拓扑优化分析范文（精选9篇）
拓扑优化分析 第1篇
工程结构的设计常常受制于材料属性、几何参数、作用载荷及其他参量的不确定性,处理不确定性问题的传统方法是通过安全因子来进行的。近年来,基于区间分析方法的工程结构优化设计逐渐得到重视并付诸于工程实践[1,2]。
区间分析方法是在区间数学的基础上发展起来的一种新的解决工程结构不确定性问题的分析方法,它基于较少的数据(不确定参数的上下界)解决一系列不确定性问题,能得到令人满意的结果。该方法作为随机不确定模型的有益补充,具有较好的发展前景[3,4,5]。
在实际工程结构设计中,需要合理地定量处理影响工程结构性能的各种不确定性问题,将区间分析方法引入连续体拓扑优化设计领域是解决此类问题的方法之一。邱志平等[6]以区间数学理论为基础,提出了用区间方法进行非线性结构灵敏度分析的方法。本文将这种区间敏度分析思想引入到连续体结构拓扑优化设计之中,建立能有效求解结构最优拓扑的子区间基移动算法。
1 基于双向插值方法的区间摄动有限单元分析方法
尽管区间优化问题的求解比确定性优化问题的求解复杂,但区间分析方法比确定性分析方法得到的信息更多[7,8]。在连续体拓扑优化中,敏度分析可采用区间分析方法进行求解。基于密度方法的连续体拓扑优化敏度表示的是一种有限单元间的密度变化对目标函数产生的不同影响。由于这种影响是一种相对影响,故采用区间分析方法来求解目标函数或约束函数的相对敏度。这种相对敏度表征了在更广的设计域上的目标/约束函数的响应。而基于区间的相对敏度是实数,故可利用成熟的规划方法求解优化问题。
1.1 基于双向插值函数的区间优化模型
在双向插值函数模型中,假设材料的弹性张量是各向同性的。泊松比为常量,且与密度无关,而弹性模量随相对密度ρ的变化而变化,为直观起见,用变量xi代替i单元的相对密度ρ。
双向插值模式的刚度矩阵Ki、柔度函数C可表示为
Ki=φ(xi)Ki0 (1)
C=FTu=uTKu (2)
式中,φ(xi)为双向插值函数;Ki0为第i单元的初始刚度矩阵;u为结构位移;F为载荷。
φ(xi)的表达式为
xi)cos(πxi)]1q} xmin≤xi≤1
式中,q为惩罚参数。
总刚度矩阵K为
弹性模量Ei为
Ei=φ(xi)Ei0 (4)
式中,Ei0为上一迭代步的第i单元弹性模量。
双向插值模型中结构单元弹性模量的控制参数是xi和惩罚参数q。q取不同值时,中间密度单元xi的弹性模量参数有逼近0或1的趋势。
设计变量x=(x1,x2,…,xn)T(0≤xi≤1),写为区间向量形式:
xI=(xI1,xI2,…,xIn)TxIi=[0,1] (5)
在实际优化分析中,不希望每次敏度分析的所用区间都是设计变量的原始区间,为此可以构建既能体现局部信息,又能表征优化问题全局性的子区间可变带宽基移动优化策略。其基本思想是:在初始计算分析时,在设计变量区间内选一初始子区间xI0:
根据区间分析方法进行敏度分析计算,用相应的标准优化方法求设计区间中心(基)的移动xk+1,c=xk,c+dk,k为迭代次数,dk为步长。
1.2 基于双向插值模式的敏度分析摄动近似计算方法
以拓扑优化问题中典型的柔度函数为目标函数,以体积约束为约束条件,分析基于区间的相对拓扑敏度。
体积函数表达式为
式中,Vi为结构第i单元的体积;V*为初始结构体积;f为体积分数。
弹性静力结构控制方程为
Ku=F (8)
由双向插值方法可知,刚度矩阵K=K(x),x∈xI,是设计变量的直接函数,而u为设计变量的间接函数,故位移响应可表示为
u(x)=u(x1,x2,…,xn) (9)
如果在优化过程中载荷F保持不变,则柔度函数对设计变量xi的相对区间敏度可通过对设计变量xi的合适区间扩展得到,敏度求解可表示为
式中,rad(·)为求取区间半径的函数。
上述设计变量中,只有xIi是区间参数,其他设计变量x1c,x2c,…,x(i-1)c,x(i+1)c,…,xnc皆为实参数。
要求解柔度函数的敏度信息,关键是如何正确高效地求解Δuxi。令设计向量x在第i设计变量上的区间扩展为xI(i)=(x1c,x2c,…x(i-1)c,xIi,x(i+1)c,…xnc),则K(x)u=F的矩阵区间扩展为区间参数方程为
K(xI(i))u=F (11)
其中,K(xI(i))={K=K(x)|x∈xI(i),x∈Rn,xI(i)∈I(Rn)}表示所有可能刚度矩阵的集合,所有满足矩阵向量对〈K(xI(i)),F〉所决定的结构位移向量集合组成的位移向量区间为
根据结构力学单元刚度组装的原则,将每个单元刚度矩阵扩展为维数与总刚度矩阵相同的子矩阵,其实现方法是将单元刚度矩阵的值对应赋予扩展单元刚度矩阵相对位置,其余元素为0。如此便得
式中,Kc为标称刚度矩阵,δKI为摄动区间刚度矩阵。
由结构有限元静力摄动理论,标称结构有限元控制方程为
Kcuc=F (14)
相应的摄动控制方程为
(Kc+δKI)(uc+ΔuIxi)=F (15)
分解式(15),得
ΔuIxi=-(Kc+δKI)-1δKIuc (16)
由式(16)有
将式(16)代入式(10)中的柔度函数相对敏度计算公式得
从式(18)可以看出由于Kc、uc、FT只与标称结构有关,而δKI、Δxi只与结构第i单元区间参数有关,简化高阶项,可将式(18)简化为
2 基于区间敏度分析方法的拓扑优化算法
在构建连续体拓扑优化算法的过程中,采用了固定带宽的敏度分析子区间,优化的参数为区间的中心值。换言之,就是在优化过程中,用一定带宽的盒子对整个设计域进行搜索,以确定最优设计变量所在的区间,盒子的搜索方向即基移动方向由盒子上的区间敏度决定。合适的固定带宽可使优化问题得到收敛全局解,优化过程中带宽可变,并采用一定策略控制带宽按一定尺度逐渐减小,构建变带宽基移动优化方法。
2.1 优化模型
以结构总体柔度为拓扑优化的目标函数,将结构的体积作为优化的约束条件,在给定载荷和边界条件基础上,基于双向插值的区间优化模型为
式(20)中,为避免总刚度矩阵奇异,取单元最小相对密度xmin=0.0015。
取优化初始点为
xI0=(xI10,xI20,…xIn0)T=
([x10c-Δx10,x10c+Δx10],
[x20c-Δx20,x20c+Δx20],…,
[xn0c-Δxn0,xn0c+Δxn0])T
初始设计变量带宽取Δx10=Δx20=…Δxn0=0.1。第k次迭代计算时目标函数的敏度可根据式(19)计算。
2.2 优化算法
基于双向插值的区间敏度分析连续体拓扑优化准则设计变量的迭代策略如下:
其中,xi(k+1)c为第k+1次迭代第i区间变量中心值,λk为第k次迭代时体积约束的拉格朗日乘子,拉格朗日乘子λk按罚乘子法思想进行迭代计算:
λk+1=λk+r(k)(V(k)-fV0) (22)
r(k+1)=mr(k)
式中,V(k)为第k次迭代设计域体积;m为增长系数,取m=2~4。计算时取初始值:λ0=1,r(0)=0.25。
3 基于区间敏度分析方法的拓扑优化算法数值实现
3.1 悬臂梁优化数值实现
在拓扑优化邻域,悬臂梁设计问题被广泛用作优化问题研究时的测试、检验问题。以柔度最小化为目标函数,保留25%的体积。材料弹性模量E=200GPa,泊松比υ=0.3。梁的左端固支约束,右端受垂直向下作用力F,模型可近似为二维平面应力问题。结构离散为60×30四节点四边形单元。图1为结构模型示意图。图2所示为优化结果,结构优化边界从模糊到清晰。图3所示为目标函数值收敛情况。
(a) (b)
(c)第90迭代步优化结果(收敛)
3.2MBB梁优化数值实现对比验证
MBB梁的拓扑优化在欧洲空中客车底扳支架设计中得到应用[9,10,11],MBB梁有各种不同的变化形式。如图4所示,一个边缘固定(不可设计)的简支梁,其内部为可设计区域,在规定载荷下以结构柔度最小化为目标函数的优化拓扑如图所示。应用本节区间敏度分析方法的优化结果如图5所示,表示结构优化边界由模糊逐渐变清晰过程。
(b)文献[11]优化结果
(c)目标函数收敛情况
上述算例数值结果表明,将区间分析方法应用到拓扑优化领域敏度分析中完全可行,结合双向插值模式的拓扑优化具有无需过滤、全局收敛和边界清晰的优点。
4 结语
本文研究区间分析方法特性,分析了区间分析方法在包含界约束拓扑优化问题中使用可行性;根据区间敏度分析优点与传统敏度分析的不足,将区间敏度分析思想引入结构拓扑优化设计,建立了子区间基(中心)移动拓扑优化方法,并用数值实验验证方法的正确性及实用性。本文结论为拓扑优化研究提供了一种新的研究思路和方法。
对于载荷等设计变量具有不确定性的结构,将区间分析方法与拓扑优化方法相结合,研究结构可靠性拓扑优化、结构失效模式拓扑优化、智能结构拓扑优化将是很有前景的研究课题。
摘要：分析了区间分析方法在包含界约束拓扑优化问题中使用的可行性。根据区间敏度分析优点与传统敏度分析的不足,将区间敏度分析思想引入结构拓扑优化设计中,建立了子区间基(中心)移动拓扑优化方法,并用数值实验验证了该方法的可行性及有效性。
关键词：区间,拓扑优化,敏度分析,子区间基移动
参考文献
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拓扑优化分析 第2篇
（1.上汽通用五菱汽车股份有限公司，上海 545000；2.湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室 湖南 410012）
随着汽车工业的发展，汽车在给人们带来方便与舒适的同时，也带来了环境污染与能源短缺等一系列的问题。人们逐渐认识到如果需要发展汽车工业，就必须解决当前面临的这些问题。因此，节能减排就成为了汽车工业发展的核心与热点问题。研究表明，汽车油耗与汽车质量成正比，减少汽车质量可以有效的减少能源消耗与尾气排放［1］。其中，车身是汽车三大总成之一，占汽车总重量的40%左右，车身轻量化对于整车的轻量化起着重要的作用。因此，车身的轻量化研究成为了国内外汽车行业的热点研究课题之一。
近20年来，随着计算机软硬件技术和有限元法的发展，拓扑优化技术得到飞速的发展，成为了解决复杂工程问题的关键方法，在航天航空、船舶制造、汽车工业以及建筑等领域都得到广泛的应用，从而避免了传统的依靠经验或试验的优化方法的盲目性。通过拓扑优化技术，企业能够缩短新产品开发周期，减少开发成本，提高产品性能，从而提高产品的市场竞争力。
基于以上优点，拓扑优化技术在国内外实际工程运用中得到了广泛的运用。如：美国的密西根大学和通用汽车公司，以碰撞过程最大吸收能量为目标，采用拓扑优化技术对零件进行优化设计，从而使零件在满足吸收碰撞能量的条件达到减重的目标，此技术已经应用到某款轿车的后围结构上［2］。瑞典Linkoping University从安全的角度对轿车B柱进行轻量化研究，以质量最轻为优化目标，以B柱变形过程的最大速度为约束条件，以B柱各段的厚度为变量，从而实现了满足安全性能条件下减重25%［3］。空中客车公司的Krog和Tucker等人利用全局和局部拓扑优化，对机翼的肋板进行了优化设计［4］，有效地减轻了机翼重量。在国内，清华大学的范文杰等人研究了多工况下基于应力的双向渐进结构优化方法［5］，对装载机工作装置的动壁进行了优化设计，得到了理想的拓扑结构。
汽车的轻量化对节能减排具有重大的意义，因此轻量化技术已经成为了汽车行业的热点研究领域之一。在当前不能明显提高汽车制造成本的情况下，通过采用拓扑优化技术对整体车身结构进行优化设计，以得到最优的汽车承载骨架和汽车内部传力路径，对汽车白车身的详细设计提供指导，从而使整车在概念设计阶段达到轻量化效果。
本文首先探讨了结构拓扑优化的基本理论，然后以某微车的A面模型为基础建立整体车身拓扑优化模型，通过拓扑优化计算，最后分析拓扑优化结构，为车身的详细设计提供指导。
1 拓扑优化理论
1.1 拓扑优化数学模型
结构拓扑优化就是寻求材料在空间的最佳分布。利用拓扑优化解决实际工程问题时，通过建立相应的数学模型把实际的工程问题转化为数学中求最优解的问题，然后利用适当的优化算法求解来解决工程问题。对于结构拓扑优化这类优化问题，我们需要考虑设计变量、约束条件以及目标函数等问题，其数学模型可以表示如下：
在式（1）中，X是设计变量，即在优化设计中需要优化的变量，如结构的截面尺寸、长度、厚度等，也可以是结构中所用材料的材料参数，如弹性模量、泊松比等。设计变量的选择是优化设计中的重要组成部分，一般的，设计变量越多，优化设计的问题越复杂，需要求解所用的时间也就越长，工作量也越大，同时，设计变量越多，结构可优化的空间越大，优化效果可能越好。结构优化设计便是寻求在给定限制条件下求设计变量的最优解问题。
式（2）为求解的约束条件，反映优化设计中应该遵循的规范与要求。约束条件一般分为约束方程和常量约束。约束方程指优化设计中根据结构刚度、强度以及模态频率等性能要求而建立的方程式，一般采用部分或者全部的设计变量为方程自变量，如式（2）中第一项所示。而常量约束则是指设计变量的取值范围，如式（2）中第二项显示。常见的约束条件一般是如下几种：
（1）几何约束。通过对模型几何尺寸进行约束，使其满足材料规格、空间结构以及工艺等方面的要求。
（2）位移约束。通过对结构位移进行约束，使结构的刚度性能满足要求。
另外还有应力约束与频率约束，主要是对结构内部应力以及避免结构与共振源之间耦合共振进行约束，以满足强度和NVH方面的要求。
式（3）是优化设计的目标，代表优化设计中最被关注的指标。根据不同的优化设计，我们可以将目标设置成不同的参数。对于本次整体拓扑优化下白车身轻量化研究，目标函数便是求结构的总质量最轻。
1.2 变密度方法基本理论
在当前的实际工程问题中，拓扑优化一般都采用变密度法求解。对比以前采用的均匀法［6］，因其采用大量的微单元，并需要求解大量复杂的偏微分方程，变密度法是基于连续变量的密度函数来表达单元的相应密度与材料性能之间的对应关系，假定使用的材料都为各项同性材料，而不引入微单元与均匀化过程［7］，并且假定材料是由很多密度为0到1的单元组成，而弹性模量与密度之间则呈现指数关系。该方法基本原理简单，涉及的变量较少，已经成为当前拓扑优化设计中的主要方法，被众多商业优化软件所采用，本文所采用的拓扑优化方法就是变密度法。
变密度法拓扑优化经常采用的密度插值模型是固体各项异性材料罚值模型 （SIMP，Solid Isotropic Material with Penalization），具体可以表示为：
在式中，V是材料的允许使用量，表示设计过程中的设计空间；P为罚因子，P＞1，增大P值可以抑制中间密度材料的产生，而当P≥3时，拓扑优化的结果接近于黑白形态；材料的密度函数0≤ρ（x）≤1；设计变量x∈Ω，则表示材料的伪弹性模量。根据公式可见，材料的伪弹性模量与密度之间呈现指数关系，而材料伪弹性模量在0与原始弹性模量之间。图1表示材料的伪弹性模量与真实弹性模量的比值随着材料密度以及罚因子变化而变化。可以看到，加大罚因子p，材料伪弹性模量等特性参数向0和E0靠近，表明中间密度的材料得到了抑制［8］。而罚因子一般根据以下规律取值：
其中，v0为泊松比。
除了SIMP法外，变密度法拓扑优化常用的另一种密度插值模型是材料属性合理近似模型（RAMP，Rational Approximation of Material Proper ties），具体可表示为：
式（7）中，E0和Emin分别为实体材料和空洞材料的弹性模量，在一般情况下，我们都假定Emin=E0/1000。
图2表示材料的是伪弹性模量与真实弹性模量的比值随材料密度以及罚因子的变化。在图中可以看出，SIMP法和RAMP法的材料插值模型具有一定的相似性。因此，如果输入条件相同，SIMP法与RAMP法得到的拓扑优化结果应该也比较相似，但是从其他方面来看，RAMP法在拓扑优化过程中具有更好的稳定性。
1.3 结构拓扑优化基本流程
在实际工程问题中，拓扑优化都需要遵循一定的流程，从而使设计空间、目标以及约束都能够更加清晰的定义，以科学地评价拓扑优化的结果。基本上，结构拓扑优化的基本流程见图3。
（1）开始拓扑优化。对结构拓扑优化问题形成清晰的思路，来选择合适的前后处理软件以及求解器。
（2）建立基本模型。建立拓扑优化需要的几何模型和有限元模型，并对模型作相应的简化处理。
（3）设置工况。根据分析需求以及分析标准设置相应的工况，计算结构在初始状态下的力学性能等。
（4）定义设计空间，设计目标以及约束条件。其中设计空间的每个单元的密度为设计变量，并且设置合理的拓扑优化控制参数。
（5）拓扑优化计算。在拓扑优化过程中进行监控，监控目标可以是应变能的大小，约束函数以及目标函数的大小等参数。
（6）输出并分析拓扑优化结果。对于拓扑优化结果进行分析，如果优化结果不理想，则需要分析优化失败的原因，若是模型的原因，则应该重新建立拓扑优化模型；如果是设置的原因，则应该对拓扑优化的设计空间、设计目标、约束条件等相关参数进行重新设置。
假若得到了理想的拓扑优化结构，则可以输出优化后的拓扑优化结构模型，并对其进行分析，以指导后续的车身结构的详细设计。
2 某微车整体拓扑优化实例
2.1 几何模型的建立
建立几何模型是拓扑优化的第一步，本文试用美国EDS公司的UG（Unigraphics）软件建立某微车整体车身几何模型。另外，基于UG软件的优点以及与有限元前处理软件Hypermesh较好的接口能力，本文在UG软件上完成整体车身拓扑优化几何模型的建立。
以某微车的A面模型为基础，进行适当的简化，以完成整体车身拓扑优化几何模型的建立（如图4所示），在建模过程中有以下要点：
（1）根据所需乘员舱的基本尺寸，需预留出乘员舱的基本空间。
（2）预留前风窗、后侧窗、前后侧门、尾门的基本空间。
（3）预留发动机舱（发动机中置，位于前座椅框下）、散热水箱舱以及前后轮罩的基本空间。
（4）根据大梁的基本尺寸与位置，预留大梁的基本设计空间。
（5）顶盖与后侧围都采用片体建模，并在之后的有限元建模中赋予其一定的厚度。
2.2 有限元模型的建立
在完成整体车身拓扑优化几何模型后，使用有限元前处理软件Hypermesh进行网格的自动划分，检查单元质量并调整提高。车身网格尺寸采用40 mm，顶盖和侧围部分采用三角形单元（CTRIA3），其余的部分则采用四面体单元（CTETRA），顶盖、侧围以及其余部分的连接采用节点合并的方法。最后建立的有限元模型一共包含136 609个四面体单元和10 184个三角形单元（如图5所示）。
另外，对于本次整体拓扑优化研究，所涉及到的分析工况只是静力小变形分析，只需输入材料线性阶段的属性，包括弹性模量、泊松比和密度。因此为车身部件赋予普通碳钢的线性材料属性。对采用的单元类型，四面体单元集合赋予实体属性，而顶盖的三角形单元集合则赋予2 mm壳体属性，后侧围的三角形单元集合赋予0.8 mm壳体属性。
2.3 基于白车身刚度的拓扑优化
汽车在使用过程中，车身承受多种载荷的共同作用，其中主要有在不平的路面上行驶时的扭转载荷和承载乘客和货物时的弯曲载荷。车身刚度性能直接反映车身结构承受这些载荷的能力。当车身的刚度不足时会产生很多问题，如焊点脱落，车身开口变形太大导致车门卡死等。这些问题都直接影响汽车的整体品质，所以必须在车身概念设计阶段就对车身刚度进行严格的控制。
对于整体车身的拓扑优化过程采用的工况，可以直接套用白车身整体刚度分析的工况，主要分扭转刚度和弯曲刚度工况两种。以下将进行两种刚度工况下的拓扑优化。
2.3.1 基于扭转刚度工况的拓扑优化
（1）扭转刚度工况
扭转刚度性能主要用来评价汽车在不平路面行驶过程中承受复杂的扭转载荷下抗变形能力。整车扭转刚度工况设置如图6所示。
约束：前保险杆中心X、Y、Z方向平动自由度，右后悬支座X、Y、Z方向平动自由度，左后悬支座X、Z方向平动自由度。
载荷：左前悬支座施加10 000 N正Z向力，左前悬支座施加10 000 N负Z向力，这两个力对车身共同形成力矩作用。
车身扭转刚度值的计算公式如下：
式中：ST为扭转刚度值；M为扭矩（10 000 N乘左右前悬支座距离）；θ为前悬支座对应的左右大梁的相对扭转角，可根据测出的位移求得，具体见式（9）：
式中：δ为前悬支座对应的大梁处Z向位移；L为左右大梁在前悬支座位置的间距。
（2）初始状态下扭转刚度分析
在进行拓扑结构优化之前，需要分析整体车身初始状态的扭转刚度性能，通过测试并根据式（8）可计算出前悬支座对应的左右大梁的相对扭转角为0.1026°。左右前悬支座间距为1 060 mm，则扭矩为10 600 N·m，则初始状态的扭转刚度为103 314 N·m/°。
（3）扭转刚度工况下的拓扑优化
根据拓扑优化理论，建立拓扑优化分析需要设置优化空间、目标函数和约束条件。
根据优化要求，本次拓扑优化的设计空间则是顶盖、后侧围和剩余部分三部分，其中顶盖和后侧围设计空间类型为壳体，剩余的部分则为实体。另外由于该车大致为左右对称的结构，因此设置三个设计空间相对于XZ平面对称。而约束条件而言，扭转刚度大小取决相对扭转角大小，扭转角越小，扭转刚度越好，而扭转角与对应大梁处Z向位移δ有关，因此可以设置位移δ为约束条件，使δ≤2 mm。最后，本次拓扑优化的目的是对整体车身结构进行轻量化设计，则目标函数为整体车身重量最小。
完成拓扑优化模型的前处理后，便能够进行拓扑优化计算了，在计算过程中，监控结构应变能、约束函数和目标函数的变化保证拓扑优化的顺利进行。
经过多次迭代，位移无限接近2 mm（如图7所示），而应变能与总重量趋于稳定 （图8与图9所示）。
观察结构应变能、约束条件和目标函数在迭代过程中的变化，可初步判定，拓扑优化正在顺利进行。在迭代结束后，用后处理软件打开拓扑优化的结果文件，就可以查看拓扑优化的密度分布云图（见图10）。根据拓扑优化理论，密度越大的单元，则对整体车身抗扭作用的贡献越大，相应的区域需要得到加强；而密度较小的单元，对于整体车身抗扭作用的贡献则较小，相应的区域可以考虑减弱。依据扭转刚度工况拓扑优化密度云图，加强单元密度大的区域，减弱单元密度小的区域，在车身概念设计阶段，即考虑对整体车身进行轻量化的同时，保证车身的抗扭转变形能力基本不变。
观察图10的密度分布云图可以看出，大多数单元的密度都在0.15以下，当只显示密度高于0.15的单元，可以得到整体车身的抗扭承载骨架，即扭转刚度工况的传力路径，如图11所示。
2.3.2 基于弯曲刚度工况的拓扑优化
（1）弯曲刚度工况
弯曲刚度性能主要用来评价汽车承受乘员重量或货物重量时抵抗变形的能力。弯曲刚度工况包括前弯刚度工况和后弯刚度工况两种，如图12和图13所示。其中，前弯与后弯刚度工况都需要约束前悬支座X、Y、Z方向平动自由度，后悬Z方向平动自由度。计算前弯时在前排座椅框分别施加2 000 N载荷，计算后弯则在中排座椅框分别施加2 000 N载荷。
车身弯曲刚度值可用以下计算公式算出：
式中：SB为弯曲刚度值，F为车身承受弯曲载荷，共4 000 N，δ为加载点对应大梁Z向的位移量。
（2）初始状态弯曲刚度分析
在进行拓扑优化之前，同样需要分析初始弯曲刚度性能，通过有限元求解器计算与测量，利用式（9）计算，最后测出前弯刚度为363 636 N/mm，后弯刚度为229 885 N/mm。
（3）弯曲刚度工况下拓扑优化
对于弯曲刚度工况下优化空间、约束条件以及目标函数的设置，与扭转刚度工况的拓扑优化类似。只是在设置约束条件时，是设置前后弯曲工况Z向位移量 d1≤0.2 mm，d2≤0.2 mm。
通过迭代运算，监控计算过程中的应变能、位移与重量，最后都趋于稳定值（如图14、图15、图16所示）。
与扭转工况下一样，在拓扑优化迭代顺利完成后，查看拓扑优化结果文件，得到拓扑优化密度分布云图（图17）。在车身概念设计中，就可以加强单元密度区域，减弱单元密度小的区域，保证车身抗弯变形能力基本不变的同时优化车身结构。最后可以得到弯曲刚度工况的传力路径，如图18所示。
2.4 整体车身拓扑优化结果分析
在拓扑优化结束以后，就可以根据拓扑优化结果来指导车身的结构设计 （主要依据扭转刚度与弯曲刚度工况的承载骨架）。在车身概念设计阶段考虑材料在车身结构上面的最优化分布，从而达到轻量化的目的。
2.4.1 基于扭转刚度工况拓扑优化结果分析
通过观察图18的整车抗扭承载骨架，可以看到整车扭转载荷主要是由一个骨架来承受，在概念设计阶段加强骨架部分，减弱骨架结构以外的部分，达到在不减弱车身扭转刚度的条件下减重的目的。
通过分析图18的整车抗扭承载骨架，可以将骨架分为五个框架：前围框架、顶盖框架、尾门框架、侧围框架和车架，如图19所示，现在选取其中一部分进行详细说明。
（1）前围框架
如图20所示，前围框架由前风窗和前隔板（A、B、C区域）组成，根据骨架的尺寸，可看出前围框架对车身的抗扭贡献很大，需要得到加强。其中，A区域需要布置前风窗下横梁，C区域需布置前地板横梁，对前隔板的B区域需布置加强板。
（2）车架
如图21所示，车架主要由大梁和横梁构成，该框架对车身的抗扭作用很大，需重点加强I区域（前地板）、J区域（前门和中门的门槛）、K（后大梁处的横梁）、L区域（尾端梁）和中后大梁。另外，中后大梁的抗扭作用高于前大梁。地板横梁应多布置在中前地板（即AC区域之间）。
2.4.2 基于弯曲刚度工况拓扑优化结果分析
观察图18整体车身抗弯承载骨架，可以看出整车扭转载荷也是由一个骨架来承受，因此在概念设计阶段也可以通过加强骨架部分，减弱骨架以外的车身部分，达到在不减弱弯曲刚度的条件下实现车身的轻量化设计。
图18的承载骨架基本可以分为两部分：大梁框架与侧围骨架，如图22所示，以下对两部分详细说明。
（1）侧围框架
可以看到，侧围框架是由四个立柱、上边梁和大梁构成。因为侧围框架所在的平面平行于弯曲载荷，所以抵抗弯曲变形的作用是比较大的，需要重点加强刚度。另外，可以考虑设计几个连接块将各个立柱与大梁连接起来，形成封闭的抗弯承载框架，达到增加刚度并减少重量的目的。
（2）大梁框架
大梁框架主要由左右大梁、前地板横梁和尾端梁构成。其中，大梁对抵抗弯曲的作用是非常明显的，因此，在大梁的设计过程中，需要保证其有足够的抗弯曲变形能力。
2.5 拓扑优化结果对设计的指导
根据上面拓扑优化分析，依据该车身拓扑优化结果，在详细设计中通过修改白车身对弯曲以及扭转刚度影响较大的部位，加强其结构，以及相应减弱对刚度影响不大的零部件，以达到保证车身刚度的条件下实现轻量化的目的。
另外，通过加强车身乘员舱的结构件，对提高车身刚度也有一定的影响作用，包括顶盖、后地板、门槛外板等。对车身结构进行优化设计时，可以根据上面的拓扑优化结果，有针对性的优化承载骨架结构，从而可以减少设计过程中的盲目性，同时实现车身的轻量化。
3 结论
本文首先探讨了结构拓扑优化的数学模型、基本理论以及分析流程，然后以某微车的A面模型为基础建立整体车身拓扑优化模型，在Altair/Hyper Mesh中完成拓扑优化模型的前处理，利用Altair/RADIOSS完成白车身刚度工况的初始状态计算，用Altair/OptiStruct完成整体车身结构的拓扑优化，最后在后处理软件Altair/HyperView分析整体拓扑优化结构，得到整体车身的抗扭和抗弯承载骨架，利用承载骨架为车身的详细设计提出了很多重要的指导意见，从而实现了车身概念设计阶段的轻量化设计，具有较大的工程指导意义。
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拓扑优化分析 第3篇
上世纪60年代,表面组装技术SMT(Surface Mounted Technology)就已经开始出现。经过几十年的发展,SMT已经成为了一门涉及机械、电子、计算机以及材料等多门学科的综合性技术。SMT的主要工作流程有点胶(或丝印)、贴装、固化、回流焊(或波峰焊)、清洗、检验等工作流程。贴装作为SMT中最主要的工序之一,精度要求极其严格,其工作任务主要由贴片机承担。
贴片机实际上是一种高精度、高速度的智能机器人,主要由机械系统和控制系统组成。其中机械系统主要有机壳、XYZ三轴运动系统、贴片头、机架、传送机构等;控制系统主要有视觉识别系统、定位系统以及各种传感器等。图1所示为贴片机单次贴装动作图。
1桌式贴片机横梁优化前有限元模型建立
横梁承载着桌式贴片机XYZ轴的运动,它的结构直接影响贴片机的贴装精度,是桌式贴片机最重要的构件之一。因此,贴片机贴装精度能否满足作业要求,与横梁的结构设计、结构分析以及结构优化有着很密切的关系。本文主要采用有限元方法对横梁结构进行模态分析,避免共振点;然后在此基础上对横梁结构进行拓扑优化,以保证贴片机贴装精度。桌式贴片机的整机结构如图2所示,其中横梁采用铸铝成型如图3所示。
如上所述,横梁作为贴片机的关键部件,其有限元模型的建立也是分析横梁结构的关键环节,单元选择不准确、模型大小与实际不相符,都会产生错误的分析结果。为保证计算精度、达到实际应用标准,本文采用ANSYS有限元法对横梁进行分析,单元类型选用solid95实体单元,体积为:1.73×106mm3,质量为: 4.7kg,杨氏模量:E=69GPa,泊松比为:0.33,材料密度为:2700kg/m3。网格划分采用等级为6级的智能网格划分,最终建立的有限元模型如图4所示。
2横梁的模态分析
模态分析是工程中经常使用的分析方法,通过模态分析确定横梁结构的固有振型和频率,对横梁进行合理改善,避开共振频率;依据分析结果进行结构优化,优化结构应力集中部位,加强结构强度,延长结构使用寿命。
ANSYS有限元模态分析属于线性分析,所有的非线性特性将被忽略,其主要理论基础为振动理论分析方法。首先将模型结构进行网格划分,将实体单元数据离散化处理;然后依据有限元数值分析方法,建立线性微分方程组;最后求出所构建方程组的特征值以及特征向量。根据振动理论相关知识,得到横梁离散后的运动微分方程为:
式中[M]为横梁结构的质量矩阵;[C]为阻尼矩阵; [K]为刚度矩阵;{U(t)}为位移向量;[F(t)]为激励矩阵。
对式(1)进行拉氏变换,可得:
对于时不变线性系统某点的响应,可用各阶模态响应的线性之和表示,于是可以得到某点a的响应为:
式中πai表示a点的第i阶模态的振型系数;yai(ω)表示a点在第i阶模态中的振型,又被称为模态坐标。
假设横梁有限元模型中的M个节点第i阶模态对应的振型系数组成的列向量为:则由这M个点所对应的全部模态振型系数矩阵为:
又设由这M个点组成的模态坐标矩阵为:
将式(4)、式(5)带入式(3),可以得到结构的响应向量为:
此时,可以将式(2)改写为:
而在实际的模态分析中,阻尼对结构的固有频率以及振型的影响很小,可以忽略不计,且ANSYS软件测量结构的模态时一般不需要施加激励,此时式(2)特征方程为:
这样便可以求得横梁的固有频率计算公式:
根据上面的计算原理,将上节建立的有限元模型载入ANSYS软件,计算横梁的前五阶模态频率及振型如表1所示,得到振型图如图5(a)~图5(e)所示。
通过表1数据可以看出,横梁的一阶固有频率为145.6Hz,而系统所使用的伺服电机工作转速变化范围为0~3000r/min,即激励系统的工作频率变化范围为0~50Hz,此横梁结构固有频率明显大于激振频率,故不会发生共振。但是由于此结构质量较大为4.7kg,在桌式贴片机高速运行突然急停进行贴片的动作中,横梁的大质量引起的惯性作用,回使贴片头在贴装时发生偏移甚至可能出现错位的现象,因此进行拓扑优化,对横梁进行轻量化设计是非常必要的。
3横梁的拓扑优化设计
拓扑优化设计是运用优化设计理论、数据处理方法、计算机辅助软件等工具,寻求材料最合理分配的一种设计理念,以达到结构最佳外观形式、最佳受力途径、结构最佳性能、结构最为轻量化的设计方法。
拓扑优化主要有三种方法:均匀法、变厚度法和密度惩罚法。本文中采用密度惩罚法来完成横梁的拓扑优化,其数学模型如下:
式(10)中ρi为单元相对密度;f为结构体积力;u为单元相对面积力;v0为结构初始定义体积;v*为删除的材料体积;∆为删除材料质量所占比例;ε为密度惩罚法材料密度下限;Jj为优化后密度保持最初状态的单元。经过ANSYS拓扑优化计算,可以得到优化后单元密度变化情况如图6所示,横梁优化最终拓扑结构如图7所示。
经测量,优化后计算得到横梁的质量为3.8kg,比优化前减少了19.1%,减小了惯性带来的贴装误差。
在实际的工程应用中,高阶模态对结构的影响很小,因此本文仅对横梁前五阶模态进行了模态分析,得出优化后横梁前五阶模态固有频率,以及优化后前两阶横梁应力图(优化后横梁模态固有频率与优化前的固有频率对比如表2所示,优化后前两阶应力分布图如图8、 图9所示)。
由表2可以看出,优化后1阶、2阶固有频率有所提高,说明优化后结构刚度更大,横梁在整个系统中更可靠;由图8、图9所得前两阶应力图可以看出,优化后横梁应力分布较为均匀,没有出现应力集中部位。经测试,横梁可以稳定承载桌式贴片机的整机运行,充分证实了以上分析结果。
4结束语
拓扑优化分析 第4篇
近年来，国内在“培养学生思维品质”理念指导下的教育实验研究逐渐开展并不断丰富。比较有代表性的研究有冯忠良的“结构——定向”教学实验、刘静和的“现代小学教学实验”、邵瑞珍的“学与教”的研究和卢仲衡的“自学辅导教学实验”。北京师范大学发展心理研究所林崇德教授等人通过长达三十多年的中小学教学实践，特别是最近十多年的“学思维”活动课程实践表明，思维型课堂教学可以有效地促进师生互动，激发课堂的思维活动，提高课堂教学质量。
当下的拓扑式课堂建构实验，大部分都是建于实验中的翻转课堂和探究式课堂的基础之上，将学习的掌控权交给了学生。但是我们应该看清目前国内学生的情况：不擅于提问，主动性不强，这两点直接影响了学习的效果。而这两点恰恰正是批判性思维训练中非常重要和突出的两个特性：善于提问和主动独立的思考。如何在网状拓扑式课堂中训练和解决这两个问题，是需要思考和解决的。
二、网状拓扑式课堂
（一）概念界定
网状拓扑结构是计算机科学概念，又称作无规则结构，结点之间的联结是任意的，每一结点都可与多点进行连结，因此必须采用路由算法和流量控制方法。目前广域网基本上采用网状拓扑结构。借由这个概念建立起的网状拓扑式课堂是指将师生分别视作单个结点，通过学生彼此之间结点的任意联结，学生与教师的联结，学生自我认知结构变量及相关知识的联结，构建多点联结的以达到知识自然生成和建构扩展目的的网状拓扑式课堂。在充分尊重学生的心理官能发展和认知水平的基础上，有效发挥教师知识的前导性，考虑学生知识建构的最优路径，简洁并且能够快速收敛，引导生成方向和容量。在不断预设、不断反馈、不断调整的进程中，实现学生知识网络的主动发展，促进学生思维品质的提升。
通过课题组成员一系列的相关课堂实验和实验结果分析报告，我们验证了最初的假设，将网状拓扑式课堂分为课前网络预习与初步思考、课堂实时学习讨论、课后思维调整完善知识网络三个部分。
没有结论的讨论是没有价值的，网状拓扑式课堂的最终目的就是要能得出有理有据的合理结论。在进行文科名著《红楼梦》阅读教学时，课题组实验班级尝试采取网状拓扑式课堂构建，以系列课程来完成金陵十二钗及副册人物的人物性格分析教学。同学结合课堂讨论，对自己的课前初步思考进行了进一步完善。根据要求，将课前预习思考部分、课堂讨论补充部分和课后思维完善部分分开归纳。
此处呈现一份在人物性格分析教学完成之后学生的主题关键词阅读报告样例。
从“娶妻当如薛宝钗”到“给彼此空间”——《红楼梦》金陵十二钗人物阅读报告
一、课前预习思考
《红楼梦》问世至今，宝钗黛的爱情悲剧一直是人们关注的重点。黛玉何如宝钗，也一直是人们争论的焦点。现在主流的流派大概有这么几种：
1.拥黛抑钗：大体认为黛玉真而宝钗伪，黛玉直而宝钗曲，黛玉亲而宝钗疏，黛玉热而宝钗冷，黛玉的身世、结局令人痛惜落泪，而宝钗的背景与婚姻上的胜利，叫人不服气、不痛快、不平衡。
2.拥钗抑黛：大体认为宝钗宽厚而黛玉促狭，宝钗身心都比较健康而黛玉颇多病态，宝钗令人愉快而黛玉平添烦恼，宝钗能做贤妻良母而黛玉不能等。
3.钗黛二元论：大体认为，读小说自喜黛玉，实际生活中宁喜宝钗；搞恋爱自盼黛玉，讨老婆还须宝钗；掉眼泪自为黛玉，鼓掌喝彩还向宝钗。
4.钗黛一元论：以俞平伯先生为代表，认为作者之写钗黛，是从不同角度去分写他的意中人，将二者结合起来，便是作者理想中的兼美。
小组看法中也是各执一词。我是个很现实的人，我支持第二种拥钗派。
我的看法：
如果宝钗真是“城府颇深，能笼络人心”，她何以会落到如此最终孤独终老的结局呢？
曾有脂评曰“在宝卿有生不屑为此，在黛卿实不足一为”。在我看来，对弱者真切的同情，这才是宝钗行事的真正风格，也是她最终结局的本质原因。
在脂评本的后三十回佚稿中，周汝昌从脂砚斋的评语中可以推断：宝玉最后在宝钗的引导下出家为僧。宝钗为此牺牲了自已的尘世幸福，付出了半世孤凄的代价。但她却并无怨言，因为帮助宝玉解决精神之苦，在她看来，也许也是自己不能推卸的责任与使命。就像她悄悄帮湘云准备开诗社，帮邢岫烟赎回当铺的衣裳，帮母亲做女红一般。如果说她仅仅是为了赚取一个“贤惠”的好名声，就如此这般屡屡做一些利人而于己无益的事，我觉得是说不通的，更何况在客观上她也确实帮助了弱者并且并未求得回报。这就是脂批所提示的“历着炎凉，知著甘苦，虽离别亦能自安，故名曰冷香丸。又以谓香可冷得，天下一切无不可冷者”。
也许由于自小便要体贴母亲、分担家事，宝钗对于释道的“出世”思想的理解非一般人可比。从宝钗解读《寄生草》便引出宝玉一段痴语，便可知宝钗对宝玉思想意志层面的影响，其深度和重要性，远远超过了黛玉。
二、课堂讨论补充看法
老师看法：林黛玉对于爱情的追求是纯粹的，她始终和宝玉站在一个层面。而这只是浅层次的追求个性解放，一如《伤逝》，没有经济基础的爱情是没有结果的。薛宝钗的追求，非婚非恋，她追求的是个体的意识觉醒，所以在大观园中，她一直是个“姐姐”，始终看透着人生，引领着众姊妹。
同学看法：薛宝钗的屋子“如雪洞一般”，不爱“花儿、粉儿”，抽签又抽到“任是无情也动人”。她也确实是个冰人，虽看她帮助别人，但始终有种冷冰冰的距离感。
我的看法：第28回，面对元春的特别恩赏，宝钗居然“心里越发没意思起来”，反过来竟以宝玉被黛玉缠住为幸。我觉得这就是一种蔑视世俗权威的态度。李纨说宝钗的诗“端庄敦厚”，显得“有身份”。像《白海棠咏》“胭脂洗出秋阶影，冰雪招来露砌魂”（第37回），《镂檀锲梓》谜：“虽是半天风雨过，何曾闻得梵铃声”（第50回）等等，均带有一种高人隐者讽时骂世，以洁身自好的意味。这种孤高愤世这也就是脂砚斋所说的“宝钗诗全是看成写身份，讽刺时事”。
三、课后完善思考与结论
薛宝钗身上所体现的是一种理性的、冷静到近乎冷峻的自我控制的精神。诚于中而形于外，薛宝钗的表现堪称是封建妇女典范的化身：进退有据，刚柔得度，行止得体，藏用俱时。这实是一种政治家的素质，能令人联想到范蠡、张良、萧何、而远远高明过伍子胥、韩信之辈。
薛宝钗之“伪”也确乎存在，“一问摇头三不知”。一如刘备，宽厚近伪，表现得越是理想越是要被斥为虚伪、被讥为刁买人心。与林黛玉的真性情全然不同，拥林派声称“我不相信”完全正确，而且旁人难以为薛宝钗辩护。
可是，从另一个角度来说，人心真伪难辨，也许表现得越完美越理想越是让人难以接受。老子云：“天下皆知美之为美，斯恶矣；皆知善之为善，斯不善矣”。宝钗的超人般的城府、冷静，也确实让人感到疏离、反感乃至毛骨悚然。
但是我们又不得不承认：在社会生活中，在哪怕是夫妻、父子、兄弟这样的至亲骨肉之间，如果想怎样就怎样，那么社会关系与人际关系就很难有长久的平稳与和谐。同时我们还会斥责这种真性情为“自我中心”。
包括作为对比来写的林黛玉，也不是全无薛宝钗精神：林妹妹初进贾府，她不是也连每饭后必过片时方喝茶的习惯规矩都改过来了吗？当因为引用了不该引用的“闲书”上的语词并因此受宝姐姐的教育帮助的时候，她不也是虚心接受而衷心感激的吗？
薛宝钗深藏人性，可我们却不能不承认，正如任性是人性的某种表现形式一样，含蓄、克制、冷静计算，乃至为了某种目的与要求而压抑牺牲自己也是人性的一种表现。正因为人之为人的多样性，我们才会有这样丰富的心灵。
我曾经那么激烈地拥戴宝钗。而如今，我只想说，给薛宝钗们一点生存空间，也给彼此一点生存空间，认可生活中那些与人无害的人性表现。
在这个案例中可以看到，给予学生阅读思维的空间，给他们一滴水，他们可以回馈我们一片海洋。按照《批判性思维工具》一书中提供的针对语言、历史等人文性学科的“思维能力检测指南”检测，学生的这份阅读思考报告，可以得到如下评价：
思维目标部分：
1.弄清了基本的论证目标：具有批判性地看待薛宝钗的性格特征。
2.经过课堂讨论，对于薛宝钗的认识有了进一步的深入思考，不仅仅是固守观点。
发现问题部分：
1.弄清了主要问题：并非是为某个人物辩护，而要发现这个人物的人性价值与社会价值。
2.有相关性和分层分析：从薛宝钗自身、从宝钗与宝玉的关系、从宝钗与众姐妹的关系。
反思观点部分：
1.自我观点表达清晰。
2.有对同伴（包括同学与老师）观点的引用与思考。
3.有对文本自身、相关论述观点的引用于思考。
使用论据部分：
立足于文本的细节对人物性格和命运进行分析，对于引用的观点和论据做出了一定思辨性分析。
概念界定部分：
对于核心人物“宝钗”以及性格有清楚定义。对概念有经过思考的表达，清晰、公正，并具有关联性。
得出结论部分：
结论清楚并对未来具有一定的启发性。
这个案例让我们看到学生如何在对文本、对资料、对同伴的思考与解读中得出自己对人物、对文本、对人生、对社会的个性解读，从而获得属于自己的结论性知识。观点深刻而不偏颇，见解独到而不孤僻，这样的课堂思考成果，远非一句“薛宝钗是一个性格复杂的人物”可比。《基于培养学生思维品质的高中语文网状拓扑式课堂研究》这一课题值得我们不断地去探究，网状拓扑式课堂可以激活学生不一样的思维过程和成果。
拓扑优化分析 第5篇
航空、航天以及热动力机械需要满足一定的散热要求以保证关键零部件的正常工作。通过设计结构的拓扑形式,将输入的热量迅速有效地导入到散热部位,可以有效提高结构的散热性能。国内外已有很多学者对这类热传导结构优化问题进行了研究。Li等[1,2]基于ESO(evolutionary structural optimization)方法,以结构指定点处的温度最低为目标,通过删除或弱化具有负灵敏度值的单元,得到了稳态热传导下的结构拓扑。Gersborg-Hansen等[3]将有限体积法运用到稳态热传导优化问题的求解中,并以散热弱度为目标,获得了最优的散热结构形式。Gao等[4]以散热弱度为目标函数,同时在优化问题的求解中考虑了热载荷的拓扑相关性,并分析了载荷拓扑相关性引入优化问题进行计算的必要性。Zhang等[5]基于拓扑优化方法研究了体-点问题的导热通道优化设计,并与仿生优化的结果进行了比较。左孔天等[6]以最小化散热弱度为目标,基于SIMP( solid isotropic material with penalization)材料插值模型,研究了不同初始边界条件下具有最佳散热效果的传热结构拓扑。李家春等[7]基于PAMP(rational approximation of material properties)模型和准则法求解了稳态热传导结构拓扑优化问题。龙凯等[8,9]将ICM (independent continuous mapping)法推广到稳态热传导结构拓扑优化问题中,讨论了单元总热能、节点温度、区域内节点温度平方和三种性能指标下的材料分布,并研究了多工况下的稳态热传导拓扑优化问题。然而,某些实际结构如取暖器或者电子器件,往往希望结构内温度能够均匀分布。但现有研究中常用的如基于结构总热能的散热弱度最小化或者给定节点处的温度最小化等散热指标只能在一定程度上近似描述温度均匀分布,不能准确描述这一类问题。事实上,总能量一定的条件下,温度均匀分布与最高温度最低具有类似的效果。
本文基于正则化的Heaviside函数[10]光滑设计变量,以设计域内温度分布均匀化为目标建立稳态热传导拓扑优化模型,同时考虑结构内热载荷的拓扑相关性,研究稳态热传导下的拓扑优化问题,推导目标函数的灵敏度表达式,并对数值算例进行分析。
1 优化模型
与连续体结构应力和位移场的拓扑优化分析类似,稳态热传导下的结构拓扑优化问题其实质也是一种0/1变量的组合优化问题(0表示绝热材料或者低热导率材料,1表示高热导率材料),即研究在一定设计域内,高热导率材料的最优分布问题。由于拓扑优化的设计变量较多,0/1整型规划问题难以求解且效率极低,因此通常将设计变量的取值放松到[0,1]区间,以便采用基于连续变量的导数优化算法。然而设计变量的连续化将导致最优拓扑中出现介于0~1之间密度值的材料,我们通常采用惩罚中间密度方法解决,常用的有SIMP方法[11]和RAMP方法[12]。本文采用Guest等[10]提出的正则化的Heaviside函数压缩中间密度材料。
采用正则化的Heaviside函数表示的材料密度和结构热导率的插值表达式为
式中,ki为插值之后的单元i的热导率;kmin、k0分别为低热导率材料和高热导率材料的热导率;ρi为单元i中高热导率材料的密度,即高热导率材料的存在状态;β为控制参数。
当β=0时,材料密度和材料热导率之间为线性插值;当β→∞时,插值函数变为Heaviside函数,即
与SIMP和RAMP方法相比,正则化的Heaviside函数作为材料插值函数可以获得接近0/1的清晰拓扑。实际计算中,β通常取一个比较大的数。
本文采用设计域内温度方差最小化作为目标来描述结构中温度均匀分布的程度,以高热导率材料的用量为约束,在给定边界条件下,建立稳态热传导问题的拓扑优化模型。
拓扑优化的数学模型为
式中,T为节点温度列阵;为节点平均温度;ti为第i个节点的温度值;n为设计域内节点的个数;K为热传导矩阵;P为热载荷向量;V为高热导率材料体积;vi为单元体积;V0为设计域体积;Vf为给定高热导率材料体积分数比;N为设计域中单元的个数。
由于考虑了热载荷的拓扑相关性,若采用不等式的体积约束,将会出现单元内无高热导率材料、各节点温度为零、目标函数值最小的情况[4],然而实际应用中高热导率材料必须具有一定用量,因此此处采用等式的体积约束来避免出现单元密度为零的情况发生。为了避免有限元方程求解过程中热传导矩阵的奇异性,单元密度下限给定一个小量ρ,ρ=0.001。
热载荷主要由设计区域中的分布热源引起。以往考虑分布热源的热传导结构拓扑优化研究中,高热导率材料的删除并不改变结构内热载荷的分布,这种处理方法的实质是以分布生热材料为基体材料,在此基体材料之上研究散热材料的分布形式。此时,热载荷向量P为常向量,与设计无关。当高热导率材料具有生热材料和散热材料双重功能时,高热导率材料的删减不仅影响结构的传热性能,同时引起热源的变化,因此,对于该类热传导拓扑优化问题,前面的处理方法将不能适用。必须在建立拓扑优化模型中考虑热载荷的拓扑相关性。本文建立的优化模型(式(3))中的载荷列向量P考虑了高热导率材料的影响。也就是说,P为拓扑相关热载荷列向量,是关于设计变量(单元材料相对密度)的函数。对于四节点双线性单元,第i个单元第j号节点的热载荷为
式中,Q为结构内部的热源密度。
优化问题采用移动渐近线方法(the method of moving asymptotes,MMA)[13]求解。
2 灵敏度分析
将式(3)中的目标函数表达式对设计变量ρi求偏导:
若令,其中L为n×n的矩阵,矩阵中元素值均为1,即
则式(5)可以表示为
由热平衡方程KT=P可得
将式(7)代入式(6)中,并整理可得
3 拓扑优化流程
基于正则化的Heaviside函数,同时考虑热载荷的拓扑相关性,稳态热传导结构拓扑优化的计算流程如图1所示。
4 算例与分析
4.1 算例1
考虑一个二维平面结构的稳态热传导拓扑优化问题,结构尺寸和边界条件如图2所示,结构四周边界给定温度为0。高热导率材料和低热导率材料的热导率分别为k0=1.0、kmin=0.001,热源密度Q=1.0。这里各物理量均采用量纲一单位。正则化的Heaviside函数中控制参数β=500。给定高热导率材料体积分数比Vf为0.5。采用80×80个四节点单元离散设计域。最优拓扑如图3a所示。由图3a可见,高热导率材料沿等温线分布在散热边界,这种材料分布方式一方面可保证高热导率材料拓扑内边界上各节点温度接近,从而使结构内部低热导率材料区域的温度均匀分布,极大地降低了设计域内的温度方差,有效提高了结构内的温度均匀分布状况(最优拓扑的温度分布云图3b也证实了这一点,这说明了本文提出的目标函数及灵敏度求解的正确性和有效性),且采用Heaviside插值函数获得了清晰的0/1拓扑,便于实际结构的制造;另一方面由于高热导率材料分布在散热边界,因此改善了结构的整体散热性能。
同样的优化问题,如果采用结构散热弱度(TTKT)最小化为优化目标,则最优的结构拓扑如图4a所示,拓扑形式与文献[4]中的结果一致,高热导率材料完全沿散热边界分布。最优结构内温度方差为305.64,与本文提出的以温度方差作为目标函数的最优方差值17.13相比,数值上前者大约是后者的18倍。且采用散热弱度为目标函数时,最优结构内最高温度为0.753,如图4b所示,结构中心点处的温度最高,而采用温度方差时,最高温度仅为0.188,高温区分布在结构的4个角落。就最高温度而言,前者高于后者近3倍。说明采用本文提出的目标函数不但可以获得较均匀的温度分布,而且可以有效降低结构内的最高温度。
4.2 算例2
结构尺寸同算例1,边界条件为设计域4个角点的温度为0。高热导率材料和低热导率材料的热导率分别为k0=1.0、kmin=0.001,热源密度Q=0.1。给定高热导率材料体积分数比Vf为0.5。同样采用80×80个四节点单元离散设计域。最优拓扑和温度分布云图如图5所示。最优结构内温度方差为11.99,最高温度为0.654。如果采用散热弱度最小化为目标,最优结构拓扑和温度分布云图如图6所示,其最优结构内的温度方差为15.77,最高温度为0.701。这一结果再次验证了本文提出的目标函数对于获得均匀温度分布的结构以及降低结构内最高温度的有效性和合理性。
5 结束语
本文研究了稳态热传导结构拓扑优化问题,并考虑了热源引起的热载荷的拓扑相关性(拓扑变化引起内部热源的变化)。提出了一种新的目标函数,即将设计域内温度方差最小化作为目标来评价结构内温度的均匀分布状况,以高热导率材料用量为约束,建立了稳态热传导拓扑优化数学模型。采用正则化的Heaviside函数建立材料插值模型,并推导了目标函数的灵敏度表达式。数值算例分析了不同边界条件下的结构最优拓扑,获得了清晰的0/1结果,并与采用散热弱度最小化为优化目标的结果进行了比较。研究表明了本文所提出的目标函数和优化求解方法对于改善结构内温度分布以及降低最高温度的有效性,为实际结构改善热性能提供了依据,具有一定的应用价值。
汽车座椅骨架的拓扑优化研究 第6篇
关键词：汽车座椅,轻量化,拓扑优化,有限元
0 引言
小型化、轻量化、模块化、电子化、系列化、自动化、智能化及个性化是2000年以来整车发展的趋势, 实现汽车轻量化意味着节约材料及燃油。而使用汽车、制造汽车及原材料的提炼的燃油比例大约为85∶5∶10, 据调查显示, 当汽车质量每减少100 kg, 可以节省油0.2 L/100 km~0.3 L/100 km[1], 在资源越来越贫乏的今天, 节省燃油刻不容缓。因此, 各国的汽车制造商们都想方设法地减轻汽车质量。
汽车座椅是联系车与人的重要部件, 汽车座椅骨架又是汽车座椅的主要承载结构, 其结构的好坏既影响乘坐者乘坐的舒适性也影响到座椅的寿命。当今汽车制造业的发展日趋成熟, 座椅的制造技术也在不断发展, 这就要求在设计汽车座椅时, 需要尽可能地减轻汽车质量, 同时还要满足座椅骨架的强度、刚度及工艺改造等因素要求, 所以对汽车座椅骨架的结构设计具有重要的意义。
汽车轻量化的一种方法是结构的优化设计。结构优化是指在满足给定的条件下, 寻找给定目标函数的极大值或者极小值的过程。结构优化根据设计变量的不同, 分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化。而结构的拓扑优化是指在给定的外载荷和边界条件下, 在满足约束的前提下通过改变结构拓扑使结构性能达到最优。相对尺寸优化、形状优化而言, 结构拓扑优化的经济效益更为突出, 因此在优化设计中产生新构型是结构实现智能自动化设计所必不可少的条件。
拓扑优化理论最早是在桁架等离散结构上应用, 比较好地解决了这些简单的问题, 但是不能很好地解决连续体结构的拓扑优化。后经有关科研人员的艰苦探索和不懈努力, 提出了均匀法、变厚度法、变密度法等解决连续体结构拓扑优化的新方法[2]。
本研究主要应用拓扑优化方法, 以人体压力分布为约束条件, 对坐垫进行结构优化;根据镁合金材料特点及加工特点修改座椅模型;再对调整后的座椅进行静力学分析, 检测其是否满足汽车座椅的要求。
1 拓扑优化数学模型
拓扑优化中的均匀化优化方法, 其基本思想是在拓扑优化中引入所谓微结构, 该方法以孔洞尺寸为设计变量, 以孔洞尺寸的消长实现微结构的增删, 从而改变结构拓扑。4种微结构形式如图1所示。
Bendsoe给出了以结构柔度最小为目标的拓扑优化模型:
min C;
式中:ai—微结构中正方形孔的边长, C—结构柔度, V—结构实际体积, Vmax—给定的结构最大体积。
有限元中拓扑优化方法应用拓扑优化方法中的均匀化优化方法[3,4]。
2 汽车座椅骨架轻量化研究
2.1 座椅结构优化流程的制定
汽车座椅的轻量化设计就是在保证座椅骨架结构性能要求和可制造性的前提下, 应用优化设计的方法, 减少多余的材料, 提高材料的利用率, 以达到骨架结构轻量化的目的。因此, 本研究制定相关的设计流程结构图来提高座椅的设计效率, 流程图如图2所示。轻量化的另一种方法是在满足力学性能的要求下选用轻质材料, 本研究中的骨架选用镁合金材料, 材料参数如表1所示。
2.2 座椅骨架的建模及其有限元分析
汽车座椅对舒适性影响很大, 世界各国有关厂家都运用人机工程学原理来设计和研究开发座椅。其中要充分考虑人体尺寸、人体重量、乘坐姿态和体压等因素。
根据人机工程学设计座椅时, 其各部分与人体要有紧密的贴合感, 由于坐骨粗壮, 其周围肌肉要承受很大的压力, 大腿底部有神经系统和大血管, 压力过大时神经传导会感到不适, 还会影响血液循环。本研究按照臀部不同部位不同压力的原则来分布坐垫上的压力:即坐骨处压力最大, 向四周逐渐减小, 到大腿部位的压力降到最小值。腰锥在承受人的上体全部质量的同时, 还要承受因人体运动的弯腰等活动, 使腰曲超出正常脊柱生理弧型, 从而产生腰曲变形。所以, 腰椎部分最易受到损伤, 腰曲变形严重。在座椅的设计时, 主要考虑两个方面:首先为了减轻颈椎的压力, 要设计肩靠, 大约在人的第五和第六颈椎的地方;其次就是腰靠, 支撑腰部, 减小因弯腰驾驶产生的疲惫感, 就像靠枕一样, 垫在腰部, 让驾驶员可以轻松驾驶。
根据汽车设计对人体的布置和舒适坐姿要求, 不仅要进行座椅布置, 还要进行座椅和操纵装置相对位置的确定;按照坐姿舒适性选择座椅坐垫座深、座宽、高度、以及坐垫倾角、靠背和坐垫夹角与靠背的高;确定方向盘与座椅、加速踏板与座椅的及操纵装置与座椅的相对位置, 同时还要确定座椅的水平和垂直调节量。
最后再根据镁合金材料特点, 应用Pro/E建立实体装配模型如图3所示。其中, 座椅坐垫的长、宽、高;靠背的长、宽尺寸以及坐垫与靠背倾角如表2所示。
2.3 座椅拓扑优化设计
本研究主要是应用ANSYS对座椅坐垫进行优化设计, 因此需将Pro/E模型导入ANSYS中, 对其进行数据合并等处理。对坐垫进行优化时, 笔者先将坐垫简化并进行网格划分, 设置单元尺寸为10 mm, 单元类型为六面体单元, 模型总结点数12 584, 单元数为7500。座椅的工况以压力为主, 约束位置为左、右两侧。
ANSYS中的拓扑优化模块与传统的优化设计不同, 拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义[6,7], 目标函数、状态变量和设计变量都是预定义好的, 用户只要给出结构参数 (材料特性、模型、载荷等) 。在满足V=60 (也就是满足最大刚度准则要求的的情况下省去60%的材料) 的条件下, 根据表1设定座椅的材料属性, 坐垫边框设为不优化区域, 约束条件为所承受人体载荷。指人体与座椅之间的压力分布, 是影响乘坐舒适性的重要因素。在人就坐时, 约80%的身体重量经过臀部、背部隆起部分及其附着的肌肉压在座椅面上, 因此坐姿的体压分布同时也是设计座椅结构的重要因素之一。座椅压力分布如图4所示。本研究设定省去材料60%, 载荷工步数为4, 迭代次数30次, 进行拓扑优化, 得到结果如图5所示。图5中, 浅灰色为保留材料, 深灰色为去除的材料, 从结果中看出, 保留区域与座椅压力载荷的分布基本一致, 压力值大的地方, 是优化结果中保留最多的部分。
2.4 基于拓扑优化的新座椅坐垫设计
拓扑优化的结果确定座椅坐垫的结构造型。由于该坐垫是镁合金M60压铸件, 设计压铸件时, 不仅要考虑其工作功能和力学性能的要求, 还要考虑合金铸造性能、铸造工艺对铸造结构[8]的要求。铸造结构设计是否合理, 对铸件质量、生产率和制造成本都有很大的影响。
采用压铸的加工方法时, 在结构设计中, 薄壁及均匀壁厚是压铸工艺中基本的设计原则。本研究所选用的材料镁合金流动性好, 用来压铸薄壁件时就不会出现热裂和浇不足等问题。拓扑优化后的坐垫壁厚均匀。一般来说, 镁合金的正常压铸壁厚为2 mm~4 mm。在无需特殊加工的条件下, 可压铸壁厚最小可达0.635 mm的薄壁压铸件[9]。经过拓扑优化后的坐垫厚度为10 mm, 综合座椅结构及根镁合金压铸件要求的壁厚, 定为4 mm。在使用压铸方法加工产品时, 容易出现应力集中、裂纹等缺陷, 因此, 设计压铸件的过渡方法是选用圆弧渐变过渡。而衔接处的圆角半径应该尽量选用准许范围内的最大值, 其最小也不能小于压铸件的最小壁厚。
在使用压铸方法加工产品时, 容易出现应力集中、裂纹等缺陷, 因此, 设计压铸件的过渡方法是选用圆弧渐变过渡。而衔接处的圆角半径应该尽量选用准许范围内的最大值, 其最小也不能小于压铸件的最小壁厚。
通常推荐脱模斜度一般是2°~5°, 也可见斜度为1°~3°的设计。镁合金有优良的热收缩特性, 而与铁的亲和度较低, 因此有时可采用零拔模斜度。在型芯和壁设定时, 较小的脱模斜度能使压铸件重量大幅度地减轻。因此坐垫在设计时选用零拔模斜度。
分型线选择时, 为了防止侧凹产生, 简化模具制造过程及降低成本, 在设计孔时, 应该合理设置加工余量、其直径与深度比等。本研究中座椅坐垫有孔的设计, 孔比较大, 坐垫厚度较小, 这方面的问题不大。
在压铸件加工完时, 需要推杆将压铸件顶出, 所以设计时还要规定浇口位置, 将推杆的位置预留出来。
根据镁合金压铸件的设计原则、压铸的工艺特点以及对坐垫拓扑优化的结果, 修改后的座椅坐垫模型如图6所示, 应用Pro/E装配座椅整体结构如图7所示。
3 优化后座椅结构静力学分析
本研究将优化后的模型导入ANSYS, 导入后需要重合的点、线、面、体先用Merge Item合并[10], 来减少单元的数量。座椅骨架基本上由板及管构成, 只承受弯曲应力和剪切应力, 因此笔者选取Solid单元, 大多数座椅骨架为焊接而成的, 实体单元之间就需要刚性连接, 此时选用刚性单元。本研究选用六面体和四面体对优化后的座椅骨架进行网格划分。
3.1 新座椅进行总成静强度分析
边界条件的确定:对座椅分析模型的加载方式和固定方式, 要根据具体的材料性能、安装和固定方式而定。对于该座椅而言, 轿车驾驶员座椅, 座椅骨架坐垫后两端及前端面支撑。其他位置没有与车身钣金相连, 在分析计算模型中, 对这4个安装固定点而言, 笔者采取假定螺栓不破坏的形式, 直接采用rigid连接方式约束。
座椅的重心是 (87, 0, -88) , 坐标中心在座椅的铰链中心。座椅骨架质量为6.22 g, 因此将1 217.16 N的的力向前、向后分别作用到质心处[11], 质心位置如图8所示。
仿真结果的分析:在座椅总成质心处水平向前、水平向后对其施加20倍座椅总成质量的载荷, 最大位移出现在靠背横杆处, 最大位移为7.7×10-8mm (重力仿真位移变形图如图9所示) , 应力最大的区域出现在坐垫连接螺栓上, 数值为72.03 Pa (重力应力图如图10所示) , 而其材料为St12 (参数如表1所示) , 没有超过极限值, 满足要求。
3.2 新座椅的靠背静强度仿真
边界条件的确定:进行座椅靠背静强度仿真分析时, 座椅是通过滑轨与车身地板连接, 约束方式与进行座椅总成静强度仿真时的约束方式相同, 而力的加载方式则不同。该模型加力点选择在座椅靠背的横管上。对座椅R点加载530 N·m的力矩时相当于在用座椅靠背横梁上的加载的大小为2 586.4 N的力。
仿真结果的分析:当对座椅R点加载530 N·m的力矩时, 作用在座椅靠背横管上的力的大小应为2 586.4 N, 应力图如图11所示, 最大应力为8.5×10-8Pa, 材料为St12 (参见表1所示) , 满足要求。座椅的位移量不大, 座椅总成基本没有位移。通过对座椅在承受相对于座椅H点373 N·m的载荷时的应力和位移仿真分析, 可以看到该镁合金汽车座椅强度完全符合国家标准的要求, 并留有余量。加载该载荷时, 头枕的位移量为46 mm, 在102 mm的范围内。
4 结束语
本研究根据人体压力分布对汽车座椅骨架进行拓扑优化设计, 同时考虑材料加工工艺对座椅进行模型修改, 从而得到符合制造工艺要求的汽车座椅骨架结构。通过对汽车座椅轻量化设计, 优化后的汽车座椅骨架比优化前的座椅减重20%, 优化后的座椅骨架也满足座椅的静力学要求, 从而验证了拓扑优化用于汽车座椅的可行性, 同时得到了新的座椅骨架。
后续研究中, 笔者将对座椅整体骨架进行拓扑优化, 同时增加动力学分析, 以期更真实地反映实际工作状态。
本文引用格式:
王淑芬, 胡文文, 李玉光, 等.汽车座椅骨架的拓扑优化研究[J].机电工程, 2014, 31 (9) :1149-1153.
WANG Shu-fen, HU Wen-wen, LI Yu-guang, et al.Topology optimization design of the car seat frame[J].Journal of Mechanical&Electrical Engineering, 2014, 31 (9) :1149-1153.
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支撑结构多目标拓扑优化设计研究 第7篇
支撑结构是一个复杂组合结构,承受着被支撑物的所有动态载荷和静态载荷,其结构的设计对于整个装置的性能起着重要的作用。支撑结构在传统设计中,没有考虑结构在运行过程中载荷与约束的变化,并且为保证其安全性,设计的结构刚度、强度有较大富余,这样浪费了材料,增加了整体重量。为了改进设计方法,得到更优的结构形式,在综合考虑多工况的基础上进行了多目标的结构优化设计,在确保支撑结构强度、刚度的前提下,使得结构轻量化,达到减少材料用量,降低制造成本的目的。
结构优化设计有设计变量、约束条件和目标函数三要素。根据设计变量的不同,可分为尺寸优化设计、形状优化设计和拓扑优化设计三个层次,尺寸优化是选取结构元件的几何尺寸作为设计变量;形状优化是选取结构的几何特征作为设计变量;而拓扑优化则是选取结构的相对密度作为设计变量。优化的层次越高,优化工作越难。Mlejnek等[1]从工程角度出发提出了结构材料密度的幂次惩罚模型,通过在0~1离散结构优化问题中引入连续设计变量,并加入中间密度惩罚项,从而将离散结构优化问题转换为连续结构优化问题,这一方法构成了后来密度法材料插值模型的基础。Sigmund[2]对密度法材料插值模型进行了深入研究,从理论上研究了各种不同的密度法材料插值方法,提出了一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的变密度法材料密度插值理论,又称为SIMP理论。隋允康等[3]提出了一种独立连续映射模型方法,成功解决了多工况应力与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题,并尝试将此方法推广到连续体结构拓扑优化中,研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化问题。本文以支撑结构为对象,通过建立优化设计的数学模型,研究了多工况下结构材料的最优布局和结构固有频率最大化的优化问题。
1 基于变密度法的拓扑优化数学模型
1.1 基于变密度法材料插值模型
变密度法是从均匀化方法[4]发展而来的,它定义了一个经验公式来表达每个单元的弹性模量与密度之间假定的函数关系,将材料的相对密度作为设计变量,结构的拓扑优化问题就转换为材料的分布问题。变密度法[5]通过引入惩罚因子,假想一种相对密度在0~1之间可变的材料,并在材料的弹性模量和单元相对密度之间建立起显式的非线性函数关系,当设计变量在(0,1)之间时,对中间密度值进行惩罚,使中间密度值逐渐向0/1两端聚集,将密度值趋近0的密度单元忽略,密度值趋于1的单元保留。
材料插值模型的惩罚函数定义为
Ei(x)=xpE0 (1)
0<xmin≤x<1
式中,Ei(x)为第i个单元的密度;E0为单元满材料时的弹性模量;x为材料的相对密度;p为惩罚因子。
1.2 拓扑优化数学模型
在一定材料用量条件下,以密度函数来寻找最大刚度的结构材料最佳分布形式,以结构应变能为目标函数,体积为约束,相对密度为变量,基于变密度法的优化数学模型为
式中,x为设计变量,即式(1)中的材料相对密度;n为设计域中有限单元个数;C(x)为目标函数,表示结构的柔顺度;K为结构的总体刚度矩阵;U为结构的总体位移向量;F为结构所受的载荷向量;V为结构优化后的体积;vi为结构单元体积;p0为给定材料用量比率;V0为初始结构体积;V*为体积上限;xmin为最小相对密度。
1.3 多工况应变能拓扑优化函数
通过对式(2)的迭代,得到结构在体积约束下某单工况载荷作用下产生的最小静态应变能,结构的静态应变能C可以通过下式表示[6]:
C=UTK·U=∫εTσdV (3)
可以认为应变能是结构刚度的倒数,当载荷给定后,结构的应变能越小则表示系统的刚度越大。应变能必须与静态子工况相关。当结构工作于多工况载荷时,每一个工况将对应一个刚度的最优结构拓扑,不同的载荷工况将得到不同的结构拓扑。因此,多工况拓扑优化问题属于多目标拓扑优化问题。用折中规划法[7]来研究多目标优化问题,构建的多工况拓扑优化目标函数为
式中,m为工况数;wk为第k个工况的权重;Ck(x)为第k个工况的子应变能优化目标函数;C
1.4 多目标下的目标函数
多目标优化问题的目标函数[8]是一个由子目标构成的向量,用刚度和频率两个子目标作为优化主体,以体积作为约束,得到的多目标优化目标函数:
式中,Λ(x)为设置的第一阶固有频率优化变量;Λmax为单独对第一阶固有频率优化得到的最大值;Λmin为对优化前的原模型进行分析得出的最小值。
2 模型算法与流程
2.1 子目标权重
分析层级法采用配对比较的方法,不同时比较所有的子目标,而是将子目标两两比较,形成配对比较矩阵。
本文中有四个子目标(三个刚度子目标A1、A2、A3和一个频率子目标A4)的多目标优化问题,假设这四个子目标的重要性权重分别为α1、α2、α3、α4。先比较出各个子目标重要性权重的两两相互比值,然后以这些比值作为元素,建立配对比较矩阵:
其中,矩阵A的元素aij(i,j=1,2,3,4)即为子目标Ai对Aj的重要性比重的比值。可以发现,此比较矩阵是一对称矩阵,对角线元素全为1,且此矩阵中的元素不具有一致性,即aik=αi/αk≠(αi/αj)·(αj/αk),这种不一致性更加符合实际情况,且对主观重要性的测量有“校调”作用。
将配对比较矩阵A右乘一个由所有子目标重要性权重值组成的向量α=(α1,α2,α3,α4)T,则有:
Aα=λα⇒(A-λI)α=0
由上式可知,所有子目标重要性比重值所组成的向量α即是矩阵A的特征向量,求出此矩阵最大特征值对应的特征向量,就是所要求的各子目标的重要性的权重。
设三个刚度子目标A1、A2、A3和频率子目标A4相互间两两比值分别为
a12=0.33 a13=0.5 a14=0.5,
a23=2 a24=0.5 a34=0.5
则配对比较矩阵为
求出的矩阵最大特征值为λmax=4.14,对应的特征向量为α=(0.22,0.55,0.34,0.72)T,此特征值即为四个子目标重要性的权重值。
2.2 结构拓扑优化迭代过程
在建立的材料插值模型基础上,基于优化准则法的结构拓扑优化求解流程如图1所示。
3 实例研究
以某俯仰装置支撑结构为对象,初始结构如图2所示,上板长1300mm,宽1000mm,厚40mm,侧板厚20mm,结构材料为Q235钢。
3.1 边界条件
俯仰装置在一个运动周期内是一个动态的过程,受到动态载荷的作用。本文分析俯仰运动中三个典型工况,通过动力学软件提取载荷的最大值,作为静态载荷加载在结构上,进行静态应变能工况优化。三个工况分别是支架水平0°、俯仰75°、俯仰37°。三个工况的载荷和约束情况如表1、图3所示。
3.2 有限元模型的建立及分析结果
利用HyperWorks10.0软件的Hypermesh前处理模块进行有限元处理,然后在OptiStruct优化模块环境下进行优化。根据支撑结构的板结构特点,将板壳结构通过抽取中面成为面单元,然后对面单元赋予厚度属性,这样可以提高计算结果精度和运算速度。
表2为优化前后的结果性能指标,图4所示为多目标评价函数的迭代历程,图5所示为结构拓扑优化结果。
4 结论
(1)经过拓扑优化,结构在三个工况下的静态应变能都得到了降低,对应的刚度得到了提升,一阶固有频率得到了提升,更加远离了共振频率区。
(2)采用多目标的拓扑优化方法,能从多个角度较为全面地考虑结构的工作状态,有效降低单一工况优化造成的设计风险。
(3)结构多目标拓扑优化方法适用于板壳类结构的优化设计,具有一定的工程应用价值。
摘要：以支撑结构为对象,研究了多工况下结构材料的最优布局和结构固有频率最大化的多目标优化问题。在基于变密度连续体结构拓扑优化方法的基础上,采用折中规划法研究多工况下多目标优化函数问题,建立了支撑结构的拓扑优化模型,利用分析层级法确定了各子目标的权重,进行了多目标拓扑优化,得到了材料的优化布局方案,减轻了结构质量,提高了结构固有频率。研究表明拓扑优化方法适用于板壳类结构的优化设计。
关键词：支撑结构,拓扑优化设计,多目标优化,折中规划,分析层级法
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拓扑优化分析 第8篇
拓扑优化是在一个确定的连续区域内寻求满足设计约束的最优拓扑结构。其主要思想是将寻求结构的最优拓扑结构问题转化为在给定的设计区域内寻求最优材料的分布问题。
近些年来,各种连续体结构拓扑优化方法不断出现,有影响的主要方法包括均匀化方法、变密度法、渐进结构优化法(ESO)、水平集法以及进化法等。
进化法是一类全局寻优方法,通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构。目前用于拓扑优化的进化法主要有遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。进化法采用编码技术和遗传操作以及优胜劣汰的自然选择策略来实现优化问题的求解。其优化机制决定它的优化求解过程不受数学模型本身的复杂性影响,而只受解对优化目标的适应度影响,这使得进化算法具有非常好的全局优化性能。
在基于进化法的拓扑优化算法中,遗传算法是应用最广泛的方法。Jakiela等[1]和Hamda等[2]已经证明了基于遗传算法的拓扑优化设计能求出更优的解。但在基于遗传算法的拓扑优化解中,容易出现孤立单元和棋盘格等数值不稳定现象[3,4,5,6,7],数值不稳定现象直接影响了算法的求解效率。针对这种情况,本文提出了一种基于Memetic算法的拓扑优化方法。Moscato等[8]在1992 年正式提出了Memetic 算法。Memetic 算法在遗传算法的全局进化搜索策略中加入了局部搜索策略。即对每个交叉和变异等进化操作产生的个体,再用邻接熵过滤方法对个体进行局部搜索。这样的混合搜索策略继承了遗传算法的优点,又能有效过滤孤立单元和棋盘格现象,克服了其搜索速度慢、迭代次数多的不足。它的搜索效率比传统遗传算法快几个数量级。
1 拓扑优化问题描述
拓扑优化设计的目的是确定设计域中材料的最优分布。拓扑优化设计的数学模型可以表达如下:
find: x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn
minimize: f(x)
subject to: gi(x)≤0,i=1,2,…,I
hi(x)=0,j=1,2,…,J
其中,x为设计空间Rn中各单元的材料密度,每个有限元网格为一个单元;f(x)为优化目标,可以为最小质量、最小柔度、最小频率等;gi(x)为I个不等式约束;hi(x)为J个等式约束。
2 邻接熵过滤方法
在基于进化法的拓扑优化问题的求解过程中,容易出现孤立单元和棋盘现象,如图1所示。在有限元分析中,孤立单元不能单独承受应力传递,而棋盘格现象可以看作是数个孤立单元的组合结构。本文构造了邻接熵过滤法进行数值过虑,以消除数值不稳定现象。
邻接熵过滤方法主要包含两个部分,一是计算有限元网格中每个单元的邻接熵值,二是按照邻接熵过滤法则对有限元网格的单元“生死”状态进行过滤计算。有限元网格中每个单元的邻接熵(abuttal entropy)值定义为单元的周边相邻单元的数量的多少,分正邻接熵和负邻接熵两种。
其中,对于2D单元中状态为“生”的单元,与之边邻接的“生”单元个数为正邻接熵Pae(plus abuttal entropy)。
对于2D单元中状态为“死”的单元,与之边邻接的“死”单元个数为负邻接熵Nae(negative abuttal entropy)。
实例1 对于规则的四边形网格划分的2D设计区域(图2),白色的单元为“死”单元,灰色的单位为“生”单元。各单元的邻接熵值标在单元上。其中“生”单元上的邻接熵值为正邻接熵值,“死”单元上的邻接熵值为负邻接熵值。
邻接熵过滤法包含删除法则和重生法则两种。
删除法则:如果某个“生”单元未受到约束或载荷,且Pae≤1,则执行删除操作,即改“生”状态为“死”状态。
重生法则:如果某个“死”单元未受到约束或载荷,且Nae≤1,则执行重生操作,即改“死”状态为“生”状态。
邻接熵过滤方法包含4个计算步骤:
(1)计算所有“生”单元的正邻接熵值。
(2)根据删除法则更新所有单元的“生死”状态,即更新设计变量。
(3)计算所有“死”单元的负邻接熵值。
(4)根据重生法则更新所有单元的“生死”状态,即更新设计变量。
邻接熵过滤法实际上是一种局部优化策略。在优化求解过程中,一般同时采用删除法则和重生法则对优化结构进行过滤计算。删除法则可以删除优化结构中与其他结构不连通的单元,可以消除棋盘格现象,从而删除完全没有传递应力的单元;重生法则可以填补优化结构中的孔洞,可以恢复断开的结构,提高结构的强度。
实例2 如图3a所示的拓扑结构图,其各单元的正邻接熵值如图2所示。根据删除法则,符合删除条件的单元在图中用圆圈标示。过滤后的结果如图3b所示。从图3中可以看出,删除法既可以把很多孤立的无效单元删除,又可以过滤掉棋盘格现象。
(a) (b)
实例3 在图4a所示的拓扑结构图中,各单元的负邻接熵值已在图中标出。根据重生法则,符合重生条件的单元在图中用圆圈标示。过滤后的结果如图4b所示。从图4中可以看出,重生法则可以把原来断开地方的单元重生,也可以填充孔洞。
(a) (b)
3 基于Memetic算法的拓扑优化设计流程
Memetic算法是一种基于进化算法的全局进化搜索策略加局部搜索策略的混合搜索算法。Memetic算法的流程如图5所示。从图5可以看出Memetic算法和遗传算法相似,关键区别是Memetic 算法在交叉和变异后有一个局部搜索策略。传统遗传算法虽然能够进行全局搜索,但其搜索速度慢、迭代次数多。局部搜索策略是对每次全局搜索的个体,在其领域中进行局部搜索得到一个较优的个体。局部搜索往往能得到一个比原解更优一点的个体,能有效提高搜索效率,在有限的迭代步数内发现更优的解。
3.1 适应度函数
拓扑优化过程中,需要给每个个体指定一个适应度值。适应度值计算通常要考虑结构的刚度和体积。以结构静力研究为例,适应度函数可定义为
式中,δmax为承受荷载的节点的最大位移;A为该染色体对应的拓扑结构中连续材料的面积,或称为质量。
进行适应度计算前,首先要进行有限元分析,通过有限元分析计算δmax,并对设计域内的材料分布进行连续性分析,计算连续材料的面积A。然后根据式(1)计算染色体对应的适应度函数。
3.2 选择
选择策略提供了Memetic算法全局搜索的驱动力。如果驱动力太大,搜索将过早地终止。如果驱动力太小,进化过程将非常缓慢。本文采用经典的Holland轮盘赌选择策略,其原理是根据每个染色体适应值的比例确定该个体被选择的概率。
3.3 交叉
交叉操作是进行全局搜索的重要策略,其步骤如下:
(1)生成两个子代染色体C和D,分别继承两个父代染色体A和B。
(2)按照交叉概率判断是否进行交叉操作,如果是,转(3),否则转(4)。
(3)在设计空间内随机选择两个坐标点,以两坐标点为对角顶点画长方形,长方形区域内的所有单元为本次交叉操作所选中的单元群。交叉两个子代染色体C和D中被选中的单元群的编码,产生新的子代染色体。
(4)结束交叉操作。
3.4 变异
变异操作是进行全局搜索的重要策略,变异操作能避免优化过程陷入局部最优解。其步骤如下:
(1)生成子代染色体B,使其继承父代染色体A。
(2)按照变异概率判断是否进行变异操作,如果是,转(3),否则转(4)。
(3)在设计空间内随机选择两个坐标点,以两坐标点为对角顶点画长方形,长方形区域内的所有单元为本次变异操作所选中的单元群。变异染色体B中对应的被选中的单元群的编码,产生新的子代染色体。
(4)结束变异操作。
3.5 局部搜索策略
按照邻接熵过滤方法对所有新产生的个体进行数值过滤计算。邻接熵过滤方法可以稍微改进个体的拓扑结构,使其更接近最优拓扑结构。
4 基于Memetic算法的拓扑优化设计实现
图6所示为采用基于Memetic算法的拓扑优化流程图,其求解步骤如下:
(1)通过程序进行有限元网格划分,定义边界。
(2)读入优化参数,如最大优化迭代步数、优化终止条件。初始化设计变量,如弹性模量、泊松比、约束和载荷。
(3)用有限元求解器求解位移场和应力场。
(4)根据适应度公式计算各个体的适应度函数。
(5)判断是否满足停止优化迭代条件,如果不满足,转(6)继续优化迭代。如果满足,转(11)。
(6)采用轮盘赌选择策略选择进入下一次进化操作的种群。
(7)进行交叉操作。
(8)进行变异操作。
(9)采用链接熵过滤方法进行局部搜索。
(10)更新模型和数据。
(11)有限元后处理,绘制材料分布图,输出优化数据。结束优化迭代过程。
5 算例和结果分析
5.1 最小质量设计
最小质量拓扑优化问题可以表示如下:
minimize: W(x),x∈Rn
subject to: D(x)max-Dlim≤0
每个有限元网格为一个单元;W(x)为优化结构的质量比,即材料的面积;D(x)max为优化结构中的最大位移;Dlim为优化结构的最大位移极限。
采用文献[2]中的Benchmark算例来论证Memetic算法的求解效果。研究对象是两块悬臂板(长×宽为1×2和2×1),如图7所示。两块悬臂板的左边界受支撑约束,在右边界半高位置施加一个垂直向下的单元集中力。这两块板的网格分别被划分为10×20和20×10,它们的相应最大位移极限分别为20和220。针对每块板,分别运用Memetic算法求解。种群数量为30,其中精英部分为0.2,代沟为0.8,交叉概率为0.95,变异概率为0.01。达到300步迭代或连续50步迭代未发现更优解,终止迭代过程。
5.1.1 1×2悬臂板
采用Memetic算法求解,求解结果如图7c所示,求出的最优解的质量比为0.19,此时拓扑结构的最大位移为18.376。Hamda等[2]用遗传算法求解的最优解如图7a所示,最优解的质量比为0.2。Wang 等[6]用遗传算法求解的最优解如图7b所示,最优解的质量比为0.22。可见采用Memetic算法求解的最优解优于遗传算法求解的最优解。图8所示为Memetic算法中质量比的进化曲线,
(a)Hamda等遗传算法,W(x)=0.2 (b)Wang等遗传算法,W(x)=0.22 (c)本文Memetic算法,W(x)=0.19
从图中可以看出,经过186次迭代,优化过程达到连续50步未发现更优解,终止迭代搜索。而Hamda等[2]经过了大约20 000次迭代才得到上述最优解,Wang等[6]经过了大约14 000次迭代才得到上述最优解。可见Memetic算法具有更高效的搜索能力。
5.1.2 2×1悬臂板
图9所示为2×1悬臂板的最优求解结果。图9c为采用Memetic算法的求解结果,求出的最优解的质量比为0.32,此时拓扑结构的最大位移为210.346。Hamda等[2]用遗传算法求解的最优解如图9a所示,最优解的质量比为0.33。Wang等[6]用遗传算法求解的最优解如图9b所示,最优解的质量比为0.325。可见采用Memetic算法求解的最优解优于遗传算法求解的最优解。图10给出了Memetic算法中质量比的进化曲线。从图10可以看出,经过275次迭代,优化过程达到连续50步未发现更优解,终止迭代搜索。而Hamda等[2]经过了大约20 000次迭代才得到上述最优解。Wang等[6]经过了大约9000次迭代得到上述最优解。可以看出Memetic算法具有更高效的搜索能力。
5.2 最小柔度设计
最小柔度拓扑优化问题可以表示为
minimize: C(x),x∈Rn
subject to: W(x)≤Wmax
每个有限元网格为一个单元;C(x)为优化结构的整体柔度;W(x)为优化结构中的质量比;Wmax为优化结构容许的最大质量比。
采用文献[6]中的Benchmark算例来论证Memetic算法的求解效果。研究对象是一块悬臂板,它的左边界受支撑约束,右边界半高位置施加一个垂直向下的单元集中力。这块板的网格被划分为24×12,它们的最大质量比约束为0.5。Memetic算法的种群数量是30,其中精英部分为0.2,代沟为0.8,交叉概率为0.95,变异概率为0.01。达到300步迭代或连续50步迭代未发现更优解终止迭代过程。求解结果如图11b所示,求出的最优解的柔度为65.22。Wang等[6]用遗传算法求解的最优解如图11a所示,最优解的柔度为65.26。可见采用Memetic算法求解的最优解优于遗传算法求解的最优解。图12所示为Memetic算法中柔度的进化曲线。从图12可以看出,Memetic算法经过300次迭代就得到了柔度为65.22的最优解。而Wang等[6]算法却经过了大约22 000次迭代才得到上述最优解。可见Memetic算法具有更高效的搜索能力。
6 结束语
本文提出一种基于Memetic算法的拓扑优化方法,在全局搜索策略中加入了局部搜索策略。全局搜索策略采用遗传算法的进化策略,局部搜索策略采用本文提出的邻接熵过滤方法。基于遗传算法的拓扑优化方法采用全局搜索策略,能求出很好的全局更优解,但因为迭代过程中容易产生数值不稳定现象,搜索过程非常缓慢,求解速度慢、迭代次数多。当用邻接熵过滤方法对每次迭代产生的个体进行局部搜索时,邻接熵过滤方法能有效地消除个体中孤立单元和棋盘格现象,在新个体的附近搜索到一个更好的个体,这能使Memetic算法快速搜索到最优解。Memetic算法继承了遗传算法的优点,又克服了其搜索速度慢、迭代次数多的不足。本文还给出了基于Memetic算法的拓扑优化方法的程序流程,用MATLAB程序实现了算法,通过几个经典Benchmark算例证明了本文方法的有效性和优越性。
参考文献
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拓扑优化分析 第9篇
横梁是车铣加工中心等大型机床的重要部件,其上通常安装主轴等关键功能部件,因此,其静动态性能将直接影响机床精度。为提高横梁的静动态性能,可采用拓扑优化及尺寸优化等方法对其进行结构优化。近年来,国内外在结构优化方面取得了一系列成果。张氢等[1]提出了一种“整体层-局部层”的两层优化模型,并对浮吊金属结构的整体进行了结构优化;王欣等[2]采用材料变密度的方法对起重机臂截面结构进行了拓扑优化设计;饶柳生等[3]基于相对密度法对机床立柱的筋板进行了优化设计;隋允康等[4,5,6,7]提出ICM(独立、连续、映射)方法,并基于此方法成功地对多工况下刚架及三维连续体进行了结构拓扑优化;满佳等[8]提出了一种基于元结构的数控机床结构优化设计方法,并以内齿轮铣齿机床的立柱为例进行了优化设计;文献[9-11]采用尺寸优化的方法对结构件进行优化设计。由于机床横梁的内部壁板等呈复杂三维结构,且横梁在工作时承受的是复杂空间载荷,故而采用上述传统拓扑优化方法进行横梁结构优化设计很难得到满意的结果。
针对大型结构件的拓扑优化问题,王晓煜等[12]提出了一种结构拓扑优化新方法,根据受力情况将龙门加工中心横梁部件分解为纵、横截面,对两个截面的筋肋分布形式分别进行拓扑优化,根据截面拓扑优化模型建立了横梁的三维优化模型,但该方法仅优化了竖直截面上的筋肋布置形式,未将其他两个截面的拓扑优化融入到优化模型中,优化结果不够充分;Querin等[13]、荣见华等[14]发展了双方向渐进结构优化法,通过应力灵敏度来考虑全局应力的影响,减缓了ESO法基于局部应力的限制,提高了探索全局优化解的能力,然而在实施过程中会出现少量孤立体的奇异结构,使得结构拓扑优化无法进行,因此,该方法仅适合一些简单三维结构的拓扑优化设计;Chen等[15]将遗传算法应用到连续体结构的拓扑优化中,为解决二维和三维连续体结构拓扑优化问题提供了较好的方法,但该算法需要大量的计算时间;荣见华等[16,17,18,19]对不同应力准则下连续体结构的拓扑优化方法进行了研究,并提出了一种基于人工材料的双向渐进结构优化方法用来改善优化过程中的数值计算问题,将相应的渐进结构优化方法进一步推广到了三维结构优化中;孔文秦[20]针对应力约束问题,提出了在优化迭代中允许大量添加单元的算法,增强了寻找优化传力路径、获得优化拓扑和形状的能力,避免了优化过早地收敛到局部最优解。上述研究虽然在多载荷工况下的三维机械结构的拓扑优化方面取得了一定的进展,但却存在常常得到局部最优解而非全局最优解的缺点,使拓扑优化概念模型可读性差,无法为结构优化设计提供有效指导。另外,现有研究大多局限于单一载荷工况下的拓扑优化或二维结构拓扑优化,而针对复杂载荷工况下的三维结构拓扑优化问题则研究得很少。
在上述背景下,本文以CXK5463型车铣加工中心的横梁为研究对象,开展复杂载荷工况下大型结构件三维拓扑优化研究,根据力的分解及等效原理,提出基于功能截面分解的拓扑优化方法。
1 复杂载荷工况下大型结构件拓扑优化存在的问题
本文以CXK5463车铣加工中心横梁为例对复杂载荷工况下大型结构件拓扑优化问题进行说明。CXK5463车铣加工中心为重型金属切削数控机床,主要用于核电关键零件水室封头的特殊内外形的精确加工。如图1所示,该机床采用动梁龙门移动布局,由左右床身、左右滑座、左右立柱、连接梁、横梁、旋转工作台、溜板箱、转盘、铣削主轴箱、滑枕等部件组成。横梁部件(图2)可在龙门架上沿导轨面实现垂直方向移动,主要由横梁、滑鞍、滑动组件等组成。横梁长度10.4m,跨距7.5m,宽1.28m,高1.8m,根据横梁受力情况和传统结构设计方法,内部设置以井字形为主的加强筋板,内部筋板设置情况如图3所示。
如图4所示,机床横梁部件受力结构为两点简支梁支承,横梁部件在工作时所承受的复杂空间载荷包括加工时产生的切削力、自身重力、移动部件和固定部件相对运动时导轨面间的摩擦力、连接大件和移动部件间的连接力、惯性力、冲击或振动干扰力以及温度升高时产生的热应力。除了横梁结构本身自重造成稳定变形以外,当横梁上的滑动部件从一端移动到其他位置时,也会引起横梁不稳定的弯曲变形。此外,由于结构的原因,滑枕及主轴箱呈悬臂结构,其重力形成的弯矩也使横梁产生扭转变形,引起主轴箱前倾。横梁在垂直方向上的刚度对机床总刚度影响很大。刚度小的横梁其变形量有时可占到机床综合变形量的20%~40%,其中,又以扭转变形为主,约占60%。
考虑到拓扑优化过程中应设置为机床常态下的负载条件,因此设置横梁受到自身重力作用,移动部件的重力以远端力的形式施加在横梁与滑动部件接触的导轨上表面,加载位置为移动部件的质心坐标处;将横梁与立柱的两个结合面设置为固定边界条件。载荷施加情况如图4所示。
根据退化原理,横梁结构需要事先“填充”成实心作为退化计算的设计空间,如图5所示。为了得到拓扑优化的合理筋板参数,横梁实心模型的网格尺寸应尽可能地精细。经过多次试算,单元数量控制在40万个以内,在设定目标质量为横梁原型的60%时得到图6所示的建议保留的结构。
从横梁三维实心体拓扑优化结果来看,拓扑建议的横梁内部结构过于单一,材料聚集严重,可读性差,不能为横梁内部筋板的合理设计提供指导。这也体现了复杂应力工况下大型结构件三维拓扑优化常常得到局部最优解而非全局最优解的问题。因此,有必要寻求拓扑优化新途径,得到清晰的应力传递路径,为大型结构件整体形貌和筋肋合理布置提供有效指导。
2 功能截面分解法
2.1 功能截面分解法原理
根据理论力学相关原理,承受复杂载荷物体的受力情况可简化为图7所示的情况,通过选取物体上的一点(例如结构件的质心,图7为第一象限图)作为原点建立直角坐标系Oxyz,将空间力系简化到这一点,就可以将主矢与主矩分解到坐标系的三个坐标轴上。
以图7所示的受力情况为例,本文将XY平面、XZ平面、YZ平面定义为二维功能截面,其中XY平面为分力Fz的抗弯功能截面以及分力矩Moz的抗扭功能截面;XZ平面为分力Fy的抗弯功能截面以及分力矩Moy的抗扭功能截面;YZ平面为分力Fx的抗弯功能截面以及分力矩Mox的抗扭功能截面,如表1所示。取Fx、Fy、Fz中最大分力所对应的平面为主要抗弯功能截面;取Mox、Moy、Moz中最大分力矩所对应的平面为主要抗扭功能截面。主要抗弯功能截面和主要抗扭功能截面作为两个主要功能截面,第三个平面作为次要功能截面;当主要抗弯功能截面与主要抗扭功能截面为同一个截面时,此截面作为主要功能截面,而第二个主要功能截面根据分力影响较大还是分力矩影响较大,来选取第二大的分力或分力矩所对应的平面,最后一个平面作为次要功能截面。
2.2 基于功能截面分解的拓扑优化步骤
基于功能截面分解的拓扑优化步骤如下:① 假设物体分别受力F及力矩M(图7中未标出)作用,受力分析结果如图7 所示;② 假设Fx≥Fy≥Fz且Moz≥ Moy≥ Mox,则YZ截面为主要抗弯功能截面,XY截面为主要抗扭功能截面,XZ截面为次要功能截面;③ 分别对YZ截面和XY截面进行截面拓扑优化;④ 根据XY、YZ两个主要二维功能截面的拓扑优化结果,综合建立三维初始原型,再针对先前未考虑的XZ次要功能截面进行整体三维拓扑优化,最终完成大型机械结构件的三维拓扑优化并校验优化效果。
应用该方法可解决复杂载荷工况下零部件三维结构拓扑优化模型可读性差的问题,在结构设计初期可提供有效的指导。
3 基于二维功能截面分解的横梁拓扑优化过程
3.1 基于功能截面分解的机床横梁拓扑优化步骤
本文以机床横梁为例开展基于功能截面分解的大型结构件拓扑优化研究,具体步骤如下(图8):
(1)受力分析。以横梁的质心为原点建立图7所示的坐标系,根据力的平移原理,横梁常态下的多个复杂载荷可以等效为两个负载,即垂直向下的压力和作用在接触面上的转矩。
(2)确定主要、次要功能截面。 垂直向下的压力导致横梁的弯曲变形,转矩导致横梁的扭转变形,因此可以认为,在静载荷作用下横梁的主要功能为抵抗整体弯曲变形和扭转变形。从三维空间解耦的角度看,YZ平面上的材料主要承担抵抗整体弯曲变形的功能,XZ平面上的材料主要承担抵抗扭转变形的功能,而XY平面虽然拥有抵抗整体弯曲变形和扭转变形的能力,但不承担主要的等效负载,为次要功能截面,可暂不考虑。
(3)对主要功能截面进行拓扑优化。 因为简单应力下二维平面拓扑优化可以得到清晰的符合工程实际的拓扑概念模型,所以可以近似地将YZ平面(抗弯功能截面)与垂直向下的负载相对应,进行抗弯功能截面上的二维拓扑优化;再将XZ平面(抗扭功能截面)与扭矩负载相对应,进行抗扭功能截面上的二维拓扑优化,以寻找最优的截面形状。
(4)综合主要、次要功能截面的拓扑优化。将抗弯功能截面和抗扭功能截面的拓扑模型综合起来,并针对先前未考虑的XY功能截面,进行整体三维拓扑优化,最终完成横梁三维形貌优化构型。
为了使截面厚度尺寸不影响求解效果,本文对横梁厚度取较小尺寸。 经过数次拓扑优化试算,拟定截面设置方案如下:
(1)图9所示为抗弯功能截面,即YZ拓扑截面,其截面尺寸为6850mm×1580mm,截面厚度取10mm。
(2)图10所示为抗扭功能截面,即XZ拓扑截面,其截面形状按原横梁外形建模,截面厚度取10mm,并按立柱导轨面分割为Ⅰ、Ⅱ两个截面。
3.2 二维拓扑概念模型
二维截面的拓扑优化采用实体单元Solid186网格划分,单元尺寸控制在10mm以内。对截面施加相同的约束,并分别施加弯曲载荷(重力)、扭转载荷(远端力)。 拓扑优化材料去除率设置为60% ~80%,拓扑优化建议保留的结构如图11、图12所示,其中,小圆圈出部分为建议去除的材料。
3.3 横梁三维概念设计模型的建立
对二维功能截面拓扑优化的结果进行分析和讨论,得到如下结论:
(1)抗弯功能截面拓扑优化结果(图11)显示了横梁YZ截面的建议筋板布置形式。左右支撑部位由X形筋板构成,支撑部位需要加强筋;中部由形状为“八”字形的筋板构成,且在中部的横梁的上下顶板较厚。
(2)抗扭功能截面拓扑优化结果(图12)显示了横梁XZ截面的建议外形形状。横梁后部外形筋板的各边角应倒角化,以利于扭矩在形状方向上的流动,减小应力集中;前部筋板应相应去除边角,以配合截面形状倒角化,根据制造性要求,前部筋板的孔洞暂不设置。
由此可见,横梁功能截面的二维拓扑优化结果较为清晰,为形状优化设计提供了良好的方向指导。按照拓扑优化的结果,建立抗弯功能截面(YZ截面)和抗扭功能截面(XZ截面)的优化构型,如图13、图14所示。
按照二维功能截面拓扑优化得到的截面优化结构,建立基于拓扑优化的横梁优化设计三维初始原型。针对前面2D截面拓扑优化无法解决XY截面材料分布的问题,对初始原型再进行三维拓扑优化,从而有针对性地对初始原型的筋板布置及外形形状作进一步修改。再拓扑优化结果如图15所示。
对初始原型再拓扑优化结果进行分析,可以看出,初始原型的三维拓扑优化结果具有很强的针对性,可以按照拓扑优化的建议进一步修改初始原型。图15显示,在XY截面上,横梁顶部的筋板的边角部分可以去除(图中方框所示),根据该建议进一步修改横梁的外形形状,结果如图16所示。
综合上述横梁三个截面上的分析与优化结果,建立横梁的三维形状优化模型如图17所示。
3.4 横梁结构优化及优化效果验证
3.4.1 横梁结构的多目标参数优化
根据得到的基于拓扑优化的横梁三维概念设计的结构原型,将结构原型的筋板布局和尺寸参数作为优化变量,按照静态、动态特性分析的方法施加相应的约束和载荷,取质量最小、最大位移最小和一阶固有频率最大为多目标优化问题的三个优化目标,在ANSYS Design Xplorer中进行优化设计。
在Pro/Engineer中建立横梁结构原型的CAD参数化模型,把需要优化的尺寸参数按照AWE与CAD数据传递规则进行重命名,以便在AWE中得到相应的参数变量作为原始设计变量。建立的横梁CAD模型参数示意如图18 所示,原始设计如表2 所示。 其中,Angle1 ~Angle5为角度参数,L1、L2为宽度参数,T3~T6为厚度参数。
表3所示为横梁多目标参数优化的原始输出参数。 最大位移响应Def_Total表征横梁结构的总体静刚度情况,应越小越好;横梁总体质量Mass一定程度上体现了横梁的制造成本和轻量化目标,应越小越好;提高机床一阶固有频率Freq_1是提高机床刚性、避免共振、降低振幅的有效措施,应越大越好。 所以选择Def_Total、Mass和Freq_1三个参数作为多目标参数优化的目标参数。表3中,Def_X 、Def_Z分别为横梁X、Z方向的静态最大位移响应,Def_Total为横梁静态最大位移响应,Equa_Stress为最大等效应力。
注:“√”表示选择该参数为目标参数;“—”表示不选择该参数为目标参数。
为了有效地进行结构多目标参数优化,本文采用设计参数的灵敏度分析(又称敏度分析),选择那些对动静态特性影响较大的设计参数作为设计变量,并依据灵敏度值的大小和正负,对设计参数进行修正。 将Angle4、T3、T4、T5、T6、Angle5作为设计变量,获得横梁多目标参数优化的最优解。最优解圆整结果如表4所示。
注:“√”表示选择该参数作为相应的变量;“—”表示该参数不予选择。
按照横梁的吊装、装配等实际要求进行小范围局部修补,最终优化后横梁内部结构(隐藏上下导轨)如图19所示。
3.4.2 横梁优化效果验证
为验证优化效果,对拓扑优化前后的横梁部件的静动态特性进行有限元分析。 图20所示为静刚度对比结果。
优化后横梁部件在滑动部件不同Y行程下最大位移响应值如图21如示,其中,DP1~ DP11为滑动部件在横梁Y向行程时在横梁Y向上选取的11个关键位置点,P1-Plane4.H5为横梁与溜板箱配合面在横梁上的坐标,P2 -DS_journeyY为滑枕组件在横梁上Y向的行程。根据计算的结果绘制优化前后该响应值的曲线如图22所示。
由图20和图22所示横梁零件、部件的静态响应曲线可知,优化前后横梁零件、部件的变形量均明显减小,尤其在横梁的中部附近减小明显,表明横梁的静刚度在其中部附近提高明显。取Y向行程3700mm即滑动部件在横梁中央位置时的各静态特性参数结果进行对比,以验证横梁结构优化设计的效果,如表5所示。
对优化前后的横梁结构做模态分析比较,横梁结构前6阶固有频率对比如表6所示。从对比数据可知,优化后的横梁结构在静动态特性上均较优化前得到明显提升,横梁静态最大位移响应减小19.82%,最大应力值也远小于许用应力;在动态特性方面,除第6阶固有频率有3.64% 的下降以外,前5阶固有频率均有提高,动态性能有所提高。可见,通过对横梁的拓所扑优化和尺寸优化,不仅实现了横梁的轻量化,也提高了横梁的基频。
4 结论
(1)本文采用功能截面分解法研究了处于复杂应力工况下的机械结构件三维拓扑优化问题。功能截面分解法可将复杂载荷等效分解为多个简单载荷并分别与拟定出的横梁二维功能截面进行功能对应,实现将三维拓扑优化问题转化成为二维功能截面的拓扑优化问题,能够得到清晰而又具有指导意义的优化设计概念模型,避免了传统三维实体拓扑优化结果材料聚集严重、可读性差的问题。
(2)利用功能截面分解法对处于重力及弯矩载荷下的算例进行了拓扑优化计算,得到了同时满足静动态性能和轻量化要求的最优结构,验证了本文优化方法对大型、重型复杂机械结构优化设计的实用性。
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