生了质的飞跃。例如, 几何画板5能直接得到方程轨迹的交点, 这在以前是无法想象的。几何画板还在图片处理、热文本、代数与几何功能的扩展和显示等方面得到了改进。
●几何画板5在教学中的应用
多媒体辅助教学已成为我们日常教学中必不可少的教学手段。作为一线教师, 在感受到多媒体辅助教学便捷的同时, 也感受到了若只把投影当作电子黑板来使用, 会使得多媒体的运用达不到预期的效果, 造成课堂教学有效性的缺失。传统的课件是事先早已确定和制作好的, 这导致我们上课只能按部就班, 而事实上课堂并不都是按我们事先设计好的去进行, 毕竟在实际教学过程中学生会产生与我们不一样的想法, 此时的课件反而限制了对学生发散性思维的培养。
一般来说, 制作一个优秀的课件要花很多时间, 让老师们每天都花很多时间去做课件是不现实的。所以说若只用几何画板制作传统的课件, 并不能很好地发挥出它的优势。那又该如何用好几何画板呢?实际上几何画板就是一个教学辅助工具而已, 它简单易用, 能帮助我们在课堂上随心所欲地制作教学积件。我们就把它当作是课堂的一部分, 它就是我们教室里的一件常备工具, 想用的时候就拿出来用, 不用的时候收起来, 这样才能使它真正地融入到课堂中, 从而最大化发挥它的价值。
在了解几何画板软件的功能及特点后, 我发现它是开展欧氏几何与函数曲线教学的最佳工具。下面将结合几何画板5的新增功能, 通过几个有代表性的积件例子说明它在这两个教学领域中的简单应用。
1. 利用几何画板5制作函数曲线类积件
几何画板能绘制中学所有的函数图像。几何画板5在绘制函数曲线方面有了一定的改进, 如在绘制三角函数曲线时, 直角坐标系横坐标单位会用π来表示等。其中最重要的改进之一是它能实现直接求出两曲线的交点。在以前的版本中, 我们只能采用人工的方法通过解方程组来求出交点, 非常不方便。现在菜单栏中新增了求曲线交点的功能, 我们能直接构造出曲线交点了。
案例1:函数y=logax与y=ax图像交点的个数问题。
只要是数学老师, 都曾经被这个问题困扰过。关于同底的指数函数y=ax与对数函数y=logax (a为常数, a>0且a≠1) 图像交点个数问题, 到底是1个、2个还是3个?很多文章从不同的角度作了研究。但大多方法都比较复杂, 学生不好理解。我们现在用几何画板5可以直接构造出它们的交点, 并能度量出交点的坐标。如图1所示, 当改变a的取值时, 会出现曲线相交的各种情形。这会让学生一目了然, 轻松掌握交点的变化规律, 这在以前是无法做到的。如果老师们操作软件熟练的话, 两分钟左右就能制作出这个小积件, 完全不用做复杂的课前准备。
2. 利用几何画板5制作度量数据类积件
几何画板5拥有强大的度量和计算功能, 基本上能满足我们的教学所需。几何画板5的度量菜单中比以前的版本新增了“点的值”功能, 它能计算出点在多边形上运动的值 (从多边形的起点到终点移动时, 相应所得的点值从0变化到1) , 利用它可以解决一些以前无法解决的问题, 如点在多边形上运动时路程与时间所形成的轨迹, 这在以前是不好制作的, 现在就可以很轻松地完成了。
案例2:正方形ABCD上有一点M, 当点M沿着正方形的边从A点出发移动时, 绘制出三角形ABM的面积 (y) 与点M移动的路程 (x) 之间的函数图像。
教师现场操作, 演示给学生看。主要步骤如下:
(1) 利用多边形工具绘制一个正方形ABCD。
(2) 在选中正方形ABCD的内部, 执行“构造/边界上的点”命令, 构造出点M。选中点M, 执行“度量/点的值”命令, 度量出点M在正方形ABCD上的值, 把标签改为x。其中M点从A点按A→B→C→D移动时, 所得的x值从0→1。
(3) 依次选中点C、A和B, 执行“构造/三角形的内部”命令, 绘制出三角形ABM。
(4) 选中三角形ABM的内部, 执行“度量/面积”命令, 度量出三角形的面积, 把标签改为y。
(5) 依次选中x的值和y的值, 执行“绘图/绘制点 (x, y) ”命令, 此时就在直角坐标系中绘制出点M’ (x, y) 。
(6) 依次选中点M’和点M, 执行“构造/轨迹”命令, 这时候就得到了点M在正方形边上运动时相应的三角形ABM的面积曲线图了 (如图2) 。
即使整个过程很慢, 几分钟也能完成了, 并不会占用太多的课堂时间。现场的操作过程也能帮助学生明白图像产生的原理, 从而对函数图像有了更加深刻的认识。
3. 利用几何画板5制作动画演示类积件
利用几何画板可以制作出几乎所有想制作的动画, 所制作出的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行动画或移动, 可以产生良好的动态效果。
几何画板5增加了“标记工具”, 它可以实现类似PowerPoint的手写功能, 可以手绘符号、图线。新版几何画板直接内置了一些原本是通过扩展工具来实现的图形标记功能, 如角、多边形或箭头等标记的功能。下面我将通过制作一个动画来说说它的使用方法。
案例3:制作一个跳动的足球, 使足球沿着用“标记工具”所绘制出的曲线运动。就像在Flash软件里, 让物体沿自定义路径实现运动的效果一样。主要步骤如下:
(1) 利用工具箱中的“标记工具”绘制一条曲线。选中曲线, 利用“数据”菜单中的“创建绘图函数”命令绘制出函数并把图像画出来 (如图3) 。
(2) 在曲线上取一点A, 在网上找一张足球的图片, 把图片粘贴到点A上。
(3) 利用“编辑”菜单构造点A的动画操作类按钮, 把不必要的对象隐藏。最终效果如图4所示, 单击动画点按钮观看动画, 足球会沿所绘制的曲线运动。
初中函数教学中几何画板的应用 第6篇
一、几何画板有助于理解函数图像的特征
函数是研究运动变化的重要数学模型,而函数图像可以把这种运动变化的信息直观地体现出来,两者在学习中是密不可分的,如何把这两者结合起来是我们每个教师所追求的.若应用几何画板就能把函数图形快速直观地在屏幕上显示出来,并加以变化,形成动画,就可以起到事半功倍的效果[1].例如,一次函数的图像是一条直线和二次函数的图像是一条光滑的抛物线.
1. 利用几何画板中的蚂蚁坐标系定义好坐标.
2. 在轴上制一点x(控点),并用“数据→计算”功能求出控点x坐标的x、y值;接着选中x、y的值用“数据→制表”功能来制表,如图1的右边所示;
3. 用“绘图→绘制点”命令作出(x,y)的点P,接着用菜单栏的“显示→追踪绘制的点”命令,把点P设置成追踪点.
4. 用菜单栏的“编辑→操作类按钮→动画”命令,把控点设置成双向中速动画,通过点击按钮可(也可用鼠标按住控点移动)重复操作让学生观察.(在教学时,可生成表中几个的值,先让学生绘制表中的数据,并观察这十多个点在位置上有何关系?接着通过反复地移动控点或按动画按钮,就会形成一条清晰的直线图像来验证,如图1.)
5. 同样,也能绘制出如图4所示的图像来验证二次函数的图像是一条光滑的抛物线.
通过几何画板的帮助可以比较感性地呈现这种信息,给学生留下更为深刻的印象,同时学生通过动手操作、实验的方式获得有实感的知识远比教师直接教授给他们单纯的数学知识效果要好的多.这样,既能激发学生的情感、培养学生的兴趣,又能大大提高课堂效率.
二、几何画板有助于解决函数的综合应用问题初中学生大部分由于函数概念、性质理解不透,函数意识比较薄弱,数形结合思想欠缺等原因造成中考的最后一题往往无法很好的突破.虽然临考前教师讲了许多综合题,学生也做了相应的训练,但是由于它综合性强、知识覆盖面广、解题条件隐蔽、因果关系复杂等,使学生很难找到解题的突破口,而无法求解[2].因此,在平时的教学训练上,要注意引导学生在解题思路上要把函数知识和几何知识的有机结合.
例(宁德地区2010年中考第26题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).
(1)△EFG的边长是___(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在___.
(2)若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求(1)当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;(2)当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式.
(3)探求(2)中得到的函数y在x取何值时,存在最大值,并求出最大值.动画制作过程如下.
1.作直角梯形:作一条单位线段,度量出长度,选中度量出来的值,用“数据→计算”求出单位长度的6倍、倍和3倍的值;在平面上做出点B,然后选中相应的标记值和点用“变换→平移”作点C、A、D,再连接线段就好了.
2.设置点E动画:在线段BC上作点E,选中点E点击“编辑→操作类按钮→动画”出现对话框时,选中动画选项卡分别设置单向速度为0.5,最后点击确定按钮.
3.设置点E回归初始位置:点选点B、E,把“编辑→操作类按钮→移动”命令的移动选项卡里对话框内容设置成“高速”和“回归初始位置”两项,在名称选项卡里改名称为“初始化”,然后点击确定按钮退出.
4.作等边三角形:点选点B、E,并用“变换→标记向量”命令标记,然后把点E按标记向量平移出现点F;最后以点E为标记中心,把点F旋转60°得到点G,连接EG、FG.
5.给图形上色:点选点A、B、C、D用“构造→四边形内部”命令构造直角梯形内部,并选合适的颜色;同样的方法可以给三角形上色.
在中考复习讲解时,我们若能借助几何画板的动画功能把此题的“点动”引起“形动”,由“形动”引起重叠部分图形的“形变”,整个变化过程经多次屏幕演示,学生通过观察、对比、分析就不难发现几个引起“形变”的特殊点的位置.在0<x≤6这段时间里,当x=2和x=3这两个位置是“形变”的关键处,因此就要分三个时间段进行分类分析,从而在解题时,学生就会应用分类思想对第2小题的第二步进行分类讨论.有前面的基础对于第3小题学生也就知道应该分两类分别求最大值,再进行比较大小.
研究表明:在人类数学思维系统的发展过程中,形象思维是最早出现的,在数学研究和教学中它起着重要的作用.因此,在此类综合性较强的动态问题的教学时,就可用几何画板具有的即时性与交互性功能来辅助教学,就使整个运动过程形象、直观、逐步地展示出来,从中发现变化中的不变规律,找到解题的突破口.
摘要：根据初中学生的认知规律,在函数的概念、图像、性质和综合应用等课堂教学中,若能利用几何画板软件将初中抽象的函数数学问题转化为直观形象的图形数学问题加以解决,就能使抽象的初中函数教学变得有形有色,感知过程活灵活现,从而调动起学生学习函数的兴趣和主观能动性.学生对图形的观察、分析、归纳形成一般性的结论,使他们的抽象思维和理论思维均得到很好地培养,慢慢地使学生从感性思维转向理性思维.
关键词：几何画板,函数,动态,效率
参考文献
[1]罗树全.对数学新课程中分类讨论思想的再认识[J].教育实践与研究(B),2012(4):55-57.